資源簡介

第1課時　兩平面平行
1.兩個平行平面與另兩個平行平面相交所得的四條直線的位置關系是（　　）
A.兩兩相互平行
B.兩兩相交于同一點
C.兩兩相交但不一定交于同一點
D.兩兩相互平行或交于同一點
2.經過平面α外兩點，作與α平行的平面，則這樣的平面可以作（　　）
A.1個或2個 B.0個或1個
C.1個 D.0個
3.如圖，設E，F，E1，F1分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中點，則平面EFD1A1與平面BCF1E1的位置關系是（　　）
A.平行 B.相交但不垂直
C.垂直 D.不確定
4.（2024·常州質檢）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，點E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，則AF的長為（　?。?br/>A.1 B.1.5
C.2 D.3
5.（多選）如圖為某一正方體的平面展開圖，在這個正方體中（　?。?br/>A.BM∥平面CN
B.CN∥平面AF
C.平面BMD∥平面AFN
D.平面BDE∥平面NCF
6.（多選）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分別是棱A1B1，B1C1，BB1的中點，則（　　）
A.FG∥平面AA1D1D
B.EF∥平面BC1D1
C.FG∥平面BC1D1
D.平面EFG∥平面BC1D1
7.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2.則平面ADD1A1與平面BCC1B1之間的距離為　　　　.
8.如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，E，F，G，H分別為CC'，C'D'，D'D，CD的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH內運動，則M滿足　　　　　時，有MN∥平面B'BDD'.
9.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，過BB1的中點E作一個與平面ACB1平行的平面交AB于點M，交BC于點N，則 ＝　　　　.
10.如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是平行四邊形，點G和點H分別是CE和CF的中點.證明：平面BDGH∥平面AEF.
11.（2024·鹽城月考）已知m，n，l1，l2表示直線，α，β表示平面.若m α，n α，l1 β，l2 β，l1∩l2＝M，則α∥β的一個充分條件是（　?。?br/>A.m∥β且l1∥α B.m∥β且n∥β
C.m∥β且n∥l2 D.m∥l1且n∥l2
12.（多選）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知點G，H分別在A1B1，A1C1上，且GH經過△A1B1C1的重心，點E，F分別是AB，AC的中點，且平面A1EF∥平面BCHG，則下列結論正確的是（　　）
A.EF∥GH
B.GH∥平面A1EF
C.＝
D.平面A1EF∥平面BCC1B1
13.如圖，P是△ABC所在平面外一點，A'，B'，C'分別是△PBC，△PAC，△PAB的重心，則平面A'B'C'與平面ABC的位置關系為　　　　.
14.如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
（1）證明：平面A1BD∥平面CD1B1；
（2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，證明：B1D1∥l.
15.（2024·淮安模擬）如圖，在矩形ABCD和矩形ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF可沿AB任意翻折.
（1）求證：當F，A，D不共線時，線段MN總平行于平面FAD；
（2）“不管怎樣翻折矩形ABEF，線段MN總與線段FD平行”這個結論正確嗎？如果正確，請證明；如果不正確，請說明能否改變個別已知條件使上述結論成立，并給出理由.
第1課時　兩平面平行
1.A　根據平面與平面平行的性質可知，所得的四條直線兩兩相互平行.故選A.
2.B　①當經過兩點的直線與平面α平行時，可作出一個平面β使β∥α.②當經過兩點的直線與平面α相交時，由于作出的平面與平面α至少有一個公共點，故經過兩點的平面都與平面α相交，不能作出與平面α平行的平面.故滿足條件的平面有0個或1個.
3.A　∵E1和F1分別是A1B1和D1C1的中點，∴A1D1∥E1F1.又∵A1D1 平面BCF1E1，E1F1 平面BCF1E1，∴A1D1∥平面BCF1E1.又∵E1和E分別是A1B1和AB的中點，∴A1E1∥BE，且A1E1＝BE，∴四邊形A1EBE1是平行四邊形，∴A1E∥BE1.又∵A1E 平面BCF1E1，BE1 平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.∵A1E 平面EFD1A1，A1D1 平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
4.A　平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B＝A1F，平面BC1E∩平面AA1B1B＝BE，所以A1F∥BE，又A1E∥FB，所以四邊形A1FBE為平行四邊形，所以FB＝A1E＝3－1＝2，所以AF＝1.
5.BCD　將平面圖形折起，折成一個正方體，其示意圖如圖所示，利用直線與平面、兩個平面平行的判定定理可以證明B、C、D都正確.故選B、C、D.
6.AC　對于A，連接AD1，∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分別是棱A1B1，B1C1，BB1的中點，∴FG∥BC1.∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，又∵FG 平面AA1D1D，AD1 平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正確；對于B，連接A1C1，∵EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，∴EF與平面BC1D1相交，故B錯誤；對于C，∵FG∥BC1，FG 平面BC1D1，BC1 平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故C正確；對于D，∵EF與平面BC1D1相交，∴平面EFG與平面BC1D1相交，故D錯誤.故選A、C.
7.4　解析：如圖，在長方體中，易知平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以所求距離為AB＝4.
8.在線段FH上移動　解析：當點M在線段FH上移動時，有MH∥DD'，易知HN∥BD，∴平面MNH∥平面B'BDD'.又MN 平面MNH，∴MN∥平面B'BDD'.
9.　解析：由題意得平面MNE∥平面ACB1，因為平面BB1C1C∩平面MEN＝EN，平面BB1C1C∩平面ACB1＝B1C，則由面面平行的性質定理可得EN∥B1C，同理可得EM∥B1A.又因為E為BB1的中點，所以M，N分別為BA，BC的中點，所以MN＝AC，即 ＝.
10.證明：在△CEF中，因為G，H分別是CE，CF的中點，
所以GH∥EF，
又因為GH 平面AEF，EF 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
設AC∩BD＝O，連接OH，在△ACF中，因為OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，
又因為OH 平面AEF，AF 平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
又因為OH∩GH＝H，OH，GH 平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
11.D　對于A，若m∥β且l1∥α，則α，β可能相交，故A錯誤；對于B，若m∥β且n∥β，要得出α∥β，必須滿足m，n相交，故B錯誤；對于C，若m∥β且n∥l2，要得出α∥β，必須滿足m，n相交，故C錯誤；對于D，由定理“如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行”，由選項D可以推出α∥β，故D正確.
12.ABC　由E，F分別是AB，AC的中點可知EF∥BC，＝.在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1B1C1∥平面ABC，由兩個平面平行的性質可得GH∥BC，而GH經過△A1B1C1的重心，所以＝，所以＝，且EF∥GH，GH 平面A1EF，EF 平面A1EF，所以GH∥平面A1EF.因為A1B1∥BE且BE＜A1B1，所以直線A1E與BB1有交點，所以平面A1EF與平面BCC1B1相交.故A、B、C正確，D錯誤.
13.平行　解析：如圖，連接PA'，PC'并延長，分別交BC，AB于點M，N，連接MN.∵A'，C'分別是△PBC，△PAB的重心，∴PA'＝PM，PC'＝PN，∴A'C'∥MN.∵MN 平面ABC，A'C' 平面ABC，∴A'C'∥平面ABC.同理，A'B'∥平面ABC.又A'C'∩A'B'＝A'，A'C'，A'B' 平面A'B'C'，∴平面A'B'C'∥平面ABC.
14.證明：（1）由題設知BB1 DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.
又BD 平面CD1B1，B1D1 平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因為A1D1 B1C1 BC，
所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，
所以A1B∥D1C.
又A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因為BD∩A1B＝B，BD，A1B 平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
（2）由（1）知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，平面ABCD∩平面A1BD＝直線BD，
所以直線l∥直線BD，
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
15.解：（1）證明：在平面圖形中，設MN與AB交于點G.
由于四邊形ABCD和四邊形ABEF都是矩形且AD＝AF，因此有AD∥BE且AD＝BE，
∴四邊形ADBE是平行四邊形，∴AE∥DB.
又∵AM＝DN，∴四邊形ADNM為平行四邊形，∴MN∥AD.
折疊之后，MG∥AF，NG∥AD，MG∩NG＝G，AD∩AF＝A，示意圖如圖①，∴平面FAD∥平面GNM.
又∵MN 平面GNM，∴MN∥平面FAD.
∴當F，A，D不共線時，線段MN總平行于平面FAD.
（2）這個結論不正確.
要使結論成立，M，N應分別為AE和DB的中點.理由如下：
當F，A，D共線時，由平面圖形，易證得FD∥MN.
折疊后，當F，A，D不共線時，由（1）知平面MNG∥平面FDA，可知要使MN∥FD總成立，根據面面平行的性質定理，只要FD與MN共面即可.
若要使FD與MN共面，連接FM，只要FM與DN相交即可.
由平面圖形知，若要DN和FM共面，則DN與FM相交于點B（M，N分別為AE，DB的中點才能實現），折疊后的圖形如圖②.
∵FM∩DN＝B，∴可知它們確定一個平面，即F，D，N，M四點共面.
又∵平面FDNM∩平面MNG＝MN，平面FDNM∩平面FDA＝FD，平面MNG∥平面FAD，∴MN∥FD.
3 / 3第1課時　兩平面平行
新課程標準解讀 核心素養
1.了解平面與平面的位置關系，掌握面面平行的判定定理、性質定理 邏輯推理
2.會利用“線線平行”“線面平行”及“面面平行”相互之間的轉化，來證明“線線平行”“線面平行”及“面面平行”等問題 直觀想象
3.了解兩個平行平面間的距離的概念 數學運算
　　如圖，為了檢測桌面是否水平，工人師傅常將水平儀在桌面上交叉放置兩次，如果水平儀的氣泡兩次都在中央，就能判斷桌面與地面平行.
【問題】　為什么工人師傅只檢查兩次且交叉放置呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　兩個平面的位置關系
1.兩個平面平行的定義
如果兩個平面沒有　　　　，那么稱這兩個平面互相平行.平面α平行于平面β，記作α∥β.
2.兩個平面的位置關系
位置關系 兩平面平行 兩平面相交
公共點 　　　　公共點 有　　條公共直線
符號表示 α　　β α　　β＝a
圖形表示
【想一想】
如果兩個平面（不重合）有一個公共點，那么這兩個平面是否相交？
知識點二　兩個平面平行的判定定理
文字語言 如果一個平面內的兩條　　　　直線與另一個平面　　　　，那么這兩個平面平行
符號語言 α∥β
圖形語言
提醒　判定平面α與平面β平行時，必須具備兩個條件：①平面α內兩條相交直線a，b，即a α，b α，a∩b＝A；②兩條相交直線a，b都與平面β平行，即a∥β，b∥β.
【想一想】
1.如果一個平面內有兩條直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.這種說法正確嗎？
2.如果一個平面內有無數條直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.這種說法正確嗎？
知識點三　兩個平面平行的性質定理
文字語言 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面　　　　，那么兩條交線　　　　
符號語言 a∥b
圖形語言
提醒　對兩平面平行性質定理的再理解：①用該定理判斷直線a與b平行時，必須具備三個條件：（ⅰ）平面α和平面β平行，即α∥β；（ⅱ）平面γ和α相交，即α∩γ＝a；（ⅲ）平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三個條件缺一不可；②在應用這個定理時，要防止出現“兩個平面平行，則一個平面內的直線平行于另一個平面內的一切直線”的錯誤.
【想一想】
1.兩平行平面內的直線是否相互平行？
2.平面平行有傳遞性嗎？
知識點四　兩個平行平面間的距離
1.兩個平行平面的公垂線和公垂線段
與兩個平行平面都　　　　的直線，叫作這兩個平行平面的公垂線，它夾在這兩個平行平面間的線段，叫作這兩個平行平面的公垂線段.
2.兩個平行平面間的距離
兩個平行平面的公垂線段的　　　　叫作兩個平行平面間的距離.
提醒　兩個平行平面間的距離是分別位于兩個平面內的兩點間距離的最小值，即當α∥β，M∈α，N∈β時，線段MN的最小值就是平面α與β間的距離.
1.已知平面α內的兩條直線a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面α∥平面β， 則直線a，b的位置關系是（　?。?br/>A.相交　　B.平行　　C.異面　　D.垂直
2.（多選）若平面α∥平面β，直線a α，直線b β，下列幾種情形中可能出現的是（　　）
A.a∥b B.a⊥b
C.a與b異面 D.a與b相交
3.已知夾在兩平行平面α，β之間的線段AB的長為6，AB與α所成的角為60°，則α與β之間的距離為　　　　.
題型一 平面與平面的位置關系
【例1】　平面α與平面β平行的條件可以是（　?。?br/>A.α內有無窮多條直線與β平行
B.直線a∥α，a∥β
C.直線a α，直線b β，且a∥β，b∥α
D.α內的任何直線都與β平行
通性通法
1.解答此類題目，要抓住定義，仔細分析，把自然語言轉化為圖形語言，根據所給的條件，搞清圖形間的相對位置是確定的還是可變的，借助于空間想象能力，確定平面間的位置關系.
2.在作圖時，利用正方體（或長方體）這個“百寶箱”能有效地判定與兩個平面的位置關系有關的命題的真假.另外像判定直線與直線、直線與平面的位置關系一樣，反證法也是判定兩個平面位置關系的有效方法.
【跟蹤訓練】
如果在兩個平面內分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么這兩個平面的位置關系一定是　　　　.
題型二 平面與平面平行的判定
【例2】?。ㄦ溄咏炭茣?89頁例1）如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1C1，A1B1的中點，求證：
（1）B1C1∥平面A1EF；
（2）平面A1EF∥平面BCGH.
通性通法
平面與平面平行的判定方法
（1）定義法：兩個平面沒有公共點（不易操作）；
（2）判定定理：一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面；
（3）轉化為線線平行：平面α內的兩條相交直線與平面β內的兩條相交直線分別平行，則α∥β；
（4）利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
【跟蹤訓練】
如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分別是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中點，求證：
（1）E，F，B，D四點共面；
（2）平面MAN∥平面EFDB.
題型三 面面平行的性質定理的應用
【例3】　如圖所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為梯形，AD∥BC，平面A1DCE與B1B交于點E.求證：EC∥A1D.
通性通法
1.應用面面平行性質定理的基本步驟
2.與平行的性質有關的計算的三個關鍵點
（1）根據已知的面面平行關系推出線線平行關系；
（2）在三角形內利用三角形的中位線性質、平行線分線段成比例定理推出有關線段的關系；
（3）利用所得關系計算求值.
【跟蹤訓練】
如圖所示，已知α∥β，點P是平面α，β外的一點（不在α與β之間），直線PB，PD分別與α，β相交于點A，B和C，D.
（1）求證：AC∥BD；
（2）已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的長.
題型四 線線、線面、面面平行的綜合問題
【例4】　如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中點，在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？證明你的結論.
通性通法
空間中各種平行關系相互轉化的示意圖
提醒　判定是用低一級的平行關系證明高一級的平行關系；性質是用高一級的平行關系推出低一級的平行關系.
【跟蹤訓練】
如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，平面D1BQ與平面PAO平行？
1.已知α，β是兩個不重合的平面，直線a α，命題p：a∥β，命題q：α∥β，則p是q的（　?。?br/>A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
2.（多選）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列直線或平面與平面ACD1平行的有（　　）
A.直線A1B B.直線BB1
C.平面A1DC1 D.平面A1BC1
3.設平面α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，直線AB與CD交于點S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，當點S在平面α，β之間時，CS＝　　　　.
4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，E，F，G分別是PC，PD，BC的中點，DC∥AB，求證：平面PAB∥平面EFG.
第1課時　兩平面平行
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.公共點　2.沒有　一　∥　∩
想一想
　提示：相交.由基本事實3可知這兩個平面相交，同時它們有且只有一條過該點的公共直線.
知識點二
　相交　平行
想一想
1.提示：不正確.當兩條直線平行時，這兩個平面可以相交.
2.提示：不正確.當這些直線平行時，這兩個平面可以相交.
知識點三
　相交　平行　α∩γ＝a
想一想
1.提示：不一定.已知兩個平面平行，顯然一個平面內的任何直線都平行于另一個平面，但是這兩個平面內的所有直線并不一定相互平行.它們可能是平行直線，也可能是異面直線，但不可能是相交直線.
2.提示：有.若α，β，γ為三個不重合的平面，則α∥β，β∥γ α∥γ.
知識點四
1.垂直　2.長度
自我診斷
1.A　根據面面平行的判定定理可知a，b相交.
2.ABC　因為平面α∥平面β，直線a α，直線b β，所以直線a與直線b無公共點.當直線a與直線b共面時，a∥b；當直線a與直線b異面時，a與b的夾角大小可以是90°.綜上知，A、B、C都有可能出現.故選A、B、C.
3.3　解析：過B作BC⊥α于C（圖略），則∠BAC＝60°，在Rt△ABC中，BC＝AB·sin 60°＝3.
【典型例題·精研析】
【例1】　D　當α內有無窮多條直線與β平行時，α與β可能平行，也可能相交，故不選A；當直線a∥α，a∥β時，α與β可能平行，也可能相交，故不選B；直線a α，直線b β，且a∥β，b∥α時，α與β可能平行，也可能相交，故不選C；當α內的任何直線都與β平行時，由兩個平面平行的定義可得，這兩個平面平行，故選D.
跟蹤訓練
　平行或相交　解析：根據題意作圖，把文字語言轉化為圖形語言，即可得出兩平面的位置關系.如圖所示.
【例2】　證明：（1）∵E，F分別是AB，AC的中點，
∴EF∥BC.
又在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥B1C1，
∴B1C1∥EF.
又B1C1 平面A1EF，EF 平面A1EF，
∴B1C1∥平面A1EF.
（2）由（1）知EF∥BC，EF 平面BCGH，BC 平面BCGH，
∴EF∥平面BCGH.
又F，G分別為AC，A1C1的中點，
∴FC＝AC，A1G＝A1C1.
又AC∥A1C1，AC＝A1C1，
∴FC∥A1G，FC＝A1G.
∴四邊形FCGA1為平行四邊形.
∴A1F∥GC.
又A1F 平面BCGH，GC 平面BCGH，
∴A1F∥平面BCGH.
又A1F∩EF＝F，A1F，EF 平面A1EF，
∴平面A1EF∥平面BCGH.
跟蹤訓練
　證明：（1）如圖，連接B1D1.
∵E，F分別是B1C1和C1D1的中點，
∴EF∥B1D1.
又BD∥B1D1，
∴BD∥EF.
∴E，F，B，D四點共面.
（2）由題意知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.
又MN 平面EFDB，BD 平面EFDB，∴MN∥平面EFDB，
連接MF，∵點M，F分別是A1B1與C1D1的中點，
∴MF AD.
∴四邊形ADFM是平行四邊形.∴AM∥DF.
∵AM 平面EFDB，DF 平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.
又AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.
【例3】　證明：因為BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.
因為BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.
跟蹤訓練
　解：（1）證明：因為PB∩PD＝P，所以直線PB和PD確定一個平面γ，則α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，所以AC∥BD.
（2）由（1）得AC∥BD，所以＝，所以＝，
所以CD＝（cm），所以PD＝PC＋CD＝（cm）.
【例4】　解：當點E為棱AB的中點時，DE∥平面AB1C1.
證明如下：如圖所示，取BB1的中點F，連接EF，FD，DE，
∵D，E，F分別為CC1，AB，BB1的中點，
∴EF∥AB1，
∵AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1.同理可證FD∥平面AB1C1.
∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1.
∵DE 平面EFD，
∴DE∥平面AB1C1.
跟蹤訓練
　解：當Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO.
證明如下：如圖，連接BD，由題意可知，BD∩AC＝O，O為BD的中點，又P為DD1的中點，
∴OP∥BD1，
又BD1 平面PAO，PO 平面PAO，∴BD1∥平面PAO，
連接PC.∵PD1 CQ，∴D1Q∥PC.
又PC 平面PAO，D1Q 平面PAO，∴D1Q∥平面PAO.
又D1Q∩BD1＝D1，D1Q，BD1 平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面PAO.
隨堂檢測
1.B　a α，a∥β ，α，β可能相交，也可能平行；由面面平行的定義可知，若α∥β且a α，則a∥β. 故p是q的必要不充分條件.故選B.
2.AD　如圖，對于A，由于A1B∥D1C，且A1B 平面ACD1，可得直線A1B∥平面ACD1；對于B，由于B1B∥D1D，且D1D∩平面ACD1＝D1，可得直線B1B與平面ACD1不平行；對于C，由于A1D與AD1相交，A1D 平面A1DC1，可得平面A1DC1與平面ACD1不平行；對于D，由于A1B∥D1C，C1B∥D1A，A1B 平面A1BC1，C1B 平面A1BC1，且A1B∩C1B＝B，可得平面A1BC1∥平面ACD1.故選A、D.
3.16　解析：如圖所示，由題意知，△ASC∽△BSD，因為CD＝34，所以SD＝34－CS.由AS∶BS＝CS∶（34－CS）知，8∶9＝CS∶（34－CS），所以CS＝16.
4.證明：∵E，G分別是PC，BC的中點，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB.
∵E，F分別是PC，PD的中點，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，
∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
∴平面PAB∥平面EFG.
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第1課時　兩平面平行
新課程標準解讀 核心素養
1.了解平面與平面的位置關系，掌握面面平行的
判定定理、性質定理 邏輯推理
2.會利用“線線平行”“線面平行”及“面面平
行”相互之間的轉化，來證明“線線平行”“線
面平行”及“面面平行”等問題 直觀想象
3.了解兩個平行平面間的距離的概念 數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　如圖，為了檢測桌面是否水平，工人師傅常將水平儀在桌面上交
叉放置兩次，如果水平儀的氣泡兩次都在中央，就能判斷桌面與地面
平行.
【問題】　為什么工人師傅只檢查兩次且交叉放置呢？
知識點一　兩個平面的位置關系
1. 兩個平面平行的定義
如果兩個平面沒有 ，那么稱這兩個平面互相平行.平面
α平行于平面β，記作α∥β.
公共點　
2. 兩個平面的位置關系
位置關系 兩平面平行 兩平面相交
公共點 公共點 有 條公共直線
符號表示 α β α β＝a
圖形表示
沒有　
一　
∥　
∩　
【想一想】
如果兩個平面（不重合）有一個公共點，那么這兩個平面是否相交？
提示：相交.由基本事實3可知這兩個平面相交，同時它們有且只有一
條過該點的公共直線.
知識點二　兩個平面平行的判定定理
文字語言 如果一個平面內的兩條 直線與另一個平
面 ，那么這兩個平面平行
符號語言 α∥β
圖形語言
相交　
平行　
提醒　判定平面α與平面β平行時，必須具備兩個條件：①平面α內
兩條相交直線a，b，即a α，b α，a∩b＝A；②兩條相交直
線a，b都與平面β平行，即a∥β，b∥β.
【想一想】
1. 如果一個平面內有兩條直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平
行.這種說法正確嗎？
提示：不正確.當兩條直線平行時，這兩個平面可以相交.
2. 如果一個平面內有無數條直線與另一個平面平行，那么這兩個平面
平行.這種說法正確嗎？
提示：不正確.當這些直線平行時，這兩個平面可以相交.
知識點三　兩個平面平行的性質定理
文字語言 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面
，那么兩條交線
符號語言 a∥b
圖形語言
相
交　
平行　
提醒　對兩平面平行性質定理的再理解：①用該定理判斷直線a與b
平行時，必須具備三個條件：（ⅰ）平面α和平面β平行，即α∥β；
（ⅱ）平面γ和α相交，即α∩γ＝a；（ⅲ）平面γ和β相交，即
β∩γ＝b.以上三個條件缺一不可；②在應用這個定理時，要防止出
現“兩個平面平行，則一個平面內的直線平行于另一個平面內的一切
直線”的錯誤.
【想一想】
1. 兩平行平面內的直線是否相互平行？
提示：不一定.已知兩個平面平行，顯然一個平面內的任何直線
都平行于另一個平面，但是這兩個平面內的所有直線并不一定
相互平行.它們可能是平行直線，也可能是異面直線，但不可能
是相交直線.
2. 平面平行有傳遞性嗎？
提示：有.若α，β，γ為三個不重合的平面，則α∥β，
β∥γ α∥γ.
知識點四　兩個平行平面間的距離
1. 兩個平行平面的公垂線和公垂線段
與兩個平行平面都 的直線，叫作這兩個平行平面的公垂
線，它夾在這兩個平行平面間的線段，叫作這兩個平行平面的公垂
線段.
2. 兩個平行平面間的距離
兩個平行平面的公垂線段的 叫作兩個平行平面間的距離.
提醒　兩個平行平面間的距離是分別位于兩個平面內的兩點間距離
的最小值，即當α∥β，M∈α，N∈β時，線段MN的最小值就
是平面α與β間的距離.
垂直　
長度　
1. 已知平面α內的兩條直線a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面
α∥平面β， 則直線a，b的位置關系是（　?。?br/>A. 相交 B. 平行
C. 異面 D. 垂直
解析： 　根據面面平行的判定定理可知a，b相交.
√
2. （多選）若平面α∥平面β，直線a α，直線b β，下列幾種
情形中可能出現的是（　?。?br/>A. a∥b B. a⊥b
C. a與b異面 D. a與b相交
解析： 　因為平面α∥平面β，直線a α，直線b β，所
以直線a與直線b無公共點.當直線a與直線b共面時，a∥b；當直
線a與直線b異面時，a與b的夾角大小可以是90°.綜上知，A、
B、C都有可能出現.故選A、B、C.
√
√
√
3. 已知夾在兩平行平面α，β之間的線段AB的長為6，AB與α所成
的角為60°，則α與β之間的距離為 .
解析：過B作BC⊥α于C（圖略），則∠BAC＝60°，在
Rt△ABC中，BC＝AB· sin 60°＝3 .
3 　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 平面與平面的位置關系
【例1】　平面α與平面β平行的條件可以是（　　）
A. α內有無窮多條直線與β平行
B. 直線a∥α，a∥β
C. 直線a α，直線b β，且a∥β，b∥α
D. α內的任何直線都與β平行
√
解析： 當α內有無窮多條直線與β平行時，α與β可能平行，也
可能相交，故不選A；當直線a∥α，a∥β時，α與β可能平行，也
可能相交，故不選B；直線a α，直線b β，且a∥β，b∥α
時，α與β可能平行，也可能相交，故不選C；當α內的任何直線都
與β平行時，由兩個平面平行的定義可得，這兩個平面平行，故選D.
通性通法
1. 解答此類題目，要抓住定義，仔細分析，把自然語言轉化為圖形語
言，根據所給的條件，搞清圖形間的相對位置是確定的還是可變
的，借助于空間想象能力，確定平面間的位置關系.
2. 在作圖時，利用正方體（或長方體）這個“百寶箱”能有效地判定
與兩個平面的位置關系有關的命題的真假.另外像判定直線與直
線、直線與平面的位置關系一樣，反證法也是判定兩個平面位置關
系的有效方法.
【跟蹤訓練】
如果在兩個平面內分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么這兩
個平面的位置關系一定是 .
解析：根據題意作圖，把文字語言轉化為圖形
語言，即可得出兩平面的位置關系.如圖所示.
平行或相交　
題型二 平面與平面平行的判定
【例2】?。ㄦ溄咏炭茣?89頁例1）如圖所示，在三棱柱ABC-
A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1C1，A1B1的中點，求
證：
（1）B1C1∥平面A1EF；
證明： ∵E，F分別是AB，AC的中點，
∴EF∥BC.
又在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥B1C1，
∴B1C1∥EF.
又B1C1 平面A1EF，EF 平面A1EF，
∴B1C1∥平面A1EF.
（2）平面A1EF∥平面BCGH.
證明： 由（1）知EF∥BC，EF 平面
BCGH，BC 平面BCGH，
∴EF∥平面BCGH.
又F，G分別為AC，A1C1的中點，
∴FC＝ AC，A1G＝ A1C1.
又AC∥A1C1，AC＝A1C1，
∴FC∥A1G，FC＝A1G.
∴四邊形FCGA1為平行四邊形.
∴A1F∥GC.
又A1F 平面BCGH，GC 平面BCGH，
∴A1F∥平面BCGH.
又A1F∩EF＝F，A1F，EF 平面A1EF，
∴平面A1EF∥平面BCGH.
通性通法
平面與平面平行的判定方法
（1）定義法：兩個平面沒有公共點（不易操作）；
（2）判定定理：一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平
面；
（3）轉化為線線平行：平面α內的兩條相交直線與平面β內的兩條
相交直線分別平行，則α∥β；
（4）利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
【跟蹤訓練】
如圖所示在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分別是
A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中點，求證：
（1）E，F，B，D四點共面；
證明： 如圖，連接B1D1.
∵E，F分別是B1C1和C1D1的中點，
∴EF∥B1D1.
又BD∥B1D1，
∴BD∥EF.
∴E，F，B，D四點共面.
（2）平面MAN∥平面EFDB.
證明： 由題意知MN∥B1D1，
B1D1∥BD，∴MN∥BD.
又MN 平面EFDB，BD 平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB，
連接MF，∵點M，F分別是A1B1與C1D1的中點，
∴MF AD.
∴四邊形ADFM是平行四邊形.∴AM∥DF.
∵AM 平面EFDB，DF 平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.
又AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.
題型三 面面平行的性質定理的應用
【例3】　如圖所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為梯
形，AD∥BC，平面A1DCE與B1B交于點E. 求證：EC∥A1D.
證明：因為BE∥AA1，AA1 平面AA1D，BE 平面AA1D，所以
BE∥平面AA1D.
因為BC∥AD，AD 平面AA1D，BC 平面AA1D，所以BC∥平面
AA1D.
又BE∩BC＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，所以平面BCE∥
平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，
所以EC∥A1D.
通性通法
1. 應用面面平行性質定理的基本步驟
2. 與平行的性質有關的計算的三個關鍵點
（1）根據已知的面面平行關系推出線線平行關系；
（2）在三角形內利用三角形的中位線性質、平行線分線段成比例
定理推出有關線段的關系；
（3）利用所得關系計算求值.
【跟蹤訓練】
如圖所示，已知α∥β，點P是平面α，β外的一點（不在α與β之
間），直線PB，PD分別與α，β相交于點A，B和C，D.
（1）求證：AC∥BD；
解： 證明：因為PB∩PD＝P，所以直線
PB和PD確定一個平面γ，則α∩γ＝AC，
β∩γ＝BD. 又α∥β，所以AC∥BD.
（2）已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的長.
解： 由（1）得AC∥BD，所以 ＝ ，
所以 ＝ ，
所以CD＝ （cm），所以PD＝PC＋CD＝ （cm）.
題型四 線線、線面、面面平行的綜合問題
【例4】　如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面
A1B1C1，若D是棱CC1的中點，在棱AB上是否存在一點E，使DE∥
平面AB1C1？證明你的結論.
解：當點E為棱AB的中點時，DE∥平面AB1C1.
證明如下：如圖所示，取BB1的中點F，連接EF，FD，DE，
∵D，E，F分別為CC1，AB，BB1的中點，
∴EF∥AB1，
∵AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1.同理可證FD∥平面AB1C1.
∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1.
∵DE 平面EFD，
∴DE∥平面AB1C1.
通性通法
空間中各種平行關系相互轉化的示意圖
提醒　判定是用低一級的平行關系證明高一級的平行關系；性質是用
高一級的平行關系推出低一級的平行關系.
【跟蹤訓練】
如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P
是DD1的中點，設Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，平面
D1BQ與平面PAO平行？
解：當Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO.
證明如下：如圖，連接BD，由題意可知，BD∩AC
＝O，O為BD的中點，又P為DD1的中點，∴OP∥
BD1，又BD1 平面PAO，PO 平面PAO，∴BD1∥
平面PAO，連接PC. ∵PD1 CQ，∴D1Q∥PC.
又PC 平面PAO，D1Q 平面PAO，∴D1Q∥平面PAO.
又D1Q∩BD1＝D1，D1Q，BD1 平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面
PAO.
1. 已知α，β是兩個不重合的平面，直線a α，命題p：a∥β，
命題q：α∥β，則p是q的（　?。?br/>A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
解析： 　a α，a∥β ，α，β可能相交，也可能平行；由面
面平行的定義可知，若α∥β且a α，則a∥β. 故p是q的必要
不充分條件.故選B.
√
2. （多選）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列直線或平面與平面
ACD1平行的有（　?。?br/>A. 直線A1B B. 直線BB1
C. 平面A1DC1 D. 平面A1BC1
√
√
解析： 如圖，對于A，由于A1B∥D1C，且
A1B 平面ACD1，可得直線A1B∥平面ACD1；對
于B，由于B1B∥D1D，且D1D∩平面ACD1＝
D1，可得直線B1B與平面ACD1不平行；對于C，
由于A1D與AD1相交，A1D 平面A1DC1，可得平面A1DC1與平面ACD1不平行；對于D，由于A1B∥D1C，C1B∥D1A，A1B 平面A1BC1，C1B 平面A1BC1，且A1B∩C1B＝B，可得平面A1BC1∥平面ACD1.故選A、D.
3. 設平面α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，直線AB與CD
交于點S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，當點S在平面α，β之間
時，CS＝ .
解析：如圖所示，由題意知，
△ASC∽△BSD，因為CD＝34，所以SD＝
34－CS. 由AS∶BS＝CS∶（34－CS）
知，8∶9＝CS∶（34－CS），所以CS＝16.
16　
4. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，E，F，G分別是PC，PD，BC的
中點，DC∥AB，求證：平面PAB∥平面EFG.
證明：∵E，G分別是PC，BC的中點，
∴EG∥PB，
又∵EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB.
∵E，F分別是PC，PD的中點，
∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，
∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
∴平面PAB∥平面EFG.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
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1. 兩個平行平面與另兩個平行平面相交所得的四條直線的位置關系是
（　?。?br/>A. 兩兩相互平行
B. 兩兩相交于同一點
C. 兩兩相交但不一定交于同一點
D. 兩兩相互平行或交于同一點
解析： 　根據平面與平面平行的性質可知，所得的四條直線兩兩
相互平行.故選A.
√
2. 經過平面α外兩點，作與α平行的平面，則這樣的平面可以作
（　?。?br/>A. 1個或2個 B. 0個或1個
C. 1個 D. 0個
解析： 　①當經過兩點的直線與平面α平行時，可作出一個平面
β使β∥α.②當經過兩點的直線與平面α相交時，由于作出的平
面與平面α至少有一個公共點，故經過兩點的平面都與平面α相
交，不能作出與平面α平行的平面.故滿足條件的平面有0個或1個.
√
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3. 如圖，設E，F，E1，F1分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，
CD，A1B1，C1D1的中點，則平面EFD1A1與平面BCF1E1的位置關
系是（　?。?br/>A. 平行 B. 相交但不垂直
C. 垂直 D. 不確定
√
解析： 　∵E1和F1分別是A1B1和D1C1的中點，∴A1D1∥E1F1.又
∵A1D1 平面BCF1E1，E1F1 平面BCF1E1，∴A1D1∥平面
BCF1E1.又∵E1和E分別是A1B1和AB的中點，∴A1E1∥BE，且
A1E1＝BE，∴四邊形A1EBE1是平行四邊形，∴A1E∥BE1.又
∵A1E 平面BCF1E1，BE1 平面BCF1E1，∴A1E∥平面
BCF1E1.∵A1E 平面EFD1A1，A1D1 平面EFD1A1，A1E∩A1D1
＝A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
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4. （2024·常州質檢）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，點
E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面
AA1B1B＝A1F，則AF的長為（　?。?br/>A. 1 B. 1.5
C. 2 D. 3
√
解析： 　平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B＝A1F，平
面BC1E∩平面AA1B1B＝BE，所以A1F∥BE，又A1E∥FB，所
以四邊形A1FBE為平行四邊形，所以FB＝A1E＝3－1＝2，所以
AF＝1.
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5. （多選）如圖為某一正方體的平面展開圖，在這個正方體中（　）
A. BM∥平面CN
B. CN∥平面AF
C. 平面BMD∥平面AFN
D. 平面BDE∥平面NCF
解析： 　將平面圖形折起，折成一個正方
體，其示意圖如圖所示，利用直線與平面、兩個
平面平行的判定定理可以證明B、C、D都正確.
故選B、C、D.
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6. （多選）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分別是
棱A1B1，B1C1，BB1的中點，則（　?。?br/>A. FG∥平面AA1D1D
B. EF∥平面BC1D1
C. FG∥平面BC1D1
D. 平面EFG∥平面BC1D1
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解析： 　對于A，連接AD1，∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
E，F，G分別是棱A1B1，B1C1，BB1的中點，
∴FG∥BC1.∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，又∵FG 平面
AA1D1D，AD1 平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正
確；對于B，連接A1C1，∵EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，
∴EF與平面BC1D1相交，故B錯誤；對于C，∵FG∥BC1，FG
平面BC1D1，BC1 平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故C正確；
對于D，∵EF與平面BC1D1相交，∴平面EFG與平面BC1D1相
交，故D錯誤.故選A、C.
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7. 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2.則平面
ADD1A1與平面BCC1B1之間的距離為 .
解析：如圖，在長方體中，易知平面ADD1A1∥
平面BCC1B1，所以所求距離為AB＝4.
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8. 如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，E，F，G，H分別為CC'，
C'D'，D'D，CD的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH內
運動，則M滿足 時，有MN∥平面B'BDD'.
在線段FH上移動　
解析：當點M在線段FH上移動時，有MH∥DD'，易知
HN∥BD，∴平面MNH∥平面B'BDD'.又MN 平面MNH，
∴MN∥平面B'BDD'.
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9. 如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，過BB1的中點E作一個與平
面ACB1平行的平面交AB于點M，交BC于點N，則 ＝ 　 　.
　
解析：由題意得平面MNE∥平面ACB1，因為平面BB1C1C∩平面
MEN＝EN，平面BB1C1C∩平面ACB1＝B1C，則由面面平行的性
質定理可得EN∥B1C，同理可得EM∥B1A. 又因為E為BB1的中
點，所以M，N分別為BA，BC的中點，所以MN＝ AC，即
＝ .
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10. 如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是平行四邊形，點G和點H分別是CE和CF的中點.證明：平面BDGH∥平面AEF.
證明：在△CEF中，因為G，H分別是CE，
CF的中點，
所以GH∥EF，
又因為GH 平面AEF，EF 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
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設AC∩BD＝O，連接OH，在△ACF中，因
為OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，
又因為OH 平面AEF，AF 平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
又因為OH∩GH＝H，OH，GH 平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
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11. （2024·鹽城月考）已知m，n，l1，l2表示直線，α，β表示平
面.若m α，n α，l1 β，l2 β，l1∩l2＝M，則α∥β的
一個充分條件是（　?。?br/>A. m∥β且l1∥α B. m∥β且n∥β
C. m∥β且n∥l2 D. m∥l1且n∥l2
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解析： 　對于A，若m∥β且l1∥α，則α，β可能相交，故A
錯誤；對于B，若m∥β且n∥β，要得出α∥β，必須滿足m，
n相交，故B錯誤；對于C，若m∥β且n∥l2，要得出α∥β，必
須滿足m，n相交，故C錯誤；對于D，由定理“如果一個平面內
的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行”，由
選項D可以推出α∥β，故D正確.
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12. （多選）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知點G，H分別在
A1B1，A1C1上，且GH經過△A1B1C1的重心，點E，F分別是
AB，AC的中點，且平面A1EF∥平面BCHG，則下列結論正確的
是（　?。?br/>A. EF∥GH
B. GH∥平面A1EF
C. ＝
D. 平面A1EF∥平面BCC1B1
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解析： 　由E，F分別是AB，AC的中點可知EF∥BC，
＝ .在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1B1C1∥平面ABC，由兩個
平面平行的性質可得GH∥BC，而GH經過△A1B1C1的重心，所
以 ＝ ，所以 ＝ ，且EF∥GH，GH 平面A1EF，EF 平
面A1EF，所以GH∥平面A1EF. 因為A1B1∥BE且BE＜A1B1，
所以直線A1E與BB1有交點，所以平面A1EF與平面BCC1B1相交.
故A、B、C正確，D錯誤.
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13. 如圖，P是△ABC所在平面外一點，A'，B'，C'分別是△PBC，
△PAC，△PAB的重心，則平面A'B'C'與平面ABC的位置關系
為 .
平行　
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解析：如圖，連接PA'，PC'并延長，分別交BC，
AB于點M，N，連接MN. ∵A'，C'分別是
△PBC，△PAB的重心，∴PA'＝ PM，PC'＝
PN，∴A'C'∥MN. ∵MN 平面ABC，A'C' 平
面ABC，∴A'C'∥平面ABC. 同理，A'B'∥平面
ABC. 又A'C'∩A'B'＝A'，A'C'，A'B' 平面
A'B'C'，∴平面A'B'C'∥平面ABC.
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14. 如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
（1）證明：平面A1BD∥平面CD1B1；
證明： 由題設知BB1 DD1，所以
四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以
BD∥B1D1.
又BD 平面CD1B1，B1D1 平面
CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因為A1D1 B1C1 BC，
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所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，
所以A1B∥D1C.
又A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因為BD∩A1B＝B，BD，A1B 平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
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（2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，證明：B1D1∥l.
證明： 由（1）知平面A1BD∥平
面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，
平面ABCD∩平面A1BD＝直線BD，
所以直線l∥直線BD，
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形
BDD1B1為平行四邊形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
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15. （2024·淮安模擬）如圖，在矩形ABCD和矩形
ABEF中，AF＝AD，AM＝DN，矩形ABEF
可沿AB任意翻折.
（1）求證：當F，A，D不共線時，線段MN總平行于平面FAD；
解： 證明：在平面圖形中，設MN與AB交于點G.由于四邊形ABCD和四邊形ABEF都是矩形且AD＝AF，因此有AD∥BE且AD＝BE，∴四邊形ADBE是平行四邊形，∴AE∥DB. 又∵AM＝DN，∴四邊形ADNM為平行四邊形，∴MN∥AD.
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折疊之后，MG∥AF，NG∥AD，MG∩NG＝G，AD∩AF＝A，示意圖如圖①，∴平面FAD∥平面GNM.
又∵MN 平面GNM，∴MN∥平面FAD. ∴當F，A，D不共線時，線段MN總平行于平面FAD.
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（2）“不管怎樣翻折矩形ABEF，線段MN總與線段FD平行”這
個結論正確嗎？如果正確，請證明；如果不正確，請說明能
否改變個別已知條件使上述結論成立，并給出理由.
解： 這個結論不正確.
要使結論成立，M，N應分別為AE和DB的中點.理由如下：
當F，A，D共線時，由平面圖形，易證得FD∥MN.
折疊后，當F，A，D不共線時，由（1）知平面MNG∥平
面FDA，可知要使MN∥FD總成立，根據面面平行的性質
定理，只要FD與MN共面即可.
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若要使FD與MN共面，連接FM，只要FM與DN相交即可.由平面圖形知，若要DN和FM共面，則DN與FM相交于點B（M，N分別為AE，DB的中點才能實現），折疊后的圖形如圖②.
∵FM∩DN＝B，∴可知它們確定一個平面，即F，D，
N，M四點共面.
又∵平面FDNM∩平面MNG＝MN，平面FDNM∩平面FDA＝FD，
平面MNG∥平面FAD，∴MN∥FD.
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