資源簡介

第2課時　兩平面垂直
1.設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面.下列命題中正確的是（　　）
A.若m⊥n，n∥α，則m⊥α
B.若m∥β，β⊥α，則m⊥α
C.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α
D.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α
2.若一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，那么這兩個二面角（　　）
A.相等 B.互補
C.相等或互補 D.關系無法確定
3.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點C1在底面ABC上的射影點H必在（　　）
A.直線AB上 B.直線BC上
C.直線AC上 D.△ABC內部
4.如圖，三棱臺ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，則二面角A-BB1-C的大小是（　　）
A.90°　　　　　　　　 B.60°
C.45° D.30°
5.（多選）已知α，β是兩個不同的平面，l是一條直線，則下列命題中正確的是（　　）
A.若α∥β，l∥β，則l∥α
B.若l⊥α，l⊥β，則α∥β
C.若l⊥α，l∥β，則α⊥β
D.若α⊥β，l∥β，則l⊥α
6.（多選）如圖，在正四面體A-BCD中，E，F，G分別是BC，CD，DB的中點，下面四個結論中正確的是（　　）
A.BC∥平面AGF B.EG⊥平面ABF
C.平面AEF⊥平面ACD D.平面ABF⊥平面BCD
7.如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B-PA-C的大小為　　　　.
8.（2024·徐州月考）如圖，A，B，C，D為空間四點，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等邊三角形ADB以AB為軸運動.當平面ADB⊥平面ABC時，CD＝　　　　.
9.如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α，β所成的角分別為和.過A，B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A'，B'，則＝　　　　.
10.（2024·宿遷月考）如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四邊形ABB1A1和四邊形ADD1A1均為正方形.
（1）求證：平面ABB1A1⊥平面ABCD；
（2）求二面角B1-CD-A的余弦值.
11.如圖所示，三棱錐P-ABC的底面在平面α內，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，點P，A，B是定點，則動點C的軌跡是（　　）
A.一條線段　　　 B.一條直線
C.一個圓 D.一個圓，但要去掉兩個點
12.如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結論中正確的是（　　）
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直線BC∥平面PAE
D.直線PD與平面ABC所成的角為45°
13.如圖所示，在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為DC的中點，F為線段EC（端點除外）上一動點.現將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內過點D作DK⊥AB，K為垂足.設AK＝t，則t的取值范圍是　　　　　.
14.如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，點E為垂足.
（1）求證：PA⊥平面ABC；
（2）當點E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形.
15.（2024·鎮江質檢）如圖①，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M為CD上一點，且CM＝2MD.將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如圖②，E是線段AM的中點.
（1）求證：平面BDE⊥平面ABCM；
（2）過B點是否存在一條直線l，同時滿足以下兩個條件；
（ⅰ）l 平面ABCM；（ⅱ）l⊥AD？請說明理由.
第2課時　兩平面垂直
1.C　A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α、m與α相交或m α，故A錯誤；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α、m與α相交或m α，故B錯誤；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故C正確；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α、m與α相交或m α，故D錯誤.故選C.
2.D　如圖所示，平面EFDG⊥平面ABC，當平面HDG繞DG轉動時，平面HDG始終與平面BCD垂直，因為二面角H-DG-F的大小不確定，所以兩個二面角的大小關系不確定.
3.A　連接AC1（圖略）.∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1 平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC 平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴點C1在平面ABC上的射影點H必在平面ABC1與平面ABC的交線AB上，故選A.
4.B　在三棱臺ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，則BC⊥BB1.又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面ABC.所以∠ABC為二面角A-BB1-C的平面角.因為△ABC為等邊三角形，所以∠ABC＝60°.故選B.
5.BC　對于A，若α∥β，l∥β，則l∥α或l α，故A不正確；對于B，若l⊥α，l⊥β，則α∥β，故B正確；對于C，如圖，若l⊥α，l∥β，過l的平面γ與β相交，設交線為m，∵l∥β，l γ，β∩γ＝m，則l∥m，∵l⊥α，則m⊥α，∵m β，故α⊥β，故C正確；對于D，若α⊥β，l∥β，則l與α不一定垂直，故D不正確.故選B、C.
6.ABD　∵F，G分別是CD，DB的中點，∴GF∥BC，則BC∥平面AGF，故A正確；∵E，F，G分別是BC，CD，DB的中點，∴CD⊥AF，CD⊥BF，即CD⊥平面ABF，∵EG∥CD，∴EG⊥平面ABF，故B正確；∵CD⊥平面ABF，CD 平面BCD，∴平面ABF⊥平面BCD，故D正確；對于選項C，假設平面AEF⊥平面ACD，由平面AEF∩平面ACD＝AF，CD 平面ACD，CD⊥AF，∴CD⊥平面AEF，CD⊥EF，與CD，EF夾角為60°矛盾，故C錯誤.故選A、B、D.
7.90°　解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC就是二面角B-PA-C的平面角，又∠BAC＝90°，∴二面角B-PA-C的大小為90°.
8.2　解析：如圖，取AB的中點E，連接DE，CE.因為△ADB是等邊三角形，所以DE⊥AB.當平面ADB⊥平面ABC時，因為平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC.所以DE⊥CE.由已知可得DE＝，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝＝2.
9.2　解析：由已知條件可知∠BAB'＝，∠ABA'＝，設AB＝2a，則BB'＝2asin＝a，A'B＝2acos＝a，∴在Rt△BB'A'中，得A'B'＝a，∴AB∶A'B'＝2.
10.解：（1）證明：因為四邊形ABB1A1和四邊形ADD1A1均為正方形，
所以AA1⊥AD，AA1⊥AB.
又AD∩AB＝A，AD，AB 平面ABCD，
所以AA1⊥平面ABCD.
因為AA1 平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面ABCD.
（2）過點B作BH⊥CD于點H，連接B1H（圖略）.
由（1）知BB1⊥平面ABCD，則BB1⊥CD，
又BH∩BB1＝B，BH，BB1 平面BB1H，
所以CD⊥平面BB1H，所以B1H⊥CD，
所以∠BHB1為二面角B1-CD-A的平面角.
由等面積法可得 BH＝1×2，即BH＝，
所以B1H＝＝，
故cos∠BHB1＝＝.
11.D　因為平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC 平面PAC，所以AC⊥平面PBC.又因為BC 平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.所以動點C的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A和B兩點.故選D.
12.D　若PB⊥AD，則AD⊥AB，但AD與AB成60°角，A錯誤；平面PAB與平面ABD垂直，所以平面PAB一定不與平面PBC垂直，B錯誤；BC與AE是相交直線，所以BC一定不與平面PAE平行，C錯誤；直線PD與平面ABC所成角為∠PDA，在Rt△PAD中，AD＝PA，∴∠PDA＝45°，D正確.
13.　解析：如圖所示，過D作DG⊥AF，垂足為G，連接GK，∵平面ABD⊥平面ABC，DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.又DG⊥AF，∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.容易得到，當F接近E點時，K接近AB的中點，當F接近C點時，K接近靠近A的AB的四等分點.∴t的取值范圍是.
14.證明：（1）如圖，在平面ABC內取一點D，作DF⊥AC于點F.
∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，
∴DF⊥平面PAC.
∵PA 平面PAC，∴DF⊥PA.
作DG⊥AB于點G，同理可證DG⊥PA.
∵DG，DF都在平面ABC內，且DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC.
（2）如圖，連接BE并延長交PC于點H.
∵點E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.
又AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，∴PC⊥AE.
∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.
又AB 平面ABE，∴PC⊥AB.
由（1）知PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，PA，PC 平面PAC，∴AB⊥平面PAC.
又AC 平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.
15.解：（1）證明：由已知DA＝DM，E是AM的中點，
∴DE⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，DE 平面ADM，∴DE⊥平面ABCM.
∵DE 平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCM.
（2）過B點存在一條直線l，同時滿足以下兩個條件：
（ⅰ）l 平面ABCM；（ⅱ）l⊥AD.理由：
在平面ABCM中，過點B作直線l，使l⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM＝AM，l 平面ABCM，∴l⊥平面ADM.
∵AD 平面ADM，∴l⊥AD.
故存在滿足題意的直線l.
3 / 3第2課時　兩平面垂直
新課程標準解讀 核心素養
1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，會求簡單的二面角的平面角 直觀想象、數學運算
2.掌握兩個平面互相垂直的概念，能用定義和定理判定面面垂直 邏輯推理
3.掌握面面垂直的性質定理，并能利用面面垂直的性質定理證明一些簡單的問題 邏輯推理
　　如圖所示，筆記本電腦在打開的過程中，會給人以面面“夾角”變大的感覺.
【問題】　如何用數學語言刻畫兩個平面所形成的這種“角”呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　二面角的概念
1.半平面：平面內的一條直線把這個平面分成　　　　，其中的每一部分都叫作　　　　.
2.二面角：一條直線和由這條直線出發的　　　　　　所組成的圖形叫作二面角，這條直線叫作二面角的棱，每個半平面叫作二面角的面.如圖①，②中，棱為l或AB，面為α，β，記作二面角α-l-β（α-AB-β）或P-l-Q（P-AB-Q）（P，Q分別為在α，β內且不在棱上的點）.
3.二面角的平面角
定義 一般地，以二面角的棱上　　　　　　為端點，在兩個面內分別作垂直于　　的射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角
圖示
符號 OA α，OB β，　　　　　　，O∈l，　　　　，OB⊥l ∠AOB是二面角的平面角
范圍 [0°，180°]
規定 二面角的大小可以用它的　　　　來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.平面角是　　　　的二面角叫作直二面角
【想一想】
　二面角與平面幾何中的角有什么區別？
知識點二　平面與平面垂直的判定定理
1.平面與平面垂直的定義：一般地，如果兩個平面所成的二面角是　　　　　　，那么就說這兩個平面　　　　　　.
2.平面垂直的畫法：兩個互相垂直的平面通常畫成如圖①，②所示.
此時，把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直，平面α與β垂直，記作　　　　.
3.平面與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直
圖形語言
符號語言 l⊥α，l β α⊥β
提醒　判定定理的關鍵詞是“過另一個平面的垂線”，所以應用的關鍵是在平面內尋找另一個面的垂線.知識點三　平面與平面垂直的性質定理
文字語言 兩個平面　　　　，如果一個　　　　有一條直線垂直于這兩個平面的　　，那么這條直線與另一個平面　　　　
圖形語言
符號語言 α⊥β，α∩β＝l，a α，　　　　 a⊥β
提醒　對面面垂直的性質定理的再理解：①定理成立的條件有三個：（ⅰ）兩個平面互相垂直；（ⅱ）直線在其中一個平面內；（ⅲ）直線與兩平面的交線垂直；②定理的實質是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直；③已知面面垂直時，可以利用此定理轉化為線面垂直，再轉化為線線垂直.
【想一想】
如果兩個平面垂直，那么垂直于交線的直線必垂直于其中一個平面.這種說法正確嗎？
1.在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，則必須具有的條件是（　　）
A.AO⊥BO，AO α，BO β
B.AO⊥l，BO⊥l
C.AB⊥l，AO α，BO β
D.AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
2.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則（　　）
A.α∥γ
B.α⊥γ
C.α與γ相交但不垂直
D.以上都有可能
3.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1所有經過四個頂點的平面中，垂直于平面ABC1D1的平面有　　　　.
題型一 求二面角的大小
【例1】　（鏈接教科書第192頁例3）如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
（1）求二面角A-PD-C的大小；
（2）求二面角B-PA-C的大小.
通性通法
求二面角大小的步驟
　　簡稱為“一作二證三求”.
提醒　作平面角時，要清楚二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關，通常可根據需要，選擇特殊點做平面角的頂點.
【跟蹤訓練】
1.（2024·無錫質檢）在正四面體A-BCD中，二面角A-CD-B的平面角的余弦值為（　　）
A.　 　B.　 　C. 　　D.
2.（多選）從空間一點P向二面角α-l-β的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E，F為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角α-l-β的平面角的大小可能是（　　）
A.30° B.60°
C.90° D.120°
題型二 平面與平面垂直的判定定理的應用
【例2】　（鏈接教科書第193頁例4）如圖所示，在四面體A-BCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求證：平面ABC⊥平面SBC.
通性通法
證明面面垂直常用的方法
（1）定義法：即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理法：在其中一個平面內尋找一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉化為“線面垂直”；
（3）性質法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面.
【跟蹤訓練】
如圖所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AA1＝2AC，D是棱AA1的中點.求證：平面BDC1⊥平面BDC.
題型三 平面與平面垂直的性質定理的應用
【例3】　如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是邊長為a的菱形，且∠DAB＝60°.側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點.
（1）求證：BG⊥平面PAD；
（2）求證：AD⊥PB.
通性通法
1.在應用面面垂直的性質定理時，若沒有與交線垂直的直線，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內一點作交線的垂線，這樣就把面面垂直轉化為線面垂直，進而轉化為線線垂直.
2.面面垂直的性質定理等價于：如果兩個平面互相垂直，則過一個平面內一點垂直于另一個平面的直線在這個平面內.
【跟蹤訓練】
如圖所示，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD.則AE　　　　平面BCD.
1.在正方體ABCD-A'B'C'D'中，二面角D'-AB-C的大小是（　　）
A.30°　　B.45°　　C.60°　　D.90°
2.（多選）已知P是△ABC所在平面外一點，PA⊥AB， PA⊥AC， AB⊥AC，則下列關系中正確的有（　　）
A.平面PAB⊥平面ABC B.平面PAC⊥平面ABC
C.平面PAB⊥平面PAC D.平面PBC⊥平面ABC
3.如圖所示，平面α⊥平面β，在α與β交線上取線段AB＝4，AC，BD分別在平面α和β內，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝3，BD＝12，則CD＝　　　　.
4.如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，直線SC⊥平面ABCD，E是SA的中點，求證：平面EDB⊥平面ABCD.
第2課時　兩平面垂直
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.兩部分　半平面　2.兩個半平面　
3.任意一點　棱　α∩β＝l　OA⊥l　平面角　直角
想一想
　提示：平面幾何中的角是從一點出發的兩條射線組成的圖形；二面角是從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形.
知識點二
1.直二面角　互相垂直　2.α⊥β
知識點三
　垂直　平面內　交線　垂直　a⊥l
想一想
　提示：不正確.當垂直于交線的直線不落在兩個互相垂直平面其中之一時，該直線可能與兩個平面都不垂直.
自我診斷
1.D
2.D　在正方體中，相鄰兩側面都與底面垂直；相對的兩側面都與底面垂直；一側面和一對角面都與底面垂直，故選D.
3.平面A1B1CD，平面BCC1B1，平面ADD1A1　解析：連接B1C，A1D（圖略），在正方體ABCD-A1B1C1D1中有AB⊥平面BCC1B1，又AB 平面ABC1D1，所以平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，同理有平面ABC1D1⊥平面ADD1A1，又BC1⊥B1C，BC1 平面ABC1D1，B1C 平面A1B1CD，所以平面ABC1D1⊥平面A1B1CD.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又四邊形ABCD為正方形，
∴CD⊥AD.
∵PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，∴CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A-PD-C的大小為90°.
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角.
又四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC＝45°.
即二面角B-PA-C的大小為45°.
跟蹤訓練
1.B　由A-BCD為正四面體，取CD的中點E，連接AE，BE（如圖），則AE⊥CD，BE⊥CD，AE∩BE＝E，∴CD⊥平面ABE，∠AEB為二面角A-CD-B的平面角，設正四面體的棱長為1，則AE＝BE＝，AB＝1，在△ABE中，作AH⊥BE于H，則cos∠AEB＝，由AB2－BH2＝AE2－HE2且BH＝BE－HE，可得HE＝，∴cos∠AEB＝.故選B.
2.BD　如圖所示，過PE，PF作一個平面γ與二面角α-l-β的棱l交于點O，連接OE，OF.因為PE⊥α，PF⊥β，所以PE⊥l，PF⊥l，又PE∩PF＝P，所以l⊥平面γ，所以l⊥OE，l⊥OF，則∠EOF為二面角α-l-β的平面角，它與∠EPF相等或互補，故二面角α-l-β的平面角的大小為60°或120°，故選B、D.
【例2】　證明：法一（利用定義證明）　因為∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等邊三角形，
則有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值為a，
則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形.
取BC的中點D，如圖所示，
連接AD，SD，則AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS為二面角A-BC-S的平面角.
在Rt△BSC中，因為SB＝SC＝a，
所以SD＝a，BD＝＝a.
在Rt△ABD中，AD＝a，
在△ADS中，因為SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S為直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
法二（利用判定定理）　因為SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以點A在平面SBC上的射影為△SBC的外心.
因為△SBC為直角三角形，
所以點A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點，
所以AD⊥平面SBC.
又因為AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
跟蹤訓練
　證明：由題設知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，CC1，AC 平面ACC1A1，
∴BC⊥平面ACC1A1.
又∵DC1 平面ACC1A1，∴DC1⊥BC.
由題設知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，
∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.
又∵DC∩BC＝C，DC，BC 平面BDC，
∴DC1⊥平面BDC，
∵DC1 平面BDC1，
∴平面BDC1⊥平面BDC.
【例3】　證明：（1）連接PG（圖略），∵△PAD為正三角形，且點G為AD邊的中點，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD且交線為AD，PG 平面PAD，∴PG⊥平面ABCD.
∵BG 平面ABCD，∴PG⊥BG.
又四邊形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，連接BD（圖略），則△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，且AD 平面PAD，PG 平面PAD，∴BG⊥平面PAD.
（2）由（1）可知BG⊥AD，PG⊥AD.
又BG，PG為平面PBG內兩條相交直線，∴AD⊥平面PBG.
∵PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
跟蹤訓練
　平行　解析：如圖所示，取BC的中點M，連接DM，因為BD＝CD，所以DM⊥BC.又因為平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.又因為AE 平面BCD，DM 平面BCD，所以AE∥平面BCD.
隨堂檢測
1.B　如圖，連接AD'，則∠DAD'即為二面角D'-AB-C的平面角.故選B.
2.ABC　對于A，因為PA⊥AB，PA⊥AC， AB∩AC＝A，又AB 平面ABC，AC 平面ABC，所以PA⊥平面ABC，又PA 平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，故A正確；對于B，PA⊥平面ABC，又PA 平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC，故B正確；對于C，因為AB⊥PA，AB⊥AC， PA∩AC＝A，又PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以AB⊥平面PAC，又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC，故C正確；對于D，假設平面PBC⊥平面ABC，過點P作平面ABC的垂線，垂足為D，則D∈BC，又PA⊥平面ABC，所以點A與點D重合，則A，B，C三點共線，與△ABC矛盾，故D錯誤.故選A、B、C.
3.13　解析：連接BC.如圖所示.因為BD⊥AB，α⊥β，α∩β＝AB，所以BD⊥α.因為BC α，所以BD⊥BC，所以△CBD是直角三角形.在Rt△BAC中，BC＝＝5.在Rt△CBD中，CD＝＝13.
4.證明：如圖所示，連接AC交BD于點F，連接EF， 所以EF是△SAC的中位線，所以EF∥SC.
因為SC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD.
又EF 平面EDB，所以平面EDB⊥平面ABCD.
5 / 5(共70張PPT)
第2課時　兩平面垂直
新課程標準解讀 核心素養
1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的
平面角的一般作法，會求簡單的二面角的平面角 直觀想象、
數學運算
2.掌握兩個平面互相垂直的概念，能用定義和定
理判定面面垂直 邏輯推理
3.掌握面面垂直的性質定理，并能利用面面垂直
的性質定理證明一些簡單的問題 邏輯推理
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　如圖所示，筆記本電腦在打開的過程中，會給人以面面“夾角”
變大的感覺.
【問題】　如何用數學語言刻畫兩個平面所形成的這種“角”呢？
知識點一　二面角的概念
1. 半平面：平面內的一條直線把這個平面分成 ，其中的每
一部分都叫作 .
2. 二面角：一條直線和由這條直線出發的 所組成的圖
形叫作二面角，這條直線叫作二面角的棱，每個半平面叫作二面角
的面.如圖①，②中，棱為l或AB，面為α，β，記作二面角α-l-
β（α-AB-β）或P-l-Q（P-AB-Q）（P，Q分別為在α，β內
且不在棱上的點）.
兩部分　
半平面　
兩個半平面　
3. 二面角的平面角
定
義 一般地，以二面角的棱上 為端點，在兩個面內分別
作垂直于 的射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面
角
圖
示
任意一點　
棱　
符
號 OA α，OB β， ，O∈l， ，
OB⊥l ∠AOB是二面角的平面角
范
圍 [0°，180°]
規
定 二面角的大小可以用它的 來度量，二面角的平面角是
多少度，就說這個二面角是多少度.平面角是 的二面角
叫作直二面角
α∩β＝l　
OA⊥l　
平面角　
直角　
【想一想】
　二面角與平面幾何中的角有什么區別？
提示：平面幾何中的角是從一點出發的兩條射線組成的圖形；二面角
是從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形.
知識點二　平面與平面垂直的判定定理
1. 平面與平面垂直的定義：一般地，如果兩個平面所成的二面角
是 ，那么就說這兩個平面 .
2. 平面垂直的畫法：兩個互相垂直的平面通常畫成如圖①，②所示.
此時，把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直，平面α與β
垂直，記作 .
直二面角　
互相垂直　
α⊥β　
3. 平面與平面垂直的判定定理
文字
語言 如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直
圖形
語言
符號
語言 l⊥α，l β α⊥β
提醒　判定定理的關鍵詞是“過另一個平面的垂線”，所以應用的
關鍵是在平面內尋找另一個面的垂線.
知識點三　平面與平面垂直的性質定理
文字語言 兩個平面 ，如果一個 有一條直線垂
直于這兩個平面的 ，那么這條直線與另一個平
面
圖形語言
符號語言 α⊥β，α∩β＝l，a α， a⊥β
垂直　
平面內　
交線　
垂直　
a⊥l　
提醒　對面面垂直的性質定理的再理解：①定理成立的條件有三個：
（ⅰ）兩個平面互相垂直；（ⅱ）直線在其中一個平面內；（ⅲ）直線
與兩平面的交線垂直；②定理的實質是由面面垂直得線面垂直，故可
用來證明線面垂直；③已知面面垂直時，可以利用此定理轉化為線面
垂直，再轉化為線線垂直.
【想一想】
如果兩個平面垂直，那么垂直于交線的直線必垂直于其中一個平面.
這種說法正確嗎？
提示：不正確.當垂直于交線的直線不落在兩個互相垂直平面其中之
一時，該直線可能與兩個平面都不垂直.
1. 在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，若∠AOB是二面角α-l-β
的平面角，則必須具有的條件是（　　）
A. AO⊥BO，AO α，BO β
B. AO⊥l，BO⊥l
C. AB⊥l，AO α，BO β
D. AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
√
2. 若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則（　　）
A. α∥γ
B. α⊥γ
C. α與γ相交但不垂直
D. 以上都有可能
解析： 　在正方體中，相鄰兩側面都與底面垂直；相對的兩側面
都與底面垂直；一側面和一對角面都與底面垂直，故選D.
√
3. 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1所有經過四個頂點的平面中，垂
直于平面ABC1D1的平面有
.
平面A1B1CD，平面BCC1B1，平面
ADD1A1　
解析：連接B1C，A1D（圖略），在正方體ABCD-A1B1C1D1中有
AB⊥平面BCC1B1，又AB 平面ABC1D1，所以平面ABC1D1⊥平
面BCC1B1，同理有平面ABC1D1⊥平面ADD1A1，又BC1⊥B1C，
BC1 平面ABC1D1，B1C 平面A1B1CD，所以平面ABC1D1⊥平
面A1B1CD.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 求二面角的大小
【例1】　（鏈接教科書第192頁例3）如圖，四邊形ABCD是正方
形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
（1）求二面角A-PD-C的大小；
解： ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又四邊形ABCD為正方形，∴CD⊥AD.
∵PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A-PD-C的大小為90°.
（2）求二面角B-PA-C的大小.
解： ∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，
AC⊥PA.
∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角.
又四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC＝45°.
即二面角B-PA-C的大小為45°.
通性通法
求二面角大小的步驟
　　簡稱為“一作二證三求”.
提醒　作平面角時，要清楚二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位
置無關，通常可根據需要，選擇特殊點做平面角的頂點.
【跟蹤訓練】
1. （2024·無錫質檢）在正四面體A-BCD中，二面角A-CD-B的平面
角的余弦值為（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　由A-BCD為正四面體，取CD的中
點E，連接AE，BE（如圖），則AE⊥CD，
BE⊥CD，AE∩BE＝E，∴CD⊥平面
ABE，∠AEB為二面角A-CD-B的平面角，設
正四面體的棱長為1，則AE＝BE＝ ，AB＝1，在△ABE中，作AH⊥BE于H，則 cos ∠AEB＝ ，由AB2－BH2＝AE2－HE2且BH＝BE－HE，可得HE＝ ，∴ cos ∠AEB＝ .故選B.
2. （多選）從空間一點P向二面角α-l-β的兩個面α，β分別作垂
線PE，PF，E，F為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角α-l-β的
平面角的大小可能是（　　）
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
√
√
解析： 　如圖所示，過PE，
PF作一個平面γ與二面角α-l-β
的棱l交于點O，連接OE，OF.
因為PE⊥α，PF⊥β，所以
PE⊥l，PF⊥l，又PE∩PF＝P，所以l⊥平面γ，所以l⊥OE，l⊥OF，則∠EOF為二面角α-l-β的平面角，它與
∠EPF相等或互補，故二面角α-l-β的平面角的大小為60°或
120°，故選B、D.
題型二 平面與平面垂直的判定定理的應用
【例2】　（鏈接教科書第193頁例4）如圖所示，在四面體A-BCS
中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.
求證：平面ABC⊥平面SBC.
證明：法一（利用定義證明）　因為∠BSA＝∠CSA
＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等邊三角形，
則有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值為a，
則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形.
取BC的中點D，如圖所示，
連接AD，SD，則AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS為二面角A-BC-S的平面角.
在Rt△BSC中，因為SB＝SC＝a，
所以SD＝ a，BD＝ ＝ a.
在Rt△ABD中，AD＝ a，
在△ADS中，因為SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S為直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
法二（利用判定定理）　因為SA＝SB＝SC，且
∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以點A在平面SBC上的射影為△SBC的外心.
因為△SBC為直角三角形，
所以點A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點，
所以AD⊥平面SBC.
又因為AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
通性通法
證明面面垂直常用的方法
（1）定義法：即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理法：在其中一個平面內尋找一條直線與另一個平面垂
直，即把問題轉化為“線面垂直”；
（3）性質法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個
也垂直于此平面.
【跟蹤訓練】
如圖所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱垂直于底面，∠ACB＝
90°，AA1＝2AC，D是棱AA1的中點.求證：平面BDC1⊥平面BDC.
證明：由題設知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，CC1，AC
平面ACC1A1，
∴BC⊥平面ACC1A1.
又∵DC1 平面ACC1A1，∴DC1⊥BC.
由題設知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，
∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.
又∵DC∩BC＝C，DC，BC 平面BDC，
∴DC1⊥平面BDC，
∵DC1 平面BDC1，
∴平面BDC1⊥平面BDC.
題型三 平面與平面垂直的性質定理的應用
【例3】　如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是邊長為a
的菱形，且∠DAB＝60°.側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于
底面ABCD，G為AD邊的中點.
（1）求證：BG⊥平面PAD；
證明： 連接PG（圖略），∵△PAD為正三角
形，且點G為AD邊的中點，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD且交線為AD，PG 平面
PAD，∴PG⊥平面ABCD.
∵BG 平面ABCD，∴PG⊥BG.
又四邊形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，連接
BD（圖略），則△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，且AD 平面PAD，PG 平面
PAD，∴BG⊥平面PAD.
（2）求證：AD⊥PB.
證明： 由（1）可知BG⊥AD，PG⊥AD.
又BG，PG為平面PBG內兩條相交直線，∴AD⊥
平面PBG.
∵PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
通性通法
1. 在應用面面垂直的性質定理時，若沒有與交線垂直的直線，一般需
作輔助線，基本作法是過其中一個平面內一點作交線的垂線，這樣
就把面面垂直轉化為線面垂直，進而轉化為線線垂直.
2. 面面垂直的性質定理等價于：如果兩個平面互相垂直，則過一個平
面內一點垂直于另一個平面的直線在這個平面內.
【跟蹤訓練】
如圖所示，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD. 則AE 平面BCD.
平行　
解析：如圖所示，取BC的中點M，連接DM，因為BD
＝CD，所以DM⊥BC. 又因為平面BCD⊥平面ABC，
平面BCD∩平面ABC＝BC，所以DM⊥平面ABC，又
AE⊥平面ABC，所以AE∥DM. 又因為AE 平面
BCD，DM 平面BCD，所以AE∥平面BCD.
1. 在正方體ABCD-A'B'C'D'中，二面角D'-AB-C的大小是（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： 　如圖，連接AD'，則∠DAD'即為二面角
D'-AB-C的平面角.故選B.
√
2. （多選）已知P是△ABC所在平面外一點，PA⊥AB， PA⊥AC，
AB⊥AC，則下列關系中正確的有（　　）
A. 平面PAB⊥平面ABC
B. 平面PAC⊥平面ABC
C. 平面PAB⊥平面PAC
D. 平面PBC⊥平面ABC
√
√
√
解析： 　對于A，因為PA⊥AB，PA⊥AC， AB∩AC＝A，
又AB 平面ABC，AC 平面ABC，所以PA⊥平面ABC，又
PA 平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，故A正確；對于B，
PA⊥平面ABC，又PA 平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC，故
B正確；對于C，因為AB⊥PA，AB⊥AC， PA∩AC＝A，又
PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以AB⊥平面PAC，又AB 平
面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC，故C正確；對于D，假設平面
PBC⊥平面ABC，過點P作平面ABC的垂線，垂足為D，則
D∈BC，又PA⊥平面ABC，所以點A與點D重合，則A，B，C
三點共線，與△ABC矛盾，故D錯誤.故選A、B、C.
3. 如圖所示，平面α⊥平面β，在α與β交線上取線段AB＝4，AC，BD分別在平面α和β內，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝3，BD＝12，則CD＝ .
13　
解析：連接BC. 如圖所示.因為BD⊥AB，α⊥β，
α∩β＝AB，所以BD⊥α.因為BC α，所以
BD⊥BC，所以△CBD是直角三角形.在Rt△BAC
中，BC＝ ＝5.在Rt△CBD中，CD＝
＝13.
4. 如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，直線SC⊥平面ABCD，E是SA的中點，求證：平面EDB⊥平面ABCD.
證明：如圖所示，連接AC交BD于點F，連接EF，
所以EF是△SAC的中位線，所以EF∥SC.
因為SC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD.
又EF 平面EDB，所以平面EDB⊥平面ABCD.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面.下列命題
中正確的是（　　）
A. 若m⊥n，n∥α，則m⊥α
B. 若m∥β，β⊥α，則m⊥α
C. 若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α
D. 若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α
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√
解析： A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α、m與α相交或
m α，故A錯誤；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α、m與α
相交或m α，故B錯誤；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又
n⊥α，所以m⊥α，故C正確；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α
可得m∥α、m與α相交或m α，故D錯誤.故選C.
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2. 若一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平
面，那么這兩個二面角（　　）
A. 相等 B. 互補
C. 相等或互補 D. 關系無法確定
解析： 　如圖所示，平面EFDG⊥平面ABC，當
平面HDG繞DG轉動時，平面HDG始終與平面
BCD垂直，因為二面角H-DG-F的大小不確定，
所以兩個二面角的大小關系不確定.
√
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3. 如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，
則點C1在底面ABC上的射影點H必在（　　）
A. 直線AB上 B. 直線BC上
C. 直線AC上 D. △ABC內部
解析： 　連接AC1（圖略）.∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1
＝B，AB，BC1 平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC 平面
ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴點C1在平面ABC上的射影點H
必在平面ABC1與平面ABC的交線AB上，故選A.
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4. 如圖，三棱臺ABC-A1B1C1的下底面是正三角形，AB⊥BB1，
B1C1⊥BB1，則二面角A-BB1-C的大小是（　　）
A. 90° B. 60°
C. 45° D. 30°
√
解析： 　在三棱臺ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，且B1C1⊥BB1，
則BC⊥BB1.又AB⊥BB1，且AB∩BC＝B，所以B1B⊥平面
ABC. 所以∠ABC為二面角A-BB1-C的平面角.因為△ABC為等邊
三角形，所以∠ABC＝60°.故選B.
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5. （多選）已知α，β是兩個不同的平面，l是一條直線，則下列命
題中正確的是（　　）
A. 若α∥β，l∥β，則l∥α
B. 若l⊥α，l⊥β，則α∥β
C. 若l⊥α，l∥β，則α⊥β
D. 若α⊥β，l∥β，則l⊥α
√
√
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解析： 　對于A，若α∥β，l∥β，則l∥α
或l α，故A不正確；對于B，若l⊥α，
l⊥β，則α∥β，故B正確；對于C，如圖，若
l⊥α，l∥β，過l的平面γ與β相交，設交線
為m，∵l∥β，l γ，β∩γ＝m，則l∥m，∵l⊥α，則m⊥α，∵m β，故α⊥β，故C正確；對于D，若α⊥β，l∥β，則l與α不一定垂直，故D不正確.故選B、C.
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6. （多選）如圖，在正四面體A-BCD中，E，F，G分別是BC，
CD，DB的中點，下面四個結論中正確的是（　　）
A. BC∥平面AGF
B. EG⊥平面ABF
C. 平面AEF⊥平面ACD
D. 平面ABF⊥平面BCD
√
√
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解析： 　∵F，G分別是CD，DB的中點，∴GF∥BC，則
BC∥平面AGF，故A正確；∵E，F，G分別是BC，CD，DB的
中點，∴CD⊥AF，CD⊥BF，即CD⊥平面ABF，
∵EG∥CD，∴EG⊥平面ABF，故B正確；∵CD⊥平面ABF，
CD 平面BCD，∴平面ABF⊥平面BCD，故D正確；對于選項
C，假設平面AEF⊥平面ACD，由平面AEF∩平面ACD＝AF，
CD 平面ACD，CD⊥AF，∴CD⊥平面AEF，CD⊥EF，與
CD，EF夾角為60°矛盾，故C錯誤.故選A、B、D.
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7. 如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面
角B-PA-C的大小為 .
解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC就是
二面角B-PA-C的平面角，又∠BAC＝90°，∴二面角B-PA-C的
大小為90°.
90°　
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8. （2024·徐州月考）如圖，A，B，C，D為空間四點，在△ABC
中，AB＝2，AC＝BC＝ ，等邊三角形ADB以AB為軸運動.當
平面ADB⊥平面ABC時，CD＝ .
2　
解析：如圖，取AB的中點E，連接DE，CE. 因為
△ADB是等邊三角形，所以DE⊥AB. 當平面ADB⊥
平面ABC時，因為平面ADB∩平面ABC＝AB，所以
DE⊥平面ABC. 所以DE⊥CE. 由已知可得DE＝
，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝ ＝2.
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9. 如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α，β所
成的角分別為 和 .過A，B分別作兩平面交線的垂線，垂足為
A'，B'，則 ＝ .
2　
解析：由已知條件可知∠BAB'＝ ，∠ABA'＝ ，設AB＝2a，則BB'＝2a sin ＝ a，A'B＝2a cos ＝ a，∴在Rt△BB'A'中，得A'B'＝a，∴AB∶A'B'＝2.
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10. （2024·宿遷月考）如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角
梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2BC＝2，四邊形ABB1A1和
四邊形ADD1A1均為正方形.
（1）求證：平面ABB1A1⊥平面ABCD；
解： 證明：因為四邊形ABB1A1和四
邊形ADD1A1均為正方形，
所以AA1⊥AD，AA1⊥AB.
又AD∩AB＝A，AD，AB 平面ABCD，
所以AA1⊥平面ABCD.
因為AA1 平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面ABCD.
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（2）求二面角B1-CD-A的余弦值.
解： 過點B作BH⊥CD于點H，連
接B1H（圖略）.
由（1）知BB1⊥平面ABCD，則
BB1⊥CD，
又BH∩BB1＝B，BH，BB1 平面
BB1H，
所以CD⊥平面BB1H，
所以B1H⊥CD，
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所以∠BHB1為二面角B1-CD-A的平面角.
由等面積法可得 BH＝1×2，即BH＝ ，
所以B1H＝ ＝ ，
故 cos ∠BHB1＝ ＝ .
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11. 如圖所示，三棱錐P-ABC的底面在平面α內，且AC⊥PC，平面
PAC⊥平面PBC，點P，A，B是定點，則動點C的軌跡是（　　）
A. 一條線段
B. 一條直線
C. 一個圓
D. 一個圓，但要去掉兩個點
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解析： 　因為平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平
面PBC＝PC，AC 平面PAC，所以AC⊥平面PBC. 又因為
BC 平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.所以動點C
的軌跡是以AB為直徑的圓，除去A和B兩點.故選D.
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12. 如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面
ABC，PA＝2AB，則下列結論中正確的是（　　）
A. PB⊥AD
B. 平面PAB⊥平面PBC
C. 直線BC∥平面PAE
D. 直線PD與平面ABC所成的角為45°
√
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解析： 　若PB⊥AD，則AD⊥AB，但AD與AB成60°角，A
錯誤；平面PAB與平面ABD垂直，所以平面PAB一定不與平面
PBC垂直，B錯誤；BC與AE是相交直線，所以BC一定不與平面
PAE平行，C錯誤；直線PD與平面ABC所成角為∠PDA，在
Rt△PAD中，AD＝PA，∴∠PDA＝45°，D正確.
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13. 如圖所示，在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為DC的中
點，F為線段EC（端點除外）上一動點.現將△AFD沿AF折
起，使平面ABD⊥平面ABC. 在平面ABD內過點D作DK⊥AB，
K為垂足.設AK＝t，則t的取值范圍是 .
　
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解析：如圖所示，過D作DG⊥AF，垂足為
G，連接GK，∵平面ABD⊥平面ABC，
DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.
又DG⊥AF，∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.容易得到，當F接近E點時，K接近AB的中點，當F接近C點時，K接近靠近A的AB的四等分點.∴t的取值范圍是 .
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14. 如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面
PBC，點E為垂足.
（1）求證：PA⊥平面ABC；
證明： 如圖，在平面ABC內取一點D，
作DF⊥AC于點F.
∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，
∴DF⊥平面PAC.
∵PA 平面PAC，∴DF⊥PA.
作DG⊥AB于點G，同理可證DG⊥PA.
∵DG，DF都在平面ABC內，且DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC.
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（2）當點E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形.
證明：如圖，連接BE并延長交PC于點H.
∵點E是△PBC的垂心，
∴PC⊥BE.
又AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，
∴PC⊥AE.
∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.
又AB 平面ABE，∴PC⊥AB.
由（1）知PA⊥平面ABC，又AB 平面ABC，∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，PA，PC 平面PAC，∴AB⊥平面PAC.
又AC 平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.
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15. （2024·鎮江質檢）如圖①，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，
M為CD上一點，且CM＝2MD. 將△ADM沿AM折起，使得平
面ADM⊥平面ABCM，如圖②，E是線段AM的中點.
（1）求證：平面BDE⊥平面ABCM；
解： 證明：由已知DA
＝DM，E是AM的中點，
∴DE⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，
平面ADM∩平面ABCM＝AM，
DE 平面ADM，∴DE⊥平面ABCM.
∵DE 平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCM.
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（2）過B點是否存在一條直線l，同時滿足以下兩個條件；
（ⅰ）l 平面ABCM；（ⅱ）l⊥AD？請說明理由.
解： 過B點存在一條直線l，同時滿足以下兩個條件：
（ⅰ）l 平面ABCM；（ⅱ）l⊥AD. 理由：
在平面ABCM中，過點B作直線l，使l⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，
平面ABCM∩平面ADM＝AM，l 平面ABCM，
∴l⊥平面ADM.
∵AD 平面ADM，∴l⊥AD.
故存在滿足題意的直線l.
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