資源簡介

13.3.1　空間圖形的表面積
1.若某圓錐的高等于其底面直徑，則它的底面積與側面積之比為（　　）
A.1∶2　　　　　 　　 B.1∶
C.1∶ D.∶2
2.已知一直棱柱底面為正方形，它的底面邊長為2，體對角線長為4，則這個棱柱的表面積是（　　）
A.8 B.16
C.8＋12 D.8＋16
3.側面都是等腰直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a時，該三棱錐的表面積是（　　）
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
4.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直線A1C與側面AA1B1B所成的角為30°，則該三棱柱的側面積為（　　）
A.4＋4 B.4＋4
C.12 D.8＋4
5.（多選）（2024·南京月考）等腰直角三角形的直角邊長為1，現將該三角形繞其某一邊旋轉一周，則所形成的幾何體的表面積可以為（　　）
A.π B.（1＋）π
C.2π D.（2＋）π
6.（多選）已知正四棱錐的側面與底面所成的二面角為θ，若θ＝30°，側棱長為，則（　　）
A.正四棱錐的底面邊長為6
B.正四棱錐的底面邊長為3
C.正四棱錐的側面積為24
D.正四棱錐的側面積為12
7.圓柱OO'的底面直徑為4，母線長為6，則該圓柱的側面積為　　　　，表面積為　　　　.
8.如圖所示，正方形ABCD的邊長為6 cm，BC，CD的中點分別為E，F，現沿AE，AF，EF折疊，使B，C，D三點重合，構成一個三棱錐，則這個三棱錐的表面積為　　　　cm2.
9.（2024·常州月考）已知一個正四棱臺的兩個底面的邊長分別為5和17，側棱長為10，則這個棱臺的側面積為　　　　.
10.如圖所示，已知正三棱錐S-ABC的側面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，求此正三棱錐的表面積.
11.（2024·徐州月考）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發現的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺的立體結構圖.已知底面圓的直徑AB＝12 cm，圓柱體部分的高BC＝6 cm，圓錐體部分的高CD＝4 cm，則這個陀螺的表面積（單位：cm2）是（　　）
A.（144＋12）π B.（144＋24）π
C.（108＋12）π D.（108＋24）π
12.（多選）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺O1O2，在軸截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，下列說法正確的有（　　）
A.∠ADC＝30°
B.該圓臺軸截面ABCD面積為3 cm2
C.該圓臺的側面積為6π cm2
D.沿著該圓臺表面，從點C到AD中點的最短距離為5 cm
13.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖①）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美.圖②是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有　　　　個面，其棱長為　　　　.
14.如圖，已知一個圓錐的底面半徑與高均為2，且在這個圓錐中有一個高為x的圓柱.
（1）用x表示此圓柱的側面積表達式；
（2）當x為何值時，此圓柱的側面積最大，最大值為多少？
15.《九章算術》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數學專著，是《算經十書》中最重要的一部.《九章算術》中將有三條棱互相平行且有一個面為梯形的五面體稱之為“羨除”，現有一個羨除如圖所示，已知上底面ABCD是高為2的等腰梯形，右側面BCEF是高為1的等腰梯形，下底面是梯形，前、后側面均為三角形.AD＝8，BC＝10，EF＝6，AD∥BC∥EF，且平面ABCD⊥平面BCEF，求該“羨除”的表面積.
13.3.1　空間圖形的表面積
1.C　設圓錐底面半徑為r，則高h＝2r，所以其母線長l＝r.所以S側＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S側＝1∶.
2.D　設直棱柱的高為h，則＝4，解得h＝2，故直棱柱的表面積為2×22＋4×2×2＝8＋16.
3.A　∵側面都是等腰直角三角形，故側棱長等于a，∴S表＝a2＋3××＝a2.
4.A　連接A1B（圖略）.因為AA1⊥底面ABC，則AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直線A1C與側面AA1B1B所成的角為∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2，BC＝.又AB⊥BC，則AB＝，則該三棱柱的側面積為2×2＋2×2＝4＋4.
5.AB　如果繞直角邊所在直線旋轉，那么形成圓錐，圓錐底面半徑為1，高為1，母線長就是直角三角形的斜邊長，所以所形成的幾何體的表面積S＝πrl＋πr2＝π×1×＋π×12＝（＋1）π；如果繞斜邊所在直線旋轉，那么形成的是同底的兩個圓錐，圓錐的底面半徑是直角三角形斜邊的高，兩個圓錐的母線長都是1，所以形成的幾何體的表面積S＝2×πrl＝2×π××1＝π.綜上可知，形成幾何體的表面積是（＋1）π或π.故選A、B.
6.AC　如圖，在正四棱錐S-ABCD中，O為正方形ABCD的中心，SH⊥AB，設底面邊長為2a（a＞0），因為∠SHO＝30°，所以OH＝a，OS＝a，SH＝a.在Rt△SAH中，a2＋（a）2＝21，所以a＝3，底面邊長為6，側面積為S＝×6×2×4＝24.故選A、C.
7.24π　32π　解析：由題意知圓柱的底面半徑r＝2，母線長l＝6，則該圓柱的側面積為S側＝2πrl＝24π，表面積為S表＝2πrl＋2πr2＝2πr（r＋l）＝32π.
8.36　解析：因為折疊后構成的三棱錐的表面均由原正方形的各部分圍成，且沒有重疊，因此這個三棱錐的表面積就是正方形的面積，為6×6＝36（cm2）.
9.352　解析：在棱臺側面的等腰梯形上作高，即棱臺的斜高，則由等腰梯形的性質，可得斜高h'＝＝8.由正棱臺的側面積公式，可得該棱臺的側面積為S側＝×（4×5＋4×17）×8＝352.
10.解：如圖所示，設正三棱錐的底面邊長為a，斜高為h'，過點O作OE⊥AB，與AB交于點E，連接SE，則SE⊥AB，SE＝h'.
因為S側＝2S底，所以3×·a·h'＝a2×2.所以a＝h'.
因為SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2.
所以32＋（×h'）2＝h'2.
所以h'＝2，所以a＝h'＝6.
所以S底＝a2＝×62＝9，S側＝2S底＝18.
所以S表＝S側＋S底＝18＋9＝27.
11.C　由題意可得圓錐體的母線長為l＝＝2，所以圓錐體的側面積為·12π·2＝12π，圓柱體的側面積為12π×6＝72π，圓柱的底面面積為π×62＝36π.所以此陀螺的表面積為12π＋72π＋36π＝（108＋12）π（cm2）.故選C.
12.BCD　對于A，由已知及題圖知：cos∠ADC＝且0°＜∠ADC＜90°，故∠ADC＝60°，故A錯誤；對于B，由A易知：圓臺高為h＝2×sin 60°＝，所以圓臺軸截面ABCD面積S＝×（2＋4）×＝3 cm2，故B正確；對于C，圓臺的側面積S側＝π×（1＋2）×2＝6π cm2，故C正確；對于D，將圓臺一半側面展開，如圖中ABCD且E為AD中點，而圓臺對應的圓錐體一半側面展開為COD且OC＝4，又∠COD＝＝，所以在Rt△COE中CE＝＝5 cm，即點C到AD中點的最短距離為5 cm，故D正確.故選B、C、D.
13.26　－1
解析：由題圖②可知第一層與第三層各有9個面，共18個面，第二層有8個面，所以該半正多面體共有18＋8＝26（個）面.如圖所示，設該半正多面體的棱長為x，則AB＝BE＝x，延長CB與FE的延長線交于點G，延長BC交棱長為1的正方體棱于點H，由半正多面體的對稱性可知，△BGE為等腰直角三角形，所以BG＝GE＝CH＝x，所以GH＝2×x＋x＝（＋1）x＝1，解得x＝＝－1.
14.解：（1）設圓柱的半徑為r，圓柱的高為x，則＝，解得r＝2－x，且0＜x＜2，
∴圓柱的側面積為S圓柱側＝2πrx＝2π（2－x）x＝－2πx2＋4πx（0＜x＜2）.
（2）S圓柱側＝－2πx2＋4πx＝2π[－（x－1）2＋1]，0＜x＜2，當x＝1時，S圓柱側取得最大值為2π.
15.解：S梯形ABCD＝×（8＋10）×2＝18，
S梯形BCEF＝×（10＋6）×1＝8.
在等腰梯形ABCD中，∵AD＝8，BC＝10，
梯形的高為2，∴AB＝ ＝.
同理可得，BF＝ ＝.
過F作FM⊥BC于M，過M作MN⊥AD于N，連接FN（圖略），
則有FM＝1，MN＝2，BM＝2，AN＝1.
∵BC⊥FM，BC⊥MN，FM∩MN＝M，FM，MN 平面FMN，
∴BC⊥平面FMN.∴BC⊥FN.
又BC∥AD，∴AD⊥FN.
∵平面ABCD⊥平面BCEF，
∴∠NMF＝90°.∴FN＝，AF＝，
∴S梯形ADEF＝×（8＋6）×＝7.
在等腰△ABF中，點B到AF的距離為 ＝，∴S△ABF＝××＝.
由對稱性可知S△DCE＝S△ABF＝.
∴該“羨除”的表面積為18＋8＋7＋＋＝26＋7＋.
3 / 313.3.1　空間圖形的表面積
新課程標準解讀 核心素養
1.通過對柱體、錐體、臺體的研究，掌握柱體、錐體、臺體的表面積的求法 直觀想象
2.了解柱體、錐體、臺體的表面積計算公式；能運用柱體、錐體、臺體的表面積公式進行計算和解決有關實際問題 邏輯推理、數學運算
　　金剛石是碳的結晶體，是目前自然界中存在的最硬物質，其形狀除了具有規則的正八面體幾何外形，還有六面體、十二面體等外形的晶體.金剛石經過切割、打磨等工序就能加工成璀璨奪目的鉆石.如圖就是一塊正八面體的鉆石.
【問題】　已知該正八面體鉆石的棱長為a，你能求出它的表面積嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　棱柱、棱錐、棱臺的表面積
1.定義：多面體的表面積就是　　　　　　　的面積的　　.
2.幾個特殊多面體
（1）直棱柱：側棱和底面　　　　的棱柱；
（2）正棱柱：底面為　　　　　　的直棱柱；
（3）正棱錐：棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是　　　　　　；
（4）正棱臺：正棱錐　　　　　　　　的平面所截，截面和底面之間的部分.
3.直棱柱、正棱錐和正棱臺的側面積及表面積
名稱 展開圖 公式 備注
直棱柱 S直棱柱側＝　　， S表＝S側＋2S底 c為底面多邊形的周長，h為棱柱的高
正棱錐 S正棱錐側＝　 　 ＝　 　，S表＝ S側＋S底 a為底面邊長，c為底面周長，h'為斜高
正棱臺 S正棱臺側＝　　　　　 ＝　　　　　， S表＝S側＋S上底＋S下底 a為下底面邊長，a'為上底面邊長，c為下底面周長，c'為上底面周長，h'為斜高
【想一想】
正棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積公式之間有怎樣的關系？
知識點二　圓柱、圓錐和圓臺的側面積及表面積
名稱 展開圖 公式 備注
圓柱 S上底＝S下底＝2πr2， S圓柱側＝cl＝　　， S圓柱表＝　　 r為底面圓半徑，l為圓柱的母線
圓錐 S底＝　　　　， S圓錐側＝cl＝　　　　　　 ， S圓錐表＝　　　 c為底面周長，l為母線長，r為底面圓半徑
圓臺 S上底＝　　　　， S下底＝　　　　， S圓臺側＝（c＋c'）l ＝π（r＋r'）l， S圓臺表＝π（r'2＋r2＋r'l＋rl） r'，r分別為上、下底面圓半徑，c'，c分別為上、下底面圓周長，l為圓臺的母線長
【想一想】
圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式之間有怎樣的關系？
1.棱長都是1的三棱錐的表面積為（　　）
A.　　B.2　　C.3　　D.4
2.（多選）底面為正方形的直棱柱，它的底面對角線長為，體對角線長為，則下列結論正確的是（　　）
A.棱柱的側面積是8
B.棱柱的側面積是2
C.棱柱的表面積是9
D.棱柱的側面積是10
3.圓臺的上、下底面半徑分別為3和4，母線長為6，則其表面積等于　　　　　.
4.如圖所示，圓錐的底面半徑為1，高為，則圓錐的表面積為　　　　.
題型一 多面體的側面積與表面積
【例1】　（鏈接教科書第200頁例1）用鐵皮制造一個上大下小的正四棱臺形無蓋的容器（上面開口），正四棱臺容器的上底面是邊長為40 cm的正方形，下底面是邊長為20 cm的正方形，側面是全等的等腰梯形.
（1）若正四棱臺的側棱長為20 cm，則制造這種容器需要多少平方厘米鐵皮？
（2）若正四棱臺的高為10cm，則制造這種容器需要多少平方厘米鐵皮？
通性通法
　　直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積和表面積的求解方法
（1）直棱柱的側面展開圖是一個矩形，因此求側面積只需求出相應底面周長及高即可；
（2）求解正棱錐的表面積需注意棱錐的四個基本量，即底面的邊長，高，斜高，側棱，并注意兩個特殊的直角三角形的應用；
（3）求解正棱臺的表面積需注意棱臺的五個基本量，即上下底面邊長、高、斜高、側棱，并注意兩個直角梯形的應用.
【跟蹤訓練】
已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為4 cm，它的側棱與高所成的角為45°，求該正三棱錐的表面積.
題型二 旋轉體的側面積與表面積
【例2】　（鏈接教科書第200頁例2）如圖所示，已知直角梯形ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm，求以AB所在直線為軸旋轉一周所得空間圖形的表面積.
通性通法
1.圓柱、圓錐、圓臺的側面積分別是它們的側面展開圖的面積，因此弄清側面展開圖的形狀及側面展開圖中各線段與原旋轉體的關系，是掌握它們的側面積公式及解決有關問題的關鍵.
2.解旋轉體的有關問題時，常常需要畫出其軸截面，將空間問題轉化為平面問題.
【跟蹤訓練】
圓錐的高和底面半徑相等，它的一個內接圓柱的高和圓柱的底面半徑也相等，求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比.
題型三 組合體的表面積
【例3】　如圖所示，一個正方體的棱長為2，以相對兩個面的中心連線為軸，鉆一個直徑為1的圓柱形孔，所得幾何體的表面積為多少？
通性通法
求組合體表面積時應注意的問題
（1）首先應弄清它的組成，其表面有哪些底面和側面，各個面應怎樣求其面積，然后把這些面的面積相加或相減；
（2）在求組合體的表面積時要注意“表面（和外界直接接觸的面）”的定義，以確保不重復、不遺漏.
【跟蹤訓練】
牧民居住的蒙古包的形狀是一個圓柱與圓錐的組合體，尺寸如圖所示（單位：m），請你幫助算出要搭建這樣的一個蒙古包至少需要多少篷布？（精確到0.01 m2，π取3.14）
1.一個正三棱臺的上、下底面邊長分別為3和6，側棱長為2，則其高為（　　）
A.　 　B.1　 　C.　 　D.
2.（多選）圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，若母線長為10，則（　　）
A.圓臺的側面積為68π
B.圓臺的側面積為100π
C.圓臺的表面積為100π
D.圓臺的表面積為168π
3.已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為　　　　.
4.（2024·無錫月考）已知正三棱錐的底面邊長為3，高為，則該正三棱錐的側面積為　　　　.
13.3.1　空間圖形的表面積
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.圍成多面體各個面　和　2.（1）垂直　（2）正多邊形　（3）底面中心　（4）被平行于底面　3.ch　nah'　ch'　n（a＋a'）h'　（c＋c'）h'
想一想
　提示：正棱柱、正棱錐和正棱臺的側面積公式之間的關系可表示為：
知識點二
　2πrl　2πr（r＋l）　πr2　πrl　πr（r＋l）　πr'2　πr2
想一想
　提示：圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式之間的關系可表示為：
自我診斷
1.A　S表＝4S正三角形＝4×＝.
2.AD　由題意知，底面正方形的邊長為1，直棱柱的高為2，所以S側＝4×1×2＝8，S表＝S側＋S底＝8＋2×1×1＝10.故選A、D.
3.67π　解析：S表＝π（32＋42＋3×6＋4×6）＝67π.
4.3π　解析：設圓錐的母線長為l，則l＝＝2，所以圓錐的表面積S＝π×1×（1＋2）＝3π.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）如圖，將該正四棱臺容器倒置后得正四棱臺ABCD-A1B1C1D1，
它的上底面是邊長為20 cm的正方形，下底面是邊長為40 cm的正方形，
所以上底面小正方形的面積為400 cm2，
因為側棱長為20 cm，側面是全等的等腰梯形，作A1E垂直于AB，垂足為E，
所以側面等腰梯形的高為A1E＝＝＝10 ，
所以側面等腰梯形的面積為S梯形＝ ×（20＋40）×10＝300 ，
所以該容器的表面積為S表＝400＋300 ×4＝400＋1 200 （cm2）.
（2）如圖，將該正四棱臺容器倒置后得正四棱臺ABCD-A1B1C1D1，設O1，O分別為上、下底面的中心，過O作OE⊥BC于E，過O1作O1E1⊥B1C1于E1，
過E1作E1F⊥OE于F，連接E1E，則E1E為正四棱臺的斜高.所以側面等腰梯形的高為E1E＝＝＝10 ，所以側面等腰梯形的面積為S梯形＝ ×（20＋40）×10＝300，
所以該容器的表面積為S表＝400＋300×4＝400＋1 200（cm2）.
跟蹤訓練
　解：如圖所示，設O為正三角形ABC的中心，連接PO，連接AO并延長交BC于D，連接PD，則PO是正三棱錐P-ABC的高.由正三角形ABC的性質知，D是BC的中點，
又PB＝PC，故PD⊥BC，即PD是三棱錐的斜高.
由已知∠APO＝45°，AO＝××4＝（cm），
所以PA＝AO＝×＝（cm），
所以PB＝（cm）.所以PD＝＝ ＝（cm）.
所以正三棱錐P-ABC的側面積S側＝3S△PBC＝3××4×＝4（cm2），
底面積S底＝×42×＝4（cm2）.
故S表面積＝S側＋S底＝4＋4＝4（＋）（cm2）.
【例2】　解：以AB所在直線為軸旋轉一周所得空間圖形是圓臺，
其上底面半徑是4 cm，下底面半徑是16 cm，
母線DC＝＝13（cm），
所以該空間圖形的表面積為π（4＋16）×13＋π×42＋π×162＝532π（cm2）.
跟蹤訓練
　解：如圖所示，設圓柱和圓錐的底面半徑分別是r，R，則有＝，即＝，
所以R＝2r，圓錐的母線長l＝R，
所以＝＝＝＝＝－1.
【例3】　解：幾何體的表面積為S＝6×22－π×（0.5）2×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π.
跟蹤訓練
　解：上部分圓錐體的母線長為 m，其側面積為S1＝π×2.5×（m2）.
下部分圓柱體的側面積為S2＝π×5×1.8＝9π（m2）.
∴搭建這樣的一個蒙古包至少需要的篷布為S＝S1＋S2＝π×2.5×＋9π≈50.03（m2）.
隨堂檢測
1.B　依題意，正三棱臺的高h＝＝1.
2.BD　圓臺的軸截面如圖所示，設上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，則它的母線長為l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S側＝π（R＋r）l＝π（8＋2）×10＝100π，S表＝S側＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.故選B、D.
3.12π　解析：因為過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2，底面圓的直徑為2，所以該圓柱的表面積為2×π×（）2＋2π××2＝12π.
4.　解析：如圖，設正三棱錐S-ABC的頂點S在底面的正投影為點O，作OD⊥AB于點D，連接SD，SO.因為正三棱錐的底面邊長為3，高為，所以OD＝，OS＝，則SD＝＝1.因為SO⊥AB，OD⊥AB，SO∩OD＝O，SO，OD 平面SOD，所以AB⊥平面SOD，則AB⊥SD.因為正三棱錐的側面是全等的三角形，所以正三棱錐的側面積為3××3×1＝.
4 / 4(共67張PPT)
13.3.1　
空間圖形的表面積
新課程標準解讀 核心素養
1.通過對柱體、錐體、臺體的研究，掌握柱體、
錐體、臺體的表面積的求法 直觀想象
2.了解柱體、錐體、臺體的表面積計算公式；能
運用柱體、錐體、臺體的表面積公式進行計算和
解決有關實際問題 邏輯推理，
數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　
　　金剛石是碳的結晶體，是目前自然界中存在的最硬物質，其形狀
除了具有規則的正八面體幾何外形，還有六面體、十二面體等外形的
晶體.金剛石經過切割、打磨等工序就能加工成璀璨奪目的鉆石.如圖
就是一塊正八面體的鉆石.
【問題】　已知該正八面體鉆石的棱長為a，你能求出它的表面積
嗎？
知識點一　棱柱、棱錐、棱臺的表面積
1. 定義：多面體的表面積就是 的面積
的 .
圍成多面體各個面　
和　
（1）直棱柱：側棱和底面 的棱柱；
（2）正棱柱：底面為 的直棱柱；
（3）正棱錐：棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影
是 ；
（4）正棱臺：正棱錐 的平面所截，截面和底面
之間的部分.
垂直　
正多邊形　
底面中心　
被平行于底面　
2. 幾個特殊多面體
3. 直棱柱、正棱錐和正棱臺的側面積及表面積
名稱 展開圖 公式 備注
直棱
柱
S直棱柱側＝ ， S表＝S側＋2S底 c為底面多邊形的周長，h為棱柱的高
正棱
錐
a為底面邊長，c為底面周長，h'為斜高
ch　
nah'　
ch'　
名稱 展開圖 公式 備注
正棱
臺
S正棱臺側＝
＝
， S表＝S側＋ S上底＋S下底 a為下底面邊長，a'為上底
面邊長，c為下底面周長，
c'為上底面周長，h'為斜高
n
（a＋a'）h'　
（c＋c'）
h'　
【想一想】
正棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積公式之間有怎樣的關系？
提示：正棱柱、正棱錐和正棱臺的側面積公式之間的關系可表示為：
知識點二　圓柱、圓錐和圓臺的側面積及表面積
名稱 展開圖 公式 備注
圓柱
S上底＝S下底＝2πr2， S圓柱側＝cl
＝ ， S圓柱表＝
r為底面圓半徑，l為
圓柱的母線
2πrl　
2πr（r＋
l）　
名稱 展開圖 公式 備注
圓錐 c為底面周長，l為母
線長，r為底面圓半
徑
πr2　
πrl　
πr（r＋
l）　
名稱 展開圖 公式 備注
圓臺 r'，r分別為上、下底
面圓半徑，c'，c分
別為上、下底面圓周
長，l為圓臺的母線
長
πr'2　
πr2　
【想一想】
圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式之間有怎樣的關系？
提示：圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式之間的關系可表示為：
1. 棱長都是1的三棱錐的表面積為（　　）
解析： 　S表＝4S正三角形＝4× ＝ .
√
2. （多選）底面為正方形的直棱柱，它的底面對角線長為 ，體對
角線長為 ，則下列結論正確的是（　　）
A. 棱柱的側面積是8
C. 棱柱的表面積是9 D. 棱柱的側面積是10
解析： 　由題意知，底面正方形的邊長為1，直棱柱的高為
2，所以S側＝4×1×2＝8，S表＝S側＋S底＝8＋2×1×1＝10.故
選A、D.
√
√
3. 圓臺的上、下底面半徑分別為3和4，母線長為6，則其表面積等
于 .
解析：S表＝π（32＋42＋3×6＋4×6）＝67π.
67π　
4. 如圖所示，圓錐的底面半徑為1，高為 ，則圓錐的表面積
為 .
解析：設圓錐的母線長為l，則l＝ ＝2，所以圓錐的表面積
S＝π×1×（1＋2）＝3π.
3π　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 多面體的側面積與表面積
【例1】　（鏈接教科書第200頁例1）用鐵皮制造一個上大下小的正
四棱臺形無蓋的容器（上面開口），正四棱臺容器的上底面是邊長為
40 cm的正方形，下底面是邊長為20 cm的正方形，側面是全等的等腰
梯形.
（1）若正四棱臺的側棱長為20 cm，則制造這種容器需要多少平方厘
米鐵皮？
解： 如圖，將該正四棱臺容器倒置后得
正四棱臺ABCD-A1B1C1D1，
它的上底面是邊長為20 cm的正方形，下底面
是邊長為40 cm的正方形，
所以上底面小正方形的面積為400 cm2，
因為側棱長為20 cm，側面是全等的等腰梯
形，作A1E垂直于AB，垂足為E，
所以側面等腰梯形的高為A1E＝
＝ ＝10 ，
所以側面等腰梯形的面積為S梯形＝ ×（20＋
40）×10 ＝300 ，
所以該容器的表面積為S表＝400＋300 ×4
＝400＋1 200 （cm2）.
（2）若正四棱臺的高為10 cm，則制造這種容器需要多少平方厘
米鐵皮？
解： 如圖，將該正四棱臺容器倒置后得
正四棱臺ABCD-A1B1C1D1，設O1，O分別為
上、下底面的中心，過O作OE⊥BC于E，
過O1作O1E1⊥B1C1于E1，過E1作E1F⊥OE于F，連接E1E，則E1E為正四棱臺的斜高.
所以側面等腰梯形的高為E1E＝
＝ ＝10 ，所以側面等腰梯形的面積為S梯形＝ ×（20＋40）×10 ＝300 ，
所以該容器的表面積為S表＝400＋300 ×4
＝400＋1 200 （cm2）.
通性通法
　　直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積和表面積的求解方法
（1）直棱柱的側面展開圖是一個矩形，因此求側面積只需求出相應
底面周長及高即可；
（2）求解正棱錐的表面積需注意棱錐的四個基本量，即底面的邊
長，高，斜高，側棱，并注意兩個特殊的直角三角形的應用；
（3）求解正棱臺的表面積需注意棱臺的五個基本量，即上下底面邊
長、高、斜高、側棱，并注意兩個直角梯形的應用.
【跟蹤訓練】
已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為4 cm，它的側棱與高所成的角為
45°，求該正三棱錐的表面積.
解：如圖所示，設O為正三角形ABC的中心，
連接PO，連接AO并延長交BC于D，連接PD，
則PO是正三棱錐P-ABC的高.
由正三角形ABC的性質知，D是BC的中點，
又PB＝PC，故PD⊥BC，即PD是三棱錐的斜高.
由已知∠APO＝45°，AO＝ × ×4＝ （cm），
所以PA＝ AO＝ × ＝ （cm），
所以PB＝ （cm）.所以PD＝ ＝
＝ （cm）.
所以正三棱錐P-ABC的側面積S側＝3S△PBC＝3×
×4× ＝4 （cm2），
底面積S底＝ ×42× ＝4 （cm2）.
故S表面積＝S側＋S底＝4 ＋4 ＝4（ ＋ ）（cm2）.
題型二 旋轉體的側面積與表面積
【例2】　（鏈接教科書第200頁例2）如圖所示，已知直角梯形
ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD
＝4 cm，求以AB所在直線為軸旋轉一周所得空間圖形的表面積.
解：以AB所在直線為軸旋轉一周所得空間圖形是圓臺，
其上底面半徑是4 cm，
下底面半徑是16 cm，
母線DC＝ ＝13（cm），
所以該空間圖形的表面積為π（4＋16）×13＋π×42＋π×162＝532π
（cm2）.
通性通法
1. 圓柱、圓錐、圓臺的側面積分別是它們的側面展開圖的面積，因此
弄清側面展開圖的形狀及側面展開圖中各線段與原旋轉體的關系，
是掌握它們的側面積公式及解決有關問題的關鍵.
2. 解旋轉體的有關問題時，常常需要畫出其軸截面，將空間問題轉化
為平面問題.
【跟蹤訓練】
圓錐的高和底面半徑相等，它的一個內接圓柱的高和圓柱的底面半徑
也相等，求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比.
解：如圖所示，設圓柱和圓錐的底面半徑分別是r，R，則
有 ＝ ，即 ＝ ，
所以R＝2r，
圓錐的母線長l＝ R，
所以 ＝ ＝
＝ ＝ ＝ －1.
題型三 組合體的表面積
【例3】　如圖所示，一個正方體的棱長為2，以相對兩個面的中心連線為軸，鉆一個直徑為1的圓柱形孔，所得幾何體的表面積為多少？
解：幾何體的表面積為S＝6×22－π×（0.5）2×2＋2π×0.5×2＝24
－0.5π＋2π＝24＋1.5π.
通性通法
求組合體表面積時應注意的問題
（1）首先應弄清它的組成，其表面有哪些底面和側面，各個面應怎
樣求其面積，然后把這些面的面積相加或相減；
（2）在求組合體的表面積時要注意“表面（和外界直接接觸的
面）”的定義，以確保不重復、不遺漏.
【跟蹤訓練】
牧民居住的蒙古包的形狀是一個圓柱與圓錐的組合體，尺寸如圖所示
（單位：m），請你幫助算出要搭建這樣的一個蒙古包至少需要多少
篷布？（精確到0.01 m2，π取3.14）
解：上部分圓錐體的母線長為 m，其側面積為S1＝
π×2.5× （m2）.
下部分圓柱體的側面積為S2＝π×5×1.8＝9π（m2）.
∴搭建這樣的一個蒙古包至少需要的篷布為S＝S1＋S2＝
π×2.5× ＋9π≈50.03（m2）.
1. 一個正三棱臺的上、下底面邊長分別為3和6，側棱長為2，則其高
為（　　）
B. 1
解析： 　依題意，正三棱臺的高h＝
＝1.
√
2. （多選）圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，若母線長為
10，則（　　）
A. 圓臺的側面積為68π B. 圓臺的側面積為100π
C. 圓臺的表面積為100π D. 圓臺的表面積為168π
解析： 圓臺的軸截面如圖所示，設上底面半
徑為r，下底面半徑為R，高為h，則它的母線長
為l＝ ＝ ＝
5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S側＝π（R＋r）l＝π（8＋2）×10＝100π，S表＝S側＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.故選B、D.
√
√
3. 已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面
截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積
為 .
解析：因為過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正
方形，所以圓柱的高為2 ，底面圓的直徑為2 ，所以該圓柱的
表面積為2×π×（ ）2＋2π× ×2 ＝12π.
12π　
4. （2024·無錫月考）已知正三棱錐的底面邊長為3，高為 ，則該正
三棱錐的側面積為 .
　
解析：如圖，設正三棱錐S-ABC的頂點S在底面
的正投影為點O，作OD⊥AB于點D，連接
SD，SO. 因為正三棱錐的底面邊長為3，高為
，所以OD＝ ，OS＝ ，則SD＝
＝1.因為SO⊥AB，
OD⊥AB，SO∩OD＝O，SO，OD 平面SOD，所以AB⊥平面SOD，則AB⊥SD. 因為正三棱錐的側面是全等的三角形，所以正三棱錐的側面積為3× ×3×1＝ .
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 若某圓錐的高等于其底面直徑，則它的底面積與側面積之比為
（　　）
A. 1∶2
解析： 　設圓錐底面半徑為r，則高h＝2r，所以其母線長l＝
r.所以S側＝πrl＝ πr2，S底＝πr2，S底∶S側＝1∶ .
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√
2. 已知一直棱柱底面為正方形，它的底面邊長為2，體對角線長為4，
則這個棱柱的表面積是（　　）
A. 8
解析： 　設直棱柱的高為h，則 ＝4，解得h＝
2 ，故直棱柱的表面積為2×22＋4×2×2 ＝8＋16 .
√
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3. 側面都是等腰直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a時，該三棱錐
的表面積是（　　）
解析： ∵側面都是等腰直角三角形，故側棱長等于 a，∴S表
＝ a2＋3× × ＝ a2.
√
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4. 如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，
AA1＝AC＝2，直線A1C與側面AA1B1B所成的角為30°，則該三
棱柱的側面積為（　　）
C. 12
√
解析： 　連接A1B（圖略）.因為AA1⊥底面ABC，則
AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面
AA1B1B，所以直線A1C與側面AA1B1B所成的角為∠CA1B＝30°.
又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2 ，BC＝ .又AB⊥BC，則AB
＝ ，則該三棱柱的側面積為2 ×2＋2×2＝4＋4 .
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5. （多選）（2024·南京月考）等腰直角三角形的直角邊長為1，現將
該三角形繞其某一邊旋轉一周，則所形成的幾何體的表面積可以為
（　　）
√
√
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解析： 　如果繞直角邊所在直線旋轉，那么形成圓錐，圓錐
底面半徑為1，高為1，母線長就是直角三角形的斜邊長 ，所
以所形成的幾何體的表面積S＝πrl＋πr2＝π×1× ＋π×12＝
（ ＋1）π；如果繞斜邊所在直線旋轉，那么形成的是同底的
兩個圓錐，圓錐的底面半徑是直角三角形斜邊的高 ，兩個圓
錐的母線長都是1，所以形成的幾何體的表面積S＝2×πrl＝
2×π× ×1＝ π.綜上可知，形成幾何體的表面積是（ ＋
1）π或 π.故選A、B.
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6. （多選）已知正四棱錐的側面與底面所成的二面角為θ，若θ＝
30°，側棱長為 ，則（　　）
A. 正四棱錐的底面邊長為6
B. 正四棱錐的底面邊長為3
√
√
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解析： 如圖，在正四棱錐S-ABCD中，O
為正方形ABCD的中心，SH⊥AB，設底面邊長
為2a（a＞0），因為∠SHO＝30°，所以OH
＝a，OS＝ a，SH＝ a.在Rt△SAH中，a2＋ ＝21，所以a＝3，底面邊長為6，側面積為S＝ ×6×2 ×4＝24 .故選A、C.
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7. 圓柱OO'的底面直徑為4，母線長為6，則該圓柱的側面積
為 ，表面積為 .
解析：由題意知圓柱的底面半徑r＝2，母線長l＝6，則該圓柱的
側面積為S側＝2πrl＝24π，表面積為S表＝2πrl＋2πr2＝2πr（r＋
l）＝32π.
24π　
32π　
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8. 如圖所示，正方形ABCD的邊長為6 cm，BC，CD的中點分別為
E，F，現沿AE，AF，EF折疊，使B，C，D三點重合，構成一
個三棱錐，則這個三棱錐的表面積為 cm2.
36　
解析：因為折疊后構成的三棱錐的表面均由原正方形的各部分圍
成，且沒有重疊，因此這個三棱錐的表面積就是正方形的面積，為
6×6＝36（cm2）.
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9. （2024·常州月考）已知一個正四棱臺的兩個底面的邊長分別為5和
17，側棱長為10，則這個棱臺的側面積為 .
解析：在棱臺側面的等腰梯形上作高，即棱臺的斜高，則由等腰梯
形的性質，可得斜高h'＝ ＝8.由正棱臺的側面
積公式，可得該棱臺的側面積為S側＝ ×（4×5＋4×17）×8＝
352.
352　
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10. 如圖所示，已知正三棱錐S-ABC的側面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，求此正三棱錐的表面積.
解：如圖所示，設正三棱錐的底面邊長為a，
斜高為h'，過點O作OE⊥AB，與AB交于點
E，連接SE，則SE⊥AB，SE＝h'.
因為S側＝2S底，
所以3× ·a·h'＝ a2×2.
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所以a＝ h'.
因為SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2.
所以32＋（ × h'）2＝h'2.
所以h'＝2 ，所以a＝ h'＝6.
所以S底＝ a2＝ ×62＝9 ，S側＝2S底＝
18 .
所以S表＝S側＋S底＝18 ＋9 ＝27 .
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11. （2024·徐州月考）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山
西夏縣發現的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺的立體結構
圖.已知底面圓的直徑AB＝12 cm，圓柱體部分的高BC＝6 cm，
圓錐體部分的高CD＝4 cm，則這個陀螺的表面積（單位：cm2）
是（　　）
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解析： 　由題意可得圓錐體的母線長為l＝ ＝2 ，
所以圓錐體的側面積為 ·12π·2 ＝12 π，圓柱體的側面積
為12π×6＝72π，圓柱的底面面積為π×62＝36π.所以此陀螺的表
面積為12 π＋72π＋36π＝（108＋12 ）π（cm2）.故選C.
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12. （多選）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的
圓臺O1O2，在軸截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝
2AB，下列說法正確的有（　　）
A. ∠ADC＝30°
C. 該圓臺的側面積為6π cm2
D. 沿著該圓臺表面，從點C到AD中點的最短距離為
5 cm
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√
√
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解析： 　對于A，由已知及題圖知： cos
∠ADC＝ 且0°＜∠ADC＜90°，故∠ADC
＝60°，故A錯誤；對于B，由A易知：圓臺高
為h＝2× sin 60°＝ ，所以圓臺軸截面ABCD面積S＝ ×（2＋4）× ＝3 cm2，故B正確；對于C，圓臺的側面積S側＝π×（1＋2）×2＝6π cm2，故C正確；對于D，將圓臺一半側面展開，如圖中ABCD且E為AD中點，而圓臺對應的圓錐體一半側面展開為COD且OC＝4，又∠COD＝ ＝ ，所以在Rt△COE中
CE＝ ＝5 cm，即點C到AD中點的最短距離為5 cm，故D正確.故選B、C、D.
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13. 中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀
多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印
信形狀是“半正多面體”（圖①）.半正多面體是由兩種或兩種以
上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美.圖
②是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方
體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有
個面，其棱長為 .
26　
－1　
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解析：由題圖②可知第一層與第三層各有9個
面，共18個面，第二層有8個面，所以該半正多
面體共有18＋8＝26（個）面.如圖所示，設該
半正多面體的棱長為x，則AB＝BE＝x，延長
CB與FE的延長線交于點G，延長BC交棱長為
1的正方體棱于點H，由半正多面體的對稱性可知，△BGE為等腰直角三角形，所以BG＝GE＝CH＝ x，所以GH＝2× x＋x＝（ ＋1）x＝1，解得x＝ ＝ －1.
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14. 如圖，已知一個圓錐的底面半徑與高均為2，且在這個圓錐中有一
個高為x的圓柱.
（1）用x表示此圓柱的側面積表達式；
解： 設圓柱的半徑為r，圓柱的高為
x，則 ＝ ，
解得r＝2－x，且0＜x＜2，
∴圓柱的側面積為S圓柱側＝2πrx＝2π（2－
x）x＝－2πx2＋4πx（0＜x＜2）.
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（2）當x為何值時，此圓柱的側面積最大，最大值為多少？
解： S圓柱側＝－2πx2＋4πx＝2π[－（x
－1）2＋1]，0＜x＜2，當x＝1時，
S圓柱側取得最大值為2π.
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15. 《九章算術》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數學專著，
是《算經十書》中最重要的一部.《九章算術》中將有三條棱互相
平行且有一個面為梯形的五面體稱之為“羨除”，現有一個羨除
如圖所示，已知上底面ABCD是高為2的等腰梯形，右側面BCEF
是高為1的等腰梯形，下底面是梯形，前、后側面均為三角
形.AD＝8，BC＝10，EF＝6，AD∥BC∥EF，且平面ABCD⊥
平面BCEF，求該“羨除”的表面積.
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解：S梯形ABCD＝ ×（8＋10）×2＝18，
S梯形BCEF＝ ×（10＋6）×1＝8.
在等腰梯形ABCD中，
∵AD＝8，BC＝10，
梯形的高為2，
∴AB＝ ＝ .
同理可得，BF＝ ＝ .
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過F作FM⊥BC于M，過M作MN⊥AD于N，連接FN（圖
略），
則有FM＝1，MN＝2，BM＝2，AN＝1.
∵BC⊥FM，BC⊥MN，FM∩MN＝M，FM，MN 平面
FMN，
∴BC⊥平面FMN. ∴BC⊥FN.
又BC∥AD，∴AD⊥FN.
∵平面ABCD⊥平面BCEF，
∴∠NMF＝90°.∴FN＝ ，AF＝ ，
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∴S梯形ADEF＝ ×（8＋6）× ＝7 .
在等腰△ABF中，點B到AF的距離為 ＝ ，
∴S△ABF＝ × × ＝ .
由對稱性可知S△DCE＝S△ABF＝ .
∴該“羨除”的表面積為18＋8＋7 ＋ ＋ ＝26＋7 ＋
.
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