資源簡介

13.3.2　空間圖形的體積
1.如果軸截面為正方形的圓柱的側面積是4π，那么圓柱的體積等于（　?。?br/>A.π　　　 B.2π　　　 C.4π　　　 D.8π
2.（2024·無錫錫南實驗中學期中）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，A1A＝AB＝AC＝2，那么三棱錐A1-ABC的體積是（　　）
A. B.
C.4 D.8
3.如圖，圓柱形容器內盛有高度為6 cm的水，若放入3個相同的鐵球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（水面恰為圓柱的上底面），則球的半徑為（　?。?br/>A.4 cm B.3 cm
C.2 cm D.1 cm
4.在棱長為1的正方體中，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體，則截去與8個頂點相關的8個三棱錐后，剩下的空間圖形的體積是（　?。?br/>A. B.
C. D.
5.如圖，已知正六棱柱的最大對角面的面積為1 m2，互相平行的兩個側面的距離為1 m，則這個六棱柱的體積為（　?。?br/>A. m3 B. m3
C.1 m3 D. m3
6.體積為52的圓臺，一個底面積是另一個底面積的9倍，那么截得這個圓臺的圓錐的體積是（　?。?br/>A.54 B.54π
C.58 D.58π
7.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1-EDF的體積為　　　　.
8.如圖，一個棱長為4的正方體被挖去一個高為4的正四棱柱后得到圖中的幾何體，若該幾何體的體積為60，則該幾何體的表面積為　　　　.
9.把底面半徑為8 cm的圓錐放倒在一平面上，使圓錐在此平面內繞圓錐頂點S滾動，當這個圓錐在平面內轉回原位置時，圓錐本身滾動了2.5周，則圓錐的母線長為　　　　，表面積等于　　　　.
10.若E，F 是三棱柱 ABC-A1B1C1 側棱 BB1和 CC1 上的點，且 B1E ＝CF，三棱柱的體積為 m，求四棱錐 A-BEFC 的體積.
11.（2024·無錫輔仁高中期中）如圖，實心正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，其中上、下底面的中心分別為Q，R.若從該正方體中挖去兩個圓錐，且其中一個圓錐以R為頂點，以正方形A1B1C1D1的內切圓為底面，另一個圓錐以Q為頂點，以正方形ABCD的內切圓為底面，則該正方體剩余部分的體積為（　　）
A.8－ B.8－
C.8－ D.8－
12.（多選）已知△ABC的三邊長分別是AC＝3，BC＝4，AB＝5，下列說法正確的是（　　）
A.以BC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的側面積為15π
B.以BC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的體積為36π
C.以AC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的側面積為25π
D.以AC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的體積為16π
13.將一個底面直徑為2、高為1的圓柱截成橫截面是長方形的棱柱（如圖）.設這個長方形截面的一條邊長為x，對角線長為2，則截得棱柱的體積的最大值為　　　　.
14.某人買了一罐容積為V L，高為a m的直三棱柱形罐裝液體車油，由于不小心摔落在地上，該罐裝液體車油有兩處破損并發生滲漏，它們的位置分別在兩條棱上且距下底面高度分別為b m，c m的地方（如圖）.為了減少罐內液體車油的損失，該人采用破口朝上，傾斜罐口的方式拿回家，試問罐內液體車油最多還能剩多少.
15.某市建造圓錐形倉庫用于儲存糧食，已建的倉庫底面直徑為12 m，高為4 m.隨著該市經濟的發展，糧食產量的增大，該市擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多的糧食.現有兩種方案：一是新建的倉庫底面半徑比原來大2 m（高不變）；二是高度增加4 m（底面直徑不變）.
（1）分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；
（2）分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；
（3）選用哪個方案建造倉庫更經濟些？
13.3.2　空間圖形的體積
1.B　設軸截面正方形的邊長為a，由題意知S側＝πa·a＝πa2.又∵S側＝4π，∴πa2＝4π，∴a＝2.∴V圓柱＝π（）2×a＝π×2＝2π.故選B.
2.A　∵A1A⊥底面ABC，∴A1A為三棱錐A1-ABC的高，故h＝2，∵△ABC為底面，AB⊥AC，∴S△ABC＝AB·AC＝×2×2＝2，∴＝S△ABC·h＝×2×2＝.故選A.
3.B　設球的半徑為r，依題意得三個球的體積和水的體積之和等于高度為6r cm的圓柱體的體積，∴3×πr3＋πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3.故選B.
4.D　由題意易知正方體的體積為1，過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體，截去的三棱錐的體積是××＝，于是8個三棱錐的體積是，故剩下的空間圖形的體積是1－＝.
5.B　設正六棱柱的底面邊長為a m，高為h m，則2ah＝1，a＝1，解得a＝，h＝.所以六棱柱的體積V＝×（）2×6×＝（m3）.
6.A　設上底面半徑為r，則由題意求得下底面半徑為3r，設圓臺高為h1，則52＝πh1（r2＋9r2＋3r·r），∴πr2h1＝12.令原圓錐的高為h，由相似知識得＝，∴h＝h1，∴V原圓錐＝π（3r）2×h＝3πr2×h1＝×12＝54.
7.　解析：＝DD1×1＝，又點F到平面DD1E的距離為1，所以＝＝×1＝.
8.110　解析：設正四棱柱的底面邊長為m，則4（42－m2）＝60，解得m＝1，則該幾何體的表面積為42×4＋（42－12）×2＋4×1×4＝110.
9.20 cm　224π cm2
解析：設圓錐的母線長為l cm，如圖，以S為圓心，SA為半徑的圓的面積S＝πl2.又圓錐的側面積S圓錐側＝πrl＝8πl，根據圓錐在平面內轉到原位置時，圓錐本身滾動了2.5周，∴πl2＝2.5×8πl，∴l＝20（cm）.圓錐的表面積S＝S圓錐側＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π（cm2）.
10.解：如圖所示，連接 AB1，AC1，
因為B1E＝CF，
所以梯形 BEFC 的面積等于梯形 B1EFC1 的面積.
又四棱錐 A-BEFC 的高與四棱錐 A-B1EFC1 的高相等，所以 VA-BEFC＝＝.又＝·h，＝·h＝m，所以＝，所以＝－＝m.所以 VA-BEFC＝×m＝，即四棱錐A-BEFC 的體積是.
11.D　兩圓錐的體積都為V1＝πr2h＝×π×12×2＝π，則其公共部分為V2＝2××π×（）2×1＝，故該正方體剩余部分的體積為V＝23－2×V1＋V2＝8－＋＝8－.故選D.
12.AD　由已知得AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，△ABC是以角C為直角的直角三角形，以BC所在直線為軸旋轉時，所得旋轉體為底面半徑為3，母線長為5，高為4的圓錐，∴側面積為π×3×5＝15π，體積為×π×32×4＝12π，A正確，B錯誤；以AC所在直線為軸旋轉時，所得旋轉體為底面半徑為4，母線長為5，高為3的圓錐，∴側面積為π×4×5＝20π，體積為×π×42×3＝16π，C錯誤，D正確.故選A、D.
13.2　解析：∵長方形的一條邊長為x，對角線長為2，∴另一條邊長為，則截得的棱柱的體積V＝x×1＝＝（0＜x＜2），∴當x2＝2，即x＝時，Vmax＝2，即截得棱柱體積的最大值為2.
14.解：如圖所示，設直三棱柱的底面面積為S，則V＝aS，
當平面A1DE與水平面平行時，容器內的油是最理想的剩余量，連接A1B，A1C，則＝aS＝V，
∵＝＝，且＋＝V，
∴＝V，
∴＋＝V＋V＝V，
∴罐內液體車油最多還能剩V L.
15.解：（1）方案一：倉庫的底面直徑變成16 m，則倉庫的體積V1＝Sh＝×π×（）2×4＝π（m3）.
方案二：倉庫的高變成8 m，則倉庫的體積V2＝Sh＝×π×（）2×8＝π＝96π（m3）.
（2）方案一：倉庫的底面直徑變成16 m，半徑為8 m，
則圓錐的母線長l1＝＝4（m），
則倉庫的表面積S1＝π×8×4＋π×82＝（32π＋64π）m2.
方案二：倉庫的高變成8 m，
則圓錐的母線長l2＝＝10（m），
則倉庫的表面積S2＝π×6×10＋π×62＝60π＋36π＝96π（m2）.
（3）由（1）（2）可知V1＜V2，S1＞S2，按第二種方案所建的倉庫的體積大，可以貯藏更多的糧食，倉庫的表面積小，則用料少，成本低，所以選擇方案二建造倉庫更經濟些.
3 / 313.3.2　空間圖形的體積
新課程標準解讀 核心素養
1.掌握柱體、錐體、臺體的體積公式，會利用它們求有關空間圖形的體積 直觀想象、數學運算
2.了解球的表面積與體積公式，并能應用它們求球的表面積及體積 直觀想象、數學運算
3.會求簡單組合體的體積 數學運算
　　在小學和初中，我們已經知道長方體的體積V長方體＝abc＝Sh，這里a，b，c表示長方體的長、寬和高，S，h分別表示長方體的底面積和高.長方體體積公式是計算其他空間圖形體積的基礎，我們將上述結論作為已知事實來運用，那么，如何推出其他簡單空間圖形的體積公式呢？
【問題】　柱體、錐體、臺體的體積公式是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　柱體、錐體、臺體的體積
幾何體 體積公式
柱體 V＝　　（S為底面面積，h為柱體的高）
錐體 V＝　　　（S為底面面積，h為錐體的高）
臺體 V＝　　　　　　?。⊿'，S分別為上、下底面面積，h為臺體的高）
提醒　柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關系：
知識點二　球的體積和表面積
若球的半徑為R，則：
（1）球的體積V球＝　　　?。?br/>（2）球的表面積S球面＝　　　　.
知識點三　球的截面的特點
1.球既是中心對稱的空間圖形，又是軸對稱的空間圖形，它的任何截面均為圓面.
2.利用球半徑、截面圓半徑，球心到截面的距離構建直角三角形是把空間問題轉化為平面問題的主要途徑.
1.正方體的表面積為96，則正方體的體積為（　　）
A.48　　B.64　 　C.16　　D.96
2.（多選）若一個球的直徑為6，則（　?。?br/>A.球的表面積是36π B.球的表面積是144π
C.球的體積是36π D.球的體積是144π
3.如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則三棱錐D1-ADC的體積是　　　　.
題型一 柱體、錐體、臺體的體積
【例1】?。?）已知圓柱的底面周長為4π，高為4，則圓柱的體積為（　?。?br/>A.4π　 　　C.12π　　B.8π　　D.16π
（2）棱臺的上、下底面面積分別是2，4，高為3，則該棱臺的體積是（　?。?br/>A.18＋6 B.6＋2
C.24 D.18
（3）如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，過頂點B，D，A1截下一個三棱錐.
①求剩余部分的體積；
②求三棱錐A-A1BD的體積及高.
通性通法
求空間圖形體積的常用方法
（1）公式法：直接代入公式求解；
（2）等積法：例如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可；
（3）補體法：將空間圖形補成易求解的空間圖形，如棱錐補成棱柱，棱臺補成棱錐等；
（4）分割法：將空間圖形分割成易求解的幾部分，分別求體積.
提醒　求空間圖形的體積時，要注意利用好空間圖形的軸截面（尤其為圓柱、圓錐時），準確求出空間圖形的高和底面積.
【跟蹤訓練】
1.如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，則該幾何體的體積為（　?。?br/>A.5π B.6π
C.20π D.10π
2.（2024·蘇州月考）如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若E，F分別為AB，AC的中點，平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1，V2的兩部分，那么V1∶V2＝　　　　.
題型二 球的表面積與體積
【例2】　（1）一平面截一球得到直徑為2 cm的圓面，球心到這個平面的距離是2 cm，則該球的體積是（　?。?br/>A.12π cm3 B.36π cm3
C.64π cm3 D.108π cm3
（2）半徑為2的小金屬球共有125個，熔化后鑄成一個大金屬球，如果不計損耗，可鑄成的大金屬球的表面積為（　　）
A.100 B.400
C.100π D.400π
通性通法
　　因為球的表面積與體積都是球的半徑的函數，所以在解答這類問題時，設法求出球的半徑是解題的關鍵.
【跟蹤訓練】
1.若兩球的表面積之差為48π，它們的半徑之和為6，則兩球的體積之差的絕對值為　　　　.
2.（2024·徐州月考）長、寬、高分別為2，，的長方體的外接球的表面積為　　　　.
題型三 簡單組合體的體積
【例3】　如圖所示的空間圖形，上面是圓柱，其底面直徑為6 cm，高為3 cm，下面是正六棱柱，其底面邊長為4 cm，高為2 cm，現從中間挖去一個直徑為2 cm的圓柱，求此空間圖形的體積.
通性通法
求空間組合體體積的思路與方法
　　針對此類問題的關鍵是將該組合體分解為若干個柱、錐、臺、球的基本空間圖形，然后借助柱、錐、臺、球的體積公式分別求解.
【跟蹤訓練】
如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉一周所得的空間圖形的體積.
1.已知正四棱錐的底面邊長為2，高為3，則它的體積為（　?。?br/>A.2　　　B.4　　　C.6　 　　D.12
2.把球的表面積擴大到原來的2倍，那么球的體積擴大到原來的（　?。?br/>A.2倍 B.倍
C.2倍 D.倍
3.（2024·溫州質檢）一個棱柱和一個棱錐的高相等，底面積之比為2∶3，則棱柱與棱錐的體積之比為（　?。?br/>A. B.2
C. D.3
4.（2024·江蘇海安中學期中）已知圓臺下底面的半徑為4 cm，高為4 cm，母線長為2 cm，則圓臺的體積為　　　　cm3.
13.3.2　空間圖形的體積
【基礎知識·重落實】
知識點一
　Sh　Sh　h（S＋＋S'）
知識點二
?。?）πR3　（2）4πR2
自我診斷
1.B　設正方體的棱長為a，則6a2＝96，解得a＝4，所以正方體的體積為a3＝64.
2.AC　由題意知，球的半徑r＝3.則S球＝4πr2＝4π×32＝36π，V球＝πr3＝π×33＝36π.故選A、C.
3.　解析：三棱錐D1-ADC的體積V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝××1×1×1＝.
【典型例題·精研析】
【例1】?。?）D?。?）B　解析：（1）設圓柱的底面半徑為r，則2πr＝4π，解得r＝2，則該圓柱的體積為π×22×4＝16π.故選D.
（2）V＝（S＋＋S'）h＝×（2＋＋4）×3＝6＋2.故選B.
（3）解：①＝S△ABD·A1A＝×·AB·AD·A1A＝a3.
故剩余部分的體積V＝V正方體－＝a3－a3＝a3.
②＝＝a3.
設三棱錐A-A1BD的高為h，
則＝··h＝××（a）2h＝a2h，故a2h＝a3，解得h＝a.
跟蹤訓練
1.D　 用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱，如圖，則圓柱的體積為π×22×5＝20π，故所求幾何體的體積為10π.
2.7∶5　解析：設三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，則V＝V1＋V2＝Sh.因為E，F分別為AB，AC的中點，所以S△AEF＝S，V1＝h（S＋S＋ ）＝Sh，V2＝Sh－V1＝Sh，所以V1∶V2＝7∶5.
【例2】?。?）B　（2）D　解析：（1）設球心為O，截面圓心為O1，連接OO1，如圖所示，在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，∴球的半徑R＝OA＝＝3 cm，∴球的體積V＝π×33＝36π cm3.故選B.
（2）設大金屬球的半徑為r，則×23×125＝×r3 r＝10，∴其表面積為4πr2＝400π.故選D.
跟蹤訓練
1.π　解析：設兩個球的半徑分別為R，r（R＞r），則由題意得即整理，得解得故兩球的體積之差的絕對值為π×43－π×23＝π（43－23）＝π.
2.12π　解析：該長方體的體對角線長為＝2，設外接球的半徑為R，∴2R＝2，∴R＝，∴S球＝4πR2＝12π.
【例3】　解：依題意，該空間圖形是由一個正六棱柱和一個圓柱組合后再挖去一個小圓柱而成的.
正六棱柱底面邊長為4 cm，即由6個邊長為4 cm的等邊三角形組成，故底面積為6××42＝24 （cm2），
又高為2 cm，故正六棱柱的體積V1＝24×2＝48（cm3），
大圓柱底面直徑為6 cm，高為3 cm，故體積V2＝π××3＝27π（cm3），
小圓柱直徑為2 cm，高為2＋3＝5（cm），故體積為V3＝π××5＝5π（cm3），
故該空間圖形的體積為V＝V1＋V2－V3＝48＋27π－5π＝（48＋22π）（cm3）.
跟蹤訓練
　解：四邊形ABCD繞AD旋轉一周形成的幾何體是一個圓臺挖去一個圓錐所得的組合體，故該空間圖形的體積V＝V圓臺－V圓錐＝π（＋r1r2＋）·h－πh'＝π（25＋10＋4）×4－π×4×2＝π.
隨堂檢測
1.B　正四棱錐的底面積為2×2＝4，則體積為×4×3＝4.
2.C　設原來球的半徑為r，擴大后球的半徑為R，依題意可知＝2，所以R＝r.所以＝＝＝2.即球的體積擴大到原來的2倍，故C正確.故選C.
3.B　設棱柱的高為h，底面積為S，則棱錐的高為h，底面積為 S，故二者的體積之比為 ＝＝＝2.
4.π　解析：設圓臺上底面半徑為r（r＜4），軸截面如圖所示，過B作BE⊥DC，垂足為E，則有AB＝r，DC＝4，AD＝BE＝4，BC＝2，因為BC2＝BE2＋CE2，所以有（2）2＝42＋（4－r）2 r＝2或r＝6（舍去），所以圓臺的體積為·（π·22＋π·2·4＋π·42）·4＝π （cm3）.
4 / 4(共58張PPT)
13.3.2　
空間圖形的體積
新課程標準解讀 核心素養
1.掌握柱體、錐體、臺體的體積公式，會利用它
們求有關空間圖形的體積 直觀想象、
數學運算
2.了解球的表面積與體積公式，并能應用它們求
球的表面積及體積 直觀想象、
數學運算
3.會求簡單組合體的體積 數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　在小學和初中，我們已經知道長方體的體積V長方體＝abc＝Sh，
這里a，b，c表示長方體的長、寬和高，S，h分別表示長方體的底
面積和高.長方體體積公式是計算其他空間圖形體積的基礎，我們將
上述結論作為已知事實來運用，那么，如何推出其他簡單空間圖形的
體積公式呢？
【問題】　柱體、錐體、臺體的體積公式是什么？
知識點一　柱體、錐體、臺體的體積
幾何體 體積公式
柱體 V＝ （S為底面面積，h為柱體的高）
錐體 V＝ （S為底面面積，h為錐體的高）
臺體 V＝ （S'，S分別為上、下底面
面積，h為臺體的高）
Sh　
Sh　
h（S＋ ＋S'）　
提醒　柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關系：
知識點二　球的體積和表面積
若球的半徑為R，則：

（2）球的表面積S球面＝ .
πR3　
4πR2　
知識點三　球的截面的特點
1. 球既是中心對稱的空間圖形，又是軸對稱的空間圖形，它的任何截
面均為圓面.
2. 利用球半徑、截面圓半徑，球心到截面的距離構建直角三角形是把
空間問題轉化為平面問題的主要途徑.
1. 正方體的表面積為96，則正方體的體積為（　?。?br/>B. 64
C. 16 D. 96
解析： 　設正方體的棱長為a，則6a2＝96，解得a＝4，所以正
方體的體積為a3＝64.
√
2. （多選）若一個球的直徑為6，則（　　）
A. 球的表面積是36π
B. 球的表面積是144π
C. 球的體積是36π
D. 球的體積是144π
解析： 由題意知，球的半徑r＝3.則S球＝4πr2＝4π×32＝
36π，V球＝ πr3＝ π×33＝36π.故選A、C.
√
√

解析：三棱錐D1-ADC的體積V＝ S△ADC×D1D＝ ×
×AD×DC×D1D＝ × ×1×1×1＝ .
　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 柱體、錐體、臺體的體積
【例1】?。?）已知圓柱的底面周長為4π，高為4，則圓柱的體積為
（　D?。?br/>A. 4π C. 12π
B. 8π D. 16π
解析： 設圓柱的底面半徑為r，則2πr＝
4π，解得r＝2，則該圓柱的體積為π×22×4＝
16π.故選D.
D
（2）棱臺的上、下底面面積分別是2，4，高為3，則該棱臺的體積是
（　B?。?br/>C. 24 D. 18
解析： V＝ （S＋ ＋S'）h＝ ×（2＋ ＋4）×3＝6＋2 .故選B.
B
（3）如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，過頂點B，
D，A1截下一個三棱錐.
①求剩余部分的體積；
②求三棱錐A-A1BD的體積及高.
解：① ＝ S△ABD·A1A
＝ × ·AB·AD·A1A＝ a3.
故剩余部分的體積V＝V正方體－ ＝a3
－ a3＝ a3.
② ＝ ＝ a3.
設三棱錐A-A1BD的高為h，
則 ＝ · ·h＝ × × （ a）2h＝ a2h，故
a2h＝ a3，解得h＝ a.
通性通法
求空間圖形體積的常用方法
（1）公式法：直接代入公式求解；
（2）等積法：例如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用
底面積和高都易求的形式即可；
（3）補體法：將空間圖形補成易求解的空間圖形，如棱錐補成棱
柱，棱臺補成棱錐等；
（4）分割法：將空間圖形分割成易求解的幾部分，分別求體積.
提醒　求空間圖形的體積時，要注意利用好空間圖形的軸截面
（尤其為圓柱、圓錐時），準確求出空間圖形的高和底面積.
【跟蹤訓練】
1. 如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最
短和最長母線長分別為2和3，則該幾何體的體積為（　　）
A. 5π B. 6π
C. 20π D. 10π
解析： 　 用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成
一個圓柱，如圖，則圓柱的體積為π×22×5＝20π，故
所求幾何體的體積為10π.
√
2. （2024·蘇州月考）如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若E，F
分別為AB，AC的中點，平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1，V2
的兩部分，那么V1∶V2＝ .
7∶5　
解析：設三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，則V＝V1
＋V2＝Sh.因為E，F分別為AB，AC的中點，所以S△AEF＝ S，
V1＝ h（S＋ S＋ ）＝ Sh，V2＝Sh－V1＝ Sh，所以
V1∶V2＝7∶5.
題型二 球的表面積與體積
【例2】?。?）一平面截一球得到直徑為2 cm的圓面，球心到這個
平面的距離是2 cm，則該球的體積是（　B?。?br/>A. 12π cm3 B. 36π cm3
D. 108π cm3
B
解析： 設球心為O，截面圓心為O1，連接OO1，如圖所示，在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，∴球的半徑R＝OA＝
＝3 cm，∴球的體積V＝ π×33＝36π cm3.故選B.
（2）半徑為2的小金屬球共有125個，熔化后鑄成一個大金屬球，如
果不計損耗，可鑄成的大金屬球的表面積為（　D?。?br/>A. 100 B. 400
C. 100π D. 400π
D
解析：設大金屬球的半徑為r，則 ×23×125＝ ×r3 r＝
10，∴其表面積為4πr2＝400π.故選D.
通性通法
　　因為球的表面積與體積都是球的半徑的函數，所以在解答這類問
題時，設法求出球的半徑是解題的關鍵.

解析：設兩個球的半徑分別為R，r（R＞r），則由題意得
即整理，得
解得故兩球的體積之差的絕對值為 π×43－
π×23＝ π（43－23）＝ π.
π　
2. （2024·徐州月考）長、寬、高分別為2， ， 的長方體的外接
球的表面積為 .
解析：該長方體的體對角線長為 ＝
2 ，設外接球的半徑為R，∴2R＝2 ，∴R＝ ，∴S球＝
4πR2＝12π.
12π　
題型三 簡單組合體的體積
【例3】　如圖所示的空間圖形，上面是圓柱，其底面直徑為6 cm，
高為3 cm，下面是正六棱柱，其底面邊長為4 cm，高為2 cm，現從中
間挖去一個直徑為2 cm的圓柱，求此空間圖形的體積.
解：依題意，該空間圖形是由一個正六棱柱和一個圓柱組合后再挖去
一個小圓柱而成的.
正六棱柱底面邊長為4 cm，即由6個邊長為4 cm的等邊三角形組成，
故底面積為6× ×42＝24 （cm2），
又高為2 cm，故正六棱柱的體積V1＝24 ×2＝48 （cm3），
大圓柱底面直徑為6 cm，高為3 cm，故體積V2＝π× ×3＝27π
（cm3），
小圓柱直徑為2 cm，高為2＋3＝5（cm），故體積為V3＝π× ×5
＝5π（cm3），
故該空間圖形的體積為V＝V1＋V2－V3＝48 ＋27π－5π＝（48
＋22π）（cm3）.
通性通法
求空間組合體體積的思路與方法
　　針對此類問題的關鍵是將該組合體分解為若干個柱、錐、臺、球
的基本空間圖形，然后借助柱、錐、臺、球的體積公式分別求解.
【跟蹤訓練】
如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝
5，CD＝2 ，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉一周所
得的空間圖形的體積.
解：四邊形ABCD繞AD旋轉一周形成的幾何體是一個圓臺挖去一個
圓錐所得的組合體，故該空間圖形的體積V＝V圓臺－V圓錐＝ π（
＋r1r2＋ ）·h－ π h'＝ π（25＋10＋4）×4－ π×4×2＝ π.
1. 已知正四棱錐的底面邊長為2，高為3，則它的體積為（　　）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 12
解析： 　正四棱錐的底面積為2×2＝4，則體積為 ×4×3＝4.
√
2. 把球的表面積擴大到原來的2倍，那么球的體積擴大到原來的
（　?。?br/>A. 2倍
解析： 　設原來球的半徑為r，擴大后球的半徑為R，依題意可
知 ＝2，所以R＝ r.所以 ＝ ＝ ＝2 .即球
的體積擴大到原來的2 倍，故C正確.故選C.
√
3. （2024·溫州質檢）一個棱柱和一個棱錐的高相等，底面積之比為
2∶3，則棱柱與棱錐的體積之比為（　?。?br/>B. 2
D. 3
解析： 　設棱柱的高為h，底面積為S，則棱錐的高為h，底面積
為 S，故二者的體積之比為 ＝ ＝ ＝2.
√
4. （2024·江蘇海安中學期中）已知圓臺下底面的半徑為4 cm，高為4
cm，母線長為2 cm，則圓臺的體積為 　 π　cm3.
解析：設圓臺上底面半徑為r（r＜4），軸截面如
圖所示，過B作BE⊥DC，垂足為E，則有AB＝
r，DC＝4，AD＝BE＝4，BC＝2 ，因為BC2
＝BE2＋CE2，所以有（2 ）2＝42＋（4－r）2 r＝2或r＝6（舍去），所以圓臺的體積為 ·（π·22＋π·2·4＋π·42）·4＝ π （cm3）.
π　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 如果軸截面為正方形的圓柱的側面積是4π，那么圓柱的體積等于
（　?。?br/>A. π B. 2π
C. 4π D. 8π
解析： 　設軸截面正方形的邊長為a，由題意知S側＝πa·a＝πa2.
又∵S側＝4π，∴πa2＝4π，∴a＝2.∴V圓柱＝π（ ）2×a＝π×2＝
2π.故選B.
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2. （2024·無錫錫南實驗中學期中）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1
中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，A1A＝AB＝AC＝2，那么三棱
錐A1-ABC的體積是（　?。?br/>C. 4 D. 8
√
解析： 　∵A1A⊥底面ABC，∴A1A為三棱錐A1-ABC的高，故h
＝2，∵△ABC為底面，AB⊥AC，∴S△ABC＝ AB·AC＝ ×2×2
＝2，∴ ＝ S△ABC·h＝ ×2×2＝ .故選A.
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3. 如圖，圓柱形容器內盛有高度為6 cm的水，若放入3個相同的鐵球
（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球
（水面恰為圓柱的上底面），則球的半徑為（　　）
A. 4 cm B. 3 cm
C. 2 cm D. 1 cm
解析： 　設球的半徑為r，依題意得三個球的體積和水的體積之
和等于高度為6r cm的圓柱體的體積，∴3× πr3＋πr2×6＝
πr2×6r，解得r＝3.故選B.
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4. 在棱長為1的正方體中，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該
正方體，則截去與8個頂點相關的8個三棱錐后，剩下的空間圖形的
體積是（　?。?br/>√
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解析： 由題意易知正方體的體積為1，過共頂點的三條棱中點
的平面截該正方體，截去的三棱錐的體積是 × × ＝
，于是8個三棱錐的體積是 ，故剩下的空間圖形的體積是1－
＝ .
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5. 如圖，已知正六棱柱的最大對角面的面積為1 m2，互相平行的兩個
側面的距離為1 m，則這個六棱柱的體積為（　　）
C. 1 m3
解析： 　設正六棱柱的底面邊長為a m，高為h m，則2ah＝1，
a＝1，解得a＝ ，h＝ .所以六棱柱的體積V＝ ×（ ）
2×6× ＝ （m3）.
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6. 體積為52的圓臺，一個底面積是另一個底面積的9倍，那么截得這
個圓臺的圓錐的體積是（　?。?br/>A. 54 B. 54π
C. 58 D. 58π
解析： 　設上底面半徑為r，則由題意求得下底面半徑為3r，設
圓臺高為h1，則52＝ πh1（r2＋9r2＋3r·r），∴πr2h1＝12.令原
圓錐的高為h，由相似知識得 ＝ ，∴h＝ h1，∴V原圓錐＝
π（3r）2×h＝3πr2× h1＝ ×12＝54.
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解析： ＝ DD1×1＝ ，又點F到平面DD1E的距離為1，
所以 ＝ ＝ ×1＝ .
　
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8. 如圖，一個棱長為4的正方體被挖去一個高為4的正四棱柱后得到圖
中的幾何體，若該幾何體的體積為60，則該幾何體的表面積
為 .
110　
解析：設正四棱柱的底面邊長為m，則4（42－m2）＝60，解得m
＝1，則該幾何體的表面積為42×4＋（42－12）×2＋4×1×4＝
110.
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9. 把底面半徑為8 cm的圓錐放倒在一平面上，使圓錐在此平面內繞圓
錐頂點S滾動，當這個圓錐在平面內轉回原位置時，圓錐本身滾動
了2.5周，則圓錐的母線長為 ，表面積等于
.
解析：設圓錐的母線長為l cm，如圖，以S為圓心，
SA為半徑的圓的面積S＝πl2.又圓錐的側面積S圓錐側
＝πrl＝8πl，根據圓錐在平面內轉到原位置時，圓
錐本身滾動了2.5周，∴πl2＝2.5×8πl，∴l＝20
（cm）.圓錐的表面積S＝S圓錐側＋S底＝π×8×20＋
π×82＝224π（cm2）.
20 cm　
224π
cm2　
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10. 若E，F 是三棱柱 ABC-A1B1C1 側棱 BB1和 CC1 上的點，且 B1E ＝
CF，三棱柱的體積為 m，求四棱錐 A-BEFC 的體積.
解：如圖所示，連接 AB1，AC1，
因為B1E＝CF，
所以梯形 BEFC 的面積等于梯形 B1EFC1 的面
積.
又四棱錐 A-BEFC 的高與四棱錐 A-B1EFC1 的
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高相等，所以VA-BEFC＝ ＝ .又 ＝ ·h， ＝ ·h＝m，所以
＝ ，所以 ＝ － ＝ m.所以 VA-BEFC＝ × m＝ ，即四棱錐A-BEFC 的體積是 .
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11. （2024·無錫輔仁高中期中）如圖，實心正方體ABCD-A1B1C1D1
的棱長為2，其中上、下底面的中心分別為Q，R. 若從該正方體
中挖去兩個圓錐，且其中一個圓錐以R為頂點，以正方形
A1B1C1D1的內切圓為底面，另一個圓錐以Q為頂點，以正方形
ABCD的內切圓為底面，則該正方體剩余部分的體積為（　?。?br/>√
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解析： 兩圓錐的體積都為V1＝ πr2h＝ ×π×12×2＝ π，則
其公共部分為V2＝2× ×π×（ ）2×1＝ ，故該正方體剩余部
分的體積為V＝23－2×V1＋V2＝8－ ＋ ＝8－ .故選D.
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12. （多選）已知△ABC的三邊長分別是AC＝3，BC＝4，AB＝5，
下列說法正確的是（　　）
A. 以BC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的側面積為15π
B. 以BC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的體積為36π
C. 以AC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的側面積為25π
D. 以AC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的體積為16π
√
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解析： 　由已知得AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，△ABC
是以角C為直角的直角三角形，以BC所在直線為軸旋轉時，所得
旋轉體為底面半徑為3，母線長為5，高為4的圓錐，∴側面積為
π×3×5＝15π，體積為 ×π×32×4＝12π，A正確，B錯誤；以
AC所在直線為軸旋轉時，所得旋轉體為底面半徑為4，母線長為
5，高為3的圓錐，∴側面積為π×4×5＝20π，體積為 ×π×42×3
＝16π，C錯誤，D正確.故選A、D.
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13. 將一個底面直徑為2、高為1的圓柱截成橫截面是長方形的棱柱
（如圖）.設這個長方形截面的一條邊長為x，對角線長為2，則
截得棱柱的體積的最大值為 .
2　
解析：∵長方形的一條邊長為x，對角線長為2，∴另一條邊長為
，則截得的棱柱的體積V＝x ×1＝ ＝
（0＜x＜2），∴當x2＝2，即x＝ 時，Vmax
＝2，即截得棱柱體積的最大值為2.
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14. 某人買了一罐容積為V L，高為a m的直三棱柱形罐裝液體車油，
由于不小心摔落在地上，該罐裝液體車油有兩處破損并發生滲
漏，它們的位置分別在兩條棱上且距下底面高度分別為b m，c m
的地方（如圖）.為了減少罐內液體車油的損失，該人采用破口朝
上，傾斜罐口的方式拿回家，試問罐內液體車油最多還能剩多少.
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解：如圖所示，設直三棱柱的底面面積為S，
則V＝aS，
當平面A1DE與水平面平行時，容器內的油是
最理想的剩余量，連接A1B，A1C，則
＝ aS＝ V，
∵ ＝ ＝ ，且 ＋ ＝ V，∴ ＝ V，
∴ ＋ ＝ V＋ V＝ V，
∴罐內液體車油最多還能剩 V L.
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15. 某市建造圓錐形倉庫用于儲存糧食，已建的倉庫底面直徑為12
m，高為4 m.隨著該市經濟的發展，糧食產量的增大，該市擬建
一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多的糧食.現有兩種方案：一是
新建的倉庫底面半徑比原來大2 m（高不變）；二是高度增加4 m
（底面直徑不變）.
（1）分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；
解： 方案一：倉庫的底面直徑變成16 m，則倉庫的體
積V1＝ Sh＝ ×π×（ ）2×4＝ π（m3）.
方案二：倉庫的高變成8 m，則倉庫的體積V2＝ Sh＝
×π×（ ）2×8＝ π＝96π（m3）.
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（2）分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；
解： 方案一：倉庫的底面直徑變成16 m，半徑為8m，
則圓錐的母線長l1＝ ＝4 （m），
則倉庫的表面積S1＝π×8×4 ＋π×82＝（32 π＋
64π）m2.
方案二：倉庫的高變成8 m，
則圓錐的母線長l2＝ ＝10（m），
則倉庫的表面積S2＝π×6×10＋π×62＝60π＋36π＝96π
（m2）.
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（3）選用哪個方案建造倉庫更經濟些？
解： 由（1）（2）可知V1＜V2，S1＞S2，按第二種
方案所建的倉庫的體積大，可以貯藏更多的糧食，倉庫
的表面積小，則用料少，成本低，所以選擇方案二建造
倉庫更經濟些.
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