資源簡介

　　
一、空間幾何體的表面積與體積
　　主要考查多面體、旋轉體的表面積，柱體、錐體、臺體的體積及球的表面積和體積等，對于不規則幾何體常用轉換法、分割法、補形法等進行求解.
【例1】　（1）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長均為2，D為棱B1C1上任意一點，則三棱錐D-A1BC的體積是　　　；
（2）設棱長為a的正方體的體積和表面積分別為V1，S1，底面半徑和高均為r的圓錐的體積和側面積分別為V2，S2，若＝，則的值為　　　　.
反思感悟
關于空間圖形的體積、表面積
　　首先要明確空間圖形的基本量，如球的半徑，空間圖形的高、棱長等，其次是準確代入相關的公式計算.在計算中應注意各數量之間的關系，特別是特殊的柱體、錐體、臺體，要注意其中矩形、直角三角形及梯形等重要的平面圖形的作用.
【跟蹤訓練】
在一個如圖所示的直角梯形ABCD內挖去一個扇形，E恰好是梯形的下底邊的中點，將所得平面圖形繞直線DE旋轉一圈.求所得幾何體的表面積和體積.
二、空間中的平行關系
　　空間中的平行主要有線線平行、線面平行、面面平行，主要考查在空間圖形中證明線面平行、面面平行以及線線平行.
【例2】　已知M，N分別是底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD的棱AB，PC的中點，平面CMN與平面PAD交于PE，求證：
（1）MN∥平面PAD；
（2）MN∥PE.
反思感悟
線線平行、線面平行、面面平行間的關系
　　線線平行、線面平行、面面平行這三種關系是緊密相連的，可以進行任意轉化，相互間的轉化關系如圖.
【跟蹤訓練】
如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在線段PB上是否存在一點F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，請確定點F的位置；若不存在，請說明理由.
三、空間中的垂直關系
　　空間中的垂直主要考查空間中線面垂直、面面垂直的判定定理與性質定理，以及線線垂直、線面垂直、面面垂直三者之間的聯系與轉化.
【例3】　如圖所示，已知AF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝2，AB＝4.
（1）求證：AC⊥平面BCE；
（2）求證：AD⊥AE.
反思感悟
線線垂直、線面垂直、面面垂直相互間的轉化
【跟蹤訓練】
　（2023·全國甲卷18題）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
（1）證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
（2）設AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1-BB1C1C的高.
四、空間角的計算
　　空間角包括異面直線所成的角、線面角及二面角，主要考查空間角的定義及求法，求角時要先找角，再證角，最后在三角形中求角.
【例4】　如圖，正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1，B'C∩BC'＝O，求：
（1）AO與A'C'所成角的大小；
（2）AO與平面ABCD所成角的正切值；
（3）二面角B-AO-C的大小.
反思感悟
1.求異面直線所成的角常用平移轉化法（轉化為相交直線的夾角）.
2.求直線與平面所成的角常用射影轉化法（即作垂線、找射影）.
3.二面角的平面角的作法常有三種：定義法、三垂線法、垂面法.
【跟蹤訓練】
　如圖，圓錐的底面圓心為O，直徑為AB，C為半圓弧的中點，E為劣弧的中點，且AB＝2PO＝2.
（1）求異面直線PC與OE所成的角的大小；
（2）求二面角P-AC-E的余弦值.
五、空間距離的計算
　　空間立體幾何中的距離包括點點距、點線距、點面距、線線距、線面距、面面距等.像線線距離、線面距離、面面距離等，都可以轉化成點到平面的距離去求解.
【例5】　（1）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，則點P到BC的距離是（　　）
A.　　　　　　　　 B.2
C.3 D.4
（2）三個平面兩兩垂直，它們的交線交于一點O，點P到三個面的距離分別是3，4，5，則OP的長為（　　）
A.5 B.5
C.3 D.2
反思感悟
空間距離的求法
（1）由已知證明垂直關系，則垂線段的長就是點到平面的距離；
（2）過點作平面的垂線，明確垂足，從而得到點到平面的距離；
（3）運用等體積法求點到平面的距離.
【跟蹤訓練】
如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，側棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，求AD到平面PBC的距離.
章末復習與總結
【例1】　（1）　（2）　解析：（1）設h為△A1B1C1邊B1C1上的高，由題可得＝＝·S△BCD·h＝××2×2×＝.
（2）由題意可知V1＝a3，S1＝6a2，V2＝×πr2×r＝，S2＝πr2，由＝得a＝r，所以＝＝.
跟蹤訓練
　解：根據題意知，將所得平面圖形繞直線DE旋轉一圈后所得幾何體的上部是圓錐，下部是圓柱挖去一個半徑等于圓柱體高的半球的組合體.
該組合體的表面積為S幾何體＝S圓錐側＋S圓柱側＋S半球＝π×2×2＋2π×2×2＋×4π×22＝（4＋16）π，
組合體的體積為V幾何體＝V圓錐＋V圓柱－V半球＝×π×22×2＋π×22×2－××π×23＝.
【例2】　證明：（1）如圖，取DC的中點Q，連接MQ，NQ.
∵NQ是△PCD的中位線，
∴NQ∥PD.
∵NQ 平面PAD，PD 平面PAD，
∴NQ∥平面PAD.
∵M是AB的中點，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴MQ∥AD.
∵MQ 平面PAD，AD 平面PAD，
∴MQ∥平面PAD.
∵MQ∩NQ＝Q，又MQ，NQ 平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PAD.
∵MN 平面MNQ，∴MN∥平面PAD.
（2）∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，
∴MN∥PE.
跟蹤訓練
　解：當點F是PB的中點時，平面AFC∥平面PMD，證明如下：
如圖，連接BD與AC交于點O，連接FO，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是BD的中點，∴OF∥PD.
又OF 平面PMD，PD 平面PMD，
∴OF∥平面PMD.
又MA∥PB且MA＝PB，
∴PF∥MA且PF＝MA，
∴四邊形AFPM是平行四邊形，∴AF∥PM.
又AF 平面PMD，PM 平面PMD，
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF 平面AFC，OF 平面AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
【例3】　證明：（1）在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，
所以AC＝BC＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.
因為AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，
又AC 平面ABCD，
所以BE⊥AC.
又BE 平面BCE，BC 平面BCE，BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
（2）因為AF⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以AF⊥AD.
又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.
又AF 平面ABEF，AB 平面ABEF，AF∩AB＝A，
所以AD⊥平面ABEF，
又AE 平面ABEF，所以AD⊥AE.
跟蹤訓練
　解：（1）證明：因為A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以A1C⊥BC.
因為∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.
因為AC∩A1C＝C，AC，A1C 平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1.
因為BC 平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
（2）如圖，取棱AA1的中點D，連接BD，CD.
因為AB＝A1B，所以AA1⊥BD.
因為BC⊥平面ACC1A1，AA1 平面ACC1A1，所以BC⊥AA1.
因為BC∩BD＝B，BC，BD 平面BCD，
所以AA1⊥平面BCD.
因為CD 平面BCD，所以AA1⊥CD.
因為AA1∥CC1，所以CD⊥CC1.
又因為CD⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1 平面BB1C1C，所以CD⊥平面BB1C1C.
因為AA1＝2，所以CD＝1.
易知AA1∥平面BB1C1C，
所以四棱錐A1-BB1C1C的高為CD＝1.
【例4】　解：（1）∵A'C'∥AC，
∴AO與A'C'所成的角就是∠OAC（或其補角）.
∵AB⊥平面BC'，OC 平面BC'，
∴OC⊥AB，
又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO 平面ABO，
∴OC⊥平面ABO.
又OA 平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，
sin∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°.
即AO與A'C'所成的角為30°.
（2）如圖，作OE⊥BC于點E，連接AE.
∵平面BC'⊥平面ABCD，平面BC'∩平面ABCD＝BC，OE 平面BC'，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE為AO與平面ABCD所成的角.
在Rt△OAE中，OE＝，AE＝＝，
∴tan∠OAE＝＝.
即AO與平面ABCD所成角的正切值為.
（3）由（1）可知OC⊥平面AOB.
又∵OC 平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.
即二面角B-AO-C的大小為90°.
跟蹤訓練
　解：（1）∵PO是圓錐的高，∴PO⊥底面圓O，
根據中點條件可以證明OE∥AC，
∠PCA或其補角是異面直線PC與OE所成的角，
AC＝＝＝2，PC＝PA＝＝＝2，
∴∠PCA＝，故異面直線PC與OE所成的角是.
（2）如圖，取AC中點為D，連接PD，OD，
由（1）知，PA＝AC＝PC，
∴PD⊥AC，
∵OA＝OC，∴OD⊥AC，
又E為劣弧的中點，即有E∈底面圓O，
∴二面角P-AC-E的平面角即為∠PDO，
∵C為半圓弧的中點，∴∠AOC＝，
∴OD＝AC＝1，
∵PO⊥底面圓O且OD 底面圓O，∴PO⊥OD，
又PO＝，∴在Rt△PDO中，PD＝，
∴cos∠PDO＝＝，∴二面角P-AC-E的余弦值是.
【例5】　（1）D　（2）B　解析：（1）由題知，PB＝PC＝＝，則P到BC的距離d＝ ＝＝4.
（2）∵三個平面兩兩垂直，∴可以將P與各面的垂足連接并補成一個長方體，∴OP即為體對角線，∴OP＝＝＝5.
跟蹤訓練
　解：因為AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC，
所以AD到平面PBC的距離等于點A到平面PBC的距離，
因為側棱PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，因為∠ABC＝90°，即AB⊥BC，
因為PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，
因為PA＝AB＝BC＝2，所以PB＝2，
設點A到平面PBC的距離為d，則由V三棱錐P-ABC＝V三棱錐A-PBC得PA·S△ABC＝d·S△PBC，
所以×2××2×2＝d××2×2，得d＝，所以AD到平面PBC的距離為.
4 / 4(共38張PPT)
章末復習與總結
一、空間幾何體的表面積與體積
　　主要考查多面體、旋轉體的表面積，柱體、錐體、臺體的體積及
球的表面積和體積等，對于不規則幾何體常用轉換法、分割法、補形
法等進行求解.
【例1】　（1）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長均為2，D為
棱B1C1上任意一點，則三棱錐D-A1BC的體積是 ；
　
解析： 設h為△A1B1C1邊B1C1上的高，由
題可得 ＝ ＝ ·S△BCD·h＝ ×
×2×2× ＝ .
（2）設棱長為a的正方體的體積和表面積分別為V1，S1，底面半徑和
高均為r的圓錐的體積和側面積分別為V2，S2，若 ＝ ，則
的值為 .
解析： 由題意可知V1＝a3，S1＝6a2，V2
＝ ×πr2×r＝ ，S2＝ πr2，由 ＝ 得a
＝r，所以 ＝ ＝ .
　
反思感悟
關于空間圖形的體積、表面積
　　首先要明確空間圖形的基本量，如球的半徑，空間圖形的高、棱
長等，其次是準確代入相關的公式計算.在計算中應注意各數量之間
的關系，特別是特殊的柱體、錐體、臺體，要注意其中矩形、直角三
角形及梯形等重要的平面圖形的作用.
【跟蹤訓練】
在一個如圖所示的直角梯形ABCD內挖去一個扇形，E恰好是梯形的
下底邊的中點，將所得平面圖形繞直線DE旋轉一圈.求所得幾何體的
表面積和體積.
解：根據題意知，將所得平面圖形繞直線DE旋轉一圈后
所得幾何體的上部是圓錐，下部是圓柱挖去一個半徑等于
圓柱體高的半球的組合體.
該組合體的表面積為S幾何體＝S圓錐側＋S圓柱側＋S半球＝
π×2×2 ＋2π×2×2＋ ×4π×22＝（4 ＋16）π，
組合體的體積為V幾何體＝V圓錐＋V圓柱－V半球＝
×π×22×2＋π×22×2－ × ×π×23＝ .
二、空間中的平行關系
　　空間中的平行主要有線線平行、線面平行、面面平行，主要考查
在空間圖形中證明線面平行、面面平行以及線線平行.
【例2】　已知M，N分別是底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD的
棱AB，PC的中點，平面CMN與平面PAD交于PE，求證：
（1）MN∥平面PAD；
證明： 如圖，取DC的中點Q，連接
MQ，NQ.
∵NQ是△PCD的中位線，
∴NQ∥PD.
∵NQ 平面PAD，PD 平面PAD，
∴NQ∥平面PAD.
∵M是AB的中點，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴MQ∥AD.
∵MQ 平面PAD，AD 平面PAD，∴MQ∥平面PAD.
∵MQ∩NQ＝Q，又MQ，NQ 平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PAD.
∵MN 平面MNQ，∴MN∥平面PAD.
（2）MN∥PE.
證明： ∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝
MN，平面PEC∩平面PAD＝PE，
∴MN∥PE.
反思感悟
線線平行、線面平行、面面平行間的關系
　　線線平行、線面平行、面面平行這三種關系是緊密相連的，可以
進行任意轉化，相互間的轉化關系如圖.
【跟蹤訓練】
如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，
MA∥PB，PB＝2MA. 在線段PB上是否存在一點F，使平面AFC∥
平面PMD？若存在，請確定點F的位置；若不存在，請說明理由.
解：當點F是PB的中點時，平面AFC∥平面
PMD，證明如下：
如圖，連接BD與AC交于點O，連接FO，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是BD的中點，∴OF∥PD.
又OF 平面PMD，PD 平面PMD，
∴OF∥平面PMD.
又MA∥PB且MA＝ PB，
∴PF∥MA且PF＝MA，
∴四邊形AFPM是平行四邊形，∴AF∥PM.
又AF 平面PMD，PM 平面PMD，
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF 平面AFC，OF 平面
AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
三、空間中的垂直關系
　　空間中的垂直主要考查空間中線面垂直、面面垂直的判定定
理與性質定理，以及線線垂直、線面垂直、面面垂直三者之間的
聯系與轉化.
【例3】　如圖所示，已知AF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，
四邊形ABCD為直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝
2，AB＝4.
（1）求證：AC⊥平面BCE；
證明： 在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，
所以AC＝BC＝2 ，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.
因為AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，
又AC 平面ABCD，所以BE⊥AC.
又BE 平面BCE，BC 平面BCE，BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
（2）求證：AD⊥AE.
證明： 因為AF⊥平面ABCD，AD 平面
ABCD，
所以AF⊥AD.
又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.
又AF 平面ABEF，AB 平面ABEF，
AF∩AB＝A，
所以AD⊥平面ABEF，
又AE 平面ABEF，所以AD⊥AE.
反思感悟
線線垂直、線面垂直、面面垂直相互間的轉化
【跟蹤訓練】
　（2023·全國甲卷18題）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平
面ABC，∠ACB＝90°.
（1）證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
解： 證明：因為A1C⊥平面ABC，BC
平面ABC，所以A1C⊥BC.
因為∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.
因為AC∩A1C＝C，AC，A1C 平面
ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1.
因為BC 平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
（2）設AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1-BB1C1C的高.
解： 如圖，取棱AA1的中點D，連接
BD，CD.
因為AB＝A1B，所以AA1⊥BD.
因為BC⊥平面ACC1A1，AA1 平面
ACC1A1，所以BC⊥AA1.
因為BC∩BD＝B，BC，BD 平面BCD，
所以AA1⊥平面BCD.
因為CD 平面BCD，所以AA1⊥CD.
因為AA1∥CC1，所以CD⊥CC1.
又因為CD⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，
CC1 平面BB1C1C，所以CD⊥平面
BB1C1C.
因為AA1＝2，所以CD＝1.
易知AA1∥平面BB1C1C，
所以四棱錐A1-BB1C1C的高為CD＝1.
四、空間角的計算
　　空間角包括異面直線所成的角、線面角及二面角，主要考查空間
角的定義及求法，求角時要先找角，再證角，最后在三角形中求角.
【例4】　如圖，正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1，B'C∩BC'＝
O，求：
（1）AO與A'C'所成角的大小；
解： ∵A'C'∥AC，
∴AO與A'C'所成的角就是∠OAC（或其補
角）.
∵AB⊥平面BC'，OC 平面BC'，
∴OC⊥AB，
又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO 平面
ABO，
∴OC⊥平面ABO.
又OA 平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝ ，AC＝ ，
sin ∠OAC＝ ＝ ，∴∠OAC＝30°.
即AO與A'C'所成的角為30°.
（2）AO與平面ABCD所成角的正切值；
解： 如圖，作OE⊥BC于點E，連接AE.
∵平面BC'⊥平面ABCD，平面BC'∩平面ABCD
＝BC，OE 平面BC'，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE為AO與平面ABCD所成的角.
在Rt△OAE中，OE＝ ，AE＝ ＝ ，
∴tan∠OAE＝ ＝ .
即AO與平面ABCD所成角的正切值為 .
（3）二面角B-AO-C的大小.
解： 由（1）可知OC⊥平面AOB.
又∵OC 平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.
即二面角B-AO-C的大小為90°.
反思感悟
1. 求異面直線所成的角常用平移轉化法（轉化為相交直線的夾角）.
2. 求直線與平面所成的角常用射影轉化法（即作垂線、找射影）.
3. 二面角的平面角的作法常有三種：定義法、三垂線法、垂面法.
【跟蹤訓練】
　如圖，圓錐的底面圓心為O，直徑為AB，C為半圓弧 的中點，
E為劣弧 的中點，且AB＝2PO＝2 .
（1）求異面直線PC與OE所成的角的大小；
解： ∵PO是圓錐的高，∴PO⊥底面圓O，
根據中點條件可以證明OE∥AC，
∠PCA或其補角是異面直線PC與OE所成的角，
AC＝ ＝ ＝2，PC＝PA
＝ ＝ ＝2，
∴∠PCA＝ ，故異面直線PC與OE所成的角是 .
（2）求二面角P-AC-E的余弦值.
解： 如圖，取AC中點為D，連接
PD，OD，
由（1）知，PA＝AC＝PC，
∴PD⊥AC，
∵OA＝OC，∴OD⊥AC，
又E為劣弧 的中點，即有E∈底面圓
O，
∴二面角P-AC-E的平面角即為∠PDO，
∵C為半圓弧 的中點，∴∠AOC＝ ，
∴OD＝ AC＝1，
∵PO⊥底面圓O且OD 底面圓O，
∴PO⊥OD，
又PO＝ ，∴在Rt△PDO中，PD＝ ，
∴ cos ∠PDO＝ ＝ ，∴二面角P-AC-E的余弦值是 .
五、空間距離的計算
　　空間立體幾何中的距離包括點點距、點線距、點面距、線線距、
線面距、面面距等.像線線距離、線面距離、面面距離等，都可以轉
化成點到平面的距離去求解.
【例5】　（1）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面
ABC，PA＝8，則點P到BC的距離是（　D　）
D
解析： 由題知，PB＝PC＝ ＝ ，則P到BC
的距離d＝ ＝ ＝4 .
（2）三個平面兩兩垂直，它們的交線交于一點O，點P到三個面的
距離分別是3，4，5，則OP的長為（　B　）
B
解析： ∵三個平面兩兩垂直，∴可以將P與各面的垂足連接并補
成一個長方體，∴OP即為體對角線，∴OP＝ ＝
＝5 .
反思感悟
空間距離的求法
（1）由已知證明垂直關系，則垂線段的長就是點到平面的距離；
（2）過點作平面的垂線，明確垂足，從而得到點到平面的距離；
（3）運用等體積法求點到平面的距離.
【跟蹤訓練】
如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，側棱PA⊥底面
ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，求AD到平
面PBC的距離.
解：因為AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平
面PBC，
所以AD到平面PBC的距離等于點A到平面PBC的距離，
因為側棱PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，因為∠ABC＝
90°，即AB⊥BC，
因為PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以
BC⊥PB，
因為PA＝AB＝BC＝2，所以PB＝2 ，
設點A到平面PBC的距離為d，則由V三棱錐P-ABC＝V三棱錐A-PBC得
PA·S△ABC＝ d·S△PBC，
所以 ×2× ×2×2＝ d× ×2 ×2，得d＝ ，所以AD到平面
PBC的距離為 .
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