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章末檢測(cè)（十三）　立體幾何初步
（時(shí)間：120分鐘　滿(mǎn)分：150分）
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1.下列說(shuō)法正確的是（　　）
A.多面體至少有3個(gè)面
B.有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)
C.各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體
D.棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形
2.設(shè)l，m，n是三條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（　?。?br/>A.若m∥n，n∥α，則m∥α
B.若α∥β，l∥α，則l∥β
C.若α∥β，l α，則l∥β
D.若m∥β，n∥β，m α，n α，則α∥β
3.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的△ABC的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角△A'B'C'.已知點(diǎn)O'是斜邊B'C'的中點(diǎn)，且A'O'＝1，則△ABC中BC邊上的高為（　?。?br/>A.2　　　　　　　 B.
C.2 D.1
4.已知某圓錐的表面積是14π，其側(cè)面展開(kāi)圖是頂角為的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為（　?。?br/>A.π B.2π
C.6π D.12π
5.如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB的中點(diǎn)為M，DD1的中點(diǎn)為N，則異面直線B1M與CN所成角的大小為（　　）
A.30°　 　B.45° C.60°　　　D.90°
6.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中點(diǎn).若AB＝6，則點(diǎn)B到平面ACE的距離為（　?。?br/>A.　　　B. C.　 　D.3
7.如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在球O的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)P在球面上.若VP-ABCD＝，則球O的體積是（　?。?br/>A.32π　　　B.16π　　　C.π　　　D.8π
8.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G，H分別為A1B1，AD，B1C1，C1D1的中點(diǎn)，則過(guò)GH且與EF平行的平面截正方體所得的截面的面積為（　　）
A. B.2 C.2 D.4
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9.已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列說(shuō)法正確的有（　?。?br/>A.如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β
B.如果m α，α∥β，那么m∥β
C.如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥l
D.如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β
10.如圖，在正四棱錐S-ABCD中，E，M，N分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段MN（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論中恒成立的為（　　）
A.EP⊥AC B.EP∥BD
C.EP∥平面SBD D.EP⊥平面SAC
11.中國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱(chēng)為“曲池”的幾何體，該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，AA1垂直于底面，AA1＝5，底面扇環(huán)所對(duì)的圓心角為，弧AD的長(zhǎng)度是弧BC長(zhǎng)度的3倍，CD＝2，則下列說(shuō)法正確的是（　　）
A.弧AD長(zhǎng)度為
B.曲池的體積為
C.曲池的表面積為20＋14π
D.三棱錐A-CC1D的體積為5
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中橫線上）
12.如圖，將一個(gè)正方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截出一個(gè)棱錐，若該棱錐的體積為，則該正方體的棱長(zhǎng)為　　　　.
13.邊長(zhǎng)為5的正方形EFGH是圓柱的軸截面，則從點(diǎn)E沿圓柱的側(cè)面到相對(duì)頂點(diǎn)G的最短距離為　　　　.
14.如圖所示，在三棱柱中，已知四邊形ABCD和四邊形AA'B'B都是矩形，平面AA'B'B⊥平面ABCD.若AA'＝AD＝2，則直線AB到平面DA'C的距離為　　　　　.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
15.（本小題滿(mǎn)分13分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，其高為6 cm，底面三角形的邊長(zhǎng)分別為3 cm，4 cm，5 cm，以上、下底面的內(nèi)切圓為底面，挖去一個(gè)圓柱，求剩余部分空間圖形的體積V.
16.（本小題滿(mǎn)分15分）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若P為棱BB1的中點(diǎn).
（1）判斷平面D1PC與平面ABCD是否相交.如果相交，在圖①中作出這兩個(gè)平面的交線；
（2）如圖②，求證：DB1∥平面PAC.
17.（本小題滿(mǎn)分15分）如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn).
（1）求證：VB∥平面MOC；
（2）求三棱錐V-ABC的體積.
18.（本小題滿(mǎn)分17分）已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，AC＝5.
（1）當(dāng)PA變化時(shí)，點(diǎn)C到平面PAB的距離是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若PA＝3，求直線PC與平面PAD所成角的正弦值.
19.（本小題滿(mǎn)分17分）如圖①，已知正△ABC的邊長(zhǎng)為a，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn).現(xiàn)將△ADC沿CD翻折，使平面ADC⊥平面BCD，如圖②所示.
（1）試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若三棱錐E-DFC的體積為，求a的值；
（3）在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使BP⊥DF？如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
章末檢測(cè)（十三）　立體幾何初步
1.D　由棱柱的定義知棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形.
2.C　對(duì)于A，若m∥n，n∥α，則m∥α或m α，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若α∥β，l∥α，則l∥β或l β，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若α∥β，l α，則l∥β，C正確，對(duì)于D，少了m與n相交的條件，故D錯(cuò)誤.故選C.
3.A　∵直觀圖是等腰直角△A'B'C'，∠B'A'C'＝90°，O'為B'C'的中點(diǎn)，A'O'＝1，∴A'C'＝.根據(jù)直觀圖中平行于y軸的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，∴△ABC的BC邊上的高AC＝2A'C'＝2.故選A.
4.D　設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，則圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為2πr，則由l·＝2πr，所以l＝6r.圓錐的表面積是14π，即πr2＋πr·6r＝14π，解得r2＝2，所以側(cè)面積S側(cè)＝6πr2＝12π.故選D.
5.D　如圖，取CD中點(diǎn)E，連接C1E，ME，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為AB中點(diǎn)，∴ME∥BC∥B1C1，ME＝BC＝B1C1，四邊形B1C1EM為平行四邊形，∴C1E∥B1M，∴異面直線B1M與CN所成角為直線C1E與CN所成的角，在正方形CC1D1D中，Rt△C1CE≌Rt△CDN，∴∠CC1E＝∠DCN，∠CC1E＋∠C1EC＝∠DCN＋∠C1EC＝90°，∴C1E⊥CN，∴直線B1M與CN所成角的大小為90°.
6.B　在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝6，E是BB1的中點(diǎn)，則BE＝3，AE＝CE＝＝3，AC＝6，∴S△ACE＝×6×＝9.設(shè)點(diǎn)B到平面ACE的距離為h，由VE-ABC＝VB-ACE，得××6×6×3＝×9h，解得h＝.故選B.
7.C　設(shè)球O的半徑為R.因?yàn)檎睦忮FP-ABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在球O的同一個(gè)大圓上，且點(diǎn)P在球面上，所以PO⊥底面ABCD，PO＝R，正方形ABCD的面積S＝2R2.因?yàn)閂P-ABCD＝，所以VP-ABCD＝×2R2×R＝＝，解得R＝2，所以球O的體積V＝πR3＝π×23＝π.
8.C　如圖，取A1D1中點(diǎn)為M，連接ME，MF，取CD，CB中點(diǎn)分別為P，Q，連接PH，PQ，QG.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，由題意知四邊形PQGH為矩形，且ME∥GH，MF∥QG，因?yàn)镸E 平面PQGH，MF 平面PQGH，GH 平面PQGH，QG 平面PQGH，所以ME∥平面PQGH，MF∥平面PQGH，又ME∩MF＝M，所以平面MEF∥平面PQGH，因?yàn)镋F 平面MEF，所以EF∥平面PQGH，所以過(guò)GH且與EF平行的平面截正方體所得的截面為矩形PQGH.因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，所以PQ＝，QG＝2，所以矩形PQGH的面積為PQ·QG＝2，所以過(guò)GH且與EF平行的平面截正方體所得的截面的面積為2，故選C.
9.ABC　如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故A正確；如果m α，α∥β，那么由面面平行的性質(zhì)可得m∥β，故B正確；如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么由線面平行的性質(zhì)定理可得m∥l，故C正確；如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么平面α，β平行或相交，故D錯(cuò)誤.故選A、B、C.
10.AC　如圖所示，設(shè)AC，BD相交于點(diǎn)O，連接EM，EN，SO.由正四棱錐S-ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，SO⊥AC.因?yàn)镾O∩BD＝O，SO，BD 平面SBD，所以AC⊥平面SBD.因?yàn)镋，M，N分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)，所以EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M，所以平面EMN∥平面SBD，所以AC⊥平面EMN，所以AC⊥EP，故A正確；因?yàn)镋M∥BD，EM 平面EMN，BD 平面EMN，所以BD∥平面EMN.又EM∩EP＝E，所以EP∥BD不成立，故B不正確；平面EMN∥平面SBD，所以EP∥平面SBD，故C正確；由題易得EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，則EP∥EM，與EP∩EM＝E矛盾，因此當(dāng)P與M不重合時(shí)，EP與平面SAC不垂直，故D不正確.故選A、C.
11.ACD　對(duì)于A，設(shè)弧AD所在圓的半徑為R，弧BC所在圓的半徑為r，∵弧AD的長(zhǎng)度是弧BC長(zhǎng)度的3倍，R＝3×r，即R＝3r，∴CD＝R－r＝2r＝2，∴r＝1，R＝3，∴弧AD的長(zhǎng)度為，故A正確；對(duì)于B，曲池的體積為V＝（πR2－πr2）×AA1＝（π×32－π×12）×5＝10π，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，曲池的表面積為（πR2－πr2）×2＋（πR＋πr）×5＋2×5×2＝（π×32－π×12）×2＋（π×3＋π×1）×5＋20＝20＋14π，故C正確；對(duì)于D，三棱錐A-CC1D的體積為××2×5×3＝5，故D正確.故選A、C、D.
12.2　解析：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則×a2×a＝，解得a＝2.
13.　解析：如圖，矩形E1F1GH是圓柱沿著其母線EF剪開(kāi)半個(gè)側(cè)面展開(kāi)而得到的， 則從點(diǎn)E沿圓柱的側(cè)面到相對(duì)頂點(diǎn)G的最短距離為GE1.由題意可知GH＝5，GF1＝，所以GE1＝＝＝，所以從點(diǎn)E沿圓柱的側(cè)面到相對(duì)頂點(diǎn)G的最短距離是.
14.　解析：如圖，取B'C的中點(diǎn)E，連接BE，∵四邊形ABCD和四邊形AA'B'B都是矩形，∴AB⊥BC，AB⊥BB'，又BC∩BB'＝B，∴AB⊥平面BCB'，又BE 平面BCB'，∴AB⊥BE，又AB∥CD，∴CD⊥BE，∵AA'＝AD，得BC＝BB'，又E為B'C的中點(diǎn)，∴B'C⊥BE，又CD⊥BE，CD∩B'C＝C，∴BE⊥平面DCB'A'，∴直線AB到平面DA'C的距離即為BE的長(zhǎng)，∵平面AA'B'B⊥平面ABCD，且平面AA'B'B∩平面ABCD＝AB，BC⊥AB，∴BC⊥平面ABB'A'，又BB' 平面ABB'A'，∴BC⊥BB'，在Rt△BCB'中，BC＝BB'＝2，∴BE＝.
15.解：＝×3×4×6＝36（cm3）.
設(shè)圓柱底面圓的半徑為r，則r＝＝＝1（cm），＝πr2h＝6π（cm3）.
所以V＝－＝（36－6π）cm3.
16.解：（1）平面D1PC與平面ABCD相交.
因?yàn)镈D1∥BP，DD1＝2BP，
所以D，D1，B，P四點(diǎn)共面，且DB與D1P不平行則必相交，
如圖，連接DB，D1P并延長(zhǎng)交于Q，連接CQ，
則平面D1PC∩平面ABCD＝CQ.
（2）證明：連接BD，交AC與點(diǎn)O，連接OP，
在△BB1D中，點(diǎn)O，P分別是BD，BB1的中點(diǎn)，所以O(shè)P∥DB1，
而OP 平面PAC，DB1 平面PAC，所以DB1∥平面PAC.
17.解：（1）證明：因?yàn)镺，M分別是AB，VA的中點(diǎn)，
所以MO∥VB.
因?yàn)镸O 平面MOC，VB 平面MOC，
所以VB∥平面MOC.
（2）因?yàn)锳C＝BC，O為AB的中點(diǎn)，
所以O(shè)C⊥AB.
因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，OC 平面ABC，所以O(shè)C⊥平面VAB.
在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝，
所以AB＝2，OC＝1，
所以等邊三角形VAB的面積S△VAB＝，
所以VV-ABC＝VC-VAB＝OC·S△VAB＝×1×＝.
所以三棱錐V-ABC的體積為.
18.解：（1）由AB＝3，BC＝4，AC＝5知AB2＋BC2＝AC2，則AB⊥BC，
由PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD得PA⊥BC，
由PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
則BC⊥平面PAB，
則點(diǎn)C到平面PAB的距離為一個(gè)定值BC，BC＝4.
（2）設(shè)直線PC與平面PAD所成的角為α，
由AD∥BC，AB⊥BC可知AB⊥AD，
又PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
故PA⊥AB，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
則AB⊥平面PAD，則B點(diǎn)到平面PAD的距離為AB＝3，
由BC∥AD知點(diǎn)C與點(diǎn)B到平面PAD的距離相等，
則點(diǎn)C到平面PAD的距離為d＝AB＝3，
由PA＝3，AC＝5知PC＝＝，
故sin α＝＝＝.
19.解：（1）AB∥平面DEF，理由如下：
在△ABC中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AB.
又AB 平面DEF，EF 平面DEF，所以AB∥平面DEF.
（2）由題意，知AD⊥CD，又平面ADC⊥平面BCD，平面ADC∩平面BCD＝CD，所以AD⊥平面BCD.
如圖，取CD的中點(diǎn)M，
連接EM，則EM∥AD，
所以EM⊥平面BCD，且EM＝.
因?yàn)槿忮FE-DFC的體積為，
所以××＝，解得a＝2.
（3）線段AC上存在一點(diǎn)P，使BP⊥DF.理由如下：
易知△BDF為正三角形，過(guò)B作BK⊥DF交DC于點(diǎn)K，連接KF，過(guò)K作PK∥DA交AC于點(diǎn)P，連接BP，則點(diǎn)P即所求，如圖所示.
因?yàn)锳D⊥平面BCD，PK∥DA，所以PK⊥平面BCD，所以PK⊥DF.
又BK⊥DF，PK∩BK＝K，PK，BK 平面PKB，所以DF⊥平面PKB，所以DF⊥PB.
又∠DBK＝∠KBC＝∠BCK＝30°，所以DK＝KF＝KC.
故＝＝，從而＝.
4 / 4(共41張PPT)
章末檢測(cè)（十三）　立體幾何初步
（時(shí)間：120分鐘　滿(mǎn)分：150分）
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給
出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 下列說(shuō)法正確的是（　　）
A. 多面體至少有3個(gè)面
B. 有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)
C. 各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體
D. 棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形
解析： 　由棱柱的定義知棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形.
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2. 設(shè)l，m，n是三條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列
命題正確的是（　　）
A. 若m∥n，n∥α，則m∥α
B. 若α∥β，l∥α，則l∥β
C. 若α∥β，l α，則l∥β
D. 若m∥β，n∥β，m α，n α，則α∥β
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解析： 　對(duì)于A，若m∥n，n∥α，則m∥α或m α，故A錯(cuò)
誤；對(duì)于B，若α∥β，l∥α，則l∥β或l β，故B錯(cuò)誤；對(duì)于
C，若α∥β，l α，則l∥β，C正確，對(duì)于D，少了m與n相交
的條件，故D錯(cuò)誤.故選C.
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3. 用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的△ABC的直觀圖，得到如圖所示的等
腰直角△A'B'C'.已知點(diǎn)O'是斜邊B'C'的中點(diǎn)，且A'O'＝1，則
△ABC中BC邊上的高為（　　）
C. 2 D. 1
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解析： 　∵直觀圖是等腰直角△A'B'C'，∠B'A'C'＝90°，O'
為B'C'的中點(diǎn)，A'O'＝1，∴A'C'＝ .根據(jù)直觀圖中平行于y軸
的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，∴△ABC的BC邊上的高AC＝2A'C'＝
2 .故選A.
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4. 已知某圓錐的表面積是14π，其側(cè)面展開(kāi)圖是頂角為 的扇形，則
該圓錐的側(cè)面積為（　?。?br/>A. π B. 2π
C. 6π D. 12π
解析： 設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，則圓錐的側(cè)面展開(kāi)
圖的弧長(zhǎng)為2πr，則由l· ＝2πr，所以l＝6r.圓錐的表面積是
14π，即πr2＋πr·6r＝14π，解得r2＝2，所以側(cè)面積S側(cè)＝6πr2＝
12π.故選D.
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5. 如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB的中點(diǎn)為M，DD1的中點(diǎn)為N，則異面直線B1M與CN所成角的大小為（　?。?br/>A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
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解析： 　如圖，取CD中點(diǎn)E，連接C1E，
ME，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為AB中
點(diǎn)，∴ME∥BC∥B1C1，ME＝BC＝B1C1，四
邊形B1C1EM為平行四邊形，∴C1E∥B1M，∴
異面直線B1M與CN所成角為直線C1E與CN所
成的角，在正方形CC1D1D中，Rt△C1CE≌Rt△CDN，∴∠CC1E＝∠DCN，∠CC1E＋∠C1EC＝∠DCN＋∠C1EC＝90°，∴C1E⊥CN，∴直線B1M與CN所成角的大小為90°.
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6. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中點(diǎn).若AB＝6，則點(diǎn)B
到平面ACE的距離為（　　）
D. 3
√
解析： 　在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝6，E是BB1的中
點(diǎn)，則BE＝3，AE＝CE＝ ＝3 ，AC＝6 ，
∴S△ACE＝ ×6 × ＝9 .設(shè)點(diǎn)B到平面
ACE的距離為h，由VE-ABC＝VB-ACE，得 × ×6×6×3＝ ×9
h，解得h＝ .故選B.
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7. 如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在球O的
同一個(gè)大圓上，點(diǎn)P在球面上.若VP-ABCD＝ ，則球O的體積是
（　?。?br/>A. 32π
B. 16π
D. 8π
√
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解析： 　設(shè)球O的半徑為R. 因?yàn)檎睦忮FP-ABCD底面的四個(gè)
頂點(diǎn)A，B，C，D在球O的同一個(gè)大圓上，且點(diǎn)P在球面上，所
以PO⊥底面ABCD，PO＝R，正方形ABCD的面積S＝2R2.因?yàn)?br/>VP-ABCD＝ ，所以VP-ABCD＝ ×2R2×R＝ ＝ ，解得R＝2，
所以球O的體積V＝ πR3＝ π×23＝ π.
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8. 正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G，H分別為A1B1，
AD，B1C1，C1D1的中點(diǎn)，則過(guò)GH且與EF平行的平面截正方體所
得的截面的面積為（　?。?br/>B. 2
D. 4
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解析： 　如圖，取A1D1中點(diǎn)為M，連接ME，
MF，取CD，CB中點(diǎn)分別為P，Q，連接
PH，PQ，QG. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
由題意知四邊形PQGH為矩形，且ME∥GH，
MF∥QG，因?yàn)镸E 平面PQGH，MF 平面
PQGH，GH 平面PQGH，QG 平面PQGH，所以ME∥平面PQGH，MF∥平面PQGH，又ME∩MF＝M，所以平面MEF∥平面PQGH，因?yàn)镋F 平面MEF，所以EF∥平面PQGH，所以過(guò)GH且與EF平行的平面截正方體所得的截面為矩形PQGH.
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因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，所以PQ
＝ ，QG＝2，所以矩形PQGH的面積為PQ·QG
＝2 ，所以過(guò)GH且與EF平行的平面截正方體所
得的截面的面積為2 ，故選C.
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二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給
出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選
對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列
說(shuō)法正確的有（　　）
A. 如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β
B. 如果m α，α∥β，那么m∥β
C. 如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥l
D. 如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β
√
√
√
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解析： 　如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么由面面垂直的判
定定理可得α⊥β，故A正確；如果m α，α∥β，那么由面面
平行的性質(zhì)可得m∥β，故B正確；如果α∩β＝l，m∥α，
m∥β，那么由線面平行的性質(zhì)定理可得m∥l，故C正確；如果
m⊥n，m⊥α，n∥β，那么平面α，β平行或相交，故D錯(cuò)誤.
故選A、B、C.
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10. 如圖，在正四棱錐S-ABCD中，E，M，N分別是BC，CD，SC
的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段MN（不包含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)
結(jié)論中恒成立的為（　　）
A. EP⊥AC
B. EP∥BD
C. EP∥平面SBD
D. EP⊥平面SAC
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解析： 　如圖所示，設(shè)AC，BD相交于點(diǎn)
O，連接EM，EN，SO. 由正四棱錐S-
ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，
SO⊥AC. 因?yàn)镾O∩BD＝O，SO，BD 平
面SBD，所以AC⊥平面SBD. 因?yàn)镋，M，N分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)，所以EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M，所
以平面EMN∥平面SBD，所以AC⊥平面EMN，所以AC⊥EP，故A正確；因?yàn)镋M∥BD，EM 平面EMN，BD 平面EMN，所以BD∥平面EMN.
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又EM∩EP＝E，所以EP∥BD不成立，故B不正
確；平面EMN∥平面SBD，所以EP∥平面SBD，
故C正確；由題易得EM⊥平面SAC，若EP⊥平面
SAC，則EP∥EM，與EP∩EM＝E矛盾，因此當(dāng)
P與M不重合時(shí)，EP與平面SAC不垂直，故D不正
確.故選A、C.
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11. 中國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱(chēng)為“曲池”的
幾何體，該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓
環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，AA1垂直于底
面，AA1＝5，底面扇環(huán)所對(duì)的圓心角為 ，弧AD的長(zhǎng)度是弧BC
長(zhǎng)度的3倍，CD＝2，則下列說(shuō)法正確的是（　?。?br/>C. 曲池的表面積為20＋14π
D. 三棱錐A-CC1D的體積為5
√
√
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解析： 對(duì)于A，設(shè)弧AD所在圓的半徑為R，弧BC所在圓
的半徑為r，∵弧AD的長(zhǎng)度是弧BC長(zhǎng)度的3倍， R＝3× r，
即R＝3r，∴CD＝R－r＝2r＝2，∴r＝1，R＝3，∴弧AD的
長(zhǎng)度為 ，故A正確；對(duì)于B，曲池的體積為V＝（ πR2－
πr2）×AA1＝（ π×32－ π×12）×5＝10π，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，曲池的表面積為（ πR2－ πr2）×2＋（ πR＋ πr）×5＋2×5×2＝（ π×32－ π×12）×2＋（ π×3＋ π×1）×5＋20＝20＋14π，故C正確；對(duì)于D，三棱錐A-CC1D的體積為 × ×2×5×3＝5，故D正確.故選A、C、D.
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三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中
橫線上）
12. 如圖，將一個(gè)正方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截出一個(gè)棱錐，若該
棱錐的體積為 ，則該正方體的棱長(zhǎng)為 .
解析：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則 × a2×a＝ ，解得a＝2.
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13. 邊長(zhǎng)為5的正方形EFGH是圓柱的軸截面，則從點(diǎn)E沿圓柱的側(cè)面
到相對(duì)頂點(diǎn)G的最短距離為 .
解析：如圖，矩形E1F1GH是圓柱沿著其母線
EF剪開(kāi)半個(gè)側(cè)面展開(kāi)而得到的， 則從點(diǎn)E沿圓
柱的側(cè)面到相對(duì)頂點(diǎn)G的最短距離為GE1.由題
意可知GH＝5，GF1＝ ，所以GE1＝ ＝ ＝ ，所以從點(diǎn)E沿圓柱的側(cè)面到相對(duì)頂點(diǎn)G的最短距離是 .
　
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解析：如圖，取B'C的中點(diǎn)E，連接BE，∵
四邊形ABCD和四邊形AA'B'B都是矩形，
∴AB⊥BC，AB⊥BB'，又BC∩BB'＝B，
∴AB⊥平面BCB'，又BE 平面BCB'，
∴AB⊥BE，又AB∥CD，∴CD⊥BE，∵AA'＝AD，得BC＝BB'，又E為B'C的中點(diǎn)，∴B'C⊥BE，又CD⊥BE，CD∩B'C＝
C，∴BE⊥平面DCB'A'，∴直線AB到平面DA'C的距離即為BE的長(zhǎng)，∵平面AA'B'B⊥平面ABCD，且平面AA'B'B∩平面ABCD＝
AB，BC⊥AB，∴BC⊥平面ABB'A'，又BB' 平面ABB'A'，∴BC⊥BB'，在Rt△BCB'中，BC＝BB'＝2，∴BE＝ .
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四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)
明、證明過(guò)程或演算步驟）
15. （本小題滿(mǎn)分13分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1
的側(cè)棱垂直于底面，其高為6 cm，底面三角形的
邊長(zhǎng)分別為3 cm，4 cm，5 cm，以上、下底面的
內(nèi)切圓為底面，挖去一個(gè)圓柱，求剩余部分空
間圖形的體積V.
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解： ＝ ×3×4×6＝36（cm3）.
設(shè)圓柱底面圓的半徑為r，則r＝ ＝ ＝1
（cm）， ＝πr2h＝6π（cm3）.
所以V＝ － ＝（36－6π）cm3.
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16. （本小題滿(mǎn)分15分）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若P為
棱BB1的中點(diǎn).
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（1）判斷平面D1PC與平面ABCD是否相交.如果相交，在圖①中
作出這兩個(gè)平面的交線；
解： 平面D1PC與平面ABCD相交.
因?yàn)镈D1∥BP，DD1＝2BP，
所以D，D1，B，P四點(diǎn)共面，且DB與
D1P不平行則必相交，
如圖，連接DB，D1P并延長(zhǎng)交于Q，連
接CQ，
則平面D1PC∩平面ABCD＝CQ.
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（2）如圖②，求證：DB1∥平面PAC.
解： 證明：連接BD，交AC與點(diǎn)O，連接OP，
在△BB1D中，點(diǎn)O，P分別是BD，BB1的中點(diǎn)，所以
OP∥DB1，
而OP 平面PAC，DB1 平面PAC，所以DB1∥平面PAC.
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17. （本小題滿(mǎn)分15分）如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面
ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝ ，O，
M分別為AB，VA的中點(diǎn).
（1）求證：VB∥平面MOC；
解： 證明：因?yàn)镺，M分別是AB，
VA的中點(diǎn)，
所以MO∥VB.
因?yàn)镸O 平面MOC，VB 平面MOC，
所以VB∥平面MOC.
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（2）求三棱錐V-ABC的體積.
解： 因?yàn)锳C＝BC，O為AB的中點(diǎn)，
所以O(shè)C⊥AB.
因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面ABC，平面VAB∩平
面ABC＝AB，OC 平面ABC，所以O(shè)C⊥
平面VAB.
在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝ ，
所以AB＝2，OC＝1，
所以等邊三角形VAB的面積S△VAB＝ ，
所以VV-ABC＝VC-VAB＝ OC·S△VAB＝ ×1× ＝ .
所以三棱錐V-ABC的體積為 .
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18. （本小題滿(mǎn)分17分）已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，
AD∥BC，AB＝3，BC＝4，AC＝5.
（1）當(dāng)PA變化時(shí)，點(diǎn)C到平面PAB的距離是否為定值？若是，
請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
解： 由AB＝3，BC＝4，AC＝5知AB2
＋BC2＝AC2，則AB⊥BC，
由PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD得
PA⊥BC，
由PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，則BC⊥平面PAB，
則點(diǎn)C到平面PAB的距離為一個(gè)定值BC，BC＝4.
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（2）若PA＝3，求直線PC與平面PAD所成角的正弦值.
解： 設(shè)直線PC與平面PAD所成的角為α，
由AD∥BC，AB⊥BC可知AB⊥AD，
又PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
故PA⊥AB，PA∩AD＝A，PA，AD 平面
PAD，
則AB⊥平面PAD，則B點(diǎn)到平面PAD的距離為AB＝3，
由BC∥AD知點(diǎn)C與點(diǎn)B到平面PAD的距離相等，
則點(diǎn)C到平面PAD的距離為d＝AB＝3，
由PA＝3，AC＝5知PC＝ ＝ ，
故 sin α＝ ＝ ＝ .
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19. （本小題滿(mǎn)分17分）如圖①，已知正△ABC的邊長(zhǎng)為a，CD是
AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn).現(xiàn)將△ADC沿CD翻
折，使平面ADC⊥平面BCD，如圖②所示.
（1）試判斷翻折后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
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解： AB∥平面DEF，理由如下：
在△ABC中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC，BC的中
點(diǎn)，所以EF∥AB.
又AB 平面DEF，EF 平面DEF，所以
AB∥平面DEF.
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（2）若三棱錐E-DFC的體積為 ，求a的值；
解： 由題意，知AD⊥CD，又平面ADC⊥
平面BCD，平面ADC∩平面BCD＝CD，所以AD⊥平面BCD.
如圖，取CD的中點(diǎn)M，連接EM，則EM∥AD，所以EM⊥平面BCD，且EM＝ .
因?yàn)槿忮FE-DFC的體積為 ，
所以 × × ＝ ，解得a＝2.
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（3）在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使BP⊥DF？如果存在，求
出 的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解： 線段AC上存在一點(diǎn)P，使BP⊥DF. 理由如下：
易知△BDF為正三角形，過(guò)B作BK⊥DF交DC于點(diǎn)K，連接KF，過(guò)K作PK∥DA交AC于點(diǎn)P，連接BP，則點(diǎn)P即所求，如圖所示.
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因?yàn)锳D⊥平面BCD，PK∥DA，所以PK⊥平面BCD，所
以PK⊥DF.
又BK⊥DF，PK∩BK＝K，PK，BK 平面PKB，所以
DF⊥平面PKB，所以DF⊥PB.
又∠DBK＝∠KBC＝∠BCK＝30°，所以DK＝KF＝
KC.
故 ＝ ＝ ，從而 ＝ .
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