資源簡介

14.2.2　分層抽樣
1.某市為了了解職工家庭生活狀況，先把職工按所從事的行業分為8類（每類家庭數不完全相同），再對每個行業抽取的職工家庭進行調查，這種抽樣方法是（　　）
A.簡單隨機抽樣　　　 B.隨機數法
C.分層抽樣 D.不屬于以上幾類抽樣
2.將A，B，C三種性質的個體按1∶2∶4的比例進行分層抽樣調查，若抽取的樣本容量為21，則A，B，C三種性質的個體分別抽取的個數為（　　）
A.12，6，3 B.12，3，6
C.3，6，12 D.3，12，6
3.分層抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個體歸入一類（層），然后每類抽取若干個個體構成樣本，所以分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，必須（　　）
A.每層等可能抽樣
B.每層可以不等可能抽樣
C.所有層按同一抽樣比等可能抽樣
D.所有層抽取的個體數量相同
4.某校開展學生對食堂滿意度的調查活動，已知該校高一年級有學生550人，高二年級有學生500人，高三年級有學生450人.現從全校學生中用分層抽樣的方法抽取60人進行調查，則抽取的高二年級學生人數為（　　）
A.18　　　B.20　　　C.22　　　D.30
5.（多選）（2024·揚州月考）某部門為調查學生對學校“延時服務”的滿意率，想從全市3個學校按學生人數用分層抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本.已知3個學校學生人數之比為2∶5∶3，如果從學生人數最少的一個學校抽出的個體數是16，則（　　）
A.此樣本的容量n為20
B.此樣本的容量n為80
C.樣本中來自學生人數最多的學校的有40人
D.樣本中來自學生人數最多的學校的有24人
6.（多選）某運動隊由足球運動員18人，籃球運動員12人，乒乓球運動員6人組成（每人只參加一項），現從這些運動員中抽取一個容量為n的樣本，若采用分層抽樣的方法，且不用剔除個體，則樣本量n的取值可能是（　　）
A.5 B.6
C.20 D.24
7.在1 000個球中有紅球50個，從中抽取100個進行分析，如果用分層抽樣的方法對球進行抽樣，則應抽取紅球的個數為　　　　.
8.某公司為了調查消費者對某項服務的真實評價，采用分層抽樣的方法在甲、乙、丙三個城市共抽取了3 600人進行問卷調查，若在甲、乙、丙三個城市抽取的人數分別為a，b，c，且滿足a＋c＝2b，則乙城市抽取的人數為　　　　.
9.某企業三月中旬生產A，B，C三種產品共3 000件，根據分層抽樣的結果，企業統計員制作了如下的統計表：
產品類型 A B C
產品數量/件 1 300
樣本量 130
由于不小心，表格中A、C兩種產品的有關數據被污染了，統計員只記得A產品的樣本量比C產品的樣本量多10，根據以上信息，則C產品的數量為　　　　.
10.某網站針對“2024年法定節假日調休安排”提出的A，B，C三種放假方案進行了問卷調查，調查結果如下：
支持A方案 支持B方案 支持C方案
35歲以下的人數 200 400 800
35歲以上（含35歲）的人數 100 100 400
（1）從所有參與調查的人中，用分層抽樣的方法抽取n人，已知從支持A方案的人中抽取了6人，求n的值；
（2）從支持B方案的人中，用分層抽樣的方法抽取5人，這5人中在35歲以上（含35歲）的人數是多少？35歲以下的人數是多少？
11.某校高一、高二、高三年級共有學生1 800名，為了完成學校心理健康教育開展情況的調查問卷，計劃采用分層抽樣的方法從這1 800名學生中抽取一個容量為72的樣本，若從高一、高二、高三年級抽取的人數恰好是從小到大排列的連續偶數，則該校高三年級的人數為（　　）
A.800 B.750
C.700 D.650
12.（多選）某單位共有老年人120人，中年人360人，青年人n人，為調查他們的身體健康狀況，需要抽取一個樣本容量為m的樣本，用分層抽樣的方法進行抽樣調查，若樣本中的中年人人數為6，則n和m的值可以是下列四個選項中的哪組（　　）
A.n＝360，m＝14 B.n＝420，m＝15
C.n＝540，m＝18 D.n＝660，m＝19
13.某中學舉行了為期3天的新世紀體育運動會，同時進行全校精神文明擂臺賽.為了解這次活動在全校師生中產生的影響，分別在全校500名教職員工、3 000名初中生、4 000名高中生中做問卷調查，如果要在所有答卷中抽出120份用于評估.
（1）應如何抽取才能得到比較客觀的評價結論？
（2）要從3 000份初中生的答卷中抽取一個容量為48的樣本，如果采用簡單隨機抽樣，應如何操作？
14.（多選）（2024·淮安月考）已知某地區有小學生120 000人，初中生75 000人，高中生55 000人，當地教育部門為了了解本地區中小學生的近視率，對小學生、初中生、高中生進行分層抽樣，抽取一個容量為2 000的樣本，得到小學生，初中生，高中生的近視率分別為30%，70%，80%，則下列說法中正確的有（　　）
A.從高中生中抽取了440人
B.每名學生被抽到的概率為
C.估計該地區中小學生總體的平均近視率為60%
D.估計高中生的近視人數約為44 000
15.為了對某課題進行研究，分別從A，B，C三所高校中用分層抽樣法抽取若干名教授組成研究小組，其中高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授（其中0＜m≤72≤n）.
（1）若A，B兩所高校中共抽取3名教授，B，C兩所高校中共抽取5名教授，求m，n；
（2）若高校B中抽取的教授人數是高校A和C中抽取的教授總人數的，求三所高校教授的總人數.
14.2.2　分層抽樣
1.C　因為職工所從事的行業有明顯差異，所以是分層抽樣.故選C.
2.C　由分層抽樣的概念，知A，B，C三種性質的個體應分別抽取的個數為21×＝3，21×＝6，21×＝12.故選C.
3.C　保證每個個體等可能入樣是三種基本抽樣方式的共同特征，為了保證這一點，分層抽樣時必須在所有層都按同一抽樣比等可能抽取.
4.B　依題意，該校高一年級學生、高二年級學生、高三年級學生人數比為550∶500∶450＝11∶10∶9，所以抽取的高二年級學生人數為×60＝20.故選B.
5.BC　因為樣本中來自學生人數最少的學校的有16人，則＝，解得n＝80，故A錯誤，B正確；樣本中來自學生人數最多的學校的有80×＝40（人），故C正確，D錯誤.
6.BD　因為運動隊有足球運動員18人，籃球運動員12人，乒乓球運動員6人，所以當樣本容量為n時，分層抽樣的抽樣比為，則足球運動員為×18＝（人），籃球運動員為×12＝（人），乒乓球運動員為×6＝（人），所以n是6的整數倍，故選B、D.
7.5　解析：設應抽紅球x個，則＝，則x＝5.
8.1 200　解析：因為在甲、乙、丙三個城市抽取的人數分別為a，b，c，且滿足a＋c＝2b，所以乙城市抽取的人數占總抽取的人數的，所以乙城市抽取的人數為3 600×＝1 200.
9.800　解析：易知抽樣比為130∶1 300＝1∶10，即每10件產品中抽取1件產品，又A產品的樣本量比C產品的樣本量多10，故C產品的數量是[（3 000－1 300）－100]×＝800.
10.解：（1）由題意得
＝，
解得n＝40.
（2）35歲以下的人數為×400＝4，35歲以上（含35歲）的人數為5－4＝1.
11.D　設從高三年級抽取的學生人數為2x人，則從高二、高一年級抽取的人數分別為2x－2，2x－4，由題意可得2x＋（2x－2）＋（2x－4）＝72，所以x＝13.設該校高三年級的學生人數為N，再根據 ＝ ，求得N＝650.故選D.
12.ABD　若樣本中的中年人人數為6，則老年人人數為120×＝2，青年人人數為n×＝ ，所以2＋6＋ ＝m，得8＋ ＝m，將選項依次代入，可知選項A、B、D符合.故選A、B、D.
13.解：（1）由于這次活動對教職員工、初中生和高中生產生的影響不會相同，所以應當采取分層抽樣的方法進行抽樣.
因為樣本容量為120，總體容量為500＋3 000＋4 000＝7 500，
所以120×＝8，120×＝48，120×＝64，所以在教職員工、初中生、高中生中抽取的個體數分別是8，48，64.
分層抽樣的步驟是
①分層：將全校師生分為教職員工、初中生、高中生，共三層.
②確定每層抽取的個數：在教職員工、初中生、高中生中抽取的個數分別是8，48，64.
③各層分別采用簡單隨機抽樣的方法抽取樣本.
④綜合每層抽樣，組成樣本.
這樣便完成了整個抽樣過程，就能得到比較客觀的評價結論.
（2）由于簡單隨機抽樣有兩種方法：抽簽法和隨機數表法.如果用抽簽法，要制作3 000個號簽，費時費力，因此采用隨機數表法抽取樣本，步驟是
①編號：將3 000份答卷都編上號碼：0001，0002，0003，…，3000.
②在隨機數表上隨機選取一個起始位置.
③規定讀數方向：向右連續讀取數字，以4個數為一組，如果讀取的4位數大于3 000，則跳過，如果遇到相同號碼則只取一個，這樣一直到取滿48個號碼為止.
14.ABD　由題意得，抽樣比為＝，故B正確；從高中生中抽取了55 000×＝440（人），故A正確；高中生近視人數約為55 000×80%＝44 000，故D正確；學生總人數為250 000人，小學生占比為＝，同理，初中生、高中生分別占比為，，在樣本中，小學生、初中生和高中生分別抽取960人，600人和440人，則近視人數為960×30%＋600×70%＋440×80%＝1 060，所以估計該地區中小學生總體的平均近視率為＝53%，故C錯誤.
15.解：（1）∵0＜m≤72≤n，A，B兩所高校中共抽取3名教授，B，C兩所高校中共抽取5名教授，∴高校B中抽取2名教授，高校A中抽取1名教授，高校C中抽取3名教授，∴＝＝，解得m＝36，n＝108.
（2）∵高校B中抽取的教授人數是高校A和C中抽取的教授總人數的，
∴（m＋n）＝72，解得m＋n＝108，
∴三所高校教授的總人數為m＋n＋72＝180.
3 / 314.2.2　分層抽樣
新課程標準解讀 核心素養
1.通過實例，了解分層抽樣的特點和使用范圍，了解分層抽樣的必要性，掌握各層樣本按比例分配的方法 數學運算
2.在簡單的實際情景中，能根據實際問題的特點，設計恰當的抽樣方法解決問題 邏輯推理
某市為調查中小學生的近視情況，在全市范圍內對小學生、初中生、高中生三個群體抽樣，進而了解中小學生近視的總體情況和三個群體近視情況的差異大小.
【問題】　（1）上述問題中總體有什么特征？
（2）采用抽簽法合適嗎？若不合適，應采用什么方法抽取樣本？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　分層抽樣
1.分層抽樣的定義
一般地，當總體由　　　　　　的幾個部分組成時，為了使樣本更客觀地反映總體情況，我們常常將　　　　　　　　　　　　分成層次比較分明的幾個部分，然后按各個部分　　　　　　　　　　實施抽樣，這種抽樣方法叫作分層抽樣，所分成的各個部分稱為“層”.
2.分層抽樣的特點
（1）適用于總體由明顯差異的幾部分組成的情況；
（2）抽取的樣本更好地反映了總體的情況；
（3）是等可能性抽樣，每個個體被抽到的可能性相同.
3.分層抽樣的步驟
（1）將總體按　　　　　　分層；
（2）計算各層的　　　　與總體的個體數的比；
（3）按　　　　　　　　　　　　　　　　確定各層應抽取的樣本容量；
（4）在每一層進行抽樣（可用簡單隨機抽樣）.
提醒　使用分層抽樣應注意的問題：①分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是每層內樣本的差異要小，不同層之間的樣本差異要大，且互不重疊；②抽取比例由每層個體占總體的比例確定；③各層抽樣按簡單隨機抽樣進行.
知識點二　簡單隨機抽樣與分層抽樣的異同點
類別 特點 相互聯系 適用范圍 共同點
簡單隨 機抽樣 從總體中逐個抽取 總體中的個體數相對較少 抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相同
分層 抽樣 將總體分成幾層，按各層的個體數之比抽取 各層抽樣時，可以采用簡單隨機抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成
1.下面的抽樣方法是分層抽樣的是（　　）
A.在某年明信片銷售活動中，規定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎
B.某車間包裝一種產品，在自動包裝的傳送帶上，每隔20分鐘抽一包產品，稱其質量是否合格
C.某學校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解學校機構改革的意見
D.用抽簽方法從8件產品中選取3件進行質量檢驗
2.某林場有樹苗30 000棵，其中松樹苗4 000棵.為調查樹苗的生長情況，采用分層抽樣的方法抽取一個容量為150的樣本，則樣本中松樹苗的數量為（　　）
A.30　　　B.25　　　C.20　　　D.15
3.一個班共有54人，其中男同學、女同學之比為5∶4，若抽取9人參加教改調查會，則每個男同學被抽取的可能性為　　　　，每個女同學被抽取的可能性為　　　　.
題型一 　分層抽樣的概念
【例1】　下列問題中，最適合用分層抽樣抽取樣本的是（　　）
A.從10名同學中抽取3人參加座談會
B.紅星中學共有學生1 600名，其中男生840名，防疫站對此校學生進行身體健康調查，抽取一個容量為200的樣本
C.從1 000名工人中，抽取100人調查上班途中所用時間
D.從生產流水線上，抽取樣本檢查產品質量
通性通法
分層抽樣的前提和遵循的兩條原則
（1）前提：分層抽樣使用的前提是總體可以分層，層與層之間有明顯區別，而層內個體間差異較小，每層中所抽取的個體數可按各層個體數在總體的個體數中所占比例抽取；
（2）遵循的兩條原則：
①每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復、不遺漏的原則；②每層樣本容量與每層個體數量的比等于抽樣比.
【跟蹤訓練】
　在100個零件中，有一級品20個，二級品30個，三級品50個，從中抽取20個作為樣本.
方法1：采用簡單隨機抽樣的方法，將零件編號為00，01，02，…，99，用抽簽法抽取20個.
方法2：采用分層抽樣的方法，從一級品中隨機抽取4個，從二級品中隨機抽取6個，從三級品中隨機抽取10個.
對于上述問題，下列說法正確的是　　　　.（填序號）
①不論采用哪種抽樣方法，這100個零件中每一個零件被抽到的可能性都是；
②采用不同的方法，這100個零件中每一個零件被抽到的可能性各不相同；
③在上述兩種抽樣方法中，方法2抽到的樣本比方法1抽到的樣本更能反映總體特征.
題型二 分層抽樣的應用
【例2】　（鏈接教科書第232頁例1）某單位要調查了解本單位職工與身體狀態有關的某項指標，參加調查的單位職工總人數為500，其中各個年齡段的人數如表所示.由于職工年齡與這項指標有關，該單位打算從中抽取100人進行更為詳細的調查，應該怎樣進行抽樣抽取？
年齡段 不到35歲 35歲至49歲 50歲及50歲以上
職工數 125 280 95
通性通法
分層抽樣中有關抽樣比的計算方法
　　對于分層抽樣中的比值問題，常利用以下關系式求解：
（1）抽樣比＝ ＝ ；
（2）總體中某兩層的個體數之比＝樣本中這兩層抽取的個體數之比.
　　對于分層抽樣中求某層個體數，或某層要抽取的樣本個體數，都可以通過上面兩個等量關系式求解.
【跟蹤訓練】
1.將一個總體分為A，B，C 3層，其個體數之比為5∶3∶2.若用分層抽樣的方法抽取一個容量為100的樣本，則應從C中抽取　　　　個個體.
2.某中學高中部有三個年級，其中高三年級有600人，采用分層抽樣抽取一個容量為45的樣本.已知高一年級抽取15人，高二年級抽取10人，則高中部的總人數是　　　　.
題型三 抽樣方法的選擇及應用
【例3】　（鏈接教科書第234頁例2）為了考察某學校的教學水平，將抽取這個學校高三年級的部分學生本學年的考試成績進行統計分析，為了全面反映實際情況，采取以下方式進行抽查（已知該學校高三年級共有20個教學班，并且每個班內的學生按隨機方式編好了學號，假定該校每班學生人數都相同）：
①從全年級20個班中任意抽取一個班，再從該班任意抽取20人，考察他們的學習成績；
②把學生按成績分成優秀、良好、普通三個級別，從中共抽取100名學生進行考察（已知若按成績分，該校高三學生中優秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）.
根據上面的敘述，回答下列問題：
（1）上面兩種抽取方式中，其總體、個體、樣本分別指什么？每一種抽取方式抽取的樣本中，其樣本容量分別是多少？
（2）上面兩種抽取方式中各自采用何種抽樣方法？
通性通法
選擇抽樣方法的思路
（1）判斷總體是否由差異明顯的幾部分組成，若是，則選用分層抽樣；否則，考慮用簡單隨機抽樣；
（2）判斷總體容量和樣本容量的大小，當總體容量較小時，采用抽簽法；當總體容量較大、樣本容量較小時，采用隨機數表法；當總體容量較大且層次性明顯時，采用分層抽樣.
【跟蹤訓練】
　某單位有2 000名職工，老年、中年、青年分布在管理、技術開發、營銷、生產各崗位中的人數情況如表所示：
管理 技術開發 營銷 生產 合計
老年 40 40 40 80 200
中年 80 120 160 240 600
青年 40 160 280 720 1 200
合計 160 320 480 1 040 2 000
（1）若要抽取40人調查身體狀況，則應怎樣抽樣？
（2）若要開一個有25人參與的討論單位發展與薪金調整方案的座談會，則應怎樣抽選出席人？
1.下列抽樣調查中，宜用分層抽樣的是（　　）
A.為了研究班級同學父母的受教育狀況，從班級的40名同學中抽取10名同學，調查他們父母的受教育狀況
B.為了研究全校同學的肺活量，從全校三個年級的1 500 名同學中抽取50名同學，調查他們的肺活量
C.質量檢驗員從同一批產品中抽取10%進行質量檢驗
D.園林綠化人員調查一塊草坪的土質，在草坪中提取部分泥土進行檢驗
2.簡單隨機抽樣和分層抽樣之間的共同點是（　　）
A.都是從總體中逐個抽取的
B.抽樣過程中每個個體被抽到的機會是相等的
C.將總體分成幾層，然后各層按照比例抽取
D.兩者之間沒有共同點
3.某中學有高中生 3 500人，初中生1 500人.為了解學生的學習情況，用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n＝（　　）
A.100　　B.150　　C.200　　D.250
4.某校對全校1 200名男女學生進行健康調查，采用分層抽樣法抽取一個容量為200的樣本.已知女生抽了85人，則該校的男生人數為　　　　　.
14.2.2　分層抽樣
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.差異明顯　總體中的個體按不同的特點　在總體中所占的比　3.（1）一定標準　（2）個體數　（3）各層的個體數占總體的個體數的比
自我診斷
1.C　A、B不是分層抽樣，C是分層抽樣，因為總體的個體有明顯的層次；D是簡單隨機抽樣.故選C.
2.C　樣本中松樹苗為4 000×＝4 000×＝20（棵）.故選C.
3.　　解析：男、女同學每人被抽取的可能性是相同的，因為男同學共有54×＝30（人），女同學共有54×＝24（人），所以每個男同學被抽取的可能性為 ＝ ，每個女同學被抽取的可能性為 ＝ .
【典型例題·精研析】
【例1】　B　A中總體所含個體無差異且個數較少，適合用簡單隨機抽樣；C和D中總體所含個體無差異且個數較多，不適合分層抽樣；B中總體所含個體差異明顯，適合用分層抽樣.
跟蹤訓練
　①③　解析：根據兩種抽樣的特點知，不論哪種抽樣，總體中每個個體入樣的可能性都相等，都是，故①正確，②錯誤；由于總體中有差異較明顯的三個層（一級品、二級品和三級品），故方法2抽到的樣本更有代表性，③正確.故①③正確.
【例2】　解：因為職工年齡與這項指標有關，故采用分層抽樣.步驟如下：
（1）分層.按年齡將職工分成三層：不到35歲的職工；35歲至49歲的職工；50歲及50歲以上的職工.
（2）確定每層抽取個體的個數.抽樣比為＝，
則在不到35歲職工中抽125×＝25（人），
在35歲至49歲職工中抽280×＝56（人），
在50歲及50歲以上職工中抽95×＝19（人）.
（3）在各層中采用抽簽法或隨機數表法抽取樣本.
（4）綜合每層抽樣，組成樣本.
跟蹤訓練
1.20　解析：因為A，B，C 3層個體數之比為5∶3∶2，又有總體中每個個體被抽到的概率相等，所以由分層抽樣得，應從C中抽取100×＝20（個）個體.
2.1 350　解析：因為抽取的樣本容量為45，且高一年級抽取15人，高二年級抽取10人，那么高三年級抽取45－15－10＝20（人），設高中部學生人數為n，則＝，得n＝＝1 350.
【例3】　解：（1）兩種抽取方式中，總體都是高三全體學生本學年的考試成績，個體都是指高三年級每個學生本學年的考試成績.第一種抽取方式中，樣本為所抽取的20名學生本學年的考試成績，樣本容量為20；第二種抽取方式中，樣本為所抽取的100名學生本學年的考試成績，樣本容量為100.
（2）第一種方式采用的是簡單隨機抽樣法；第二種方式采用的是分層抽樣法和簡單隨機抽樣法.
跟蹤訓練
　解：（1）用分層抽樣法，并按老年職工4人，中年職工12人，青年職工24人抽取.
（2）用分層抽樣法，并按管理崗位2人，技術開發崗位4人，營銷崗位6人，生產崗位13人抽取.
隨堂檢測
1.B　A.班級的40名同學沒有明顯差異，不宜用分層抽樣；B.全校三個年級的1 500名同學有明顯的差異，宜用分層抽樣；C.同一批產品沒有明顯差異，不宜用分層抽樣；D.同一塊草坪的土質沒有明顯差異，不宜用分層抽樣.故選B.
2.B　由兩種抽樣方法的定義可知，在抽樣過程中每個個體被抽到的機會相等，故選B.
3.A　抽樣比為＝，該校總人數為1 500＋3 500＝5 000，則＝，故n＝100.故選A.
4.690　解析：男生人數占總人數的比等于抽到男生人數占樣本容量的比，可得男生人數為1 200×＝690.
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14.2.2　分層抽樣
新課程標準解讀 核心素養
1.通過實例，了解分層抽樣的特點和使用范圍，了解
分層抽樣的必要性，掌握各層樣本按比例分配的方法 數學運算
2.在簡單的實際情景中，能根據實際問題的特點，設
計恰當的抽樣方法解決問題 邏輯推理
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　某市為調查中小學生的近視情況，在全市范圍內對小學生、初中
生、高中生三個群體抽樣，進而了解中小學生近視的總體情況和三個
群體近視情況的差異大小.
【問題】　（1）上述問題中總體有什么特征？
（2）采用抽簽法合適嗎？若不合適，應采用什么方法抽取樣本？
知識點一　分層抽樣
1. 分層抽樣的定義
一般地，當總體由 的幾個部分組成時，為了使樣本更
客觀地反映總體情況，我們常常將
分成層次比較分明的幾個部分，然后按各個部分
實施抽樣，這種抽樣方法叫作分層抽樣，所分成的各個部分稱
為“層”.
差異明顯　
總體中的個體按不同的特點　
在總體中所占的
比　
2. 分層抽樣的特點
（1）適用于總體由明顯差異的幾部分組成的情況；
（2）抽取的樣本更好地反映了總體的情況；
（3）是等可能性抽樣，每個個體被抽到的可能性相同.
3. 分層抽樣的步驟
（1）將總體按 分層；
（2）計算各層的 與總體的個體數的比；
（3）按 確定各層應抽取的
樣本容量；
一定標準　
個體數　
各層的個體數占總體的個體數的比　
（4）在每一層進行抽樣（可用簡單隨機抽樣）.
提醒　使用分層抽樣應注意的問題：①分層抽樣中分多少
層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是每層內樣本的
差異要小，不同層之間的樣本差異要大，且互不重疊；②抽
取比例由每層個體占總體的比例確定；③各層抽樣按簡單隨
機抽樣進行.
知識點二　簡單隨機抽樣與分層抽樣的異同點
類別 特點 相互聯系 適用范圍 共同點
簡單
隨機抽樣 從總體中逐個抽
取 總體中的個體數
相對較少 抽樣過程
中每個個
體被抽到
的可能性
相同
分層 抽樣 將總體分成幾
層，按各層的個
體數之比抽取 各層抽樣
時，可以采
用簡單隨機
抽樣 總體由差異明顯
的幾部分組成
1. 下面的抽樣方法是分層抽樣的是（　　）
A. 在某年明信片銷售活動中，規定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎
B. 某車間包裝一種產品，在自動包裝的傳送帶上，每隔20分鐘抽一
包產品，稱其質量是否合格
C. 某學校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人
了解學校機構改革的意見
D. 用抽簽方法從8件產品中選取3件進行質量檢驗
√
解析： 　A、B不是分層抽樣，C是分層抽樣，因為總體的個體有
明顯的層次；D是簡單隨機抽樣.故選C.
2. 某林場有樹苗30 000棵，其中松樹苗4 000棵.為調查樹苗的生長情
況，采用分層抽樣的方法抽取一個容量為150的樣本，則樣本中松
樹苗的數量為（　　）
A. 30 B. 25
C. 20 D. 15
解析： 　樣本中松樹苗為4 000× ＝4 000× ＝20（棵）.
故選C.
√

解析：男、女同學每人被抽取的可能性是相同的，因為男同學共有
54× ＝30（人），女同學共有54× ＝24（人），所以每個男同
學被抽取的可能性為 ＝ ，每個女同學被抽取的可能性為 ＝ .
　
　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 　分層抽樣的概念
【例1】　下列問題中，最適合用分層抽樣抽取樣本的是（　　）
A. 從10名同學中抽取3人參加座談會
B. 紅星中學共有學生1 600名，其中男生840名，防疫站對此校學生進
行身體健康調查，抽取一個容量為200的樣本
C. 從1 000名工人中，抽取100人調查上班途中所用時間
D. 從生產流水線上，抽取樣本檢查產品質量
√
解析： 　A中總體所含個體無差異且個數較少，適合用簡單隨機抽
樣；C和D中總體所含個體無差異且個數較多，不適合分層抽樣；B中
總體所含個體差異明顯，適合用分層抽樣.
通性通法
分層抽樣的前提和遵循的兩條原則
（1）前提：分層抽樣使用的前提是總體可以分層，層與層之間有明
顯區別，而層內個體間差異較小，每層中所抽取的個體數可按
各層個體數在總體的個體數中所占比例抽取；
（2）遵循的兩條原則：
①每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復、不遺漏的原則；
②每層樣本容量與每層個體數量的比等于抽樣比.
【跟蹤訓練】
　在100個零件中，有一級品20個，二級品30個，三級品50個，從中
抽取20個作為樣本.
方法1：采用簡單隨機抽樣的方法，將零件編號為00，01，02，…，
99，用抽簽法抽取20個.
方法2：采用分層抽樣的方法，從一級品中隨機抽取4個，從二級品中
隨機抽取6個，從三級品中隨機抽取10個.
對于上述問題，下列說法正確的是 .（填序號）
①③　
①不論采用哪種抽樣方法，這100個零件中每一個零件被抽到的可能
性都是 ；
②采用不同的方法，這100個零件中每一個零件被抽到的可能性各不
相同；
③在上述兩種抽樣方法中，方法2抽到的樣本比方法1抽到的樣本更能
反映總體特征.
解析：根據兩種抽樣的特點知，不論哪種抽樣，總體中每個個體入樣
的可能性都相等，都是 ，故①正確，②錯誤；由于總體中有差異較
明顯的三個層（一級品、二級品和三級品），故方法2抽到的樣本更
有代表性，③正確.故①③正確.
題型二 分層抽樣的應用
【例2】　（鏈接教科書第232頁例1）某單位要調查了解本單位職
工與身體狀態有關的某項指標，參加調查的單位職工總人數為
500，其中各個年齡段的人數如表所示.由于職工年齡與這項指標
有關，該單位打算從中抽取100人進行更為詳細的調查，應該怎樣
進行抽樣抽取？
年齡段 不到35歲 35歲至49歲 50歲及
50歲以上
職工數 125 280 95
解：因為職工年齡與這項指標有關，故采用分層抽樣.步驟如下：
（1）分層.按年齡將職工分成三層：不到35歲的職工；35歲至49歲的
職工；50歲及50歲以上的職工.
（2）確定每層抽取個體的個數.抽樣比為 ＝ ，
則在不到35歲職工中抽125× ＝25（人），
在35歲至49歲職工中抽280× ＝56（人），
在50歲及50歲以上職工中抽95× ＝19（人）.
（3）在各層中采用抽簽法或隨機數表法抽取樣本.
（4）綜合每層抽樣，組成樣本.
通性通法
分層抽樣中有關抽樣比的計算方法
　　對于分層抽樣中的比值問題，常利用以下關系式求解：
（1）抽樣比＝ ＝ ；
（2）總體中某兩層的個體數之比＝樣本中這兩層抽取的個體數之比.
　　對于分層抽樣中求某層個體數，或某層要抽取的樣本個體
數，都可以通過上面兩個等量關系式求解.
【跟蹤訓練】
1. 將一個總體分為A，B，C 3層，其個體數之比為5∶3∶2.若用分
層抽樣的方法抽取一個容量為100的樣本，則應從C中抽取
個個體.
解析：因為A，B，C 3層個體數之比為5∶3∶2，又有總體中每個
個體被抽到的概率相等，所以由分層抽樣得，應從C中抽取
100× ＝20（個）個體.
20　
2. 某中學高中部有三個年級，其中高三年級有600人，采用分層抽樣
抽取一個容量為45的樣本.已知高一年級抽取15人，高二年級抽取
10人，則高中部的總人數是 .
解析：因為抽取的樣本容量為45，且高一年級抽取15人，高二年級
抽取10人，那么高三年級抽取45－15－10＝20（人），設高中部學
生人數為n，則 ＝ ，得n＝ ＝1 350.
1 350　
題型三 抽樣方法的選擇及應用
【例3】　（鏈接教科書第234頁例2）為了考察某學校的教學水平，
將抽取這個學校高三年級的部分學生本學年的考試成績進行統計分
析，為了全面反映實際情況，采取以下方式進行抽查（已知該學校高
三年級共有20個教學班，并且每個班內的學生按隨機方式編好了學
號，假定該校每班學生人數都相同）：
①從全年級20個班中任意抽取一個班，再從該班任意抽取20人，考察
他們的學習成績；
②把學生按成績分成優秀、良好、普通三個級別，從中共抽取100名
學生進行考察（已知若按成績分，該校高三學生中優秀生共150人，
良好生共600人，普通生共250人）.
根據上面的敘述，回答下列問題：
（1）上面兩種抽取方式中，其總體、個體、樣本分別指什么？每一
種抽取方式抽取的樣本中，其樣本容量分別是多少？
解： 兩種抽取方式中，總體都是高三全體學生本學年的考
試成績，個體都是指高三年級每個學生本學年的考試成績.第一
種抽取方式中，樣本為所抽取的20名學生本學年的考試成績，
樣本容量為20；第二種抽取方式中，樣本為所抽取的100名學生
本學年的考試成績，樣本容量為100.
（2）上面兩種抽取方式中各自采用何種抽樣方法？
解： 第一種方式采用的是簡單隨機抽樣法；第二種方式采
用的是分層抽樣法和簡單隨機抽樣法.
通性通法
選擇抽樣方法的思路
（1）判斷總體是否由差異明顯的幾部分組成，若是，則選用分層抽
樣；否則，考慮用簡單隨機抽樣；
（2）判斷總體容量和樣本容量的大小，當總體容量較小時，采用抽
簽法；當總體容量較大、樣本容量較小時，采用隨機數表法；
當總體容量較大且層次性明顯時，采用分層抽樣.
【跟蹤訓練】
　某單位有2 000名職工，老年、中年、青年分布在管理、技術開發、
營銷、生產各崗位中的人數情況如表所示：
管理 技術開發 營銷 生產 合計
老年 40 40 40 80 200
中年 80 120 160 240 600
青年 40 160 280 720 1 200
合計 160 320 480 1 040 2 000
（1）若要抽取40人調查身體狀況，則應怎樣抽樣？
解： 用分層抽樣法，并按老年職工4人，中年職工12人，
青年職工24人抽取.
（2）若要開一個有25人參與的討論單位發展與薪金調整方案的座談
會，則應怎樣抽選出席人？
解： 用分層抽樣法，并按管理崗位2人，技術開發崗位4
人，營銷崗位6人，生產崗位13人抽取.
1. 下列抽樣調查中，宜用分層抽樣的是（　　）
A. 為了研究班級同學父母的受教育狀況，從班級的40名同學中抽取10名同學，調查他們父母的受教育狀況
B. 為了研究全校同學的肺活量，從全校三個年級的1 500 名同學中抽取50名同學，調查他們的肺活量
C. 質量檢驗員從同一批產品中抽取10%進行質量檢驗
D. 園林綠化人員調查一塊草坪的土質，在草坪中提取部分泥土進行檢驗
√
解析： 　A. 班級的40名同學沒有明顯差異，不宜用分層抽樣；
B. 全校三個年級的1 500名同學有明顯的差異，宜用分層抽樣；C.
同一批產品沒有明顯差異，不宜用分層抽樣；D. 同一塊草坪的土
質沒有明顯差異，不宜用分層抽樣.故選B.
2. 簡單隨機抽樣和分層抽樣之間的共同點是（　　）
A. 都是從總體中逐個抽取的
B. 抽樣過程中每個個體被抽到的機會是相等的
C. 將總體分成幾層，然后各層按照比例抽取
D. 兩者之間沒有共同點
解析： 　由兩種抽樣方法的定義可知，在抽樣過程中每個個體被
抽到的機會相等，故選B.
√
3. 某中學有高中生 3 500人，初中生1 500人.為了解學生的學習情
況，用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本，已
知從高中生中抽取70人，則n＝（　　）
A. 100 B. 150
C. 200 D. 250
解析： 　抽樣比為 ＝ ，該校總人數為1 500＋3 500＝5
000，則 ＝ ，故n＝100.故選A.
√
4. 某校對全校1 200名男女學生進行健康調查，采用分層抽樣法抽取
一個容量為200的樣本.已知女生抽了85人，則該校的男生人數
為 .
解析：男生人數占總人數的比等于抽到男生人數占樣本容量的比，
可得男生人數為1 200× ＝690.
690　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 某市為了了解職工家庭生活狀況，先把職工按所從事的行業分為8
類（每類家庭數不完全相同），再對每個行業抽取的職工家庭進行
調查，這種抽樣方法是（　　）
A. 簡單隨機抽樣 B. 隨機數法
C. 分層抽樣 D. 不屬于以上幾類抽樣
解析： 　因為職工所從事的行業有明顯差異，所以是分層抽樣.
故選C.
1
2
3
4
5
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8
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11
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13
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15
√
2. 將A，B，C三種性質的個體按1∶2∶4的比例進行分層抽樣調
查，若抽取的樣本容量為21，則A，B，C三種性質的個體分別抽
取的個數為（　　）
A. 12，6，3 B. 12，3，6
C. 3，6，12 D. 3，12，6
解析： 　由分層抽樣的概念，知A，B，C三種性質的個體應分
別抽取的個數為21× ＝3，21× ＝6，21× ＝12.故選C.
√
1
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3
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15
3. 分層抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個體歸入一類（層），然后每
類抽取若干個個體構成樣本，所以分層抽樣為保證每個個體等可能
入樣，必須（　　）
A. 每層等可能抽樣
B. 每層可以不等可能抽樣
C. 所有層按同一抽樣比等可能抽樣
D. 所有層抽取的個體數量相同
√
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解析： 　保證每個個體等可能入樣是三種基本抽樣方式的共同特
征，為了保證這一點，分層抽樣時必須在所有層都按同一抽樣比等
可能抽取.
1
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4. 某校開展學生對食堂滿意度的調查活動，已知該校高一年級有學生
550人，高二年級有學生500人，高三年級有學生450人.現從全校學
生中用分層抽樣的方法抽取60人進行調查，則抽取的高二年級學生
人數為（　　）
A. 18 B. 20
C. 22 D. 30
解析： 　依題意，該校高一年級學生、高二年級學生、高三年級
學生人數比為550∶500∶450＝11∶10∶9，所以抽取的高二年級學
生人數為 ×60＝20.故選B.
√
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15
5. （多選）（2024·揚州月考）某部門為調查學生對學校“延時服
務”的滿意率，想從全市3個學校按學生人數用分層抽樣的方法抽
取一個容量為n的樣本.已知3個學校學生人數之比為2∶5∶3，如
果從學生人數最少的一個學校抽出的個體數是16，則（　　）
A. 此樣本的容量n為20
B. 此樣本的容量n為80
C. 樣本中來自學生人數最多的學校的有40人
D. 樣本中來自學生人數最多的學校的有24人
√
√
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15
解析： 　因為樣本中來自學生人數最少的學校的有16人，則
＝ ，解得n＝80，故A錯誤，B正確；樣本中來自學生人數最
多的學校的有80× ＝40（人），故C正確，D錯誤.
1
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6. （多選）某運動隊由足球運動員18人，籃球運動員12人，乒乓球運
動員6人組成（每人只參加一項），現從這些運動員中抽取一個容
量為n的樣本，若采用分層抽樣的方法，且不用剔除個體，則樣本
量n的取值可能是（　　）
A. 5 B. 6
C. 20 D. 24
√
√
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解析： 　因為運動隊有足球運動員18人，籃球運動員12人，乒
乓球運動員6人，所以當樣本容量為n時，分層抽樣的抽樣比為
，則足球運動員為 ×18＝ （人），籃球運動員為 ×12＝
（人），乒乓球運動員為 ×6＝ （人），所以n是6的整數倍，
故選B、D.
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7. 在1 000個球中有紅球50個，從中抽取100個進行分析，如果用分層
抽樣的方法對球進行抽樣，則應抽取紅球的個數為 .
解析：設應抽紅球x個，則 ＝ ，則x＝5.
5　
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8. 某公司為了調查消費者對某項服務的真實評價，采用分層抽樣的方
法在甲、乙、丙三個城市共抽取了3 600人進行問卷調查，若在
甲、乙、丙三個城市抽取的人數分別為a，b，c，且滿足a＋c＝
2b，則乙城市抽取的人數為 .
解析：因為在甲、乙、丙三個城市抽取的人數分別為a，b，c，
且滿足a＋c＝2b，所以乙城市抽取的人數占總抽取的人數的 ，
所以乙城市抽取的人數為3 600× ＝1 200.
1 200　
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9. 某企業三月中旬生產A，B，C三種產品共3 000件，根據分層抽樣
的結果，企業統計員制作了如下的統計表：
產品類型 A B C
產品數量/件 1 300
樣本量 130
由于不小心，表格中A、C兩種產品的有關數據被污染了，統計員
只記得A產品的樣本量比C產品的樣本量多10，根據以上信息，則
C產品的數量為 .
800　
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解析：易知抽樣比為130∶1 300＝1∶10，即每10件產品中抽取1件
產品，又A產品的樣本量比C產品的樣本量多10，故C產品的數量
是[（3 000－1 300）－100]× ＝800.
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10. 某網站針對“2024年法定節假日調休安排”提出的A，B，C三
種放假方案進行了問卷調查，調查結果如下：
支持A方案 支持B方案 支持C方案
35歲以下 的人數 200 400 800
35歲以上 （含35歲） 的人數 100 100 400
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（1）從所有參與調查的人中，用分層抽樣的方法抽取n人，已知
從支持A方案的人中抽取了6人，求n的值；
解： 由題意得 ＝ ，解
得n＝40.
（2）從支持B方案的人中，用分層抽樣的方法抽取5人，這5
人中在35歲以上（含35歲）的人數是多少？35歲以下的
人數是多少？
解： 35歲以下的人數為 ×400＝4，35歲以上（含35
歲）的人數為5－4＝1.
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11. 某校高一、高二、高三年級共有學生1 800名，為了完成學校心理
健康教育開展情況的調查問卷，計劃采用分層抽樣的方法從這1
800名學生中抽取一個容量為72的樣本，若從高一、高二、高三年
級抽取的人數恰好是從小到大排列的連續偶數，則該校高三年級
的人數為（　　）
A. 800 B. 750
C. 700 D. 650
√
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解析： 　設從高三年級抽取的學生人數為2x人，則從高二、高
一年級抽取的人數分別為2x－2，2x－4，由題意可得2x＋（2x
－2）＋（2x－4）＝72，所以x＝13.設該校高三年級的學生人數
為N，再根據 ＝ ，求得N＝650.故選D.
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12. （多選）某單位共有老年人120人，中年人360人，青年人n人，
為調查他們的身體健康狀況，需要抽取一個樣本容量為m的樣
本，用分層抽樣的方法進行抽樣調查，若樣本中的中年人人數為
6，則n和m的值可以是下列四個選項中的哪組（　　）
A. n＝360，m＝14 B. n＝420，m＝15
C. n＝540，m＝18 D. n＝660，m＝19
√
√
√
1
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13
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15
解析： 　若樣本中的中年人人數為6，則老年人人數為
120× ＝2，青年人人數為n× ＝ ，所以2＋6＋ ＝m，
得8＋ ＝m，將選項依次代入，可知選項A、B、D符合.故選
A、B、D.
1
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15
13. 某中學舉行了為期3天的新世紀體育運動會，同時進行全校精神文
明擂臺賽.為了解這次活動在全校師生中產生的影響，分別在全校
500名教職員工、3 000名初中生、4 000名高中生中做問卷調查，
如果要在所有答卷中抽出120份用于評估.
（1）應如何抽取才能得到比較客觀的評價結論？
解： 由于這次活動對教職員工、初中生和高中生產生的影響不會相同，所以應當采取分層抽樣的方法進行抽樣.
因為樣本容量為120，總體容量為500＋3 000＋4 000＝7 500，
所以120× ＝8，120× ＝48，120× ＝64，所以在教職員工、初中生、高中生中抽取的個體數分別是8，48，64.分層抽樣的步驟是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
①分層：將全校師生分為教職員工、初中生、高中生，
共三層.
②確定每層抽取的個數：在教職員工、初中生、高中生
中抽取的個數分別是8，48，64.
③各層分別采用簡單隨機抽樣的方法抽取樣本.
④綜合每層抽樣，組成樣本.
這樣便完成了整個抽樣過程，就能得到比較客觀的評價
結論.
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（2）要從3 000份初中生的答卷中抽取一個容量為48的樣本，如
果采用簡單隨機抽樣，應如何操作？
解： 由于簡單隨機抽樣有兩種方法：抽簽法和隨機數
表法.如果用抽簽法，要制作3 000個號簽，費時費力，因此
采用隨機數表法抽取樣本，步驟是
①編號：將3 000份答卷都編上號碼：0001，0002，0003，…，3000.
②在隨機數表上隨機選取一個起始位置.
③規定讀數方向：向右連續讀取數字，以4個數為一組，如
果讀取的4位數大于3 000，則跳過，如果遇到相同號碼則只
取一個，這樣一直到取滿48個號碼為止.
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14. （多選）（2024·淮安月考）已知某地區有小學生120 000人，初
中生75 000人，高中生55 000人，當地教育部門為了了解本地區中
小學生的近視率，對小學生、初中生、高中生進行分層抽樣，抽
取一個容量為2 000的樣本，得到小學生，初中生，高中生的近視
率分別為30%，70%，80%，則下列說法中正確的有（　　）
A. 從高中生中抽取了440人
C. 估計該地區中小學生總體的平均近視率為60%
D. 估計高中生的近視人數約為44 000
√
√
√
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解析： 　由題意得，抽樣比為 ＝ ，故
B正確；從高中生中抽取了55 000× ＝440（人），故A正確；
高中生近視人數約為55 000×80%＝44 000，故D正確；學生總人
數為250 000人，小學生占比為 ＝ ，同理，初中生、高中
生分別占比為 ， ，在樣本中，小學生、初中生和高中生分別
抽取960人，600人和440人，則近視人數為960×30%＋600×70%
＋440×80%＝1 060，所以估計該地區中小學生總體的平均近視
率為 ＝53%，故C錯誤.
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15. 為了對某課題進行研究，分別從A，B，C三所高校中用分層抽
樣法抽取若干名教授組成研究小組，其中高校A有m名教授，高
校B有72名教授，高校C有n名教授（其中0＜m≤72≤n）.
（1）若A，B兩所高校中共抽取3名教授，B，C兩所高校中共抽
取5名教授，求m，n；
解： ∵0＜m≤72≤n，A，B兩所高校中共抽取3名教
授，B，C兩所高校中共抽取5名教授，
∴高校B中抽取2名教授，高校A中抽取1名教授，高校C中
抽取3名教授，∴ ＝ ＝ ，解得m＝36，n＝108.
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（2）若高校B中抽取的教授人數是高校A和C中抽取的教授總人
數的 ，求三所高校教授的總人數.
解： ∵高校B中抽取的教授人數是高校A和C中抽取
的教授總人數的 ，
∴ （m＋n）＝72，解得m＋n＝108，
∴三所高校教授的總人數為m＋n＋72＝180.
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