資源簡介

14.3.2　頻率分布直方圖
1.對于頻率分布直方圖，下列說法中正確的是（　　）
A.小長方形的高表示取某數的頻率
B.小長方形的高表示該組個體在樣本中出現的頻數
C.小長方形的高表示該組個體在樣本中出現的頻率與組距的比
D.小長方形的高表示該組個體在樣本中出現的頻數與組距的比
2.從某一總體中抽取一個容量為200的樣本，得到分組與頻數如下：[10，15），6；[15，20），8；[20，25），13；[25，30），35；[30，35），46；[35，40），34；[40，45），28；[45，50），15；[50，55），10；[55，60]，5.則樣本在[35，60]上的頻率是（　　）
A.0.69 B.0.46
C.1 D.0.92
3.（2024·南京六校質檢）在抽查產品尺寸的過程中，將其尺寸分成若干組，[a，b）是其中的一組，該組的頻率為m，在頻率分布直方圖中，該組的小長方形的高為h，則｜a－b｜＝（　　）
A.hm B.
C. D.h＋m
4.某校在“創新素質實踐行”活動中組織學生進行社會調查，并對學生的調查報告進行了評比，將某年級60篇學生調查報告進行整理，分成5組并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知從左至右前4個小組的頻率分別為0.05，0.15，0.35，0.30，那么在這次評比中被評為優秀的調查報告有（分數大于或等于80分為優秀且分數為整數）（　　）
A.18篇 B.24篇
C.25篇 D.27篇
5.（多選）某學校為了調查學生一周在生活方面的支出情況，抽出了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50，60]內的學生有60人，則下列說法正確的是（　　）
A.樣本中支出在[50，60]內的頻率為 0.03
B.樣本中支出不少于40元的人數為132
C.n的值為200
D.若該校有2 000名學生，則約有600人支出在[50，60]內
6.（多選）（2024·徐州月考）為征求個人所得稅法修改建議，某機構調查了10 000名當地職工的月收入情況，并根據所得數據畫出了樣本的頻率分布直方圖.
下列說法正確的是（　　）
A.月收入低于5 000元的職工有5 500名
B.如果個稅起征點調整至5 000元，估計有50%的當地職工會被征稅
C.月收入高于或等于7 000元的職工約為當地職工的5%
D.根據此次調查，為使60%以上的職工不用繳納個稅，起征點應位于[5 000，6 000）內
7.數據65，73，94，63，78，83，86，90，79，84的極差為　　　　.
8.在樣本的頻率分布直方圖中，共有5個小長方形，已知中間一個小長方形面積是其余4個小長方形面積之和的，且中間一組的頻數為10，則樣本容量是　　　　.
9.（2024·宿遷月考）某工廠對一批產品進行了抽樣檢測.如圖是根據抽樣檢測后的產品凈重（單位：克）數據繪制的頻率分布直方圖，其中產品凈重的范圍是[96，106]，樣本數據分組為[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知樣本中產品凈重小于100克的個數是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品個數是　　　　.
10.抽查100袋洗衣粉，測得它們的質量如下（單位：g）：
494　498　493　505　496　492　487　483　508
511　495　494　483　485　511　493　505　485
501　503　493　509　509　512　484　509　510
495　497　498　504　498　483　510　503　497
502　511　497　500　493　509　510　493　491
497　515　503　515　518　510　514　509　499
493　499　506　492　505　489　494　501　509
498　502　500　508　491　509　509　499　495
493　509　496　509　509　499　486　491　492
496　499　508　485　498　496　495　496　505
499　505　493　501　510　496　487　511　501
496
（1）列出樣本的頻率分布表；
（2）畫出頻率分布直方圖、頻率折線圖.
11.（2024·泰州月考）某直播間從參與購物的人群中隨機選出200人，并將這200人按年齡分組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則在這200人中年齡在[25，35）的人數n及直方圖中a的值是（　　）
A.n＝35，a＝0.032 B.n＝35，a＝0.32
C.n＝30，a＝0.035 D.n＝30，a＝0.35
12.（多選）供電部門對某社區1 000位居民12月份人均用電情況進行統計后，按人均用電量分為[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]五組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則有關這1 000位居民，下列說法正確的是（　　）
A.12月份人均用電量人數最多的一組有400人
B.12月份人均用電量在[20，30）內的有300人
C.12月份人均用電量不低于20度的有500人
D.在這1 000位居民中用分層抽樣方法抽取10位居民協助收費，抽到的居民用電量在[30，40）一組的人數為2
13.某校高一年級1 000名學生在一次考試中成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖所示，現用分層抽樣方法從成績在[40，70）內的學生中共抽取80名學生，則抽取成績在[50，60）內的學生人數是　　　　.
14.從全校參加期末考試的試卷中抽取一個樣本，考察成績（均為整數，單位：分）的分布，將樣本分成5組，繪成如圖所示的頻率分布直方圖，從左到右各小組的小矩形的高之比為2∶3∶6∶4∶1，最左邊的一組頻數為6.
（1）求樣本容量；
（2）求105.5～120.5這一組的頻數及頻率；
（3）如果成績大于120分為優秀，估計這次考試成績的優秀率.
15.為了讓學生了解環保知識，增強環保意識，某中學舉行了一次“環保知識競賽”，共有900名學生參加了這次競賽.為了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績（得分均為整數，滿分為100分，單位：分）進行統計.得到如下不完整的頻率分布表和頻數直方圖.
分組 頻數 頻率
[50.5，60.5） 4 0.08
[60.5，70.5） 0.16
[70.5，80.5） 10
[80.5，90.5） 16 0.32
[90.5，100.5]
合計 50
（1）填充頻率分布表的空格（將答案直接填在表格內）；
（2）補全頻數直方圖；
（3）若成績在[75.5，85.5）中的學生獲得二等獎，問獲得二等獎的學生約為多少人？
14.3.2　頻率分布直方圖
1.C　在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應各組的頻率，小長方形的高表示該組個體在樣本中出現的頻率與組距的比.
2.B　由題可知，樣本在[35，60]上的頻率應為（34＋28＋15＋10＋5）÷200＝0.46.
3.B　＝h，故｜a－b｜＝組距＝＝.
4.D　根據題中頻率分布直方圖可得分數大于或等于80分的頻率為1－（0.05＋0.15＋0.35）＝0.45，所以被評為優秀的調查報告有60×0.45＝27（篇）.故選D.
5.BCD　設[50，60]對應小長方形的高為x，則（0.010＋0.024＋0.036＋x）×10＝1，解得x＝0.03.所以樣本中支出在[50，60]內的頻率為0.03×10＝0.3，A選項錯誤；n＝＝200，C選項正確；樣本中支出不少于40元的人數為200×（0.036＋0.03）×10＝132，B選項正確；若該校有2 000名學生，則約有2 000×0.3＝600（人）支出在[50，60]內，D選項正確.故選B、C、D.
6.ACD　月收入低于5 000元的職工有10 000×（0.000 1＋0.000 2＋0.000 25）×1 000＝5 500（名），A正確；如果個稅起征點調整至5 000元，由（0.000 25＋0.000 15＋0.000 05）×1 000×100%＝45%，可估計有45%的當地職工會被征稅，B不正確；月收入高于或等于7 000元的職工約占0.000 05×1 000×100%＝5%，C正確；月收入低于5 000元的頻率為0.55，低于6 000元的頻率為0.8，D正確.
7.31　解析：極差為一組數據中最大值與最小值的差，由數據可知，最大值為94，最小值為63，所以極差為94－63＝31.
8.40　解析：設中間小長方形的面積為x，樣本容量為n.由題意得x＝（1－x），解得x＝，即中間一組的頻率為，∴＝，解得n＝40.
9.90　解析：∵樣本中產品凈重小于100克的頻率為（0.050＋0.100）×2＝0.3，頻數為36，∴樣本容量為＝120.∵樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的頻率為（0.100＋0.150＋0.125）×2＝0.75，∴樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品個數為120×0.75＝90.
10.解：（1）在樣本數據中，最大值是518，最小值是483，它們相差35，可以取組距為4，分成9組，根據題意列出頻率分布表如下：
分組 頻數 頻率
[482.5，486.5） 8 0.08
[486.5，490.5） 3 0.03
[490.5，494.5） 17 0.17
[494.5，498.5） 20 0.20
[498.5，502.5） 14 0.14
[502.5，506.5） 10 0.10
[506.5，510.5） 19 0.19
[510.5，514.5） 6 0.06
[514.5，518.5] 3 0.03
合計 100 1
（2）頻率分布直方圖和頻率折線圖如圖所示：
11.C　由頻率分布直方圖知，年齡在[25，35）的頻率為0.015×10＝0.15，所以在這200人中年齡在[25，35）的人數n＝0.15×200＝30，由頻率分布直方圖中各小矩形的面積和為1可得，0.01×10＋0.015×10＋a×10＋0.03×10＋0.01×10＝1，解得a＝0.035.
12.ABC　根據頻率分布直方圖知，12月份人均用電量人數最多的一組是[10，20），有1 000×0.04×10＝400（人），A正確；12月份人均用電量在[20，30）內的人數為1 000×0.03×10＝300，B正確；12月份人均用電量不低于20度的頻率是（0.03＋0.01＋0.01）×10＝0.5，有1 000×0.5＝500（人），C正確；用電量在[30，40）內的有0.01×10×1 000＝100（人），所以在這1 000位居民中用分層抽樣方法抽取10位居民協助收費，抽到的居民用電量在[30，40）一組的人數為×10＝1，D錯誤.
13.30　解析：從頻率分布直方圖可以看出成績在[40，50），[50，60），[60，70）內的頻率之比為0.005∶0.015∶0.020＝1∶3∶4，所以抽取成績在[50，60）內的學生人數為80×＝30.
14.解：（1）小矩形的高之比為頻率之比，
∴從左到右各小組的頻率之比為2∶3∶6∶4∶1，
∴最左邊的一組的頻率為＝，
∴樣本容量＝＝＝48.
（2）105.5～120.5這一組的頻率為＝，
∴頻數為48×＝18.
（3）成績大于120分的頻率為＝，
∴考試成績的優秀率約為×100%＝31.25%.
15.解：（1）如下表所示.
分組 頻數 頻率
[50.5，60.5） 4 0.08
[60.5，70.5） 8 0.16
[70.5，80.5） 10 0.20
[80.5，90.5） 16 0.32
[90.5，100.5] 12 0.24
合計 50 1.00
（2）如圖所示.
（3）成績在[75.5，80.5）中的學生人數約占成績在[70.5，80.5）中的學生人數的，
因為成績在[70.5，80.5）中的頻率為0.2，所以成績在[75.5，80.5）中的頻率約為0.1.
成績在[80.5，85.5）中的學生人數約占成績在[80.5，90.5）中的學生人數的，
因為成績在[80.5，90.5）中的頻率為0.32，所以成績在[80.5，85.5）中的頻率約為0.16，
所以成績在[75.5，85.5）中的頻率約為0.26.
由于有900名學生參加了這次競賽，故該校獲得二等獎的學生約為0.26×900＝234（人）.
4 / 414.3.2　頻率分布直方圖
新課程標準解讀 核心素養
1.學會用頻率分布表、畫頻率分布直方圖表示樣本數據 數據分析、直觀想象
2.能通過頻率分布表或頻率分布直方圖對數據作出總體估計 數據分析、數學運算
　　在上一節學到的頻數直方圖中，之所以取相等的組距，是為了使頻數與相應的長方形面積成比例.而如果其他各組不變，將最后三組合成一組，如圖，這個圖形就容易給人造成錯覺，在[130，160]這個區間上的矩形占有的區域面積較大，其中頻數最多.
【問題】　怎樣避免這種誤解呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　頻率分布直方圖與頻率折線圖
1.頻率分布直方圖：把橫軸均分成若干段，每一段對應的長度稱為　　　　　，然后以此段為底作矩形，它的高等于該組的　　　　　，這樣得出一系列的矩形，每個矩形的面積恰好是該組的　　　　　，這些矩形就構成了直方圖，我們將這種直方圖稱為頻率分布直方圖.
2.頻率折線圖：將頻率分布直方圖中各個矩形的上底邊的　　　　順次連接起來，并將兩邊端點向外延伸　　　　組距，就得到頻率折線圖，簡稱折線圖.
提醒　頻率分布直方圖的性質：①圖中每個小長方形的面積表示相應各組的頻率，即小長方形的面積＝組距×＝頻率；②在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積的總和等于1；③＝樣本容量；④頻率分布直方圖中，各矩形的面積之比等于頻率之比，各矩形的高度之比也等于頻率之比.
【想一想】
　頻數直方圖和頻率分布直方圖有什么區別？
知識點二　繪制頻率分布直方圖的步驟
　
1.在頻率分布直方圖中，小長方形的面積等于（　　）
A.組距 B.頻率
C.組數 D.頻數
2.（2024·蘇州月考）某研究機構為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機抽樣調查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進行統計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則a 的值為（　　）
A.0.02 B.0.2
C.0.04 D.0.4
3.一組數據共40個，分為6組，第1組到第4組的頻數分別為10，5，7，6，第5組的頻率為0.1，則第6組的頻數為　　　　.
題型一 繪制頻率分布直方圖與頻率折線圖
【例1】　（鏈接教科書第243頁習題5題）為調查某校初二年級男生的身高，隨機抽取40名初二男生，實測身高數據（單位：cm）如下：
171　163　163　166　166　168　168　160
168　165　171　169　167　169　151　168
170　168　160　174　165　168　174　159
167　156　157　164　169　180　176　157
162　161　158　164　163　163　167　161
（1）作出頻率分布表；
（2）畫出頻率分布直方圖、頻率折線圖.
通性通法
1.繪制頻率分布直方圖的注意事項
（1）將一批數據分組，目的是要描述數據分布規律，要根據數據多少來確定分組數目，一般來說，數據越多，分組越多；
（2）將數據分組，決定分點時，一般使分點比數據多一位小數，并且把第一組的起點稍微減小一點；
（3）列頻率分布表時，可通過逐一判斷各個數據落在哪個小組內，確定各個小組內數據的個數；
（4）畫頻率分布直方圖時，縱坐標表示頻率與組距的比值，一定不能標成頻率.
2.頻率折線圖
【跟蹤訓練】
　隨機觀測生產某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數（單位：件），獲得數據如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，37，26，39，36.根據上述數據得到樣本的頻率分布表如表所示.
分組 頻數 頻率
[25，30） 3 0.12
[30，35） 5 0.20
[35，40） 8 0.32
[40，45） n1 f1
[45，50] n2 f2
合計 25 1
（1）確定樣本頻率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
（2）根據上述頻率分布表，畫出樣本的頻率分布直方圖和頻率折線圖.
題型二 頻率分布直方圖的應用
【例2】　為了了解高一年級學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數測試，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖所示），圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數為12.
（1）第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？
（2）若次數在110次以上（含110次）為達標，則該校全體高一年級學生的達標率是多少？
【母題探究】
1.（變設問）在本例條件下，樣本中不達標的學生人數是多少？
2.（變設問）在本例條件下，第三小組的頻數是多少？
通性通法
頻率分布直方圖應用中的計算問題
（1）小長方形的面積＝組距×＝頻率；
（2）各小長方形的面積之和等于1；
（3）＝頻率，此關系式的變形為＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數.
【跟蹤訓練】
　（2024·淮安質檢）某校100名學生期中考試語文成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區間是[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].
（1）求圖中a的值；
（2）若這100名學生的語文成績在某些分數段的人數（x）與數學成績相應分數段的人數（y）之比如下表所示，求數學成績在[50，90）之外的人數.
分數段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90）
x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
1.一個容量為80的樣本數據的最大值是142，最小值是60，組距是10，則應將樣本數據分為多少組（　　）
A.14　　　B.10 C.9　　　D.8
2.一個容量為20的樣本數據，分組與頻數如表所示：
分組 [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70]
頻數 2 3 4 5 4 2
則樣本數據在[10，50）內的頻率為（　　）
A.0.5 B.0.24
C.0.6 D.0.7
3.為了解今年某校高三畢業班準備報考飛行員的學生的體重（單位：千克）情況，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖，如圖所示，已知圖中從左到右的前三個小組的頻率之比為1∶2∶3，其中第2小組的頻數為12.則該校準備報考飛行員的總人數為　　　　.
14.3.2　頻率分布直方圖
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.組距　　頻率　2.中點　半個
想一想
　提示：頻數直方圖的縱坐標是頻數，每一組數對應的矩形的高度與頻數成正比；頻率分布直方圖的縱坐標是，每一組數對應的矩形高度與頻率成正比，而且每個矩形的面積等于這一組數對應的頻率，從而可知頻率分布直方圖中，所有矩形的面積之和為1.
知識點二
　最大值與最小值　左閉右開　樣本容量　1　頻率/組距
自我診斷
1.B　由頻率分布直方圖中小長方形寬為組距，高為頻率與組距的比值，所以小長方形的面積等于頻率，故選B.
2.A　由頻率分布直方圖可知：每組頻率依次為0.1，10a，0.45，10a，0.05，則0.1＋10a＋0.45＋10a＋0.05＝20a＋0.6＝1，解得a＝0.02，故選A.
3.8　解析：因為第5組的頻率為0.1，故第5組的頻數為0.1×40＝4，故第6組的頻數為40－10－5－7－6－4＝8.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）最低身高151 cm，最高身高180 cm，它們的差是180－151＝29，即極差為29；確定組距為4，組數為8，列表如下：
分組 頻數 頻率
[149.5，153，5） 1 0.025
[153.5，157.5） 3 0.075
[157.5，161.5） 6 0.15
[161.5，165.5） 9 0.225
[165.5，169.5） 14 0.35
[169.5，173.5） 3 0.075
[173.5，177.5） 3 0.075
[177.5，181.5] 1 0.025
合計 40 1
（2）頻率分布直方圖、頻率折線圖如圖所示.
跟蹤訓練
　解：（1）由所給數據知，落在區間[40，45）內的有7個，落在[45，50]內的有2個，故n1＝7，n2＝2，所以f1＝＝＝0.28，f2＝＝＝0.08.
（2）樣本的頻率分布直方圖和頻率折線圖如圖所示.
【例2】　解：（1）頻率分布直方圖以面積的形式反映數據落在各小組內的頻率大小，
因此第二小組的頻率為
＝0.08.
又因為第二小組的頻率＝，
所以樣本容量＝＝＝150.
（2）由頻率分布直方圖可估計該校高一年級學生的達標率為×100%＝88%.
母題探究
1.解：由例2知達標率為88%，樣本容量為150，不達標的學生頻率為1－0.88＝0.12.
所以樣本中不達標的學生人數為150×0.12＝18.
2.解：第三小組的頻率為
＝0.34.
又因為樣本容量為150，
所以第三小組的頻數為150×0.34＝51.
跟蹤訓練
　解：（1）依題意得，10×（2a＋0.02＋0.03＋0.04）＝1，
解得a＝0.005.
（2）數學成績在[50，60）之間的人數為100×0.05＝5，數學成績在[60，70）之間的人數為100×0.4×＝20，數學成績在[70，80）之間的人數為100×0.3×＝40，數學成績在[80，90）之間的人數為100×0.2×＝25，所以數學成績在[50，90）之外的人數為100－5－20－40－25＝10.
隨堂檢測
1.C　這組數據的極差為142－60＝82，所以組數＝≈9.故選C.
2.D　因為樣本數據在[10，50）內的頻數為2＋3＋4＋5＝14，樣本容量為20，所以在[10，50）內的頻率為＝0.7.
3.48　解析：設該校準備報考飛行員的總人數為n，第1小組的頻率為a，則有a＋2a＋3a＋（0.013＋0.037）×5＝1，解得a＝0.125，所以第2小組的頻率為0.25.又第2小組的頻數為12，則有0.25＝，解得n＝48.
4 / 4(共65張PPT)
14.3.2　
頻率分布直方圖
新課程標準解讀 核心素養
1.學會用頻率分布表、畫頻率分布直方圖表示樣本數
據 數據分析、
直觀想象
2.能通過頻率分布表或頻率分布直方圖對數據作出總
體估計 數據分析、
數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　在上一節學到的頻數直方圖中，之所以取相等的組距，是為了使
頻數與相應的長方形面積成比例.而如果其他各組不變，將最后三組
合成一組，如圖，這個圖形就容易給人造成錯覺，在[130，160]這個
區間上的矩形占有的區域面積較大，其中頻數最多.
【問題】　怎樣避免這種誤解呢？

組距　
　
頻率　
2. 頻率折線圖：將頻率分布直方圖中各個矩形的上底邊的 順
次連接起來，并將兩邊端點向外延伸 組距，就得到頻率折
線圖，簡稱折線圖.
提醒　頻率分布直方圖的性質：①圖中每個小長方形的面積表示相
應各組的頻率，即小長方形的面積＝組距× ＝頻率；②在頻
率分布直方圖中，各小長方形的面積的總和等于1；③
＝樣本容量；④頻率分布直方圖中，各矩形的面積之比等于頻率之
比，各矩形的高度之比也等于頻率之比.
中點　
半個　
【想一想】
　頻數直方圖和頻率分布直方圖有什么區別？
提示：頻數直方圖的縱坐標是頻數，每一組數對應的矩形的高度與頻
數成正比；頻率分布直方圖的縱坐標是 ，每一組數對應的矩形高
度與頻率成正比，而且每個矩形的面積等于這一組數對應的頻率，從
而可知頻率分布直方圖中，所有矩形的面積之和為1.
知識點二　繪制頻率分布直方圖的步驟
1. 在頻率分布直方圖中，小長方形的面積等于（　　）
A. 組距 B. 頻率
C. 組數 D. 頻數
解析： 　由頻率分布直方圖中小長方形寬為組距，高為頻率與組
距的比值，所以小長方形的面積等于頻率，故選B.
√
2. （2024·蘇州月考）某研究機構為了解某地年輕人的閱讀情況，通
過隨機抽樣調查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單
位：分鐘）進行統計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則a
的值為（　　）
A. 0.02 B. 0.2
C. 0.04 D. 0.4
√
解析： 　由頻率分布直方圖可知：每組頻率依次為0.1，10a，
0.45，10a，0.05，則0.1＋10a＋0.45＋10a＋0.05＝20a＋0.6＝
1，解得a＝0.02，故選A.
3. 一組數據共40個，分為6組，第1組到第4組的頻數分別為10，5，
7，6，第5組的頻率為0.1，則第6組的頻數為 .
解析：因為第5組的頻率為0.1，故第5組的頻數為0.1×40＝4，故
第6組的頻數為40－10－5－7－6－4＝8.
8　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 繪制頻率分布直方圖與頻率折線圖
【例1】　（鏈接教科書第243頁習題5題）為調查某校初二年級男生
的身高，隨機抽取40名初二男生，實測身高數據（單位：cm）如下：
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
171 169 167 169 151 168 170 168 160 174
165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
（1）作出頻率分布表；
解： 最低身高151 cm，最高身高180 cm，它們的差是180
－151＝29，即極差為29；確定組距為4，組數為8，列表如下：
分組 頻數 頻率
[149.5，153，5） 1 0.025
[153.5，157.5） 3 0.075
[157.5，161.5） 6 0.15
[161.5，165.5） 9 0.225
[165.5，169.5） 14 0.35
[169.5，173.5） 3 0.075
[173.5，177.5） 3 0.075
[177.5，181.5] 1 0.025
合計 40 1
（2）畫出頻率分布直方圖、頻率折線圖.
解： 頻率分布直方圖、頻率折線圖如圖所示.
通性通法
1. 繪制頻率分布直方圖的注意事項
（1）將一批數據分組，目的是要描述數據分布規律，要根據數據
多少來確定分組數目，一般來說，數據越多，分組越多；
（2）將數據分組，決定分點時，一般使分點比數據多一位小數，
并且把第一組的起點稍微減小一點；
（3）列頻率分布表時，可通過逐一判斷各個數據落在哪個小組
內，確定各個小組內數據的個數；
（4）畫頻率分布直方圖時，縱坐標表示頻率與組距的比值，一定
不能標成頻率.
2. 頻率折線圖
【跟蹤訓練】
　隨機觀測生產某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數（單位：
件），獲得數據如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，
29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，37，26，39，36.
根據上述數據得到樣本的頻率分布表如表所示.
分組 頻數 頻率
[25，30） 3 0.12
[30，35） 5 0.20
[35，40） 8 0.32
[40，45） n1 f1
[45，50] n2 f2
合計 25 1
（1）確定樣本頻率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
解： 由所給數據知，落在區間[40，45）內的有7個，落在
[45，50]內的有2個，故n1＝7，n2＝2，所以f1＝ ＝ ＝
0.28，f2＝ ＝ ＝0.08.
（2）根據上述頻率分布表，畫出樣本的頻率分布直方圖和頻率折線圖.
解： 樣本的頻率分布直
方圖和頻率折線圖如圖所示.
題型二 頻率分布直方圖的應用
【例2】　為了了解高一年級學生的體能情況，某校抽取部分學生進
行一分鐘跳繩次數測試，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖
（如圖所示），圖中從左到右各小長方形面積之比為
2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數為12.
（1）第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？
解： 頻率分布直方圖以
面積的形式反映數據落在各小
組內的頻率大小，
因此第二小組的頻率為
＝0.08.
又因為第二小組的頻率＝ ，所以樣本容量＝ ＝ ＝150.
（2）若次數在110次以上（含110次）為達標，則該校全體高一年級
學生的達標率是多少？
解： 由頻率分布直方圖
可估計該校高一年級學生的達
標率為 ×100%
＝88%.
【母題探究】
1. （變設問）在本例條件下，樣本中不達標的學生人數是多少？
解：由例2知達標率為88%，樣本容量為150，不達標的學生頻率為
1－0.88＝0.12.
所以樣本中不達標的學生人數為150×0.12＝18.
2. （變設問）在本例條件下，第三小組的頻數是多少？
解：第三小組的頻率為 ＝0.34.
又因為樣本容量為150，
所以第三小組的頻數為150×0.34＝51.
通性通法
頻率分布直方圖應用中的計算問題
（1）小長方形的面積＝組距× ＝頻率；
（2）各小長方形的面積之和等于1；
（3） ＝頻率，此關系式的變形為 ＝樣本容量，樣本容
量×頻率＝頻數.
【跟蹤訓練】
　（2024·淮安質檢）某校100名學生期中考試語文成績（單位：分）
的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區間是[50，60），[60，
70），[70，80），[80，90），[90，100].
（1）求圖中a的值；
解： 依題意得，10×（2a＋0.02
＋0.03＋0.04）＝1，
解得a＝0.005.
（2）若這100名學生的語文成績在某些分數段的人數（x）與數學成
績相應分數段的人數（y）之比如下表所示，求數學成績在
[50，90）之外的人數.
分數段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90）
x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
解： 數學成績在[50，60）之間
的人數為100×0.05＝5，數學成績在
[60，70）之間的人數為100×0.4×
＝20，數學成績在[70，80）之間的人
數為100×0.3× ＝40，數學成績在[80，90）之間的人數為100×0.2× ＝25，所以數學成績在[50，90）之外的人數為100－5－20－40－25＝10.
1. 一個容量為80的樣本數據的最大值是142，最小值是60，組距是
10，則應將樣本數據分為多少組（　　）
A. 14 B. 10 C. 9 D. 8
解析： 　這組數據的極差為142－60＝82，所以組數＝ ≈9.
故選C.
√
2. 一個容量為20的樣本數據，分組與頻數如表所示：
分組 [10， 20） [20， 30） [30， 40） [40， 50） [50， 60） [60，
70]
頻數 2 3 4 5 4 2
則樣本數據在[10，50）內的頻率為（　　）
A. 0.5 B. 0.24 C. 0.6 D. 0.7
解析： 　因為樣本數據在[10，50）內的頻數為2＋3＋4＋5＝
14，樣本容量為20，所以在[10，50）內的頻率為 ＝0.7.
√
3. 為了解今年某校高三畢業班準備報考飛行員的學生的體重（單位：
千克）情況，將所得數據整理后，畫出頻率分布直方圖，如圖所
示，已知圖中從左到右的前三個小組的頻率之比為1∶2∶3，其中
第2小組的頻數為12.則該校準備報考飛行員的總人數為 .
48　
解析：設該校準備報考飛行員的總人數為n，第1小組的頻率為a，
則有a＋2a＋3a＋（0.013＋0.037）×5＝1，解得a＝0.125，所
以第2小組的頻率為0.25.又第2小組的頻數為12，則有0.25＝ ，
解得n＝48.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
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1. 對于頻率分布直方圖，下列說法中正確的是（　　）
A. 小長方形的高表示取某數的頻率
B. 小長方形的高表示該組個體在樣本中出現的頻數
C. 小長方形的高表示該組個體在樣本中出現的頻率與組距的比
D. 小長方形的高表示該組個體在樣本中出現的頻數與組距的比
解析： 　在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應
各組的頻率，小長方形的高表示該組個體在樣本中出現的頻率
與組距的比.
√
2. 從某一總體中抽取一個容量為200的樣本，得到分組與頻數如下：
[10，15），6；[15，20），8；[20，25），13；[25，30），35；
[30，35），46；[35，40），34；[40，45），28；[45，50），
15；[50，55），10；[55，60]，5.則樣本在[35，60]上的頻率是
（　　）
A. 0.69 B. 0.46 C. 1 D. 0.92
解析： 　由題可知，樣本在[35，60]上的頻率應為（34＋28＋15
＋10＋5）÷200＝0.46.
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3. （2024·南京六校質檢）在抽查產品尺寸的過程中，將其尺寸分成
若干組，[a，b）是其中的一組，該組的頻率為m，在頻率分布直
方圖中，該組的小長方形的高為h，則｜a－b｜＝（　　）
A. hm D. h＋m
解析： 　 ＝h，故｜a－b｜＝組距＝ ＝ .
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4. 某校在“創新素質實踐行”活動中組織學生進行社會調查，并對學
生的調查報告進行了評比，將某年級60篇學生調查報告進行整理，
分成5組并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知從左至右前4個
小組的頻率分別為0.05，0.15，0.35，0.30，那么在這次評比中被
評為優秀的調查報告有（分數大于或等于80分為優秀且分數為整
數）（　　）
A. 18篇 B. 24篇
C. 25篇 D. 27篇
√
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解析： 　根據題中頻率分布直方圖可得分數大于或等于80分的頻
率為1－（0.05＋0.15＋0.35）＝0.45，所以被評為優秀的調查報
告有60×0.45＝27（篇）.故選D.
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5. （多選）某學校為了調查學生一周在生活方面的支出情況，抽出了
一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在
[50，60]內的學生有60人，則下列說法正確的是（　　）
A. 樣本中支出在[50，60]內的頻率為 0.03
B. 樣本中支出不少于40元的人數為132
C. n的值為200
D. 若該校有2 000名學生，則約有600人支出
在[50，60]內
√
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解析： 　設[50，60]對應小長方形的高為x，則（0.010＋
0.024＋0.036＋x）×10＝1，解得x＝0.03.所以樣本中支出在
[50，60]內的頻率為0.03×10＝0.3，A選項錯誤；n＝ ＝
200，C選項正確；樣本中支出不少于40元的人數為200×
（0.036＋0.03）×10＝132，B選項正確；若該校有2 000名學
生，則約有2 000×0.3＝600（人）支出在[50，60]內，D選項
正確.故選B、C、D.
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6. （多選）（2024·徐州月考）為征求個人所得稅法修改建議，某機
構調查了10 000名當地職工的月收入情況，并根據所得數據畫出了
樣本的頻率分布直方圖.
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下列說法正確的是（　　）
A. 月收入低于5 000元的職工有5 500名
B. 如果個稅起征點調整至5 000元，估計有50%的當地職工會被征稅
C. 月收入高于或等于7 000元的職工約為當地職工的5%
D. 根據此次調查，為使60%以上的職工不用繳納個稅，起征點應位于[5 000，6 000）內
√
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解析： 月收入低于5 000元的職工有10 000×（0.000 1＋
0.000 2＋0.000 25）×1 000＝5 500（名），A正確；如果個稅起
征點調整至5 000元，由（0.000 25＋0.000 15＋0.000 05）×1
000×100%＝45%，可估計有45%的當地職工會被征稅，B不正
確；月收入高于或等于7 000元的職工約占0.000 05×1 000×100%
＝5%，C正確；月收入低于5 000元的頻率為0.55，低于6 000元的
頻率為0.8，D正確.
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7. 數據65，73，94，63，78，83，86，90，79，84的極差為 .
解析：極差為一組數據中最大值與最小值的差，由數據可知，最大
值為94，最小值為63，所以極差為94－63＝31.
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8. 在樣本的頻率分布直方圖中，共有5個小長方形，已知中間一個小
長方形面積是其余4個小長方形面積之和的 ，且中間一組的頻數
為10，則樣本容量是 .
解析：設中間小長方形的面積為x，樣本容量為n.由題意得x＝
（1－x），解得x＝ ，即中間一組的頻率為 ，∴ ＝ ，解得n
＝40.
40　
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9. （2024·宿遷月考）某工廠對一批產品進行了抽樣檢測.如圖是根據
抽樣檢測后的產品凈重（單位：克）數據繪制的頻率分布直方圖，
其中產品凈重的范圍是[96，106]，樣本數據分組為[96，98），
[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知樣本
中產品凈重小于100克的個數是36，則樣本中凈重大于或等于98克
并且小于104克的產品個數是 .
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解析：∵樣本中產品凈重小于100克的頻率為（0.050＋0.100）×2
＝0.3，頻數為36，∴樣本容量為 ＝120.∵樣本中凈重大于或等
于98克并且小于104克的產品的頻率為（0.100＋0.150＋0.125）
×2＝0.75，∴樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品個
數為120×0.75＝90.
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10. 抽查100袋洗衣粉，測得它們的質量如下（單位：g）：
494 498 493 505 496 492 487 483 508
511 495 494 483 485 511 493 505 485
501 503 493 509 509 512 484 509 510
495 497 498 504 498 483 510 503 497
502 511 497 500 493 509 510 493 491
497 515 503 515 518 510 514 509 499
493 499 506 492 505 489 494 501 509
498 502 500 508 491 509 509 499 495
493 509 496 509 509 499 486 491 492
496 499 508 485 498 496 495 496 505
499 505 493 501 510 496 487 511 501
496
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（1）列出樣本的頻率分布表；
解： 在樣本數據中，最大值是518，最小值是483，它
們相差35，可以取組距為4，分成9組，根據題意列出頻率分布表如下：
分組 頻數 頻率
[482.5，486.5） 8 0.08
[486.5，490.5） 3 0.03
[490.5，494.5） 17 0.17
[494.5，498.5） 20 0.20
[498.5，502.5） 14 0.14
[502.5，506.5） 10 0.10
[506.5，510.5） 19 0.19
[510.5，514.5） 6 0.06
[514.5，518.5] 3 0.03
合計 100 1
1
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（2）畫出頻率分布直方圖、頻率折線圖.
解： 頻率分布直方圖和頻率折線圖如圖所示：
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11. （2024·泰州月考）某直播間從參與購物的人群中隨機選出200
人，并將這200人按年齡分組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，
則在這200人中年齡在[25，35）的人數n及直方圖中a的值是（　）
A. n＝35，a＝0.032
B. n＝35，a＝0.32
C. n＝30，a＝0.035
D. n＝30，a＝0.35
√
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解析： 　由頻率分布直方圖知，年齡在[25，35）的頻率為
0.015×10＝0.15，所以在這200人中年齡在[25，35）的人數n＝
0.15×200＝30，由頻率分布直方圖中各小矩形的面積和為1可
得，0.01×10＋0.015×10＋a×10＋0.03×10＋0.01×10＝1，
解得a＝0.035.
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12. （多選）供電部門對某社區1 000位居民12月份人均用電情況進行
統計后，按人均用電量分為[0，10），[10，20），[20，30），
[30，40），[40，50]五組，整理得到如圖所示的頻率分布直方
圖，則有關這1 000位居民，下列說法正確的是（　　）
A. 12月份人均用電量人數最多的一組有400人
B. 12月份人均用電量在[20，30）內的有300人
C. 12月份人均用電量不低于20度的有500人
D. 在這1 000位居民中用分層抽樣方法抽取10位居民協助收費，抽到
的居民用電量在[30，40）一組的人數為2
√
√
√
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解析： 　根據頻率分布直方圖知，12月份人均用電量人數最
多的一組是[10，20），有1 000×0.04×10＝400（人），A正
確；12月份人均用電量在[20，30）內的人數為1 000×0.03×10
＝300，B正確；12月份人均用電量不低于20度的頻率是（0.03＋
0.01＋0.01）×10＝0.5，有1 000×0.5＝500（人），C正確；用
電量在[30，40）內的有0.01×10×1 000＝100（人），所以在這
1 000位居民中用分層抽樣方法抽取10位居民協助收費，抽到的居
民用電量在[30，40）一組的人數為 ×10＝1，D錯誤.
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13. 某校高一年級1 000名學生在一次考試中成績（單位：分）的頻率
分布直方圖如圖所示，現用分層抽樣方法從成績在[40，70）內的
學生中共抽取80名學生，則抽取成績在[50，60）內的學生人數
是 .
30　
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解析：從頻率分布直方圖可以看出成績在[40，50），[50，
60），[60，70）內的頻率之比為0.005∶0.015∶0.020＝
1∶3∶4，所以抽取成績在[50，60）內的學生人數為80×
＝30.
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14. 從全校參加期末考試的試卷中抽取一個樣本，考察成績（均為整
數，單位：分）的分布，將樣本分成5組，繪成如圖所示的頻率分
布直方圖，從左到右各小組的小矩形的高之比為2∶3∶6∶4∶1，
最左邊的一組頻數為6.
（1）求樣本容量；
解： 小矩形的高之比為
頻率之比，
∴從左到右各小組的頻率之
比為2∶3∶6∶4∶1，
∴最左邊的一組的頻率為
＝ ，
∴樣本容量＝ ＝ ＝48.
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（2）求105.5～120.5這一組的頻數及頻率；
解： 105.5～120.5這一組的頻率為 ＝ ，
∴頻數為48× ＝18.
（3）如果成績大于120分為優秀，估計這次考試成績的優秀率.
解： 成績大于120分的頻率為 ＝ ，
∴考試成績的優秀率約為 ×100%＝31.25%.
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15. 為了讓學生了解環保知識，增強環保意識，某中學舉行了一次“環保知識競賽”，共有900名學生參加了這次競賽.為了解本次
競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績（得分均為整數，滿分為100分，單位：分）進行統計.得到如下不完整的頻率分布表和頻數直方圖.
分組 頻數 頻率
[50.5，60.5） 4 0.08
[60.5，70.5） 0.16
[70.5，80.5） 10
[80.5，90.5） 16 0.32
[90.5，100.5]
合計 50
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（1）填充頻率分布表的空格（將答案直接填在表格內）；
解： 如下表所示.
分組 頻數 頻率
[50.5，60.5） 4 0.08
[60.5，70.5） 8 0.16
[70.5，80.5） 10 0.20
[80.5，90.5） 16 0.32
[90.5，100.5] 12 0.24
合計 50 1.00
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（2）補全頻數直方圖；
解： 如圖所示.
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（3）若成績在[75.5，85.5）中的學生獲得二等獎，問獲得二等
獎的學生約為多少人？
解： 成績在[75.5，80.5）中的學生人數約占成績在[70.5，80.5）中的學生人數的 ，
因為成績在[70.5，80.5）中的頻率為0.2，所以成績在
[75.5，80.5）中的頻率約為0.1.
成績在[80.5，85.5）中的學生人數約占成績在[80.5，
90.5）中的學生人數的 ，
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因為成績在[80.5，90.5）中的頻率為0.32，所以成績在
[80.5，85.5）中的頻率約為0.16，
所以成績在[75.5，85.5）中的頻率約為0.26.
由于有900名學生參加了這次競賽，故該校獲得二等獎的學
生約為0.26×900＝234（人）.
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謝 謝 觀 看！

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