資源簡介

一、抽樣方法的選取及應(yīng)用
　　抽樣方法的選取原則：當(dāng)總體容量較小，樣本容量也較小時，可采用抽簽法；當(dāng)總體容量較大，樣本容量較小時，可采用隨機數(shù)表法；當(dāng)總體中個體差異較顯著時，可采用分層抽樣，但是要明確是按各個部分在總體中所占的比實施抽樣.
【例1】　（2024·宿遷月考）某學(xué)校在校學(xué)生有3 000人，為了增強學(xué)生的體質(zhì)，學(xué)校舉行了跑步和登山比賽，每人都參加且只參加其中一項比賽，高一、高二、高三年級參加跑步的人數(shù)分別為a，b，c，且a∶b∶c＝2∶3∶4，全校參加登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的.為了了解學(xué)生對本次比賽的滿意程度，用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查，則應(yīng)從高二年級參加跑步的學(xué)生中抽取（　　）
A.15人　　　　　　 B.30人
C.45人 D.60人
反思感悟
抽樣方法的比較
簡單隨機抽樣 分層抽樣
共同點 在抽樣過程中，每個個體被抽取的概率相等
各自 特點 從總體中逐個抽取；在抽樣中易出現(xiàn)“極端”的樣本 將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取；在抽樣中，不易出現(xiàn)“極端”的樣本
相互 聯(lián)系 分層抽樣中，在各層抽樣時，采用簡單隨機抽樣
適用 范圍 總體的個體數(shù)較少 總體由差異明顯的幾部分組成
　　通過比較這兩種抽樣方法可以看出，在這兩種抽樣方法中，簡單隨機抽樣是基礎(chǔ).無論哪種抽樣方法，在抽取樣本的過程中，都會應(yīng)用至少一次簡單隨機抽樣（抽簽法或隨機數(shù)表法）.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.下列問題中最適合用簡單隨機抽樣方法的是（　　）
A.某學(xué)校有學(xué)生1 320人，衛(wèi)生部門為了了解學(xué)生身體發(fā)育情況，準(zhǔn)備從中抽取一個容量為300的樣本
B.為了準(zhǔn)備省政協(xié)會議，某政協(xié)委員計劃從1 135個村莊中抽取50個進(jìn)行收入調(diào)查
C.從全班30名學(xué)生中，任意選取5名進(jìn)行家訪
D.為了解某地區(qū)癌癥的發(fā)病情況，從該地區(qū)的5 000人中抽取200人進(jìn)行統(tǒng)計
2.假設(shè)要考查某公司生產(chǎn)的狂犬疫苗的劑量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從500支疫苗中抽取50支進(jìn)行檢驗，利用隨機數(shù)表抽取樣本時，先將500支疫苗按000，001，…，499進(jìn)行編號，如果從隨機數(shù)表第1行第8列的數(shù)開始向右讀，請寫出第3支疫苗的編號　　　　.
8442175331　5724550688　7704744767
2176335025 8392120676 6301637859
1695566719 9810507175 1286735807
4439523879 3321123429 7864560782
二、用樣本的取值規(guī)律估計總體的取值規(guī)律
　　根據(jù)樣本容量的大小，我們可以選擇利用樣本的頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率折線圖等對總體情況作出估計.
【例2】　某市2024年4月1日～4月30日對空氣污染指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如下（主要污染物為可吸入顆粒物）：
61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45.
（1）列出頻率分布表；
（2）作出頻率分布直方圖；
（3）根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)，污染指數(shù)在0～50之間時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；在51～100之間時，為良；在101～150之間時，為輕微污染；在151～200之間時，為輕度污染.請你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標(biāo)準(zhǔn)，對該市的空氣質(zhì)量給出一個簡短評價.
反思感悟
1.繪制頻率分布直方圖時需注意的兩點
（1）制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來檢驗該表是否正確；
（2）頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是，而不是頻率.
2.與頻率分布直方圖計算有關(guān)的兩個關(guān)系式
（1）×組距＝頻率；
（2）＝頻率，此關(guān)系式的變形為＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù).
【跟蹤訓(xùn)練】
1.（多選）空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，AQI指數(shù)的值越小，表明空氣質(zhì)量越好，AQI指數(shù)不超過50，空氣質(zhì)量為“優(yōu)”；AQI指數(shù)大于50且不超過100，空氣質(zhì)量為“良”；AQI指數(shù)大于100，空氣質(zhì)量為“污染”.如圖是某市2023年空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的月折線圖.下列關(guān)于該市2023年空氣質(zhì)量的敘述中，正確的是（　　）
A.全年的平均AQI指數(shù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量等級為優(yōu)或良
B.每月都至少有一天空氣質(zhì)量為優(yōu)
C.2月，8月，9月和12月均出現(xiàn)污染天氣
D.空氣質(zhì)量為“污染”的天數(shù)最多的月份是2月份
2.（2024·淮安月考）某電子商務(wù)公司對10 000名網(wǎng)絡(luò)購物者2023年度的消費情況進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額（單位：萬元）都在區(qū)間[0.3，0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求直方圖中a的值；
（2）在這些購物者中，求消費金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù).
三、樣本的百分位數(shù)的估計
　　一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是估計該組數(shù)據(jù)取值規(guī)律的依據(jù).用樣本數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)估計總體的第p百分位數(shù)可能存在偏差，但樣本容量越大，偏差會越小.另外，百分位數(shù)只是研究一組數(shù)據(jù)取值規(guī)律的一個統(tǒng)計量.
【例3】　下表為某市2023年月平均降水量：
月份 1 2 3 4 5 6
月平均降 水量/cm 5.8 4.8 5.3 4.6 5.6 5.6
月份 7 8 9 10 11 12
月平均降 水量/cm 5.1 7.1 5.6 5.3 6.4 6.6
則該市2023年月平均降水量的四分位數(shù)分別為　　　　，　　　　，　　　　.
反思感悟
1.求一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟
第1步：按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；
第2步：計算i＝n×p%；
第3步：若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第（i＋1）項數(shù)據(jù)的平均數(shù).
2.由頻率分布直方圖求第p百分位數(shù)的方法
確定要求的p%分位數(shù)所在分組[A，B），由頻率分布直方圖可知，樣本中小于A的頻率為a，小于B的頻率為b，所以p%分位數(shù)＝A＋組距×.
【跟蹤訓(xùn)練】
　將高三某班60名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)模擬考試所得的成績（成績均為整數(shù)）整理后畫出頻率分布直方圖如圖，則此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)是　　　　.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
四、用樣本的集中趨勢估計總體
　　為了從整體上更好地把握總體規(guī)律，我們還可以通過樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)估計總體的集中趨勢.
【例4】　（1）某班全體學(xué)生數(shù)學(xué)測試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖所示，則估計該班數(shù)學(xué)測試成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)分別是（　　）
A.70，70，70　　　　 B.70，70，68
C.70，68，70 D.68，70，70
（2）（多選）（2023·新高考Ⅰ卷9題）有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則（　　）
A.x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)
B.x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)
C.x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差
D.x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差
反思感悟
求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法
（1）眾數(shù)：由定義知，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，即為眾數(shù)，若有兩個或幾個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，這些數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中，每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則認(rèn)為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)；
（2）中位數(shù)：若一組數(shù)據(jù)為奇數(shù)個，按照從小到大（或從大到小）的順序排列，位于中間位置的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；若一組數(shù)據(jù)為偶數(shù)個，按照從小到大（或從大到小）的順序排列，位于中間位置的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
（3）平均數(shù)：利用＝xi求解.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.（多選）有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c（i＝1，2，…，n），c為非零常數(shù)，則（　　）
A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同
C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同
2.（多選）某班級體溫檢測員對一周內(nèi)甲、乙兩名同學(xué)的體溫進(jìn)行了統(tǒng)計，其結(jié)果如圖所示，則（　　）
A.甲同學(xué)體溫的極差為0.4 ℃
B.乙同學(xué)體溫的眾數(shù)為36.4 ℃，中位數(shù)與平均數(shù)相等
C.乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定
D.甲同學(xué)體溫的第60百分位數(shù)為36.4 ℃
五、用樣本的離散程度估計總體
　　為了從整體上更好地把握總體規(guī)律，通過樣本數(shù)據(jù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差估計總體的離散程度.
【例5】　（2023·全國乙卷17題）某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi（i＝1，2，…，10），試驗結(jié)果如下：
試驗序號i 1 2 3 4 5
伸縮率xi 545 533 551 522 575
伸縮率yi 536 527 543 530 560
試驗序號i 6 7 8 9 10
伸縮率xi 544 541 568 596 548
伸縮率yi 533 522 550 576 536
記zi＝xi－yi（i＝1，2，…，10），z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為，樣本方差為s2.
（1）求，s2；
（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果≥2，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.
反思感悟
1.標(biāo)準(zhǔn)差（方差）反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度.標(biāo)準(zhǔn)差（方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差（方差）越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.
2.計算分層抽樣的方差的步驟
（1）確定，，，；
（2）確定；
（3）應(yīng)用公式s2＝[＋（－）2]＋·[＋（－）2]，計算s2.
【跟蹤訓(xùn)練】
　為調(diào)查高一年級學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的情況，從（1）班抽取了12名學(xué)生的成績，他們的平均分為91分，方差為3，從（2）班抽取了8名學(xué)生的成績，他們的平均分為89分，方差為5，則合在一起后的樣本平均數(shù)為　　　，樣本方差為　　　　.
章末復(fù)習(xí)與總結(jié)
【例1】　D　由題意，可知全校參加跑步的人數(shù)為3 000×＝1 800，所以a＋b＋c＝1 800.因為a∶b∶c＝2∶3∶4，所以b＝1 800×＝600.因為用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為300的樣本，所以應(yīng)從高二年級參加跑步的學(xué)生中抽取的人數(shù)為600×＝60.
跟蹤訓(xùn)練
1.C　A中不同年級的學(xué)生身體發(fā)育情況差別較大；B，D的總體容量較大，不適宜用簡單隨機抽樣；C的總體容量較小，適宜用簡單隨機抽樣.
2.068　解析：從隨機數(shù)表第1行第8列的數(shù)開始向右讀，編號分別為331，455，068，則第3支疫苗的編號為068.
【例2】　解：（1）頻率分布表如下：
分組 頻數(shù) 頻率
[41，51） 2
[51，61） 1
[61，71） 4
[71，81） 6
[81，91） 10
[91，101） 5
[101，111] 2
合計 30 1
（2）頻率分布直方圖如圖所示.
（3）答對下述兩條中的一條即可：
①該市一個月中空氣污染指數(shù)有2天處于優(yōu)的水平，占當(dāng)月天數(shù)的；有26天處于良的水平，占當(dāng)月天數(shù)的；處于優(yōu)或良的有28天，占當(dāng)月天數(shù)的.說明該市空氣質(zhì)量基本良好.
②輕微污染有2天，占當(dāng)月天數(shù)的；污染指數(shù)在80以上的接近輕微污染的有15天，加上處于輕微污染的2天，共有17天，占當(dāng)月天數(shù)的，超過50%.說明該市空氣質(zhì)量有待進(jìn)一步改善.
跟蹤訓(xùn)練
1.ABC　對于A，根據(jù)AQI指數(shù)月折線圖可知，全年的平均AQI指數(shù)都小于100，故全年的平均AQI指數(shù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量等級為優(yōu)或良，故A正確；對于B，每月中AQI指數(shù)的最小值都不超過50，故B正確；對于C，2月，8月，9月和12月的AQI指數(shù)的最大值都超過了100，故C正確；對于D，從折線圖只能知道，2月AQI指數(shù)的最大值最大，不能說明2月的空氣質(zhì)量為“污染”的天數(shù)最多，故D不正確.
2.解：（1）由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1×a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.
（2）消費金額在區(qū)間[0.3，0.5）內(nèi)的頻率為0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故在[0.5，0.9]內(nèi)的頻率為1－0.4＝0.6.因此，消費金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為0.6×10 000＝6 000.
【例3】　5.2　5.6　6.1　解析：將12個月的月平均降水量的數(shù)據(jù)由小到大排列得4.6，4.8，5.1，5.3，5.3，5.6，5.6，5.6，5.8，6.4，6.6，7.1，那么①12×0.25＝3，∴第25百分位數(shù)為＝5.2；②12×0.50＝6，∴第50百分位數(shù)為＝5.6；③12×0.75＝9，∴第75百分位數(shù)為＝6.1.
跟蹤訓(xùn)練
　124.44　解析：由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)在120分以下的學(xué)生所占的比例為（0.01＋0.015＋0.015＋0.03）×10×100%＝70%，分?jǐn)?shù)在130分以下的學(xué)生所占的比例為（0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.022 5）×10×100%＝92.5%，因此80%分位數(shù)一定位于[120，130）內(nèi).因為120＋×10≈124.44，所以此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)約為124.44.
【例4】　（1）B　（2）BD　解析：（1）由題意知眾數(shù)為＝70；因為（0.005＋0.010）×20＝0.3＜0.5，（0.005＋0.010＋0.020）×20＝0.7＞0.5，所以中位數(shù)位于[60，80）中，設(shè)中位數(shù)為x，則（0.005＋0.010）×20＋（x－60）×0.020＝0.5，解得x＝70；平均數(shù)為30×0.1＋50×0.2＋70×0.4＋90×0.3＝68.
（2）若該組樣本數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5，8，則2，3，4，5的平均數(shù)為，1，2，3，4，5，8的平均數(shù)為，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不相等，故A錯誤；不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，則x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，x3，x4，x5，x6的中位數(shù)，故B正確；若該組樣本數(shù)據(jù)為1，2，2，2，2，8，則2，2，2，2的標(biāo)準(zhǔn)差為0，而1，2，2，2，2，8的標(biāo)準(zhǔn)差大于0，故C錯誤；由對選項B的分析可知，x2，x3，x4，x5的極差為x5－x2，x1，x2，x3，x4，x5，x6的極差為x6－x1，且易得x6－x1≥x5－x2，故D正確.故選B、D.
跟蹤訓(xùn)練
1.CD　設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差分別為，m，σ，t，依題意得，新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差分別為＋c，m＋c，σ，t，因為c≠0，所以C、D正確，故選C、D.
2.ABC　對于A，甲同學(xué)體溫的極差為36.6－36.2＝0.4（℃），故A正確；對于B，乙同學(xué)體溫為36.4，36.3，36.5，36.4，36.4，36.3，36.5，其眾數(shù)為36.4 ℃，中位數(shù)、平均數(shù)均為36.4 ℃，故B正確；對于C，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，甲同學(xué)體溫的平均數(shù)為36.4 ℃，與乙同學(xué)體溫的平均數(shù)相同，但甲同學(xué)體溫的極差為0.4 ℃，大于乙同學(xué)體溫的極差0.2 ℃，而且從圖中容易看出乙同學(xué)的數(shù)據(jù)更集中，故乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定，故C正確；對于D，甲同學(xué)的體溫從小到大排序為36.2，36.2，36.4，36.4，36.5，36.5，36.6，7×＝4.2，故甲同學(xué)體溫的第60百分位數(shù)為36.5 ℃，故D錯誤.
【例5】　解：（1）由題意，求出zi的值如表所示，
試驗 序號i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12
則＝×（9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12）＝11，
s2＝×[（9－11）2＋（6－11）2＋（8－11）2＋（－8－11）2＋（15－11）2＋（11－11）2＋（19－11）2＋（18－11）2＋（20－11）2＋（12－11）2]＝61.
（2）因為2＝2＝，＝11＝＞，
所以可認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.
跟蹤訓(xùn)練
　90.2　4.76　解析：樣本平均數(shù)＝＝90.2，樣本方差s2＝×[3＋（91－90.2）2]＋×[5＋（89－90.2）2]＝4.76.
6 / 6(共46張PPT)
章末復(fù)習(xí)與總結(jié)
一、抽樣方法的選取及應(yīng)用
　　抽樣方法的選取原則：當(dāng)總體容量較小，樣本容量也較小時，可
采用抽簽法；當(dāng)總體容量較大，樣本容量較小時，可采用隨機數(shù)表
法；當(dāng)總體中個體差異較顯著時，可采用分層抽樣，但是要明確是按
各個部分在總體中所占的比實施抽樣.
【例1】　（2024·宿遷月考）某學(xué)校在校學(xué)生有3 000人，為了增強學(xué)
生的體質(zhì)，學(xué)校舉行了跑步和登山比賽，每人都參加且只參加其中一
項比賽，高一、高二、高三年級參加跑步的人數(shù)分別為a，b，c，
且a∶b∶c＝2∶3∶4，全校參加登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的 .為了了解
學(xué)生對本次比賽的滿意程度，用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為
300的樣本進(jìn)行調(diào)查，則應(yīng)從高二年級參加跑步的學(xué)生中抽取（　　）
A. 15人 B. 30人
C. 45人 D. 60人
√
解析： 由題意，可知全校參加跑步的人數(shù)為3 000× ＝1 800，所
以a＋b＋c＝1 800.因為a∶b∶c＝2∶3∶4，所以b＝1 800×
＝600.因為用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為300的樣本，所以
應(yīng)從高二年級參加跑步的學(xué)生中抽取的人數(shù)為600× ＝60.
反思感悟
抽樣方法的比較
簡單隨機抽樣 分層抽樣
共同點 在抽樣過程中，每個個體被抽取的概率相等 各自 特點 從總體中逐個抽取；在
抽樣中易出現(xiàn)“極端”
的樣本 將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽
取；在抽樣中，不易出現(xiàn)“極
端”的樣本
相互 聯(lián)系 分層抽樣中，在各層抽樣時，采用簡單隨機抽樣 適用 范圍 總體的個體數(shù)較少 總體由差異明顯的幾部分組成
　　通過比較這兩種抽樣方法可以看出，在這兩種抽樣方法中，簡單
隨機抽樣是基礎(chǔ).無論哪種抽樣方法，在抽取樣本的過程中，都會應(yīng)
用至少一次簡單隨機抽樣（抽簽法或隨機數(shù)表法）.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 下列問題中最適合用簡單隨機抽樣方法的是（　　）
A. 某學(xué)校有學(xué)生1 320人，衛(wèi)生部門為了了解學(xué)生身體發(fā)育情況，準(zhǔn)
備從中抽取一個容量為300的樣本
B. 為了準(zhǔn)備省政協(xié)會議，某政協(xié)委員計劃從1 135個村莊中抽取50個
進(jìn)行收入調(diào)查
C. 從全班30名學(xué)生中，任意選取5名進(jìn)行家訪
D. 為了解某地區(qū)癌癥的發(fā)病情況，從該地區(qū)的5 000人中抽取200人進(jìn)
行統(tǒng)計
√
解析： 　A中不同年級的學(xué)生身體發(fā)育情況差別較大；B，D的總
體容量較大，不適宜用簡單隨機抽樣；C的總體容量較小，適宜用
簡單隨機抽樣.
2. 假設(shè)要考查某公司生產(chǎn)的狂犬疫苗的劑量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從500支疫苗中抽取50支進(jìn)行檢驗，利用隨機數(shù)表抽取樣本時，先將500支疫苗按
000，001，…，499進(jìn)行編號，如果從隨機數(shù)表第1行第8列的數(shù)開始向右讀，請寫出第3支疫苗的編號 　 　.
8442175331 5724550688 7704744767 2176335025
8392120676 6301637859 1695566719 9810507175
1286735807 4439523879 3321123429 7864560782
解析：從隨機數(shù)表第1行第8列的數(shù)開始向右讀，編號分別為331，
455，068，則第3支疫苗的編號為068.
068
二、用樣本的取值規(guī)律估計總體的取值規(guī)律
　　根據(jù)樣本容量的大小，我們可以選擇利用樣本的頻率分布表、頻
率分布直方圖、頻率折線圖等對總體情況作出估計.
【例2】　某市2024年4月1日～4月30日對空氣污染指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如
下（主要污染物為可吸入顆粒物）：
61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，
95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，
45.
（1）列出頻率分布表；
解： 頻率分布表如下：
分組 頻數(shù) 頻率
[41，51） 2
[51，61） 1
[61，71） 4
[71，81） 6
[81，91） 10
[91，101） 5
[101，111] 2
合計 30 1
（2）作出頻率分布直方圖；
解： 頻率分布直方圖如圖所示.
解： 答對下述兩條中的一條即可：
①該市一個月中空氣污染指數(shù)有2天處于優(yōu)的水平，占當(dāng)月天數(shù)
的 ；有26天處于良的水平，占當(dāng)月天數(shù)的 ；處于優(yōu)或良的
有28天，占當(dāng)月天數(shù)的 .說明該市空氣質(zhì)量基本良好.
②輕微污染有2天，占當(dāng)月天數(shù)的 ；污染指數(shù)在80以上的接近
輕微污染的有15天，加上處于輕微污染的2天，共有17天，占當(dāng)
月天數(shù)的 ，超過50%.說明該市空氣質(zhì)量有待進(jìn)一步改善.
（3）根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)，污染指數(shù)在0～50之間時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；在
51～100之間時，為良；在101～150之間時，為輕微污染；在
151～200之間時，為輕度污染.請你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標(biāo)準(zhǔn)，
對該市的空氣質(zhì)量給出一個簡短評價.
反思感悟
1. 繪制頻率分布直方圖時需注意的兩點
（1）制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來檢
驗該表是否正確；
（2）頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是 ，而不是頻率.
2. 與頻率分布直方圖計算有關(guān)的兩個關(guān)系式
（1） ×組距＝頻率；
（2） ＝頻率，此關(guān)系式的變形為 ＝樣本容量，樣本
容量×頻率＝頻數(shù).
【跟蹤訓(xùn)練】
1. （多選）空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，AQI指數(shù)
的值越小，表明空氣質(zhì)量越好，AQI指數(shù)不超過50，空氣質(zhì)量為
“優(yōu)”；AQI指數(shù)大于50且不超過100，空氣質(zhì)量為“良”；AQI指
數(shù)大于100，空氣質(zhì)量為“污染”.如圖是某市2023年空氣質(zhì)量指數(shù)
（AQI）的月折線圖.下列關(guān)于該市2023年空氣質(zhì)量的敘述中，正
確的是（　　）
A. 全年的平均AQI指數(shù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量等級為優(yōu)或良
B. 每月都至少有一天空氣質(zhì)量為優(yōu)
C. 2月，8月，9月和12月均出現(xiàn)污染天氣
D. 空氣質(zhì)量為“污染”的天數(shù)最多的月份是2月份
√
√
√
解析： 　對于A，根據(jù)AQI指數(shù)月折線圖可知，全年的平均
AQI指數(shù)都小于100，故全年的平均AQI指數(shù)對應(yīng)的空氣質(zhì)量等級為
優(yōu)或良，故A正確；對于B，每月中AQI指數(shù)的最小值都不超過
50，故B正確；對于C，2月，8月，9月和12月的AQI指數(shù)的最大值
都超過了100，故C正確；對于D，從折線圖只能知道，2月AQI指
數(shù)的最大值最大，不能說明2月的空氣質(zhì)量為“污染”的天數(shù)最
多，故D不正確.
2. （2024·淮安月考）某電子商務(wù)公司對10 000名網(wǎng)絡(luò)購物者2023年
度的消費情況進(jìn)行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額（單位：萬元）都在區(qū)間
[0.3，0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求直方圖中a的值；
解： 由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1×a＋0.1×2.0＋
0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.
（2）在這些購物者中，求消費金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購物者
的人數(shù).
解： 消費金額在區(qū)間[0.3，0.5）內(nèi)的頻率為0.1×1.5
＋0.1×2.5＝0.4，故在[0.5，0.9]內(nèi)的頻率為1－0.4＝0.6.
因此，消費金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為
0.6×10 000＝6 000.
三、樣本的百分位數(shù)的估計
　　一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是估計該組數(shù)據(jù)取值規(guī)律的依據(jù).用樣本
數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)估計總體的第p百分位數(shù)可能存在偏差，但樣本
容量越大，偏差會越小.另外，百分位數(shù)只是研究一組數(shù)據(jù)取值規(guī)律
的一個統(tǒng)計量.
月份 1 2 3 4 5 6
月平均降 水量/cm 5.8 4.8 5.3 4.6 5.6 5.6
月份 7 8 9 10 11 12
月平均降 水量/cm 5.1 7.1 5.6 5.3 6.4 6.6
【例3】　下表為某市2023年月平均降水量：
則該市2023年月平均降水量的四分位數(shù)分別
為 ， ， .
解析：將12個月的月平均降水量的數(shù)據(jù)由小到大排列得4.6，4.8，
5.1，5.3，5.3，5.6，5.6，5.6，5.8，6.4，6.6，7.1，那么①
12×0.25＝3，∴第25百分位數(shù)為 ＝5.2；②12×0.50＝6，
∴第50百分位數(shù)為 ＝5.6；③12×0.75＝9，∴第75百分位數(shù)為
＝6.1.
5.2　
5.6　
6.1　
反思感悟
1. 求一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟
第1步：按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；
第2步：計算i＝n×p%；
第3步：若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為
第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第（i＋1）項
數(shù)據(jù)的平均數(shù).
2. 由頻率分布直方圖求第p百分位數(shù)的方法
確定要求的p%分位數(shù)所在分組[A，B），由頻率分布直方圖可
知，樣本中小于A的頻率為a，小于B的頻率為b，所以p%分位數(shù)
＝A＋組距× .
【跟蹤訓(xùn)練】
　將高三某班60名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)模擬考試所得的成績（成績均為
整數(shù)）整理后畫出頻率分布直方圖如圖，則此班的模擬考試成績的
80%分位數(shù)是 .（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
124.44　
解析：由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)在120分以下的學(xué)生所占的比例
為（0.01＋0.015＋0.015＋0.03）×10×100%＝70%，分?jǐn)?shù)在130分
以下的學(xué)生所占的比例為（0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.022 5）
×10×100%＝92.5%，因此80%分位數(shù)一定位于[120，130）內(nèi).因為
120＋ ×10≈124.44，所以此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)
約為124.44.
四、用樣本的集中趨勢估計總體
　　為了從整體上更好地把握總體規(guī)律，我們還可以通過樣本數(shù)據(jù)的
眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)估計總體的集中趨勢.
【例4】　（1）某班全體學(xué)生數(shù)學(xué)測試成績（單位：分）的頻率分布
直方圖如圖所示，則估計該班數(shù)學(xué)測試成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)
分別是（　B　）
A. 70，70，70 B. 70，70，68
C. 70，68，70 D. 68，70，70
B
解析： 由題意知眾數(shù)為 ＝70；因為（0.005＋
0.010）×20＝0.3＜0.5，（0.005＋0.010＋0.020）×20＝0.7
＞0.5，所以中位數(shù)位于[60，80）中，設(shè)中位數(shù)為x，則
（0.005＋0.010）×20＋（x－60）×0.020＝0.5，解得x＝
70；平均數(shù)為30×0.1＋50×0.2＋70×0.4＋90×0.3＝68.
（2）（多選）（2023·新高考Ⅰ卷9題）有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，
x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則（　BD　）
A. x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)
B. x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)
C. x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差
D. x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差
BD
解析：若該組樣本數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5，8，則2，3，4，5的平
均數(shù)為 ，1，2，3，4，5，8的平均數(shù)為 ，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)
不相等，故A錯誤；不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，則x2，
x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，x3，x4，x5，x6的中位數(shù)，故B
正確；若該組樣本數(shù)據(jù)為1，2，2，2，2，8，則2，2，2，2的
標(biāo)準(zhǔn)差為0，而1，2，2，2，2，8的標(biāo)準(zhǔn)差大于0，故C錯誤；由
對選項B的分析可知，x2，x3，x4，x5的極差為x5－x2，x1，
x2，x3，x4，x5，x6的極差為x6－x1，且易得x6－x1≥x5－x2，
故D正確.故選B、D.
反思感悟
求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法
（1）眾數(shù)：由定義知，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，即為眾數(shù)，
若有兩個或幾個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，這
些數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中，每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的
次數(shù)一樣多，則認(rèn)為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)；
（2）中位數(shù)：若一組數(shù)據(jù)為奇數(shù)個，按照從小到大（或從大到
小）的順序排列，位于中間位置的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的中位
數(shù)；若一組數(shù)據(jù)為偶數(shù)個，按照從小到大（或從大到小）的
順序排列，位于中間位置的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)
的中位數(shù)；
（3）平均數(shù)：利用 ＝ xi求解.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. （多選）有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本
數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c（i＝1，2，…，n），c為
非零常數(shù)，則（　　）
A. 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同
B. 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同
C. 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同
D. 兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同
√
√
解析： 　設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)
差、極差分別為 ，m，σ，t，依題意得，新樣本數(shù)據(jù)y1，
y2，…，yn的平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差分別為 ＋c，m＋
c，σ，t，因為c≠0，所以C、D正確，故選C、D.
2. （多選）某班級體溫檢測員對一周內(nèi)甲、乙兩名同學(xué)的體溫進(jìn)行了
統(tǒng)計，其結(jié)果如圖所示，則（　　）
A. 甲同學(xué)體溫的極差為0.4 ℃
B. 乙同學(xué)體溫的眾數(shù)為36.4 ℃，中位數(shù)與平均數(shù)相等
C. 乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定
D. 甲同學(xué)體溫的第60百分位數(shù)為36.4 ℃
√
√
√
解析： 　對于A，甲同學(xué)體溫的極差為36.6－36.2＝0.4
（℃），故A正確；對于B，乙同學(xué)體溫為36.4，36.3，36.5，
36.4，36.4，36.3，36.5，其眾數(shù)為36.4 ℃，中位數(shù)、平均數(shù)均
為36.4 ℃，故B正確；對于C，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，甲同學(xué)體溫的平均
數(shù)為36.4 ℃，與乙同學(xué)體溫的平均數(shù)相同，但甲同學(xué)體溫的極差
為0.4 ℃，大于乙同學(xué)體溫的極差0.2 ℃，而且從圖中容易看出乙
同學(xué)的數(shù)據(jù)更集中，故乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定，故C正
確；對于D，甲同學(xué)的體溫從小到大排序為36.2，36.2，36.4，
36.4，36.5，36.5，36.6，7× ＝4.2，故甲同學(xué)體溫的第60百
分位數(shù)為36.5 ℃，故D錯誤.
五、用樣本的離散程度估計總體
　　為了從整體上更好地把握總體規(guī)律，通過樣本數(shù)據(jù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)
差估計總體的離散程度.
【例5】　（2023·全國乙卷17題）某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠
產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)
相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙
工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后
的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi（i＝1，2，…，10），試驗結(jié)果
如下：
試驗序號i 1 2 3 4 5
伸縮率xi 545 533 551 522 575
伸縮率yi 536 527 543 530 560
試驗序號i 6 7 8 9 10
伸縮率xi 544 541 568 596 548
伸縮率yi 533 522 550 576 536
記zi＝xi－yi（i＝1，2，…，10），z1，z2，…，z10的樣本平均數(shù)為
，樣本方差為s2.
（1）求 ，s2；
解： 由題意，求出zi的值如表所示，
試驗 序號i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12
則 ＝ ×（9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12）＝11，
s2＝ ×[（9－11）2＋（6－11）2＋（8－11）2＋（－8－11）2
＋（15－11）2＋（11－11）2＋（19－11）2＋（18－11）2＋
（20－11）2＋（12－11）2]＝61.
（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠
產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果 ≥2 ，則認(rèn)為甲工藝
處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮
率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.
解： 因為2 ＝2 ＝ ， ＝11＝ ＞ ，
所以可認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后
的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.
反思感悟
1. 標(biāo)準(zhǔn)差（方差）反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度.標(biāo)
準(zhǔn)差（方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差（方差）越小，
數(shù)據(jù)的離散程度越小.
2. 計算分層抽樣的方差的步驟
（1）確定 ， ， ， ；
（2）確定 ；
（3）應(yīng)用公式s2＝ [＋（ － ）2]＋ ·[＋（ －
）2]，計算s2.
【跟蹤訓(xùn)練】
　為調(diào)查高一年級學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的情況，從（1）班抽取了
12名學(xué)生的成績，他們的平均分為91分，方差為3，從（2）班抽取了
8名學(xué)生的成績，他們的平均分為89分，方差為5，則合在一起后的樣
本平均數(shù)為 ，樣本方差為 .
解析：樣本平均數(shù) ＝ ＝90.2，樣本方差s2＝ ×[3＋
（91－90.2）2]＋ ×[5＋（89－90.2）2]＝4.76.
90.2　
4.76　
謝 謝 觀 看！

展開更多......

收起↑