資源簡介

15.1　樣本空間和隨機事件
1.下列事件中是隨機事件的是（　　）
A.在數軸上向區間（0，1）內投點，點落在區間（0，1）內
B.在數軸上向區間（0，1）內投點，點落在區間（0，2）內
C.在數軸上向區間（0，2）內投點，點落在區間（0，1）內
D.在數軸上向區間（0，2）內投點，點落在區間（－1，0）內
2.從1，2，3，4這4個數中，任取2個數求和，那么“這2個數的和大于4”包含的樣本點個數為（　　）
A.5 B.4
C.3 D.2
3.在10名學生中，男生有x人，現從10名學生中任選6人去參加某項活動，有下列事件：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生.若要使①為必然事件，②為不可能事件，③為隨機事件，則x的值為（　　）
A.5 B.6
C.3或4 D.5或6
4.拋擲一枚質地均勻的骰子，記事件A＝{出現的點數是1或2}，事件B＝{出現的點數是2或3或4}，則事件“出現的點數是2”可以記為（　　）
A.A∪B B.A∩B
C.A B D.A＝B
5.（多選）一箱產品共有50件，其中5件是次品，45件是合格品.從箱子中任意抽取5件，現給出以下四個事件：
事件A表示“恰有一件次品”；
事件B表示“至少有兩件次品”；
事件C表示“至少有一件次品”；
事件D表示“至多有一件次品”.
則下列說法正確的是（　　）
A.A∪B＝C B.B∪D是必然事件
C.A∩B＝C D.A∩D＝C
6.（多選）一個不透明的袋中裝有標號分別為1，3，5，7的四個相同的小球，從中取出兩個，下列事件是基本事件的為（　　）
A.取出的兩球標號為3和7
B.取出的兩球標號的和為4
C.取出的兩球的標號都大于3
D.取出的兩球的標號的和為8
7.有下列事件：
①連續擲一枚硬幣兩次，兩次都出現反面朝上；
②異性電荷相互吸引；
③在標準大氣壓下，水在1 ℃結冰；
④買了一注彩票就得了特等獎.
其中是隨機事件的有　　　　，必然事件有　　　　，不可能事件有　　　　（填序號）.
8.袋中有紅、白、黃、黑除顏色外大小相同的四個球，從中任取兩個球的樣本空間Ω＝　　　　 　.
9.從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球觀察顏色.設事件A為“所取兩個球至少有一個白球”，事件B為“所取兩個球恰有一個紅球”，則A∩B表示的事件為　　　　.
10.從標有數字1，2，3，4，5的五張卡片中任取兩張，觀察取出卡片上的數字.
（1）寫出這個試驗的樣本空間；
（2）求這個試驗的樣本點的總數；
（3）“數字之和為5”這一事件包含哪幾個樣本點？
11.（2024·南京質檢）將一枚骰子擲兩次，若朝上的面先后出現的點數分別為b，c，則方程x2＋bx＋c＝0有實數根的樣本點個數為（　　）
A.36　　　 B.30　　　 C.25　　　 D.19
12.班里有18個男生，15個女生，其中一名女生叫小麗，從中任意抽取a人打掃衛生.
（1）若女生被抽到是必然事件，則a的取值范圍為　　　　；
（2）若女生小麗被抽到是隨機事件，則a的取值范圍為　　　　.
13.（2024·鹽城月考）如圖是一個連有電燈的含有三個開關的電路.用A表示事件“電燈變亮”，用B，C，D依次表示“開關Ⅰ閉合”“開關Ⅱ閉合”“開關Ⅲ閉合”，則A＝　　　　.（用B，C，D間的運算關系式表示）
14.拋擲相同硬幣3次，記“至少有一次正面向上”為事件A，“一次正面向上，兩次反面向上”為事件B，“兩次正面向上，一次反面向上”為事件C，“至少一次反面向上”為事件D，“3次都正面向上”為事件E.
（1）試判斷事件A與事件B，C，E的關系；
（2）試求A∩D，B∪C所包含的樣本點，并判斷A∩D與B∪C的關系.
15.漢字是世界上最古老的文字之一，字形結構體現著人類追求均衡對稱、和諧穩定的天性.如圖所示，三個漢字可以看成軸對稱圖形.
土　口　木
小敏和小慧利用“土”“口”“木”三個漢字設計了一個游戲，規則如下：將這三個漢字分別寫在背面都相同的三張卡片上，背面朝上，洗勻后抽出一張，放回洗勻后再抽出一張，若兩次抽出的漢字能構成上下結構的漢字（如“土”“土”構成“圭”），則小敏獲勝，否則小慧獲勝.
（1）寫出該試驗的樣本空間Ω；
（2）設小敏獲勝為事件A，試用樣本點表示A.
15.1　樣本空間和隨機事件
1.C　當x∈（0，1）時，必有x∈（0，1），x∈（0，2），所以A和B都是必然事件；當x∈（0，2）時，有x∈（0，1）或x （0，1），所以C是隨機事件；當x∈（0，2）時，必有x （－1，0），所以D是不可能事件.故選C.
2.B　從1，2，3，4這4個數中，任取2個數求和，則試驗的樣本空間為Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}.其中“這2個數的和大于4”包含的樣本點有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4個.故選B.
3.C　由題意，知10名學生中，男生人數少于5，但不少于3，所以x＝3或x＝4.故選C.
4.B　A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2}.故選B.
5.AB　對于A，事件A∪B表示“至少有一件次品”，即事件C，故A正確；對于B，事件B∪D表示“至少有兩件次品或至多有一件次品”，包括了所有情況，故B正確；對于C，事件A∩B＝ ，故C錯誤；對于D，事件A∩D表示“恰有一件次品”，即事件A，故D錯誤.故選A、B.
6.ABC　基本事件即只含有一個樣本點的事件，選項A，B，C都只含有一個樣本點，是基本事件；選項D中包含取出標號為1和7，3和5兩個樣本點，所以D不是基本事件.故選A、B、C.
7.①④　②　③　解析：①是隨機事件，②是必然事件，③是不可能事件，④是隨機事件.
8.{（紅，白），（紅，黃），（紅，黑），（白，黃），（白，黑），（黃，黑）}
9.所取兩個球恰有一個紅球　解析：因為從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，這一隨機試驗的樣本空間Ω＝{（白，白），（白，紅），（紅，紅）}，且A＝{（白，紅），（白，白）}，B＝{（白，紅）}，所以A∩B＝{（白，紅）}.故A∩B表示的事件為所取的兩個球恰有一個紅球.
10.解：（1）這個試驗的樣本空間Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}.
（2）樣本點的總數是10.
（3）“數字之和為5”這一事件包含以下兩個樣本點：（1，4），（2，3）.
11.D　擲一枚骰子兩次，向上的面出現的點數如表所示：
方程x2＋bx＋c＝0有實數根的充要條件為b2－4c≥0，即b2≥4c.由上表可知，共有1＋2＋4＋6＋6＝19個滿足題意的樣本點.
12.（1）18＜a≤33，a∈N*　（2）1≤a＜33，a∈N*　解析：（1）班里有18個男生，15個女生，從中任意抽取a人打掃衛生，女生被抽到是必然事件，所以18＜a≤33，a∈N*.
（2）班里有18個男生，15個女生，從中任意抽取a人打掃衛生，女生小麗被抽到是隨機事件，所以1≤a＜33，a∈N*.
13.B∩（C∪D）（或（BC）∪（BD））
解析：要使電燈變亮，則開關Ⅰ必須閉合，且開關Ⅱ和Ⅲ中至少有一個閉合，即要使“事件B發生”且“事件C發生或事件D發生”，用符號表示為B∩（C∪D）.也可分類討論，即開關Ⅰ和Ⅱ閉合或開關Ⅰ和Ⅲ閉合，即事件BC發生或事件BD發生，用符號表示為（BC）∪（BD）.
14.解：（1）事件A為“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，兩次反面向上”“兩次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三個基本事件，
所以B A，C A，E A，A＝B∪C∪E.
（2）“至少一次反面向上”為事件D，包含“一次正面向上，兩次反面向上”“兩次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三個基本事件，可以看出事件A與事件D有兩個相同的基本事件，即“一次正面向上，兩次反面向上”“兩次正面向上，一次反面向上”，故A∩D＝{一次正面向上兩次反面向上，兩次正面向上一次反面向上}，B∪C＝{一次正面向上兩次反面向上，兩次正面向上一次反面向上}，所以A∩D＝B∪C.
15.解：（1）每次游戲時，所有可能出現的結果如下表所示：
　第二張 　 　卡片 第一張　　 卡片　 土 口 木
土 （土，土） （土，口） （土，木）
口 （口，土） （口，口） （口，木）
木 （木，土） （木，口） （木，木）
∴Ω＝{（土，土），（土，口），（土，木），（口，土），（口，口），（口，木），（木，土），（木，口），（木，木）}.
（2）能組成上下結構的漢字的樣本點為（土，土），（口，口），（木，口），（口，木）.
∴A＝{（土，土），（口，口），（木，口），（口，木）}.
2 / 215.1　樣本空間和隨機事件
新課程標準解讀 核心素養
1.結合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關系 數學抽象、直觀想象、邏輯推理
2.理解事件的包含關系及并事件（和事件）、交事件（積事件）的含義 數學抽象、邏輯推理
體育彩票搖獎時，將10個質地和大小完全相同、分別標號0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的小球放入搖獎器中，然后經過充分攪拌后搖出小球.
【問題】　（1）若搖出一個小球，觀察這個小球的號碼，這個隨機試驗共有多少個可能結果？如何表示這些結果？
（2）若先后搖出兩個小球，觀察兩個小球的號碼，這個隨機試驗的結果有幾種情況？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　確定性現象、隨機現象和隨機試驗
1.確定性現象：在一定條件下，事先就能斷定　　　　或　　　　某種結果，這種現象就是確定性現象.
2.隨機現象：在一定條件下，某種結果可能發生，也可能不發生，事先　　　　　　出現哪種結果，這種現象就是隨機現象.
3.隨機試驗的概念和特點
（1）概念：對某隨機現象進行的實驗、觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗；
（2）特點：在相同條件下，試驗可以重復進行，試驗的結果有多個，全部可能結果在試驗前是明確的，但不能確定會出現哪一個結果.
【想一想】
　隨機試驗在相同條件下重復進行時所得結果一樣嗎？
知識點二　樣本空間及事件
1.樣本點和樣本空間
定義 字母表示
樣本點 隨機試驗的　　　　　稱為樣本點 用ω表示
樣本空間 所有樣本點組成的集合稱為樣本空間 用Ω表示
有限樣本空間 如果樣本空間Ω是一個有限集合，則稱樣本空間Ω為有限樣本空間 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
2.隨機事件
事件類型 定義
隨機事件 樣本空間的　　　　，簡稱事件
必然事件 Ω（全集）
不可能事件 （空集）
基本事件 當一個事件僅包含　　　　樣本點時，稱該事件為基本事件
3.事件之間的關系及運算
（1）事件的包含關系：事件B發生必導致事件A發生，這時，我們稱事件A包含事件B（或事件B包含于事件A），記作：　　　　（或B A）；
（2）事件的運算
定義 符號 圖示
并事件（或和 事件） 事件A與B至少有一個發生即為事件C發生 C＝A＋B （或C＝A∪B）
交事件（或積 事件） 事件A與B同時發生即為事件C發生 C＝AB （或C＝A∩B）
1.下列現象是確定性現象的是（　　）
A.一天中進入某超市的顧客人數
B.一顧客在超市中購買的商品數
C.一顆麥穗上長著的麥粒數
D.早晨太陽從東方升起
2.（多選）下列試驗中是隨機事件的有（　　）
A.某射手射擊一次，射中10環
B.同時擲兩枚骰子，都出現6點
C.某人購買福利彩票未中獎
D.若x為實數，則x2＋1≥1
3.從數字1，2，3中任取兩個數字，則該試驗的樣本空間Ω＝　　　　.
題型一 　事件類型的判斷
【例1】　（鏈接教科書第278頁習題1題）指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機事件：
（1）買一張體育彩票，結果中獎；
（2）三角形的內角和為180°；
（3）沒有空氣和水，人類可以生存下去；
（4）拋擲一枚硬幣，結果正面向上；
（5）從分別標有1，2，3，4的四張標簽中任取一張，抽到1號標簽；
（6）把實心鐵塊丟入水中，結果鐵塊浮起.
通性通法
確定事件類型的注意事項
　　要判定事件是何種事件，首先要看清條件，因為三種事件都是相對于一定條件而言的，第二步再看它是一定發生，還是不一定發生，還是一定不發生，一定發生的是必然事件，不一定發生的是隨機事件，一定不發生的是不可能事件.
【跟蹤訓練】
　有兩個事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：拋擲一枚質地均勻的骰子，朝上的面點數為偶數.下列說法正確的是（　　）
A.事件A，B都是隨機事件
B.事件A，B都是必然事件
C.事件A是隨機事件，事件B是必然事件
D.事件A是必然事件，事件B是隨機事件
題型二 確定試驗的樣本點及樣本空間
【例2】　（1）（鏈接教科書第276頁例2）寫出下列試驗的樣本空間：
①同時拋擲三枚質地均勻的骰子，記錄三枚骰子出現的點數之和；
②從含有兩件正品a1，a2和兩件次品b1，b2的四件產品中任取兩件，觀察取出產品的結果；
（2）將一枚骰子先后拋擲兩次，試驗的樣本點用（x，y）表示，其中x表示第一次拋擲出現的點數，y表示第二次拋擲出現的點數.用集合表示事件“出現的點數之和大于8”.
通性通法
1.確定試驗樣本空間的注意事項
（1）確定試驗的樣本空間就是寫出試驗的所有可能結果，并寫成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式；
（2）要考慮周全，應想到試驗的所有可能結果，避免發生遺漏和出現多余的結果.
2.寫出樣本空間的三種方法
（1）列舉法：適用于樣本點個數不是很多，可以把樣本點一一列舉出來的情況，但列舉時必須按一定的順序，要做到不重不漏；
（2）列表法：適用于試驗中包含兩個或兩個以上的元素，且試驗結果相對較多的樣本點個數的求解問題，通常把樣本歸納為“有序實數對”，也可用坐標法.列表法的優點是準確、全面、不易遺漏；
（3）樹形圖法：適用于較復雜問題中樣本點的探求，一般需要分步（兩步及兩步以上）完成的結果可以用樹形圖法進行列舉.
【跟蹤訓練】
1.一個家庭生兩個小孩，所有的樣本點有（　　）
A.（男，女），（男，男），（女，女）
B.（男，女），（女，男）
C.（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）
D.（男，男），（女，女）
2.甲、乙兩人做猜拳游戲（錘子、剪刀、布）.求該事件的樣本空間.
題型三 隨機事件之間的關系及運算
【例3】　將一顆骰子先后拋擲兩次，觀察向上的點數.
（1）寫出試驗的樣本空間Ω；
（2）記“第一次出現的點數為4”為事件A，“第一次出現的點數為4、第二次出現的點數是偶數”為事件B，分別寫出A， B所包含的樣本點，并用集合的語言分析A與B的關系；
（3）記“兩次出現的點數之和為8”為事件C，“兩次出現的點數之差大于3”為事件D，“兩次出現的點數之和為8或點數之差大于3”為事件E，“兩次出現的點數之和為8且點數之差大于3”為事件F，分別寫出C，D，E，F所包含的樣本點，并用集合的語言分析C，D，E，F之間的關系.
通性通法
事件的運算應注意的2個問題
（1）要緊扣運算的定義，在一些比較簡單的題目中，需要判斷事件之間的關系時，可以根據常識來判斷.但如果遇到比較復雜的題目，就得嚴格按照事件之間關系的定義來推理；
（2）要全面考查同一條件下的試驗可能出現的全部結果，必要時可利用Venn圖或列出全部的試驗結果進行分析.
【跟蹤訓練】
　盒子里有6個紅球、4個白球，現從中任取3個球，設事件A＝{3個球中有1個紅球、2個白球}，事件B＝{3個球中有2個紅球、1個白球}，事件C＝{3個球中至少有1個紅球}，事件D＝{3個球中既有紅球又有白球}.
（1）事件D與A，B是什么樣的運算關系？
（2）事件C與A的交事件是什么事件？
1.（多選）下列事件中是必然事件的為（　　）
A.直角三角形兩銳角和為90°
B.三角形中大邊對大角，大角對大邊
C.三角形中兩個內角和小于90°
D.三角形中任意兩邊的和大于第三邊
2.某校高一年級要組建數學、計算機、航空模型三個興趣小組，某學生只選報其中的2個，則試驗包含的樣本點共有（　　）
A.1個　 　B.2個　 　C.3個　 　D.4個
3.用紅、黑、黃3種不同顏色給甲、乙兩個小球隨機涂色，每個小球只涂一種顏色，若事件A＝{（紅，紅），（黑，黑），（黃，黃）}，則事件A的含義是　　　　　　　　　　　　.
4.拋擲一顆骰子，“出現奇數點”記為事件A，“出現偶數點”記為事件B，“出現的點數小于3”記為事件C.求：
（1）A∩B，B∩C；
（2）A∪B，B∪C.
15.1　樣本空間和隨機事件
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.發生　不發生　2.不能斷定
想一想
　提示：所得結果是隨機的，但所有可能結果是一樣的.
知識點二
1.每一個可能結果　2.子集　單一　
3.（1）A B
自我診斷
1.D　選項A、B、C中的數量都是隨機的，因此是隨機現象；選項D中，早晨太陽一定從東方升起，因此是確定性現象.故選D.
2.ABC　A、B、C是隨機事件，D是必然事件.
3.{（1，2），（1，3），（2，3）}　解析：從數字1，2，3中任取兩個數字，共有3個結果：（1，2），（1，3），（2，3），所以Ω＝{（1，2），（1，3），（2，3）}.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）因為買一張體育彩票，可能中獎，也可能不中獎，所以是隨機事件.
（2）因為所有三角形的內角和均為180°，所以是必然事件.
（3）因為沒有空氣和水，人類無法生存，所以是不可能事件.
（4）因為拋擲一枚硬幣，可能正面向上，也可能反面向上，所以是隨機事件.
（5）因為任取一張標簽，可能得到1，2，3，4號標簽中的任一張，所以是隨機事件.
（6）由物理知識可知，實心鐵塊不會在水中浮起，所以是不可能事件.
跟蹤訓練
　D　對于事件A，一年有365天或366天，由抽屜原理可知，367人中至少有2人生日相同，事件A為必然事件；對于事件B，拋擲一枚質地均勻的骰子，朝上的面的點數可能是奇數，也可能是偶數，則事件B為隨機事件.故選D.
【例2】　解：（1）①該試驗的樣本空間Ω1＝{3，4，5，…，18}.
②該試驗所有可能的結果如圖所示，
因此，該試驗的樣本空間Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}.
（2）列出拋擲兩次骰子出現的點數和對應的表：
由表可知“出現的點數之和大于8”可用集合表示為{（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}.
跟蹤訓練
1.C　把第一個孩子的性別寫在前面，第二個孩子的性別寫在后面，則所有的樣本點是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），故選C.
2.解：樣本空間Ω＝{（錘子，錘子），（錘子，剪刀），（錘子，布），（剪刀，錘子），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，錘子），（布，剪刀），（布，布）}.
【例3】　解：（1） 一顆骰子先后拋擲兩次的所有可能結果用樹形圖表示.如圖所示：
因此，試驗的樣本空間Ω＝{（1， 1）， （1， 2）， （1， 3）， （1， 4）， （1， 5）， （1， 6）， （2， 1）， （2， 2）， （2， 3）， （2， 4）， （2， 5）， （2， 6）， （3， 1）， （3， 2）， （3， 3）， （3， 4）， （3， 5）， （3， 6）， （4， 1）， （4， 2）， （4， 3）， （4， 4）， （4， 5）， （4， 6）， （5， 1）， （5， 2）， （5， 3）， （5， 4）， （5， 5）， （5， 6）， （6， 1）， （6， 2）， （6， 3）， （6， 4）， （6， 5）， （6， 6）}.
（2）由（1）知，事件A＝{（4， 1）， （4， 2）， （4， 3）， （4， 4）， （4， 5）， （4， 6）}.
事件B＝{（4， 2）， （4， 4）， （4， 6）}.顯然B A.
（3） 由（1）知，事件C＝{（2， 6）， （3， 5）， （4， 4）， （5， 3）， （6， 2）}，
事件D＝{（1， 5）， （1， 6）， （2， 6）， （5， 1）， （6， 1）， （6， 2）}，
事件E＝{ （1， 5）， （1， 6）， （2， 6）， （3， 5）， （4， 4）， （5， 1）， （5， 3）， （6， 1）， （6， 2）}，
事件F＝{（2， 6）， （6， 2）}.
所以E＝C∪D，F＝C∩D.
跟蹤訓練
　解：（1）對于事件D，可能的結果為1個紅球、2個白球，或2個紅球、1個白球，故D＝A∪B.
（2）對于事件C，可能的結果為1個紅球、2個白球，或2個紅球、1個白球，或3個紅球，故C∩A＝A.
隨堂檢測
1.ABD　對鈍角三角形的兩個銳角，兩銳角的和小于90°，對直角三角形的兩個銳角，兩銳角和等于90°，所以C是隨機事件，而A、B、D均為必然事件.故選A、B、D.
2.C　樣本點有（數學，計算機），（數學，航空模型），（計算機，航空模型）共3個.故選C.
3.甲、乙兩個小球所涂顏色相同
4.解：由題意，得A＝{1，3，5}，B＝{2，4，6}，C＝{1，2}.
（1）A∩B＝ ，B∩C＝{2}.
（2）A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，B∪C＝{1，2，4，6}.
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15.1　
樣本空間和隨機事件
新課程標準解讀 核心素養
1.結合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間
的含義，理解隨機事件與樣本點的關系 數學抽象、直觀想
象、邏輯推理
2.理解事件的包含關系及并事件（和事件）、
交事件（積事件）的含義 數學抽象、邏輯推理
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　體育彩票搖獎時，將10個質地和大小完全相同、分別標號0，1，
2，3，4，5，6，7，8，9的小球放入搖獎器中，然后經過充分攪拌后
搖出小球.
【問題】　（1）若搖出一個小球，觀察這個小球的號碼，這個隨機
試驗共有多少個可能結果？如何表示這些結果？
（2）若先后搖出兩個小球，觀察兩個小球的號碼，這個隨機試驗的
結果有幾種情況？
知識點一　確定性現象、隨機現象和隨機試驗
1. 確定性現象：在一定條件下，事先就能斷定 或
某種結果，這種現象就是確定性現象.
2. 隨機現象：在一定條件下，某種結果可能發生，也可能不發生，事
先 出現哪種結果，這種現象就是隨機現象.
發生　
不發生　
不能斷定　
（1）概念：對某隨機現象進行的實驗、觀察稱為隨機試驗，簡稱
試驗；
（2）特點：在相同條件下，試驗可以重復進行，試驗的結果有多
個，全部可能結果在試驗前是明確的，但不能確定會出現哪
一個結果.
3. 隨機試驗的概念和特點
【想一想】
　隨機試驗在相同條件下重復進行時所得結果一樣嗎？
提示：所得結果是隨機的，但所有可能結果是一樣的.
知識點二　樣本空間及事件
1. 樣本點和樣本空間
定義 字母表示
樣本點 隨機試驗的 稱為
樣本點 用ω表示
樣本 空間 所有樣本點組成的集合稱為樣本空間 用Ω表示
有限樣 本空間 如果樣本空間Ω是一個有限集合，則
稱樣本空間Ω為有限樣本空間 Ω＝{ω1，
ω2，…，ωn}
每一個可能結果　
2. 隨機事件
事件類型 定義
隨機事件 樣本空間的 ，簡稱事件
必然事件 Ω（全集）
不可能事件 （空集）
基本事件 當一個事件僅包含 樣本點時，稱該事
件為基本事件
子集　
單一　
3. 事件之間的關系及運算
（1）事件的包含關系：事件B發生必導致事件A發生，這時，我
們稱事件A包含事件B（或事件B包含于事件A），記
作： （或B A）；
A B　
（2）事件的運算
定義 符號 圖示
并事件（或和事件） 事件A與B至少有
一個發生即為事件
C發生 C＝A＋B （或C＝
A∪B）
交事件（或積事件） 事件A與B同時發
生即為事件C發生 C＝AB （或C＝
A∩B）
1. 下列現象是確定性現象的是（　　）
A. 一天中進入某超市的顧客人數
B. 一顧客在超市中購買的商品數
C. 一顆麥穗上長著的麥粒數
D. 早晨太陽從東方升起
解析： 　選項A、B、C中的數量都是隨機的，因此是隨機現象；
選項D中，早晨太陽一定從東方升起，因此是確定性現象.故選D.
√
2. （多選）下列試驗中是隨機事件的有（　　）
A. 某射手射擊一次，射中10環
B. 同時擲兩枚骰子，都出現6點
C. 某人購買福利彩票未中獎
D. 若x為實數，則x2＋1≥1
解析： 　A、B、C是隨機事件，D是必然事件.
√
√
√
3. 從數字1，2，3中任取兩個數字，則該試驗的樣本空間Ω
＝ .
解析：從數字1，2，3中任取兩個數字，共有3個結果：（1，2），
（1，3），（2，3），所以Ω＝{（1，2），（1，3），（2，
3）}.
{（1，2），（1，3），（2，3）}　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 　事件類型的判斷
【例1】　（鏈接教科書第278頁習題1題）指出下列事件是必然事
件、不可能事件還是隨機事件：
（1）買一張體育彩票，結果中獎；
解： 因為買一張體育彩票，可能中獎，也可能不中獎，所
以是隨機事件.
（2）三角形的內角和為180°；
解： 因為所有三角形的內角和均為180°，所以是必然
事件.
（3）沒有空氣和水，人類可以生存下去；
解： 因為沒有空氣和水，人類無法生存，所以是不可
能事件.
（4）拋擲一枚硬幣，結果正面向上；
解： 因為拋擲一枚硬幣，可能正面向上，也可能反面向
上，所以是隨機事件.
（5）從分別標有1，2，3，4的四張標簽中任取一張，抽到1號標簽；
解： 因為任取一張標簽，可能得到1，2，3，4號標簽中的
任一張，所以是隨機事件.
（6）把實心鐵塊丟入水中，結果鐵塊浮起.
解： 由物理知識可知，實心鐵塊不會在水中浮起，所以是
不可能事件.
通性通法
確定事件類型的注意事項
　　要判定事件是何種事件，首先要看清條件，因為三種事件都是相
對于一定條件而言的，第二步再看它是一定發生，還是不一定發生，
還是一定不發生，一定發生的是必然事件，不一定發生的是隨機事
件，一定不發生的是不可能事件.
【跟蹤訓練】
　有兩個事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：拋擲
一枚質地均勻的骰子，朝上的面點數為偶數.下列說法正確的是
（　　）
A. 事件A，B都是隨機事件
B. 事件A，B都是必然事件
C. 事件A是隨機事件，事件B是必然事件
D. 事件A是必然事件，事件B是隨機事件
√
解析： 　對于事件A，一年有365天或366天，由抽屜原理可知，367
人中至少有2人生日相同，事件A為必然事件；對于事件B，拋擲一枚
質地均勻的骰子，朝上的面的點數可能是奇數，也可能是偶數，則事
件B為隨機事件.故選D.
題型二 確定試驗的樣本點及樣本空間
【例2】　（1）（鏈接教科書第276頁例2）寫出下列試驗的樣本
空間：
①同時拋擲三枚質地均勻的骰子，記錄三枚骰子出現的點數之和；
②從含有兩件正品a1，a2和兩件次品b1，b2的四件產品中任取兩件，
觀察取出產品的結果；
解： ①該試驗的樣本空間Ω1＝
{3，4，5，…，18}.
②該試驗所有可能的結果如圖所
示，
因此，該試驗的樣本空間Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}.
（2）將一枚骰子先后拋擲兩次，試驗的樣本點用（x，y）表示，其
中x表示第一次拋擲出現的點數，y表示第二次拋擲出現的點
數.用集合表示事件“出現的點數之和大于8”.
解： 列出拋擲兩次骰子出現的點數
和對應的表：
由表可知“出現的點數之和大于8”可用
集合表示為{（3，6），（4，5），（4，
6），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}.
通性通法
1. 確定試驗樣本空間的注意事項
（1）確定試驗的樣本空間就是寫出試驗的所有可能結果，并寫成
Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式；
（2）要考慮周全，應想到試驗的所有可能結果，避免發生遺漏和
出現多余的結果.
2. 寫出樣本空間的三種方法
（1）列舉法：適用于樣本點個數不是很多，可以把樣本點一一
列舉出來的情況，但列舉時必須按一定的順序，要做到不
重不漏；
（2）列表法：適用于試驗中包含兩個或兩個以上的元素，且試驗
結果相對較多的樣本點個數的求解問題，通常把樣本歸納為
“有序實數對”，也可用坐標法.列表法的優點是準確、全
面、不易遺漏；
（3）樹形圖法：適用于較復雜問題中樣本點的探求，一般需要分
步（兩步及兩步以上）完成的結果可以用樹形圖法進行列舉.
【跟蹤訓練】
1. 一個家庭生兩個小孩，所有的樣本點有（　　）
A. （男，女），（男，男），（女，女）
B. （男，女），（女，男）
C. （男，男），（男，女），（女，男），（女，女）
D. （男，男），（女，女）
解析： 　把第一個孩子的性別寫在前面，第二個孩子的性別寫在
后面，則所有的樣本點是（男，男），（男，女），（女，男），
（女，女），故選C.
√
2. 甲、乙兩人做猜拳游戲（錘子、剪刀、布）.求該事件的樣本空間.
解：樣本空間Ω＝{（錘子，錘子），（錘子，剪刀），（錘子，
布），（剪刀，錘子），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，
錘子），（布，剪刀），（布，布）}.
題型三 隨機事件之間的關系及運算
【例3】　將一顆骰子先后拋擲兩次，觀察向上的點數.
（1）寫出試驗的樣本空間Ω；
解： 一顆骰子先后拋擲兩次的所有可能結果用樹形圖表示.如圖所示：
因此，試驗的樣本空間Ω＝{（1， 1）， （1， 2）， （1，
3）， （1， 4）， （1， 5）， （1， 6）， （2， 1）， （2，
2）， （2， 3）， （2， 4）， （2， 5）， （2， 6）， （3，
1）， （3， 2）， （3， 3）， （3， 4）， （3， 5）， （3，
6）， （4， 1）， （4， 2）， （4， 3）， （4， 4）， （4，
5）， （4， 6）， （5， 1）， （5， 2）， （5， 3）， （5，
4）， （5， 5）， （5， 6）， （6， 1）， （6， 2）， （6，
3）， （6， 4）， （6， 5）， （6， 6）}.
（2） 記“第一次出現的點數為4”為事件A，“第一次出現的點數為
4、第二次出現的點數是偶數”為事件B，分別寫出A， B所包
含的樣本點，并用集合的語言分析A與B的關系；
解： 由（1）知，事件A＝{（4， 1）， （4， 2），
（4， 3）， （4， 4）， （4， 5）， （4， 6）}.
事件B＝{（4， 2）， （4， 4）， （4， 6）}.顯然B A.
（3）記“兩次出現的點數之和為8”為事件C，“兩次出現的點數之
差大于3”為事件D，“兩次出現的點數之和為8或點數之差大
于3”為事件E，“兩次出現的點數之和為8且點數之差大于3”
為事件F，分別寫出C，D，E，F所包含的樣本點，并用集合
的語言分析C，D，E，F之間的關系.
解： 由（1）知，事件C＝{（2， 6）， （3， 5），
（4， 4）， （5， 3）， （6， 2）}，
事件D＝{（1， 5）， （1， 6）， （2， 6）， （5， 1），
（6， 1）， （6， 2）}，
事件E＝{ （1， 5）， （1， 6）， （2， 6）， （3， 5），
（4， 4）， （5， 1）， （5， 3）， （6， 1）， （6， 2）}，
事件F＝{（2， 6）， （6， 2）}.
所以E＝C∪D，F＝C∩D.
通性通法
事件的運算應注意的2個問題
（1）要緊扣運算的定義，在一些比較簡單的題目中，需要判斷事件
之間的關系時，可以根據常識來判斷.但如果遇到比較復雜的題
目，就得嚴格按照事件之間關系的定義來推理；
（2）要全面考查同一條件下的試驗可能出現的全部結果，必要時可
利用Venn圖或列出全部的試驗結果進行分析.
【跟蹤訓練】
　盒子里有6個紅球、4個白球，現從中任取3個球，設事件A＝{3個
球中有1個紅球、2個白球}，事件B＝{3個球中有2個紅球、1個白
球}，事件C＝{3個球中至少有1個紅球}，事件D＝{3個球中既有紅
球又有白球}.
（1）事件D與A，B是什么樣的運算關系？
解： 對于事件D，可能的結果為1個紅球、2個白球，或2
個紅球、1個白球，故D＝A∪B.
（2）事件C與A的交事件是什么事件？
解： 對于事件C，可能的結果為1個紅球、2個白球，或2
個紅球、1個白球，或3個紅球，故C∩A＝A.
1. （多選）下列事件中是必然事件的為（　　）
A. 直角三角形兩銳角和為90°
B. 三角形中大邊對大角，大角對大邊
C. 三角形中兩個內角和小于90°
D. 三角形中任意兩邊的和大于第三邊
解析： 　對鈍角三角形的兩個銳角，兩銳角的和小于90°，
對直角三角形的兩個銳角，兩銳角和等于90°，所以C是隨機事
件，而A、B、D均為必然事件.故選A、B、D.
√
√
√
2. 某校高一年級要組建數學、計算機、航空模型三個興趣小組，某學
生只選報其中的2個，則試驗包含的樣本點共有（　　）
A. 1個 B. 2個
C. 3個 D. 4個
解析： 　樣本點有（數學，計算機），（數學，航空模型），
（計算機，航空模型）共3個.故選C.
√
3. 用紅、黑、黃3種不同顏色給甲、乙兩個小球隨機涂色，每個小球
只涂一種顏色，若事件A＝{（紅，紅），（黑，黑），（黃，
黃）}，則事件A的含義是 .
4. 拋擲一顆骰子，“出現奇數點”記為事件A，“出現偶數點”記為
事件B，“出現的點數小于3”記為事件C. 求：
甲、乙兩個小球所涂顏色相同　
（1）A∩B，B∩C；
（1）A∩B＝ ，B∩C＝{2}.
解：由題意，得A＝{1，3，5}，B＝{2，4，6}，C＝{1，2}.
（2）A∪B，B∪C.
解： A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，B∪C＝{1，2，4，6}.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
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1. 下列事件中是隨機事件的是（　　）
A. 在數軸上向區間（0，1）內投點，點落在區間（0，1）內
B. 在數軸上向區間（0，1）內投點，點落在區間（0，2）內
C. 在數軸上向區間（0，2）內投點，點落在區間（0，1）內
D. 在數軸上向區間（0，2）內投點，點落在區間（－1，0）內
解析： 　當x∈（0，1）時，必有x∈（0，1），x∈（0，2），
所以A和B都是必然事件；當x∈（0，2）時，有x∈（0，1）或x
（0，1），所以C是隨機事件；當x∈（0，2）時，必有x （－
1，0），所以D是不可能事件.故選C.
√
2. 從1，2，3，4這4個數中，任取2個數求和，那么“這2個數的和大
于4”包含的樣本點個數為（　　）
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
解析： 　從1，2，3，4這4個數中，任取2個數求和，則試驗的樣
本空間為Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，
4），（3，4）}.其中“這2個數的和大于4”包含的樣本點有：
（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4個.故選B.
√
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3. 在10名學生中，男生有x人，現從10名學生中任選6人去參加某項
活動，有下列事件：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③
3名男生，3名女生.若要使①為必然事件，②為不可能事件，③為
隨機事件，則x的值為（　　）
A. 5 B. 6
C. 3或4 D. 5或6
解析： 　由題意，知10名學生中，男生人數少于5，但不少于3，
所以x＝3或x＝4.故選C.
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4. 拋擲一枚質地均勻的骰子，記事件A＝{出現的點數是1或2}，事件
B＝{出現的點數是2或3或4}，則事件“出現的點數是2”可以記為
（　　）
A. A∪B B. A∩B
C. A B D. A＝B
解析： 　A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2}.故選B.
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5. （多選）一箱產品共有50件，其中5件是次品，45件是合格品.從箱
子中任意抽取5件，現給出以下四個事件：
事件A表示“恰有一件次品”；
事件B表示“至少有兩件次品”；
事件C表示“至少有一件次品”；
事件D表示“至多有一件次品”.
則下列說法正確的是（　　）
A. A∪B＝C B. B∪D是必然事件
C. A∩B＝C D. A∩D＝C
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解析： 　對于A，事件A∪B表示“至少有一件次品”，即事件
C，故A正確；對于B，事件B∪D表示“至少有兩件次品或至多有
一件次品”，包括了所有情況，故B正確；對于C，事件A∩B＝
，故C錯誤；對于D，事件A∩D表示“恰有一件次品”，即事件
A，故D錯誤.故選A、B.
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6. （多選）一個不透明的袋中裝有標號分別為1，3，5，7的四個相同
的小球，從中取出兩個，下列事件是基本事件的為（　　）
A. 取出的兩球標號為3和7
B. 取出的兩球標號的和為4
C. 取出的兩球的標號都大于3
D. 取出的兩球的標號的和為8
解析： 　基本事件即只含有一個樣本點的事件，選項A，B，
C都只含有一個樣本點，是基本事件；選項D中包含取出標號為1和
7，3和5兩個樣本點，所以D不是基本事件.故選A、B、C.
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√
√
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7. 有下列事件：
①連續擲一枚硬幣兩次，兩次都出現反面朝上；
②異性電荷相互吸引；
③在標準大氣壓下，水在1 ℃結冰；
④買了一注彩票就得了特等獎.
其中是隨機事件的有 ，必然事件有 ，不可能事件
有 （填序號）.
解析：①是隨機事件，②是必然事件，③是不可能事件，④是隨機
事件.
①④　
②　
③　
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8. 袋中有紅、白、黃、黑除顏色外大小相同的四個球，從中任取兩個
球的樣本空間Ω＝
.
9. 從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球觀察顏色.設事件A為
“所取兩個球至少有一個白球”，事件B為“所取兩個球恰有一個
紅球”，則A∩B表示的事件為 .
{（紅，白），（紅，黃），（紅，黑），
（白，黃），（白，黑），（黃，黑）}　 　
所取兩個球恰有一個紅球　
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解析：因為從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，這一隨
機試驗的樣本空間Ω＝{（白，白），（白，紅），（紅，紅）}，
且A＝{（白，紅），（白，白）}，B＝{（白，紅）}，所以
A∩B＝{（白，紅）}.故A∩B表示的事件為所取的兩個球恰有一
個紅球.
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10. 從標有數字1，2，3，4，5的五張卡片中任取兩張，觀察取出卡片
上的數字.
（1）寫出這個試驗的樣本空間；
解： 這個試驗的樣本空間Ω＝{（1，2），（1，3），
（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），
（3，4），（3，5），（4，5）}.
（2）求這個試驗的樣本點的總數；
解： 樣本點的總數是10.
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（3）“數字之和為5”這一事件包含哪幾個樣本點？
解： “數字之和為5”這一事件包含以下兩個樣本點：
（1，4），（2，3）.
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11. （2024·南京質檢）將一枚骰子擲兩次，若朝上的面先后出現的點
數分別為b，c，則方程x2＋bx＋c＝0有實數根的樣本點個數為
（　　）
A. 36 B. 30
C. 25 D. 19
√
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解析： 　擲一枚骰子兩次，向上的面出現的點數如表所示：方程x2＋bx＋c＝0有實數根的充要條件為b2－4c≥0，即b2≥4c.由上表可知，共有1＋2＋4＋6＋6＝19個滿足題意的樣本點.
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12. 班里有18個男生，15個女生，其中一名女生叫小麗，從中任意抽
取a人打掃衛生.
（1）若女生被抽到是必然事件，則a的取值范圍為
；
解析： 班里有18個男生，15個女生，從中任意抽取a
人打掃衛生，女生被抽到是必然事件，所以18＜a≤33，
a∈N*.
18＜
a≤33，a∈N*　
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（2）若女生小麗被抽到是隨機事件，則a的取值范圍為
.
解析： 班里有18個男生，15個女生，從中任意抽取a
人打掃衛生，女生小麗被抽到是隨機事件，所以1≤a＜
33，a∈N*.
1≤a＜
33，a∈N*　
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13. （2024·鹽城月考）如圖是一個連有電燈的含有三個開關的電
路.用A表示事件“電燈變亮”，用B，C，D依次表示“開關Ⅰ
閉合”“開關Ⅱ閉合”“開關Ⅲ閉合”，則A＝
.（用B，C，D間的運算
關系式表示）
B∩
（C∪D）（或（BC）∪（BD））　
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解析：要使電燈變亮，則開關Ⅰ必須閉合，且開關Ⅱ和Ⅲ中至少有
一個閉合，即要使“事件B發生”且“事件C發生或事件D發
生”，用符號表示為B∩（C∪D）.也可分類討論，即開關Ⅰ和Ⅱ
閉合或開關Ⅰ和Ⅲ閉合，即事件BC發生或事件BD發生，用符號表
示為（　BC　）∪（　BD　）.
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14. 拋擲相同硬幣3次，記“至少有一次正面向上”為事件A，“一次
正面向上，兩次反面向上”為事件B，“兩次正面向上，一次反
面向上”為事件C，“至少一次反面向上”為事件D，“3次都正
面向上”為事件E.
（1）試判斷事件A與事件B，C，E的關系；
解： 事件A為“至少有一次正面向上”，包含“一次
正面向上，兩次反面向上”“兩次正面向上，一次反面向
上”和“3次都正面向上”三個基本事件，
所以B A，C A，E A，A＝B∪C∪E.
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（2）試求A∩D，B∪C所包含的樣本點，并判斷A∩D與
B∪C的關系.
解： “至少一次反面向上”為事件D，包含“一次正
面向上，兩次反面向上”“兩次正面向上，一次反面向上”
和“3次都反面向上”三個基本事件，可以看出事件A與事
件D有兩個相同的基本事件，即“一次正面向上，兩次反面
向上”“兩次正面向上，一次反面向上”，故A∩D＝{一
次正面向上兩次反面向上，兩次正面向上一次反面向上}，
B∪C＝{一次正面向上兩次反面向上，兩次正面向上一次
反面向上}，所以A∩D＝B∪C.
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15. 漢字是世界上最古老的文字之一，字形結構體現著人類追求均
衡對稱、和諧穩定的天性.如圖所示，三個漢字可以看成軸對
稱圖形.
土　口　木
小敏和小慧利用“土”“口”“木”三個漢字設計了一個游戲，
規則如下：將這三個漢字分別寫在背面都相同的三張卡片上，背
面朝上，洗勻后抽出一張，放回洗勻后再抽出一張，若兩次抽出
的漢字能構成上下結構的漢字（如“土”“土”構成“圭”），
則小敏獲勝，否則小慧獲勝.
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（1）寫出該試驗的樣本空間Ω；
解： 每次游戲時，所有可能出現的結果如下表所示：
　 　　第二張卡片 第一張卡片　　　 土 口 木
土 （土，土） （土，口） （土，木）
口 （口，土） （口，口） （口，木）
木 （木，土） （木，口） （木，木）
∴Ω＝{（土，土），（土，口），（土，木），（口，土），（口，口），（口，木），（木，土），（木，口），（木，木）}.
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（2）設小敏獲勝為事件A，試用樣本點表示A.
解： 能組成上下結構的漢字的樣本點為（土，土），
（口，口），（木，口），（口，木）.
∴A＝{（土，土），（口，口），（木，口），（口，
木）}.
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