資源簡介

　古典概型的綜合問題
題型一 古典概型中的“放回”與“不放回”問題
【例1】　從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的3件產品中每次任取一件，每次取出后不放回，連續取兩次.
（1）求取出的兩件產品中恰有一件次品的概率；
（2）如果將“每次取出后不放回”這一條件換成“每次取出后放回”，則取出的兩件產品中恰有一件次品的概率是多少？
通性通法
解決“放回”與“不放回”問題的方法及注意點
（1）關于不放回抽樣，計算樣本點個數時，既可以看做是有順序的，也可以看做是無順序的，其最后結果是一致的，但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會產生錯誤；
（2）關于有放回抽樣，應注意在連續取出兩次的過程中，因為先后順序不同，所以（a1，b1），（b1，a1）不是同一個樣本點.解題的關鍵是要清楚無論是“不放回抽取”還是“有放回抽取”，每一件產品被取出的機會都是均等的.
【跟蹤訓練】
　一個袋中裝有四個大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4.
（1）從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；
（2）先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n≥m＋2的概率.
題型二 古典概型與統計的綜合問題
【例2】　（多選）（2024·南通月考）某市為增強市民的環境保護意識，面向全市征召義務宣傳志愿者.現從符合條件的志愿者中隨機抽取100名，按年齡分組：第1組[20，25），第2組[25，30），第3組[30，35），第4組[35，40），第5組[40，45]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場的宣傳活動，且該市決定在這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經驗，則下列結論正確的是（　　）
A.應從第3，4，5組中分別抽取3人、2人、1人
B.第4組志愿者恰有一人被抽中的概率為
C.第5組志愿者被抽中的概率為
D.第3組志愿者至少有一人被抽中的概率為
通性通法
　　古典概型與統計的綜合問題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出信息，只要能夠從題中提煉出需要的信息，此類問題即可解決，解決此類題目的步驟主要有：
（1）根據題目要求求出數據（有的用到分層抽樣、有的用到頻率分布直方圖等知識）；
（2）列出樣本空間，計算樣本空間包含的樣本點個數；
（3）找出所求事件包含的樣本點個數；
（4）根據古典概型概率計算公式求解；
（5）明確規范地表述結論.
【跟蹤訓練】
　為了解某地區九年級男生的身高情況，隨機選取了該地區100名九年級男生進行測量，他們的身高x（cm）統計如表.
組別（cm） x≤160 160＜x≤170 170＜x≤180 x＞180
人數 15 42 38 5
根據上表，隨機選取該地區一名九年級男生，估計他的身高不高于180 cm的概率是（　　）
A.0.05 B.0.38
C.0.57 D.0.95
題型三 古典概型的綜合應用
【例3】　（2024·淮安月考）某兒童樂園在“六一兒童節”推出了一項趣味活動，參加活動的兒童需轉動如圖所示的轉盤兩次，每次轉動后，待轉盤停止轉動時，記錄指針所指區域中的數，設兩次記錄的數分別為x，y，獎勵規則如下：
①若xy≤3，則獎勵玩具一個；
②若xy≥8，則獎勵水杯一個；
③其余情況獎勵飲料一瓶.
假設轉盤質地均勻，四個區域劃分均勻，小亮準備參加此項活動.
（1）求小亮獲得玩具的概率；
（2）請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由.
通性通法
　　應用古典概型的概率公式求事件的概率時，首先應判斷本試驗是不是古典概型，然后再正確地找出試驗的樣本空間包含的樣本點個數及事件包含的樣本點個數，最后代入公式求出概率.
【跟蹤訓練】
　某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，抽獎方法是從裝有2個紅球A1，A2和一個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1，a2和2個白球b1，b2的乙箱中，各隨機摸出1個球，若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎.
（1）用球的標號列出所有的樣本點；
（2）有人認為兩個箱子中的紅球總數比白球總數多，所以中獎的概率大于不中獎的概率，你認為正確嗎？請說明理由.
1.（2024·常州月考）哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如8＝3＋5，在不超過11的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和為偶數的概率為（　　）
A.　　　B. C.　　　D.
2.從1，2，3，4，5這5個數字中不放回地任取兩數，則兩數都是奇數的概率是　　　　，若有放回地任取兩數，則兩數都是偶數的概率是　　　　.
3.如圖，地上有3個不同的桶，每次取一個桶，直到取完，則最后一個取到B的概率是　　　　.
培優課　古典概型的綜合問題
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）每次取一件，取出后不放回地連續取兩次，其一切可能的結果組成的樣本空間Ω1＝{（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}，
其中小括號內左邊的字母表示第一次取出的產品，右邊的字母表示第二次取出的產品.
Ω1由6個樣本點組成，這些樣本點的出現是等可能的.
用A表示“取出的兩件產品中，恰好有一件次品”這一事件，
則A＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}，
事件A由4個樣本點組成，所以P（A）＝＝.
（2）有放回地連續取出兩件，其一切可能的結果組成的樣本空間Ω2＝{（a1，a1），（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，a2），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），（b1，b1）}，共9個樣本點.
用B表示“取出的兩件產品中恰有一件次品”這一事件，則B＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}.
事件B由4個樣本點組成，所以P（B）＝.
跟蹤訓練
　解：（1）從袋中隨機取兩個球，所有可能樣本點有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6個，
從袋中取出的兩個球的編號之和不大于4的樣本點為（1，2），（1，3），共2個，
因此所求事件的概率為＝.
（2）先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，
則試驗的樣本空間Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}，共16個樣本點.
滿足條件n≥m＋2的事件的樣本點有：（1，3），（1，4），（2，4），共3個，
所以滿足條件n≥m＋2的概率為.
【例2】　ABC　第3組抽取×6＝3（人），第4組抽取×6＝2（人），第5組抽取×6＝1（人），故A正確；設第3組抽取的3人分別為a，b，c，第4組抽取的2人分別為d，e，第5組抽取的1人為f，則6人中隨機抽取2人有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15種抽法，其中第4組志愿者恰有一人被抽中有8種抽法，則其概率為，故B正確；第5組志愿者被抽中有5種抽法，其概率為＝，故C正確；第3組志愿者至少有一人被抽中有12種抽法，其概率為＝，故D錯誤.
跟蹤訓練
　D　由頻數分布表可知，隨機選取該地區一名九年級男生，估計他的身高不高于180 cm的概率是＝0.95.
【例3】　解：用數對（x，y）表示兒童參加活動先后記錄的數，則樣本空間Ω＝{（x，y）｜x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}，
其中共有16個樣本點.
（1）記“xy≤3”為事件A，
則事件A包含的樣本點個數為5，即（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）.
所以P（A）＝，即小亮獲得玩具的概率為.
（2）記“xy≥8”為事件B，“3＜xy＜8”為事件C，
則事件B包含的樣本點個數為6，即（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4），
所以P（B）＝＝.
事件C包含的樣本點個數為5，即（1，4），（2，2），（2，3），（3，2），（4，1），
所以P（C）＝.
因為＞，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.
跟蹤訓練
　解：（1）所有樣本點包含（A1，a1），（A1，a2），（A1，b1），（A1，b2），（A2，a1），（A2，a2），（A2，b1），（A2，b2），（B，a1），（B，a2），（B，b1），（B，b2）.
（2）不正確，理由如下：
由（1）知，所有樣本點共12個，
其中摸出的2個球都是紅球的樣本點有（A1，a1），（A1，a2），（A2，a1），（A2，a2），共4個，
所以中獎的概率為＝，不中獎的概率為1－＝，故不中獎的概率比較大.
隨堂檢測
1.D　因為不超過11的素數有2，3，5，7，11五個數，從中選取兩個不同的數的樣本點有（2，3），（2，5），（2，7），（2，11），（3，5），（3，7），（3，11），（5，7），（5，11），（7，11），共10個，其中和為偶數的樣本點有（3，5），（3，7），（3，11），（5，7），（5，11），（7，11），共6個，所以和為偶數的概率為＝.
2.　　解析：從5個數字中不放回地任取兩數，樣本點有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10個.因為兩數都為奇數的樣本點有（1，3），（1，5），（3，5），共3個，所以所求概率為.從5個數字中有放回的任取兩數，樣本點共有25個，兩數都為偶數的樣本點有（2，4），（4，2），（2，2），（4，4），共4個，故概率為.
3.　解析：由圖可知，B桶不可能第一個被取到，故畫樹形圖表示所有可能的取法，如圖.共有3種等可能的結果，其中最后一個取到B的結果有2種，所以最后一個取到B的概率為.
3 / 3培優課　古典概型的綜合問題
1.甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為（　　）
A. B.
C. D.
2.將2個1和3個0隨機排成一行，則2個1不相鄰的概率為（　　）
A.0.3 B.0.5
C.0.6 D.0.8
3.（2024·淮安月考）將數據1，3，5，7，9這五個數中隨機刪去兩個數，則剩下三個數的平均數大于5的概率為（　　）
A. B.
C. D.
4.已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R｜x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，則A∩B＝B的概率是（　　）
A. B.
C. D.1
5.某校從高二年級800名男生中隨機抽取50名測量其身高（單位：cm，被測學生的身高全部在155 cm到195 cm之間），將測量結果按如下方式分成8組：第一組[155，160），第二組[160，165），…，第八組[190，195]，繪制成的頻率分布直方圖如圖所示，若從身高位于第六組和第八組的男生中隨機抽取2名，記他們的身高分別為x，y，則｜x－y｜≤5的概率為（　　）
A. B.
C. D.
6.設連續投擲兩次骰子得到的點數分別為m，n，令平面向量a＝（m，n），b＝（2，3），則事件“a∥b”發生的概率為　　　　.
7.從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數大于第二張卡片上的數的概率為　　　　.
8.（2024·鹽城月考）據史料推測，算籌最晚出現在春秋晚期戰國初年，是充分體現我國勞動人民智慧的一種計數方法.在算籌計數法中，用一根根同樣長短和粗細的小棍子（用竹子、木頭、獸骨、象牙、金屬等材料制成）以不同的排列方式來表示數字，如果用五根小木棍隨機擺成圖中的兩個數（小木棍全部用完），那么這兩個數的和不小于9的概率為　　　　.
9.甲從正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，乙也從該正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，則所得的兩條直線互相垂直的概率是　　　　.
10.如圖所示，現有一只迷失方向的小青蛙在3處，它每跳動一次可以等可能地進入相鄰的任意一格（若它在5處，跳動一次只能進入3處；若它在3處，則跳動一次可以等可能地進入1，2，4，5處），則它在第三次跳動后，首次進入5處的概率是　　　　.
11.（2024·鹽城月考）垃圾分類是改善環境，節約資源的新舉措.住建部于6月28日擬定了包括某市在內的46個重點試點城市，要求這些城市在2024年底基本建成垃圾分類處理系統，為此，該市某中學對學生開展了“垃圾分類”有關知識的講座并進行測試，將所得測試成績整理后，繪制出頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計測試的平均成績；
（2）學校要求對不及格（60分以下）的同學進行補考，現用分層抽樣的方法在成績為[50，70）的同學中抽取5名，再從這5名同學中抽取2人，求這2人中至少有一人需要補考的概率.
12.隨著甜品的不斷創新，現在的甜品無論是造型還是口感都十分誘人，某“網紅”甜品店出售幾種甜品，為了了解每個種類的甜品的銷售情況，專門收集了該店這個月里五種“網紅甜品”的銷售情況，統計后得到如下表格：
甜品種類 A甜品 B甜品 C甜品 D甜品 E甜品
銷售總額（萬元） 10 5 20 20 12
銷售量（千份） 5 2 10 5 8
利潤率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2
（利潤率是指一份甜品的銷售價格減去成本得到的利潤與該甜品的銷售價格的比值）
（1）從該甜品店本月賣出的甜品中隨機選一份，求這份甜品的利潤率高于0.2的概率；
（2）假設每種甜品利潤率不變，銷售一份A甜品獲利x1元，銷售一份B甜品獲利x2元，銷售一份C甜品獲利x3元，銷售一份D甜品獲利x4元，銷售一份E甜品獲利x5元，設＝，若該甜品店從五種“網紅甜品”中隨機賣出兩種不同的甜品，求至少有一種甜品獲利超過元的概率.
培優課　古典概型的綜合問題
1.B　樣本空間Ω＝{（紅，紅），（紅，白），（紅，藍），（白，紅），（白，白），（白，藍），（藍，紅），（藍，白），（藍，藍）}，共9個樣本點，其中顏色相同的樣本點有（紅，紅），（白，白），（藍，藍），共3個，故所求的概率P＝＝.
2.C　2個1和3個0隨機排成一行，樣本點有00011，00101，01001，10001，10010，10100，11000，01100，00110，01010，共10個；其中2個1不相鄰的有00101，01001，10001，10010，10100，01010，共6個樣本點，所以所求概率為P＝＝0.6.
3.C　從5個數中隨機刪去的兩個數有（1，3），（1，5），（1，7），（1，9），（3，5），（3，7），（3，9），（5，7），（5，9），（7，9），共10個樣本點，要使剩下數據的平均數大于5，刪去的兩個數可以是（1，3），（1，5），（1，7），（3，5），共有4個樣本點，所以剩下數據的平均數大于5的概率為P＝＝.
4.C　因為a∈A，b∈A，所以（a，b）的結果可用列表法得到，樣本點的總個數為9（如下表所示）.
　 　B a　 　 1 2 3
1 （1，1） （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，2） （2，3）
3 （3，1） （3，2） （3，3）
因為A∩B＝B，所以B可能為 ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}.當B＝ 時，a2－4b＜0，滿足條件的a，b為a＝1，b＝1，2，3；a＝2，b＝2，3；a＝3，b＝3.當B＝{1}時，滿足條件的a，b為a＝2，b＝1.當B＝{2}，{3}時，沒有滿足條件的a，b.當B＝{1，2}時，滿足條件的a，b為a＝3，b＝2.當B＝{2，3}，{1，3}時，沒有滿足條件的a，b.綜上，符合條件的結果有8種.故所求概率為.
5.A　由頻率分布直方圖，可知身高在[180，185）的人數為0.016×5×50＝4，分別記為a，b，c，d；身高在[190，195]的人數為0.008×5×50＝2，分別記為A，B；則可用數組（x，y）表示樣本點，設M＝“從身高位于第六組和第八組的男生中隨機抽取2名”，若x，y∈[180，185），則M＝{（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，共6種情況；若x，y∈[190，195]，則M＝{（A，B）}，共1種情況；若x∈[180，185），y∈[190，195]（或x∈[190，195]，y∈[180，185）），則M＝{（a，A），（b，A），（c，A），（d，A），（a，B），（b，B），（c，B），（d，B）}，共8種情況.所以樣本點的總數為6＋1＋8＝15，而事件“｜x－y｜≤5”所包含的樣本點個數為6＋1＝7，故P（｜x－y｜≤5）＝.
6.　解析：由題意可知，m，n∈{1，2，3，4，5，6}，故（m，n）所有可能的情況共36種.因為平面向量a＝（m，n），b＝（2，3），且a∥b，則3m－2n＝0，則滿足條件的（m，n）有（2，3），（4，6），共2種，所以事件“a∥b”發生的概率為＝.
7.　解析：從5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張的情況如圖所示.
樣本點總數為25，其中第一張卡片上的數大于第二張卡片上的數包含的樣本點有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共10個，故所求的概率為＝.
8.　解析：用五根小木棍擺成兩個數，共有兩種擺放方法：第一種是用1根和4根小木棍可以組成1與4，1與8，共2種不同的組合，其和分別為5，9；第二種是用2根和3根小木棍可以組成2與3，2與7，6與3，6與7，共4種不同的組合，其和分別為5，9，9，13，故用五根小木棍隨機擺放成圖中的兩個數，有2＋4＝6（種）不同的組合，其中兩個數的和不小于9的有4種，所以這兩個數的和不小于9的概率為P＝＝.
9.　解析：正方形四個頂點可以確定6條直線，甲、乙各自任選一條共有36個樣本點.4組鄰邊和對角線中兩條直線相互垂直的情況有5種，包括10個樣本點，即AB與BC，AB與AD，BC與BA，BC與CD，CD與BC，CD與AD，AD與CD，AD與AB，AC與BD，BD與AC.所以概率為P＝＝.
10.　解析：由題意可知小青蛙三次跳動后的所有樣本點為（3→1→3→1），（3→1→3→2），（3→1→3→4），（3→1→3→5），（3→2→3→2），（3→2→3→1），（3→2→3→4），（3→2→3→5），（3→4→3→4），（3→4→3→1），（3→4→3→2），（3→4→3→5），（3→5→3→5），（3→5→3→1），（3→5→3→2），（3→5→3→4），共16個，滿足題意的樣本點為（3→1→3→5），（3→2→3→5），（3→4→3→5），共3個.由古典概型的概率計算公式可得，小青蛙在第三次跳動后，首次進入5處的概率是.
11.解：（1）由題意得（2a＋3a＋7a＋6a＋2a）×10＝1，
解得a＝0.005，
平均成績為55×0.1＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.1＝76.5.
（2）由題意知抽取的5人中，成績在[50，60）內的有2人，記為a，b；成績在[60，70）內的有3人，記為A，B，C.
隨機試驗的所有可能結果有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC，共10個，
其中至少有1人需要補考的結果有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，共7個.
所以所求概率為P＝.
12.解：（1）由題意知本月共賣出3萬份甜品，利潤率高于0.2的是A甜品和D甜品，共有1萬份，
設“這份甜品的利潤率高于0.2”為事件A，
則P（A）＝.
（2）由題意得銷售一份甜品A，B，C，D，E分別獲利為8元，5元，3元，10元，3元.
所以＝＝，故A甜品和D甜品獲利超過，
從五種“網紅甜品”中隨機賣出2種不同甜品，共含有10個樣本點，分別為AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE.
設“至少有一種甜品獲利超過元”為事件M，則事件M包含7個樣本點，分別為AB，AC，AD，AE，BD，CD，DE，
所以至少有一種甜品獲利超過元的概率為P（M）＝.
2 / 2(共47張PPT)
培優課　
古典概型的綜合問題
目錄
典型例題·精研析
01
知能演練·扣課標
02
典型例題·精研析
01
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 古典概型中的“放回”與“不放回”問題
【例1】　從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的3件產品中每次任取
一件，每次取出后不放回，連續取兩次.
（1）求取出的兩件產品中恰有一件次品的概率；
解： 每次取一件，取出后不放回地連續取兩次，其一切可能的結果組成的樣本空間Ω1＝{（a1，a2），（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}，
其中小括號內左邊的字母表示第一次取出的產品，右邊的字母表示第二次取出的產品.
Ω1由6個樣本點組成，這些樣本點的出現是等可能的.
用A表示“取出的兩件產品中，恰好有一件次品”這一事件，則A＝{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}，事件A由4個樣本點組成，所以P（A）＝ ＝ .
（2）如果將“每次取出后不放回”這一條件換成“每次取出后放
回”，則取出的兩件產品中恰有一件次品的概率是多少？
解： 有放回地連續取出兩件，其一切可能的結果組成的樣
本空間Ω2＝{（a1，a1），（a1，a2），（a1，b1），（a2，
a1），（a2，a2），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2），
（b1，b1）}，共9個樣本點.
用B表示“取出的兩件產品中恰有一件次品”這一事件，則B＝
{（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）}.
事件B由4個樣本點組成，所以P（B）＝ .
通性通法
解決“放回”與“不放回”問題的方法及注意點
（1）關于不放回抽樣，計算樣本點個數時，既可以看做是有順序
的，也可以看做是無順序的，其最后結果是一致的，但不論選
擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會產生錯誤；
（2）關于有放回抽樣，應注意在連續取出兩次的過程中，因為先后
順序不同，所以（a1，b1），（b1，a1）不是同一個樣本點.解
題的關鍵是要清楚無論是“不放回抽取”還是“有放回抽
取”，每一件產品被取出的機會都是均等的.
【跟蹤訓練】
　一個袋中裝有四個大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，
3，4.
（1）從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；
解： 從袋中隨機取兩個球，所有可能樣本點有（1，
2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，
4），共6個，
從袋中取出的兩個球的編號之和不大于4的樣本點為（1，
2），（1，3），共2個，
因此所求事件的概率為 ＝ .
（2）先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，再
從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n≥m＋2的概率.
解： 先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再
從袋中隨機取一個球，記下編號為n，
則試驗的樣本空間Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，
4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），
（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，
3），（4，4）}，共16個樣本點.
滿足條件n≥m＋2的事件的樣本點有：（1，3），（1，4），
（2，4），共3個，
所以滿足條件n≥m＋2的概率為 .
題型二 古典概型與統計的綜合問題
【例2】　（多選）（2024·南通月考）某市為增強市民的環境保護意
識，面向全市征召義務宣傳志愿者.現從符合條件的志愿者中隨機抽
取100名，按年齡分組：第1組[20，25），第2組[25，30），第3組
[30，35），第4組[35，40），第5組[40，45]，得到的頻率分布直方
圖如圖所示.若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參
加廣場的宣傳活動，且該市決定在這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者
介紹宣傳經驗，則下列結論正確的是（　　）
A. 應從第3，4，5組中分別抽取3人、2人、1人
√
√
√
解析： 第3組抽取 ×6＝3（人），第4組抽取
×6＝2（人），第5組抽取 ×6＝1（人），
故A正確；設第3組抽取的3人分別為a，b，c，第4組抽取的2人分別
為d，e，第5組抽取的1人為f，則6人中隨機抽取2人有（a，b），
（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，
d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），
（d，e），（d，f），（e，f）共15種抽法，其中第4組志愿者恰
有一人被抽中有8種抽法，則其概率為 ，故B正確；
第5組志愿者被抽中有5種抽法，其概率為 ＝ ，故C正確；第3組志
愿者至少有一人被抽中有12種抽法，其概率為 ＝ ，故D錯誤.
通性通法
　　古典概型與統計的綜合問題，無論是直接描述還是利用頻率分布
表、頻率分布直方圖等給出信息，只要能夠從題中提煉出需要的信
息，此類問題即可解決，解決此類題目的步驟主要有：
（1）根據題目要求求出數據（有的用到分層抽樣、有的用到頻率分
布直方圖等知識）；
（2）列出樣本空間，計算樣本空間包含的樣本點個數；
（3）找出所求事件包含的樣本點個數；
（4）根據古典概型概率計算公式求解；
（5）明確規范地表述結論.
【跟蹤訓練】
　為了解某地區九年級男生的身高情況，隨機選取了該地區100名九
年級男生進行測量，他們的身高x（cm）統計如表.
組別（cm） x≤160 160＜
x≤170 170＜
x≤180 x＞180
人數 15 42 38 5
根據上表，隨機選取該地區一名九年級男生，估計他的身高不高于
180 cm的概率是（　　）
A. 0.05 B. 0.38
解析： 　由頻數分布表可知，隨機選取該地區一名九年級男生，估
計他的身高不高于180 cm的概率是 ＝0.95.
C. 0.57 D. 0.95
√
題型三 古典概型的綜合應用
【例3】　（2024·淮安月考）某兒童樂園在“六一兒童節”推出了一
項趣味活動，參加活動的兒童需轉動如圖所示的轉盤兩次，每次轉動
后，待轉盤停止轉動時，記錄指針所指區域中的數，設兩次記錄的數
分別為x，y，獎勵規則如下：
①若xy≤3，則獎勵玩具一個；
②若xy≥8，則獎勵水杯一個；
③其余情況獎勵飲料一瓶.
假設轉盤質地均勻，四個區域劃分均勻，小亮準備參加此項活動.
（1）求小亮獲得玩具的概率；
（1）記“xy≤3”為事件A，
則事件A包含的樣本點個數為5，即（1，1），（1，
2），（1，3），（2，1），（3，1）.
所以P（A）＝ ，即小亮獲得玩具的概率為 .
解：用數對（x，y）表示兒童參加活動先后記錄的數，則樣本
空間Ω＝{（x，y）｜x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}，
其中共有16個樣本點.
（2）請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由.
解：記“xy≥8”為事件B，“3＜xy＜8”為事件C，
則事件B包含的樣本點個數為6，即（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4），
所以P（B）＝ ＝ .
事件C包含的樣本點個數為5，即（1，4），（2，2），（2，3），（3，2），（4，1），所以P（C）＝ .
因為 ＞ ，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.
通性通法
　　應用古典概型的概率公式求事件的概率時，首先應判斷本試驗是
不是古典概型，然后再正確地找出試驗的樣本空間包含的樣本點個數
及事件包含的樣本點個數，最后代入公式求出概率.
【跟蹤訓練】
　某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，
抽獎方法是從裝有2個紅球A1，A2和一個白球B的甲箱與裝有2個紅球
a1，a2和2個白球b1，b2的乙箱中，各隨機摸出1個球，若摸出的2個球
都是紅球則中獎，否則不中獎.
（1）用球的標號列出所有的樣本點；
解： 所有樣本點包含（A1，a1），（A1，a2），（A1，b1），（A1，b2），（A2，a1），（A2，a2），（A2，b1），（A2，b2），（B，a1），（B，a2），（B，b1），（B，b2）.
（2）有人認為兩個箱子中的紅球總數比白球總數多，所以中獎的概
率大于不中獎的概率，你認為正確嗎？請說明理由.
解： 不正確，理由如下：
由（1）知，所有樣本點共12個，
其中摸出的2個球都是紅球的樣本點有（A1，a1），（A1，
a2），（A2，a1），（A2，a2），共4個，
所以中獎的概率為 ＝ ，不中獎的概率為1－ ＝ ，故不中獎
的概率比較大.
1. （2024·常州月考）哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為
兩個素數的和”，如8＝3＋5，在不超過11的素數中，隨機選取兩
個不同的數，其和為偶數的概率為（　　）
√
解析： 因為不超過11的素數有2，3，5，7，11五個數，從中選
取兩個不同的數的樣本點有（2，3），（2，5），（2，7），
（2，11），（3，5），（3，7），（3，11），（5，7），（5，
11），（7，11），共10個，其中和為偶數的樣本點有（3，5），
（3，7），（3，11），（5，7），（5，11），（7，11），共6
個，所以和為偶數的概率為 ＝ .

　
　
解析：從5個數字中不放回地任取兩數，樣本點有（1，2），（1，
3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），
（3，4），（3，5），（4，5），共10個.因為兩數都為奇數的樣
本點有（1，3），（1，5），（3，5），共3個，所以所求概率為
.從5個數字中有放回的任取兩數，樣本點共有25個，兩數都為偶
數的樣本點有（2，4），（4，2），（2，2），（4，4），共4
個，故概率為 .

解析：由圖可知，B桶不可能第一個被取到，故畫樹形圖
表示所有可能的取法，如圖.共有3種等可能的結果，其中
最后一個取到B的結果有2種，所以最后一個取到B的概率
為 .
　
知能演練·扣課標
02
課后鞏固 核心素養落地
　　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1. 甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中
選擇1種，則他們選擇相同顏色運動服的概率為（　　）
解析： 樣本空間Ω＝{（紅，紅），（紅，白），（紅，藍），
（白，紅），（白，白），（白，藍），（藍，紅），（藍，
白），（藍，藍）}，共9個樣本點，其中顏色相同的樣本點有
（紅，紅），（白，白），（藍，藍），共3個，故所求的概率P
＝ ＝ .
√
2. 將2個1和3個0隨機排成一行，則2個1不相鄰的概率為（　　）
A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8
解析： 2個1和3個0隨機排成一行，樣本點有00011，00101，
01001，10001，10010，10100，11000，01100，00110，01010，共
10個；其中2個1不相鄰的有00101，01001，10001，10010，
10100，01010，共6個樣本點，所以所求概率為P＝ ＝0.6.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. （2024·淮安月考）將數據1，3，5，7，9這五個數中隨機刪去兩個
數，則剩下三個數的平均數大于5的概率為（　　）
√
解析： 　從5個數中隨機刪去的兩個數有（1，3），（1，5），
（1，7），（1，9），（3，5），（3，7），（3，9），（5，
7），（5，9），（7，9），共10個樣本點，要使剩下數據的平均
數大于5，刪去的兩個數可以是（1，3），（1，5），（1，7），
（3，5），共有4個樣本點，所以剩下數據的平均數大于5的概率
為P＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R｜x2－ax＋b＝0，a∈A，
b∈A}，則A∩B＝B的概率是（　　）
D. 1
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　因為a∈A，b∈A，所以（a，b）的結果可用列表法
得到，樣本點的總個數為9（如下表所示）.
　 　b a　 　 1 2 3
1 （1，1） （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，2） （2，3）
3 （3，1） （3，2） （3，3）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因為A∩B＝B，所以B可能為 ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，
3}，{2，3}.當B＝ 時，a2－4b＜0，滿足條件的a，b為a＝1，
b＝1，2，3；a＝2，b＝2，3；a＝3，b＝3.當B＝{1}時，滿足
條件的a，b為a＝2，b＝1.當B＝{2}，{3}時，沒有滿足條件的
a，b.當B＝{1，2}時，滿足條件的a，b為a＝3，b＝2.當B＝
{2，3}，{1，3}時，沒有滿足條件的a，b.綜上，符合條件的結果
有8種.故所求概率為 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 某校從高二年級800名男生中隨機抽取50名測量其身高（單位：
cm，被測學生的身高全部在155 cm到195 cm之間），將測量結果
按如下方式分成8組：第一組[155，160），第二組[160，
165），…，第八組[190，195]，繪制成的頻率分布直方圖如圖所
示，若從身高位于第六組和第八組的男生中隨機抽取2名，記他們
的身高分別為x，y，則｜x－y｜≤5的概率為（　　）
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　由頻率分布直方圖，可知身高在[180，185）的人數為
0.016×5×50＝4，分別記為a，b，c，d；身高在[190，195]的
人數為0.008×5×50＝2，分別記為A，B；則可用數組（x，y）
表示樣本點，設M＝“從身高位于第六組和第八組的男生中隨機
抽取2名”，若x，y∈[180，185），則M＝{（a，b），（a，
c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，共6種情
況；若x，y∈[190，195]，則M＝{（A，B）}，共1種情況；
若x∈[180，185），y∈[190，195]（或x∈[190，195]，y∈[180，185）），則M＝{（a，A），（b，A），（c，A），（d，A），（a，B），（b，B），（c，B），（d，B）}，共8種情況.所以樣本點的總數為6＋1＋8＝15，而事件“｜x－y｜≤5”所包含的樣本點個數為6＋1＝7，故P（｜x－y｜≤5）＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

解析：由題意可知，m，n∈{1，2，3，4，5，6}，故（m，n）
所有可能的情況共36種.因為平面向量a＝（m，n），b＝（2，
3），且a∥b，則3m－2n＝0，則滿足條件的（m，n）有（2，
3），（4，6），共2種，所以事件“a∥b”發生的概率為 ＝
.
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：從5張卡片中隨
機抽取1張，放回后再
隨機抽取1張的情況如圖所示.
樣本點總數為25，其中第一張卡片上的數大于第二張卡片上的數包含的樣本點有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共10個，故所求的概率為 ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：用五根小木棍擺成兩個數，共有兩種擺放方法：第一種是用
1根和4根小木棍可以組成1與4，1與8，共2種不同的組合，其和分
別為5，9；第二種是用2根和3根小木棍可以組成2與3，2與7，6與
3，6與7，共4種不同的組合，其和分別為5，9，9，13，故用五根
小木棍隨機擺放成圖中的兩個數，有2＋4＝6（種）不同的組合，
其中兩個數的和不小于9的有4種，所以這兩個數的和不小于9的概
率為P＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

解析：正方形四個頂點可以確定6條直線，甲、乙各
自任選一條共有36個樣本點.4組鄰邊和對角線中兩條
直線相互垂直的情況有5種，包括10個樣本點，即AB
與BC，AB與AD，BC與BA，BC與CD，CD與BC，CD與AD，AD與CD，AD與AB，AC與BD，BD與AC. 所以概率為P＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：由題意可知小青蛙三次跳動后的所有樣本點為
（3→1→3→1），（3→1→3→2），（3→1→3→4），
（3→1→3→5），（3→2→3→2），（3→2→3→1），
（3→2→3→4），（3→2→3→5），（3→4→3→4），
（3→4→3→1），（3→4→3→2），（3→4→3→5），
（3→5→3→5），（3→5→3→1），（3→5→3→2），
（3→5→3→4），共16個，滿足題意的樣本點為
（3→1→3→5），（3→2→3→5），（3→4→3→5），共3個.由
古典概型的概率計算公式可得，小青蛙在第三次跳動后，首次進
入5處的概率是 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. （2024·鹽城月考）垃圾分類是改善環境，節約資源的新舉措.住
建部于6月28日擬定了包括某市在內的46個重點試點城市，要求這
些城市在2024年底基本建成垃圾分類處理系統，為此，該市某中
學對學生開展了“垃圾分類”有關知識的講座并進行測試，將所
得測試成績整理后，繪制出頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求頻率分布直方圖中a的值，并估計測試的平均成績；
解： 由題意得（2a＋3a＋7a＋6a＋2a）×10＝1，解得a＝0.005，
平均成績為55×0.1＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.1＝
76.5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2）學校要求對不及格（60分以下）的同學進行補考，現用分層
抽樣的方法在成績為[50，70）的同學中抽取5名，再從這5
名同學中抽取2人，求這2人中至少有一人需要補考的概率.
解： 由題意知抽取的5人中，成績在[50，60）內的有2
人，記為a，b；成績在[60，70）內的有3人，記為A，B，C. 隨機試驗的所有可能結果有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC，共10個，
其中至少有1人需要補考的結果有ab，aA，aB，aC，
bA，bB，bC，共7個.所以所求概率為P＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. 隨著甜品的不斷創新，現在的甜品無論是造型還是口感都十分誘
人，某“網紅”甜品店出售幾種甜品，為了了解每個種類的甜品
的銷售情況，專門收集了該店這個月里五種“網紅甜品”的銷售
情況，統計后得到如下表格：
甜品種類 A甜品 B甜品 C甜品 D甜品 E甜品
銷售總額
（萬元） 10 5 20 20 12
銷售量（千份） 5 2 10 5 8
利潤率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（利潤率是指一份甜品的銷售價格減去成本得到的利潤與該甜品
的銷售價格的比值）
（1）從該甜品店本月賣出的甜品中隨機選一份，求這份甜品的利
潤率高于0.2的概率；
解： 由題意知本月共賣出3萬份甜品，利潤率高于0.2
的是A甜品和D甜品，共有1萬份，
設“這份甜品的利潤率高于0.2”為事件A，
則P（A）＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2）假設每種甜品利潤率不變，銷售一份A甜品獲利x1元，銷售
一份B甜品獲利x2元，銷售一份C甜品獲利x3元，銷售一份
D甜品獲利x4元，銷售一份E甜品獲利x5元，設 ＝
，若該甜品店從五種“網紅甜品”中隨
機賣出兩種不同的甜品，求至少有一種甜品獲利超過 元的
概率.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解： 由題意得銷售一份甜品A，B，C，D，E分別獲利為8元，5元，3元，10元，3元.
所以 ＝ ＝ ，故A甜品和D甜品獲利超過 ，從五種“網紅甜品”中隨機賣出2種不同甜品，共含有10個樣本點，分別為AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE.
設“至少有一種甜品獲利超過 元”為事件M，則事件M包含7個樣本點，分別為AB，AC，AD，AE，BD，CD，DE，
所以至少有一種甜品獲利超過 元的概率為P（M）＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
謝 謝 觀 看！

展開更多......

收起↑