資源簡介

第2課時　直線的傾斜角
意大利中部的比薩城內，有一座造型古樸而又秀巧的鐘塔，是羅馬式建筑的范本，這就是堪稱世界建筑史奇跡的比薩斜塔.每年有80萬游客來到塔下，無不對它那“斜而不倒”的塔身表示憂慮和焦急，同時也為能親眼目睹這一由缺陷造成的奇跡而慶幸萬分.
【問題】　如何確定比薩斜塔的傾斜程度？你有哪些方法可以運用？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　直線的傾斜角
1.定義：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線，把x軸繞著交點按　　　時針方向旋轉到與直線重合時，所轉過的　　　　正角α，稱為這條直線的傾斜角.
2.范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是　　　　，并規定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0.
3.傾斜角與斜率的關系
當直線與x軸不垂直時，該直線的斜率k與傾斜角α之間的關系為k＝　　　　（α≠）.
提醒　任何一條直線都有傾斜角，但傾斜角為的直線沒有斜率.
【想一想】
1.每一條直線都有一個確定的傾斜角對嗎？
2.已知直線上一點和該直線的傾斜角，該直線是否唯一確定？
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）若α是直線l的傾斜角，則0°≤α≤180°.（　　）
（2）一條直線的傾斜角可以為－30°.（　　）
（3）傾斜角為0°的直線只有一條，即x軸.（　　）
2.下列圖中α能表示直線l的傾斜角的是（　　）
3.若直線l經過原點和（－1，1），則它的傾斜角是（　　）
A.45°　　B.135°　　C.－135°　　D.－45°
題型一 直線的傾斜角
【例1】　（1）如圖，直線l的傾斜角為（　　）
A.60°　　 B.120°
C.30°　　 D.150°
（2）設直線l過原點，其傾斜角為α，將直線l繞原點沿逆時針方向旋轉45°，得到直線l1，則直線l1的傾斜角為（　　）
A.α＋45°　　 B.α－135°
C.135°－α　　 D.α＋45°或α－135°
通性通法
求直線的傾斜角的方法及注意點
（1）方法：①利用定義；②結合圖形，利用特殊三角形（如直角三角形）求角；
（2）注意傾斜角的范圍.
【跟蹤訓練】
　已知直線l經過第二、四象限，則直線l的傾斜角α的取值范圍是（　　）
A.0°≤α＜90°　　 B.90°≤α＜180°
C.90°＜α＜180°　　 D.0°＜α＜180°
題型二 直線的傾斜角和斜率的關系
【例2】　（1）經過兩點P（0，－3），Q（－，0）的直線的傾斜角為（　　）
A.30°　　 B.60°
C.120°　　 D.150°
（2）若直線l的斜率k的變化范圍是[－1，]，則它的傾斜角α的變化范圍是（　　）
A.0°≤α≤60°
B.135°≤α＜180°
C.60°≤α＜135°
D.0°≤α≤60°或135°≤α＜180°
通性通法
1.由傾斜角與斜率的關系k＝tan α（α≠），可由斜率求傾斜角，也可由傾斜角確定直線的斜率.
2.直線的傾斜角與斜率的對應關系
α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
k的范圍 k＝0 k＞0 不存在 k＜0
k的 增減性 隨α的增 大而增大 隨α的增 大而增大
【跟蹤訓練】
若經過兩點A（2，1），B（1，m2）的直線l的傾斜角為銳角，則m的取值范圍是（　　）
A.（－∞，1）
B.（－1，＋∞）
C.（－1，1）
D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
題型三 直線傾斜角與斜率的應用
【例3】　（鏈接教科書第9頁習題8題）已知點A（2，1），B（－2，2），若直線l過點P且總與線段AB有交點，求直線l的斜率k的取值范圍.
通性通法
1.涉及直線與線段有交點問題常通過數形結合利用公式求解.
2.求代數式最值（范圍）的方法
由斜率公式k＝的形式，可知代數式的幾何意義是過P（x，y）與P'（a，b）兩點的直線的斜率，故可以利用數形結合來求解.
【跟蹤訓練】
　已知A（2，3），B（－1，2），若點P（x，y）在線段AB上，則的最大值為（　　）
A.1　　 B.
C.－　　 D.－3
1.已知直線l的傾斜角為1 rad，則l的斜率為（　　）
A.1　　 B.45°
C.tan 1　　 D.tan 1°
2.若直線l經過點M（2，3），N（4，3），則直線l的傾斜角為（　　）
A.0°　　 B.30°
C.60°　　 D.90°
3.若經過A（m，3），B（1，2）兩點的直線的傾斜角為45°，則m＝（　　）
A.2　　 B.1
C.－1　　 D.－2
第2課時　直線的傾斜角
【基礎知識·重落實】
知識點
1.逆　最小　2.{α｜0≤α＜π}　3.tan α
想一想
1.提示：對.
2.提示：唯一確定.
自我診斷
1.（1）×　（2）×　（3）×
2.A　由傾斜角的定義，把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉到與直線l重合時，所轉過的最小正角為直線l的傾斜角，可知只有選項A中的α表示直線l的傾斜角，故選A.
3.B　作出直線l，如圖所示，由圖易知，直線l的傾斜角是135°，故選B.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）D　（2）D　解析：（1）由圖易知l的傾斜角為45°＋105°＝150°.
（2）∵傾斜角α的取值范圍為0°≤α＜180°，∴當0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°時，l1的傾斜角為α＋45°；當135°≤α＜180°時，l1的傾斜角為α－135°（如圖）.
跟蹤訓練
　C　直線的傾斜角α的取值范圍是0°≤α＜180°，又直線l經過第二、四象限，所以直線l的傾斜角α的取值范圍是90°＜α＜180°.
【例2】　（1）C　（2）D　解析：（1）由題意知，經過點P，Q的直線的斜率為k＝＝－，設該直線的傾斜角為θ（0°≤θ＜180°），則k＝tan θ＝－，所以θ＝120°，即直線的傾斜角為120°.故選C.
（2）作出正切函數在[0，π）的圖象如圖所示，當－1≤k≤，即－1≤tan α≤，解得0≤α≤或≤α＜π，即0°≤α≤60°或135°≤α＜180°，故選D.
跟蹤訓練
　C　∵直線l的傾斜角為銳角，∴斜率k＝＞0，∴－1＜m＜1.
【例3】　解：當直線l由位置PA繞點P轉動到位置PB時，l的斜率逐漸變大直至當l垂直于x軸，當直線l垂直于x軸時，直線l斜率不存在，再轉動時斜率為負值并逐漸變大直到PB的位置，
所以直線l的斜率k≥kPA＝或k≤kPB＝－，
即直線l的斜率k的取值范圍為（－∞，－］∪.
跟蹤訓練
　C　＝，其幾何意義為過點（x，y）與點（3，0）的直線的斜率，設Q（3，0），則kAQ＝＝－3，kBQ＝＝－，∵點P（x，y）是線段AB上的任意一點，∴的取值范圍是［－3，－］，故的最大值為－，故選C.
隨堂檢測
1.C　由題意知直線l的傾斜角為1 rad，則l的斜率為tan 1，故選C.
2.A　因為M，N兩點的縱坐標相等，所以直線l平行于x軸，所以直線l的傾斜角為0°.
3.A　由題意知，tan 45°＝，得m＝2.
3 / 3第2課時　直線的傾斜角
1.已知直線l的斜率為1，則直線l的傾斜角為（　　）
A.30°　　 B.45°
C.60°　　 D.90°
2.如圖，直線l1，l2，l3的傾斜角分別為α1，α2，α3，則（　　）
A.α1＜α2＜α3
B.α3＜α1＜α2
C.α3＜α2＜α1
D.α1＜α3＜α2
3.若過兩點M（3，y），N（0，）的直線的傾斜角為，則y的值為（　　）
A.0　　 B.－2
C.4　　 D.3
4.（多選）下列命題中正確的是（　　）
A.若一條直線的傾斜角為150°，則此直線關于y軸的對稱直線的傾斜角為30°
B.若α，2α，3α分別為三條直線的傾斜角，則α不大于60°
C.若α為直線l的傾斜角，且tan α＝－，則α＝150°
D.若直線的傾斜角α的正切值無意義，則α＝90°
5.（多選）若經過兩點A（1－a，1＋a），B（3，a）的直線的傾斜角為鈍角，則實數a的值可能為（　　）
A.－2　　 B.0
C.1　　 D.2
6.若直線l：x＝tan（－），則直線l的傾斜角是　　　　.
7.已知直線l是第二、四象限的角平分線，則直線l的傾斜角為　　　　（用弧度制表示）.
8.一條直線l與x軸相交，其向上方向與y軸正方向所成的角為α（0°＜α＜90°），則其傾斜角為　　　　.
9.直線l經過A（2，1），B（1，m2）（m∈R）兩點，則直線l的傾斜角α的取值范圍為　　　　.
10.如圖所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各邊和兩條對角線所在直線的傾斜角和斜率.
11.如圖，△ABC的頂點都在坐標軸上，直線AB的斜率為，直線BC的斜率為－，則tan∠ABC＝（　　）
A.－　　 B.－
C.－　　 D.－
12.（多選）若兩直線l1，l2的傾斜角分別為α，β，斜率分別為k1，k2，則下列四種說法中不正確的是（　　）
A.若α＜β，則k1＜k2　　B.若α＝β，則k1＝k2
C.若k1＜k2，則α＜β　　D.若k1＝k2，則α＝β
13.若直線l的斜率為m2－2m，則直線l的傾斜角的取值范圍為　　　　.
14.已知兩點A（－3，4），B（3，2），過點P（1，0）的直線l與線段AB有公共點.
（1）求直線l的斜率k的取值范圍；
（2）求直線l的傾斜角α的取值范圍.
15.一束光線從點A（－2，3）射入，經x軸上的點P反射后，通過點B（5，7），求點P的坐標.
第2課時　直線的傾斜角
1.B　設直線l的傾斜角為α，則tan α＝1，故α＝45°.
2.C　直線l2，l3的傾斜角為銳角，且直線l2的傾斜角大于直線l3的傾斜角，直線l1的傾斜角為鈍角，故α3＜α2＜α1.
3.B　由于直線MN的傾斜角為，則直線MN的斜率為k＝tan＝－，又因為M（3，y），N（0，），所以k＝＝－，解得y＝－2.故選B.
4.ACD　作傾斜角為150°的直線關于y軸的對稱直線，所得直線的傾斜角與原直線的傾斜角互補，故A正確；當α＝60°時，3α＝180°，故B錯誤；由tan α＝－得到α＝150°，故C正確；若直線的傾斜角α的正切值無意義，則α＝90°，故D正確.
5.BCD　由題意得kAB＝＝＜0，即2＋a＞0，所以a＞－2，故選B、C、D.
6.　解析：由l：x＝tan（－）可得l：x＝－，故直線的傾斜角為.
7.　解析：設直線l的傾斜角為α（0≤α＜π），因為直線l是第二、四象限的角平分線，可得直線l的斜率為k＝－1，所以tan α＝－1，可得α＝.
8.90°＋α或90°－α　解析：如圖①，當l向上方向的部分在y軸左側時，傾斜角為90°＋α；如圖②，當l向上方向的部分在y軸右側時，傾斜角為90°－α.
9.［0，］∪（，π）　解析：因為A，B兩點橫坐標不同，故傾斜角不為，由題意得tan α＝＝1－m2∈（－∞，1]，因為α∈[0，π），所以α∈［0，］∪（，π）.
10.解：菱形ABCD中，∠BAD＝60°，則△ABD和△BCD都是等邊三角形，
則直線AD，BC的傾斜角為60°，直線AB，DC的傾斜角為0°，直線AC的傾斜角為30°，直線BD的傾斜角為120°，
kAD＝kBC＝，kAB＝kCD＝0，kAC＝，kBD＝－.
11.C　由題可得∠ABC＝∠xCB－∠xAB，由kAB＝，得tan∠xAB＝，由kBC＝－，得tan∠xCB＝－，∴tan∠ABC＝tan（∠xCB－∠xAB）＝＝＝－.故選C.
12.ABC　由題意，兩直線l1，l2的傾斜角分別為α，β，斜率分別是k1，k2，所以k1＝tan α，k2＝tan β，且α，β∈[0，π），根據正切函數在[0，π）上的定義域和單調性的關系可得，對于A，若α為銳角，β為鈍角，此時k1＞0＞k2，所以A不正確； 對于B，若α＝β＝，此時斜率不存在，所以B不正確；對于C，若k1＜0，k2＞0，此時α為鈍角，β為銳角，α＞β，所以C不正確；對于D，若k1＝k2，此時α＝β，所以D正確.
13.［0，）∪［，π）　解析：記直線l的傾斜角為α，斜率為k，則k＝（m－1）2－1≥－1，即tan α≥－1，由正切函數圖象可得α∈［0，）∪［，π）.
14.解：如圖，由題意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
（1）要使l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是（－∞，－1]∪[1，＋∞）.
（2）由題意可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45°，PA的傾斜角是135°，∴α的取值范圍是45°≤α≤135°.
15.解：設P（x，0），如圖，由光的反射原理知，反射角等于入射角，則β＝α，
所以反射光線PB的傾斜角β與入射光線PA的傾斜角（180°－α）互補.
因此kAP＝－kBP，即＝－，
解得x＝.
所以點P的坐標為（，0）.
1 / 2(共51張PPT)
第2課時　直線的傾斜角
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
意大利中部的比薩城內，有一座造型古樸而又秀巧的鐘塔，是羅馬式
建筑的范本，這就是堪稱世界建筑史奇跡的比薩斜塔.每年有80萬游
客來到塔下，無不對它那“斜而不倒”的塔身表示憂慮和焦急，同時
也為能親眼目睹這一由缺陷造成的奇跡而慶幸萬分.
【問題】　如何確定比薩斜塔的傾斜程度？你有哪些方法可以運用？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　直線的傾斜角
1. 定義：在平面直角坐標系中，對于一條與 x 軸相交的直線，把 x 軸
繞著交點按 時針方向旋轉到與直線重合時，所轉過的
正角α，稱為這條直線的傾斜角.
2. 范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是 ，并規定
與 x 軸平行或重合的直線的傾斜角為0.
逆　
最
小　
{α｜0≤α＜π}　
當直線與 x 軸不垂直時，該直線的斜率 k 與傾斜角α之間的關系為 k
＝ （α≠ ）.
提醒　任何一條直線都有傾斜角，但傾斜角為 的直線沒有斜率.
tan α　
3. 傾斜角與斜率的關系
【想一想】
1. 每一條直線都有一個確定的傾斜角對嗎？
提示：對.
2. 已知直線上一點和該直線的傾斜角，該直線是否唯一確定？
提示：唯一確定.
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）若α是直線 l 的傾斜角，則0°≤α≤180°. （　×　）
（2）一條直線的傾斜角可以為－30°. （　×　）
（3）傾斜角為0°的直線只有一條，即 x 軸. （　×　）
×
×
×
2. 下列圖中α能表示直線 l 的傾斜角的是（　　）
解析：　由傾斜角的定義，把 x 軸繞著交點按逆時針方向旋轉到
與直線 l 重合時，所轉過的最小正角為直線 l 的傾斜角，可知只有選
項A中的α表示直線 l 的傾斜角，故選A.
3. 若直線 l 經過原點和（－1，1），則它的傾斜角是（　　）
A. 45° B. 135°
C. －135° D. －45°
解析：　作出直線 l ，如圖所示，由圖易知，直線 l
的傾斜角是135°，故選B.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 直線的傾斜角
【例1】　（1）如圖，直線 l 的傾斜角為（　D　）
A. 60° B. 120°
C. 30° D. 150°
解析：由圖易知 l 的傾斜角為45°＋105°＝150°.
（2）設直線 l 過原點，其傾斜角為α，將直線 l 繞原點沿逆時針方向
旋轉45°，得到直線 l1，則直線 l1的傾斜角為（　D　）
A. α＋45° B. α－135°
C. 135°－α D. α＋45°或α－135°
解析：∵傾斜角α的取值范圍為0°≤α＜180°，∴當0°≤α
＋45°＜180°，即0°≤α＜135°時， l1的傾斜角為α＋45°；當135°≤α＜180°時， l1的傾斜角為α－135°（如圖）.
通性通法
求直線的傾斜角的方法及注意點
（1）方法：①利用定義；②結合圖形，利用特殊三角形（如直角三
角形）求角；
（2）注意傾斜角的范圍.
【跟蹤訓練】
　已知直線 l 經過第二、四象限，則直線 l 的傾斜角α的取值范圍是
（　　）
A. 0°≤α＜90° B. 90°≤α＜180°
C. 90°＜α＜180° D. 0°＜α＜180°
解析：　直線的傾斜角α的取值范圍是0°≤α＜180°，又直線 l 經
過第二、四象限，所以直線 l 的傾斜角α的取值范圍是90°＜α＜
180°.
題型二 直線的傾斜角和斜率的關系
【例2】　（1）經過兩點 P （0，－3）， Q （－ ，0）的直線的傾
斜角為（　C　）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
解析：由題意知，經過點 P ， Q 的直線的斜率為 k ＝ ＝－
，設該直線的傾斜角為θ（0°≤θ＜180°），則 k ＝tan θ＝－
，所以θ＝120°，即直線的傾斜角為120°.故選C.
（2）若直線 l 的斜率 k 的變化范圍是[－1， ]，則它的傾斜角α的
變化范圍是（　D　）
A. 0°≤α≤60°
B. 135°≤α＜180°
C. 60°≤α＜135°
D. 0°≤α≤60°或135°≤α＜180°
解析：作出正切函數在[0，π）的圖象如圖所
示，當－1≤ k ≤ ，即－1≤tan α≤ ，解
得0≤α≤ 或 ≤α＜π，即0°≤α≤60°或
135°≤α＜180°，故選D.
通性通法
1. 由傾斜角與斜率的關系 k ＝tan α（α≠ ），可由斜率求傾斜角，
也可由傾斜角確定直線的斜率.
2. 直線的傾斜角與斜率的對應關系
α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜
180°
k 的范圍 k ＝0 k ＞0 不存在 k ＜0
k 的增減性 隨α的增大而增
大 隨α的增大而增
大
【跟蹤訓練】
若經過兩點 A （2，1）， B （1， m2）的直線 l 的傾斜角為銳角，則 m
的取值范圍是（　　）
A. （－∞，1） B. （－1，＋∞）
C. （－1，1） D. （－∞，－1）∪（1，＋∞）
解析：　∵直線 l 的傾斜角為銳角，∴斜率 k ＝ ＞0，∴－1＜ m
＜1.
題型三 直線傾斜角與斜率的應用
【例3】　（鏈接教科書第9頁習題8題）已知點 A （2，1）， B （－
2，2），若直線 l 過點 P 且總與線段 AB 有交點，求直線 l 的
斜率 k 的取值范圍.
解：當直線 l 由位置 PA 繞點 P 轉動到位置 PB 時， l 的斜率逐漸變大直
至當 l 垂直于 x 軸，當直線 l 垂直于 x 軸時，直線 l 斜率不存在，再轉動
時斜率為負值并逐漸變大直到 PB 的位置，
所以直線 l 的斜率 k ≥ kPA ＝ 或 k ≤ kPB ＝－ ，
即直線 l 的斜率 k 的取值范圍為 ∪ .
通性通法
1. 涉及直線與線段有交點問題常通過數形結合利用公式求解.
2. 求代數式 最值（范圍）的方法
由斜率公式 k ＝ 的形式，可知代數式 的幾何意義是過 P
（ x ， y ）與P'（ a ， b ）兩點的直線的斜率，故可以利用數形結合
來求解.
【跟蹤訓練】
　已知 A （2，3）， B （－1，2），若點 P （ x ， y ）在線段 AB 上，
則 的最大值為（　　）
A. 1
D. －3
解析：　 ＝ ，其幾何意義為過點（ x ， y ）與點（3，0）的直
線的斜率，設 Q （3，0），則 kAQ ＝ ＝－3， kBQ ＝ ＝－ ，
∵點 P （ x ， y ）是線段 AB 上的任意一點，∴ 的取值范圍是［－
3，－ ］，故 的最大值為－ ，故選C.
1. 已知直線 l 的傾斜角為1 rad，則 l 的斜率為（　　）
A. 1 B. 45°
C. tan 1 D. tan 1°
解析：　由題意知直線 l 的傾斜角為1 rad，則 l 的斜率為tan 1，故
選C.
2. 若直線 l 經過點 M （2，3）， N （4，3），則直線 l 的傾斜角為
（　　）
A. 0° B. 30°
C. 60° D. 90°
解析：　因為 M ， N 兩點的縱坐標相等，所以直線 l 平行于 x 軸，
所以直線 l 的傾斜角為0°.
3. 若經過 A （ m ，3）， B （1，2）兩點的直線的傾斜角為45°，則 m
＝（　　）
A. 2 B. 1
C. －1 D. －2
解析：　由題意知，tan 45°＝ ，得 m ＝2.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 已知直線 l 的斜率為1，則直線 l 的傾斜角為（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：　設直線 l 的傾斜角為α，則tan α＝1，故α＝45°.
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2. 如圖，直線 l1， l2， l3的傾斜角分別為α1，α2，α3，則（　　）
A. α1＜α2＜α3
B. α3＜α1＜α2
C. α3＜α2＜α1
D. α1＜α3＜α2
解析：　直線 l2， l3的傾斜角為銳角，且直線 l2的傾斜角大于直線
l3的傾斜角，直線 l1的傾斜角為鈍角，故α3＜α2＜α1.
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3. 若過兩點 M （3， y ）， N （0， ）的直線的傾斜角為 ，則 y 的
值為（　　）
A. 0
D. 3
解析：　由于直線 MN 的傾斜角為 ，則直線 MN 的斜率為 k ＝
tan ＝－ ，又因為 M （3， y ）， N （0， ），所以 k ＝
＝－ ，解得 y ＝－2 .故選B.
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4. （多選）下列命題中正確的是（　　）
A. 若一條直線的傾斜角為150°，則此直線關于 y 軸的對稱直線的傾
斜角為30°
B. 若α，2α，3α分別為三條直線的傾斜角，則α不大于60°
D. 若直線的傾斜角α的正切值無意義，則α＝90°
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解析：　作傾斜角為150°的直線關于 y 軸的對稱直線，所得
直線的傾斜角與原直線的傾斜角互補，故A正確；當α＝60°時，
3α＝180°，故B錯誤；由tan α＝－ 得到α＝150°，故C正
確；若直線的傾斜角α的正切值無意義，則α＝90°，故D正確.
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5. （多選）若經過兩點 A （1－ a ，1＋ a ）， B （3， a ）的直線的傾
斜角為鈍角，則實數 a 的值可能為（　　）
A. －2 B. 0
C. 1 D. 2
解析：　由題意得 kAB ＝ ＝ ＜0，即2＋ a ＞0，所以
a ＞－2，故選B、C、D.
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6. 若直線 l ： x ＝tan（－ ），則直線 l 的傾斜角是 　 　.
解析：由 l ： x ＝tan（－ ）可得 l ： x ＝－ ，故直線的傾斜角為
.

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解析：設直線 l 的傾斜角為α（0≤α＜π），因為直線 l 是第二、四
象限的角平分線，可得直線 l 的斜率為 k ＝－1，所以tan α＝－1，
可得α＝ .
　
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8. 一條直線 l 與 x 軸相交，其向上方向與 y 軸正方向所成的角為α
（0°＜α＜90°），則其傾斜角為 .
解析：如圖①，當 l 向上方向的部分在 y
軸左側時，傾斜角為90°＋α；如圖
②，當 l 向上方向的部分在 y 軸右側時，
傾斜角為90°－α.
90°＋α或90°－α　
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解析：因為 A ， B 兩點橫坐標不同，故傾斜角不為 ，由題意得tan
α＝ ＝1－ m2∈（－∞，1]，因為α∈[0，π），所以α∈
［0， ］∪（ ，π）.
［0， ］∪（ ，π）　
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10. 如圖所示，菱形 ABCD 中，∠ BAD ＝60°，求菱形 ABCD 各邊和
兩條對角線所在直線的傾斜角和斜率.
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解：菱形 ABCD 中，∠ BAD ＝60°，則△ ABD 和△ BCD 都是等邊
三角形，
則直線 AD ， BC 的傾斜角為60°，直線 AB ， DC 的傾斜角為
0°，直線 AC 的傾斜角為30°，直線 BD 的傾斜角為120°，
kAD ＝ kBC ＝ ， kAB ＝ kCD ＝0， kAC ＝ ， kBD ＝－ .
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11. 如圖，△ ABC 的頂點都在坐標軸上，直線 AB 的斜率為 ，直線 BC
的斜率為－ ，則tan∠ ABC ＝（　　）
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解析：　由題可得∠ ABC ＝∠ xCB －∠ xAB ，由 kAB ＝ ，得
tan∠ xAB ＝ ，由 kBC ＝－ ，得tan∠ xCB ＝－ ，∴tan∠ ABC ＝
tan（∠ xCB －∠ xAB ）＝ ＝ ＝－ .故選C.
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12. （多選）若兩直線 l1， l2的傾斜角分別為α，β，斜率分別為 k1，
k2，則下列四種說法中不正確的是（　　）
A. 若α＜β，則 k1＜ k2 B. 若α＝β，則 k1＝ k2
C. 若 k1＜ k2，則α＜β D. 若 k1＝ k2，則α＝β
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解析： 　由題意，兩直線 l1， l2的傾斜角分別為α，β，斜率
分別是 k1， k2，所以 k1＝tan α， k2＝tan β，且α，β∈[0，
π），根據正切函數在[0，π）上的定義域和單調性的關系可得，
對于A，若α為銳角，β為鈍角，此時 k1＞0＞ k2，所以A不正
確； 對于B，若α＝β＝ ，此時斜率不存在，所以B不正確；對
于C，若 k1＜0， k2＞0，此時α為鈍角，β為銳角，α＞β，所以
C不正確；對于D，若 k1＝ k2，此時α＝β，所以D正確.
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13. 若直線 l 的斜率為 m2－2 m ，則直線 l 的傾斜角的取值范圍為
.
解析：記直線 l 的傾斜角為α，斜率為 k ，則 k ＝（ m －1）2－1≥－1，即tan α≥－1，由正切函數圖象可得α∈［0， ）∪［ ，π）.
［0，
）∪［ ，π）　
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14. 已知兩點 A （－3，4）， B （3，2），過點 P （1，0）的直線 l 與
線段 AB 有公共點.
（1）求直線 l 的斜率 k 的取值范圍；
要使 l 與線段 AB 有公共點，則直線 l 的斜率 k 的取值范圍是（－∞，－1]∪[1，＋∞）.
解：如圖，由題意可知 kPA ＝ ＝－1，
kPB ＝ ＝1.
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（2）求直線 l 的傾斜角α的取值范圍.
解：由題意可知直線 l 的傾斜角介于直線 PB 與 PA 的傾斜角
之間，又 PB 的傾斜角是45°， PA 的傾斜角是135°，∴α
的取值范圍是45°≤α≤135°.
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15. 一束光線從點 A （－2，3）射入，經 x 軸上的點 P 反射后，通過點
B （5，7），求點 P 的坐標.
解：設 P （ x ，0），如圖，由光的反射原理
知，反射角等于入射角，則β＝α，
所以反射光線 PB 的傾斜角β與入射光線 PA 的
傾斜角（180°－α）互補.
因此 kAP ＝－ kBP ，即 ＝－ ，
解得 x ＝ .所以點 P 的坐標為（ ，0）.
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