資源簡介

1.2.1　直線的點斜式方程
1.（2024·鹽城月考）方程y＝k（x－2）表示（　　）
A.經過點（－2，0）的所有直線
B.經過點（2，0）的所有直線
C.經過點（2，0）且不垂直于x軸的所有直線
D.經過點（2，0）且除去x軸的所有直線
2.直線y－2＝－（x＋1）的傾斜角及在y軸上的截距分別為（　　）
A.60°，2　　　　　　　 B.120°，2－
C.60°，2－　　 D.120°，2
3.已知直線l過點（2，3），且傾斜角為90°，則直線l的方程為（　　）
A.y＝x＋1　　 B.y＝－x＋5
C.y＝3　　 D.x＝2
4.（2024·連云港月考）斜率是直線y＝x－2的斜率的2倍，且在y軸上的截距是－2的直線方程是（　　）
A.x＝－2　　 B.y＝x－2
C.y＝x＋2　　 D.y＝x＋2
5.若直線y＝ax＋b經過第一、二、三象限，則點（－a，－b）位于（　　）
A.第一象限　　 B.第二象限
C.第三象限　　 D.第四象限
6.（多選）在平面直角坐標系中，下列結論正確的有（　　）
A.每一條直線都有點斜式方程
B.方程k＝與方程y＋1＝k（x－2）可以表示同一條直線
C.直線l過點P0（x0，y0），傾斜角為90°，則其方程為x＝x0
D.直線l過點（2，0），傾斜角為45°，則其方程為y＝x－2
7.已知直線的點斜式方程是y－2＝x－1，那么此直線的傾斜角是　　　　.
8.不管k為何值，直線y＝k（x－2）＋3必過定點　　　　.
9.（2024·南通質檢）將直線y＝x＋－1繞它上面一點（1，）沿逆時針方向旋轉15°，得到的直線方程是　　　　.
10.求傾斜角是直線y＝－x＋1的傾斜角的，且分別滿足下列條件的直線方程：
（1）經過點（，－1）；
（2）在y軸上的截距是－5.
11.直線l經過點A（－1，1），在x軸上的截距的取值范圍是（－2，1），則其斜率的取值范圍為（　　）
A.（1，＋∞）
B.（－，1）
C.（－，0）∪（1，＋∞）
D.（－∞，－）∪（1，＋∞）
12.一次函數y＝－x＋的圖象經過第一、三、四象限的必要不充分條件是（　　）
A.m＞1，且n＜1　　 B.mn＜0
C.m＞0，且n＜0　　 D.m＜0，且n＜0
13.有一根蠟燭點燃6 min后，蠟燭長為17.4 cm；點燃21 min后，蠟燭長為8.4 cm.已知蠟燭長度l（cm）與燃燒時間t（min）可用直線方程表示，則這根蠟燭從點燃到燃盡共耗時　　　　 min.
14.已知直線l：y＝kx＋2k＋1.
（1）求證：直線l過定點；
（2）當－3＜x＜3時，直線上的點都在x軸上方，求實數k的取值范圍.
15.（2024·南通質檢）已知直線l過點（1，2）且在x，y軸上的截距相等.
（1）求直線l的方程；
（2）若直線l在x，y軸上的截距不為0，點P（a，b）在直線l上，求3a＋3b的最小值.
1.2.1　直線的點斜式方程
1.C　易驗證直線經過點（2，0），又直線斜率存在，故直線不垂直于x軸.
2.B　該直線的斜率為－，當x＝0時，y＝2－，∴其傾斜角為120°，在y軸上的截距為2－.
3.D　因為直線l過點（2，3），且傾斜角為90°，可知直線l與x軸垂直，所以直線l的方程為x＝2.故選D.
4.B　由方程知，已知直線的斜率為，所以所求直線的斜率是，由直線的斜截式可得方程為y＝x－2.
5.C　因為直線y＝ax＋b經過第一、二、三象限，所以a＞0，b＞0，所以（－a，－b）位于第三象限，故選C.
6.CD　點斜式方程不能表示斜率不存在的直線，故A錯誤；點（2，－1）不在方程k＝所表示的直線上，故B錯誤；C顯然正確；D中直線l的斜率k＝tan 45°＝1，由點斜式可得其方程為y－0＝x－2，即y＝x－2，故D正確.
7.45°　解析：由該直線的點斜式方程知，斜率k＝1，則tan α＝1，故傾斜角為45°.
8.（2，3）　解析：化為點斜式為y－3＝k（x－2），故直線必過定點（2，3）.
9.y＝x　解析：直線y＝x＋－1的傾斜角是45°，逆時針方向旋轉15°后傾斜角為60°，斜率是，則方程是y－＝（x－1），即y＝x.
10.解：∵直線y＝－x＋1的斜率k＝－，
∴其傾斜角α＝120°，
由題意，得所求直線的傾斜角α1＝α＝30°，
故所求直線的斜率k1＝tan 30°＝.
（1）∵所求直線經過點（，－1），斜率為，
∴所求直線方程是y＋1＝（x－）.
（2）∵所求直線的斜率是，在y軸上的截距為－5，
∴所求直線的方程為y＝x－5.
11.D　設直線的斜率為k，則直線方程為y－1＝k（x＋1），令y＝0，得x＝－－1，故直線在x軸上的截距為－－1，令－2＜－－1＜1，得k＞1 或k＜－，故選D.
12.B　由直線y＝－x＋經過第一、三、四象限，得－＞0，＜0，∴m＞0，n＜0.因此一次函數y＝－x＋的圖象經過第一、三、四象限的必要不充分條件為mn＜0.
13.35　解析：根據題意，不妨設直線方程為l＝kt＋b，則解得所以直線方程為l＝－0.6t＋21，當l＝0時，即－0.6t＋21＝0，得t＝35，所以這根蠟燭從點燃到燃盡共耗時35 min.
14.解：（1）證明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k（x＋2）.
由直線方程的點斜式可知，直線過定點（－2，1）.
（2）設函數f（x）＝kx＋2k＋1，顯然其圖象是一條直線，當－3＜x＜3時，直線上的點都在x軸上方，需滿足即
解得－≤k≤1.
所以實數k的取值范圍是{k｜－≤k≤1}.
15.解：（1）①當截距為0時，l：y＝2x；
②當截距不為0時，k＝－1，l：y－2＝－（x－1），
∴y＝－x＋3.
綜上，l的方程為2x－y＝0或x＋y－3＝0.
（2）由題意得l：x＋y－3＝0，∴a＋b＝3，
∴3a＋3b≥2＝2＝6，
當且僅當a＝b＝時，等號成立，
∴3a＋3b的最小值為6.
2 / 21.2.1　直線的點斜式方程
新課程標準解讀 核心素養
1.根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線的點斜式方程與斜截式方程 數學抽象、數學運算
2.會利用直線的點斜式方程與斜截式方程解決有關問題 數學抽象、數學運算
　　射擊手在進行射擊訓練時，要掌握兩個動作要領：一是托槍的手要非常穩，二是眼睛要瞄準目標的方向.若把子彈飛行的軌跡看作一條直線，并且射擊手達到了上述的兩個動作要求，結合教材，試從數學角度分析子彈是否會命中目標.
【問題】　（1）情境中托槍的手的位置相當于直線中哪個幾何要素？
（2）眼睛瞄準的方向對應的是哪個幾何要素？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　直線的點斜式與斜截式方程
名稱 條件 方程 圖形
點斜式 直線l經過點P1（x1，y1），斜率為k y－y1＝ 　　　
斜截式 直線l的斜率為k，且與y軸的交點為（0，b）（直線l與y軸的交點（0，b）的縱坐標b稱為直線l在y軸上的截距） y＝　 　
提醒　當直線l與x軸垂直時，斜率不存在，其方程不能用點斜式表示.
【想一想】
1.若直線的傾斜角為0°，且經過點P0（x0，y0），能用點斜式表示嗎？
2.直線與y軸的交點到原點的距離和直線在y軸上的截距是同一概念嗎？
3.直線的斜截式方程等同于一次函數的解析式嗎？
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）任何一條直線的方程都可以寫成點斜式y－y0＝k（x－x0）.（　　）
（2）x軸所在的直線方程為x＝0.（　　）
（3）直線在y軸上的截距不能等于0.（　　）
（4）直線的點斜式方程也可寫成＝k.（　　）
2.經過點（－2，2），傾斜角是60°的直線方程是（　　）
A.y＋2＝（x－2）　 B.y－2＝（x＋2）
C.y－2＝（x＋2）　　 D.y＋2＝（x－2）
3.已知直線的斜率是2，且在y軸上的截距是－3，則此直線的方程是（　　）
A.y＝2x－3　　 B.y＝2x＋3
C.y＝－2x－3　　 D.y＝－2x＋3
題型一 直線的點斜式方程
【例1】　（鏈接教科書第12頁例1）寫出下列直線的點斜式方程：
（1）經過點（2，5），傾斜角為45°；
（2）直線y＝x＋1繞著其上一點P（3，4）逆時針旋轉90°后得直線l，求直線l的點斜式方程；
（3）經過點D（1，1），且與x軸垂直.
通性通法
求直線的點斜式方程的思路
【跟蹤訓練】
已知在第一象限的△ABC中，A（1，1），B（5，1），A＝60°，B＝45°，求：
（1）AB邊所在直線的方程；
（2）AC邊與BC邊所在直線的點斜式方程.
題型二 直線的斜截式方程
【例2】　（鏈接教科書第12頁例2）根據條件寫出下列直線的斜截式方程：
（1）斜率為2，在y軸上的截距是5；
（2）傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2；
（3）傾斜角為60°，與y軸的交點到坐標原點的距離為3.
通性通法
對直線斜截式方程的理解
（1）斜截式是點斜式的一種特殊情形，即斜率為k的直線過點（0，b）；
（2）直線在y（x）軸上的截距不是距離，它是直線與y（x）軸交點的縱（橫）坐標，所以可取一切實數，即可為正數、零或負數；
（3）求直線的斜截式方程，只要確定直線的斜率和截距即可.
【跟蹤訓練】
根據條件寫出下列直線的斜截式方程：
（1）過點A（－1，－2），B（0，3）；
（2）在y軸上的截距為－6，且與y軸夾角為60°.
題型三 直線點斜式方程的應用
【例3】　（鏈接教科書第20頁習題12題）（1）已知直線y－1＝k（x－3），當k變化時，所有的直線恒過定點（　　）
A.（1，3）　　B.（－1，－3）
C.（3，1）　　D.（－3，－1）
（2）已知直線l：y－1＝k（x－4）經過點P（4，1），且與兩坐標軸在第一象限圍成的三角形的面積為8，則k＝　　　　.
通性通法
1.解含參數的直線恒過定點問題，可將直線方程整理成y－y0＝k（x－x0）的形式，則表示的直線必過定點（x0，y0）.
2.在求面積時，要注意將截距轉化為距離.
【跟蹤訓練】
1.直線y＝kx＋b經過第一、三、四象限，則有（　　）
A.k＞0，b＞0　　 B.k＞0，b＜0
C.k＜0，b＞0　　 D.k＜0，b＜0
2.若y＝a｜x｜與y＝x＋a（a＞0）有兩個公共點，則a的取值范圍是（　　）
A.a＞1　　 B.0＜a＜1
C.a＝1　　 D.0＜a≤1
1.（2024·徐州質檢）直線y＝－3x－6的斜率為k，在y軸上的截距為b，則（　　）
A.k＝3，b＝6　　 B.k＝－3，b＝－6
C.k＝－3，b＝6　　 D.k＝3，b＝－6
2.已知直線的傾斜角為120°，在y軸上的截距為2，則此直線的方程為（　　）
A.y＝x＋2　　 B.y＝－x＋2
C.y＝－x－2　　 D.y＝x－2
3.已知直線的傾斜角是45°，且過點（2，－5），則直線在y軸上的截距是　　　　.
4.已知直線l1：y＝－2x＋3.直線l2過點P（1，2），且它的斜率與直線l1的斜率相等.寫出直線l2的方程，并在同一直角坐標系中畫出直線l1和l2.
1.2.1　直線的點斜式方程
【基礎知識·重落實】
知識點
k（x－x1）　kx＋b
想一想
1.提示：能.
2.提示：不是同一概念，距離非負，而截距可正，可負，可為0.
3.提示：不一定.當k≠0時，y＝kx＋b即為一次函數，當k＝0時，y＝b不是一次函數.
自我診斷
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）×
2.B　因為直線的傾斜角為60°，所以其斜率為tan 60°＝，又經過點（－2，2），則所求直線方程為y－2＝（x＋2），故選B.
3.A　根據直線的斜截式方程得，直線方程為y＝2x－3.故選A.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）因為傾斜角為45°，
所以斜率k＝tan 45°＝1，
所以直線的方程為y－5＝x－2.
（2）直線y＝x＋1的斜率k＝1，所以傾斜角為45°.
由題意知，直線l的傾斜角為135°，
所以直線l的斜率k'＝tan 135°＝－1.
所以直線l的方程為y－4＝－（x－3）.
（3）由題意知，直線的斜率不存在，所以直線的方程為x＝1，該直線無點斜式方程.
跟蹤訓練
　解：（1）如圖所示，因為A（1，1），B（5，1），所以AB∥x軸，
所以AB邊所在直線的方程為y＝1.
（2）因為A＝60°，所以kAC＝tan 60°＝，
所以直線AC的點斜式方程為y－1＝（x－1）.
因為B＝45°，所以kBC＝tan 135°＝－1，
所以直線BC的點斜式方程為y－1＝－（x－5）.
【例2】　解：（1）由直線方程的斜截式可知，所求直線方程為y＝2x＋5.
（2）由于直線的傾斜角為150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得方程為y＝－x－2.
（3）由于直線的傾斜角為60°，所以斜率k＝tan 60°＝.由于直線與y軸的交點到坐標原點的距離為3，所以直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3，故所求直線方程為y＝x＋3或y＝x－3.
跟蹤訓練
　解：（1）斜率k＝＝5，又B（0，3），故過點A，B的直線的斜截式方程為y＝5x＋3.
（2）與y軸夾角為60°的直線的傾斜角為30°或150°，所以斜率k為tan 30°或tan 150°，即k＝±，故所求直線的斜截式方程為y＝±x－6.
【例3】　（1）C　（2）－　解析：（1）直線y－1＝k（x－3），由點斜式方程可知不論k取何值它所表示的所有的直線都恒過定點（3，1）.故選C.
（2）由題意易知k＜0，當x＝0時，y＝1－4k＞0；當y＝0時，x＝4－＞0.則×（1－4k）×（4－）＝8，解得k＝－.
跟蹤訓練
1.B　∵直線經過第一、三、四象限，∴圖形如圖所示，由圖知，k＞0，b＜0.
2.A　y＝x＋a（a＞0）表示斜率為1，在y軸上的截距為a（a＞0）的直線，y＝a｜x｜表示關于y軸對稱的兩條射線.所以當0＜a≤1時，只有一個公共點，如圖①；當a＞1時，有兩個公共點，如圖②.
隨堂檢測
1.B
2.B　∵直線的傾斜角α＝120°，∴直線的斜率k＝tan 120°＝－，∴直線的方程為y＝－x＋2.
3.－7　解析：直線的傾斜角是45°，且過點（2，－5），所以斜率為tan 45°＝1，故直線的方程為y＋5＝x－2，所以直線在y軸上的截距為－7.
4.解：因為直線l1：y＝－2x＋3的斜率為＝－2，直線l2的斜率與直線l1的斜率相等，
所以直線l2的斜率＝－2，
因為直線l2過點P（1，2），
所以直線l2的方程為y－2＝－2（x－1），即2x＋y－4＝0，
直線l1，l2在坐標軸中的圖形如圖.
3 / 3(共53張PPT)
1.2.1　直線的點斜式方程
新課程標準解讀 核心素養
1.根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線
的點斜式方程與斜截式方程 數學抽象、數
學運算
2.會利用直線的點斜式方程與斜截式方程解決有關
問題 數學抽象、數
學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　射擊手在進行射擊訓練時，要掌握兩個動作要領：一是托槍的手
要非常穩，二是眼睛要瞄準目標的方向.若把子彈飛行的軌跡看作一
條直線，并且射擊手達到了上述的兩個動作要求，結合教材，試從數
學角度分析子彈是否會命中目標.
【問題】　（1）情境中托槍的手的位置相當于直線中哪個幾何要
素？
（2）眼睛瞄準的方向對應的是哪個幾何要素？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　直線的點斜式與斜截式方程
名稱 條件 方程 圖形
點斜
式 直線 l 經過點 P1（ x1， y1），斜率為 k y － y1＝

斜截
式 直線 l 的斜率為 k ，且與 y 軸的交點為（0， b ）（直線 l 與 y 軸的交點（0， b ）的縱坐標 b 稱為直線 l 在 y 軸上的截距） y ＝
k （ x －
x1）　
kx ＋ b 　
提醒　當直線 l 與 x 軸垂直時，斜率不存在，其方程不能用點斜式
表示.
【想一想】
1. 若直線的傾斜角為0°，且經過點 P0（ x0， y0），能用點斜式
表示嗎？
提示：能.
2. 直線與 y 軸的交點到原點的距離和直線在 y 軸上的截距是同一概
念嗎？
提示：不是同一概念，距離非負，而截距可正，可負，可為0.
3. 直線的斜截式方程等同于一次函數的解析式嗎？
提示：不一定.當 k ≠0時， y ＝ kx ＋ b 即為一次函數，當 k ＝0時， y
＝ b 不是一次函數.
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）任何一條直線的方程都可以寫成點斜式 y － y0＝ k （ x － x0）.
（　×　）
（2） x 軸所在的直線方程為 x ＝0. （　×　）
（3）直線在 y 軸上的截距不能等于0. （　×　）
（4）直線的點斜式方程也可寫成 ＝ k . （　×　）
×
×
×
×
2. 經過點（－2，2），傾斜角是60°的直線方程是（　　）
解析：　因為直線的傾斜角為60°，所以其斜率為tan 60°＝
，又經過點（－2，2），則所求直線方程為 y －2＝ （ x ＋
2），故選B.
3. 已知直線的斜率是2，且在 y 軸上的截距是－3，則此直線的方程是
（　　）
A. y ＝2 x －3 B. y ＝2 x ＋3
C. y ＝－2 x －3 D. y ＝－2 x ＋3
解析：　根據直線的斜截式方程得，直線方程為 y ＝2 x －3.
故選A.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 直線的點斜式方程
【例1】　（鏈接教科書第12頁例1）寫出下列直線的點斜式方程：
（1）經過點（2，5），傾斜角為45°；
解：因為傾斜角為45°，
所以斜率 k ＝tan 45°＝1，
所以直線的方程為 y －5＝ x －2.
（2）直線 y ＝ x ＋1繞著其上一點 P （3，4）逆時針旋轉90°后得直線
l ，求直線 l 的點斜式方程；
解：直線 y ＝ x ＋1的斜率 k ＝1，
所以傾斜角為45°.
由題意知，直線 l 的傾斜角為135°，
所以直線 l 的斜率k'＝tan 135°＝－1.
所以直線 l 的方程為 y －4＝－（ x －3）.
（3）經過點 D （1，1），且與 x 軸垂直.
解：由題意知，直線的斜率不存在，所以直線的方程為 x
＝1，該直線無點斜式方程.
通性通法
求直線的點斜式方程的思路
【跟蹤訓練】
已知在第一象限的△ ABC 中， A （1，1）， B （5，1）， A ＝60°， B
＝45°，求：
（1） AB 邊所在直線的方程；
解：如圖所示，因為 A （1，1）， B （5，
1），所以 AB ∥ x 軸，
所以 AB 邊所在直線的方程為 y ＝1.
（2） AC 邊與 BC 邊所在直線的點斜式方程.
解：因為 A ＝60°，所以 kAC ＝tan 60°＝ ，
所以直線 AC 的點斜式方程為 y －1＝ （ x －1）.
因為 B ＝45°，所以 kBC ＝tan 135°＝－1，
所以直線 BC 的點斜式方程為 y －1＝－（ x －5）.
題型二 直線的斜截式方程
【例2】　（鏈接教科書第12頁例2）根據條件寫出下列直線的斜截式
方程：
（1）斜率為2，在 y 軸上的截距是5；
解：由直線方程的斜截式可知，所求直線方程為 y ＝2 x＋5.
（2）傾斜角為150°，在 y 軸上的截距是－2；
解：由于直線的傾斜角為150°，所以斜率 k ＝tan 150°＝
－ ，由斜截式可得方程為 y ＝－ x －2.
（3）傾斜角為60°，與 y 軸的交點到坐標原點的距離為3.
解：由于直線的傾斜角為60°，所以斜率 k ＝tan 60°＝
.由于直線與 y 軸的交點到坐標原點的距離為3，所以直線在 y
軸上的截距 b ＝3或 b ＝－3，故所求直線方程為 y ＝ x ＋3或 y
＝ x －3.
通性通法
對直線斜截式方程的理解
（1）斜截式是點斜式的一種特殊情形，即斜率為 k 的直線過點（0，
b ）；
（2）直線在 y （ x ）軸上的截距不是距離，它是直線與 y （ x ）軸
交點的縱（橫）坐標，所以可取一切實數，即可為正數、零
或負數；
（3）求直線的斜截式方程，只要確定直線的斜率和截距即可.
【跟蹤訓練】
根據條件寫出下列直線的斜截式方程：
（1）過點 A （－1，－2）， B （0，3）；
解：斜率 k ＝ ＝5，又 B （0，3），故過點 A ， B 的直
線的斜截式方程為 y ＝5 x ＋3.
（2）在 y 軸上的截距為－6，且與 y 軸夾角為60°.
解：與 y 軸夾角為60°的直線的傾斜角為30°或150°，所
以斜率 k 為tan 30°或tan 150°，即 k ＝± ，故所求直線的斜
截式方程為 y ＝± x －6.
題型三 直線點斜式方程的應用
【例3】　（鏈接教科書第20頁習題12題）（1）已知直線 y －1＝ k
（ x －3），當 k 變化時，所有的直線恒過定點（　C　）
A. （1，3） B. （－1，－3）
C. （3，1） D. （－3，－1）
解析：直線 y －1＝ k （ x －3），由點斜式方程可知不論 k 取何值它所
表示的所有的直線都恒過定點（3，1）.故選C.
（2）已知直線 l ： y －1＝ k （ x －4）經過點 P （4，1），且與兩坐標
軸在第一象限圍成的三角形的面積為8，則 k ＝ .
解析：由題意易知 k ＜0，當 x ＝0時， y ＝1－4 k ＞0；當 y ＝0
時， x ＝4－ ＞0.則 ×（1－4 k ）×（4－ ）＝8，解得 k ＝－ .
－
通性通法
1. 解含參數的直線恒過定點問題，可將直線方程整理成 y － y0＝ k （ x
－ x0）的形式，則表示的直線必過定點（ x0， y0）.
2. 在求面積時，要注意將截距轉化為距離.
【跟蹤訓練】
1. 直線 y ＝ kx ＋ b 經過第一、三、四象限，則有（　　）
A. k ＞0， b ＞0 B. k ＞0， b ＜0
C. k ＜0， b ＞0 D. k ＜0， b ＜0
解析：　∵直線經過第一、三、四象限，∴圖形
如圖所示，由圖知， k ＞0， b ＜0.
2. 若 y ＝ a ｜ x ｜與 y ＝ x ＋ a （ a ＞0）有兩個公共點，則 a 的取值范
圍是（　　）
A. a ＞1 B. 0＜ a ＜1
C. a ＝1 D. 0＜ a ≤1
解析：A　 y ＝ x ＋ a （ a ＞0）表
示斜率為1，在 y 軸上的截距為 a
（ a ＞0）的直線， y ＝ a ｜ x ｜表
示關于 y 軸對稱的兩條射線.所以當0＜ a ≤1時，只有一個公共點，如圖①；當 a ＞1時，有兩個公共點，如圖②.
1. （2024·徐州質檢）直線 y ＝－3 x －6的斜率為 k ，在 y 軸上的截距為
b ，則（　　）
A. k ＝3， b ＝6 B. k ＝－3， b ＝－6
C. k ＝－3， b ＝6 D. k ＝3， b ＝－6
2. 已知直線的傾斜角為120°，在 y 軸上的截距為2，則此直線的方程
為（　　）
解析：　∵直線的傾斜角α＝120°，∴直線的斜率 k ＝tan 120°
＝－ ，∴直線的方程為 y ＝－ x ＋2.
3. 已知直線的傾斜角是45°，且過點（2，－5），則直線在 y 軸上的
截距是 .
解析：直線的傾斜角是45°，且過點（2，－5），所以斜率為tan
45°＝1，故直線的方程為 y ＋5＝ x －2，所以直線在 y 軸上的截距
為－7.
－7　
4. 已知直線 l1： y ＝－2 x ＋3.直線 l2過點 P （1，2），且它的斜率與
直線 l1的斜率相等.寫出直線 l2的方程，并在同一直角坐標系中畫出
直線 l1和 l2.
解：因為直線 l1： y ＝－2 x ＋3的斜率為 ＝－2，
直線 l2的斜率與直線 l1的斜率相等，
所以直線 l2的斜率 ＝－2，
因為直線 l2過點 P （1，2），
所以直線 l2的方程為 y －2＝－2（ x －1），即2 x ＋
y －4＝0，
直線 l1， l2在坐標軸中的圖形如圖.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. （2024·鹽城月考）方程 y ＝ k （ x －2）表示（　　）
A. 經過點（－2，0）的所有直線
B. 經過點（2，0）的所有直線
C. 經過點（2，0）且不垂直于 x 軸的所有直線
D. 經過點（2，0）且除去 x 軸的所有直線
解析：　易驗證直線經過點（2，0），又直線斜率存在，故直線
不垂直于 x 軸.
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2. 直線 y －2＝－ （ x ＋1）的傾斜角及在 y 軸上的截距分別為
（　　）
A. 60°，2
D. 120°，2
解析：　該直線的斜率為－ ，當 x ＝0時， y ＝2－ ，∴其傾
斜角為120°，在 y 軸上的截距為2－ .
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3. 已知直線 l 過點（2，3），且傾斜角為90°，則直線 l 的方程為
（　　）
A. y ＝ x ＋1 B. y ＝－ x ＋5
C. y ＝3 D. x ＝2
解析：　因為直線 l 過點（2，3），且傾斜角為90°，可知直線 l
與 x 軸垂直，所以直線 l 的方程為 x ＝2.故選D.
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4. （2024·連云港月考）斜率是直線 y ＝ x －2的斜率的2倍，且在 y
軸上的截距是－2的直線方程是（　　）
A. x ＝－2
C. y ＝ x ＋2
解析：　由方程知，已知直線的斜率為 ，所以所求直線的斜率
是 ，由直線的斜截式可得方程為 y ＝ x －2.
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5. 若直線 y ＝ ax ＋ b 經過第一、二、三象限，則點（－ a ，－ b ）位于
（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　因為直線 y ＝ ax ＋ b 經過第一、二、三象限，所以 a ＞
0， b ＞0，所以（－ a ，－ b ）位于第三象限，故選C.
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6. （多選）在平面直角坐標系中，下列結論正確的有（　　）
A. 每一條直線都有點斜式方程
C. 直線 l 過點 P0（ x0， y0），傾斜角為90°，則其方程為 x ＝ x0
D. 直線 l 過點（2，0），傾斜角為45°，則其方程為 y ＝ x －2
解析：點斜式方程不能表示斜率不存在的直線，故A錯誤；點
（2，－1）不在方程 k ＝ 所表示的直線上，故B錯誤；C顯然正
確；D中直線 l 的斜率 k ＝tan 45°＝1，由點斜式可得其方程為 y －0
＝ x －2，即 y ＝ x －2，故D正確.
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7. 已知直線的點斜式方程是 y －2＝ x －1，那么此直線的傾斜角
是 .
解析：由該直線的點斜式方程知，斜率 k ＝1，則tan α＝1，故傾
斜角為45°.
45°　
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8. 不管 k 為何值，直線 y ＝ k （ x －2）＋3必過定點 .
解析：化為點斜式為 y －3＝ k （ x －2），故直線必過定點（2，
3）.
（2，3）　
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9. （2024·南通質檢）將直線 y ＝ x ＋ －1繞它上面一點（1， ）
沿逆時針方向旋轉15°，得到的直線方程是 .
解析：直線 y ＝ x ＋ －1的傾斜角是45°，逆時針方向旋轉15°
后傾斜角為60°，斜率是 ，則方程是 y － ＝ （ x －1），
即 y ＝ x .
y ＝ x 　
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10. 求傾斜角是直線 y ＝－ x ＋1的傾斜角的 ，且分別滿足下列條
件的直線方程：
（1）經過點（ ，－1）；
解：∵直線 y ＝－ x ＋1的斜率 k ＝－ ，
∴其傾斜角α＝120°，
由題意，得所求直線的傾斜角α1＝ α＝30°，
故所求直線的斜率 k1＝tan 30°＝ .
∵所求直線經過點（ ，－1），斜率為 ，
∴所求直線方程是 y ＋1＝ （ x － ）.
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（2）在 y 軸上的截距是－5.
解： ∵所求直線的斜率是 ，在 y 軸上的截距為－5，
∴所求直線的方程為 y ＝ x －5.
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11. 直線 l 經過點 A （－1，1），在 x 軸上的截距的取值范圍是（－2，
1），則其斜率的取值范圍為（　　）
A. （1，＋∞）
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解析：　設直線的斜率為 k ，則直線方程為 y －1＝ k （ x ＋1），
令 y ＝0，得 x ＝－ －1，故直線在 x 軸上的截距為－ －1，令－2
＜－ －1＜1，得 k ＞1 或 k ＜－ ，故選D.
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12. 一次函數 y ＝－ x ＋ 的圖象經過第一、三、四象限的必要不充
分條件是（　　）
A. m ＞1，且 n ＜1 B. mn ＜0
C. m ＞0，且 n ＜0 D. m ＜0，且 n ＜0
解析：　由直線 y ＝－ x ＋ 經過第一、三、四象限，得－ ＞
0， ＜0，∴ m ＞0， n ＜0.因此一次函數 y ＝－ x ＋ 的圖象經
過第一、三、四象限的必要不充分條件為 mn ＜0.
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13. 有一根蠟燭點燃6 min后，蠟燭長為17.4 cm；點燃21 min后，蠟燭
長為8.4 cm.已知蠟燭長度 l （cm）與燃燒時間 t （min）可用直線
方程表示，則這根蠟燭從點燃到燃盡共耗時 min.
解析：根據題意，不妨設直線方程為 l ＝ kt ＋ b ，則
解得所以直線方程為 l ＝－0.6 t ＋
21，當 l ＝0時，即－0.6 t ＋21＝0，得 t ＝35，所以這根蠟燭從點
燃到燃盡共耗時35 min.
35　
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14. 已知直線 l ： y ＝ kx ＋2 k ＋1.
（1）求證：直線 l 過定點；
解：證明：由 y ＝ kx ＋2 k ＋1，得 y －1＝ k （ x ＋2）.
由直線方程的點斜式可知，
直線過定點（－2，1）.
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（2）當－3＜ x ＜3時，直線上的點都在 x 軸上方，求實數 k 的取值
范圍.
解：設函數 f （ x ）＝ kx ＋2 k ＋1，
顯然其圖象是一條直線，當－3＜ x ＜3時，直線上的點都在
x 軸上方，
需滿足即
解得－ ≤ k ≤1.
所以實數 k 的取值范圍是 .
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15. （2024·南通質檢）已知直線 l 過點（1，2）且在 x ， y 軸上的截距
相等.
（1）求直線 l 的方程；
解：①當截距為0時， l ： y ＝2 x ；
②當截距不為0時， k ＝－1， l ： y －2＝－（ x －1），
∴ y ＝－ x ＋3.
綜上， l 的方程為2 x － y ＝0或 x ＋ y －3＝0.
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（2）若直線 l 在 x ， y 軸上的截距不為0，點 P （ a ， b ）在直線 l
上，求3 a ＋3 b 的最小值.
解：由題意得 l ： x ＋ y －3＝0，∴ a ＋ b ＝3，
∴3 a ＋3 b ≥2 ＝2 ＝6 ，
當且僅當 a ＝ b ＝ 時，等號成立，
∴3 a ＋3 b 的最小值為6 .
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謝 謝 觀 看！

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