資源簡介

1.3　兩條直線的平行與垂直
新課程標準解讀 核心素養
能根據斜率判定兩條直線平行或垂直 數學運算、邏輯推理
第1課時　兩條直線平行
如圖所示是人們平常所說的飛機拉煙，每一道拉煙之間有怎樣的位置關系？
【問題】　（1）在平面直角坐標中，若l1∥l2，則它們的傾斜角α1與α2有什么關系？
（2）若l1∥l2，則l1，l2的斜率相等嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　兩條不重合直線平行的判定
類型 斜率存在 斜率不存在
前提條件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
對應關系 l1∥l2 　　　 l1∥l2 兩直線斜率 都不存在
圖示
提醒　l1∥l2 k1＝k2成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②l1與l2不重合.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）若直線l1與l2傾斜角相等，則l1∥l2.（　?。?br/>（2）若兩條直線的斜率不相等，則兩直線不平行.（　?。?br/>（3）若兩直線斜率相等，則兩直線平行.（　?。?br/>（4）若兩直線平行，則兩直線斜率相等.（　　）
2.下列與直線4x－y－2＝0平行的直線的方程是（　?。?br/>A.4x－y－4＝0
B.4x＋y－2＝0
C.x－4y－2＝0
D.x＋4y＋2＝0
3.若直線ax＋y＋1＝0與直線4x＋ay＋2＝0平行，則a＝　　　　.
題型一 兩條直線平行的判定
【例1】　（鏈接教科書第23頁例2、練習1題）判斷下列各題中的直線l1與l2是否平行：
（1）l1經過點A（－1，－2），B（2，1），l2經過點M（3，4），N（－1，－1）；
（2）l1經過點A（－3，2），B（－3，10），l2經過點M（5，－2），N（5，5）；
（3）l1：y＝2x＋2，l2：y＝2x＋1；
（4）l1：－x＋y－3＝0，l2：－x＋y＋2＝0.
通性通法
1.判斷兩條不重合的直線是否平行的方法
2.已知直線的一般式方程判斷兩直線平行除常用方法外，也可以通過以下方法進行判定：
設直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0：
（1）若l1∥l2 ＝≠（A2，B2，C2均不為零）；
（2）若l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0（或A1C2－A2C1≠0）.
【跟蹤訓練】
　判斷下列各題中的直線l1與l2是否平行：
（1）l1的斜率為1，l2經過點A（1，1），B（2，2）；
（2）l1經過點A（0，1），B（1，0），l2經過點M（－1，3），N（2，0）；
（3）l1：3x－6y＋3＝0，l2：2x－4y＋2＝0.
題型二 求與已知直線平行的直線方程
【例2】?。ㄦ溄咏炭茣?3頁例3）求與直線3x＋4y＋1＝0平行，且過點（1，2）的直線l的方程.
通性通法
　　求與已知直線平行的直線方程可以求點斜式方程，也可以先設成與已知直線平行的直線系的一般式方程，即與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程為Ax＋By＋m＝0（m≠C），再用待定系數法求方程.
【跟蹤訓練】
1.已知直線l過點（0，7），且與直線y＝－4x＋2平行，則直線l的方程為（　　）
A.y＝－4x－7　　　　　 B.y＝4x－7
C.y＝4x＋7　　 D.y＝－4x＋7
2.已知A（0，－2），B（3，1），C（－2，2）三點，直線l過點B且與直線AC平行，則直線l的方程為　　　　.
題型三 兩條直線平行的應用
【例3】?。?）已知兩條直線l1：（a－1）x＋2y＋1＝0與l2：x＋ay＋1＝0平行，則a＝（　?。?br/>A.－1　　 B.2
C.0或－2　　 D.－1或2
（2）已知四邊形ABCD的四個頂點的坐標分別為A（－1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1）.求證：四邊形ABCD是梯形.
通性通法
1.利用兩直線平行判定平面圖形的形狀一般要運用數形結合的思想方法，先由圖形作出猜測，然后利用直線的斜率進行判定.
2.利用兩直線平行求參數，可利用兩直線平行的性質進行求解，要特別注意斜率不存在的情況；也可先將方程化為一般式，由兩直線平行時系數的關系列出式子求解.
【跟蹤訓練】
如圖所示，已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A（0，0），B（2，－1），C（4，2），D（2，3），試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明.
1.已知直線l1的傾斜角為30°，又l1∥l2，則直線l2的斜率為（　?。?br/>A.　　B.－　　C.　　D.－
2.已知直線l1經過點A（0，－1）和點B，直線l2經過點M（1，1）和點N（0，－2），若l1與l2沒有公共點，則實數a＝　　　　.
3.根據下列給定的條件，判斷直線l1與直線l2是否平行：
（1）l1經過點A（2，3），B（－4，0），l2經過點M（－3，1），N（－2，2）；
（2）l1的斜率為－，l2經過點A（4，2），B（2，3）；
（3）l1：x＋y－1＝0，l2：x＋2y＋1＝0.
第1課時　兩條直線平行
【基礎知識·重落實】
知識點
k1＝k2　
自我診斷
1.（1）×?。?）√?。?）×?。?）×
2.A　直線4x－y－2＝0斜率為4，縱截距為－2，A選項：直線斜率為4，縱截距為－4，符合；B選項：直線斜率為－4，縱截距為2，不符合；C選項：直線斜率為，縱截距為－，不符合；D選項：直線斜率為－，縱截距為－，不符合.故選A.
3.－2　解析：因為直線ax＋y＋1＝0與直線4x＋ay＋2＝0平行，則兩直線的斜率相等且在y軸上的截距不等，即解得a＝－2.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，故l1與l2不平行.
（2）由已知點的坐標，得l1與l2均與x軸垂直且不重合，故l1∥l2.
（3）由直線l1，l2的方程知，k1＝2，k2＝2，k1＝k2，又兩直線不重合，所以l1∥l2.
（4）法一　由直線l1，l2的方程知，k1＝1，k2＝1，k1＝k2，又直線l1，l2不重合，所以l1∥l2.
法二　由＝≠，故直線l1∥l2.
法三　由故直線l1∥l2.
跟蹤訓練
　解：（1）k1＝1，k2＝＝1，雖然k1＝k2，但兩直線可能重合.
故l1∥l2或l1與l2重合.
（2）k1＝＝－1，k2＝＝－1，k1＝k2.
又kAM＝＝－2≠－1，
則A，B，M不共線，故l1∥l2.
（3）由＝＝，可知直線l1與l2重合.
【例2】　解：法一　設直線l的斜率為k，
∵直線l與直線3x＋4y＋1＝0平行，
∴k＝－，
又∵直線l經過點（1，2），
∴所求直線的方程為y－2＝－（x－1），
即3x＋4y－11＝0.
法二　設與直線3x＋4y＋1＝0平行的直線l的方程為3x＋4y＋m＝0（m≠1）.
∵直線l經過點（1，2），
∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11，
∴所求直線的方程為3x＋4y－11＝0.
跟蹤訓練
1.D　過點（0，7）且與直線y＝－4x＋2平行的直線方程為y－7＝－4x，即直線l的方程為y＝－4x＋7.
2.2x＋y－7＝0　解析：由題意可知kAC＝＝－2，則kl＝－2，又直線l過點B，∴直線l的方程為y－1＝－2（x－3），即2x＋y－7＝0.
【例3】　（1）A　法一　由題知，兩條直線l1：（a－1）x＋2y＋1＝0與l2：x＋ay＋1＝0平行，則a（a－1）＝2，解得a＝－1或a＝2.當a＝－1時，直線l1：－2x＋2y＋1＝0與l2：x－y＋1＝0平行；當a＝2時，直線l1：x＋2y＋1＝0與l2：x＋2y＋1＝0重合（舍去）.綜上，a＝－1.故選A.
法二　因為兩直線平行且x，y前的系數不為0，所以＝≠，解得a＝－1.故選A.
（2）證明：由A（－1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），
則kAB＝＝，kCD＝＝，
∴kAB＝kCD，從而AB∥CD.
又∵BC所在直線垂直于x軸（斜率不存在），而kAD＝＝－.可得直線BC與AD不平行.
∴四邊形ABCD是梯形.
跟蹤訓練
　解：四邊形ABCD是平行四邊形.由已知可得AB邊所在直線的斜率kAB＝＝－，
CD邊所在直線的斜率kCD＝＝－，
BC邊所在直線的斜率kBC＝＝，
DA邊所在直線的斜率kDA＝＝.
所以kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以AB∥CD，BC∥DA.
因此四邊形ABCD是平行四邊形.
隨堂檢測
1.C　因為l1∥l2，所以＝＝tan 30°＝.
2.－6　解析：由題意得l1∥l2，∴kAB＝kMN.∵kAB＝＝－，kMN＝＝3，∴－＝3，∴a＝－6.
3.解：（1）kAB＝＝，kMN＝＝1，kAB≠kMN，所以l1與l2不平行.
（2）l1的斜率k1＝－，l2的斜率k2＝＝－，k1＝k2，所以l1與l2平行或重合.
（3）由＝≠，故直線l1∥l2.
3 / 3第1課時　兩條直線平行
1.已知過點A（2，5）和點B（－4，5）的直線與直線y＝3，則下列說法正確的是（　　）
A.兩直線的斜率均不存在
B.兩直線平行
C.兩直線重合
D.兩直線在y軸上的截距相等
2.已知過點A（－2，m）和點B（m，4）的直線與斜率為－2的直線平行，則m＝（　?。?br/>A.－8　　 B.0
C.2　　 D.10
3.過點（5，0）且與x＋2y－2＝0平行的直線方程是（　?。?br/>A.2x＋y＋5＝0
B.2x＋y－5＝0
C.x＋2y－5＝0
D.x＋2y＋5＝0
4.直線l1的斜率為2，l1∥l2，直線l2過點（－1，1）且與y軸交于點P，則P點坐標為（　?。?br/>A.（3，0）　　 B.（－3，0）
C.（0，－3）　　 D.（0，3）
5.（多選）下列各直線中，與直線2x－y－3＝0平行的是（　?。?br/>A.2ax－ay＋6＝0（a≠0，a≠－2）
B.y＝2x
C.2x－y＋5＝0
D.2x＋y－3＝0
6.過點P（0，1）且與直線x＋y＝0平行的直線的方程為　　　　.
7.已知直線l1的斜率是2，直線l2過點A（－1，－2），B（x，6），且l1∥l2，則lox＝　　　　.
8.已知過點A（m＋1，0），B（－5，m）的直線與過點C（－4，3），D（0，5）的直線平行，則m＝　　　　.
9.直線l過點（－2，2）且與直線x＋2y＝0平行，則直線l與x，y軸圍成的三角形面積為　　　　.
10.當m為何值時，過兩點A（1，1），B（2m2＋1，m－2）的直線：
（1）傾斜角為135°；
（2）與過兩點（2，－3），（－4，9）的直線平行.
11.張老師不僅喜歡打羽毛球，還喜歡玩折紙游戲，他將一張畫了直角坐標系（兩坐標軸單位長度相同）的紙折疊一次，使點（2，0）與點（－2，4）重合，點（2 024，2 025）與點（a，b）重合，則a＋b＝（　?。?br/>A.4 046　　　　　　　　 B.4 047
C.4 048　　 D.4 049
12.若直線l1：m2x＋y＋3＝0和直線l2：3mx＋（m－2）y＋m＝0平行，則m＝　　　　.
13.已知兩條直線的斜率分別為和－，若這兩條直線互相平行，則實數a的最大值為　　　　.
14.已知A（1，3），B（5，1），C（3，7），A，B，C，D四點構成的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標.
15.在平面直角坐標系中，已知直線l1：ax＋by＋1＝0，l2：（a－2）x＋y＋a＝0.
（1）求直線l2經過定點的坐標；
（2）當b＝4且l1∥l2時，求實數a的值.
第1課時　兩條直線平行
1.B　兩直線斜率都為0且不重合，所以兩直線平行，且在y軸上的截距不相等.
2.A　由題意可知，kAB＝＝－2，所以m＝－8.
3.C　由題意可設所求直線方程為x＋2y＋c＝0（c≠－2），因為點（5，0）在該直線上，所以5＋2×0＋c＝0，得c＝－5，故該直線方程為x＋2y－5＝0，故選C.
4.D　設P（0，y），因為l1∥l2，所以＝2，所以y＝3.即P（0，3）.
5.ABC　兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，其平行的充要條件為A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1，對于A項，易知2×（－a）＝－1×2a且－3×2a≠2×6且a≠0，即A正確；對于B項，易得y＝2x 2x－y＝0，有2×（－1）＝－1×2且0×2≠－3×2，即B正確；對于C項，易知2×（－1）＝－1×2且5×2≠－3×2，即C正確；對于D項，易知2×1≠－1×2，D項不符合.故選A、B、C.
6.x＋y－1＝0　解析：設所求直線方程為x＋y＋c＝0（c≠0），將點P（0，1）代入得1＋c＝0，解得c＝－1，則所求直線方程為x＋y－1＝0.
7.－　解析：由題意可設直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，∵直線l1與直線l2平行，∴k1＝k2，即2＝，解得x＝3.∴lox＝lo3＝＝－.
8.－2　解析：由題意知直線CD的斜率存在，則與其平行的直線AB的斜率也存在.kAB＝＝，kCD＝＝，由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即＝，解得m＝－2.
9.1　解析：直線x＋2y＝0的斜率為－，故直線l的方程為y＝－（x＋2）＋2，即x＋2y－2＝0，當x＝0時，y＝1，當y＝0時，x＝2，所以直線l與x，y軸圍成的三角形面積為×1×2＝1.
10.解：（1）由kAB＝＝tan 135°＝－1，
得2m2＋m－3＝0，解得m＝－或1.
（2）由＝＝－2，解得m＝或－1.
11.D　設A（2，0），B（－2，4），則點A，B所在直線的斜率為kAB＝＝－1，由題意知，過點（2 024，2 025），（a，b）的直線與直線AB平行，所以＝－1，整理得a＋b＝2 024＋2 025＝4 049，故選D.
12.0或－1　解析：因為l1∥l2，所以有m2（m－2）－3m＝0 m（m2－2m－3）＝m（m－3）（m＋1）＝0，解得m＝0或m＝－1或m＝3.當m＝0時，l1：y＝－3，l2：y＝0，所以l1∥l2；當m＝－1時，l1：x＋y＋3＝0，l2：x＋y＋＝0，所以l1∥l2；當m＝3時，l1：9x＋y＋3＝0，l2：9x＋y＋3＝0，所以l1與l2重合，所以m＝0或m＝－1.
13.　解析：因為兩條直線互相平行，所以＝－，所以a＝－b4＋b2＝－（b2－）2＋≤，當且僅當b2＝時取等號，故實數a的最大值為.
14.解：由題，A（1，3），B（5，1），C（3，7），
所以kAC＝2，kAB＝－，kBC＝－3，
設D的坐標為（x，y），分以下三種情況：
①當BC為對角線時，有kCD＝kAB，kBD＝kAC，
所以kBD＝＝2，kCD＝＝－，
得x＝7，y＝5，即D（7，5）；
②當AC為對角線時，有kCD＝kAB，kAD＝kBC，
所以kAD＝＝－3，kCD＝＝－，
得x＝－1，y＝9，即D（－1，9）；
③當AB為對角線時，有kBD＝kAC，kAD＝kBC，
所以kBD＝＝2，kAD＝＝－3，
得x＝3，y＝－3，即D（3，－3）.
綜上，D的坐標為（7，5）或（－1，9）或（3，－3）.
15.解：（1）∵（a－2）x＋y＋a＝0，
∴ax－2x＋y＋a＝0，
∴a（x＋1）＋（y－2x）＝0，
令x＋1＝0且y－2x＝0，則x＝－1，y＝－2，
∴對任意a∈R，直線l2：（a－2）x＋y＋a＝0過定點（－1，－2）.
（2）當b＝4時，直線l1：ax＋4y＋1＝0，
即y＝－x－，
又直線l2：（a－2）x＋y＋a＝0，
即y＝（2－a）x－a，
∵l1∥l2，∴－＝2－a且－≠－a，∴a＝.
2 / 2(共59張PPT)
1.3　兩條直線的平行與垂直
新課程標準解讀 核心素養
能根據斜率判定兩條直線平行或垂直 數學運算、邏輯
推理
第1課時　兩條直線平行
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　
如圖所示是人們平常所說的飛機拉煙，每一道拉煙之間有怎樣的
位置關系？
【問題】?。?）在平面直角坐標中，若 l1∥ l2，則它們的傾斜角α1與
α2有什么關系？
（2）若 l1∥ l2，則 l1， l2的斜率相等嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　兩條不重合直線平行的判定
類型 斜率存在 斜率不存在
前提條件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
對應關系 l1∥ l2 l1∥ l2 兩直線斜率都不存在
圖示
k1＝ k2　
提醒　 l1∥ l2 k1＝ k2成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；
② l1與 l2不重合.
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）若直線 l1與 l2傾斜角相等，則 l1∥ l2. （　×?。?br/>（2）若兩條直線的斜率不相等，則兩直線不平行. （　√?。?br/>（3）若兩直線斜率相等，則兩直線平行. （　×?。?br/>（4）若兩直線平行，則兩直線斜率相等. （　×?。?br/>×
√
×
×
2. 下列與直線4 x － y －2＝0平行的直線的方程是（　?。?br/>A. 4 x － y －4＝0 B. 4 x ＋ y －2＝0
C. x －4 y －2＝0 D. x ＋4 y ＋2＝0
解析：　直線4 x － y －2＝0斜率為4，縱截距為－2，A選項：直
線斜率為4，縱截距為－4，符合；B選項：直線斜率為－4，縱截
距為2，不符合；C選項：直線斜率為 ，縱截距為－ ，不符合；
D選項：直線斜率為－ ，縱截距為－ ，不符合.故選A.
3. 若直線 ax ＋ y ＋1＝0與直線4 x ＋ ay ＋2＝0平行，則 a ＝ .
解析：因為直線 ax ＋ y ＋1＝0與直線4 x ＋ ay ＋2＝0平行，則兩直
線的斜率相等且在 y 軸上的截距不等，即解得 a ＝－2.
－2　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
　　
題型一 兩條直線平行的判定
【例1】?。ㄦ溄咏炭茣?3頁例2、練習1題）判斷下列各題中的直
線 l1與 l2是否平行：
（1） l1經過點 A （－1，－2）， B （2，1）， l2經過點 M （3，4），
N （－1，－1）；
解：k1＝ ＝1， k2＝ ＝ ， k1≠ k2，故 l1與 l2不
平行.
（2） l1經過點 A （－3，2）， B （－3，10）， l2經過點 M （5，－
2）， N （5，5）；
解：由已知點的坐標，得 l1與 l2均與 x 軸垂直且不重合，故
l1∥ l2.
（3） l1： y ＝2 x ＋2， l2： y ＝2 x ＋1；
解：由直線 l1， l2的方程知， k1＝2， k2＝2， k1＝ k2，又兩
直線不重合，所以 l1∥ l2.
（4） l1：－ x ＋ y －3＝0， l2：－ x ＋ y ＋2＝0.
解：法一　由直線 l1， l2的方程知， k1＝1， k2＝1， k1＝
k2，又直線 l1， l2不重合，所以 l1∥ l2.
法二　由 ＝ ≠ ，故直線 l1∥ l2.
法三　由故直線 l1∥ l2.
通性通法
1. 判斷兩條不重合的直線是否平行的方法
2. 已知直線的一般式方程判斷兩直線平行除常用方法外，也可以通過
以下方法進行判定：
設直線 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0，直線 l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0：
（1）若 l1∥ l2 ＝ ≠ （ A2， B2， C2均不為零）；
（2）若 l1∥ l2 A1 B2－ A2 B1＝0且 B1 C2－ B2 C1≠0（或 A1 C2－ A2
C1≠0）.
【跟蹤訓練】
　判斷下列各題中的直線 l1與 l2是否平行：
（1） l1的斜率為1， l2經過點 A （1，1）， B （2，2）；
解：k1＝1， k2＝ ＝1，雖然 k1＝ k2，但兩直線可能重合.
故 l1∥ l2或 l1與 l2重合.
（2） l1經過點 A （0，1）， B （1，0）， l2經過點 M （－1，3）， N
（2，0）；
解：k1＝ ＝－1， k2＝ ＝－1， k1＝ k2.
又 kAM ＝ ＝－2≠－1，
則 A ， B ， M 不共線，故 l1∥ l2.
（3） l1：3 x －6 y ＋3＝0， l2：2 x －4 y ＋2＝0.
解：由 ＝ ＝ ，可知直線 l1與 l2重合.
題型二 求與已知直線平行的直線方程
【例2】　（鏈接教科書第23頁例3）求與直線3 x ＋4 y ＋1＝0平行，且
過點（1，2）的直線 l 的方程.
解：法一　設直線 l 的斜率為 k ，
∵直線 l 與直線3 x ＋4 y ＋1＝0平行，
∴ k ＝－ ，
又∵直線 l 經過點（1，2），
∴所求直線的方程為 y －2＝－ （ x －1），
即3 x ＋4 y －11＝0.
法二　設與直線3 x ＋4 y ＋1＝0平行的直線 l 的方程為3 x ＋4 y ＋ m ＝0
（ m ≠1）.
∵直線 l 經過點（1，2），
∴3×1＋4×2＋ m ＝0，解得 m ＝－11，
∴所求直線的方程為3 x ＋4 y －11＝0.
通性通法
　　求與已知直線平行的直線方程可以求點斜式方程，也可以先
設成與已知直線平行的直線系的一般式方程，即與直線 Ax ＋ By ＋
C ＝0平行的直線方程為 Ax ＋ By ＋ m ＝0（ m ≠ C ），再用待定系
數法求方程.
【跟蹤訓練】
1. 已知直線 l 過點（0，7），且與直線 y ＝－4 x ＋2平行，則直線 l 的
方程為（　?。?br/>A. y ＝－4 x －7 B. y ＝4 x －7
C. y ＝4 x ＋7 D. y ＝－4 x ＋7
解析：　過點（0，7）且與直線 y ＝－4 x ＋2平行的直線方程為 y
－7＝－4 x ，即直線 l 的方程為 y ＝－4 x ＋7.
2. 已知 A （0，－2）， B （3，1）， C （－2，2）三點，直線 l 過點 B
且與直線 AC 平行，則直線 l 的方程為 .
解析：由題意可知 kAC ＝ ＝－2，則 kl ＝－2，又直線 l 過點 B ，
∴直線 l 的方程為 y －1＝－2（ x －3），即2 x ＋ y －7＝0.
2 x ＋ y －7＝0　
題型三 兩條直線平行的應用
【例3】?。?）已知兩條直線 l1：（ a －1） x ＋2 y ＋1＝0與 l2： x ＋ ay
＋1＝0平行，則 a ＝（　?。?br/>A. －1 B. 2
C. 0或－2 D. －1或2
解析：　法一　由題知，兩條直線 l1：（ a －1） x ＋2 y ＋1＝0與 l2：
x ＋ ay ＋1＝0平行，則 a （ a －1）＝2，解得 a ＝－1或 a ＝2.當 a ＝－
1時，直線 l1：－2 x ＋2 y ＋1＝0與 l2： x － y ＋1＝0平行；當 a ＝2時，
直線 l1： x ＋2 y ＋1＝0與 l2： x ＋2 y ＋1＝0重合（舍去）.綜上， a ＝
－1.故選A.
法二　因為兩直線平行且 x ， y 前的系數不為0，所以 ＝ ≠ ，解
得 a ＝－1.故選A.
（2）已知四邊形 ABCD 的四個頂點的坐標分別為 A （－1，2），
B （3，4）， C （3，2）， D （1，1）.求證：四邊形 ABCD
是梯形.
證明：由 A （－1，2）， B （3，4）， C （3，2）， D （1，1），
則 kAB ＝ ＝ ， kCD ＝ ＝ ，
∴ kAB ＝ kCD ，從而 AB ∥ CD .
又∵ BC 所在直線垂直于 x 軸（斜率不存在），而 kAD ＝ ＝
－ .可得直線 BC 與 AD 不平行.
∴四邊形 ABCD 是梯形.
通性通法
1. 利用兩直線平行判定平面圖形的形狀一般要運用數形結合的思想方
法，先由圖形作出猜測，然后利用直線的斜率進行判定.
2. 利用兩直線平行求參數，可利用兩直線平行的性質進行求解，要特
別注意斜率不存在的情況；也可先將方程化為一般式，由兩直線平
行時系數的關系列出式子求解.
【跟蹤訓練】
如圖所示，已知四邊形 ABCD 的四個頂點分別為 A （0，0）， B （2，
－1）， C （4，2）， D （2，3），試判斷四邊形 ABCD 的形狀，并給
出證明.
解：四邊形 ABCD 是平行四邊形.由已知可得 AB 邊所在直線的斜率 kAB
＝ ＝－ ， CD 邊所在直線的斜率 kCD ＝ ＝－ ，
BC 邊所在直線的斜率 kBC ＝ ＝ ，
DA 邊所在直線的斜率 kDA ＝ ＝ .
所以 kAB ＝ kCD ， kBC ＝ kDA ，所以 AB ∥ CD ， BC ∥ DA .
因此四邊形 ABCD 是平行四邊形.
1. 已知直線 l1的傾斜角為30°，又 l1∥ l2，則直線 l2的斜率為（　　）
解析：　因為 l1∥ l2，所以 ＝ ＝tan 30°＝ .
2. 已知直線 l1經過點 A （0，－1）和點 B ，直線 l2經過點 M
（1，1）和點 N （0，－2），若 l1與 l2沒有公共點，則實數 a ＝
.
解析：由題意得 l1∥ l2，∴ kAB ＝ kMN . ∵ kAB ＝ ＝－ ， kMN ＝
＝3，∴－ ＝3，∴ a ＝－6.
－
6　
3. 根據下列給定的條件，判斷直線 l1與直線 l2是否平行：
（1） l1經過點 A （2，3）， B （－4，0）， l2經過點 M （－3，
1）， N （－2，2）；
解：kAB ＝ ＝ ， kMN ＝ ＝1， kAB ≠ kMN ，所以 l1
與 l2不平行.
（2） l1的斜率為－ ， l2經過點 A （4，2）， B （2，3）；
解：l1的斜率 k1＝－ ， l2的斜率 k2＝ ＝－ ， k1＝
k2，所以 l1與 l2平行或重合.
（3） l1： x ＋ y －1＝0， l2： x ＋2 y ＋1＝0.
解：由 ＝ ≠ ，故直線 l1∥ l2.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
　
1. 已知過點 A （2，5）和點 B （－4，5）的直線與直線 y ＝3，則下列
說法正確的是（　?。?br/>A. 兩直線的斜率均不存在
B. 兩直線平行
C. 兩直線重合
D. 兩直線在 y 軸上的截距相等
解析：　兩直線斜率都為0且不重合，所以兩直線平行，且在 y 軸
上的截距不相等.
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2. 已知過點 A （－2， m ）和點 B （ m ，4）的直線與斜率為－2的直
線平行，則 m ＝（　?。?br/>A. －8 B. 0
C. 2 D. 10
解析：　由題意可知， kAB ＝ ＝－2，所以 m ＝－8.
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3. 過點（5，0）且與 x ＋2 y －2＝0平行的直線方程是（　?。?br/>A. 2 x ＋ y ＋5＝0 B. 2 x ＋ y －5＝0
C. x ＋2 y －5＝0 D. x ＋2 y ＋5＝0
解析：　由題意可設所求直線方程為 x ＋2 y ＋ c ＝0（ c ≠－2），
因為點（5，0）在該直線上，所以5＋2×0＋ c ＝0，得 c ＝－5，故
該直線方程為 x ＋2 y －5＝0，故選C.
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4. 直線 l1的斜率為2， l1∥ l2，直線 l2過點（－1，1）且與 y 軸交于點
P ，則 P 點坐標為（　　）
A. （3，0） B. （－3，0）
C. （0，－3） D. （0，3）
解析：　設 P （0， y ），因為 l1∥ l2，所以 ＝2，所以 y ＝3.即
P （0，3）.
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5. （多選）下列各直線中，與直線2 x － y －3＝0平行的是（　?。?br/>A. 2 ax － ay ＋6＝0（ a ≠0， a ≠－2）
B. y ＝2 x
C. 2 x － y ＋5＝0
D. 2 x ＋ y －3＝0
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解析：　兩直線 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0， l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2
＝0，其平行的充要條件為 A1 B2＝ A2 B1且 A1 C2≠ A2 C1，對于A項，
易知2×（－ a ）＝－1×2 a 且－3×2 a ≠2×6且 a ≠0，即A正確；
對于B項，易得 y ＝2 x 2 x － y ＝0，有2×（－1）＝－1×2且
0×2≠－3×2，即B正確；對于C項，易知2×（－1）＝－1×2且
5×2≠－3×2，即C正確；對于D項，易知2×1≠－1×2，D項不符
合.故選A、B、C.
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6. 過點 P （0，1）且與直線 x ＋ y ＝0平行的直線的方程為
.
解析：設所求直線方程為 x ＋ y ＋ c ＝0（ c ≠0），將點 P （0，1）
代入得1＋ c ＝0，解得 c ＝－1，則所求直線方程為 x ＋ y －1＝0.
x ＋ y －1＝
0　
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7. 已知直線 l1的斜率是2，直線 l2過點 A （－1，－2）， B （ x ，6），
且 l1∥ l2，則lo x ＝ ?。? 　.
解析：由題意可設直線 l1， l2的斜率分別為 k1， k2，∵直線 l1與直線
l2平行，∴ k1＝ k2，即2＝ ，解得 x ＝3.∴lo x ＝lo 3＝
＝－ .
－ 　
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8. 已知過點 A （ m ＋1，0）， B （－5， m ）的直線與過點 C （－4，
3）， D （0，5）的直線平行，則 m ＝ .
解析：由題意知直線 CD 的斜率存在，則與其平行的直線 AB 的斜率
也存在. kAB ＝ ＝ ， kCD ＝ ＝ ，由于 AB ∥
CD ，所以 kAB ＝ kCD ，即 ＝ ，解得 m ＝－2.
－2　
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9. 直線 l 過點（－2，2）且與直線 x ＋2 y ＝0平行，則直線 l 與 x ， y 軸
圍成的三角形面積為 .
解析：直線 x ＋2 y ＝0的斜率為－ ，故直線 l 的方程為 y ＝－ （ x
＋2）＋2，即 x ＋2 y －2＝0，當 x ＝0時， y ＝1，當 y ＝0時， x ＝
2，所以直線 l 與 x ， y 軸圍成的三角形面積為 ×1×2＝1.
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10. 當 m 為何值時，過兩點 A （1，1）， B （2 m2＋1， m －2）的
直線：
（1）傾斜角為135°；
解：由 kAB ＝ ＝tan 135°＝－1，
得2 m2＋ m －3＝0，解得 m ＝－ 或1.
（2）與過兩點（2，－3），（－4，9）的直線平行.
解：由 ＝ ＝－2，解得 m ＝ 或－1.
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11. 張老師不僅喜歡打羽毛球，還喜歡玩折紙游戲，他將一張畫了直
角坐標系（兩坐標軸單位長度相同）的紙折疊一次，使點（2，
0）與點（－2，4）重合，點（2 024，2 025）與點（ a ， b ）重
合，則 a ＋ b ＝（　?。?br/>A. 4 046 B. 4 047
C. 4 048 D. 4 049
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解析：　設 A （2，0）， B （－2，4），則點 A ， B 所在直線的
斜率為 kAB ＝ ＝－1，由題意知，過點（2 024，2 025），
（ a ， b ）的直線與直線 AB 平行，所以 ＝－1，整理得 a ＋
b ＝2 024＋2 025＝4 049，故選D.
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12. 若直線 l1： m2 x ＋ y ＋3＝0和直線 l2：3 mx ＋（ m －2） y ＋ m ＝0平
行，則 m ＝ .
解析：因為 l1∥ l2，所以有 m2（ m －2）－3 m ＝0 m （ m2－2 m －
3）＝ m （ m －3）（ m ＋1）＝0，解得 m ＝0或 m ＝－1或 m ＝3.
當 m ＝0時， l1： y ＝－3， l2： y ＝0，所以 l1∥ l2；當 m ＝－1時，
l1： x ＋ y ＋3＝0， l2： x ＋ y ＋ ＝0，所以 l1∥ l2；當 m ＝3時，
l1：9 x ＋ y ＋3＝0， l2：9 x ＋ y ＋3＝0，所以 l1與 l2重合，所以 m ＝
0或 m ＝－1.
0或－1　
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13. 已知兩條直線的斜率分別為 和－ ，若這兩條直線互相平
行，則實數 a 的最大值為 .
解析：因為兩條直線互相平行，所以 ＝－ ，所以 a ＝－ b4
＋ b2＝－（ b2－ ）2＋ ≤ ，當且僅當 b2＝ 時取等號，故實數 a
的最大值為 .
　
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14. 已知 A （1，3）， B （5，1）， C （3，7）， A ， B ， C ， D 四點
構成的四邊形是平行四邊形，求點 D 的坐標.
解：由題， A （1，3）， B （5，1）， C （3，7），
所以 kAC ＝2， kAB ＝－ ， kBC ＝－3，
設 D 的坐標為（ x ， y ），分以下三種情況：
①當 BC 為對角線時，有 kCD ＝ kAB ， kBD ＝ kAC ，
所以 kBD ＝ ＝2， kCD ＝ ＝－ ，
得 x ＝7， y ＝5，即 D （7，5）；
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②當 AC 為對角線時，有 kCD ＝ kAB ， kAD ＝ kBC ，
所以 kAD ＝ ＝－3， kCD ＝ ＝－ ，
得 x ＝－1， y ＝9，即 D （－1，9）；
③當 AB 為對角線時，有 kBD ＝ kAC ， kAD ＝ kBC ，
所以 kBD ＝ ＝2， kAD ＝ ＝－3，
得 x ＝3， y ＝－3，
即 D （3，－3）.
綜上， D 的坐標為（7，5）或（－1，9）或（3，－3）.
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15. 在平面直角坐標系中，已知直線 l1： ax ＋ by ＋1＝0， l2：（ a －
2） x ＋ y ＋ a ＝0.
（1）求直線 l2經過定點的坐標；
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解：∵（ a －2） x ＋ y ＋ a ＝0，
∴ ax －2 x ＋ y ＋ a ＝0，
∴ a （ x ＋1）＋（ y －2 x ）＝0，
令 x ＋1＝0且 y －2 x ＝0，
則 x ＝－1， y ＝－2，
∴對任意 a ∈R，直線 l2：（ a －2） x ＋ y ＋ a ＝0過定點（－
1，－2）.
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（2）當 b ＝4且 l1∥ l2時，求實數 a 的值.
解：當 b ＝4時，直線 l1： ax ＋4 y ＋1＝0，
即 y ＝－ x － ，
又直線 l2：（ a －2） x ＋ y ＋ a ＝0，
即 y ＝（2－ a ） x － a ，
∵ l1∥ l2，∴－ ＝2－ a 且－ ≠－ a ，∴ a ＝ .
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