資源簡介

第2課時　兩條直線垂直
除平行外，生活中也存在很多垂直關系，如交通道路的十字路口，黑板相鄰兩邊等，上節課我們學習了兩條直線平行的判定方法，研究了兩平行直線的斜率的關系.
【問題】　類比兩條直線平行的研究方法，若l1⊥l2，你能得出l1與l2斜率的關系嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　兩條直線垂直的判定
圖示
對應關系 l1⊥l2（兩直線斜率都存在） 　　　 l1的斜率不存在，l2的斜率為0 　　
提醒　l1⊥l2 k1k2＝－1成立的條件是：①兩條直線的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）若直線l1⊥l2，則k1k2＝－1.（　　）
（2）若k1k2＝－1，則l1⊥l2.（　　）
（3）若直線l1的斜率為a，且l1⊥l2，則l2的斜率為－.（　　）
2.已知四點A（1，2），B（5，6），C（2，－1），D（1，0），則直線AB與直線CD的位置關系是（　　）
A.平行　　 B.垂直
C.重合　 　D.無法確定
3.求過點A（2，3）且與直線x＋2y－6＝0垂直的直線方程.
題型一 兩條直線垂直的判定
【例1】　（鏈接教科書第25頁例4）判斷下列兩直線是否垂直：
（1）l1經過點A（－1，1），B（－1，3），l2經過點（3，6），（7，6）；
（2）直線l1的斜率為，直線l2與直線2x＋3y＋1＝0平行；
（3）l1：3x＋2y－2＝0，l2：－4x＋6y＋5＝0.
通性通法
判定兩直線垂直的方法
（1）若一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在，則兩直線垂直；
（2）若兩直線的斜率都存在且不為0，只需求出兩直線的斜率，看它們的斜率之積是否等于－1即可；
（3）若兩直線用一般式表示為：l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
【跟蹤訓練】
判斷下列兩直線是否垂直：
（1）直線l1的斜率為－10，直線l2經過點A（10，2），B（20，3）；
（2）l1：y＝2x－2，l2：x－2y＋1＝0.
題型二 求與已知直線垂直的直線方程
【例2】　（鏈接教科書第25頁例5）已知△ABC的頂點B（2，1），C（－6，3），其垂心為H（－3，2），則直線AH的方程為　　　　.
通性通法
　　求與已知直線垂直的直線方程時，要看原直線斜率是否存在，若存在，利用斜率乘積等于－1求斜率，若不存在，則所求斜率為0，然后用點斜式求直線方程；也可先設出與已知直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線的一般方程Bx－Ay＋m＝0，代入其他條件再求方程.
【跟蹤訓練】
　與直線y＝2x＋1垂直，且在y軸上的截距為4的直線的方程是（　　）
A.y＝x＋4　　　　 B.y＝2x＋4
C.y＝－2x＋4　　 D.y＝－x＋4
題型三 兩條直線垂直的應用
【例3】　（鏈接教科書第27頁練習2題）（1）已知△ABC的頂點坐標為A（－5，－1），B（－1，1），C（－2，3），則△ABC的形狀為（　　）
A.銳角三角形　　 B.直角三角形
C.鈍角三角形　　 D.無法確定
（2）已知直線x＋2y－3＝0和2x＋my＋2＝0互相垂直，則m＝（　　）
A.－4　　 B.－1
C.1　　 D.4
通性通法
1.利用兩直線垂直判定平面圖形的形狀通常需要結合圖形，尋找相關的垂直關系，然后利用直線的斜率進行判斷.
2.利用兩直線垂直求參數問題一般的解題思路是利用斜率的坐標公式表示出斜率，令斜率之積為－1求解，但要注意討論直線與x軸垂直的情況，也可先將方程化為一般式，由兩直線垂直時系數的關系，列出式子求解.
【跟蹤訓練】
1.若直線l1：（a＋3）x＋y＋4＝0與直線l2：x＋（a－1）y＋4＝0垂直，則直線l1在x軸上的截距是（　　）
A.－4　　 B.2
C.－2　　 D.4
2.點A（－1，1），B（2，－1），C（1，4）為直角三角形的三個頂點，則直角頂點為　　　　.
1.過點M（2，－3）且與直線x＋2y－9＝0垂直的直線方程是（　　）
A.2x－y－7＝0　　 B.x－2y＋7＝0
C.x＋2y＋4＝0　　 D.2x－y＋8＝0
2.直線l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的兩根，則l1與l2的位置關系是（　　）
A.平行　　 B.重合
C.相交但不垂直　　 D.垂直
3.若直線mx＋4y－2＝0與直線2x－5y－12＝0垂直，則實數m＝（　　）
A.－10　　 B.10
C.－2　　 D.2
4.已知點A（－2，－5），B（6，6），點P在y軸上，且∠APB＝90°，則點P 的坐標為　　　　.
第2課時　兩條直線垂直
【基礎知識·重落實】
知識點
k1·k2＝－1　l1⊥l2
自我診斷
1.（1）×　（2）√　（3）×
2.B　由斜率公式得kAB＝＝1，kCD＝＝－1，則kABkCD＝1×（－1）＝－1，所以AB⊥CD.
3.解：因為直線x＋2y－6＝0的斜率為k1＝－，
所以過點A（2，3）且與該直線垂直的直線l的斜率為k＝2.
所以直線l的方程為y－3＝2（x－2），即2x－y－1＝0.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）直線l1與x軸垂直，斜率不存在，直線l2與y軸垂直，斜率為0，故l1⊥l2.
（2）直線l1的斜率k1＝，直線l2的斜率k2＝－，k1·k2＝－≠－1，所以直線l1與l2不垂直.
（3）法一　直線l1的斜率k1＝－，直線l2的斜率k2＝，從而k1k2＝（－）×＝－1，故l1⊥l2.
法二　由A1A2＋B1B2＝3×（－4）＋2×6＝0，故l1⊥l2.
跟蹤訓練
　解：（1）直線l1的斜率k1＝－10，直線l2的斜率k2＝＝，k1·k2＝－10×＝－1，所以l1⊥l2.
（2）將l2的方程化為斜截式為y＝x＋.
因此l2的斜率為，
又因為l1的斜率為2，而且×2＝1≠－1，
從而可知l1與l2不垂直.
【例2】　4x－y＋14＝0　解析：易知kBC＝＝－，又點H為△ABC的垂心，所以AH⊥BC，即kAHkBC＝－1，又kBC＝－，所以kAH＝4，又H（－3，2），故直線AH的方程為y－2＝4（x＋3），即4x－y＋14＝0.
跟蹤訓練
　D　直線y＝2x＋1的斜率為2，則與直線y＝2x＋1垂直的直線的斜率為－，又因為所求直線在y軸上的截距為4，所以直線方程為y＝－x＋4.
【例3】　（1）B　（2）B　解析：（1）∵kAB＝＝，kBC＝＝－2，kAC＝＝，∴kAB·kBC＝－1，∴AB⊥BC，∴△ABC為直角三角形.
（2）由題意得1×2＋2m＝0，解得m＝－1，此時后者直線方程為2x－y＋2＝0，滿足題意.故選B.
跟蹤訓練
1.C　∵直線l1：（a＋3）x＋y＋4＝0與直線l2：x＋（a－1）y＋4＝0垂直，∴a＋3＋a－1＝0，∴a＝－1，∴直線l1：2x＋y＋4＝0，∴直線l1在x軸上的截距是－2，故選C.
2.A　解析：因為A（－1，1），B（2，－1），C（1，4），所以kAB＝＝－，kAC＝＝.所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，所以角A為直角.
隨堂檢測
1.A　由題意設直線方程為2x－y＋m＝0，代入M點坐標得2×2－（－3）＋m＝0，解得m＝－7，∴直線方程為2x－y－7＝0.故選A.
2.D　設l1，l2的斜率分別為k1，k2，則k1·k2＝－1，所以l1⊥l2.
3.B　由直線mx＋4y－2＝0與直線2x－5y－12＝0垂直，可得m×2＋4×（－5）＝0，解得m＝10.故選B.
4.（0，－6）或（0，7）　解析：設點P的坐標為（0，y）.因為∠APB＝90°，所以AP⊥BP，又kAP＝，kBP＝，kAP·kBP＝－1，所以·＝－1，解得y＝－6或y＝7.所以點P的坐標為（0，－6）或（0，7）.
3 / 3第2課時　兩條直線垂直
1.已知直線l1經過A（－3，2），B（1，－2）兩點，直線l2的傾斜角為45°，那么l1與l2（　　）
A.平行　　 B.垂直
C.重合　　 D.相交但不垂直
2.若直線x－2y＋5＝0與直線2x＋my－6＝0互相垂直，則實數m＝（　　）
A.－1　　 B.1
C.　　 D.－
3.已知△ABC的三個頂點分別是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），則BC邊上的高所在直線的方程為（　　）
A.3x＋5y－15＝0
B.3x－5y＋15＝0
C.x＋2y－3＝0
D.x－2y＋3＝0
4.若不同兩點P，Q的坐標分別為（a，b），（3－b，3－a），則線段PQ的垂直平分線的斜率為（　　）
A.－1　　 B.0
C.　　 D.1
5.直線l1：（a2－4）x＋y－1＝0，直線l2：x＋（a－2）y＋3＝0，則直線l1⊥l2是a＝－3的（　　）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
6.（多選）設平面內四點P（－4，2），Q（6，－4），R（12，6），S（2，12），則下面四個結論正確的是（　　）
A.PQ∥SR　　 B.PQ⊥PS
C.PS∥QS　　 D.PR⊥QS
7.已知A（2，3），B（1，－1），C（－1，－2），點D在x軸上，則當點D坐標為　　　　時，AB⊥CD.
8.已知直線l過點P（1，1），且與直線x＋2y－3＝0垂直，則直線l在y軸上的截距為　　　　.
9.直線l1，l2的斜率k1，k2是關于k的方程2k2－4k＋m＝0的兩根，若l1⊥l2，則m＝　　　　；若l1∥l2，則m＝　　　　.
10.已知 ABCD中，A（1，2），B（5，0），C（3，4）.
（1）求點D的坐標；
（2）試判斷 ABCD是否為菱形？
11.已知點O（0，0），A（0，b），B（a，a3）.若△OAB為直角三角形，則必有（　　）
A.b＝a3
B.b＝a3＋
C.（b－a3）（b－a3－）＝0
D.｜b－a3｜＋｜b－a3－｜＝0
12.已知直線l1：ax＋2y＋b＝0與直線l2：bx－y＋a＝0垂直，則a2＋b2的最小值為（　　）
A.2　　 B.4
C.6　　 D.8
13.已知點A（0，1），點B在直線l：x＋y＝0上運動，則當線段AB最短時，直線AB的一般式方程為　　　　.
14.某矩形花園ABCD內需要鋪兩條筆直的小路，已知AD＝50 m，AB＝30 m，其中一條小路定為AC，另一條小路過點D，能否在線段BC上找到一點M，使得兩條小路所在直線AC與DM相互垂直.
15.如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形OPQR的頂點坐標按逆時針順序依次為O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2＋t），R（－2t，2），其中t＞0.試判斷四邊形OPQR的形狀.
第2課時　兩條直線垂直
1.B　由題意可得直線l1的斜率k1＝＝－1，直線l2的斜率k2＝tan 45°＝1.∵k1k2＝－1，則l1與l2垂直.故選B.
2.B　直線x－2y＋5＝0的斜率為k1＝，直線2x＋my－6＝0的斜率為k2＝－，因為兩條直線垂直，所以k1k2＝×（－）＝－1，即m＝1，故選B.
3.B　設BC邊上的高為AD，則BC⊥AD，所以kAD·kBC＝－1，因為kBC＝＝－，所以－·kAD＝－1，解得kAD＝，所以BC邊上的高所在直線的方程為y－0＝（x＋5），即3x－5y＋15＝0.
4.A　若a＝3－b，則P，Q兩點重合，不合題意.故PQ斜率存在.由kPQ＝＝1，得線段PQ的垂直平分線的斜率為－1.
5.B　若l1⊥l2，由（a2－4）x＋y－1＝0，可得k1＝4－a2，若4－a2＝0，即a＝±2，則需a－2＝0，即a＝2，即可得a＝2時，l1⊥l2，故l1⊥l2不是a＝－3的充分條件；若a＝－3，則k1＝4－9＝－5，k2＝－＝，此時k1k2＝－1，故l1⊥l2，綜上，直線l1⊥l2是a＝－3的必要不充分條件.故選B.
6.ABD　由斜率公式知，kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，∴PS與QS不平行，故A、B、D正確.
7.（－9，0）　解析：設點D（x，0），因為kAB＝＝4≠0，所以直線CD的斜率存在.則由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，所以4×＝－1，解得x＝－9.
8.－1　解析：由直線x＋2y－3＝0，得k＝－，設直線l的斜率為k1，則由直線l與直線x＋2y－3＝0垂直，則k1＝2，則直線l為y－1＝2（x－1），即y＝2x－1，即直線l在y軸上的截距為－1.
9.－2　2　解析：由一元二次方程根與系數的關系得k1·k2＝，若l1⊥l2，則＝－1，∴m＝－2.若l1∥l2則k1＝k2，即關于k的一元二次方程2k2－4k＋m＝0有兩個相等的實根，∴Δ＝（－4）2－4×2×m＝0，∴m＝2.
10.解：（1）設點D坐標為（a，b），因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
所以解得
所以D（－1，6）.
（2）因為kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，
所以AC⊥BD，所以 ABCD為菱形.
11.C　顯然角O不能為直角（否則得a＝0，不能組成三角形）.若角A為直角，則根據點A，B的縱坐標相等，得b－a3＝0.若角B為直角，則利用kOB·kAB＝－1，得b－a3－＝0.綜上可得（b－a3）（b－a3－）＝0.
12.B　因為直線l1：ax＋2y＋b＝0與直線l2：bx－y＋a＝0垂直，所以ab－2×1＝0，即ab＝2，所以a2＋b2≥2ab＝4，當且僅當a＝b＝或a＝b＝－時等號成立.即a2＋b2的最小值為4，故選B.
13.x－y＋1＝0　解析：當線段AB最短時，AB⊥l，所以kAB＝1.由直線的斜截式，得直線AB的方程為y＝x＋1，故直線AB的一般式方程為x－y＋1＝0.
14.解：如圖所示，以點B為坐標原點，BC，BA所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系.
由AD＝50 m，AB＝30 m，
可得點C（50，0），D（50，30），A（0，30）.設點M的坐標為（x，0），
因為AC⊥DM，且直線AC，DM的斜率均存在，所以kAC·kDM＝－1，即·＝－1，解得x＝32，即當BM＝32 m時，兩條小路所在直線AC與DM相互垂直.
15.解：由斜率公式得kOP＝＝t，
kQR＝＝＝t，
kOR＝＝－，
kPQ＝＝＝－.
所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，從而OP∥QR，OR∥PQ.
所以四邊形OPQR為平行四邊形.
又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，
故四邊形OPQR為矩形.
2 / 2(共49張PPT)
第2課時　兩條直線垂直
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　除平行外，生活中也存在很多垂直關系，如交通道路的十字路
口，黑板相鄰兩邊等，上節課我們學習了兩條直線平行的判定方法，
研究了兩平行直線的斜率的關系.
【問題】　類比兩條直線平行的研究方法，若 l1⊥ l2，你能得出 l1與 l2
斜率的關系嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　兩條直線垂直的判定
圖示
對應 關系 l1⊥ l2（兩直線斜率都存在） l1的斜率不存在， l2
的斜率為0
k1· k2＝－1　
l1⊥ l2　
提醒　 l1⊥ l2 k1 k2＝－1成立的條件是：①兩條直線的斜率都存在；
② k1≠0且 k2≠0.
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）若直線 l1⊥ l2，則 k1 k2＝－1. （　×　）
（2）若 k1 k2＝－1，則 l1⊥ l2. （　√　）
（3）若直線 l1的斜率為 a ，且 l1⊥ l2，則 l2的斜率為－ .
（　×　）
×
√
×
2. 已知四點 A （1，2）， B （5，6）， C （2，－1）， D （1，0），
則直線 AB 與直線 CD 的位置關系是（　　）
A. 平行 B. 垂直
C. 重合 D. 無法確定
解析：　由斜率公式得 kAB ＝ ＝1， kCD ＝ ＝－1，則
kABkCD ＝1×（－1）＝－1，所以 AB ⊥ CD .
3. 求過點 A （2，3）且與直線 x ＋2 y －6＝0垂直的直線方程.
解：因為直線 x ＋2 y －6＝0的斜率為 k1＝－ ，
所以過點 A （2，3）且與該直線垂直的直線 l 的斜率為 k ＝2.
所以直線 l 的方程為 y －3＝2（ x －2），即2 x － y －1＝0.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 兩條直線垂直的判定
【例1】　（鏈接教科書第25頁例4）判斷下列兩直線是否垂直：
（1） l1經過點 A （－1，1）， B （－1，3）， l2經過點（3，6），
（7，6）；
解：直線 l1與 x 軸垂直，斜率不存在，直線 l2與 y 軸垂直，
斜率為0，故 l1⊥ l2.
（2）直線 l1的斜率為 ，直線 l2與直線2 x ＋3 y ＋1＝0平行；
解：直線 l1的斜率 k1＝ ，直線 l2的斜率 k2＝－ ， k1· k2＝
－ ≠－1，所以直線 l1與 l2不垂直.
（3） l1：3 x ＋2 y －2＝0， l2：－4 x ＋6 y ＋5＝0.
解：法一　直線 l1的斜率 k1＝－ ，直線 l2的斜率 k2＝ ，
從而 k1 k2＝（－ ）× ＝－1，故 l1⊥ l2.
法二　由 A1 A2＋ B1 B2＝3×（－4）＋2×6＝0，故 l1⊥ l2.
通性通法
判定兩直線垂直的方法
（1）若一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在，則兩直
線垂直；
（2）若兩直線的斜率都存在且不為0，只需求出兩直線的斜率，看它
們的斜率之積是否等于－1即可；
（3）若兩直線用一般式表示為： l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0， l2： A2 x ＋
B2 y ＋ C2＝0，則 l1⊥ l2 A1 A2＋ B1 B2＝0.
【跟蹤訓練】
判斷下列兩直線是否垂直：
（1）直線 l1的斜率為－10，直線 l2經過點 A （10，2）， B （20，
3）；
解：直線 l1的斜率 k1＝－10，直線 l2的斜率 k2＝ ＝
， k1· k2＝－10× ＝－1，所以 l1⊥ l2.
（2） l1： y ＝2 x －2， l2： x －2 y ＋1＝0.
解：將 l2的方程化為斜截式為 y ＝ x ＋ .
因此 l2的斜率為 ，
又因為 l1的斜率為2，而且 ×2＝1≠－1，
從而可知 l1與 l2不垂直.
題型二 求與已知直線垂直的直線方程
【例2】　（鏈接教科書第25頁例5）已知△ ABC 的頂點 B （2，1），
C （－6，3），其垂心為 H （－3，2），則直線 AH 的方程為
.
解析：易知 kBC ＝ ＝－ ，又點 H 為△ ABC 的垂心，所以 AH ⊥
BC ，即 kAHkBC ＝－1，又 kBC ＝－ ，所以 kAH ＝4，又 H （－3，2），
故直線 AH 的方程為 y －2＝4（ x ＋3），即4 x － y ＋14＝0.
4 x － y
＋14＝0　
通性通法
　　求與已知直線垂直的直線方程時，要看原直線斜率是否存在，若
存在，利用斜率乘積等于－1求斜率，若不存在，則所求斜率為0，然
后用點斜式求直線方程；也可先設出與已知直線 Ax ＋ By ＋ C ＝0垂直
的直線的一般方程 Bx － Ay ＋ m ＝0，代入其他條件再求方程.
【跟蹤訓練】
　與直線 y ＝2 x ＋1垂直，且在 y 軸上的截距為4的直線的方程是
（　　）
A. y ＝ x ＋4 B. y ＝2 x ＋4
C. y ＝－2 x ＋4 D. y ＝－ x ＋4
解析：　直線 y ＝2 x ＋1的斜率為2，則與直線 y ＝2 x ＋1垂直的直線
的斜率為－ ，又因為所求直線在 y 軸上的截距為4，所以直線方程為
y ＝－ x ＋4.
題型三 兩條直線垂直的應用
【例3】　（鏈接教科書第27頁練習2題）（1）已知△ ABC 的頂點坐
標為 A （－5，－1）， B （－1，1）， C （－2，3），則△ ABC 的形
狀為（　B　）
A. 銳角三角形 B. 直角三角形
C. 鈍角三角形 D. 無法確定
解析：∵ kAB ＝ ＝ ， kBC ＝ ＝－2， kAC ＝ ＝ ，
∴ kAB · kBC ＝－1，∴ AB ⊥ BC ，∴△ ABC 為直角三角形.
（2）已知直線 x ＋2 y －3＝0和2 x ＋ my ＋2＝0互相垂直，則 m ＝
（　B　）
A. －4 B. －1
C. 1 D. 4
解析：由題意得1×2＋2 m ＝0，解得 m ＝－1，此時后者直線方
程為2 x － y ＋2＝0，滿足題意.故選B.
通性通法
1. 利用兩直線垂直判定平面圖形的形狀通常需要結合圖形，尋找相關
的垂直關系，然后利用直線的斜率進行判斷.
2. 利用兩直線垂直求參數問題一般的解題思路是利用斜率的坐標公式
表示出斜率，令斜率之積為－1求解，但要注意討論直線與 x 軸垂
直的情況，也可先將方程化為一般式，由兩直線垂直時系數的關
系，列出式子求解.
【跟蹤訓練】
1. 若直線 l1：（ a ＋3） x ＋ y ＋4＝0與直線 l2： x ＋（ a －1） y ＋4＝0
垂直，則直線 l1在 x 軸上的截距是（　　）
A. －4 B. 2
C. －2 D. 4
解析：　∵直線 l1：（ a ＋3） x ＋ y ＋4＝0與直線 l2： x ＋（ a －
1） y ＋4＝0垂直，∴ a ＋3＋ a －1＝0，∴ a ＝－1，∴直線 l1：2 x
＋ y ＋4＝0，∴直線 l1在 x 軸上的截距是－2，故選C.
2. 點 A （－1，1）， B （2，－1）， C （1，4）為直角三角形的三個
頂點，則直角頂點為 .
解析：因為 A （－1，1）， B （2，－1）， C （1，4），所以 kAB
＝ ＝－ ， kAC ＝ ＝ .所以 kAB · kAC ＝－1，所以 AB ⊥ AC ，
所以角 A 為直角.
A 　
1. 過點 M （2，－3）且與直線 x ＋2 y －9＝0垂直的直線方程是
（　　）
A. 2 x － y －7＝0 B. x －2 y ＋7＝0
C. x ＋2 y ＋4＝0 D. 2 x － y ＋8＝0
解析：　由題意設直線方程為2 x － y ＋ m ＝0，代入 M 點坐標得
2×2－（－3）＋ m ＝0，解得 m ＝－7，∴直線方程為2 x － y －7＝
0.故選A.
2. 直線 l1， l2的斜率是方程 x2－3 x －1＝0的兩根，則 l1與 l2的位置關系
是（　　）
A. 平行 B. 重合
C. 相交但不垂直 D. 垂直
解析：　設 l1， l2的斜率分別為 k1， k2，則 k1· k2＝－1，所以 l1⊥
l2.
3. 若直線 mx ＋4 y －2＝0與直線2 x －5 y －12＝0垂直，則實數 m ＝
（　　）
A. －10 B. 10
C. －2 D. 2
解析：　由直線 mx ＋4 y －2＝0與直線2 x －5 y －12＝0垂直，可
得 m ×2＋4×（－5）＝0，解得 m ＝10.故選B.
4. 已知點 A （－2，－5）， B （6，6），點 P 在 y 軸上，且∠ APB ＝
90°，則點 P 的坐標為 .
解析：設點 P 的坐標為（0， y ）.因為∠ APB ＝90°，所以 AP ⊥
BP ，又 kAP ＝ ， kBP ＝ ， kAP · kBP ＝－1，所以 · ＝－
1，解得 y ＝－6或 y ＝7.所以點 P 的坐標為（0，－6）或（0，7）.
（0，－6）或（0，7）　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
　　
1. 已知直線 l1經過 A （－3，2）， B （1，－2）兩點，直線 l2的傾斜
角為45°，那么 l1與 l2（　　）
A. 平行 B. 垂直
C. 重合 D. 相交但不垂直
解析：　由題意可得直線 l1的斜率 k1＝ ＝－1，直線 l2的斜
率 k2＝tan 45°＝1.∵ k1 k2＝－1，則 l1與 l2垂直.故選B.
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2. 若直線 x －2 y ＋5＝0與直線2 x ＋ my －6＝0互相垂直，則實數 m ＝
（　　）
A. －1 B. 1
C. D. －
解析：　直線 x －2 y ＋5＝0的斜率為 k1＝ ，直線2 x ＋ my －6＝0
的斜率為 k2＝－ ，因為兩條直線垂直，所以 k1 k2＝ ×（－ ）
＝－1，即 m ＝1，故選B.
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3. 已知△ ABC 的三個頂點分別是 A （－5，0）， B （3，－3）， C
（0，2），則 BC 邊上的高所在直線的方程為（　　）
A. 3 x ＋5 y －15＝0 B. 3 x －5 y ＋15＝0
C. x ＋2 y －3＝0 D. x －2 y ＋3＝0
解析：　設 BC 邊上的高為 AD ，則 BC ⊥ AD ，所以 kAD · kBC ＝－
1，因為 kBC ＝ ＝－ ，所以－ · kAD ＝－1，解得 kAD ＝ ，所以
BC 邊上的高所在直線的方程為 y －0＝ （ x ＋5），即3 x －5 y ＋15
＝0.
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4. 若不同兩點 P ， Q 的坐標分別為（ a ， b ），（3－ b ，3－ a ），則
線段 PQ 的垂直平分線的斜率為（　　）
A. －1 B. 0
C. D. 1
解析：　若 a ＝3－ b ，則 P ， Q 兩點重合，不合題意.故 PQ 斜率
存在.由 kPQ ＝ ＝1，得線段 PQ 的垂直平分線的斜率為－1.
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5. 直線 l1：（ a2－4） x ＋ y －1＝0，直線 l2： x ＋（ a －2） y ＋3＝0，
則直線 l1⊥ l2是 a ＝－3的（　　）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
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解析：　若 l1⊥ l2，由（ a2－4） x ＋ y －1＝0，可得 k1＝4－ a2，
若4－ a2＝0，即 a ＝±2，則需 a －2＝0，即 a ＝2，即可得 a ＝2
時， l1⊥ l2，故 l1⊥ l2不是 a ＝－3的充分條件；若 a ＝－3，則 k1＝4
－9＝－5， k2＝－ ＝ ，此時 k1 k2＝－1，故 l1⊥ l2，綜上，直
線 l1⊥ l2是 a ＝－3的必要不充分條件.故選B.
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6. （多選）設平面內四點 P （－4，2）， Q （6，－4）， R （12，
6）， S （2，12），則下面四個結論正確的是（　　）
A. PQ ∥ SR B. PQ ⊥ PS
C. PS ∥ QS D. PR ⊥ QS
解析： 　由斜率公式知， kPQ ＝ ＝－ ， kSR ＝ ＝－
， kPS ＝ ＝ ， kQS ＝ ＝－4， kPR ＝ ＝ ，∴ PQ ∥
SR ， PQ ⊥ PS ， PR ⊥ QS . 而 kPS ≠ kQS ，∴ PS 與 QS 不平行，故
A、B、D正確.
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7. 已知 A （2，3）， B （1，－1）， C （－1，－2），點 D 在 x 軸
上，則當點 D 坐標為 時， AB ⊥ CD .
解析：設點 D （ x ，0），因為 kAB ＝ ＝4≠0，所以直線 CD 的
斜率存在.則由 AB ⊥ CD 知， kAB · kCD ＝－1，所以4× ＝－1，
解得 x ＝－9.
（－9，0）　
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8. 已知直線 l 過點 P （1，1），且與直線 x ＋2 y －3＝0垂直，則直線 l
在 y 軸上的截距為 .
解析：由直線 x ＋2 y －3＝0，得 k ＝－ ，設直線 l 的斜率為 k1，則
由直線 l 與直線 x ＋2 y －3＝0垂直，則 k1＝2，則直線 l 為 y －1＝2
（ x －1），即 y ＝2 x －1，即直線 l 在 y 軸上的截距為－1.
－1　
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9. 直線 l1， l2的斜率 k1， k2是關于 k 的方程2 k2－4 k ＋ m ＝0的兩根，若
l1⊥ l2，則 m ＝ ；若 l1∥ l2，則 m ＝ .
解析：由一元二次方程根與系數的關系得 k1· k2＝ ，
若 l1⊥ l2，則 ＝－1，∴ m ＝－2.若 l1∥ l2則 k1＝ k2，即關于 k 的一
元二次方程2 k2－4 k ＋ m ＝0有兩個相等的實根，∴Δ＝（－4）2－
4×2× m ＝0，∴ m ＝2.
－2　
2　
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10. 已知 ABCD 中， A （1，2）， B （5，0）， C （3，4）.
（1）求點 D 的坐標；
解：設點 D 坐標為（ a ， b ），因為四邊形 ABCD 為平
行四邊形，所以 kAB ＝ kCD ， kAD ＝ kBC ，
所以解得
所以 D （－1，6）.
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（2）試判斷 ABCD 是否為菱形？
解：因為 kAC ＝ ＝1， kBD ＝ ＝－1，
所以 kAC · kBD ＝－1，
所以 AC ⊥ BD ，所以 ABCD 為菱形.
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11. 已知點 O （0，0）， A （0， b ）， B （ a ， a3）.若△ OAB 為直角
三角形，則必有（　　）
A. b ＝ a3
B. b ＝ a3＋
C. （ b － a3）（ b － a3－ ）＝0
D. ｜ b － a3｜＋｜ b － a3－ ｜＝0
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解析：　顯然角 O 不能為直角（否則得 a ＝0，不能組成三角
形）.若角 A 為直角，則根據點 A ， B 的縱坐標相等，得 b － a3＝
0.若角 B 為直角，則利用 kOB · kAB ＝－1，得 b － a3－ ＝0.綜上可
得（ b － a3）（ b － a3－ ）＝0.
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12. 已知直線 l1： ax ＋2 y ＋ b ＝0與直線 l2： bx － y ＋ a ＝0垂直，則 a2
＋ b2的最小值為（　　）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
解析：　因為直線 l1： ax ＋2 y ＋ b ＝0與直線 l2： bx － y ＋ a ＝0
垂直，所以 ab －2×1＝0，即 ab ＝2，所以 a2＋ b2≥2 ab ＝4，當
且僅當 a ＝ b ＝ 或 a ＝ b ＝－ 時等號成立.即 a2＋ b2的最小值
為4，故選B.
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13. 已知點 A （0，1），點 B 在直線 l ： x ＋ y ＝0上運動，則當線段 AB
最短時，直線 AB 的一般式方程為 .
解析：當線段 AB 最短時， AB ⊥ l ，所以 kAB ＝1.由直線的斜截
式，得直線 AB 的方程為 y ＝ x ＋1，故直線 AB 的一般式方程為 x －
y ＋1＝0.
x － y ＋1＝0　
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14. 某矩形花園 ABCD 內需要鋪兩條筆直的小路，已知 AD ＝50
m， AB ＝30 m，其中一條小路定為 AC ，另一條小路過點 D ，
能否在線段 BC 上找到一點 M ，使得兩條小路所在直線 AC 與
DM 相互垂直.
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解：如圖所示，以點 B 為坐標原點， BC ， BA 所在直線分別為 x 軸、 y 軸建立平面直角坐標系.
由 AD ＝50 m， AB ＝30 m，可得點 C （50，0）， D （50，30）， A （0，30）.設點 M 的坐標為（ x ，0），
因為 AC ⊥ DM ，且直線 AC ， DM 的斜率均存
在，所以 kAC · kDM ＝－1，即 · ＝－1，
解得 x ＝32，即當 BM ＝32 m時，兩條小路所在
直線 AC 與 DM 相互垂直.
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15. 如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形 OPQR 的頂點坐標按逆
時針順序依次為 O （0，0）， P （1， t ）， Q （1－2 t ，2＋ t ），
R （－2 t ，2），其中 t ＞0.試判斷四邊形 OPQR 的形狀.
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解：由斜率公式得 kOP ＝ ＝ t ，
kQR ＝ ＝ ＝ t ，
kOR ＝ ＝－ ，
kPQ ＝ ＝ ＝－ .
所以 kOP ＝ kQR ， kOR ＝ kPQ ，從而 OP ∥ QR ， OR ∥ PQ .
所以四邊形 OPQR 為平行四邊形.
又 kOP · kOR ＝－1，所以 OP ⊥ OR ，
故四邊形 OPQR 為矩形.
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謝 謝 觀 看！

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