資源簡介

1.4　兩條直線的交點
1.直線x＋2y－4＝0與直線2x－y＋2＝0的交點坐標是（　　）
A.（2，0）　　　　　　　　 B.（2，1）
C.（0，2）　　 D.（1，2）
2.若直線x－ay＝0與直線2x＋y－1＝0的交點為（1，y0），則實數a＝（　　）
A.－1　　 B.－
C.1　　 D.2
3.直線2x＋3y－k＝0和直線x－ky＋12＝0的交點在x軸上，則k＝（　　）
A.－24　　 B.24
C.6　　 D.±6
4.過兩直線x＋y－3＝0，2x－y＝0的交點，且與直線y＝x平行的直線方程為（　　）
A.x＋3y＋5＝0　　 B.x＋3y－5＝0
C.x－3y＋5＝0　　 D.x－3y－5＝0
5.（多選）下列選項中，正確的有（　　）
A.直線l1：x－y＋2＝0和l2：2x＋y－5＝0的交點坐標為（1，3）
B.直線l1：x－2y＋4＝0和l2：2x－4y＋8＝0的交點坐標為（2，1）
C.直線l1：2x＋y＋2＝0和l2：y＝－2x＋3交點坐標為（－2，2）
D.直線l1：x－2y＋1＝0和l2：y＝x，l3：2x＋y－3＝0相交于一點
6.（多選）若三條直線l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能圍成三角形，則m的值可以是（　　）
A.2　　 B.－2
C.　　 D.－
7.已知直線ax＋4y－2＝0與2x－5y－12＝0互相垂直，則垂足的坐標為　　　　.
8.經過兩直線2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交點且與直線3x＋y－1＝0垂直的直線l的方程為　　　　.
9.若兩條直線l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交點在第四象限，則k的取值范圍是　　　　.
10.判斷下列各組直線的位置關系，如果相交，求出交點的坐標：
（1）l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0；
（2）l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝x＋；
（3）l1：2x－6y＝0，l2：y＝x＋.
11.直線l被兩條直線l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的線段的中點為P（－1，2），則直線l的方程為（　　）
A.3x－y＋1＝0　　 B.x－3y＋1＝0
C.3x＋y＋1＝0　　 D.x＋3y＋1＝0
12.△ABC的三個頂點分別為A（0，3），B（3，3），C（2，0），如果直線x＝a將△ABC分割成面積相等的兩部分，則實數a＝（　　）
A.　　 B.1＋
C.1＋　　 D.2－
13.（多選）已知直線l1：x－y－1＝0和直線l2：（k＋1）x＋ky＋k＝0（k∈R），則下列結論正確的是（　　）
A.存在實數k，使得直線l2的傾斜角為
B.對任意的實數k，直線l1與直線l2都有公共點
C.對任意的實數k，直線l1與直線l2都不重合
D.對任意的實數k，直線l1與直線l2都不垂直
14.已知直線l1的方程為x＋2y－4＝0，l2在x軸上的截距為，且l1⊥l2.
（1）求直線l1與l2的交點坐標；
（2）已知直線l3經過l1與l2的交點，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍，求l3的方程.
15.已知在平行四邊形ABCD中，A（1，1），B（7，1），D（4，6），點M是邊AB的中點，CM與BD交于點P.
（1）求直線CM的方程；
（2）求點P的坐標.
1.4　兩條直線的交點
1.C　解方程組得即直線x＋2y－4＝0與直線2x－y＋2＝0的交點坐標是（0，2）.
2.A　直線x－ay＝0與直線2x＋y－1＝0的交點為（1，y0），所以 故選A.
3.A　因為直線2x＋3y－k＝0和直線x－ky＋12＝0的交點在x軸上，可設交點坐標為（a，0），所以解得故選A.
4.C　由解得則直線x＋y－3＝0，2x－y＝0的交點坐標為（1，2），又直線y＝x的斜率為，則所求直線方程為y－2＝（x－1），整理得x－3y＋5＝0，故選C.
5.AD　方程組的解為因此直線l1和l2相交，交點坐標為（1，3），A正確；方程組有無數個解，這表明直線l1和l2重合，B錯誤；方程組無解，這表明直線l1和l2沒有公共點，故l1∥l2，C錯誤；方程組的解為將點（1，1）代入l3得2＋1－3＝0，所以三條直線相交于一點（1，1），D正確.故選A、D.
6.ABC　三條直線不能圍成三角形，分為以下三種情況：l1∥l2，則有－＝，解得m＝－2；l1∥l3，則有－＝－6，解得m＝；l1，l2，l3相交于同一個點，由解得代入3x＋my－1＝0，可得3－m－1＝0，解得m＝2.故選A、B、C.
7.（1，－2）　解析：由兩直線垂直得－×＝－1，解得a＝10.由解得則垂足的坐標為（1，－2）.
8.5x－15y－18＝0　解析：由方程組得又所求直線與直線3x＋y－1＝0垂直，故k＝，∴直線方程為y＋＝，即5x－15y－18＝0.
9.　解析：由方程組解得∵該交點落在平面直角坐標系的第四象限，∴解得即－＜k＜－.則k的取值范圍為.
10.解：（1）解方程組
得所以l1與l2相交，且交點坐標為（－，）.
（2）解方程組
②×6并整理得2x－6y＋3＝0.
因此，①和②可以化成同一個方程，即①和②表示同一條直線，l1與l2重合.
（3）解方程組
④×6－③得3＝0，矛盾.方程組無解，
所以兩直線無公共點，l1∥l2.
11.C　設直線l與l1的交點為A（x0，y0）.由已知條件，得直線l與l2的交點為B（－2－x0，4－y0），
且滿足
即解得即A（－2，5），
所以直線l的方程為＝，即3x＋y＋1＝0.
12.A　lAC：＋＝1，即3x＋2y－6＝0.由得因為S△ABC＝，所以×a×（3－）＝，得a＝或a＝－（舍去）.
13.ABD　對于A項，當k＝0時，直線l2的方程為x＝0，此時直線l2的傾斜角為，故A項正確；對于B項，當k＝－時，直線l2的方程為x－y－1＝0，與l1重合，此時兩直線有公共點；當k≠－時，有1×k－（－1）×（k＋1）＝2k＋1≠0，即l1，l2一定相交.綜上所述，對任意的實數k，直線l1與直線l2都有公共點，故B項正確；對于C項，由B可知，當k＝－時，直線l2與l1重合，故C項錯誤；對于D項，要使直線l1與直線l2垂直，則應有k＋1－k＝0，該方程無解，所以對任意的實數k，直線l1與直線l2都不垂直，故D項正確.故選A、B、D.
14.解：（1）設l2的方程為 2x－y＋m＝0.
因為l2在x軸上的截距為.
所以2×－0＋m＝0，解得m＝－3，
即l2：2x－y－3＝0.
由得
所以直線l1與l2的交點坐標為（2，1）.
（2）當l3過原點時，l3的方程為y＝x；
當l3不過原點時，設l3的方程為＋＝1，
則＋＝1，得a＝，
所以l3的方程為2x＋y－5＝0.
綜上，l3的方程為y＝x或2x＋y－5＝0.
15.解：（1）設點C的坐標為（x，y），
因為在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，
所以線段AB，DC所在直線的斜率相等，線段AD，BC所在直線的斜率相等，
則解得即C（10，6）.
又點M是邊AB的中點，所以M（4，1），
所以直線CM的方程為＝，
即5x－6y－14＝0.
（2）因為B（7，1），D（4，6），
所以直線BD的方程為＝，
即5x＋3y－38＝0.
由得
即點P的坐標為（6，）.
2 / 21.4　兩條直線的交點
新課程標準解讀 核心素養
能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標 數學抽象、數學運算
中程導彈防御系統是用來對敵方彈道導彈進行探測和跟蹤，然后發射攔截導彈，在敵方彈道導彈尚未到達目標之前，在空中對其進行攔截并將其摧毀.假若導彈的飛行路線是一條直線，攔截導彈的飛行路線也是直線，則被攔截的一瞬間即為兩直線相交的過程.
【問題】　把上述問題放在平面直角坐標系中，如何求解兩直線的交點坐標？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　兩直線的交點坐標
1.定義：已知兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，將方程聯立，得方程組若方程組有　　　，則兩條直線相交，此解就是交點的坐標.
2.兩直線l1，l2位置關系的判斷方法
方程組的解 一組 無數組 無解
直線l1，l2的公共點 　　個 無數個 　個
直線l1，l2的位置關系 相交 重合 平行
【想一想】
1.僅用直線的斜率能判斷兩直線的位置關系嗎？
2.平面上兩條直線的位置關系有哪幾種情形？在兩條直線的位置關系中有垂直嗎？它屬于哪種情形？
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）若兩直線相交，則交點坐標一定是兩直線方程所組成的二元一次方程組的解.（　　）
（2）若兩條直線的方程組成的方程組有解，則兩直線相交.（　　）
（3）無論m為何值，x－y＋1＝0與x－2my＋3＝0必相交.（　　）
2.直線y＝x與直線y＝－x＋2的交點坐標為（　　）
A.（－1，－1）　　　　 B.（1，1）
C.（－1，1）　　 D.（1，－1）
3.方程組解的個數是（　　）
A.0　　 B.1
C.2　　 D.無數個
題型一 兩直線的交點問題
【例1】　（鏈接教科書第29頁例1）分別判斷下列直線l1與l2是否相交，如果相交，求出交點的坐標：
（1）l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
（2）l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
（3）l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
通性通法
兩條直線相交的判定方法
（1）聯立直線方程解方程組，若有一解，則兩直線相交；
（2）兩直線的斜率都存在，且斜率不相等，則兩直線相交；
（3）兩直線的斜率一個存在，另一個不存在，兩直線也相交.
【跟蹤訓練】
判斷下列各對直線的位置關系.若相交，求出交點坐標：
（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
題型二 由兩直線的位置關系求參數
【例2】　（鏈接教科書第30頁例2、第31頁練習3題）（1）設a為實數，直線l1：2x＋2y－3＝0，l2：3x＋（a＋1）y－2＝0，若l1∥l2，求a的值；
（2）若三條直線ax＋2y－8＝0，4x＋3y＝10與2x－y＝10相交于一點，求實數a的值.
通性通法
利用兩直線的位置關系求參數的方法
（1）將兩直線的位置關系轉化為由兩直線組成的方程組的解的個數問題，進而求得參數；
（2）利用直線的一般式方程系數的關系，即已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若l1與l2相交，則A1B2－A2B1≠0；若l1∥l2，則A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0（或A1C2－A2C1≠0）；若l1與l2重合，則A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0（或A1C2－A2C1＝0），列出方程求參數.
【跟蹤訓練】
設m為實數，已知直線l1：3x＋（m＋1）y－6＝0，l2：mx＋2y－（m＋2）＝0，當m為何值時，l1與l2：（1）相交；（2）l1∥l2.
題型三 求過兩直線交點的直線
【例3】　（鏈接教科書第30頁例3）求經過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程.
【母題探究】
（變條件）本例中若將“垂直”改為“平行”，其他條件不變，試求直線l的方程.
通性通法
過兩條直線交點的直線方程的求法
（1）常規解法（方程組法）：一般是先解方程組求出交點坐標，再結合其他條件寫出直線方程；
（2）特殊解法（直線系法）：先設出過兩直線交點的直線系方程，再結合條件利用待定系數法求出參數，最后確定直線方程.
提醒　過兩條已知直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（不包括直線A2x＋B2y＋C2＝0）.
【跟蹤訓練】
直線l經過點（1，2），且經過直線2x＋3y＋8＝0與x－y－1＝0的交點，則直線l的方程為（　　）
A.2x＋y＝0　　B.2x－y＝0
C.x＋2y＝0　　D.x－2y＝0
1.直線x＝1和直線y＝2的交點坐標是（　　）
A.（2，2）　　 B.（1，1）
C.（1，2）　　 D.（2，1）
2.已知直線l1：ax＋y＋1＝0與l2：2x－by－1＝0相交于點M（1，1），則a＋b＝（　　）
A.－1　　 B.1
C.2　　 D.－2
3.斜率為－2，且過兩條直線3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交點的直線方程為　　　　.
1.4　兩條直線的交點
【基礎知識·重落實】
知識點
1.唯一解　2.1　0
想一想
1.提示：不能.
2.提示：相交、平行、重合三種情形；有，它屬于相交中的特殊情況.
自我診斷
1.（1）√　（2）×　（3）×
2.B　由解得x＝y＝1，所以交點為（1，1），故選B.
3.A　
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）解方程組得所以l1與l2相交，交點坐標是.
（2）解方程組
①×2－②得9＝0，矛盾，這個方程組無解，所以l1與l2無公共點，l1∥l2.
（3）解方程組
③×2得6x＋8y－10＝0.
即方程組有無數組解，l1與l2重合.
跟蹤訓練
　解：（1）解方程組得所以直線l1與l2相交，交點坐標為（－1，－1）.
（2）解方程組
①×2－②，得1＝0，矛盾，方程組無解.所以直線l1與l2無公共點，即l1∥l2.
【例2】　解：（1）法一　因為l1∥l2，所以方程組無解.
由①×3－②×2得，（4－2a）y＝5， ③
從而③無解，即4－2a＝0，得a＝2.
法二　由題可知A1＝2，B1＝2，C1＝－3，
A2＝3，B2＝a＋1，C2＝－2.
當l1∥l2時，
解得a＝2.
（2）由 即三條直線交于點（4，－2），代入ax＋2y－8＝0，有4a－4－8＝0 a＝3.
跟蹤訓練
　解：（1）∵l1與l2相交，∴A1B2－A2B1≠0，即3×2－m（m＋1）≠0，
即m2＋m－6≠0，解得m≠－3且m≠2，
即當m≠－3且m≠2時，直線l1與l2相交.
（2）∵l1∥l2，則解得m＝－3.
【例3】　解：法一　解方程組得交點坐標為（－1，2）.
又由直線l3的斜率為，得直線l的斜率為－，
則直線l的方程為y－2＝－（x＋1），即5x＋3y－1＝0.
法二　設所求直線l的方程為3x＋2y－1＋λ（5x＋2y＋1）＝0，
即（3＋5λ）x＋2（1＋λ）y－1＋λ＝0， ①
又l⊥l3，則3×（3＋5λ）＋（－5）×（2＋2λ）＝0，解得λ＝，
將λ＝代入①式得5x＋3y－1＝0.
母題探究
　解：解方程組得交點坐標為（－1，2），
又由直線l3的斜率為，得直線l的斜率為，
故直線l的方程為y－2＝（x＋1），
即3x－5y＋13＝0.
跟蹤訓練
　B　設所求直線方程為2x＋3y＋8＋λ（x－y－1）＝0，即（2＋λ）x＋（3－λ）y＋8－λ＝0.因為l過點（1，2），所以（2＋λ）＋2（3－λ）＋8－λ＝0，解得λ＝8.則直線l的方程為2x－y＝0.故選B.
隨堂檢測
1.C　由得交點坐標為（1，2），故選C.
2.A　∵ 點M（1，1）在直線l1和l2上，∴解得∴a＋b＝－1.故選A.
3.2x＋y－4＝0　解析：設所求直線方程為3x－y＋4＋λ（x＋y－4）＝0，即（3＋λ）x＋（λ－1）y＋4－4λ＝0，∴k＝＝－2，解得λ＝5.∴所求直線方程為2x＋y－4＝0.
1 / 3(共60張PPT)
1.4　兩條直線的交點
新課程標準解讀 核心素養
能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標 數學抽象、數
學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
中程導彈防御系統是用來對敵方彈道導彈進行探測和跟蹤，然后發射
攔截導彈，在敵方彈道導彈尚未到達目標之前，在空中對其進行攔截
并將其摧毀.假若導彈的飛行路線是一條直線，攔截導彈的飛行路線
也是直線，則被攔截的一瞬間即為兩直線相交的過程.
【問題】　把上述問題放在平面直角坐標系中，如何求解兩直線的交
點坐標？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　兩直線的交點坐標
1. 定義：已知兩條直線 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0， l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2
＝0，將方程聯立，得方程組若方程組有
，則兩條直線相交，此解就是交點的坐標.
唯
一解　
方程組 的解 一組 無數組 無解
直線 l1， l2的公共點 個 無數個 個
直線 l1， l2的位置關系 相交 重合 平行
1　
0　
2. 兩直線 l1， l2位置關系的判斷方法
【想一想】
1. 僅用直線的斜率能判斷兩直線的位置關系嗎？
提示：不能.
2. 平面上兩條直線的位置關系有哪幾種情形？在兩條直線的位置關系
中有垂直嗎？它屬于哪種情形？
提示：相交、平行、重合三種情形；有，它屬于相交中的特殊
情況.
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）若兩直線相交，則交點坐標一定是兩直線方程所組成的二元
一次方程組的解. （　√　）
（2）若兩條直線的方程組成的方程組有解，則兩直線相交.
（　×　）
（3）無論 m 為何值， x － y ＋1＝0與 x －2 my ＋3＝0必相交.
（　×　）
√
×
×
2. 直線 y ＝ x 與直線 y ＝－ x ＋2的交點坐標為（　　）
A. （－1，－1） B. （1，1）
C. （－1，1） D. （1，－1）
解析：　由解得 x ＝ y ＝1，所以交點為（1，1），
故選B.
3. 方程組解的個數是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 無數個
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 兩直線的交點問題
【例1】　（鏈接教科書第29頁例1）分別判斷下列直線 l1與 l2是否相
交，如果相交，求出交點的坐標：
（1） l1： x － y ＝0， l2：3 x ＋3 y －10＝0；
解：解方程組得
所以 l1與 l2相交，交點坐標是 .
（2） l1：3 x － y ＋4＝0， l2：6 x －2 y －1＝0；
解：解方程組
①×2－②得9＝0，矛盾，這個方程組無解，所以 l1與 l2無公共
點， l1∥ l2.
（3） l1：3 x ＋4 y －5＝0， l2：6 x ＋8 y －10＝0.
解：解方程組
③×2得6 x ＋8 y －10＝0.
即方程組有無數組解， l1與 l2重合.
通性通法
兩條直線相交的判定方法
（1）聯立直線方程解方程組，若有一解，則兩直線相交；
（2）兩直線的斜率都存在，且斜率不相等，則兩直線相交；
（3）兩直線的斜率一個存在，另一個不存在，兩直線也相交.
【跟蹤訓練】
判斷下列各對直線的位置關系.若相交，求出交點坐標：
（1） l1：2 x ＋ y ＋3＝0， l2： x －2 y －1＝0；
解：解方程組得所以直線 l1
與 l2相交，交點坐標為（－1，－1）.
（2） l1： x ＋ y ＋2＝0， l2：2 x ＋2 y ＋3＝0.
解：解方程組
①×2－②，得1＝0，矛盾，方程組無解.所以直線 l1與 l2無公共
點，即 l1∥ l2.
題型二 由兩直線的位置關系求參數
【例2】　（鏈接教科書第30頁例2、第31頁練習3題）（1）設 a 為實
數，直線 l1：2 x ＋2 y －3＝0， l2：3 x ＋（ a ＋1） y －2＝0，若 l1∥
l2，求 a 的值；
解：法一　因為 l1∥ l2，所以方程組
無解.
由①×3－②×2得，（4－2 a ） y ＝5，　③
從而③無解，即4－2 a ＝0，得 a ＝2.
法二　由題可知 A1＝2， B1＝2， C1＝－3，
A2＝3， B2＝ a ＋1， C2＝－2.
當 l1∥ l2時，
解得 a ＝2.
（2）若三條直線 ax ＋2 y －8＝0，4 x ＋3 y ＝10與2 x － y ＝10相交于一
點，求實數 a 的值.
解：由 即三條直線交于點（4，－
2），代入 ax ＋2 y －8＝0，有4 a －4－8＝0 a ＝3.
通性通法
利用兩直線的位置關系求參數的方法
（1）將兩直線的位置關系轉化為由兩直線組成的方程組的解的個數
問題，進而求得參數；
（2）利用直線的一般式方程系數的關系，即已知直線 l1： A1 x ＋ B1 y
＋ C1＝0， l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0，若 l1與 l2相交，則 A1 B2－ A2
B1≠0；若 l1∥ l2，則 A1 B2－ A2 B1＝0且 B1 C2－ B2 C1≠0（或 A1 C2
－ A2 C1≠0）；若 l1與 l2重合，則 A1 B2－ A2 B1＝0且 B1 C2－ B2 C1
＝0（或 A1 C2－ A2 C1＝0），列出方程求參數.
【跟蹤訓練】
設 m 為實數，已知直線 l1：3 x ＋（ m ＋1） y －6＝0， l2： mx ＋2 y －
（ m ＋2）＝0，當 m 為何值時， l1與 l2：
（1）相交；（2） l1∥ l2.
解：（1）∵ l1與 l2相交，∴ A1 B2－ A2 B1≠0，即3×2－ m （ m ＋
1）≠0，
即 m2＋ m －6≠0，解得 m ≠－3且 m ≠2，
即當 m ≠－3且 m ≠2時，直線 l1與 l2相交.
（2）∵ l1∥ l2，則解得 m ＝－3.
題型三 求過兩直線交點的直線
【例3】　（鏈接教科書第30頁例3）求經過直線 l1：3 x ＋2 y －1＝0和
l2：5 x ＋2 y ＋1＝0的交點，且垂直于直線 l3：3 x －5 y ＋6＝0的直線 l
的方程.
解：法一　解方程組得交點坐標為（－1，2）.
又由直線 l3的斜率為 ，得直線 l 的斜率為－ ，
則直線 l 的方程為 y －2＝－ （ x ＋1），即5 x ＋3 y －1＝0.
法二　設所求直線 l 的方程為3 x ＋2 y －1＋λ（5 x ＋2 y ＋1）＝0，
即（3＋5λ） x ＋2（1＋λ） y －1＋λ＝0， ①
又 l ⊥ l3，則3×（3＋5λ）＋（－5）×（2＋2λ）＝0，
解得λ＝ ，
將λ＝ 代入①式得5 x ＋3 y －1＝0.
【母題探究】
（變條件）本例中若將“垂直”改為“平行”，其他條件不變，試求
直線 l 的方程.
解：解方程組得交點坐標為（－1，2），
又由直線 l3的斜率為 ，得直線 l 的斜率為 ，
故直線 l 的方程為 y －2＝ （ x ＋1），
即3 x －5 y ＋13＝0.
通性通法
過兩條直線交點的直線方程的求法
（1）常規解法（方程組法）：一般是先解方程組求出交點坐標，再
結合其他條件寫出直線方程；
（2）特殊解法（直線系法）：先設出過兩直線交點的直線系方程，
再結合條件利用待定系數法求出參數，最后確定直線方程.
提醒　過兩條已知直線 A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0， A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0
交點的直線系方程為 A1 x ＋ B1 y ＋ C1＋λ（ A2 x ＋ B2 y ＋ C2）＝0
（不包括直線 A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0）.
【跟蹤訓練】
直線 l 經過點（1，2），且經過直線2 x ＋3 y ＋8＝0與 x － y －1＝0的交
點，則直線 l 的方程為（　　）
A. 2 x ＋ y ＝0 B. 2 x － y ＝0
C. x ＋2 y ＝0 D. x －2 y ＝0
解析：　設所求直線方程為2 x ＋3 y ＋8＋λ（ x － y －1）＝0，即
（2＋λ） x ＋（3－λ） y ＋8－λ＝0.因為 l 過點（1，2），所以（2
＋λ）＋2（3－λ）＋8－λ＝0，解得λ＝8.則直線 l 的方程為2 x － y
＝0.故選B.
1. 直線 x ＝1和直線 y ＝2的交點坐標是（　　）
A. （2，2） B. （1，1）
C. （1，2） D. （2，1）
解析：　由得交點坐標為（1，2），故選C.
2. 已知直線 l1： ax ＋ y ＋1＝0與 l2：2 x － by －1＝0相交于點 M （1，
1），則 a ＋ b ＝（　　）
A. －1 B. 1
C. 2 D. －2
解析：　∵ 點 M （1，1）在直線 l1和 l2上，∴解
得∴ a ＋ b ＝－1.故選A.
3. 斜率為－2，且過兩條直線3 x － y ＋4＝0和 x ＋ y －4＝0交點的直線
方程為 .
解析：設所求直線方程為3 x － y ＋4＋λ（ x ＋ y －4）＝0，即（3
＋λ） x ＋（λ－1） y ＋4－4λ＝0，∴ k ＝ ＝－2，解得λ＝
5.∴所求直線方程為2 x ＋ y －4＝0.
2 x ＋ y －4＝0　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 直線 x ＋2 y －4＝0與直線2 x － y ＋2＝0的交點坐標是（　　）
A. （2，0） B. （2，1）
C. （0，2） D. （1，2）
解析：　解方程組得即直線 x ＋2 y －4
＝0與直線2 x － y ＋2＝0的交點坐標是（0，2）.
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2. 若直線 x － ay ＝0與直線2 x ＋ y －1＝0的交點為（1， y0），則實數
a ＝（　　）
A. －1 B. －
C. 1 D. 2
解析：　直線 x － ay ＝0與直線2 x ＋ y －1＝0的交點為（1，
y0），所以 故選A.
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3. 直線2 x ＋3 y － k ＝0和直線 x － ky ＋12＝0的交點在 x 軸上，則 k ＝
（　　）
A. －24 B. 24
C. 6 D. ±6
解析：　因為直線2 x ＋3 y － k ＝0和直線 x － ky ＋12＝0的交點在
x 軸上，可設交點坐標為（ a ，0），所以解得
故選A.
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4. 過兩直線 x ＋ y －3＝0，2 x － y ＝0的交點，且與直線 y ＝ x 平行的
直線方程為（　　）
A. x ＋3 y ＋5＝0 B. x ＋3 y －5＝0
C. x －3 y ＋5＝0 D. x －3 y －5＝0
解析：　由解得則直線 x ＋ y －3＝0，2
x － y ＝0的交點坐標為（1，2），又直線 y ＝ x 的斜率為 ，則所
求直線方程為 y －2＝ （ x －1），整理得 x －3 y ＋5＝0，故選C.
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5. （多選）下列選項中，正確的有（　　）
A. 直線 l1： x － y ＋2＝0和 l2：2 x ＋ y －5＝0的交點坐標為（1，3）
B. 直線 l1： x －2 y ＋4＝0和 l2：2 x －4 y ＋8＝0的交點坐標為（2，1）
C. 直線 l1：2 x ＋ y ＋2＝0和 l2： y ＝－2 x ＋3交點坐標為（－2，2）
D. 直線 l1： x －2 y ＋1＝0和 l2： y ＝ x ， l3：2 x ＋ y －3＝0相交于一點
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解析：　方程組的解為因此直線 l1和
l2相交，交點坐標為（1，3），A正確；方程組
有無數個解，這表明直線 l1和 l2重合，B錯誤；方程組
無解，這表明直線 l1和 l2沒有公共點，故 l1∥ l2，
C錯誤；方程組的解為將點（1，1）代
入 l3得2＋1－3＝0，所以三條直線相交于一點（1，1），D正確.故
選A、D.
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6. （多選）若三條直線 l1：3 x ＋ my －1＝0， l2：3 x －2 y －5＝0，
l3：6 x ＋ y －5＝0不能圍成三角形，則 m 的值可以是（　　）
A. 2 B. －2
C. D. －
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解析：　三條直線不能圍成三角形，分為以下三種情況： l1∥
l2，則有－ ＝ ，解得 m ＝－2； l1∥ l3，則有－ ＝－6，解得 m
＝ ； l1， l2， l3相交于同一個點，由解得
代入3 x ＋ my －1＝0，可得3－ m －1＝0，解得 m ＝2.故
選A、B、C.
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7. 已知直線 ax ＋4 y －2＝0與2 x －5 y －12＝0互相垂直，則垂足的坐
標為 .
解析：由兩直線垂直得－ × ＝－1，解得 a ＝10.由
解得則垂足的坐標為（1，－2）.
（1，－2）　
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8. 經過兩直線2 x －3 y －3＝0和 x ＋ y ＋2＝0的交點且與直線3 x ＋ y －
1＝0垂直的直線 l 的方程為 .
解析：由方程組得又所求直線與直
線3 x ＋ y －1＝0垂直，故 k ＝ ，∴直線方程為 y ＋ ＝ ，
即5 x －15 y －18＝0.
5 x －15 y －18＝0　
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9. 若兩條直線 l1： y ＝ kx ＋2 k ＋1和 l2： x ＋2 y －4＝0的交點在第四象
限，則 k 的取值范圍是 .
　
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解析：由方程組解得∵該交點落在
平面直角坐標系的第四象限，∴解得
即－ ＜ k ＜－ .則 k 的取值范圍為 .
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10. 判斷下列各組直線的位置關系，如果相交，求出交點的坐標：
（1） l1：5 x ＋4 y －2＝0， l2：2 x ＋ y ＋2＝0；
解：解方程組得
所以 l1與 l2相交，且交點坐標為（－ ， ）.
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（2） l1：2 x －6 y ＋3＝0， l2： y ＝ x ＋ ；
解：解方程組
②×6并整理得2 x －6 y ＋3＝0.
因此，①和②可以化成同一個方程，即①和②表示同一條直
線， l1與 l2重合.
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（3） l1：2 x －6 y ＝0， l2： y ＝ x ＋ .
解：解方程組
④×6－③得3＝0，矛盾.方程組無解，
所以兩直線無公共點， l1∥ l2.
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11. 直線 l 被兩條直線 l1：4 x ＋ y ＋3＝0和 l2：3 x －5 y －5＝0截得的線
段的中點為 P （－1，2），則直線 l 的方程為（　　）
A. 3 x － y ＋1＝0 B. x －3 y ＋1＝0
C. 3 x ＋ y ＋1＝0 D. x ＋3 y ＋1＝0
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解析：　設直線 l 與 l1的交點為 A （ x0， y0）.由已知條件，得直
線 l 與 l2的交點為 B （－2－ x0，4－ y0），且滿足
即解得即 A （－2，5），
所以直線 l 的方程為 ＝ ，即3 x ＋ y ＋1＝0.
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12. △ ABC 的三個頂點分別為 A （0，3）， B （3，3）， C （2，0），
如果直線 x ＝ a 將△ ABC 分割成面積相等的兩部分，則實數 a ＝
（　　）
A. B. 1＋
C. 1＋ D. 2－
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解析：　 lAC ： ＋ ＝1，即3 x ＋2 y －6＝0.由
得因為 S△ ABC ＝ ，所以 × a ×
（3－ ）＝ ，得 a ＝ 或 a ＝－ （舍去）.
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13. （多選）已知直線 l1： x － y －1＝0和直線 l2：（ k ＋1） x ＋ ky ＋ k
＝0（ k ∈R），則下列結論正確的是（　　）
A. 存在實數 k ，使得直線 l2的傾斜角為
B. 對任意的實數 k ，直線 l1與直線 l2都有公共點
C. 對任意的實數 k ，直線 l1與直線 l2都不重合
D. 對任意的實數 k ，直線 l1與直線 l2都不垂直
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解析：　對于A項，當 k ＝0時，直線 l2的方程為 x ＝0，此時
直線 l2的傾斜角為 ，故A項正確；對于B項，當 k ＝－ 時，直線
l2的方程為 x － y －1＝0，與 l1重合，此時兩直線有公共點；當 k ≠
－ 時，有1× k －（－1）×（ k ＋1）＝2 k ＋1≠0，即 l1， l2一定
相交.綜上所述，對任意的實數 k ，直線 l1與直線 l2都有公共點，
故B項正確；對于C項，由B可知，當 k ＝－ 時，直線 l2與 l1重
合，故C項錯誤；對于D項，要使直線 l1與直線 l2垂直，則應有 k ＋
1－ k ＝0，該方程無解，所以對任意的實數 k ，直線 l1與直線 l2都
不垂直，故D項正確.故選A、B、D.
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14. 已知直線 l1的方程為 x ＋2 y －4＝0， l2在 x 軸上的截距為 ，且 l1⊥
l2.
（1）求直線 l1與 l2的交點坐標；
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解：設 l2的方程為 2 x － y ＋ m ＝0.
因為 l2在 x 軸上的截距為 .
所以2× －0＋ m ＝0，解得 m ＝－3，
即 l2：2 x － y －3＝0.
由得
所以直線 l1與 l2的交點坐標為（2，1）.
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（2）已知直線 l3經過 l1與 l2的交點，且在 y 軸上的截距是在 x 軸上
的截距的2倍，求 l3的方程.
解：當 l3過原點時， l3的方程為 y ＝ x ；
當 l3不過原點時，設 l3的方程為 ＋ ＝1，
則 ＋ ＝1，得 a ＝ ，
所以 l3的方程為2 x ＋ y －5＝0.
綜上， l3的方程為 y ＝ x 或2 x ＋ y －5＝0.
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15. 已知在平行四邊形 ABCD 中， A （1，1）， B （7，1）， D （4，
6），點 M 是邊 AB 的中點， CM 與 BD 交于點 P .
（1）求直線 CM 的方程；
解：設點 C 的坐標為（ x ， y ），
因為在平行四邊形 ABCD 中， AB ∥ DC ， AD ∥ BC ，
所以線段 AB ， DC 所在直線的斜率相等，線段 AD ， BC 所
在直線的斜率相等，
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則
解得即 C （10，6）.
又點 M 是邊 AB 的中點，
所以 M （4，1），
所以直線 CM 的方程為 ＝ ，
即5 x －6 y －14＝0.
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（2）求點 P 的坐標.
解：因為 B （7，1）， D （4，6），
所以直線 BD 的方程為 ＝ ，
即5 x ＋3 y －38＝0.
由得
即點 P 的坐標為（6， ）.
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