資源簡介

對稱問題
題型一 中心對稱問題
【例1】?。?）求點P（x0，y0）關于點A（a，b）的對稱點P'的坐標；
（2）求直線3x－y－4＝0關于點（2，－1）的對稱直線l的方程.
通性通法
1.解決點關于點對稱問題的方法
點P（x0，y0）關于點A（m，n）的對稱點P'（x'，y'）可利用中點坐標公式求得，由得
2.解決直線關于點對稱問題的方法
方法一：在已知直線上取兩點，根據點的中心對稱的方法求出對稱點，再由對稱點確定對稱直線；
方法二：在已知直線上取一點，求出它關于已知點的對稱點，再利用對稱直線與原直線平行求直線方程；
特別地，直線Ax＋By＋C＝0關于原點對稱的直線方程是A（－x）＋B（－y）＋C＝0.
【跟蹤訓練】
1.（2024·揚州月考）若點P（3，4）是線段AB的中點，且點A的坐標為（－1，2），則點B的坐標為　　　　.
2.已知直線l1：2x＋y＋2＝0與l2：4x＋by＋c＝0關于點P（1，0）對稱，則b＋c＝　　　　.
題型二 軸對稱問題
【例2】　（2024·宿遷質檢）已知直線l：y＝3x＋3，求：
（1）點P（4，5）關于直線l的對稱點的坐標；
（2）直線y＝x－2關于直線l的對稱直線的方程.
通性通法
1.解決點關于直線對稱問題的方法
已知P（x，y），直線l：Ax＋By＋C＝0，求點P關于直線l的對稱點P'（x'，y'）可以分三步來求：
第一步，直線PP'和l垂直，故kPP'·kl＝－1（kl≠0）；
第二步，PP'的中點在直線l上，即（，）滿足直線方程Ax＋By＋C＝0，得到A·＋B·＋C＝0；
第三步，聯立兩式可解出x'，y'.
2.解決直線關于直線對稱問題的方法
已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，求直線l1關于直線l2的對稱直線的方程：
（1）如果l1∥l2，則設所求直線方程為A1x＋B1y＋m＝0（m≠C1），然后在l1上找一點P，求出點P關于直線l2的對稱點P'（x'，y'），再代入A1x＋B1y＋m＝0即可解出m；
（2）如果l1不平行于l2，則先找出l1與l2的交點P，然后在l1上確定一點（不同于交點），找出這一點關于l2的對稱點P'，由直線方程的兩點式確定所求直線方程.
【跟蹤訓練】
（2024·南京月考）已知直線l1：x－y＋3＝0，直線l：x－y－1＝0.若直線l1關于直線l的對稱直線為l2，求直線l2的方程.
題型三 對稱問題的應用
角度1　光的反射問題
【例3】　已知光線從點A（－2，1）射出，經直線2x－y＋10＝0反射，且反射光線所在直線過點B（－8，－3），則反射光線所在直線的方程是（　　）
A.x－3y－1＝0　　B.3x－y＋21＝0
C.x＋3y＋17＝0　　D.3x＋y＋15＝0
通性通法
利用對稱解決光線反射問題的方法
　　根據平面幾何知識和光學知識，入射光線、反射光線所在的直線關于法線對稱，即入射光線、反射光線上對應的點關于法線對稱.利用點的對稱關系可以求解.
角度2　利用對稱解決有關最值問題
【例4】　（2024·淮安月考）在直線l：x－y－1＝0上求兩點P，Q.使得：
（1）P到A（4，1）與B（0，4）的距離之差最大；
（2）Q到A（4，1）與C（3，0）的距離之和最小.
通性通法
利用對稱性求距離最值問題的方法
　　要解決在直線l上求一點，使這點到兩定點A，B的距離之和（差）的最值問題，一般借助平面幾何知識（三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差的絕對值小于第三邊）及對稱性解決.即：
（1）若兩點A，B位于直線l的同側，要求直線l上到A，B距離之和最小的點，只需作A（或B）關于直線l的對稱點A'（或B'），得直線A'B（或AB'）的方程，再求其與直線l的交點即可；
（2）若兩點A，B位于直線l的同側，要求直線l上到A，B距離之差最大的點，則只需求出直線AB的方程，再求其與直線l的交點即可；
（3）若兩點A，B位于直線l的異側，要求直線l上到A，B距離之差最大的點，則只需作A（或B）關于直線l的對稱點A'（或B'），得直線A'B（或AB'）的方程，再求其與直線l的交點即可.
【跟蹤訓練】
1.一條光線從點A（－1，3）射向x軸，經過x軸上的點P反射后經過點B（3，1），則點P的坐標為（　?。?br/>A.（0，0）　　B.（1，0）
C.（2，0）　　D.（3，0）
2.（2024·常州月考）已知直線l：x－2y＋8＝0和兩點A（2，0），B（－2，－4），在直線l上求一點P，使｜PB－PA｜最大.
1.點A（－3，1），C（1，y）關于點B（－1，－3）對稱，則y的值為（　?。?br/>A.－5　　 B.－6
C.－7　　 D.－8
2.點（3，9）關于直線x＋3y－10＝0對稱的點的坐標是（　?。?br/>A.（－1，－3）　　 B.（17，－9）
C.（－1，3）　 D.（－17，9）
3.直線x－2y－1＝0關于直線y－x＝0對稱的直線方程是（　?。?br/>A.2x－y＋1＝0
B.2x＋y－1＝0
C.2x＋y＋1＝0
D.x＋2y＋1＝0
4.一束光線從原點O（0，0）出發，經過直線l：8x＋6y＝25反射后通過點P（－4，3），求反射光線的方程及光線從O點到達P點所走過的路程.
培優課　對稱問題
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）根據題意可知點A（a，b）為PP'的中點，設點P'的坐標為（x，y），
則根據中點坐標公式，得所以
所以點P'的坐標為（2a－x0，2b－y0）.
（2）法一　設直線l上任意一點M的坐標為（x，y），則此點關于點（2，－1）的對稱點為M1（4－x，－2－y），
且M1在直線3x－y－4＝0上，
所以3（4－x）－（－2－y）－4＝0，即3x－y－10＝0.
所以所求直線l的方程為3x－y－10＝0.
法二　在直線3x－y－4＝0上取兩點A（0，－4），B（1，－1），
則點A（0，－4）關于點（2，－1）的對稱點為A1（4，2），
點B（1，－1）關于點（2，－1）的對稱點為B1（3，－1）.
可得直線A1B1的方程為3x－y－10＝0，
即所求直線l的方程為3x－y－10＝0.
法三　由平面幾何知識易知所求直線l與直線3x－y－4＝0平行，
則可設l的方程為3x－y＋c＝0（c≠－4）.
在直線3x－y－4＝0上取一點（0，－4），
則點（0，－4）關于點（2，－1）的對稱點（4，2）在直線3x－y＋c＝0上，
所以3×4－2＋c＝0，所以c＝－10.
所以所求直線l的方程為3x－y－10＝0.
跟蹤訓練
1.（7，6）　解析：設點B（x，y），∵點P（3，4）是線段AB的中點，且點A的坐標為（－1，2），∴解得x＝7，y＝6，∴點B的坐標為（7，6）.
2.－10　解析：在直線l1：2x＋y＋2＝0上取點M（－1，0），N（0，－2），M，N關于點P（1，0）對稱的點分別為M1（3，0），N1（2，2）.∵點M1（3，0），N1（2，2）在直線l2：4x＋by＋c＝0上，∴12＋c＝0，8＋2b＋c＝0，解得c＝－12，b＝2，∴b＋c＝－10.
【例2】　解：（1）設點P關于直線l的對稱點為P'（x'，y'），則線段PP'的中點在直線l上，且直線PP'垂直于直線l，即解得
所以點P'的坐標為（－2，7）.
（2）解方程組得
則點（－，－）在所求直線上.
在直線y＝x－2上任取一點M（2，0），
設點M關于直線l的對稱點為M'（x0，y0），
則解得
點M'（－，）也在所求直線上.
由兩點式得直線方程為＝，
化簡得7x＋y＋22＝0，即為所求直線方程.
跟蹤訓練
　解：法一　因為l1∥l，所以l2∥l，設直線l2的方程為x－y＋m＝0（m≠3，m≠－1）.
因為直線l1，l2關于直線l對稱，所以l1與l間的距離等于l2與l間的距離.
由兩條平行直線間的距離公式，得＝，解得m＝－5或m＝3（舍去）.
所以直線l2的方程為x－y－5＝0.
法二　由題意知l1∥l2，設直線l2的方程為x－y＋m＝0（m≠3，m≠－1）.
在直線l1上取點M（0，3），設點M關于直線l的對稱點為M'（a，b），于是有解得即點M'的坐標為（4，－1）.
把點M'的坐標代入l2的方程，得m＝－5，所以直線l2的方程為x－y－5＝0.
【例3】　B　設A（－2，1）關于直線2x－y＋10＝0的對稱點為C（x，y），則
解得即C（－6，3），所以反射光線所在直線方程為y－3＝·（x＋6），即3x－y＋21＝0.故選B.
【例4】　解：（1）如圖，設點B關于l的對稱點B'的坐標為（a，b），連接BB'，則kBB'·kl＝－1，即×1＝－1，
∴a＋b－4＝0， ①
∵BB'的中點（，）在直線l上，
∴－－1＝0，即a－b－6＝0. ②
由①②得
∴點B'的坐標為（5，－1）.
于是AB'所在直線的方程為＝，即2x＋y－9＝0.
易知｜PB－PA｜＝｜PB'－PA｜，當且僅當P，B'，A三點共線時，｜PB'－PA｜最大.
∴聯立直線l與AB'的方程，解得x＝，y＝，
即直線l與AB'的交點坐標為（，）.
故點P的坐標為（，）.
（2）如圖，設點C關于l的對稱點為C'，可求得C'的坐標為（1，2），
∴AC'所在直線的方程為x＋3y－7＝0.
易知QA＋QC＝QA＋QC'，當且僅當Q，A，C'三點共線時，QA＋QC'最小.
∴聯立直線AC'與l的方程，解得x＝，y＝，
即直線AC'與l的交點坐標為（，）.
故點Q的坐標為（，）.
跟蹤訓練
1.C　由題可得B（3，1）關于x軸的對稱點為B'（3，－1），則直線AB'的方程為＝，可得y＝－x＋2，令y＝0，可得x＝2，所以點P（2，0）.
2.解：易知A，B兩點在直線l的同側，
當且僅當A，B，P三點共線時，｜PB－PA｜取得最大值，
又直線AB的方程為y＝x－2，
則得
故所求的點P的坐標為（12，10）.
隨堂檢測
1.C　由已知得＝－3，解得y＝－7.
2.A　設點（3，9）關于直線x＋3y－10＝0對稱的點的坐標為（a，b），則由
解得即得該點坐標為（－1，－3）.故選A.
3.A　由得其交點為（－1，－1），則點（－1，－1）在所求直線上，在直線x－2y－1＝0上任取一點P（1，0），設點P關于直線y－x＝0的對稱點為P'（x0，y0），則解得即P'（0，1），又點P'也在所求直線上，則所求直線方程為＝，即2x－y＋1＝0，故選A.
4.解：如圖，設原點關于l的對稱點A的坐標為（a，b），
由直線OA與l垂直和線段AO的中點在l上得
解得∴A的坐標為（4，3）.
∴反射光線的反向延長線過A（4，3），
又由反射光線過P（－4，3），A，P兩點縱坐標相等，
故反射光線所在直線的方程為y＝3.
聯立解得
由于反射光線為射線，故反射光線的方程為y＝3.
由光的性質可知，光線從O到P的路程即為AP的長度，
由A（4，3），P（－4，3）知，AP＝4－（－4）＝8，
即光線從O經直線l反射后到達P點所走過的路程為8.
2 / 3培優課　對稱問題
1.已知點A（x，5）關于點（1，y）的對稱點為（－2，－3），則點P（x，y）到原點的距離是（　　）
A.2　　 B.4
C.5　　 D.
2.點P（2，5）關于x＋y＋1＝0的對稱點的坐標為（　?。?br/>A.（6，3）　　 B.（3，－6）
C.（－6，－3）　　 D.（－6，3）
3.（2024·蘇州質檢）直線2x＋3y－6＝0關于點（1，－1）對稱的直線方程是（　　）
A.3x－2y－6＝0　　 B.2x＋3y＋7＝0
C.3x－2y－12＝0　　 D.2x＋3y＋8＝0
4.兩直線l1：3x－2y－6＝0，l2：3x－2y＋8＝0，則直線l1關于直線l2對稱的直線方程為（　?。?br/>A.3x－2y＋24＝0　　 B.3x－2y－10＝0
C.3x－2y－20＝0　　 D.3x－2y＋22＝0
5.（2024·南通月考）如圖所示，已知點A（4，0），B（0，4），從點P（2，0）射出的光線經直線AB反射后再射到直線OB上，最后經直線OB反射后又回到點P，則光線所經過的路程是（　?。?br/>A.2　　 B.6
C.3　　 D.2
6.已知點A（－3，5），B（3，1），在直線l：y＝x上求一點P，使｜PA－PB｜的值最大，則P點的坐標為（　　）
A.（0，0）　　 B.（，）
C.（，）　　 D.（7，7）
7.（多選）已知直線l：y＝x，點A（0，－1），則（　?。?br/>A.過點A與l平行的直線的方程為y＝x－1
B.點A關于l對稱的點的坐標為（0，1）
C.點A到直線l的距離為
D.過點A與l垂直的直線的方程為y＝－x－1
8.已知直線l：3x＋2y－1＝0與直線l1關于直線x＋y＝0對稱，則l1的方程為　　　　.
9.已知入射光線經過點M（－3，4），被直線l：x－3＝0反射，反射光線經過點N（2，6），則反射光線所在直線的方程為　　　　.
10.（2024·南京質檢）著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休.”事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：可以轉化為平面上點M（x，y）與點N（a，b）的距離.結合上述觀點，可得f（x）＝＋的最小值為　　　　.
11.若函數y＝的圖象上存在兩點P，Q關于點（1，0）對稱，則直線PQ的方程是　　　　.
12.已知點M（3，5），在直線l：x－2y＋2＝0和y軸上各找一點P和Q，使△MPQ的周長最小，并求出P和Q兩點的坐標.
13.已知直線l：x－y＋3＝0，一束光線從點A（1，2）處射向x軸上一點B，又從點B反射到l上的一點C，最后從點C反射回點A.
（1）試判斷由此得到的△ABC的個數；
（2）求直線BC的方程.
培優課　對稱問題
1.D　由題可知： 所以點P（x，y）到原點的距離是.故選D.
2.C　設點P（2，5）關于直線x＋y＋1＝0的對稱點為Q（a，b），則解得因此，點P（2，5）關于直線x＋y＋1＝0的對稱點的坐標為（－6，－3）.故選C.
3.D　首先在所求直線上取點（x，y），則點（x，y）關于點（1，－1）對稱的點的坐標為（2－x，－2－y），代入直線2x＋3y－6＝0，可得2（2－x）＋3（－2－y）－6＝0，整理得2x＋3y＋8＝0，故選D.
4.D　設所求直線方程為3x－2y＋c＝0（c≠－6，c≠8），由題意可知，所求直線到直線l2的距離等于直線l1，l2間的距離，∴＝.解得c＝22或c＝－6（舍去），∴所求直線的方程為3x－2y＋22＝0.故選D.
5.A　由題意知，AB所在直線的方程為x＋y－4＝0.如圖，點P關于直線AB的對稱點為D（4，2），關于y軸的對稱點為C（－2，0），連接MD，NC，易知PM＝MD，PN＝NC，所以PM＋MN＋NP＝MD＋MN＋NC＝CD，故光線所經過的路程為CD＝2.
6.B　如圖，設點B關于直線l的對稱點B'的坐標為（a，b），連接BB'，則kBB'·kl＝－1，即＝－1，得a＋b－4＝0，①.又由BB'的中點（，）在直線l上，所以＝，即a－b＋2＝0，②.由①②解得所以B'（1，3），于是AB'所在直線方程為＝，即x＋2y－7＝0，易知｜PA－PB｜＝｜PA－PB'｜，當且僅當P，B'，A三點共線時｜PA－PB'｜最大，即由得其交點坐標為（，），故P點坐標為（，）.故選B.
7.ACD　與直線y＝x平行的直線方程可設為y＝x＋m，代入點A（0，－1）得－1＝0＋m，即m＝－1，即平行線方程為y＝x－1，A正確；點A關于l的對稱點坐標為（－1，0），B錯；點A到直線l的距離為d＝＝，C正確；與直線l垂直的直線方程可設為y＝－x＋n，代入A點坐標得－1＝0＋n，n＝－1，即直線方程為y＝－x－1，D正確.故選A、C、D.
8.2x＋3y＋1＝0　解析：x＋y＝0與l：3x＋2y－1＝0不平行，故l1經過x＋y＝0與l：3x＋2y－1＝0的交點，聯立解得即（1，－1）在l1上，取l：3x＋2y－1＝0上另一點（3，－4），設（3，－4）關于直線x＋y＝0的對稱點為（m，n），則有解得l1過兩點（1，－1）和（4，－3），故方程為＝，即2x＋3y＋1＝0.
9.2x＋7y－46＝0　解析：由題意可知，反射光線經過點M（－3，4）關于直線l的對稱點P（9，4），如圖所示.直線PN的方程即為反射光線所在的直線方程，又N（2，6），P（9，4）可得kPN＝＝－，根據直線的點斜式方程可得，反射光線所在直線方程為y－6＝－（x－2），整理得2x＋7y－46＝0，即反射光線所在直線的方程為2x＋7y－46＝0.
10.5　解析：∵f（x）＝＋＝＋，∴f（x）的幾何意義為點M（x，0）到兩定點A（－2，4）與B（－1，3）的距離之和，設點A（－2，4）關于x軸的對稱點為A'，則A'（－2，－4）.要求f（x）的最小值，可轉化為求MA＋MB的最小值，利用對稱思想可知MA＋MB≥A'B＝＝5，即f（x）＝＋的最小值為5.
11.x－4y－1＝0　解析：根據題意，設P（p，），Q（q，），因為線段PQ的中點是（1，0），所以整理得所以p，q為方程x2－2x－1＝0的根，解得x＝1±，所以P（1＋，），Q（1－，－）或P（1－，－），Q（1＋，）.由兩點式得直線PQ的方程為x－4y－1＝0.
12.解：由題可得，設點M（3，5）關于直線l的對稱點為M1（a，b），
則
解得即M1（5，1），
點M（3，5）關于y軸的對稱點為M2（－3，5），
則直線M1M2的方程為＝，即x＋2y－7＝0.
當P，Q分別為直線M1M2與直線l，y軸的交點時，△MPQ的周長最小.
令x＝0，得到直線M1M2與y軸的交點Q（0，）.
由解得
所以直線M1M2與直線l的交點為P（，）.
故點P（，），Q（0，）即為所求.
13.解：（1）如圖，設B（m，0），點A關于x軸的對稱點為A'（1，－2），點B關于直線x－y＋3＝0的對稱點為B'（－3，m＋3）.
根據光學知識，直線AB'與直線BC關于直線l對稱，點C在直線A'B上，點C又在直線B'A上，又直線A'B的方程為y＝（x－m），
由得x＝.
又直線AB'的方程為y－2＝·（x－1），
由得x＝.
所以＝，即3m2＋8m－3＝0，
解得m＝或－3.
當m＝時，符合題意；
當m＝－3時，點B在直線x－y＋3＝0上，不能構成三角形.
綜上，符合題意的△ABC只有1個.
（2）由（1）得m＝，則直線A'B的方程為3x＋y－1＝0，
即直線BC的方程為3x＋y－1＝0.
2 / 2(共64張PPT)
培優課　對稱問題
目錄
典型例題·精研析
01
知能演練·扣課標
02
典型例題·精研析
01
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 中心對稱問題
【例1】?。?）求點 P （ x0， y0）關于點 A （ a ， b ）的對稱點P'
的坐標；
解：根據題意可知點 A （ a ， b ）為PP'的中點，設點P'的
坐標為（ x ， y ），
則根據中點坐標公式，得所以
所以點P'的坐標為（2 a － x0，2 b － y0）.
（2）求直線3 x － y －4＝0關于點（2，－1）的對稱直線 l 的方程.
解：法一　設直線 l 上任意一點 M 的坐標為（ x ， y ），則
此點關于點（2，－1）的對稱點為 M1（4－ x ，－2－ y ），
且 M1在直線3 x － y －4＝0上，
所以3（4－ x ）－（－2－ y ）－4＝0，即3 x － y －10＝0.
所以所求直線 l 的方程為3 x － y －10＝0.
法二　在直線3 x － y －4＝0上取兩點 A （0，－4）， B （1，－1），
則點 A （0，－4）關于點（2，－1）的對稱點為 A1（4，2），
點 B （1，－1）關于點（2，－1）的對稱點為 B1（3，－1）.
可得直線 A1 B1的方程為3 x － y －10＝0，
即所求直線 l 的方程為3 x － y －10＝0.
法三　由平面幾何知識易知所求直線 l 與直線3 x － y －4＝0平行，
則可設 l 的方程為3 x － y ＋ c ＝0（ c ≠－4）.
在直線3 x － y －4＝0上取一點（0，－4），
則點（0，－4）關于點（2，－1）的對稱點（4，2）在直線3 x － y ＋
c ＝0上，
所以3×4－2＋ c ＝0，所以 c ＝－10.
所以所求直線 l 的方程為3 x － y －10＝0.
通性通法
1. 解決點關于點對稱問題的方法
點 P （ x0， y0）關于點 A （ m ， n ）的對稱點P'（x'，y'）可利用中
點坐標公式求得，由得
2. 解決直線關于點對稱問題的方法
方法一：在已知直線上取兩點，根據點的中心對稱的方法求出對稱
點，再由對稱點確定對稱直線；
方法二：在已知直線上取一點，求出它關于已知點的對稱點，再利
用對稱直線與原直線平行求直線方程；
特別地，直線 Ax ＋ By ＋ C ＝0關于原點對稱的直線方程是 A （－
x ）＋ B （－ y ）＋ C ＝0.
【跟蹤訓練】
1. （2024·揚州月考）若點 P （3，4）是線段 AB 的中點，且點 A 的坐
標為（－1，2），則點 B 的坐標為 .
解析：設點 B （ x ， y ），∵點 P （3，4）是線段 AB 的中點，且點
A 的坐標為（－1，2），∴解得 x ＝7， y ＝6，∴點 B 的
坐標為（7，6）.
（7，6）　
2. 已知直線 l1：2 x ＋ y ＋2＝0與 l2：4 x ＋ by ＋ c ＝0關于點 P （1，0）
對稱，則 b ＋ c ＝ .
解析：在直線 l1：2 x ＋ y ＋2＝0上取點 M （－1，0）， N （0，－
2）， M ， N 關于點 P （1，0）對稱的點分別為 M1（3，0）， N1
（2，2）.∵點 M1（3，0）， N1（2，2）在直線 l2：4 x ＋ by ＋ c ＝
0上，∴12＋ c ＝0，8＋2 b ＋ c ＝0，解得 c ＝－12， b ＝2，∴ b ＋ c
＝－10.
－10
題型二 軸對稱問題
【例2】　（2024·宿遷質檢）已知直線 l ： y ＝3 x ＋3，求：
（1）點 P （4，5）關于直線 l 的對稱點的坐標；
解：設點 P 關于直線 l 的對稱點為P'（x'，y'），則線段PP'
的中點在直線 l 上，且直線PP'垂直于直線 l ，即
解得
所以點P'的坐標為（－2，7）.
（2）直線 y ＝ x －2關于直線 l 的對稱直線的方程.
解：解方程組得
則點（－ ，－ ）在所求直線上.
在直線 y ＝ x －2上任取一點 M （2，0），
則解得
點M'（－ ， ）也在所求直線上.
由兩點式得直線方程為 ＝ ，
化簡得7 x ＋ y ＋22＝0，即為所求直線方程.
通性通法
1. 解決點關于直線對稱問題的方法
已知 P （ x ， y ），直線 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0，求點 P 關于直線 l 的
對稱點P'（x'，y'）可以分三步來求：
第一步，直線PP'和 l 垂直，故 kPP'· kl ＝－1（ kl ≠0）；
第二步，PP'的中點在直線 l 上，即（ ， ）滿足直線方程
Ax ＋ By ＋ C ＝0，得到 A · ＋ B · ＋ C ＝0；
第三步，聯立兩式可解出x'，y'.
2. 解決直線關于直線對稱問題的方法
已知直線 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0， l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0，求直線
l1關于直線 l2的對稱直線的方程：
（1）如果 l1∥ l2，則設所求直線方程為 A1 x ＋ B1 y ＋ m ＝0（ m ≠
C1），然后在 l1上找一點 P ，求出點 P 關于直線 l2的對稱點P'
（x'，y'），再代入 A1 x ＋ B1 y ＋ m ＝0即可解出 m ；
（2）如果 l1不平行于 l2，則先找出 l1與 l2的交點 P ，然后在 l1上確定
一點（不同于交點），找出這一點關于 l2的對稱點P'，由直線
方程的兩點式確定所求直線方程.
【跟蹤訓練】
（2024·南京月考）已知直線 l1： x － y ＋3＝0，直線 l ： x － y －1＝0.
若直線 l1關于直線 l 的對稱直線為 l2，求直線 l2的方程.
解：法一　因為 l1∥ l ，所以 l2∥ l ，設直線 l2的方程為 x － y ＋ m
＝0（ m ≠3， m ≠－1）.
因為直線 l1， l2關于直線 l 對稱，所以 l1與 l 間的距離等于 l2與 l 間
的距離.
由兩條平行直線間的距離公式，得 ＝ ，解得 m
＝－5或 m ＝3（舍去）.
所以直線 l2的方程為 x － y －5＝0.
法二　由題意知 l1∥ l2，設直線 l2的方程為 x － y ＋ m ＝0（ m ≠3， m
≠－1）.
在直線 l1上取點 M （0，3），設點 M 關于直線 l 的對稱點為M'（ a ，
b ），于是有解得即點M'的坐標為
（4，－1）.
把點M'的坐標代入 l2的方程，得 m ＝－5，所以直線 l2的方程為 x － y －
5＝0.
題型三 對稱問題的應用
角度1　光的反射問題
【例3】　已知光線從點 A （－2，1）射出，經直線2 x － y ＋10＝0反
射，且反射光線所在直線過點 B （－8，－3），則反射光線所在直線
的方程是（　　）
A. x －3 y －1＝0 B. 3 x － y ＋21＝0
C. x ＋3 y ＋17＝0 D. 3 x ＋ y ＋15＝0
解析：　設 A （－2，1）關于直線2 x － y ＋10＝0的對稱點為 C
（ x ， y ），則解得即 C （－
6，3），所以反射光線所在直線方程為 y －3＝ ·（ x ＋6），即3 x
－ y ＋21＝0.故選B.
通性通法
利用對稱解決光線反射問題的方法
　　根據平面幾何知識和光學知識，入射光線、反射光線所在的直線
關于法線對稱，即入射光線、反射光線上對應的點關于法線對稱.利
用點的對稱關系可以求解.
角度2　利用對稱解決有關最值問題
【例4】　（2024·淮安月考）在直線 l ： x － y －1＝0上求兩點 P ， Q .
使得：
（1） P 到 A （4，1）與 B （0，4）的距離之差最大；
解：如圖，設點 B 關于 l 的對稱點B'的坐標
為（ a ， b ），連接BB'，則 kBB'· kl ＝－1，即
×1＝－1，
∴ a ＋ b －4＝0，?、?br/>∵BB'的中點（ ， ）在直線 l 上，
∴ － －1＝0，即 a － b －6＝0.?、?br/>由①②得
∴點B'的坐標為（5，－1）.
于是AB'所在直線的方程為 ＝ ，
即2 x ＋ y －9＝0.
易知｜ PB － PA ｜＝｜PB'－ PA ｜，當且僅當 P ，
B'， A 三點共線時，｜PB'－ PA ｜最大.
∴聯立直線 l 與AB'的方程，解得 x ＝ ， y ＝ ，
即直線 l 與AB'的交點坐標為（ ， ）.
故點 P 的坐標為（ ， ）.
（2） Q 到 A （4，1）與 C （3，0）的距離之和最小.
解：如圖，設點 C 關于 l 的對稱點為C'，可
求得C'的坐標為（1，2），
∴AC'所在直線的方程為 x ＋3 y －7＝0.
易知 QA ＋ QC ＝ QA ＋QC'，當且僅當 Q ， A ，C'
三點共線時， QA ＋QC'最小.
∴聯立直線AC'與 l 的方程，解得 x ＝ ， y ＝ ，
即直線AC'與 l 的交點坐標為（ ， ）.
故點 Q 的坐標為（ ， ）.
通性通法
利用對稱性求距離最值問題的方法
　　要解決在直線 l 上求一點，使這點到兩定點 A ， B 的距離之和
（差）的最值問題，一般借助平面幾何知識（三角形任意兩邊之和大
于第三邊，任意兩邊之差的絕對值小于第三邊）及對稱性解決.即：
（1）若兩點 A ， B 位于直線 l 的同側，要求直線 l 上到 A ， B 距離之和
最小的點，只需作 A （或 B ）關于直線 l 的對稱點A'（或B'），
得直線A'B（或AB'）的方程，再求其與直線 l 的交點即可；
（2）若兩點 A ， B 位于直線 l 的同側，要求直線 l 上到 A ， B 距離之差
最大的點，則只需求出直線 AB 的方程，再求其與直線 l 的交點
即可；
（3）若兩點 A ， B 位于直線 l 的異側，要求直線 l 上到 A ， B 距離之差
最大的點，則只需作 A （或 B ）關于直線 l 的對稱點A'（或
B'），得直線A'B（或AB'）的方程，再求其與直線 l 的交點即可.
【跟蹤訓練】
1. 一條光線從點 A （－1，3）射向 x 軸，經過 x 軸上的點 P 反射后經過
點 B （3，1），則點 P 的坐標為（　?。?br/>A. （0，0） B. （1，0）
C. （2，0） D. （3，0）
解析：　由題可得 B （3，1）關于 x 軸的對稱點為B'（3，－1），
則直線AB'的方程為 ＝ ，可得 y ＝－ x ＋2，令 y ＝0，
可得 x ＝2，所以點 P （2，0）.
2. （2024·常州月考）已知直線 l ： x －2 y ＋8＝0和兩點 A （2，0），
B （－2，－4），在直線 l 上求一點 P ，使｜ PB － PA ｜最大.
解：易知 A ， B 兩點在直線 l 的同側，
當且僅當 A ， B ， P 三點共線時，｜ PB － PA ｜取得最大值，
又直線 AB 的方程為 y ＝ x －2，
則得
故所求的點 P 的坐標為（12，10）.
1. 點 A （－3，1）， C （1， y ）關于點 B （－1，－3）對稱，則 y 的
值為（　?。?br/>A. －5 B. －6
C. －7 D. －8
解析：　由已知得 ＝－3，解得 y ＝－7.
2. 點（3，9）關于直線 x ＋3 y －10＝0對稱的點的坐標是（　?。?br/>A. （－1，－3） B. （17，－9）
C. （－1，3） D. （－17，9）
解析：　設點（3，9）關于直線 x ＋3 y －10＝0對稱的點的坐標為
（ a ， b ），則由解得即得該
點坐標為（－1，－3）.故選A.
3. 直線 x －2 y －1＝0關于直線 y － x ＝0對稱的直線方程是（　?。?br/>A. 2 x － y ＋1＝0 B. 2 x ＋ y －1＝0
C. 2 x ＋ y ＋1＝0 D. x ＋2 y ＋1＝0
解析：　由得其交點為（－1，－1），則點
（－1，－1）在所求直線上，在直線 x －2 y －1＝0上任取一點 P
（1，0），設點 P 關于直線 y － x ＝0的對稱點為 P '（ x0， y0），則
解得即 P '（0，1），又點 P '也在所求直
線上，則所求直線方程為 ＝ ，即2 x － y ＋1＝0，故選A.
4. 一束光線從原點 O （0，0）出發，經過直線 l ：8 x ＋6 y ＝25反射后
通過點 P （－4，3），求反射光線的方程及光線從 O 點到達 P 點所
走過的路程.
解：如圖，設原點關于 l 的對稱點 A 的坐標為（ a ， b ），
由直線 OA 與 l 垂直和線段 AO 的中點在 l 上得
解得∴ A 的坐標為（4，3）.
∴反射光線的反向延長線過 A （4，3），
又由反射光線過 P （－4，3）， A ， P 兩點縱坐標相等，
故反射光線所在直線的方程為 y ＝3.
聯立解得
由于反射光線為射線，故反射光線的方程為 y ＝3 .
由光的性質可知，光線從 O 到 P 的路程即為 AP 的長度，
由 A （4，3）， P （－4，3）知， AP ＝4－（－4）＝8，
即光線從 O 經直線 l 反射后到達 P 點所走過的路程為8.
知能演練·扣課標
02
課后鞏固 核心素養落地
1. 已知點 A （ x ，5）關于點（1， y ）的對稱點為（－2，－3），則
點 P （ x ， y ）到原點的距離是（　?。?br/>A. 2 B. 4
C. 5
解析：　由題可知： 所以點 P （ x ， y ）到
原點的距離是 .故選D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. 點 P （2，5）關于 x ＋ y ＋1＝0的對稱點的坐標為（　?。?br/>A. （6，3） B. （3，－6）
C. （－6，－3） D. （－6，3）
解析：　設點 P （2，5）關于直線 x ＋ y ＋1＝0的對稱點為 Q （ a ， b ），則解得因此，點 P （2，5）關于直線 x ＋ y ＋1＝0的對稱點的坐標為（－6，－3）.故選C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. （2024·蘇州質檢）直線2 x ＋3 y －6＝0關于點（1，－1）對稱的直
線方程是（　?。?br/>A. 3 x －2 y －6＝0 B. 2 x ＋3 y ＋7＝0
C. 3 x －2 y －12＝0 D. 2 x ＋3 y ＋8＝0
解析：　首先在所求直線上取點（ x ， y ），則點（ x ， y ）關于
點（1，－1）對稱的點的坐標為（2－ x ，－2－ y ），代入直線2 x
＋3 y －6＝0，可得2（2－ x ）＋3（－2－ y ）－6＝0，整理得2 x ＋
3 y ＋8＝0，故選D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4. 兩直線 l1：3 x －2 y －6＝0， l2：3 x －2 y ＋8＝0，則直線 l1關于直線
l2對稱的直線方程為（　?。?br/>A. 3 x －2 y ＋24＝0 B. 3 x －2 y －10＝0
C. 3 x －2 y －20＝0 D. 3 x －2 y ＋22＝0
解析：　設所求直線方程為3 x －2 y ＋ c ＝0（ c ≠－6， c ≠8），
由題意可知，所求直線到直線 l2的距離等于直線 l1， l2間的距離，
∴ ＝ .解得 c ＝22或 c ＝－6（舍去），∴所
求直線的方程為3 x －2 y ＋22＝0.故選D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5. （2024·南通月考）如圖所示，已知點 A （4，0）， B （0，4），從
點 P （2，0）射出的光線經直線 AB 反射后再射到直線 OB 上，最后
經直線 OB 反射后又回到點 P ，則光線所經過的路程是（　?。?br/>B. 6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析：　由題意知， AB 所在直線的方程為 x
＋ y －4＝0.如圖，點 P 關于直線 AB 的對稱點為
D （4，2），關于 y 軸的對稱點為 C （－2，
0），連接 MD ， NC ，易知 PM ＝ MD ， PN ＝
NC ，所以 PM ＋ MN ＋ NP ＝ MD ＋ MN ＋ NC ＝
CD ，故光線所經過的路程為 CD ＝2 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6. 已知點 A （－3，5）， B （3，1），在直線 l ： y ＝ x 上求一點 P ，
使｜ PA － PB ｜的值最大，則 P 點的坐標為（　?。?br/>A. （0，0）
D. （7，7）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析：　如圖，設點 B 關于直線 l 的對稱點 B '的坐標為（ a ，
b ），連接 BB '，則 kBB'· kl ＝－1，即 ＝－1，得 a ＋ b －4＝0，
①.又由 BB '的中點（ ， ）在直線 l 上，所以 ＝ ，即 a
－ b ＋2＝0，②.由①②解得
所以 B '（1，3），
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
于是 AB '所在直線方程為 ＝ ，即 x ＋2 y －7＝0，易知｜ PA － PB ｜＝｜ PA － PB '｜，當且僅當 P ， B '， A 三點共線時｜ PA － PB '｜最大，即由得其交點坐標為（ ， ），故 P 點坐標為（ ， ）.故選B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7. （多選）已知直線 l ： y ＝ x ，點 A （0，－1），則（　　）
A. 過點 A 與 l 平行的直線的方程為 y ＝ x －1
B. 點 A 關于 l 對稱的點的坐標為（0，1）
D. 過點 A 與 l 垂直的直線的方程為 y ＝－ x －1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析：　與直線 y ＝ x 平行的直線方程可設為 y ＝ x ＋ m ，代入
點 A （0，－1）得－1＝0＋ m ，即 m ＝－1，即平行線方程為 y ＝ x
－1，A正確；點 A 關于 l 的對稱點坐標為（－1，0），B錯；點 A 到
直線 l 的距離為 d ＝ ＝ ，C正確；與直線 l 垂直的直線方
程可設為 y ＝－ x ＋ n ，代入 A 點坐標得－1＝0＋ n ， n ＝－1，即直
線方程為 y ＝－ x －1，D正確.故選A、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8. 已知直線 l ：3 x ＋2 y －1＝0與直線 l1關于直線 x ＋ y ＝0對稱，則 l1
的方程為 .
解析： x ＋ y ＝0與 l ：3 x ＋2 y －1＝0不平行，故 l1經過 x ＋ y ＝0與
l ：3 x ＋2 y －1＝0的交點，聯立解得
即（1，－1）在 l1上，取 l ：3 x ＋2 y －1＝0上另一點（3，－4），
設（3，－4）關于直線 x ＋ y ＝0的對稱點為（ m ， n ），則有
解得 l1過兩點（1，－1）和（4，
－3），故方程為 ＝ ，即2 x ＋3 y ＋1＝0.
2 x ＋3 y ＋1＝0　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9. 已知入射光線經過點 M （－3，4），被直線 l ： x －3＝0反射，反
射光線經過點 N （2，6），則反射光線所在直線的方程為
.
解析：由題意可知，反射光線經過點 M （－
3，4）關于直線 l 的對稱點 P （9，4），如圖
所示.直線 PN 的方程即為反射光線所在的直線
方程，又 N （2，6）， P （9，4）可得 kPN ＝
＝－ ，根據直線的點斜式方程可得，反
射光線所在直線方程為 y －6＝－ （ x －2），
整理得2 x ＋7 y －46＝0，即反射光線所在直線
的方程為2 x ＋7 y －46＝0.
2 x ＋7 y
－46＝0　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
10. （2024·南京質檢）著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般
好，隔裂分家萬事休.”事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何
問題加以解決，如： 可以轉化為平面上
點 M （ x ， y ）與點 N （ a ， b ）的距離.結合上述觀點，可得 f
（ x ）＝ ＋ 的最小值為 　5 　.
5 　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析：∵ f （ x ）＝ ＋ ＝
＋ ，∴ f
（ x ）的幾何意義為點 M （ x ，0）到兩定點 A （－2，4）與 B
（－1，3）的距離之和，設點 A （－2，4）關于 x 軸的對稱點為
A'，則A'（－2，－4）.要求 f （ x ）的最小值，可轉化為求 MA ＋
MB 的最小值，利用對稱思想可知 MA ＋ MB ≥A'B＝
＝5 ，即 f （ x ）＝ ＋
的最小值為5 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11. 若函數 y ＝ 的圖象上存在兩點 P ， Q 關于點（1，0）對稱，則
直線 PQ 的方程是 .
解析：根據題意，設 P （ p ， ）， Q （ q ， ），因為線段
PQ 的中點是（1，0），所以整理得
x －4 y －1＝0　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
所以 p ， q 為方程 x2－2 x －1＝0的根，解得 x ＝1±
，所以 P （1＋ ， ）， Q （1－ ，－ ）或 P （1－
，－ ）， Q （1＋ ， ）.由兩點式得直線 PQ 的方程為 x
－4 y －1＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12. 已知點 M （3，5），在直線 l ： x －2 y ＋2＝0和 y 軸上各找一點 P
和 Q ，使△ MPQ 的周長最小，并求出 P 和 Q 兩點的坐標.
解：由題可得，設點 M （3，5）關于直線 l 的對稱點為 M1（ a ，
b ），則
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解得即 M1（5，1），
點 M （3，5）關于 y 軸的對稱點為 M2（－3，5），
則直線 M1 M2的方程為 ＝ ，即 x ＋2 y －7＝0.
當 P ， Q 分別為直線 M1 M2與直線 l ， y 軸的交點時，△ MPQ 的周
長最小.
令 x ＝0，得到直線 M1 M2與 y 軸的交點 Q （0， ）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
由解得
所以直線 M1 M2與直線 l 的交點為 P （ ， ）.
故點 P （ ， ）， Q （0， ）即為所求.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13. 已知直線 l ： x － y ＋3＝0，一束光線從點 A （1，2）處射向 x 軸上
一點 B ，又從點 B 反射到 l 上的一點 C ，最后從點 C 反射回點 A .
（1）試判斷由此得到的△ ABC 的個數；
解：如圖，設 B （ m ，0），點 A 關于 x 軸的對稱點為A'（1，－2），點 B 關于直線 x － y ＋3＝0的對稱點為B'（－3， m ＋3）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
根據光學知識，直線AB'與直線 BC 關于直線 l 對稱，點 C 在
直線A'B上，點 C 又在直線B'A上，又直線A'B的方程為 y ＝
（ x － m ），
由得 x ＝ .
又直線AB'的方程為 y －2＝ （ x －1），
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
由得 x ＝ .
所以 ＝ ，即3 m2＋8 m －3＝0，
解得 m ＝ 或－3.
當 m ＝ 時，符合題意；
當 m ＝－3時，點 B 在直線 x － y ＋3＝0上，不能構成三角形.
綜上，符合題意的△ ABC 只有1個.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
（2）求直線 BC 的方程.
解：由（1）得 m ＝ ，則直線A'B的方程為3 x ＋ y －1＝0，
即直線 BC 的方程為3 x ＋ y －1＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
謝 謝 觀 看！

展開更多......

收起↑