資源簡介

1.5.2　點到直線的距離
新課程標準解讀 核心素養
1.探索并掌握點到直線的距離公式 直觀想象
2.會求兩條平行直線間的距離 數學運算
第1課時　點到直線的距離
在鐵路的附近，有一大型倉庫.現要修建一條公路與之連接起來，易知沿倉庫垂直于鐵路方向所修的公路最短.將鐵路看作一條直線l，倉庫看作點P.
【問題】　怎樣求得倉庫到鐵路的最短距離呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　點到直線的距離
1.定義：點P到直線l的距離，就是從點P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是　　　　.
2.圖示：
3.公式：點P（x0，y0）到直線l：Ax＋By＋C＝0（A，B不同時為0）的距離d＝　　　　　　　.
【想一想】
　點到直線的距離公式對于A＝0或B＝0時的直線是否仍然適用？
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）當點P（x0，y0）在直線l：Ax＋By＋C＝0上時，點到直線的距離公式就不適用了.（　　）
（2）點P（x0，y0）到直線y＝kx＋b的距離為.（　　）
（3）直線外一點與直線上一點的距離的最小值是點到直線的距離.（　　）
2.點（1，－1）到直線x－y＋1＝0的距離d＝（　　）
A.　　　　　　　 B.
C.　　 D.
3.點P（3，－2）到直線x＝4的距離為　　　　.
題型一 點到直線的距離公式
【例1】　（鏈接教科書第39頁例4）已知點P（3，－2），則：
（1）點P到直線y＝x＋的距離為　　　；
（2）點P到直線y＝6的距離為　　　　.
通性通法
點到直線距離的求法
（1）求點到直線的距離時，只需把直線方程化為一般式方程，直接應用點到直線的距離公式求解即可；
（2）對于與坐標軸平行（或重合）的直線x＝a或y＝b，求點到它們的距離時，既可以用點到直線的距離公式，也可以直接寫成d＝｜x0－a｜或d＝｜y0－b｜.
【跟蹤訓練】
1.原點到直線y＝－x＋的距離為（　　）
A.1　　 B.
C.2　　 D.3
2.（2024·蘇州月考）點P在x軸上，且到直線3x－4y＋6＝0的距離為6，則點P的坐標為　　　　.
題型二 點到直線的距離公式的簡單應用
【例2】　（鏈接教科書第41頁練習3題）（1）已知兩點A（3，2），B（－1，4）到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則m的值為（　　）
A.－6或1　　 B.－或1
C.－或　　 D.－6或
（2）已知直線l在兩坐標軸上的截距相等，且點P（1，3）到直線l的距離為，求直線l的方程.
通性通法
點到直線距離公式的應用
（1）若已知點到直線的距離，求相關參數的值，可利用點到直線的距離公式建立關于參數的方程求解；
（2）若已知點到直線的距離求直線方程，可設出直線方程，然后利用點到直線的距離公式列方程求解未知量，注意該類問題對應的幾何圖形與解的個數之間的關系.
【跟蹤訓練】
1.已知點（a，2）（a＞0）到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a＝（　　）
A.　 B.2－　 C.－1　 D.＋1
2.傾斜角為60°，并且與原點的距離是5的直線方程為　　　　.
題型三 直線上動點到定點的距離最值問題
【例3】　（鏈接教科書第42頁習題6題）（1）已知O為原點，點P在直線x＋y－1＝0上運動，那么OP的最小值為（　　）
A.　　B.1　　C.　　D.2
（2）當點P（3，2）到直線mx－y＋1－2m＝0的距離最大時，m的值是　　　　.
通性通法
　　解決直線上動點到定點的距離最值問題需注意分類討論，利用數形結合的思想，直觀地觀察一些量的變化，從而達到解決問題的目的.
【跟蹤訓練】
1.動點P（x，y）在直線x＋y－4＝0上，O為原點，則OP最小時點P的坐標為　　　　.
2.（2024·鎮江月考）過點P（1，2）且與原點距離最大的直線方程為　　　　.
1.點（1，2）到直線y＝2x＋1的距離為（　　）
A.　　B.　　C.　　D.2
2.已知點M（1，4）到直線l：mx＋y－1＝0的距離等于1，則實數m＝（　　）
A.－2　　B.－　　C.　　D.2
3.已知點M（1，2），點P（x，y）在直線2x＋y－1＝0上，則MP的最小值是（　　）
A.　　B.　　C.　　D.3
4.與直線3x－4y＋1＝0垂直，且與點（－1，－1）距離為2的直線方程為　　　　　　　.
第1課時　點到直線的距離
【基礎知識·重落實】
知識點
1.垂足　3.
想一想
　提示：仍然適用，但一般不用公式求解，而常用數形結合求點到直線的距離.
自我診斷
1.（1）×　（2）×　（3）√
2.A　由點到直線的距離公式可得d＝＝.
3.1　解析：因為直線x＝4平行于y軸，所以所求距離d＝｜4－3｜＝1.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）　（2）8　解析：（1）把方程y＝x＋化為3x－4y＋1＝0，由點到直線的距離公式得點P（3，－2）到直線y＝x＋的距離d＝＝.
（2）法一　把方程y＝6化為0·x＋y－6＝0，由點到直線的距離公式得所求距離d＝＝8.
法二　因為直線y＝6平行于x軸，所以所求距離d＝｜6－（－2）｜＝8.
跟蹤訓練
1.B　直線y＝－x＋，即x＋2y－5＝0，故原點到直線y＝－x＋的距離為＝.
2.（8，0）或（－12，0）　解析：設點P的坐標為（x，0），則＝6，解得x＝8或x＝－12.∴點P的坐標為（8，0）或（－12，0）.
【例2】　（1）D　由題意得＝，解得m＝－6或m＝.
（2）解：由題意知，若截距為0，
則設所求直線l的方程為y＝kx（k≠0）.
由題意知＝，解得k＝1或k＝－7，
此時直線l的方程為x－y＝0或7x＋y＝0.
若截距不為0，則設所求直線l的方程為x＋y－a＝0（a≠0）.
由題意知＝，解得a＝2或a＝6，
此時直線l的方程為x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.
綜上，所求直線l的方程為x－y＝0或7x＋y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.
跟蹤訓練
1.C　由點到直線的距離公式得＝＝1，即｜a＋1｜＝.∵a＞0，∴a＝－1.
2.x－y＋10＝0或x－y－10＝0
解析：因為直線斜率為tan 60°＝，可設直線方程為y＝x＋b，化為一般式得x－y＋b＝0.由直線與原點距離為5，得＝5 ｜b｜＝10.所以b＝±10，所以所求直線方程為x－y＋10＝0或x－y－10＝0.
【例3】　（1）A　（2）－1　解析：（1）OP的最小值為原點O到直線x＋y－1＝0的距離d＝＝.
（2）直線mx－y＋1－2m＝0可化為y－1＝m（x－2），由直線點斜式方程可知直線恒過定點Q（2，1）且斜率為m，結合圖象（圖略）可知當PQ與直線mx－y＋1－2m＝0垂直時，點到直線的距離最大，此時m·＝－1，解得m＝－1.
跟蹤訓練
1.（2，2）　解析：直線上的點到原點距離的最小值即為原點到直線的距離，此時OP垂直于已知直線，則kOP＝1，即OP所在的直線方程為y＝x.由解得即點P的坐標為（2，2）.
2.x＋2y－5＝0　解析：由題意知，過點P且與OP垂直的直線到原點O的距離最大，∵kOP＝2，∴所求直線方程為y－2＝－（x－1），即x＋2y－5＝0.
隨堂檢測
1.A　由點到直線的距離公式得d＝＝.
2.B　因為點M（1，4）到直線l：mx＋y－1＝0的距離等于1，所以有＝1，解得m＝－.
3.B　點M到直線2x＋y－1＝0的距離，即為MP的最小值，所以MP的最小值為＝.
4.4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0
解析：設所求直線方程為4x＋3y＋C＝0.則＝2，即｜C－7｜＝10.解得C＝－3或C＝17.故所求直線方程為4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.
3 / 3第1課時　點到直線的距離
1.點P（1，－1）到直線l：3y＝2的距離是（　　）
A.3　　 B.
C.1　　 D.
2.若第二象限內的點M（m，1）到直線x＋y＋1＝0的距離為，則m＝（　　）
A.0　　 B.－4
C.－4或0　　 D.0或4
3.若直線l平行于直線3x＋y－2＝0且原點到直線l的距離為，則直線l的方程是（　　）
A.3x＋y±10＝0
B.3x＋y±＝0
C.x－3y±10＝0
D.x－3y±＝0
4.點P（x，y）在直線x＋y＝4上，O是坐標原點，則OP的最小值是（　　）
A.　　 B.
C.2　　 D.
5.（多選）已知點A（－3，－4），B（6，3）到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實數a＝（　　）
A.－　　 B.－
C.　　 D.
6.（多選）已知平面上一點M（5，0），若直線上存在點P使PM＝4，則稱該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割型直線”的是（　　）
A.x－y－1＝0　　 B.y＝5
C.4x－3y＝0　　 D.2x－y＋1＝0
7.已知點（x，5）關于點（1，y）的對稱點為（－2，－3），則點P（x，y）到直線y＝x＋1的距離為　　　　.
8.點（4，t）到直線4x－3y＝1的距離不大于3，則t的取值范圍是　　　　.
9.經過點P（－3，4），且與原點的距離等于3的直線l的方程為　　　　.
10.已知△ABC三邊所在直線的方程分別為lAB：3x－2y＋6＝0，lAC：2x＋3y－22＝0，lBC：3x＋4y－m＝0（m∈R，m≠30）.
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）當BC邊上的高為1時，求實數m的值.
11.點P（sin θ，cos θ）到直線x＋y＋8＝0的距離的最小值為（　　）
A.4　　 B.2
C.3　　 D.2
12.點A（5，0），B（1，－4）到直線的距離都是4，滿足條件的直線有（　　）
A.一條　　 B.兩條
C.三條　　 D.四條
13.在平面直角坐標系xOy中，P是曲線y＝x＋（x＞0）上的一個動點，則點P到直線x＋y＝0的距離的最小值是　　　　.
14.已知直線l經過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點P.
（1）若點A（5，0）到直線l的距離為3，求直線l的方程；
（2）求點A（5，0）到直線l的距離的最大值，并求距離最大時的直線l的方程.
15.已知△ABC的頂點坐標為A（1，1），B（m，），C（4，2），1＜m＜4.當m為何值時，△ABC的面積S最大？
第1課時　點到直線的距離
1.B　點P（1，－1）到直線l的距離為d＝－1－＝，故選B.
2.B　由＝，得m＝－4或m＝0，又∵m＜0，∴m＝－4.
3.A　設與直線3x＋y－2＝0平行的直線方程為3x＋y＋m＝0（m≠－2），由原點到直線l的距離為，得＝，則m＝±10，所以直線l的方程是3x＋y±10＝0.
4.C　直線x＋y＝4即x＋y－4＝0，OP的最小值即原點O到直線x＋y－4＝0的距離，為＝＝2.故選C.
5.AB　由點到直線的距離公式可得＝，化簡得｜3a＋3｜＝｜6a＋4｜，解得a＝－或－.
6.AC　由題意知，“切割型直線”需滿足點M（5，0）到直線的距離小于或等于4.A：點M（5，0）到直線x－y－1＝0的距離為d＝＝2＜4，故A符合題意；B：點M（5，0）到直線y＝5的距離為d＝5＞4，故B不符合題意；C：點M（5，0）到直線4x－3y＝0的距離為d＝＝4，故C符合題意；D：點M（5，0）到直線2x－y＋1＝0的距離為d＝＝＞4，故D不符合題意.故選A、C.
7.2　解析：∵點（x，5）關于點（1，y）的對稱點為（－2，－3），∴解得即P（4，1），直線y＝x＋1的一般式方程為x－y＋1＝0.∴所求距離為d＝＝2.
8.[0，10]　解析：由題意得≤3，即｜3t－15｜≤15，∴－15≤3t－15≤15，解得0≤t≤10.
9.x＝－3或7x＋24y－75＝0　
解析：①當直線l的斜率不存在時，原點到直線l：x＝－3的距離等于3，滿足題意.②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y－4＝k（x＋3），即kx－y＋3k＋4＝0.原點到直線l的距離為d＝＝3，解得k＝－.直線l的方程為7x＋24y－75＝0.綜上可知，直線l的方程為x＝－3或7x＋24y－75＝0.
10.解：（1）直線AB的斜率為kAB＝.直線AC的斜率為kAC＝－，所以kAB·kAC＝－1，所以直線AB與AC互相垂直，因此△ABC為直角三角形.
（2）由得即A點坐標為（2，6）.
由點到直線的距離公式，得點A到BC邊的距離即BC邊上的高為＝＝1，
即｜30－m｜＝5，解得m＝25或m＝35.
11.C　點P（sin θ，cos θ）到直線x＋y＋8＝0的距離為d＝＝≥＝3，所以當sin（θ＋）＝－1，即θ＝2kπ＋，k∈Z時，d取得最小值為3.故選C.
12.C　因為點A（5，0），B（1，－4），所以由兩點間距離公式可得AB＝＝＝8，則點A（5，0），B（1，－4）到線段AB的垂直平分線的距離都等于4.位于直線AB兩側并與直線AB平行且距離為4的直線各有一條，滿足點A（5，0），B（1，－4）到直線的距離都是4.綜上可知，共有三條直線滿足點A（5，0），B（1，－4）到直線的距離都是4.故選C.
13.4　解析：設P（x，x＋），x＞0，則點P到直線x＋y＝0的距離為d＝＝≥＝4，當且僅當2x＝，即x＝時取等號，故點P到直線x＋y＝0的距離的最小值是4.
14.解：（1）設經過兩已知直線交點的直線系方程為（2x＋y－5）＋λ（x－2y）＝0，即（2＋λ）x＋（1－2λ）y－5＝0，
所以＝3，解得λ＝或λ＝2，
所以直線l的方程為x＝2或4x－3y－5＝0.
（2）由解得交點為P（2，1）.如圖，過P作任一直線l，設d為點A到直線l的距離，
則d≤PA（當l⊥PA時等號成立），所以dmax＝PA＝，此時直線l的方程為3x－y－5＝0.
15.解：AC＝＝，直線AC的方程為＝，即x－3y＋2＝0.
∵點B（m，）到直線AC的距離d＝，
∴△ABC的面積S＝AC·d＝｜m－3＋2｜＝（－）2－.
∵1＜m＜4，∴1＜＜2，
∴0＜≤，0＜S≤，
∴當＝，即m＝時，△ABC的面積S最大.
2 / 2(共57張PPT)
1.5.2　點到直線的距離
新課程標準解讀 核心素養
1.探索并掌握點到直線的距離公式 直觀想象
2.會求兩條平行直線間的距離 數學運算
第1課時　點到直線的距離
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
在鐵路的附近，有一大型倉庫.現要修建一條公路與之連接起來，易
知沿倉庫垂直于鐵路方向所修的公路最短.將鐵路看作一條直線 l ，倉
庫看作點 P .
【問題】　怎樣求得倉庫到鐵路的最短距離呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　點到直線的距離
1. 定義：點 P 到直線 l 的距離，就是從點 P 到直線 l 的垂線段 PQ 的長
度，其中 Q 是 .
2. 圖示：
垂足　
3. 公式：點 P （ x0， y0）到直線 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0（ A ， B 不同時為
0）的距離 d ＝ .
　
【想一想】
　點到直線的距離公式對于 A ＝0或 B ＝0時的直線是否仍然適用？
提示：仍然適用，但一般不用公式求解，而常用數形結合求點到直線
的距離.
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）當點 P （ x0， y0）在直線 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0上時，點到直線
的距離公式就不適用了. （　×　）
（2）點 P （ x0， y0）到直線 y ＝ kx ＋ b 的距離為 .
（　×　）
（3）直線外一點與直線上一點的距離的最小值是點到直線的距離.
（　√　）
×
×
√
2. 點（1，－1）到直線 x － y ＋1＝0的距離 d ＝（　　）
解析：　由點到直線的距離公式可得 d ＝ ＝ .
3. 點 P （3，－2）到直線 x ＝4的距離為 .
解析：因為直線 x ＝4平行于 y 軸，所以所求距離 d ＝｜4－3｜＝1.
1　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
　　
題型一 點到直線的距離公式
【例1】　（鏈接教科書第39頁例4）已知點 P （3，－2），則：
（1）點 P 到直線 y ＝ x ＋ 的距離為 　 　；
解析：把方程 y ＝ x ＋ 化為3 x －4 y ＋1＝0，由點到直線的距
離公式得點 P （3，－2）到直線 y ＝ x ＋ 的距離 d ＝
＝ .
　
（2）點 P 到直線 y ＝6的距離為 .
解析：法一　把方程 y ＝6化為0· x ＋ y －6＝0，由點到直線的距
離公式得所求距離 d ＝ ＝8.
8　
法二　因為直線 y ＝6平行于 x 軸，所以所求距離 d ＝｜6－（－2）｜＝8.
通性通法
點到直線距離的求法
（1）求點到直線的距離時，只需把直線方程化為一般式方程，直接
應用點到直線的距離公式求解即可；
（2）對于與坐標軸平行（或重合）的直線 x ＝ a 或 y ＝ b ，求點到它們
的距離時，既可以用點到直線的距離公式，也可以直接寫成 d
＝｜ x0－ a ｜或 d ＝｜ y0－ b ｜.
【跟蹤訓練】
1. 原點到直線 y ＝－ x ＋ 的距離為（　　）
A. 1
C. 2 D. 3
解析：　直線 y ＝－ x ＋ ，即 x ＋2 y －5＝0，故原點到直線 y ＝
－ x ＋ 的距離為 ＝ .
2. （2024·蘇州月考）點 P 在 x 軸上，且到直線3 x －4 y ＋6＝0的距離
為6，則點 P 的坐標為 .
解析：設點 P 的坐標為（ x ，0），則 ＝6，解得 x ＝8
或 x ＝－12.∴點 P 的坐標為（8，0）或（－12，0）.
（8，0）或（－12，0）　
題型二 點到直線的距離公式的簡單應用
【例2】　（鏈接教科書第41頁練習3題）（1）已知兩點 A （3，2），
B （－1，4）到直線 mx ＋ y ＋3＝0的距離相等，則 m 的值為（　　）
A. －6或1
解析：　由題意得 ＝ ，解得 m ＝－6或 m ＝ .
（2）已知直線 l 在兩坐標軸上的截距相等，且點 P （1，3）到直線 l
的距離為 ，求
直線 l 的方程.
解：由題意知，若截距為0，
則設所求直線 l 的方程為 y ＝ kx （ k ≠0）.
由題意知 ＝ ，解得 k ＝1或 k ＝－7，
此時直線 l 的方程為 x － y ＝0或7 x ＋ y ＝0.
若截距不為0，則設所求直線 l 的方程為 x ＋ y － a ＝0（ a ≠0）.
由題意知 ＝ ，解得 a ＝2或 a ＝6，
此時直線 l 的方程為 x ＋ y －2＝0或 x ＋ y －6＝0.
綜上，所求直線 l 的方程為 x － y ＝0或7 x ＋ y ＝0或 x ＋ y －2＝0
或 x ＋ y －6＝0.
通性通法
點到直線距離公式的應用
（1）若已知點到直線的距離，求相關參數的值，可利用點到直線的
距離公式建立關于參數的方程求解；
（2）若已知點到直線的距離求直線方程，可設出直線方程，然后利
用點到直線的距離公式列方程求解未知量，注意該類問題對應
的幾何圖形與解的個數之間的關系.
【跟蹤訓練】
1. 已知點（ a ，2）（ a ＞0）到直線 l ： x － y ＋3＝0的距離為1，則 a
＝（　　）
解析：　由點到直線的距離公式得 ＝ ＝1，
即｜ a ＋1｜＝ .∵ a ＞0，∴ a ＝ －1.
2. 傾斜角為60°，并且與原點的距離是5的直線方程為
.
解析：因為直線斜率為tan 60°＝ ，可設直線方程為 y ＝ x ＋
b ，化為一般式得 x － y ＋ b ＝0.由直線與原點距離為5，得
＝5 ｜ b ｜＝10.所以 b ＝±10，所以所求直線方
程為 x － y ＋10＝0或 x － y －10＝0.
x － y ＋10
＝0或 x － y －10＝0　
題型三 直線上動點到定點的距離最值問題
【例3】　（鏈接教科書第42頁習題6題）（1）已知 O 為原點，點 P 在
直線 x ＋ y －1＝0上運動，那么 OP 的最小值為（　A　）
B. 1
解析： OP的最小值為原點 O 到直線 x ＋ y －1＝0的距離 d ＝ ＝
.
（2）當點 P （3，2）到直線 mx － y ＋1－2 m ＝0的距離最大時， m 的
值是 .
解析：直線 mx － y ＋1－2 m ＝0可化為 y －1＝ m （ x －2），由
直線點斜式方程可知直線恒過定點 Q （2，1）且斜率為 m ，結
合圖象（圖略）可知當 PQ 與直線 mx － y ＋1－2 m ＝0垂直時，
點到直線的距離最大，此時 m · ＝－1，解得 m ＝－1.
－1　
通性通法
　　解決直線上動點到定點的距離最值問題需注意分類討論，利
用數形結合的思想，直觀地觀察一些量的變化，從而達到解決問
題的目的.
【跟蹤訓練】
1. 動點 P （ x ， y ）在直線 x ＋ y －4＝0上， O 為原點，則 OP 最小時
點 P 的坐標為 .
解析：直線上的點到原點距離的最小值即為原點到直線的距離，此
時 OP 垂直于已知直線，則 kOP ＝1，即 OP 所在的直線方程為 y ＝ x .
由解得即點 P 的坐標為（2，2）.
（2，2）　
2. （2024·鎮江月考）過點 P （1，2）且與原點距離最大的直線方程
為 .
解析：由題意知，過點 P 且與 OP 垂直的直線到原點 O 的距離最
大，∵ kOP ＝2，∴所求直線方程為 y －2＝－ （ x －1），即 x ＋2 y
－5＝0.
x ＋2 y －5＝0　
1. 點（1，2）到直線 y ＝2 x ＋1的距離為（　　）
解析：　由點到直線的距離公式得 d ＝ ＝ .
2. 已知點 M （1，4）到直線 l ： mx ＋ y －1＝0的距離等于1，則實數 m
＝（　　）
A. －2
D. 2
解析：　因為點 M （1，4）到直線 l ： mx ＋ y －1＝0的距離等于
1，所以有 ＝1，解得 m ＝－ .
3. 已知點 M （1，2），點 P （ x ， y ）在直線2 x ＋ y －1＝0上，則 MP
的最小值是（　　）
解析：　點 M 到直線2 x ＋ y －1＝0的距離，即為 MP 的最小值，
所以 MP 的最小值為 ＝ .
4. 與直線3 x －4 y ＋1＝0垂直，且與點（－1，－1）距離為2的直線方
程為 .
解析：設所求直線方程為4 x ＋3 y ＋ C ＝0.則
＝2，即｜ C －7｜＝10.解得 C ＝－3或 C
＝17.故所求直線方程為4 x ＋3 y －3＝0或4 x ＋3 y ＋17＝0.
4 x ＋3 y －3＝0或4 x ＋3 y ＋17＝0　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 點 P （1，－1）到直線 l ：3 y ＝2的距離是（　　）
A. 3
C. 1
解析：　點 P （1，－1）到直線 l 的距離為 d ＝ －1－ ＝ ，故選
B.
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2. 若第二象限內的點 M （ m ，1）到直線 x ＋ y ＋1＝0的距離為 ，
則 m ＝（　　）
A. 0 B. －4
C. －4或0 D. 0或4
解析：　由 ＝ ，得 m ＝－4或 m ＝0，又∵ m ＜0，
∴ m ＝－4.
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3. 若直線 l 平行于直線3 x ＋ y －2＝0且原點到直線 l 的距離為 ，則
直線 l 的方程是（　　）
A. 3 x ＋ y ±10＝0
C. x －3 y ±10＝0
解析：　設與直線3 x ＋ y －2＝0平行的直線方程為3 x ＋ y ＋ m ＝0
（ m ≠－2），由原點到直線 l 的距離為 ，得 ＝ ，則
m ＝±10，所以直線 l 的方程是3 x ＋ y ±10＝0.
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4. 點 P （ x ， y ）在直線 x ＋ y ＝4上， O 是坐標原點，則 OP 的最小值
是（　　）
解析：　直線 x ＋ y ＝4即 x ＋ y －4＝0， OP 的最小值即原點 O 到
直線 x ＋ y －4＝0的距離，為 ＝ ＝2 .故選C.
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5. （多選）已知點 A （－3，－4）， B （6，3）到直線 l ： ax ＋ y ＋1
＝0的距離相等，則實數 a ＝（　　）
解析：　由點到直線的距離公式可得 ＝
，化簡得｜3 a ＋3｜＝｜6 a ＋4｜，解得 a ＝－ 或－ .
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6. （多選）已知平面上一點 M （5，0），若直線上存在點 P 使 PM ＝
4，則稱該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割型直線”
的是（　　）
A. x － y －1＝0 B. y ＝5
C. 4 x －3 y ＝0 D. 2 x － y ＋1＝0
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解析：　由題意知，“切割型直線”需滿足點 M （5，0）到直
線的距離小于或等于4.A：點 M （5，0）到直線 x － y －1＝0的距
離為 d ＝ ＝2 ＜4，故A符合題意；B：點 M （5，0）到
直線 y ＝5的距離為 d ＝5＞4，故B不符合題意；C：點 M （5，0）
到直線4 x －3 y ＝0的距離為 d ＝ ＝4，故C符合題意；D：點
M （5，0）到直線2 x － y ＋1＝0的距離為 d ＝ ＝ ＞4，
故D不符合題意.故選A、C.
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解析：∵點（ x ，5）關于點（1， y ）的對稱點為（－2，－3），
∴解得即 P （4，1），直線 y ＝ x ＋1的一般
式方程為 x － y ＋1＝0.∴所求距離為 d ＝ ＝2 .
2 　
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8. 點（4， t ）到直線4 x －3 y ＝1的距離不大于3，則 t 的取值范圍
是 .
解析：由題意得 ≤3，即｜3 t －15｜≤15，∴－15≤3 t
－15≤15，解得0≤ t ≤10.
[0，10]　
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9. 經過點 P （－3，4），且與原點的距離等于3的直線 l 的方程為
.
解析：①當直線 l 的斜率不存在時，原點到直線 l ： x ＝－3的距離
等于3，滿足題意.②當直線 l 的斜率存在時，設直線 l 的方程為 y －
4＝ k （ x ＋3），即 kx － y ＋3 k ＋4＝0.原點到直線 l 的距離為 d ＝
＝3，解得 k ＝－ .直線 l 的方程為7 x ＋24 y －75＝0.
綜上可知，直線 l 的方程為 x ＝－3或7 x ＋24 y －75＝0.
x ＝
－3或7 x ＋24 y －75＝0　
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10. 已知△ ABC 三邊所在直線的方程分別為 lAB ：3 x －2 y ＋6＝0，
lAC ：2 x ＋3 y －22＝0， lBC ：3 x ＋4 y － m ＝0（ m ∈R， m ≠30）.
（1）判斷△ ABC 的形狀；
解：直線 AB 的斜率為 kAB ＝ .直線 AC 的斜率為 kAC ＝
－ ，所以 kAB · kAC ＝－1，所以直線 AB 與 AC 互相垂直，因
此△ ABC 為直角三角形.
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（2）當 BC 邊上的高為1時，求實數 m 的值.
解：由得即 A 點坐標為（2，6）.
由點到直線的距離公式，得點 A 到 BC 邊的距離即 BC 邊上的
高為 ＝ ＝1，
即｜30－ m ｜＝5，解得 m ＝25或 m ＝35.
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11. 點 P （ sin θ， cos θ）到直線 x ＋ y ＋8＝0的距離的最小值為
（　　）
A. 4
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解析：　點 P （ sin θ， cos θ）到直線 x ＋ y ＋8＝0的距離為
d ＝ ＝ ≥ ＝3 ，
所以當 sin （θ＋ ）＝－1，即θ＝2 k π＋ ， k ∈Z時， d 取得
最小值為3 .故選C.
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12. 點 A （5，0）， B （1，－4 ）到直線的距離都是4，滿足條件
的直線有（　　）
A. 一條 B. 兩條
C. 三條 D. 四條
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解析：　因為點 A （5，0）， B （1，－4 ），所以由兩點間
距離公式可得 AB ＝ ＝ ＝8，則
點 A （5，0）， B （1，－4 ）到線段 AB 的垂直平分線的距離
都等于4.位于直線 AB 兩側并與直線 AB 平行且距離為4的直線各有
一條，滿足點 A （5，0）， B （1，－4 ）到直線的距離都是4.
綜上可知，共有三條直線滿足點 A （5，0）， B （1，－4 ）到
直線的距離都是4.故選C.
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13. 在平面直角坐標系 xOy 中， P 是曲線 y ＝ x ＋ （ x ＞0）上的一個
動點，則點 P 到直線 x ＋ y ＝0的距離的最小值是 .
解析：設 P （ x ， x ＋ ）， x ＞0，則點 P 到直線 x ＋ y ＝0的距離
為 d ＝ ＝ ≥ ＝4，當且僅當2 x ＝ ，即 x ＝
時取等號，故點 P 到直線 x ＋ y ＝0的距離的最小值是4.
4　
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14. 已知直線 l 經過直線2 x ＋ y －5＝0與 x －2 y ＝0的交點 P .
（1）若點 A （5，0）到直線 l 的距離為3，求直線 l 的方程；
解：（1）設經過兩已知直線交點的直線系方程為（2 x ＋ y
－5）＋λ（ x －2 y ）＝0，即（2＋λ） x ＋（1－2λ） y －
5＝0，
所以 ＝3，解得λ＝ 或λ＝2，
所以直線 l 的方程為 x ＝2或4 x －3 y －5＝0.
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（2）求點 A （5，0）到直線 l 的距離的最大值，并求距離最大時
的直線 l 的方程.
解：由解得交點為 P
（2，1）.如圖，過 P 作任一直線 l ，設 d 為點 A
到直線 l 的距離，
則 d ≤ PA （當 l ⊥ PA 時等號成立），所以 dmax
＝ PA ＝ ，此時直線 l 的方程為3 x － y －5＝0.
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15. 已知△ ABC 的頂點坐標為 A （1，1）， B （ m ， ）， C （4，
2），1＜ m ＜4.當 m 為何值時，△ ABC 的面積 S 最大？
解： AC ＝ ＝ ，直線 AC 的方程為
＝ ，即 x －3 y ＋2＝0.
∵點 B （ m ， ）到直線 AC 的距離 d ＝ ，
∴△ ABC 的面積 S ＝ AC · d ＝ ｜ m －3 ＋2｜＝ （ － ）2
－ .
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∵1＜ m ＜4，∴1＜ ＜2，
∴0＜ ≤ ，0＜ S ≤ ，
∴當 ＝ ，即 m ＝ 時，△ ABC 的面積 S 最大.
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謝 謝 觀 看！

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