資源簡介

第2課時　兩平行直線間的距離
圖中的a，b是兩根互相平行的水管，由于工程需要，現在要用一根水管把它們接通.
【問題】　你認為選用哪根水管最節省材料？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　兩條平行直線間的距離
1.定義：兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的　　　　　的長.
2.圖示：
3.公式：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0（A，B不同時為0，C1≠C2）之間的距離d＝　　　　　　.
提醒　使用平行直線間的距離公式的前提有兩點：一是直線方程為一般式；二是兩直線方程中x，y的系數分別相同.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）連接兩平行直線上任意兩點，即得兩平行直線間的距離.（　　）
（2）若直線l1：x＋y－1＝0上有A（1，0），B（0，1），C（－1，2）三點，則點A，B，C到直線l2：x＋y＋1＝0的距離相等.（　　）
（3）已知直線l1：x＝x1，l2：2x＝x2，則直線l1，l2間的距離為｜x2－x1｜.（　　）
2.已知直線l1：3x－y＋3＝0與l2：3x－y＋C＝0之間的距離為，則C＝（　　）
A.13　　　　　 B.13或－7
C.7　　 D.7或－13
3.已知直線l1：3x－4y＋5＝0，l2：3x－4y－10＝0，則l1與l2的距離為　　　　.
題型一 兩平行直線間的距離公式
【例1】　（鏈接教科書第39頁例5）（1）若傾斜角為45°的直線m被直線l1：x＋y－1＝0與l2：x＋y－3＝0所截得的線段為AB，則AB的長為（　　）
A.1　　　　　　　 B.
C.　　 D.2
（2）分別過點A（－2，1）和點B（3，－5）的兩條直線均垂直于x軸，則這兩條直線間的距離是　　　　.
通性通法
求兩平行直線間的距離的方法
（1）轉化法：將兩平行線間的距離轉化為其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離.因為結果與點的選擇無關，所以選點時，常選取一個特殊點，如直線與坐標軸的交點等，以便于運算；
（2）公式法：直接利用公式計算，但要注意兩直線方程中x，y的系數對應相等.
【跟蹤訓練】
已知直線5x＋12y－3＝0與直線10x＋my＋20＝0平行，則它們之間的距離是（　　）
A.1　　　B.2　　C.　　　D.4
題型二 兩平行直線間距離的簡單應用
【例2】　（鏈接教科書第42頁習題8題）（1）已知直線l與直線l1：3x－y＋3＝0和l2：3x－y－1＝0的距離相等，則直線l的方程是（　　）
A.3x－y＋2＝0　　B.3x－y－2＝0
C.3x－y－3＝0　　D.3x－y＋1＝0
（2）已知兩條平行直線l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0間的距離為3，則b＋c＝（　　）
A.－12　　 B.48
C.36　　 D.－12或48
通性通法
兩平行直線間距離公式的應用
（1）若已知兩平行直線間的距離求相關參數的值，可利用兩平行直線間的距離公式建立關于參數的方程求解；
（2）若已知兩平行直線間的距離求直線方程，可設出直線方程，然后利用兩平行直線間的距離公式列方程求解未知量，進而得出所求直線方程.
【跟蹤訓練】
（多選）已知直線l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直線l到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為1∶2，則直線l的方程為（　　）
A.2x＋3y－8＝0　　 B.4x＋6y＋5＝0
C.6x＋9y－10＝0　　 D.12x＋18y－13＝0
題型三 兩平行直線間距離的最值問題
【例3】　兩條互相平行的直線分別過點A（6，2）和B（－3，－1），并且各自繞著A，B旋轉，如果兩條平行直線間的距離為d.求：
（1）d的變化范圍；
（2）當d取最大值時，兩條直線的方程.
通性通法
應用數形結合思想求最值
（1）解決此類問題的關鍵是理解式子表示的幾何意義，將“數”轉化為“形”，從而利用圖形的直觀性加以解決；
（2）數形結合、運動變化的思想方法在解題中經常用到.當圖形中的元素運動變化時我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進而可求出這些量的變化范圍.
【跟蹤訓練】
　已知m，n，a，b∈R，且滿足3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，則的最小值為（　　）
A.　　 B.
C.1　　 D.
1.直線x－y＝0與直線x－y＋2＝0之間的距離為（　　）
A.　　 B.1
C.　　 D.2
2.（2024·無錫月考）兩條平行直線3x＋4y－12＝0與ax＋8y＋11＝0間的距離為（　　）
A.　　 B.
C.　　 D.
3.已知P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則PQ的最小值為（　　）
A.　　 B.
C.　　 D.
4.已知兩條平行直線l1：3x－4y＋6＝0與l2：6x－8y＋c＝0之間的距離為1，則實數c的值為　　　　.
第2課時　兩平行直線間的距離
【基礎知識·重落實】
知識點
1.公垂線段　3.
自我診斷
1.（1）×　（2）√　（3）×
2.B　因為l1∥l2，則＝，得C＝13或－7，故選B.
3.3　解析：由題意可知，l1∥l2，所以直線l1與l2的距離為d＝＝3.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）B　（2）5　解析：（1）由題意，可得直線m與直線l1，l2垂直，則由兩平行直線間的距離公式，得AB＝＝.
（2）兩直線方程分別是x＝－2和x＝3，故兩條直線間的距離為d＝｜－2－3｜＝5.
跟蹤訓練
　A　由兩條直線平行可得＝，解得m＝24.則直線10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，由兩條平行直線間的距離公式得d＝＝1.
【例2】　（1）D　（2）D　解析：（1）設直線l的方程為3x－y＋c＝0.因為直線l與直線l1：3x－y＋3＝0和l2：3x－y－1＝0的距離相等，所以＝，解得c＝1，所以直線l的方程為3x－y＋1＝0.
（2）將l1：3x＋4y＋5＝0改寫為6x＋8y＋10＝0，因為兩條直線平行，所以b＝8.由＝3，解得c＝－20或c＝40，所以b＋c＝－12或48.
跟蹤訓練
　BD　設直線l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直線l到直線l1和到直線l2的距離分別為d1，d2.則d1＝，d2＝.因為＝，所以＝，即2｜m＋2｜＝｜m＋9｜，解得m＝5或m＝－，所以直線l的方程為4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.故選B、D.
【例3】　解：（1）如圖，顯然有0＜d≤AB.而AB＝＝3.
故所求的d的變化范圍為（0，3].
（2）由圖可知，當d取最大值時，兩直線與AB垂直.而kAB＝＝，
所以所求直線的斜率為－3.
故所求的直線方程分別為y－2＝－3（x－6）和y＋1＝－3（x＋3），
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
跟蹤訓練
　C　（m，n）為直線3x＋4y＝6上的動點，（a，b）為直線3x＋4y＝1上的動點，可理解為兩動點間距離的最小值，顯然最小值即兩平行線間的距離d＝＝1.故選C.
隨堂檢測
1.C　依題意，直線x－y＝0與直線x－y＋2＝0之間的距離為＝，故選C.
2.C　直線3x＋4y－12＝0即直線6x＋8y－24＝0，由題意知，a＝6，故兩條平行直線3x＋4y－12＝0與ax＋8y＋11＝0間的距離為＝.
3.C　直線6x＋8y＋5＝0可化為3x＋4y＋＝0，易知直線3x＋4y－12＝0與3x＋4y＋＝0平行，故PQ的最小值即兩平行直線間的距離，故PQmin＝＝.
4.22或2　解析：直線l1：3x－4y＋6＝0，即6x－8y＋12＝0，l2：6x－8y＋c＝0，所以l1與l2平行，由兩平行線間的距離為＝1，解得c＝2或c＝22.
3 / 3第2課時　兩平行直線間的距離
1.直線－＝1與y＝x＋1之間的距離為（　　）
A.　　 B.
C.　　 D.24
2.（2024·鹽城月考）兩條平行直線2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0間的距離為d，則（　　）
A.a＝6，d＝　　 B.a＝－6，d＝
C.a＝－6，d＝　　 D.a＝6，d＝
3.若直線l1：2x－ay＋1＝0與l2：（a－1）x－y－1＝0平行，則l1與l2之間的距離為（　　）
A.　　 B.
C.　　 D.
4.若直線2x＋y－3＝0與直線4x＋2y＋a＝0之間的距離不大于，則實數a的取值范圍為（　　）
A.（－∞，4]　　 B.[－16，4]
C.[－4，16]　　 D.[4，16]
5.（多選）到直線2x＋y＋1＝0的距離等于的直線方程可能為（　　）
A.2x＋y－1＝0　　 B.2x＋y－2＝0
C.2x＋y＝0　　 D.2x＋y＋2＝0
6.（多選）若P，Q分別為l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的動點，且l1∥l2，則下面說法正確的有（　　）
A.直線l2的斜率為定值
B.當c＝25時，PQ的最小值為
C.當PQ的最小值為1時，c＝20
D.c≠10
7.若兩條平行直線Ax－2y－1＝0與6x－4y＋C＝0之間的距離為，則C＝　　　　.
8.直線l與直線x－2y＋4＝0平行，且直線l到直線x－2y＋4＝0的距離和原點到直線l的距離相等，則直線l的方程是　　　　.
9.在平面直角坐標系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程分別為x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一組對邊所在的直線方程分別為3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，則｜c1－c2｜＝　　　　.
10.已知直線l1：2x＋y＋2＝0；l2：mx＋4y＋n＝0.
（1）若l1⊥l2，求m的值；
（2）若l1∥l2，且它們間的距離為，求m，n的值.
11.（多選）若l與三條直線l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可圍成正方形，則l的方程為（　　）
A.x－y＝0　　 B.x＋y＝0
C.x＋y－10＝0　　 D.x－y＋10＝0
12.（多選）若直線l被兩平行直線l1：x＋y＋2＝0與直線l2：x＋y－2＝0所截的線段的長為2，則直線l的傾斜角為（　　）
A.165°　　 B.85°
C.150°　　 D.75°
13.（2024·南京質檢）設兩條直線的方程分別為x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的兩個實根，且0≤c≤，則這兩條直線之間的距離的最大值為　　　　.
14.如圖，已知直線l1：x＋y－1＝0，現將直線l1向上平移到直線l2的位置，若l2，l1和坐標軸圍成的梯形面積為4，求l2的方程.
15.已知三條直線：l1：2x－y＋a＝0（a＞0），l2：－4x＋2y＋1＝0，l3：x＋y－1＝0，且l1與l2之間的距離是.
（1）求a的值；
（2）能否找到一點P，使得P點同時滿足下列三個條件：①P是第一象限的點；②P點到l1的距離是P點到l2的距離的；③P點到l1的距離與P點到l3的距離之比是∶？若能，求P點坐標；若不能，請說明理由.
第2課時　兩平行直線間的距離
1.B　兩直線變形為3x－2y－12＝0與3x－2y＋2＝0，則兩直線間的距離d＝＝＝.故選B.
2.D　根據兩條平行直線2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0，可得＝≠.可得a＝6.可得兩條平行直線為6x－3y＋9＝0和6x－3y＋4＝0，故它們間的距離d＝＝.
3.C　因為直線l1：2x－ay＋1＝0與l2：（a－1）x－y－1＝0平行，所以2×（－1）＝－a×（a－1），解得a＝－1或a＝2.當a＝－1時，l1：2x＋y＋1＝0與l2：－2x－y－1＝0重合，故舍去；當a＝2時，l1：2x－2y＋1＝0與l2：2x－2y－2＝0之間的距離d＝＝.故選C.
4.B　直線2x＋y－3＝0化為4x＋2y－6＝0，則兩直線之間的距離d＝≤，即｜a＋6｜≤10，解得－16≤a≤4，所以實數a的取值范圍為[－16，4]，故選B.
5.CD　因為所求直線與直線2x＋y＋1＝0的距離為，所以可得所求直線與已知直線平行，設所求直線方程為2x＋y＋c＝0（c≠1），則d＝＝，解得c＝0或c＝2，故所求直線方程為2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
6.ABD　因為l1∥l2，所以＝2，≠2，所以a＝6，c≠10，故A、D正確；因為PQ的最小值為兩平行直線間的距離，所以當c＝25時，d＝＝，故B正確；當PQ的最小值為1時，d＝＝1，解得c＝20或c＝0，故C錯誤.
7.11或－15　解析：由直線Ax－2y－1＝0與6x－4y＋C＝0平行，可得A＝3，即兩直線方程分別為6x－4y－2＝0，6x－4y＋C＝0，兩平行直線間的距離為，可得＝，解得C＝11或－15.
8.x－2y＋2＝0　解析：由題意設所求直線l的方程為x－2y＋C＝0（C≠4），則＝，解得C＝2，故直線l的方程為x－2y＋2＝0.
9.2　解析：由題意得，菱形兩組對邊間的距離相等，所以＝，解得｜c1－c2｜＝2.
10.解：設直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，則k1＝－2，k2＝－.
（1）若l1⊥l2，則k1k2＝＝－1，所以m＝－2.
（2）若l1∥l2，則－2＝－，所以m＝8.
所以直線l2的方程可以化簡為2x＋y＋＝0，
所以直線l1與l2間的距離為＝，
所以n＝28或n＝－12.
11.BC　易知l1∥l2，且它們之間的距離d＝＝.則l∥l3，所以可設l：x＋y＋c＝0，則＝，解得c＝0或－10，所以所求直線方程為x＋y＝0或x＋y－10＝0.
12.AD　依題意，作出圖形，則AC＝2，因為直線l1：x＋y＋2＝0與直線l2：x＋y－2＝0平行，所以l1，l2間的距離為＝2，即AB＝2，因為AB⊥BC，所以∠ACB＝45°，即直線l與直線l2的夾角為45°，因為直線l2的斜率為－，則傾斜角為120°，所以直線l的傾斜角為165°或75°.故選A、D.
13.　解析：由已知得兩條直線間的距離是d＝，因為a，b是方程x2＋x＋c＝0的兩個根，所以a＋b＝－1，ab＝c，則｜a－b｜＝＝，因為0≤c≤，所以≤≤，即≤d≤.
14.解：設l2的方程為x＋y－b＝0（b＞1），
則A（1，0），D（0，1），B（b，0），C（0，b）.
∴｜AD｜＝，｜BC｜＝b.
梯形的高h就是A點到直線l2的距離，
故h＝＝＝，
由梯形的面積公式得×＝4，
∴b2＝9，b＝±3.
又b＞1，∴b＝3.
從而得直線l2的方程是x＋y－3＝0.
15.解：（1）l2可化為2x－y－＝0，
∴l1與l2的距離d＝＝，
∴｜a－（－）｜＝.∵a＞0，∴a＝3.
（2）設點P（x0，y0），若點P滿足條件②，則點P在與l1，l2平行的直線l'：2x－y＋C＝0上，且＝×，即C＝或C＝.
∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.
若點P滿足條件③，由點到直線的距離公式有
＝·，
即｜2x0－y0＋3｜＝｜x0＋y0－1｜.
∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
∵點P在第一象限，∴3x0＋2＝0不合題意，舍去.
由解得不合題意，舍去.
由解得
即點P（，）同時滿足三個條件.
2 / 2(共56張PPT)
第2課時　
兩平行直線間的距離
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
圖中的 a ， b 是兩根互相平行的水管，由于工程需要，現在要用
一根水管把它們接通.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【問題】　你認為選用哪根水管最節省材料？
知識點　兩條平行直線間的距離
1. 定義：兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的
的長.
2. 圖示：
公垂
線段　
3. 公式：兩條平行直線 l1： Ax ＋ By ＋ C1＝0與 l2： Ax ＋ By ＋ C2＝0
（ A ， B 不同時為0， C1≠ C2）之間的距離 d ＝ .
提醒　使用平行直線間的距離公式的前提有兩點：一是直線方程為
一般式；二是兩直線方程中 x ， y 的系數分別相同.
　
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）連接兩平行直線上任意兩點，即得兩平行直線間的距離.
（　×　）
（2）若直線 l1： x ＋ y －1＝0上有 A （1，0）， B （0，1）， C
（－1，2）三點，則點 A ， B ， C 到直線 l2： x ＋ y ＋1＝0的
距離相等. （　√　）
（3）已知直線 l1： x ＝ x1， l2：2 x ＝ x2，則直線 l1， l2間的距離為｜
x2－ x1｜. （　×　）
×
√
×
2. 已知直線 l1：3 x － y ＋3＝0與 l2：3 x － y ＋ C ＝0之間的距離為
，則 C ＝（　　）
A. 13 B. 13或－7
C. 7 D. 7或－13
解析：　因為 l1∥ l2，則 ＝ ，得 C ＝13或－7，
故選B.
3. 已知直線 l1：3 x －4 y ＋5＝0， l2：3 x －4 y －10＝0，則 l1與 l2的距
離為 .
解析：由題意可知， l1∥ l2，所以直線 l1與 l2的距離為 d ＝
＝3.
3　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
　　
題型一 兩平行直線間的距離公式
【例1】　（鏈接教科書第39頁例5）（1）若傾斜角為45°的直線 m
被直線 l1： x ＋ y －1＝0與 l2： x ＋ y －3＝0所截得的線段為 AB ，則 AB
的長為（　B　）
A. 1
D. 2
解析：由題意，可得直線 m 與直線 l1， l2垂直，則由兩平行直線間的
距離公式，得 AB ＝ ＝ .
（2）分別過點 A （－2，1）和點 B （3，－5）的兩條直線均垂直于 x
軸，則這兩條直線間的距離是 .
解析：兩直線方程分別是 x ＝－2和 x ＝3，故兩條直線間的距離
為 d ＝｜－2－3｜＝5.
5　
通性通法
求兩平行直線間的距離的方法
（1）轉化法：將兩平行線間的距離轉化為其中一條直線上任意一點
到另一條直線的距離.因為結果與點的選擇無關，所以選點時，
常選取一個特殊點，如直線與坐標軸的交點等，以便于運算；
（2）公式法：直接利用公式計算，但要注意兩直線方程中 x ， y 的系
數對應相等.
【跟蹤訓練】
已知直線5 x ＋12 y －3＝0與直線10 x ＋ my ＋20＝0平行，則它們之間
的距離是（　　）
A. 1 B. 2
D. 4
解析：　由兩條直線平行可得 ＝ ，解得 m ＝24.則直線10 x ＋24
y ＋20＝0，即5 x ＋12 y ＋10＝0，由兩條平行直線間的距離公式得 d ＝
＝1.
題型二 兩平行直線間距離的簡單應用
【例2】　（鏈接教科書第42頁習題8題）（1）已知直線 l 與直線 l1：3
x － y ＋3＝0和 l2：3 x － y －1＝0的距離相等，則直線 l 的方程是
（　D　）
A. 3 x － y ＋2＝0 B. 3 x － y －2＝0
C. 3 x － y －3＝0 D. 3 x － y ＋1＝0
解析：設直線 l 的方程為3 x － y ＋ c ＝0.因為直線 l 與直線 l1：3 x － y ＋
3＝0和 l2：3 x － y －1＝0的距離相等，所以 ＝ ，解得 c
＝1，所以直線 l 的方程為3 x － y ＋1＝0.
（2）已知兩條平行直線 l1：3 x ＋4 y ＋5＝0， l2：6 x ＋ by ＋ c ＝0間的
距離為3，則 b ＋ c ＝（　D　）
A. －12 B. 48
C. 36 D. －12或48
解析：將 l1：3 x ＋4 y ＋5＝0改寫為6 x ＋8 y ＋10＝0，因為兩條
直線平行，所以 b ＝8.由 ＝3，解得 c ＝－20或 c ＝40，
所以 b ＋ c ＝－12或48.
通性通法
兩平行直線間距離公式的應用
（1）若已知兩平行直線間的距離求相關參數的值，可利用兩平行直
線間的距離公式建立關于參數的方程求解；
（2）若已知兩平行直線間的距離求直線方程，可設出直線方程，然
后利用兩平行直線間的距離公式列方程求解未知量，進而得出
所求直線方程.
【跟蹤訓練】
（多選）已知直線 l1：2 x ＋3 y －1＝0和 l2：4 x ＋6 y －9＝0，若直線 l
到直線 l1的距離與到直線 l2的距離之比為1∶2，則直線 l 的方程為
（　　）
A. 2 x ＋3 y －8＝0 B. 4 x ＋6 y ＋5＝0
C. 6 x ＋9 y －10＝0 D. 12 x ＋18 y －13＝0
解析：　設直線 l ：4 x ＋6 y ＋ m ＝0， m ≠－2且 m ≠－9，直線 l 到
直線 l1和到直線 l2的距離分別為 d1， d2.則 d1＝ ， d2＝
.因為 ＝ ，所以 ＝ ，即2｜ m ＋2｜＝｜
m ＋9｜，解得 m ＝5或 m ＝－ ，所以直線 l 的方程為4 x ＋6 y ＋5＝0
或12 x ＋18 y －13＝0.故選B、D.
題型三 兩平行直線間距離的最值問題
【例3】　兩條互相平行的直線分別過點 A （6，2）和 B （－3，
－1），并且各自繞著 A ， B 旋轉，如果兩條平行直線間的距離為
d .求：
（1） d 的變化范圍；
解：如圖，顯然有0＜ d ≤ AB . 而 AB ＝ ＝3 .
故所求的 d 的變化范圍為（0，3 ].
（2）當 d 取最大值時，兩條直線的方程.
解：由圖可知，當 d 取最大值時，兩直線與 AB 垂直.而 kAB
＝ ＝ ，
所以所求直線的斜率為－3.
故所求的直線方程分別為 y －2＝－3（ x －6）和 y ＋1＝－3（ x
＋3），
即3 x ＋ y －20＝0和3 x ＋ y ＋10＝0.
通性通法
應用數形結合思想求最值
（1）解決此類問題的關鍵是理解式子表示的幾何意義，將“數”轉
化為“形”，從而利用圖形的直觀性加以解決；
（2）數形結合、運動變化的思想方法在解題中經常用到.當圖形中的
元素運動變化時我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進而可
求出這些量的變化范圍.
【跟蹤訓練】
　已知 m ， n ， a ， b ∈R，且滿足3 m ＋4 n ＝6，3 a ＋4 b ＝1，則
的最小值為（　　）
C. 1
解析：　（ m ， n ）為直線3 x ＋4 y ＝6上的動點，（ a ， b ）為
直線3 x ＋4 y ＝1上的動點， 可理解為
兩動點間距離的最小值，顯然最小值即兩平行線間的距離 d ＝
＝1.故選C.
1. 直線 x － y ＝0與直線 x － y ＋2＝0之間的距離為（　　）
B. 1
D. 2
解析：　依題意，直線 x － y ＝0與直線 x － y ＋2＝0之間的距離為
＝ ，故選C.
2. （2024·無錫月考）兩條平行直線3 x ＋4 y －12＝0與 ax ＋8 y ＋11＝0
間的距離為（　　）
解析：　直線3 x ＋4 y －12＝0即直線6 x ＋8 y －24＝0，由題意
知， a ＝6，故兩條平行直線3 x ＋4 y －12＝0與 ax ＋8 y ＋11＝0間的
距離為 ＝ .
3. 已知 P ， Q 分別為直線3 x ＋4 y －12＝0與6 x ＋8 y ＋5＝0上任意一
點，則 PQ 的最小值為（　　）
解析：　直線6 x ＋8 y ＋5＝0可化為3 x ＋4 y ＋ ＝0，易知直線3 x
＋4 y －12＝0與3 x ＋4 y ＋ ＝0平行，故 PQ 的最小值即兩平行直線
間的距離，故 PQmin＝ ＝ .
4. 已知兩條平行直線 l1：3 x －4 y ＋6＝0與 l2：6 x －8 y ＋ c ＝0之間的
距離為1，則實數 c 的值為 .
解析：直線 l1：3 x －4 y ＋6＝0，即6 x －8 y ＋12＝0， l2：6 x －8 y ＋
c ＝0，所以 l1與 l2平行，由兩平行線間的距離為 ＝1，
解得 c ＝2或 c ＝22.
22或2　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
　　
1. 直線 － ＝1與 y ＝ x ＋1之間的距離為（　　）
D. 24
解析：　兩直線變形為3 x －2 y －12＝0與3 x －2 y ＋2＝0，則兩直
線間的距離 d ＝ ＝ ＝ .故選B.
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2. （2024·鹽城月考）兩條平行直線2 x － y ＋3＝0和 ax －3 y ＋4＝0間
的距離為 d ，則（　　）
解析：　根據兩條平行直線2 x － y ＋3＝0和 ax －3 y ＋4＝0，可得
＝ ≠ .可得 a ＝6.可得兩條平行直線為6 x －3 y ＋9＝0和6 x －3
y ＋4＝0，故它們間的距離 d ＝ ＝ .
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3. 若直線 l1：2 x － ay ＋1＝0與 l2：（ a －1） x － y －1＝0平行，則 l1
與 l2之間的距離為（　　）
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解析：　因為直線 l1：2 x － ay ＋1＝0與 l2：（ a －1） x － y －1＝
0平行，所以2×（－1）＝－ a ×（ a －1），解得 a ＝－1或 a ＝2.
當 a ＝－1時， l1：2 x ＋ y ＋1＝0與 l2：－2 x － y －1＝0重合，故舍
去；當 a ＝2時， l1：2 x －2 y ＋1＝0與 l2：2 x －2 y －2＝0之間的距
離 d ＝ ＝ .故選C.
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4. 若直線2 x ＋ y －3＝0與直線4 x ＋2 y ＋ a ＝0之間的距離不大于 ，
則實數 a 的取值范圍為（　　）
A. （－∞，4] B. [－16，4]
C. [－4，16] D. [4，16]
解析：　直線2 x ＋ y －3＝0化為4 x ＋2 y －6＝0，則兩直線之間的
距離 d ＝ ≤ ，即｜ a ＋6｜≤10，解得－16≤ a ≤4，所
以實數 a 的取值范圍為[－16，4]，故選B.
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5. （多選）到直線2 x ＋ y ＋1＝0的距離等于 的直線方程可能為
（　　）
A. 2 x ＋ y －1＝0 B. 2 x ＋ y －2＝0
C. 2 x ＋ y ＝0 D. 2 x ＋ y ＋2＝0
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解析：　因為所求直線與直線2 x ＋ y ＋1＝0的距離為 ，所以
可得所求直線與已知直線平行，設所求直線方程為2 x ＋ y ＋ c ＝0
（ c ≠1），則 d ＝ ＝ ，解得 c ＝0或 c ＝2，故所求直線方
程為2 x ＋ y ＝0或2 x ＋ y ＋2＝0.
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6. （多選）若 P ， Q 分別為 l1：3 x ＋4 y ＋5＝0， l2： ax ＋8 y ＋ c ＝0
上的動點，且 l1∥ l2，則下面說法正確的有（　　）
A. 直線 l2的斜率為定值
C. 當 PQ 的最小值為1時， c ＝20
D. c ≠10
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解析：　因為 l1∥ l2，所以 ＝2， ≠2，所以 a ＝6， c ≠10，
故A、D正確；因為 PQ 的最小值為兩平行直線間的距離，所以當 c
＝25時， d ＝ ＝ ，故B正確；當 PQ 的最小值為1時， d
＝ ＝1，解得 c ＝20或 c ＝0，故C錯誤.
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7. 若兩條平行直線 Ax －2 y －1＝0與6 x －4 y ＋ C ＝0之間的距離為
，則 C ＝ .
解析：由直線 Ax －2 y －1＝0與6 x －4 y ＋ C ＝0平行，可得 A ＝3，
即兩直線方程分別為6 x －4 y －2＝0，6 x －4 y ＋ C ＝0，兩平行直
線間的距離為 ，可得 ＝ ，解得 C ＝11或－15.
11或－15　
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8. 直線 l 與直線 x －2 y ＋4＝0平行，且直線 l 到直線 x －2 y ＋4＝0的距
離和原點到直線 l 的距離相等，則直線 l 的方程是 .
解析：由題意設所求直線 l 的方程為 x －2 y ＋ C ＝0（ C ≠4），則
＝ ，解得 C ＝2，故直線 l 的方程為 x －2 y ＋
2＝0.
x －2 y ＋2＝0　
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解析：由題意得，菱形兩組對邊間的距離相等，所以 ＝
，解得｜ c1－ c2｜＝2 .
2 　
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10. 已知直線 l1：2 x ＋ y ＋2＝0； l2： mx ＋4 y ＋ n ＝0.
（1）若 l1⊥ l2，求 m 的值；
若 l1⊥ l2，則 k1 k2＝ ＝－1，所以 m ＝－2.
解：設直線 l1， l2的斜率分別為 k1， k2，則 k1＝－2，
k2＝－ .
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解：若 l1∥ l2，則－2＝－ ，所以 m ＝8.
所以直線 l2的方程可以化簡為2 x ＋ y ＋ ＝0，
所以直線 l1與 l2間的距離為 ＝ ，
所以 n ＝28或 n ＝－12.
（2）若 l1∥ l2，且它們間的距離為 ，求 m ， n 的值.
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11. （多選）若 l 與三條直線 l1： x － y ＋2＝0， l2： x － y －3＝0， l3：
x ＋ y －5＝0可圍成正方形，則 l 的方程為（　　）
A. x － y ＝0 B. x ＋ y ＝0
C. x ＋ y －10＝0 D. x － y ＋10＝0
解析：　易知 l1∥ l2，且它們之間的距離 d ＝ ＝ .
則 l ∥ l3，所以可設 l ： x ＋ y ＋ c ＝0，則 ＝ ，解得 c ＝
0或－10，所以所求直線方程為 x ＋ y ＝0或 x ＋ y －10＝0.
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12. （多選）若直線 l 被兩平行直線 l1： x ＋ y ＋2＝0與直線 l2： x
＋ y －2＝0所截的線段的長為2 ，則直線 l 的傾斜角為（　　）
A. 165° B. 85°
C. 150° D. 75°
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解析：　依題意，作出圖形，則 AC ＝2 ，因為直線 l1： x
＋ y ＋2＝0與直線 l2： x ＋ y －2＝0平行，所以 l1， l2間的距離為
＝2，即 AB ＝2，因為 AB ⊥ BC ，所以∠ ACB ＝
45°，即直線 l 與直線 l2的夾角為45°，因為直線 l2的
斜率為－ ，則傾斜角為120°，所以直線 l 的傾斜
角為165°或75°.故選A、D.
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13. （2024·南京質檢）設兩條直線的方程分別為 x ＋ y ＋ a ＝0， x ＋ y
＋ b ＝0，已知 a ， b 是方程 x2＋ x ＋ c ＝0的兩個實根，且0≤ c ≤
，則這兩條直線之間的距離的最大值為 　 　.
解析：由已知得兩條直線間的距離是 d ＝ ，因為 a ， b 是
方程 x2＋ x ＋ c ＝0的兩個根，所以 a ＋ b ＝－1， ab ＝ c ，則｜ a －
b ｜＝ ＝ ，因為0≤ c ≤ ，所以 ≤
≤ ，即 ≤ d ≤ .
　
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14. 如圖，已知直線 l1： x ＋ y －1＝0，現將直線 l1向上平移到直線 l2的
位置，若 l2， l1和坐標軸圍成的梯形面積為4，求 l2的方程.
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解：設 l2的方程為 x ＋ y － b ＝0（ b ＞1），
則 A （1，0）， D （0，1）， B （ b ，0）， C （0， b ）.
∴｜ AD ｜＝ ，｜ BC ｜＝ b .
梯形的高 h 就是 A 點到直線 l2的距離，
故 h ＝ ＝ ＝ ，
由梯形的面積公式得 × ＝4，
∴ b2＝9， b ＝±3.又 b ＞1，∴ b ＝3.
從而得直線 l2的方程是 x ＋ y －3＝0.
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15. 已知三條直線： l1：2 x － y ＋ a ＝0（ a ＞0）， l2：－4 x ＋2 y ＋1
＝0， l3： x ＋ y －1＝0，且 l1與 l2之間的距離是 .
（1）求 a 的值；
解：l2可化為2 x － y － ＝0，
∴ l1與 l2的距離 d ＝ ＝ ，
∴｜ a －（－ ）｜＝ .∵ a ＞0，∴ a ＝3.
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（2）能否找到一點 P ，使得 P 點同時滿足下列三個條件：① P 是
第一象限的點；② P 點到 l1的距離是 P 點到 l2的距離的 ；③
P 點到 l1的距離與 P 點到 l3的距離之比是 ∶ ？若能，求
P 點坐標；若不能，請說明理由.
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解：設點 P （ x0， y0），若點 P 滿足條件②，則點 P 在
與 l1， l2平行的直線l'：2 x － y ＋ C ＝0上，且 ＝ ×
，即 C ＝ 或 C ＝ .
∴2 x0－ y0＋ ＝0或2 x0－ y0＋ ＝0.
若點 P 滿足條件③，由點到直線的距離公式有
＝ · ，即｜2 x0－ y0＋3｜＝｜ x0
＋ y0－1｜.∴ x0－2 y0＋4＝0或3 x0＋2＝0.
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∵點 P 在第一象限，∴3 x0＋2＝0不合題意，舍去.
由解得不合題意，舍去.
由解得
即點 P （ ， ）同時滿足三個條件.
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謝 謝 觀 看！

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