資源簡(jiǎn)介

一、直線方程的求法
　　掌握直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式與一般式方程，熟悉各種形式的方程的適用條件，在具體問(wèn)題中會(huì)選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式求出直線的方程.
【例1】　（1）（多選）過(guò)點(diǎn)（－3，1）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程可能是（　　）
A.x＋3y＝0
B.x＋y＋2＝0
C.x－y＋2＝0
D.x－3y＝0
（2）已知一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，－），且它的傾斜角等于直線x－y＝0傾斜角的2倍，則這條直線的方程為　　　　　.
反思感悟
求解直線方程的兩種方法
（1）直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫(xiě)出直線方程；
（2）待定系數(shù)法：①設(shè)所求直線方程的某種形式；②由條件建立所求參數(shù)的方程（組）；③解這個(gè)方程（組）求出參數(shù)；④把參數(shù)的值代入所設(shè)直線方程.
提醒　（1）應(yīng)用“點(diǎn)斜式”和“斜截式”方程時(shí)，要注意討論斜率是否存在；
（2）應(yīng)用“截距式”方程時(shí)要注意討論直線是否過(guò)原點(diǎn)，截距是否為0；
（3）應(yīng)用一般式Ax＋By＋C＝0確定直線的斜率時(shí)注意討論B是否為0.
【跟蹤訓(xùn)練】
若一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（－2，2），并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，則此直線的方程為　　　.
二、兩直線的平行與垂直
　　理解兩直線平行與垂直的條件；能用斜率判定兩直線的平行或垂直，并能利用兩直線平行或垂直的條件解決相關(guān)問(wèn)題.
【例2】　（1）若直線l1：2x＋my＋1＝0與直線l2：m2x－y＋＝0垂直，則實(shí)數(shù)m的值為（　　）
A.0　　 B.－或0
C.0或　　 D.
（2）“a＝－”是“直線ax＋（a＋1）y＝0和直線2ax＋（1－a）y＋1＝0平行”的（　　）
A.充要條件
B.必要不充分條件
C.充分不必要條件
D.既不充分也不必要條件
反思感悟
1.判定兩條直線平行、垂直的方法
（1）若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1（注意斜率不存在時(shí)的特殊情形）；
（2）一般式方程下的平行與垂直：l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2.解決兩直線平行與垂直的參數(shù)問(wèn)題要“前思后想”
【跟蹤訓(xùn)練】
1.已知l1的傾斜角為45°，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（－2，－1），Q（3，m）.若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)m＝（　　）
A.6　　 B.－6
C.5　　 D.－5
2.若直線m1：x＋3by－5＝0與直線m2：2bx＋y＋2＝0平行，則b＝　　　　.
三、兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題
1.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).
2.掌握平面上兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.
【例3】　（1）若點(diǎn)（1，a）到直線y＝x＋1的距離是，則實(shí)數(shù)a的值為（　　）
A.－1　 　B.5
C.－1或5　　 D.－3或3
（2）若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，求直線l1與l2間的距離.
反思感悟
兩種距離的求解思路
（1）點(diǎn)到直線的距離：可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式；
（2）兩平行直線間的距離：①利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離；②利用兩平行線間的距離公式（利用公式前需把兩平行線方程中x，y的系數(shù)化為對(duì)應(yīng)相等的形式）.
【跟蹤訓(xùn)練】
　已知直線l過(guò)直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點(diǎn)，且點(diǎn)P（0，4）到直線l的距離為2，則這樣的直線l的條數(shù)為（　　）
A.0　　 B.1
C.2　　 D.3
章末復(fù)習(xí)與總結(jié)
【例1】　（1）AB　（2）x－y－3＝0
解析：（1）當(dāng)截距均為0時(shí)，設(shè)直線的方程為y＝kx，將點(diǎn)（－3，1）的坐標(biāo)代入得k＝－，
此時(shí)直線的方程為x＋3y＝0；當(dāng)截距均不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為＋＝1，將點(diǎn)（－3，1）的坐標(biāo)代入得a＝－2，此時(shí)直線的方程為x＋y＋2＝0.
（2）由已知得直線x－y＝0的斜率為，則其傾斜角為30°，故所求直線傾斜角為60°，斜率為，故所求直線的方程為y－（－）＝（x－2），即x－y－3＝0.
跟蹤訓(xùn)練
　x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0
解析：由題意設(shè)直線方程為y＝k（x＋2）＋2，直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為（－2－，0），（0，2k＋2）.∵與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，∴｜－2－｜·｜2k＋2｜＝1，∴｜｜｜2k＋2｜＝1，∴＝1.①k＞0時(shí)，（2k＋2）2＝2k，整理得2k2＋3k＋2＝0，無(wú)解.②k＜0時(shí)，（2k＋2）2＝－2k，整理得2k2＋5k＋2＝0，∴k＝－2或k＝－，則所求直線的方程為2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
【例2】　（1）C　（2）C　解析：（1）由于l1⊥l2，所以2×m2＋m×（－1）＝2m2－m＝m（2m－1）＝0，解得m＝0或m＝.故選C.
（2）當(dāng)a≠±1時(shí)，直線ax＋（a＋1）y＝0和直線2ax＋（1－a）y＋1＝0平行 －＝且≠ a＝0或a＝－，當(dāng)a＝±1時(shí)，易知兩直線不平行，所以“a＝－”是“直線ax＋（a＋1）y＝0和直線2ax＋（1－a）y＋1＝0平行”的充分不必要條件.故選C.
跟蹤訓(xùn)練
1.B　因?yàn)椋絫an 45°＝1，＝＝，且l1⊥l2，所以·＝1×＝－1，解得m＝－6，故選B.
2.±　解析：直線m1：x＋3by－5＝0與直線m2：2bx＋y＋2＝0平行，∴1＝6b2，且2≠2b×（－5），∴b2＝，∴b＝±.
【例3】　（1）C　∵點(diǎn)（1，a）到直線y＝x＋1的距離是，∴＝，即｜a－2｜＝3，解得a＝－1或a＝5，∴實(shí)數(shù)a的值為－1或5.
（2）解：因?yàn)橹本€l1：x＋ay＋6＝0與l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，
所以3－a（a－2）＝0且2a2－18≠0，解得a＝－1.所以直線l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以直線l1與l2間的距離d＝＝.
跟蹤訓(xùn)練
　C　法一　由得即直線l過(guò)點(diǎn)（1，2）.設(shè)點(diǎn)Q（1，2），因?yàn)镻Q＝＝＞2，所以滿(mǎn)足條件的直線l有2條.
法二　依題意，設(shè)經(jīng)過(guò)直線l1與l2交點(diǎn)的直線l的方程為2x＋3y－8＋λ（x－2y＋3）＝0（λ∈R），即（2＋λ）x＋（3－2λ）y＋3λ－8＝0.由題意得＝2，化簡(jiǎn)得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或λ＝，代入得直線l的方程為y＝2或4x－3y＋2＝0，所以直線l有2條.
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章末復(fù)習(xí)與總結(jié)
　　
一、直線方程的求法
　　掌握直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式與一般式方程，熟
悉各種形式的方程的適用條件，在具體問(wèn)題中會(huì)選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程
形式求出直線的方程.
【例1】　（1）（多選）過(guò)點(diǎn)（－3，1）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等
的直線的方程可能是（　AB　）
A. x ＋3 y ＝0 B. x ＋ y ＋2＝0
C. x － y ＋2＝0 D. x －3 y ＝0
解析：當(dāng)截距均為0時(shí)，設(shè)直線的方程為 y ＝ kx ，將點(diǎn)（－3，1）的坐
標(biāo)代入得 k ＝－ ，此時(shí)直線的方程為 x ＋3 y ＝0；當(dāng)截距均不為0時(shí)，
設(shè)直線的方程為 ＋ ＝1，將點(diǎn)（－3，1）的坐標(biāo)代入得 a ＝－2，此
時(shí)直線的方程為 x ＋ y ＋2＝0.
（2）已知一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn) A （2，－ ），且它的傾斜角等于直線 x
－ y ＝0傾斜角的2倍，則這條直線的方程為 　 x － y －3 ＝0　.
解析：由已知得直線 x － y ＝0的斜率為 ，則其傾斜角為30°，故
所求直線傾斜角為60°，斜率為 ，故所求直線的方程為 y －（－
）＝ （ x －2），即 x － y －3 ＝0.
x － y －3 ＝0　
反思感悟
求解直線方程的兩種方法
（1）直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫(xiě)出
直線方程；
（2）待定系數(shù)法：①設(shè)所求直線方程的某種形式；②由條件建立所
求參數(shù)的方程（組）；③解這個(gè)方程（組）求出參數(shù)；④把參
數(shù)的值代入所設(shè)直線方程.
提醒　（1）應(yīng)用“點(diǎn)斜式”和“斜截式”方程時(shí)，要注意討論
斜率是否存在；
（2）應(yīng)用“截距式”方程時(shí)要注意討論直線是否過(guò)原點(diǎn)，截距是否
為0；
（3）應(yīng)用一般式 Ax ＋ By ＋ C ＝0確定直線的斜率時(shí)注意討論 B 是
否為0.
【跟蹤訓(xùn)練】
若一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn) A （－2，2），并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積
為1，則此直線的方程為 .
x ＋2 y －2＝0或2 x ＋ y ＋2＝0　
解析：由題意設(shè)直線方程為 y ＝ k （ x ＋2）＋2，直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)
為（－2－ ，0），（0，2 k ＋2）.∵與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面
積為1，∴ ｜－2－ ｜·｜2 k ＋2｜＝1，∴ ｜ ｜｜2 k ＋2｜＝
1，∴ ＝1.① k ＞0時(shí)，（2 k ＋2）2＝2 k ，整理得2 k2＋3 k ＋
2＝0，無(wú)解.② k ＜0時(shí)，（2 k ＋2）2＝－2 k ，整理得2 k2＋5 k ＋2＝
0，∴ k ＝－2或 k ＝－ ，則所求直線的方程為2 x ＋ y ＋2＝0或 x ＋2 y
－2＝0.
二、兩直線的平行與垂直
　　理解兩直線平行與垂直的條件；能用斜率判定兩直線的平行或垂
直，并能利用兩直線平行或垂直的條件解決相關(guān)問(wèn)題.
【例2】　（1）若直線 l1：2 x ＋ my ＋1＝0與直線 l2： m2 x － y ＋ ＝0
垂直，則實(shí)數(shù) m 的值為（　C　）
A. 0 B. － 或0 C. 0或 D.
解析：由于 l1⊥ l2，所以2× m2＋ m ×（－1）＝2 m2－ m ＝ m （2 m －
1）＝0，解得 m ＝0或 m ＝ .故選C.
（2）“ a ＝－ ”是“直線 ax ＋（ a ＋1） y ＝0和直線2 ax ＋（1－
a ） y ＋1＝0平行”的（　C　）
A. 充要條件
B. 必要不充分條件
C. 充分不必要條件
D. 既不充分也不必要條件
解析：當(dāng) a ≠±1時(shí)，直線 ax ＋（ a ＋1） y ＝0和直線2 ax ＋（1
－ a ） y ＋1＝0平行 － ＝ 且 ≠ a ＝0或 a ＝－
，當(dāng) a ＝±1時(shí)，易知兩直線不平行，所以“ a ＝－ ”是“直
線 ax ＋（ a ＋1） y ＝0和直線2 ax ＋（1－ a ） y ＋1＝0平行”的
充分不必要條件.故選C.
反思感悟
1. 判定兩條直線平行、垂直的方法
（1）若兩條不重合的直線 l1， l2的斜率 k1， k2存在，則 l1∥ l2 k1
＝ k2， l1⊥ l2 k1 k2＝－1（注意斜率不存在時(shí)的特殊情
形）；
（2）一般式方程下的平行與垂直： l1∥ l2 A1 B2－ A2 B1＝0且 B1 C2
－ B2 C1≠0， l1⊥ l2 A1 A2＋ B1 B2＝0.
2. 解決兩直線平行與垂直的參數(shù)問(wèn)題要“前思后想”
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 已知 l1的傾斜角為45°， l2經(jīng)過(guò)點(diǎn) P （－2，－1）， Q （3， m ）.
若 l1⊥ l2，則實(shí)數(shù) m ＝（　　）
A. 6 B. －6
C. 5 D. －5
解析：　因?yàn)? ＝tan 45°＝1， ＝ ＝ ，且 l1⊥
l2，所以 · ＝1× ＝－1，解得 m ＝－6，故選B.
2. 若直線 m1： x ＋3 by －5＝0與直線 m2：2 bx ＋ y ＋2＝0平行，則 b
＝ .
解析：直線 m1： x ＋3 by －5＝0與直線 m2：2 bx ＋ y ＋2＝0平行，
∴1＝6 b2，且2≠2 b ×（－5），∴ b2＝ ，∴ b ＝± .
± 　
三、兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題
1. 能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).
2. 掌握平面上兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直
線間的距離.
【例3】　（1）若點(diǎn)（1， a ）到直線 y ＝ x ＋1的距離是 ，則實(shí)
數(shù) a 的值為（　　）
A. －1 B. 5
C. －1或5 D. －3或3
解析：　∵點(diǎn)（1， a ）到直線 y ＝ x ＋1的距離是 ，
∴ ＝ ，即｜ a －2｜＝3，解得 a ＝－1或 a ＝5，∴實(shí)
數(shù) a 的值為－1或5.
（2）若直線 l1： x ＋ ay ＋6＝0與 l2：（ a －2） x ＋3 y ＋2 a ＝0平行，
求直線 l1與 l2間的距離.
解：因?yàn)橹本€ l1： x ＋ ay ＋6＝0與 l2：（ a －2） x ＋3 y ＋2 a ＝0
平行，
所以3－ a （ a －2）＝0且2 a2－18≠0，解得 a ＝－1.
所以直線 l1： x － y ＋6＝0， l2： x － y ＋ ＝0，
所以直線 l1與 l2間的距離 d ＝ ＝ .
反思感悟
兩種距離的求解思路
（1）點(diǎn)到直線的距離：可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)求，但要
注意此時(shí)直線方程必須為一般式；
（2）兩平行直線間的距離：①利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距
離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離；②利用兩
平行線間的距離公式（利用公式前需把兩平行線方程中 x ， y 的
系數(shù)化為對(duì)應(yīng)相等的形式）.
【跟蹤訓(xùn)練】
　已知直線 l 過(guò)直線 l1： x －2 y ＋3＝0與直線 l2：2 x ＋3 y －8＝0的交
點(diǎn)，且點(diǎn) P （0，4）到直線 l 的距離為2，則這樣的直線 l 的條數(shù)為
（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：　法一　由得即直線 l 過(guò)點(diǎn)（1，
2）.設(shè)點(diǎn) Q （1，2），因?yàn)?PQ ＝ ＝ ＞
2，所以滿(mǎn)足條件的直線 l 有2條.
法二　依題意，設(shè)經(jīng)過(guò)直線 l1與 l2交點(diǎn)的直線 l 的方程為2 x ＋3 y －8＋
λ（ x －2 y ＋3）＝0（λ∈R），即（2＋λ） x ＋（3－2λ） y ＋3λ
－8＝0.由題意得 ＝2，化簡(jiǎn)得5λ2－8λ－36＝
0，解得λ＝－2或λ＝ ，代入得直線 l 的方程為 y ＝2或4 x －3 y ＋2
＝0，所以直線 l 有2條.
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