資源簡介

(共16張PPT)
滬科版數學九年級上冊
21.4二次函數的應用 (第1 課時)
jianjing07
目錄
01
教學目標
02
教學重難點
03
教學過程設計
04
例題講解
05
課堂小測
06
布置作業
學習目標
多元能力提升
01
02
03
04
建立函數模型
能建立實際問題中的二次函數模型，培養數學建模思想。
掌握求最值方法
掌握利用頂點坐標求最值的方法，提升運算能力。
解決典型問題
會解決面積最大、利潤最高等典型應用問題，增強應用意識。
培養數學思想
培養數學建模思想，提高分析問題和解決問題的能力。
重點難點
重點內容
從實際問題抽象出二次函數模型，求最值，這是解決問題的關鍵步驟。
難點突破
確定自變量取值范圍及實際意義的驗證，需要深入理解問題情境。
復習回顧
鞏固二次函數基礎知識
一般式
二次函數的一般式為 y = a x2 + b x + c(a ≠ 0)，是二次函數的基本表達形式。
頂點式
二次函數的頂點式為 y = a(x - h)2 + k，方便我們直接確定頂點坐標。
性質 - a>0
當a>0時，拋物線開口向上，函數有最小值，即當 時，。
性質 - a<0
當a<0時，拋物線開口向下，函數有最大值，即當 時，。
問題引入
某水產養殖戶用長40m 的圍網，在水庫中圍一塊矩形的水面，投放魚苗，設此矩形水面的長為xm，面積為Sm 。那么，S與x之間有怎樣的函數關系？要使圍成的水面面積最大，它的長應是多少米？它的最大面積是多少平方米？
提出問題
1.矩形長為xm,周長為40m,可以表示寬了嗎？可以表示面積嗎？
2.x的取值范圍是多少？如何求S的最大值？
合作探究
面積S=x(20 - x)=-x2+20x
因而只需求出頂點坐標，即可解決問題。求二次函數頂點坐標有兩種方法：
一是配方法：s=-x2+20x=-（x-10)2+100.
二是利用頂點坐標公式：=-10,
=--
解析：矩形水面的寬為 （40-2x)=(20 - x)m。
因為a=-1<0，且0即當x=-時，
此時，y=-102+20×10=100
結論：當圍成的矩形水面長為10m，寬為10m 時，它的面積最大，最大面積是100m 。
解題小結：實際問題中求解二次函數最值問題，不一定都取圖象頂點處，要根據自變量的取值范圍.通過例題思考的對比，希望同學們能夠理解函數圖象的頂點、端點與最值的關系，以及何時取頂點處、何時取端點處才有符合實際的最值.
試一試
有一長為24 米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為 10 米）圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，設花圃的寬AB為x米，面積為S平方米。（1）求S與x的函數關系式及x的取值范圍。
（2）當x取何值時，圍成的花圃面積最大？最大面積是多少？
A
B
D
C
解：（1）因為花圃寬AB為x米，中間隔有一道籬笆，所以長為((24 - 3x)米，又因為墻的最大可用長度為10米，所以0<24 - 3x≤10,解得.
.
面積S = x(24 - 3x)=-3x2+24x.
（2）函數S =-3x2+24x的對稱軸是x=- ,因為a=-3<0,拋物線開口向下，在對稱軸右側y隨x的增大而減小，又因為，所以當x=時，s取得最大值，為s=-3
答：x=米時，圍成的花圃面積最大，最大面積是 平方米。
平方米。
用二次函數解決實際問題的一般步驟：
審：理解題意，找出等量關系。
設：設出合適的變量，一般設自變量為x，因變量為y。
列：根據等量關系列出函數關系式。
求：根據函數關系式求出最值或根據題意求出相應的解。
答：檢驗并作答。求得的最大值或最小值對應的自變量的值必須在自變量的取值范圍內.
歸納總結
例題講解
某商品現在的售價為每件10 元，一周可賣出 50 件。市場調查表明：這種商品如果每件漲價 1 元，每周要少賣出 5 件。已知該商品的進價為每件 8 元，問每件商品漲價多少才能使每周得到的利潤最大？
分析：設每件商品漲價x元。則每件利潤為(10 + x - 8)=(2 + x)元。銷量為(50 - 5x)件。
總利潤
y=(2 + x)(50 - 5x)=-5x2+40x + 100。
=-5(x2-8x)+100=-5(x - 4)2+180，
即每件商品漲價4 元時，每周得到的利潤最大，最大利潤為 180 元。
試一試
某商店購進一批單價為20 元的日用品，如果以單價 30 元銷售，那么半個月內可以售出 400 件。根據銷售經驗，提高單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高 1 元，銷售量相應減少 20 件。如何提高售價，才能在半個月內獲得最大利潤？
簡析:類似上題，先設兩個變量，再利用總利潤=總銷量×單件利潤，構造函數關系，利用配方或頂點坐標公式即可回答問題。答案為每件商品售價提高5元時，才能在半個月內獲得最大利潤，最大利潤為4500元。
課堂小結
思想方法：建模思想、數形結合、函數思想
課堂小測
（1）某農場用60米的籬笆圍成一個矩形菜地，設矩形的一邊長為x米，則矩形的面積S與x的函數關系式為__________，當x=__________米時，面積最大，最大面積為__________平方米。
（2）某商品進價為每件40元，售價為每件60元時，每天可售出100件。若每降價1元，每天多售出10件，則每天的利潤y（元）與降價x（元）的函數關系式為______________________，當降價__________元時，利潤最大。
（3）用長為20米的鐵絲圍成一個矩形，要使矩形的面積最大，邊長應為（ ）
A. 4米和6米 B. 5米和5米 C. 6米和4米 D. 7米和3米
S= x2+30
15
225
5
y=(20 x)(100+10x)
B
（4）某商店銷售一種商品，每件利潤為20元，每天可售出50件。經調查發現，每降價1元，每天多售出5件。若設降價x元，每天總利潤為y元，則y與x的函數關系式為（ ）
A. y=(20 x)(50+5x) B. y=(20+x)(50 5x) C. y=20(50+5x) D. y=(20 x)(50 5x)
（5）某農場準備用40米的籬笆圍成一個矩形養雞場，其中一面靠墻（墻足夠長）。設垂直于墻的一邊長為x米，矩形的面積為S平方米。
（1）寫出S與x的函數關系式；
（2）求當x為多少時，面積最大？最大面積是多少？
A
參考答案：①S= 2x2+40x
②當x=10米時，面積最大，最大面積為200平方米。
布置作業
鞏固與拓展
課本作業
課本P36練習第2題, P42習題第3題。
拓展題
某農場擬建一間矩形種牛飼養室，飼養室的一面靠現有墻 (墻足夠長)，已知計劃中的建筑材料可建圍墻的總長為50m。設飼養室的長為xm，占地面積為ym2。
(1)如圖，問飼養室的長x為多少時，占地面積y最大
(2)若在與墻垂直的一邊留一個 2m 寬的門 (門不需要建筑材料)，求占地面積y最大時飼養室的長。
x
謝謝觀看
jianjing07
2025.8.7

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