資源簡介

第1課時　圓的標準方程
1.以（1，－1）為圓心，2為半徑的圓的標準方程為（　　）
A.（x－1）2＋（y＋1）2＝4
B.（x－1）2＋（y＋1）2＝2
C.（x－1）2＋（y－1）2＝2
D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4
2.若直線x＋y＋a＝0過圓（x－1）2＋（y＋2）2＝2的圓心，則實數a的值為（　?。?br/>A.－1　　　B.1　　C.0　　　D.2
3.已知圓M過點O（0，0），A（2，0），B（2，－2），則圓M的標準方程是（　?。?br/>A.（x－1）2＋（y＋1）2＝2
B.（x－1）2＋（y－1）2＝2
C.（x＋1）2＋（y＋1）2＝2
D.（x＋1）2＋（y－1）2＝2
4.如圖，圓弧形拱橋的跨度AB＝12 m，拱高CD＝4 m，則拱橋的直徑為（　　）
A.15 m　　 B.13 m
C.9 m　　 D.6.5 m
5.（多選）以直線2x＋y－4＝0與兩坐標軸的一個交點為圓心，過另一個交點的圓的標準方程可能為（　?。?br/>A.x2＋（y－4）2＝20　　 B.（x－4）2＋y2＝20
C.x2＋（y－2）2＝20　　 D.（x－2）2＋y2＝20
6.（多選）（2024·連云港月考）已知圓C過點A（1，4），B（3，2），且圓心C在直線y＝0上，則（　　）
A.點M1（2，3）在圓內　　 B.點M1（2，3）在圓外
C.點M2（2，4）在圓內　　 D.點M2（2，4）在圓外
7.寫出符合條件：圓心在直線y＝x＋1上，且與x軸相切的一個圓的標準方程為　　　　.
8.若點（a，2a＋1）在圓x2＋（y－1）2＝5的內部，則實數a的取值范圍是　　　　.
9.圓（x－1）2＋（y－1）2＝1上的點到直線x－y＝2的距離的最大值是　　　　.
10.已知圓過點A（1，－2），B（－1，4）.
（1）求周長最小的圓的方程；
（2）求圓心在直線2x－y－4＝0上的圓的方程.
11.（2024·南通月考）若圓C與圓（x＋2）2＋（y－1）2＝1關于原點對稱，則圓C的方程是（　?。?br/>A.（x－2）2＋（y＋1）2＝1
B.（x－2）2＋（y－1）2＝1
C.（x－1）2＋（y＋2）2＝1
D.（x＋1）2＋（y－2）2＝1
12.（多選）（2024·揚州月考）設圓Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），則下列說法正確的是（　　）
A.無論k如何變化，圓心Ck都在一條直線上
B.所有圓Ck均不經過點（3，0）
C.經過點（2，2）的圓Ck有且只有一個
D.所有圓Ck的面積均為4π
13.（2024·淮安質檢）已知三點A（3，2），B（5，－3），C（－1，3），以點P（2，－1）為圓心作一個圓，使A，B，C三點中一點在圓外，一點在圓上，一點在圓內，則這個圓的標準方程為　　　　.
14.已知矩形ABCD的兩條對角線相交于點M（2，0），AB邊所在直線的方程為x－3y－6＝0，點T（－1，1）在AD邊所在的直線上.
（1）求AD邊所在直線的方程；
（2）求矩形ABCD外接圓的標準方程.
15.已知圓C：（x－3）2＋（y－4）2＝1，點A（0，－1），B（0，1），設P是圓C上的動點，令d＝PA2＋PB2，求d的最大值及最小值.
第1課時　圓的標準方程
1.A　由圓的標準方程知（x－1）2＋（y＋1）2＝4.
2.B　由圓的標準方程（x－1）2＋（y＋2）2＝2，可得圓心坐標為（1，－2），因為直線x＋y＋a＝0過圓心（1，－2），所以1－2＋a＝0，解得a＝1.
3.A　由點O（0，0），A（2，0）在圓M上，故圓心在直線x＝1上，由點A（2，0），B（2，－2）在圓M上，故圓心在直線y＝－1上，即圓心M（1，－1），半徑r＝＝，故方程為（x－1）2＋（y＋1）2＝2，故選A.
4.B　如圖，設圓心為O，半徑為r，則在Rt△OBD中，由勾股定理得OB2＝OD2＋BD2，即r2＝（r－4）2＋62，解得r＝，所以拱橋的直徑為13 m.
5.AD　令x＝0，則y＝4；令y＝0，則x＝2.所以直線2x＋y－4＝0與兩坐標軸的交點分別為A（0，4），B（2，0），AB＝＝2，以A為圓心，過B點的圓的標準方程為x2＋（y－4）2＝20.以B為圓心，過A點的圓的標準方程為（x－2）2＋y2＝20.
6.AD　因為圓過A，B兩點，所以圓心在線段AB的垂直平分線上，直線AB的斜率為－1，線段AB的中點坐標為（2，3），故線段AB的垂直平分線的方程為y－3＝x－2，即x－y＋1＝0，又圓心在直線y＝0上，因此圓心坐標是方程組的解，即圓心坐標為C（－1，0），半徑r＝＝，故所求圓的標準方程為（x＋1）2＋y2＝20.點M1（2，3）到圓心的距離為＝＜r，所以點M1在圓內，點M2（2，4）到圓心的距離為＝＞r，所以點M2在圓外，故選A、D.
7.（x－1）2＋（y－2）2＝4（答案不唯一）　解析：設圓心為（1，2），滿足圓心在直線y＝x＋1上，半徑為2，滿足圓心（1，2）到x軸的距離等于半徑，所以圓的標準方程為（x－1）2＋（y－2）2＝4.
8.（－1，1）　解析：因為點（a，2a＋1）在圓x2＋（y－1）2＝5的內部，則a2＋[（2a＋1）－1]2＜5，解得－1＜a＜1.
9.＋1　解析：圓（x－1）2＋（y－1）2＝1的圓心為（1，1），則圓心到直線x－y＝2的距離為d＝＝，故圓上的點到直線x－y＝2的距離的最大值為＋1.
10.解：（1）當線段AB為圓的直徑時，過點A，B的圓的半徑最小，從而周長最小，即圓心為線段AB的中點（0，1），半徑r＝AB＝.
則所求圓的方程為x2＋（y－1）2＝10.
（2）法一　直線AB的斜率k＝＝－3，
故線段AB的垂直平分線的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.
由解得
即圓心的坐標是（3，2）.
∴r2＝（3－1）2＋（2＋2）2＝20.
∴所求圓的方程是（x－3）2＋（y－2）2＝20.
法二　設圓的方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2.
則
∴所求圓的方程為（x－3）2＋（y－2）2＝20.
11.A　由兩圓關于原點對稱可知圓C的圓心坐標為（2，－1），半徑為1，所以圓C的方程為（x－2）2＋（y＋1）2＝1.
12.ABD　易知圓心Ck（k，k）在直線y＝x上，∴A中說法正確；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化簡得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴方程2k2－6k＋5＝0無解，∴B中說法正確；令（2－k）2＋（2－k）2＝4，化簡得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，∴k2－4k＋2＝0有兩個不相等的實數根，∴經過點（2，2）的圓Ck有兩個，∴C中說法錯誤；易知圓Ck的半徑為2，∴圓Ck的面積為4π，∴D中說法正確.
13.（x－2）2＋（y＋1）2＝13　解析：要使A，B，C三點中一點在圓外，一點在圓上，一點在圓內，則圓的半徑是PA，PB，PC的中間值.因為PA＝，PB＝，PC＝5，所以PA＜PB＜PC，所以圓的半徑r＝PB＝.故所求圓的標準方程為（x－2）2＋（y＋1）2＝13.
14.解：（1）因為AB邊所在直線的方程為x－3y－6＝0，且AD與AB垂直，所以直線AD的斜率為－3.
又點T（－1，1）在直線AD上，
所以AD邊所在直線的方程為y－1＝－3（x＋1），
即3x＋y＋2＝0.
（2）由解得點A的坐標為（0，－2），
因為矩形ABCD的兩條對角線的交點為點M（2，0），
所以M為矩形ABCD外接圓的圓心.
又r＝AM＝＝2，
所以矩形ABCD外接圓的標準方程為（x－2）2＋y2＝8.
15.解：設P（x，y），
則d＝PA2＋PB2＝2（x2＋y2）＋2.
∵CO2＝32＋42＝25，
∴（5－1）2≤x2＋y2≤（5＋1）2，
即16≤x2＋y2≤36.
∴d的最小值為2×16＋2＝34，
最大值為2×36＋2＝74.
2 / 22.1　圓的方程
新課程標準解讀 核心素養
回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程 直觀想象、數學運算
第1課時　圓的標準方程
　　《墨子·經上》云：“圓，一中同長也.”這句樸素的定義用數學語言來描述就是：圓是平面內到一定點的距離等于定長的所有的點組成的集合.這個定點即圓心，而定長就是半徑.只要給定了圓心和半徑，這個圓就確定了.
【問題】　直線可在直角坐標系內用方程表示，那么圓是否也可在直角坐標系內用方程表示呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　圓的標準方程
提醒?。?）圓的標準方程體現了圓的集合性質，突出了圓的幾何意義：圓心位置和半徑；（2）當圓心在坐標原點時，圓的方程為x2＋y2＝r2.
知識點二　點與圓的位置關系
點M（x0，y0）與圓C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置關系及判斷方法
位置關系 利用距離判斷 利用方程判斷
點M在圓上 CM＝r （x0－a）2＋（y0－b）2＝r2
點M在圓外 CM＞r （x0－a）2＋（y0－b）2＞r2
點M在圓內 CM＜r （x0－a）2＋（y0－b）2＜r2
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）方程（x－a）2＋（y－b）2＝m2一定表示圓.（　?。?br/>（2）確定一個圓的幾何要素是圓心和半徑.（　　）
（3）圓（x＋1）2＋（y＋2）2＝4的圓心坐標是（1，2），半徑是4.（　?。?br/>2.圓心為（－2，3），半徑為2的圓的方程是（　?。?br/>A.（x－2）2＋（y＋3）2＝2
B.（x＋2）2＋（y－3）2＝4
C.（x＋2）2＋（y－3）2＝2
D.（x－2）2＋（y＋3）2＝4
3.點P（1，3）與以A（2，－1）為圓心，半徑為5的圓的位置關系為（　?。?br/>A.點P在圓上　　 B.點P在圓內
C.點P在圓外　　 D.無法確定
題型一 求圓的標準方程
【例1】?。ㄦ溄咏炭茣?6頁例1）（1）與y軸相切，且圓心坐標為（－5，－3）的圓的標準方程為　　　　；
（2）求經過點P（1，1）和坐標原點，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上的圓的標準方程.
通性通法
求圓的標準方程的兩種方法
（1）待定系數法求圓的標準方程的一般步驟
（2）幾何法：即利用平面幾何知識，求出圓心和半徑，然后寫出圓的標準方程.
【跟蹤訓練】
1.圓心在y軸上，半徑為5，且過點（3，－4），則圓的標準方程為　　　　.
2.已知△ABC的三個頂點坐標分別為A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4），求該三角形的外接圓的方程.
題型二 點與圓的位置關系
【例2】?。ㄦ溄咏炭茣?1頁練習5題）寫出圓心為A（2，－3），半徑為5的圓的標準方程，并判斷點M1（5，－7），M2（－2，－1）是否在這個圓上.若該點不在圓上，說明該點在圓外還是在圓內？
通性通法
判斷點與圓位置關系的兩種方法
（1）幾何法：主要利用點到圓心的距離與半徑比較大小；
（2）代數法：把點的坐標代入圓的標準方程，比較式子兩邊的大小，并作出判斷.
【跟蹤訓練】
已知點（a＋1，a－1）在圓x2＋（y－a）2＝a2＋4外，則實數a的取值范圍為（　?。?br/>A.（－∞，1）　　　　　B.（1，＋∞）
C.（0，1）　　D.（，＋∞）
題型三 圓的標準方程的實際應用
【例3】　（鏈接教科書第56頁例2）趙州橋位于我國河北省，是我國現存最早、保存最好的巨大石拱橋.如圖所示，趙州橋是一座空腹式的圓弧形石拱橋，利用解析幾何的方法，用趙州橋的跨度a和圓拱高b表示出趙州橋圓弧所在圓的半徑.
通性通法
求與圓的方程有關的實際應用問題的解題步驟
【跟蹤訓練】
某圓拱橋的水面跨度20 m，拱高4 m.現有一船，寬10 m，水面以上高3 m，這條船能否從橋下通過？
1.圓C：（x－2）2＋（y＋1）2＝3的圓心坐標為（　?。?br/>A.（2，1）　　　　　　 B.（2，－1）
C.（－2，1）　　 D.（－2，－1）
2.點P（m2，5）與圓x2＋y2＝24的位置關系是（　?。?br/>A.點P在圓內　　 B.點P在圓外
C.點P在圓上　　 D.不確定
3.（2024·鹽城月考）以兩點A（－3，－1）和B（5，5）為直徑端點的圓的標準方程是　　　　　　.
4.如圖是一個圓曲隧道的截面，點O為截面圓的圓心，若路面AB寬為10 m，凈高CD為7 m，則此隧道圓的半徑是　　　　m.
第1課時　圓的標準方程
【基礎知識·重落實】
知識點一
定長　圓心　半徑　圓心　半徑　
（x－a）2＋（y－b）2＝r2
自我診斷
1.（1）×?。?）√?。?）×
2.B　因為圓心為（－2，3），半徑為2，所以圓的標準方程為（x＋2）2＋（y－3）2＝4.故選B.
3.B　∵AP＝＝＜5，∴點P在圓A的內部.
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）（x＋5）2＋（y＋3）2＝25　
解析：∵圓心坐標為（－5，－3），又與y軸相切，∴該圓的半徑為5，∴該圓的標準方程為（x＋5）2＋（y＋3）2＝25.
（2）解：法一（待定系數法）　設圓的標準方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
則有解得
∴圓的標準方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25.
法二（幾何法）　由題意知OP是圓的弦，其垂直平分線的方程為x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分線過圓心，
∴由得
即圓心坐標為（4，－3），半徑r＝＝5.
∴圓的標準方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25.
跟蹤訓練
1.x2＋y2＝25或x2＋（y＋8）2＝25
解析：設圓心為C（0，b），則（3－0）2＋（－4－b）2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圓心為（0，0）或（0，－8），又r＝5，∴圓的標準方程為x2＋y2＝25或x2＋（y＋8）2＝25.
2.解：法一　設所求圓的標準方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2.
因為A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4）都在圓上，所以它們的坐標都滿足圓的標準方程，
于是有
解得
故所求圓的標準方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25.
法二　因為A（0，5），B（1，－2），所以線段AB的中點的坐標為，
直線AB的斜率kAB＝＝－7，因此線段AB的垂直平分線的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0.
同理可得線段BC的垂直平分線的方程是2x＋y＋5＝0.
由得圓心的坐標為（－3，1），
又圓的半徑長r＝＝5，
故所求圓的標準方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25.
【例2】　解：圓心為A（2，－3），半徑為5的圓的標準方程是（x－2）2＋（y＋3）2＝25.
把點M1（5，－7）的坐標代入方程（x－2）2＋（y＋3）2＝25的左邊，得（5－2）2＋（－7＋3）2＝25，左右兩邊相等，點M1的坐標滿足圓的方程，所以點M1在這個圓上.
點M2到圓心A的距離d＝M2A＝＝2＜5.
故點M2不在圓上，在圓內.
跟蹤訓練
　B　圓x2＋（y－a）2＝a2＋4的圓心為（0，a），半徑r＝，因為點（a＋1，a－1）在圓x2＋（y－a）2＝a2＋4外，所以點（a＋1，a－1）到圓心（0，a）的距離大于半徑，即＞，解得a＞1，故a的取值范圍為（1，＋∞）.
【例3】　解：作出示意圖如圖所示，其中AB表示跨度，O為AB中點，OC為圓拱高.以O為原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，根據已知條件有B，C（0，b）.
可以看出，圓弧所在圓的圓心在y軸上，因此可設圓心的坐標為（0，t），半徑為r，
因為點B，C都在圓上，
所以
由此可解得r＝.
跟蹤訓練
　解：建立如圖所示的坐標系，使圓心C在y軸上.依題意，有A（－10，0），B（10，0），P（0，4），D（－5，0），E（5，0）.
設這座圓拱橋的拱圓的方程是（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
于是有解得
所以這座圓拱橋的拱圓的方程是x2＋（y＋10.5）2＝14.52（0≤y≤4）.把點D的橫坐標x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3 m，3＜3.1，所以該船可以從橋下通過.
隨堂檢測
1.B　結合圓的標準方程可知，圓C的圓心坐標為（2，－1）.
2.B　由（m2）2＋52＝m4＋25＞24，得點P在圓外.
3.（x－1）2＋（y－2）2＝25　解析：∵AB為直徑，∴AB的中點（1，2）為圓心，AB＝＝5為半徑，∴該圓的標準方程為（x－1）2＋（y－2）2＝25.
4.　解析：∵OD⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝×10＝5（m），在Rt△OAD中，設半徑OA＝R m，則OD＝CD－R＝7－R，∴OA2＝OD2＋AD2，即R2＝（7－R）2＋52，解得R＝.∴此隧道圓的半徑是 m.
3 / 3(共59張PPT)
2.1　圓的方程
新課程標準解讀 核心素養
回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并
掌握圓的標準方程與一般方程 直觀想象、
數學運算
第1課時　圓的標準方程
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　《墨子·經上》云：“圓，一中同長也.”這句樸素的定義用數學
語言來描述就是：圓是平面內到一定點的距離等于定長的所有的點組
成的集合.這個定點即圓心，而定長就是半徑.只要給定了圓心和半
徑，這個圓就確定了.
【問題】　直線可在直角坐標系內用方程表示，那么圓是否也可在直
角坐標系內用方程表示呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　圓的標準方程
提醒　（1）圓的標準方程體現了圓的集合性質，突出了圓的幾何意
義：圓心位置和半徑；（2）當圓心在坐標原點時，圓的方程為 x2＋ y2
＝ r2.
知識點二　點與圓的位置關系
點 M （ x0， y0）與圓 C ：（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2的位置關系及判
斷方法
位置關系 利用距離判斷 利用方程判斷
點 M 在圓上 CM ＝ r （ x0－ a ）2＋（ y0－ b ）2＝ r2
點 M 在圓外 CM ＞ r （ x0－ a ）2＋（ y0－ b ）2＞ r2
點 M 在圓內 CM ＜ r （ x0－ a ）2＋（ y0－ b ）2＜ r2
　　
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）方程（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ m2一定表示圓. （　×　）
（2）確定一個圓的幾何要素是圓心和半徑. （　√?。?br/>（3）圓（ x ＋1）2＋（ y ＋2）2＝4的圓心坐標是（1，2），半徑是
4. （　×?。?br/>×
√
×
2. 圓心為（－2，3），半徑為2的圓的方程是（　　）
A. （ x －2）2＋（ y ＋3）2＝2
B. （ x ＋2）2＋（ y －3）2＝4
C. （ x ＋2）2＋（ y －3）2＝2
D. （ x －2）2＋（ y ＋3）2＝4
解析：　因為圓心為（－2，3），半徑為2，所以圓的標準方程
為（ x ＋2）2＋（ y －3）2＝4.故選B.
3. 點 P （1，3）與以 A （2，－1）為圓心，半徑為5的圓的位置關系
為（　?。?br/>A. 點 P 在圓上 B. 點 P 在圓內
C. 點 P 在圓外 D. 無法確定
解析：　∵ AP ＝ ＝ ＜5，∴點 P 在
圓 A 的內部.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 求圓的標準方程
【例1】?。ㄦ溄咏炭茣?6頁例1）（1）與 y 軸相切，且圓心坐標為
（－5，－3）的圓的標準方程為 ；
解析：∵圓心坐標為（－5，－3），又與 y 軸相切，∴該圓的半徑為
5，∴該圓的標準方程為（ x ＋5）2＋（ y ＋3）2＝25.
（ x ＋5）2＋（ y ＋3）2＝25　
（2）求經過點 P （1，1）和坐標原點，并且圓心在直線2 x ＋3 y ＋1＝
0上的圓的標準方程.
解：法一（待定系數法）　設圓的標準方程為（ x － a ）2＋（ y
－ b ）2＝ r2，
則有解得
∴圓的標準方程是（ x －4）2＋（ y ＋3）2＝25.
法二（幾何法）　由題意知 OP 是圓的弦，其垂直平分線的方程
為 x ＋ y －1＝0.
∵弦的垂直平分線過圓心，
∴由得
即圓心坐標為（4，－3），半徑 r ＝ ＝5.
∴圓的標準方程是（ x －4）2＋（ y ＋3）2＝25.
通性通法
求圓的標準方程的兩種方法
（1）待定系數法求圓的標準方程的一般步驟
（2）幾何法：即利用平面幾何知識，求出圓心和半徑，然后寫出圓
的標準方程.
【跟蹤訓練】
1. 圓心在 y 軸上，半徑為5，且過點（3，－4），則圓的標準方程
為 .
解析：設圓心為 C （0， b ），則（3－0）2＋（－4－ b ）2＝52，
∴ b ＝0或 b ＝－8，∴圓心為（0，0）或（0，－8），又 r ＝5，∴
圓的標準方程為 x2＋ y2＝25或 x2＋（ y ＋8）2＝25.
x2＋ y2＝25或 x2＋（ y ＋8）2＝25　
2. 已知△ ABC 的三個頂點坐標分別為 A （0，5）， B （1，－2）， C
（－3，－4），求該三角形的外接圓的方程.
解：法一　設所求圓的標準方程為（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2.
因為 A （0，5）， B （1，－2）， C （－3，－4）都在圓上，所以
它們的坐標都滿足圓的標準方程，
于是有
解得
故所求圓的標準方程是（ x ＋3）2＋（ y －1）2＝25.
法二　因為 A （0，5）， B （1，－2），所以線段 AB 的中點的坐標為
，
直線 AB 的斜率 kAB ＝ ＝－7，因此線段 AB 的垂直平分線的方程是
y － ＝ ，即 x －7 y ＋10＝0.
同理可得線段 BC 的垂直平分線的方程是2 x ＋ y ＋5＝0.
由得圓心的坐標為（－3，1），
又圓的半徑長 r ＝ ＝5，
故所求圓的標準方程是（ x ＋3）2＋（ y －1）2＝25.
題型二 點與圓的位置關系
【例2】?。ㄦ溄咏炭茣?1頁練習5題）寫出圓心為 A （2，－3），
半徑為5的圓的標準方程，并判斷點 M1（5，－7）， M2（－2，－1）
是否在這個圓上.若該點不在圓上，說明該點在圓外還是在圓內？
解：圓心為 A （2，－3），半徑為5的圓的標準方程
是（ x －2）2＋（ y ＋3）2＝25.
把點 M1（5，－7）的坐標代入方程（ x －2）2＋（ y
＋3）2＝25的左邊，得（5－2）2＋（－7＋3）2＝
25，左右兩邊相等，點 M1的坐標滿足圓的方程，所
以點 M1在這個圓上.
點 M2到圓心 A 的距離 d ＝ M2 A ＝
＝2 ＜5.
故點 M2不在圓上，在圓內.
通性通法
判斷點與圓位置關系的兩種方法
（1）幾何法：主要利用點到圓心的距離與半徑比較大小；
（2）代數法：把點的坐標代入圓的標準方程，比較式子兩邊的大
小，并作出判斷.
【跟蹤訓練】
已知點（ a ＋1， a －1）在圓 x2＋（ y － a ）2＝ a2＋4外，則實數 a 的取
值范圍為（　　）
A. （－∞，1） B. （1，＋∞）
C. （0，1）
解析：　圓 x2＋（ y － a ）2＝ a2＋4的圓心為（0， a ），半徑 r ＝
，因為點（ a ＋1， a －1）在圓 x2＋（ y － a ）2＝ a2＋4外，所
以點（ a ＋1， a －1）到圓心（0， a ）的距離大于半徑，即
＞ ，解得 a ＞1，故 a 的取值范圍為
（1，＋∞）.
題型三 圓的標準方程的實際應用
【例3】?。ㄦ溄咏炭茣?6頁例2）趙州橋位于我國河北省，是我國
現存最早、保存最好的巨大石拱橋.如圖所示，趙州橋是一座空腹式
的圓弧形石拱橋，利用解析幾何的方法，用趙州橋的跨度 a 和圓拱高 b
表示出趙州橋圓弧所在圓的半徑.
解：作出示意圖如圖所示，其中 AB 表示跨度， O 為 AB 中點， OC 為
圓拱高.以 O 為原點， AB 所在直線為 x 軸建立平面直角坐標系，根據
已知條件有 B ， C （0， b ）.
可以看出，圓弧所在圓的圓心在 y 軸上，因此可設圓心的坐標為（0，
t ），半徑為 r ，
因為點 B ， C 都在圓上，
所以
由此可解得 r ＝ .
通性通法
求與圓的方程有關的實際應用問題的解題步驟
【跟蹤訓練】
某圓拱橋的水面跨度20 m，拱高4 m.現有一船，寬10 m，水面以上高
3 m，這條船能否從橋下通過？
解：建立如圖所示的坐標系，使圓心 C 在 y 軸上.依題意，有 A （－
10，0）， B （10，0）， P （0，4）， D （－5，0）， E （5，0）.
設這座圓拱橋的拱圓的方程是（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2，
于是有解得
所以這座圓拱橋的拱圓的方程是 x2＋（ y ＋10.5）2＝14.52（0≤ y
≤4）.把點 D 的橫坐標 x ＝－5代入上式，得 y ≈3.1.由于船在水面以
上高3 m，3＜3.1，所以該船可以從橋下通過.
1. 圓 C ：（ x －2）2＋（ y ＋1）2＝3的圓心坐標為（　?。?br/>A. （2，1） B. （2，－1）
C. （－2，1） D. （－2，－1）
解析：　結合圓的標準方程可知，圓 C 的圓心坐標為（2，－1）.
2. 點 P （ m2，5）與圓 x2＋ y2＝24的位置關系是（　?。?br/>A. 點 P 在圓內 B. 點 P 在圓外
C. 點 P 在圓上 D. 不確定
解析：　由（ m2）2＋52＝ m4＋25＞24，得點 P 在圓外.
3. （2024·鹽城月考）以兩點 A （－3，－1）和 B （5，5）為直徑端點
的圓的標準方程是 .
解析：∵ AB 為直徑，∴ AB 的中點（1，2）為圓心， AB ＝
＝5為半徑，∴該圓的標準方程為（ x －
1）2＋（ y －2）2＝25.
（ x －1）2＋（ y －2）2＝25　

　
解析：∵ OD ⊥ AB ，∴ AD ＝ DB ＝ AB ＝ ×10＝5（m），在Rt△ OAD 中，設半徑 OA ＝ R m，則 OD ＝ CD － R ＝7－ R ，∴ OA2＝ OD2＋ AD2，即 R2＝（7－ R ）2＋52，解得 R ＝ .∴此隧道圓的半徑是 m.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 以（1，－1）為圓心，2為半徑的圓的標準方程為（　?。?br/>A. （ x －1）2＋（ y ＋1）2＝4
B. （ x －1）2＋（ y ＋1）2＝2
C. （ x －1）2＋（ y －1）2＝2
D. （ x ＋1）2＋（ y ＋1）2＝4
解析：　由圓的標準方程知（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝4.
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2. 若直線 x ＋ y ＋ a ＝0過圓（ x －1）2＋（ y ＋2）2＝2的圓心，則實
數 a 的值為（　　）
A. －1 B. 1
C. 0 D. 2
解析：　由圓的標準方程（ x －1）2＋（ y ＋2）2＝2，可得圓心
坐標為（1，－2），因為直線 x ＋ y ＋ a ＝0過圓心（1，－2），所
以1－2＋ a ＝0，解得 a ＝1.
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3. 已知圓 M 過點 O （0，0）， A （2，0）， B （2，－2），則圓 M 的
標準方程是（　?。?br/>A. （ x －1）2＋（ y ＋1）2＝2
B. （ x －1）2＋（ y －1）2＝2
C. （ x ＋1）2＋（ y ＋1）2＝2
D. （ x ＋1）2＋（ y －1）2＝2
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解析：　由點 O （0，0）， A （2，0）在圓 M 上，故圓心在直線
x ＝1上，由點 A （2，0）， B （2，－2）在圓 M 上，故圓心在直線
y ＝－1上，即圓心 M （1，－1），半徑 r ＝ ＝ ，故方
程為（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝2，故選A.
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4. 如圖，圓弧形拱橋的跨度 AB ＝12 m，拱高 CD ＝4 m，則拱橋的直
徑為（　?。?br/>A. 15 m B. 13 m
C. 9 m D. 6.5 m
解析：　如圖，設圓心為 O ，半徑為 r ，則在
Rt△ OBD 中，由勾股定理得 OB2＝ OD2＋ BD2，
即 r2＝（ r －4）2＋62，解得 r ＝ ，所以拱橋的
直徑為13 m.
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5. （多選）以直線2 x ＋ y －4＝0與兩坐標軸的一個交點為圓心，過另
一個交點的圓的標準方程可能為（　?。?br/>A. x2＋（ y －4）2＝20
B. （ x －4）2＋ y2＝20
C. x2＋（ y －2）2＝20
D. （ x －2）2＋ y2＝20
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解析：　令 x ＝0，則 y ＝4；令 y ＝0，則 x ＝2.所以直線2 x ＋ y
－4＝0與兩坐標軸的交點分別為 A （0，4）， B （2，0）， AB ＝
＝2 ，以 A 為圓心，過 B 點的圓的標準方程為 x2＋（ y －
4）2＝20.以 B 為圓心，過 A 點的圓的標準方程為（ x －2）2＋ y2＝
20.
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6. （多選）（2024·連云港月考）已知圓 C 過點 A （1，4）， B （3，
2），且圓心 C 在直線 y ＝0上，則（　?。?br/>A. 點 M1（2，3）在圓內
B. 點 M1（2，3）在圓外
C. 點 M2（2，4）在圓內
D. 點 M2（2，4）在圓外
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解析：　因為圓過 A ， B 兩點，所以圓心在線段 AB 的垂直平分
線上，直線 AB 的斜率為－1，線段 AB 的中點坐標為（2，3），故
線段 AB 的垂直平分線的方程為 y －3＝ x －2，即 x － y ＋1＝0，又
圓心在直線 y ＝0上，因此圓心坐標是方程組的
解，即圓心坐標為 C （－1，0），半徑 r ＝
＝ ，故所求圓的標準方程為（ x ＋
1）2＋ y2＝20.點 M1（2，3）到圓心的距離為
＝ ＜ r ，所以點 M1在圓內，點 M2
（2，4）到圓心的距離為 ＝ ＞ r ，所
以點 M2在圓外，故選A、D.
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7. 寫出符合條件：圓心在直線 y ＝ x ＋1上，且與 x 軸相切的一個圓的
標準方程為 .
解析：設圓心為（1，2），滿足圓心在直線 y ＝ x ＋1上，半徑為
2，滿足圓心（1，2）到 x 軸的距離等于半徑，所以圓的標準方程
為（ x －1）2＋（ y －2）2＝4.
（ x －1）2＋（ y －2）2＝4（答案不唯一）　
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8. 若點（ a ，2 a ＋1）在圓 x2＋（ y －1）2＝5的內部，則實數 a 的取
值范圍是 .
解析：因為點（ a ，2 a ＋1）在圓 x2＋（ y －1）2＝5的內部，則 a2
＋[（2 a ＋1）－1]2＜5，解得－1＜ a ＜1.
（－1，1）　
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9. 圓（ x －1）2＋（ y －1）2＝1上的點到直線 x － y ＝2的距離的最大
值是 .
解析：圓（ x －1）2＋（ y －1）2＝1的圓心為（1，1），則圓心到
直線 x － y ＝2的距離為 d ＝ ＝ ，故圓上的點到直線 x
－ y ＝2的距離的最大值為 ＋1.
＋1　
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10. 已知圓過點 A （1，－2）， B （－1，4）.
（1）求周長最小的圓的方程；
解：當線段 AB 為圓的直徑時，過點 A ， B 的圓的半徑
最小，從而周長最小，即圓心為線段 AB 的中點（0，1），
半徑 r ＝ AB ＝ .
則所求圓的方程為 x2＋（ y －1）2＝10.
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（2）求圓心在直線2 x － y －4＝0上的圓的方程.
解：法一　直線 AB 的斜率 k ＝ ＝－3，
故線段 AB 的垂直平分線的方程是 y －1＝ x ，
即 x －3 y ＋3＝0.
由解得
即圓心的坐標是（3，2）.
∴ r2＝（3－1）2＋（2＋2）2＝20.
∴所求圓的方程是（ x －3）2＋（ y －2）2＝20.
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法二　設圓的方程為（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2.
則
∴所求圓的方程為（ x －3）2＋（ y －2）2＝20.
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11. （2024·南通月考）若圓 C 與圓（ x ＋2）2＋（ y －1）2＝1關于原
點對稱，則圓 C 的方程是（　?。?br/>A. （ x －2）2＋（ y ＋1）2＝1
B. （ x －2）2＋（ y －1）2＝1
C. （ x －1）2＋（ y ＋2）2＝1
D. （ x ＋1）2＋（ y －2）2＝1
解析：　由兩圓關于原點對稱可知圓 C 的圓心坐標為（2，－
1），半徑為1，所以圓 C 的方程為（ x －2）2＋（ y ＋1）2＝1.
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12. （多選）（2024·揚州月考）設圓 Ck ：（ x － k ）2＋（ y － k ）2＝4
（ k ∈R），則下列說法正確的是（　?。?br/>A. 無論 k 如何變化，圓心 Ck 都在一條直線上
B. 所有圓 Ck 均不經過點（3，0）
C. 經過點（2，2）的圓 Ck 有且只有一個
D. 所有圓 Ck 的面積均為4π
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解析：　易知圓心 Ck （ k ， k ）在直線 y ＝ x 上，∴A中說法
正確；令（3－ k ）2＋（0－ k ）2＝4，化簡得2 k2－6 k ＋5＝0，
∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴方程2 k2－6 k ＋5＝0無解，∴B中說法
正確；令（2－ k ）2＋（2－ k ）2＝4，化簡得 k2－4 k ＋2＝0，∵Δ
＝16－8＝8＞0，∴ k2－4 k ＋2＝0有兩個不相等的實數根，∴經過
點（2，2）的圓 Ck 有兩個，∴C中說法錯誤；易知圓 Ck 的半徑為
2，∴圓 Ck 的面積為4π，∴D中說法正確.
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13. （2024·淮安質檢）已知三點 A （3，2）， B （5，－3）， C （－
1，3），以點 P （2，－1）為圓心作一個圓，使 A ， B ， C 三點中
一點在圓外，一點在圓上，一點在圓內，則這個圓的標準方程
為 .
解析：要使 A ， B ， C 三點中一點在圓外，一點在圓上，一點在圓
內，則圓的半徑是 PA ， PB ， PC 的中間值.因為 PA ＝ ， PB
＝ ， PC ＝5，所以 PA ＜ PB ＜ PC ，所以圓的半徑 r ＝ PB ＝
.故所求圓的標準方程為（ x －2）2＋（ y ＋1）2＝13.
（ x －2）2＋（ y ＋1）2＝13　
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14. 已知矩形 ABCD 的兩條對角線相交于點 M （2，0）， AB 邊所
在直線的方程為 x －3 y －6＝0，點 T （－1，1）在 AD 邊所在
的直線上.
（1）求 AD 邊所在直線的方程；
解：因為 AB 邊所在直線的方程為 x －3 y －6＝0，且
AD 與 AB 垂直，所以直線 AD 的斜率為－3.
又點 T （－1，1）在直線 AD 上，
所以 AD 邊所在直線的方程為 y －1＝－3（ x ＋1），
即3 x ＋ y ＋2＝0.
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（2）求矩形 ABCD 外接圓的標準方程.
解：由解得點 A 的坐標為（0，－2），
因為矩形 ABCD 的兩條對角線的交點為點 M （2，0），
所以 M 為矩形 ABCD 外接圓的圓心.
又 r ＝ AM ＝ ＝2 ，
所以矩形 ABCD 外接圓的標準方程為（ x －2）2＋ y2＝8.
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15. 已知圓 C ：（ x －3）2＋（ y －4）2＝1，點 A （0，－1）， B
（0，1），設 P 是圓 C 上的動點，令 d ＝ PA2＋ PB2，求 d 的最大值
及最小值.
解：設 P （ x ， y ），則 d ＝ PA2＋ PB2＝2（ x2＋ y2）＋2.
∵ CO2＝32＋42＝25，∴（5－1）2≤ x2＋ y2≤（5＋1）2，
即16≤ x2＋ y2≤36.
∴ d 的最小值為2×16＋2＝34，
最大值為2×36＋2＝74.
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