資源簡介

第2課時　圓的一般方程
1.圓的方程為（x－1）（x＋2）＋（y－2）（y＋4）＝0，則圓心坐標為（　　）
A.（1，－1）　　 B.
C.（－1，2）　　 D.
2.已知圓C的圓心坐標為（2，－3），且點（－1，－1）在圓上，則圓C的方程為（　　）
A.x2＋y2－4x＋6y＋8＝0
B.x2＋y2－4x＋6y－8＝0
C.x2＋y2－4x－6y＝0
D.x2＋y2－4x＋6y＝0
3.（2024·鎮江月考）若a∈{－2，0，1，}，則方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圓的個數為（　?。?br/>A.0　　 B.1
C.2　　 D.3
4.若當方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圓取得最大面積時，則直線y＝（k－1）x＋2的傾斜角為（　?。?br/>A.　　 B.
C.　　 D.
5.（多選）下列關于圓x2＋y2－4x－1＝0的說法正確的是（　?。?br/>A.關于點（2，0）對稱
B.關于直線y＝0對稱
C.關于直線x＋3y－2＝0對稱
D.關于直線x－y＋2＝0對稱
6.（多選）（2024·淮安月考）已知圓心為C的圓x2＋y2－4x＋6y＋11＝0與點A（0，－5），則（　?。?br/>A.圓C的半徑為2
B.點A在圓C外
C.點A與圓C上任一點距離的最大值為3
D.點A與圓C上任一點距離的最小值為
7.已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是　　　　，半徑是　　　　.
8.已知圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0關于直線y＝2x＋b成軸對稱圖形，則b＝　　　　，a的取值范圍是　　　　.
9.已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M（0，）在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為，則圓C的一般方程為　　　　　.
10.已知方程x2＋y2－2（t＋3）x＋2（1－4t2）y＋16t4＋9＝0表示一個圓.
（1）求t的取值范圍；
（2）求該圓的圓心坐標和半徑；
（3）求該圓半徑r的最大值及此時圓的標準方程.
11.“m＞”是“方程x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0表示圓”的（　?。?br/>A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
12.已知圓C：x2＋y2＋2x－2my－4－4m＝0（m∈R），則當圓C的面積最小時，圓上的點到坐標原點的距離的最大值為（　?。?br/>A.　　 B.6
C.－1　　 D.＋1
13.若曲線C：x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－16＝0上所有的點均在第二象限內，則實數a的取值范圍是　　　　.
14.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝6，CD＝3，且AB∥CD，AD＝BC，AB與CD間的距離為3.求四邊形ABCD的外接圓的方程，并求這個圓的圓心坐標和半徑.
15.在平面直角坐標系xOy中，二次函數f（x）＝x2＋ax＋b（a，b∈R，b＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，經過A，B，C三個點的圓記為☉M.
（1）當a＝4，b＝2時，求△ABC的面積；
（2）求☉M的方程；
（3）問☉M是否經過定點（其坐標與a，b的值無關）？請證明你的結論.
第2課時　圓的一般方程
1.D　將圓的方程化為標準方程，得＋（y＋1）2＝，所以圓心坐標為.
2.D　易知圓C的半徑為，所以圓C的標準方程為（x－2）2＋（y＋3）2＝13，展開得一般方程為x2＋y2－4x＋6y＝0.
3.B　若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a2＋（2a）2－4（2a2＋a－1）＞0，即3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜.∴當a∈{－2，0，1，}時，只有a＝0時，方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓.故選B.
4.C　x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化為標準方程為（x＋）2＋（y＋1）2＝1－k2，所以當k＝0時圓的半徑最大，面積也最大，此時直線的斜率為－1，故傾斜角為.
5.ABC　x2＋y2－4x－1＝0化為標準形式為（x－2）2＋y2＝5，所以圓心的坐標為（2，0）.對于A，圓是關于圓心對稱的中心對稱圖形，而點（2，0）是圓心，所以本選項正確；對于B，圓是關于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線y＝0過圓心，所以本選項正確；對于C，直線x＋3y－2＝0過圓心，所以本選項正確；對于D，直線x－y＋2＝0不過圓心，所以本選項不正確.故選A、B、C.
6.BCD　依題意，圓C：（x－2）2＋（y＋3）2＝2，則圓心C（2，－3），半徑r＝，A不正確；因點A（0，－5），則AC＝2＞r，點A在圓C外，B正確；因點A在圓C外，在圓C上任取點P，則PA≤PC＋CA＝r＋CA＝3，當且僅當點P，C，A共線，且P在線段AC延長線上時取“＝”，C正確；在圓C上任取點M，則MA≥CA－MC＝CA－r＝，當且僅當點C，M，A共線，且M在線段CA上時取“＝”，D正確.故選B、C、D.
7.（－2，－4）　5　解析：∵方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，∴a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.當a＝－1時，方程化為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得（x＋2）2＋（y＋4）2＝25，所得圓的圓心坐標為（－2，－4），半徑為5；當a＝2時，方程化為x2＋y2＋x＋2y＋＝0，此時D2＋E2－4F＝1＋4－4×＝－5＜0，方程不表示圓.
8.4?。ǎ?，5）　解析：由題意知，直線y＝2x＋b過圓心，而圓心坐標為（－1，2），代入直線方程，得b＝4，圓的方程化為標準方程為（x＋1）2＋（y－2）2＝5－a，所以a＜5.
9.x2＋y2－4x－5＝0　解析：設圓C的圓心坐標為（a，0）（a＞0），由題意可得＝，解得a＝2（a＝－2舍去），所以圓C的半徑為＝3，所以圓C的一般方程為x2＋y2－4x－5＝0.
10.解：（1）圓的方程可化為[x－（t＋3）]2＋[y＋（1－4t2）]2＝1＋6t－7t2.
由1＋6t－7t2＞0，即7t2－6t－1＜0，得－＜t＜1.
故t的取值范圍是（－，1）.
（2）由（1）知，圓的圓心坐標為（t＋3，4t2－1），半徑為.
（3）r＝
＝≤.
所以r的最大值為，此時t＝，
故此時圓的標準方程為（x－）2＋（y＋）2＝.
11.A　法一　方程x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0表示圓需滿足（－2m）2－4（－m2－5m＋3）＞0，解得m＜－3或m＞，所以“m＞”是“方程x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0表示圓”的充分不必要條件，故選A.
法二　將x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0化為（x－m）2＋y2＝2m2＋5m－3，令2m2＋5m－3＞0，得m＜－3或m＞，所以“m＞”是“方程x2＋y2－2mx－m2－5m＋3＝0表示圓”的充分不必要條件，故選A.
12.D　由x2＋y2＋2x－2my－4－4m＝0得（x＋1）2＋（y－m）2＝m2＋4m＋5，因此圓心C（－1，m），半徑r＝＝≥1，當且僅當m＝－2時，半徑最小，即圓C的面積也最小.此時圓心C（－1，－2），半徑r＝1，則圓心到坐標原點的距離d＝＝＞r，即原點在圓C外.則圓上的點到坐標原點的距離的最大值為d＋r＝＋1.故選D.
13.（－∞，－4）　解析：曲線C：x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－16＝0，即（x－a）2＋（y＋2a）2＝16表示圓的方程，可得圓心C（a，－2a），半徑為4.由題意可得即解得a＜－4，則實數a的取值范圍是（－∞，－4）.
14.解：法一　由題意可知A（－3，0），B（3，0），C.
設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
則解得故所求圓的方程為x2＋y2－y－9＝0，其圓心坐標為，半徑長為＝.
法二　由題意，可得點B的坐標是（3，0），點C的坐標是.
線段BC的中點坐標是，直線BC的斜率kBC＝－2.
線段BC的垂直平分線的方程是y－＝，與方程x＝0聯立，解得y＝.
所以四邊形ABCD外接圓的圓心E的坐標是.
半徑長EB＝＝.
所以四邊形ABCD的外接圓的方程是x2＋＝，
這個圓的圓心坐標是，半徑長是.
15.解：（1）當a＝4，b＝2時，f（x）＝x2＋4x＋2，令f（x）＝x2＋4x＋2＝0，解得x＝－2±，不妨令A（－2＋，0），B（－2－，0），則AB＝2.
令x＝0，得C（0，2）.
所以△ABC的面積為S＝×2×2＝2.
（2）設所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由題意得f（x）＝x2＋ax＋b（a，b∈R，b＞0）的圖象與兩坐標軸的三個交點即為圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和坐標軸的交點，
令y＝0得，x2＋Dx＋F＝0，由題意可得，這與x2＋ax＋b＝0是同一個方程，故D＝a，F＝b.
令x＝0得，y2＋Ey＋F＝0，由題意可得，此方程有一個根為b，代入得E＝－b－1，
所以☉M的方程為x2＋y2＋ax－（b＋1）y＋b＝0.
（3）把☉M的方程改寫為x2＋y2－y＋ax＋b（1－y）＝0，
令解得
故☉M過定點（0，1）.
2 / 2第2課時　圓的一般方程
　　在上一節，我們已經知道圓的標準方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2.
【問題】　如果把圓的標準方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2中的括號展開、整理之后，得到的方程形式是什么樣的？是否所有圓的方程都能化成這種形式？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　圓的一般方程
1.概念：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（　　　　　　　?。┙凶鲌A的一般方程.
2.圓的一般方程對應的圓心和半徑
圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的圓的圓心為　　　　　　，半徑長為　　　　　　　　.
提醒　圓的一般方程具有的特點：①x2，y2項的系數均為1；②沒有xy項；③只有D2＋E2－4F＞0時才表示圓.
【想一想】
圓上的點組成的點集和它的方程的解集之間有怎樣的關系？
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）圓的一般方程可以化為圓的標準方程.（　?。?br/>（2）方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一個圓.（　　）
（3）二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某個圓的方程.（　?。?br/>（4）若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圓，則E≠0.（　　）
2.圓x2＋y2－2x－6y＝0的圓心坐標為（　?。?br/>A.（－1，－3）　　 B.（－1，3）
C.（1，3）　　 D.（1，－3）
3.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一個圓，則實數k的取值范圍為（　?。?br/>A.　　 B.
C.　　 D.
4.已知方程x2＋y2－2x＋2＋k＝0表示半徑為1的圓，求實數k的值.
題型一 圓的一般方程的辨析
【例1】　（鏈接教科書第61頁練習4題）判斷下列二元二次方程是否表示圓.如果是，請求出圓的圓心坐標及半徑.
（1）x2＋y2－4y＝0；
（2）x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0；
（3）4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0.
通性通法
二元二次方程表示圓的判斷方法
　　任何一個圓的方程都可化為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圓.判斷它是否表示圓可以有以下兩種方法：
（1）計算D2＋E2－4F，若其值為正，則表示圓；若其值為0，則表示一個點；若其值為負，則不表示任何圖形；
（2）將該方程配方為（x＋）2＋（y＋）2＝，根據圓的標準方程來判斷.
【跟蹤訓練】
1.（2024·常州月考）若方程x2＋y2－2y－m＝0表示的圖形是圓，則實數m的取值范圍為（　　）
A.（－∞，1）　　　　　 B.（1，＋∞）
C.（－∞，－1）　　 D.（－1，＋∞）
2.（多選）已知圓C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0的直徑為4，則（　?。?br/>A.m＝－1　　 B.m＝1
C.圓心為（－1，－2）　　 D.圓心為（1，－2）
題型二 求圓的一般方程
【例2】?。ㄦ溄咏炭茣?8頁例3）求滿足下列條件的圓的方程：
（1）過點A（－4，0），B（0，2）和原點；
（2）圓心在直線y＝x上，與x軸相交于（－1，0），（3，0）兩點.
通性通法
待定系數法求圓的一般方程的步驟
（1）根據題意設所求的圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
（2）根據已知條件，建立關于D，E，F的方程組；
（3）解此方程組，求出D，E，F的值；
（4）將所得的值代回所設的圓的方程中，就得到所求的圓的一般方程.
【跟蹤訓練】
（2024·南通月考）已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在第二象限，半徑為，求圓C的一般方程.
題型三 與圓有關的對稱問題
【例3】?。ㄦ溄咏炭茣?2頁習題11題）（1）與圓C：x2＋y2－6x＋12y－36＝0關于點A（－1，2）對稱的圓的方程為（　　）
A.（x＋5）2＋（y－10）2＝81
B.（x－5）2＋（y＋10）2＝81
C.（x＋5）2＋（y＋10）2＝81
D.（x－5）2＋（y－10）2＝81
（2）已知圓x2＋y2＋ax＋by＋1＝0關于直線x＋y＝1對稱的圓的方程為x2＋y2＝1，則a＋b＝　　　　.
通性通法
與圓有關的對稱問題的求解思路
（1）兩圓關于一點對稱：①求已知圓關于某點對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置；②兩圓關于點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點；
（2）兩圓關于直線對稱：①求已知圓關于某直線對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置；②兩圓關于直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.
【跟蹤訓練】
圓x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0關于直線y＝x＋2b成軸對稱圖形，則a－b的取值范圍是　　　　.
1.圓x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半徑和圓心坐標分別為（　?。?br/>A.r＝1，（－2，1）　　 B.r＝2，（－2，1）
C.r＝2，（2，－1）　　 D.r＝1，（2，－1）
2.已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圓，則k的取值范圍是（　?。?br/>A.（－∞，－1）　　 B.（－1，＋∞）
C.（－1，0）　　 D.（－1，1）
3.若圓x2＋y2－2kx＋2y－4＝0關于直線2x－y＋3＝0對稱，則實數k＝　　　　.
4.求圓心在直線2x－y－3＝0上，且過點（5，2）和（3，－2）的圓的一般方程.
第2課時　圓的一般方程
【基礎知識·重落實】
知識點
1.D2＋E2－4F＞0　2.　
想一想
　提示：圓上的任一點的坐標都是其方程的解，反過來，以方程的任一解為坐標的點都在圓上.
自我診斷
1.（1）√　（2）×?。?）×　 （4）√
2.C　圓x2＋y2－2x－6y＝0即（x－1）2＋（y－3）2＝10，則圓心為（1，3），故選C.
3.A　方程表示圓 1＋1－4k＞0 k＜.
4.解：由題設知（x－1）2＋y2＝－（1＋k）表示半徑為1的圓，所以－（1＋k）＝1 k＝－2.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）方程可變形為x2＋（y－2）2＝4，表示圓心坐標是（0，2），半徑是2的圓.
（2）方程可變形為（x－2a）2＋（y－a）2＝a2.
當a＝0時，方程表示點（0，0），不表示圓；
當a≠0時，方程表示圓心坐標是（2a，a），半徑是｜a｜的圓.
（3）方程可變形為x2＋y2－x＋3y＋＝0，
法一　由D2＋E2－4F＝（－1）2＋32－4×＝－1＜0，不表示任何圖形.
法二　方程可變形為（x－）2＋（y＋）2＝－，故方程不表示任何圖形.
跟蹤訓練
1.D　法一　因為方程表示的圖形是圓，所以4＋4m＞0，解得m＞－1.故實數m的取值范圍為（－1，＋∞）.
法二　方程x2＋y2－2y－m＝0可化為x2＋（y－1）2＝m＋1，因為方程表示的圖形是圓，所以m＋1＞0，解得m＞－1.故實數m的取值范圍為（－1，＋∞）.故選D.
2.BD　根據題意，圓C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，即（x－1）2＋（y＋2）2＝5－m，其圓心為（1，－2），半徑為，若其直徑為4，則＝2，解得m＝1.故選B、D.
【例2】　解：（1）設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由已知條件得解得
故所求圓的方程為x2＋y2＋4x－2y＝0.
（2）法一　設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心為（－，－）.
因為圓心在直線y＝x上，且圓過（－1，0），（3，0）兩點，
所以解得
所以圓的方程為x2＋y2－2x－2y－3＝0.
法二　因為圓與x軸相交于（－1，0），（3，0）兩點，
所以圓心在直線x＝1上.
又圓心在直線y＝x上，所以圓心坐標為（1，1）.
所以圓的半徑為＝，
所以圓的方程為（x－1）2＋（y－1）2＝5.
跟蹤訓練
　解：由題意得圓心C（－，－），
因為圓心在直線x＋y－1＝0上，
所以－－－1＝0，即D＋E＝－2， ①
又半徑r＝＝，
所以D2＋E2＝20， ②
由①②可得或
又圓心在第二象限，所以－＜0，即D＞0.
所以所以圓C的一般方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
【例3】　（1）A?。?）－4　解析：（1）將圓C的一般方程化為標準方程為（x－3）2＋（y＋6）2＝81，即圓心為C（3，－6），半徑為9.設圓C'與圓C關于點A（－1，2）對稱，則點C'與點C關于點A（－1，2）對稱.即C'（－5，10），半徑不變.故圓C'的方程為（x＋5）2＋（y－10）2＝81.
（2）圓x2＋y2＝1的圓心是坐標原點O（0，0），半徑為1，易得點O（0，0）關于直線x＋y＝1對稱的點的坐標為（1，1），所以圓x2＋y2＝1關于直線x＋y＝1對稱的圓的方程為（x－1）2＋（y－1）2＝1，化為一般式為x2＋y2－2x－2y＋1＝0，所以a＝b＝－2，即a＋b＝－4.
跟蹤訓練
?。ǎ?，4）　解析：由題意可得圓的方程為（x－1）2＋（y＋3）2＝10－5a，故圓心為（1，－3），半徑為，由題意可得，圓心（1，－3）在直線y＝x＋2b上，∴－3＝1＋2b，且10－5a＞0，∴b＝－2，a＜2，∴a－b＜4.
隨堂檢測
1.D　x2＋y2－4x＋2y＋4＝0可化為（x－2）2＋（y＋1）2＝1，所以半徑和圓心分別為r＝1，（2，－1）.
2.A　方程可化為（x－1）2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1時才能表示圓.
3.－2　解析：由條件可知，直線2x－y＋3＝0經過圓的圓心（k，－1），則2k－（－1）＋3＝0，解得k＝－2.
4.解：設所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
則圓心為.
∵圓心在直線2x－y－3＝0上，
∴2×－－3＝0. ①
又∵點（5，2）和（3，－2）在圓上，
∴52＋22＋5D＋2E＋F＝0. ②
32＋（－2）2＋3D－2E＋F＝0. ③
解①②③組成的方程組，得D＝－4，E＝－2，F＝－5.
∴所求圓的一般方程為x2＋y2－4x－2y－5＝0.
3 / 3(共61張PPT)
第2課時　圓的一般方程
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　在上一節，我們已經知道圓的標準方程為（ x － a ）2＋（ y － b ）
2＝ r2.
【問題】　如果把圓的標準方程（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2中的括
號展開、整理之后，得到的方程形式是什么樣的？是否所有圓的方程
都能化成這種形式？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　圓的一般方程
1. 概念：方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（　 ?。┙?br/>作圓的一般方程.
2. 圓的一般方程對應的圓心和半徑
圓的一般方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞0）表示的
圓的圓心為 　 　，半徑長為 　 　.
提醒　圓的一般方程具有的特點：① x2， y2項的系數均為1；②沒
有 xy 項；③只有 D2＋ E2－4 F ＞0時才表示圓.
D2＋ E2－4 F ＞0　
　
　
【想一想】
圓上的點組成的點集和它的方程的解集之間有怎樣的關系？
提示：圓上的任一點的坐標都是其方程的解，反過來，以方程的任一
解為坐標的點都在圓上.
　　
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）圓的一般方程可以化為圓的標準方程. （　√?。?br/>（2）方程 x2＋ y2＋ x ＋1＝0表示一個圓. （　×　）
（3）二元二次方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0一定是某個圓的方程.
（　×?。?br/>（4）若方程 x2＋ y2－2 x ＋ Ey ＋1＝0表示圓，則 E ≠0. （　√?。?br/>√
×
×
√
2. 圓 x2＋ y2－2 x －6 y ＝0的圓心坐標為（　?。?br/>A. （－1，－3） B. （－1，3）
C. （1，3） D. （1，－3）
解析：　圓 x2＋ y2－2 x －6 y ＝0即（ x －1）2＋（ y －3）2＝10，
則圓心為（1，3），故選C.
3. 方程 x2＋ y2－ x ＋ y ＋ k ＝0表示一個圓，則實數 k 的取值范圍為
（　　）
解析：　方程表示圓 1＋1－4 k ＞0 k ＜ .
4. 已知方程 x2＋ y2－2 x ＋2＋ k ＝0表示半徑為1的圓，求實數 k 的值.
解：由題設知（ x －1）2＋ y2＝－（1＋ k ）表示半徑為1的圓，所以
－（1＋ k ）＝1 k ＝－2.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 圓的一般方程的辨析
【例1】　（鏈接教科書第61頁練習4題）判斷下列二元二次方程是否
表示圓.如果是，請求出圓的圓心坐標及半徑.
（1） x2＋ y2－4 y ＝0；
解：方程可變形為 x2＋（ y －2）2＝4，表示圓心坐標是
（0，2），半徑是2的圓.
（2） x2＋ y2－4 ax －2 ay ＋6 a2＝0；
解：方程可變形為（ x －2 a ）2＋（ y － a ）2＝ a2.
當 a ＝0時，方程表示點（0，0），不表示圓；
當 a ≠0時，方程表示圓心坐標是（2 a ， a ），半徑是｜ a ｜
的圓.
法一　由 D2＋ E2－4 F ＝（－1）2＋32－4× ＝－1＜0，不表示任何
圖形.
法二　方程可變形為（ x － ）2＋（ y ＋ ）2＝－ ，故方程不表示任
何圖形.
（3）4 x2＋4 y2－4 x ＋12 y ＋11＝0.
解：方程可變形為 x2＋ y2－ x ＋3 y ＋ ＝0，
通性通法
二元二次方程表示圓的判斷方法
　　任何一個圓的方程都可化為 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0的形式，但
形如 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0的方程不一定表示圓.判斷它是否表示圓
可以有以下兩種方法：
（1）計算 D2＋ E2－4 F ，若其值為正，則表示圓；若其值為0，則表
示一個點；若其值為負，則不表示任何圖形；
（2）將該方程配方為（ x ＋ ）2＋（ y ＋ ）2＝ ，根據圓
的標準方程來判斷.
【跟蹤訓練】
1. （2024·常州月考）若方程 x2＋ y2－2 y － m ＝0表示的圖形是圓，則
實數 m 的取值范圍為（　　）
A. （－∞，1） B. （1，＋∞）
C. （－∞，－1） D. （－1，＋∞）
解析：　法一　因為方程表示的圖形是圓，所以4＋4 m ＞0，解
得 m ＞－1.故實數 m 的取值范圍為（－1，＋∞）.
法二　方程 x2＋ y2－2 y － m ＝0可化為 x2＋（ y －1）2＝ m ＋1，因為方
程表示的圖形是圓，所以 m ＋1＞0，解得 m ＞－1.故實數 m 的取值范
圍為（－1，＋∞）.故選D.
2. （多選）已知圓 C ： x2＋ y2－2 x ＋4 y ＋ m ＝0的直徑為4，則
（　　）
A. m ＝－1 B. m ＝1
C. 圓心為（－1，－2） D. 圓心為（1，－2）
解析：　根據題意，圓 C ： x2＋ y2－2 x ＋4 y ＋ m ＝0，即（ x －
1）2＋（ y ＋2）2＝5－ m ，其圓心為（1，－2），半徑為
，若其直徑為4，則 ＝2，解得 m ＝1.故選B、D.
題型二 求圓的一般方程
【例2】?。ㄦ溄咏炭茣?8頁例3）求滿足下列條件的圓的方程：
（1）過點 A （－4，0）， B （0，2）和原點；
解：設圓的方程為 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，由已知條件
得解得
故所求圓的方程為 x2＋ y2＋4 x －2 y ＝0.
（2）圓心在直線 y ＝ x 上，與 x 軸相交于（－1，0），（3，0）兩點.
解：法一　設圓的方程為 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，則圓
心為（－ ，－ ）.
因為圓心在直線 y ＝ x 上，且圓過（－1，0），（3，0）兩點，
所以解得
所以圓的方程為 x2＋ y2－2 x －2 y －3＝0.
法二　因為圓與 x 軸相交于（－1，0），（3，0）兩點，
所以圓心在直線 x ＝1上.
又圓心在直線 y ＝ x 上，所以圓心坐標為（1，1）.
所以圓的半徑為 ＝ ，
所以圓的方程為（ x －1）2＋（ y －1）2＝5.
通性通法
待定系數法求圓的一般方程的步驟
（1）根據題意設所求的圓的一般方程為 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0；
（2）根據已知條件，建立關于 D ， E ， F 的方程組；
（3）解此方程組，求出 D ， E ， F 的值；
（4）將所得的值代回所設的圓的方程中，就得到所求的圓的一般
方程.
【跟蹤訓練】
（2024·南通月考）已知圓 C ： x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋3＝0的圓心在直線 x
＋ y －1＝0上，且圓心在第二象限，半徑為 ，求圓 C 的一般方程.
解：由題意得圓心 C （－ ，－ ），
因為圓心在直線 x ＋ y －1＝0上，
所以－ － －1＝0，即 D ＋ E ＝－2，　①
又半徑 r ＝ ＝ ，
所以 D2＋ E2＝20，　②
由①②可得或
又圓心在第二象限，所以－ ＜0，即 D ＞0.
所以所以圓 C 的一般方程為 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋3＝0.
題型三 與圓有關的對稱問題
【例3】?。ㄦ溄咏炭茣?2頁習題11題）（1）與圓 C ： x2＋ y2－6 x
＋12 y －36＝0關于點 A （－1，2）對稱的圓的方程為（　A?。?br/>A. （ x ＋5）2＋（ y －10）2＝81
B. （ x －5）2＋（ y ＋10）2＝81
C. （ x ＋5）2＋（ y ＋10）2＝81
D. （ x －5）2＋（ y －10）2＝81
解析：將圓 C 的一般方程化為標準方程為（ x －3）2＋（ y ＋6）2＝
81，即圓心為 C （3，－6），半徑為9.設圓C'與圓 C 關于點 A （－1，
2）對稱，則點C'與點 C 關于點 A （－1，2）對稱.即C'（－5，10），
半徑不變.故圓C'的方程為（ x ＋5）2＋（ y －10）2＝81.
（2）已知圓 x2＋ y2＋ ax ＋ by ＋1＝0關于直線 x ＋ y ＝1對稱的圓的方
程為 x2＋ y2＝1，則 a ＋ b ＝ .
解析：圓 x2＋ y2＝1的圓心是坐標原點 O （0，0），半徑為1，易
得點 O （0，0）關于直線 x ＋ y ＝1對稱的點的坐標為（1，1），
所以圓 x2＋ y2＝1關于直線 x ＋ y ＝1對稱的圓的方程為（ x －1）2
＋（ y －1）2＝1，化為一般式為 x2＋ y2－2 x －2 y ＋1＝0，所以 a
＝ b ＝－2，即 a ＋ b ＝－4.
－4　
通性通法
與圓有關的對稱問題的求解思路
（1）兩圓關于一點對稱：①求已知圓關于某點對稱的圓，只需確定
所求圓的圓心位置；②兩圓關于點對稱，則此點為兩圓圓心連
線的中點；
（2）兩圓關于直線對稱：①求已知圓關于某直線對稱的圓，只需確
定所求圓的圓心位置；②兩圓關于直線對稱，則此直線為兩圓
圓心連線的垂直平分線.
【跟蹤訓練】
圓 x2＋ y2－2 x ＋6 y ＋5 a ＝0關于直線 y ＝ x ＋2 b 成軸對稱圖形，則 a －
b 的取值范圍是 .
解析：由題意可得圓的方程為（ x －1）2＋（ y ＋3）2＝10－5 a ，故圓
心為（1，－3），半徑為 ，由題意可得，圓心（1，－3）在
直線 y ＝ x ＋2 b 上，∴－3＝1＋2 b ，且10－5 a ＞0，∴ b ＝－2， a ＜
2，∴ a － b ＜4.
（－∞，4）　
1. 圓 x2＋ y2－4 x ＋2 y ＋4＝0的半徑和圓心坐標分別為（　　）
A. r ＝1，（－2，1） B. r ＝2，（－2，1）
C. r ＝2，（2，－1） D. r ＝1，（2，－1）
解析：　 x2＋ y2－4 x ＋2 y ＋4＝0可化為（ x －2）2＋（ y ＋1）2＝
1，所以半徑和圓心分別為 r ＝1，（2，－1）.
2. 已知方程 x2＋ y2－2 x ＋2 k ＋3＝0表示圓，則 k 的取值范圍是
（　?。?br/>A. （－∞，－1） B. （－1，＋∞）
C. （－1，0） D. （－1，1）
解析：　方程可化為（ x －1）2＋ y2＝－2 k －2，只有－2 k －2＞
0，即 k ＜－1時才能表示圓.
3. 若圓 x2＋ y2－2 kx ＋2 y －4＝0關于直線2 x － y ＋3＝0對稱，則實數 k
＝ .
解析：由條件可知，直線2 x － y ＋3＝0經過圓的圓心（ k ，－1），
則2 k －（－1）＋3＝0，解得 k ＝－2.
－2　
4. 求圓心在直線2 x － y －3＝0上，且過點（5，2）和（3，－2）的圓
的一般方程.
解：設所求圓的一般方程為 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，
則圓心為 .
∵圓心在直線2 x － y －3＝0上，
∴2× － －3＝0.?、?br/>又∵點（5，2）和（3，－2）在圓上，
∴52＋22＋5 D ＋2 E ＋ F ＝0.?、?br/>32＋（－2）2＋3 D －2 E ＋ F ＝0.?、?br/>解①②③組成的方程組，得 D ＝－4， E ＝－2， F ＝－5.
∴所求圓的一般方程為 x2＋ y2－4 x －2 y －5＝0.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 圓的方程為（ x －1）（ x ＋2）＋（ y －2）（ y ＋4）＝0，則圓心
坐標為（　?。?br/>A. （1，－1）
C. （－1，2）
解析：　將圓的方程化為標準方程，得 ＋（ y ＋1）2＝
，所以圓心坐標為 .
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2. 已知圓 C 的圓心坐標為（2，－3），且點（－1，－1）在圓上，則
圓 C 的方程為（　?。?br/>A. x2＋ y2－4 x ＋6 y ＋8＝0
B. x2＋ y2－4 x ＋6 y －8＝0
C. x2＋ y2－4 x －6 y ＝0
D. x2＋ y2－4 x ＋6 y ＝0
解析：　易知圓 C 的半徑為 ，所以圓 C 的標準方程為（ x －
2）2＋（ y ＋3）2＝13，展開得一般方程為 x2＋ y2－4 x ＋6 y ＝0.
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3. （2024·鎮江月考）若 a ∈{－2，0，1， }，則方程 x2＋ y2＋ ax ＋2
ay ＋2 a2＋ a －1＝0表示的圓的個數為（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：　若方程 x2＋ y2＋ ax ＋2 ay ＋2 a2＋ a －1＝0表示圓，則 a2
＋（2 a ）2－4（2 a2＋ a －1）＞0，即3 a2＋4 a －4＜0，解得－2＜ a
＜ .∴當 a ∈{－2，0，1， }時，只有 a ＝0時，方程 x2＋ y2＋ ax
＋2 ay ＋2 a2＋ a －1＝0表示圓.故選B.
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4. 若當方程 x2＋ y2＋ kx ＋2 y ＋ k2＝0所表示的圓取得最大面積時，則
直線 y ＝（ k －1） x ＋2的傾斜角為（　?。?br/>解析：　 x2＋ y2＋ kx ＋2 y ＋ k2＝0化為標準方程為（ x ＋ ）2＋
（ y ＋1）2＝1－ k2，所以當 k ＝0時圓的半徑最大，面積也最大，
此時直線的斜率為－1，故傾斜角為 .
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5. （多選）下列關于圓 x2＋ y2－4 x －1＝0的說法正確的是（　　）
A. 關于點（2，0）對稱
B. 關于直線 y ＝0對稱
C. 關于直線 x ＋3 y －2＝0對稱
D. 關于直線 x － y ＋2＝0對稱
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解析：　 x2＋ y2－4 x －1＝0化為標準形式為（ x －2）2＋ y2＝
5，所以圓心的坐標為（2，0）.對于A，圓是關于圓心對稱的中心
對稱圖形，而點（2，0）是圓心，所以本選項正確；對于B，圓是
關于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線 y ＝0過圓心，所以本
選項正確；對于C，直線 x ＋3 y －2＝0過圓心，所以本選項正確；
對于D，直線 x － y ＋2＝0不過圓心，所以本選項不正確.故選A、
B、C.
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6. （多選）（2024·淮安月考）已知圓心為 C 的圓 x2＋ y2－4 x ＋6 y ＋
11＝0與點 A （0，－5），則（　?。?br/>A. 圓 C 的半徑為2
B. 點 A 在圓 C 外
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解析：　依題意，圓 C ：（ x －2）2＋（ y ＋3）2＝2，則圓心
C （2，－3），半徑 r ＝ ，A不正確；因點 A （0，－5），則 AC
＝2 ＞ r ，點 A 在圓 C 外，B正確；因點 A 在圓 C 外，在圓 C 上任
取點 P ，則 PA ≤ PC ＋ CA ＝ r ＋ CA ＝3 ，當且僅當點 P ， C ， A
共線，且 P 在線段 AC 延長線上時取“＝”，C正確；在圓 C 上任取
點 M ，則 MA ≥ CA － MC ＝ CA － r ＝ ，當且僅當點 C ， M ， A
共線，且 M 在線段 CA 上時取“＝”，D正確.故選B、C、D.
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7. 已知 a ∈R，方程 a2 x2＋（ a ＋2） y2＋4 x ＋8 y ＋5 a ＝0表示圓，則
圓心坐標是 ，半徑是 .
解析：∵方程 a2 x2＋（ a ＋2） y2＋4 x ＋8 y ＋5 a ＝0表示圓，∴ a2＝
a ＋2≠0，解得 a ＝－1或 a ＝2.當 a ＝－1時，方程化為 x2＋ y2＋4 x
＋8 y －5＝0，配方得（ x ＋2）2＋（ y ＋4）2＝25，所得圓的圓心
坐標為（－2，－4），半徑為5；當 a ＝2時，方程化為 x2＋ y2＋ x
＋2 y ＋ ＝0，此時 D2＋ E2－4 F ＝1＋4－4× ＝－5＜0，方程不表
示圓.
（－2，－4）　
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8. 已知圓 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋ a ＝0關于直線 y ＝2 x ＋ b 成軸對稱圖形，
則 b ＝ ， a 的取值范圍是 .
解析：由題意知，直線 y ＝2 x ＋ b 過圓心，而圓心坐標為（－1，
2），代入直線方程，得 b ＝4，圓的方程化為標準方程為（ x ＋1）
2＋（ y －2）2＝5－ a ，所以 a ＜5.
4　
（－∞，5）　
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9. 已知圓 C 的圓心在 x 軸的正半軸上，點 M （0， ）在圓 C 上，且
圓心到直線2 x － y ＝0的距離為 ，則圓 C 的一般方程為
.
解析：設圓 C 的圓心坐標為（ a ，0）（ a ＞0），由題意可得
＝ ，解得 a ＝2（ a ＝－2舍去），所以圓 C 的半徑為
＝3，所以圓 C 的一般方程為 x2＋ y2－4 x －5＝0.
x2＋ y2－
4 x －5＝0　
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10. 已知方程 x2＋ y2－2（ t ＋3） x ＋2（1－4 t2） y ＋16 t4＋9＝0表示
一個圓.
（1）求 t 的取值范圍；
解：圓的方程可化為[ x －（ t ＋3）]2＋[ y ＋（1－4
t2）]2＝1＋6 t －7 t2.
由1＋6 t －7 t2＞0，即7 t2－6 t －1＜0，得－ ＜ t ＜1.
故 t 的取值范圍是（－ ，1）.
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（2）求該圓的圓心坐標和半徑；
解：由（1）知，圓的圓心坐標為（ t ＋3，4 t2－1），
半徑為 .
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（3）求該圓半徑 r 的最大值及此時圓的標準方程.
解：r ＝ ＝ ≤ .
所以 r 的最大值為 ，此時 t ＝ ，
故此時圓的標準方程為（ x － ）2＋（ y ＋ ）2＝ .
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11. “ m ＞ ”是“方程 x2＋ y2－2 mx － m2－5 m ＋3＝0表示圓”的
（　　）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
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解析：　法一　方程 x2＋ y2－2 mx － m2－5 m ＋3＝0表示圓需滿
足（－2 m ）2－4（－ m2－5 m ＋3）＞0，解得 m ＜－3或 m ＞ ，
所以“ m ＞ ”是“方程 x2＋ y2－2 mx － m2－5 m ＋3＝0表示圓”
的充分不必要條件，故選A.
法二　將 x2＋ y2－2 mx － m2－5 m ＋3＝0化為（ x － m ）2＋ y2＝2 m2＋
5 m －3，令2 m2＋5 m －3＞0，得 m ＜－3或 m ＞ ，所以“ m ＞ ”是
“方程 x2＋ y2－2 mx － m2－5 m ＋3＝0表示圓”的充分不必要條件，故
選A.
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12. 已知圓 C ： x2＋ y2＋2 x －2 my －4－4 m ＝0（ m ∈R），則當圓 C
的面積最小時，圓上的點到坐標原點的距離的最大值為（　?。?br/>B. 6
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解析：　由 x2＋ y2＋2 x －2 my －4－4 m ＝0得（ x ＋1）2＋（ y －
m ）2＝ m2＋4 m ＋5，因此圓心 C （－1， m ），半徑 r ＝
＝ ≥1，當且僅當 m ＝－2時，半
徑最小，即圓 C 的面積也最小.此時圓心 C （－1，－2），半徑 r
＝1，則圓心到坐標原點的距離 d ＝ ＝ ＞
r ，即原點在圓 C 外.則圓上的點到坐標原點的距離的最大值為 d
＋ r ＝ ＋1.故選D.
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13. 若曲線 C ： x2＋ y2－2 ax ＋4 ay ＋5 a2－16＝0上所有的點均在第二
象限內，則實數 a 的取值范圍是 .
解析：曲線 C ： x2＋ y2－2 ax ＋4 ay ＋5 a2－16＝0，即（ x － a ）2
＋（ y ＋2 a ）2＝16表示圓的方程，可得圓心 C （ a ，－2 a ），半
徑為4.由題意可得即解得 a ＜
－4，則實數 a 的取值范圍是（－∞，－4）.
（－∞，－4）　
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14. 如圖，在四邊形 ABCD 中， AB ＝6， CD ＝3，且 AB ∥ CD ， AD
＝ BC ， AB 與 CD 間的距離為3.求四邊形 ABCD 的外接圓的方程，
并求這個圓的圓心坐標和半徑.
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解：法一　由題意可知 A （－3，0）， B （3，0）， C .
設所求圓的方程為 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，
則解得故所求圓的方程為
x2＋ y2－ y －9＝0，其圓心坐標為 ，半徑長為
＝ .
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法二　由題意，可得點 B 的坐標是（3，0），點 C 的坐標是 .
線段 BC 的中點坐標是 ，直線 BC 的斜率 kBC ＝－2.
線段 BC 的垂直平分線的方程是 y － ＝ ，與方程 x ＝0聯立，
解得 y ＝ .
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所以四邊形 ABCD 的外接圓的方程是 x2＋ ＝ ，
這個圓的圓心坐標是 ，半徑長是 .
所以四邊形 ABCD 外接圓的圓心 E 的坐標是 .
半徑長 EB ＝ ＝ .
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15. 在平面直角坐標系 xOy 中，二次函數 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b （ a ， b
∈R， b ＞0）的圖象與 x 軸交于 A ， B 兩點，與 y 軸交于 C 點，經
過 A ， B ， C 三個點的圓記為☉ M .
（1）當 a ＝4， b ＝2時，求△ ABC 的面積；
解：當 a ＝4， b ＝2時， f （ x ）＝ x2＋4 x ＋2，令 f
（ x ）＝ x2＋4 x ＋2＝0，解得 x ＝－2± ，不妨令 A （－2
＋ ，0）， B （－2－ ，0），則 AB ＝2 .
令 x ＝0，得 C （0，2）.
所以△ ABC 的面積為 S ＝ ×2 ×2＝2 .
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（2）求☉ M 的方程；
解：設所求圓的一般方程為 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，
由題意得 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b （ a ， b ∈R， b ＞0）的
圖象與兩坐標軸的三個交點即為圓 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F
＝0和坐標軸的交點，
令 y ＝0得， x2＋ Dx ＋ F ＝0，由題意可得，這與 x2＋ ax
＋ b ＝0是同一個方程，故 D ＝ a ， F ＝ b .
令 x ＝0得， y2＋ Ey ＋ F ＝0，由題意可得，此方程有一
個根為 b ，代入得 E ＝－ b －1，
所以☉ M 的方程為 x2＋ y2＋ ax －（ b ＋1） y ＋ b ＝0.
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（3）問☉ M 是否經過定點（其坐標與 a ， b 的值無關）？請證明
你的結論.
解：把☉ M 的方程改寫為 x2＋ y2－ y ＋ ax ＋ b （1－ y ）
＝0，令解得
故☉ M 過定點（0，1）.
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謝 謝 觀 看！

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