資源簡介

第3課時　與圓有關的軌跡問題
1.已知圓C：（x－a）2＋（y－b）2＝1過點A（1，0），則圓C的圓心的軌跡是（　　）
A.點　　 B.直線
C.線段　　 D.圓
2.已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A（－1，0），B（3，0），則直角頂點C的軌跡方程為（　　）
A.（x－1）2＋y2＝4
B.x2＋（y－1）2＝4
C.（x－1）2＋y2＝4（x≠3，且x≠－1）
D.x2＋（y－1）2＝4（x≠3，且x≠－1）
3.古希臘數學家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出了圓的另一種定義：平面內，到兩個定點A，B的距離之比是常數λ（λ＞0，λ≠1）的點M的軌跡是圓.若兩定點A，B的距離為3，動點M滿足MA＝2MB，則點M的軌跡圍成區域的面積為（　　）
A.π　　 B.2π
C.3π　　 D.4π
4.已知線段AB的端點B的坐標為（4，3），端點A在圓x2＋y2＝4上運動，則線段AB的中點M的軌跡所圍成圖形的面積為（　　）
A.4π　　 B.π
C.π　　 D.
5.已知等腰三角形ABC的底邊BC對應的頂點是A（4，2），底邊的一個端點是B（3，5），則底邊另一個端點C的軌跡方程是（　　）
A.（x－4）2＋（y－2）2＝10
B.（x＋4）2＋（y－2）2＝10
C.（x－4）2＋（y－2）2＝10（x≠3，x≠5）
D.（x＋4）2＋（y－2）2＝10（x≠3，x≠5）
6.（多選）如果點P的坐標（x，y）滿足以下方程，則點P的軌跡是圓的有（　　）
A.x2＋y2＝0
B.x2＋y2－2x＋4y＋6＝0
C.x2＋y2＋2ax－b2＝0（ab≠0）
D.（θ為參數，r≠0）
7.（2024·連云港月考）已知圓O：x2＋y2＝4及一點P（－1，0），Q在圓O上運動一周，PQ的中點M形成軌跡C，則軌跡C的方程為　　　　　　　.
8.圓x2＋y2＝8內有一點P（2，－1），AB為過點P的弦，則AB的中點Q的軌跡方程為　　　　　.
9.已知平面上到兩直線y＝x與y＝kx的距離平方和為1的點的軌跡是一個圓，則實數k＝　　　　.
10.在定圓x2＋y2＝R2內，作長度為定值2l（l＜R）的弦，求弦中點的軌跡方程.
11.方程｜x｜－1＝所表示的曲線是（　　）
A.一個圓　　B.兩個圓
C.半個圓　　D.兩個半圓
12.（多選）已知A，B是平面內兩個定點，且AB＝6，則滿足下列條件的動點P的軌跡為圓的是（　　）
A.PA＋PB＝6　　 B.·＝－1
C.PA＝2PB　　 D.PA2＋PB2＝18
13.存在如下結論：平面內到兩定點距離之比等于已知數的動點軌跡為直線或圓.現已知在平面直角坐標系中A（－2，0），B（2，0），動點P滿足PA＝λPB（λ＞0），若點P的軌跡為一條直線，則λ＝　　　　；若λ＝2，則點P的軌跡方程為　　　　　　　　.
14.已知點M（－2，0），N（1，0），點P（x，y）滿足PM＝2PN.
（1）求點P（x，y）的軌跡方程；
（2）求PM＋PN的最大值.
15.已知點M在圓x2＋y2＋8x＝0上運動，N（4，0），A（1，6），點P為線段MN中點.
（1）求點P的軌跡方程；
（2）已知B（－3，－3），C（3，－3），求PA2＋PB2＋PC2的最大值.
第3課時　與圓有關的軌跡問題
1.D　由圓C的方程知，圓心C的坐標為（a，b），半徑r＝1，因為A（1，0）為圓C上一點，所以AC＝＝1，即（a－1）2＋b2＝1，所以圓心C的軌跡是以點A為圓心，以1為半徑的圓.
2.C　設AB的中點為D，由中點坐標公式，得D（1，0）.由直角三角形的性質，知CD＝AB＝2.由圓的定義，知動點C的軌跡是以D（1，0）為圓心，以2為半徑長的圓（因為A，B，C三點不共線，所以應除去與x軸的交點）.設C（x，y），則直角頂點C的軌跡方程為（x－1）2＋y2＝4（x≠3，且x≠－1）.
3.D　以點A為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系（圖略），則可取B（3，0）.設M（x，y），依題意有＝2，化簡整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即（x－4）2＋y2＝4，故點M的軌跡為圓，該圓的面積為4π.
4.C　設線段AB的中點M（x，y），A（x0，y0），則即因為端點A在圓x2＋y2＝4上運動，所以＋＝4，即（2x－4）2＋（2y－3）2＝4，整理得：（x－2）2＋（y－）2＝1，所以點M的軌跡是圓心為（2，），半徑為r＝1的圓.所以該圓的面積為S＝πr2＝π.故選C.
5.C　設C（x，y），由AB＝＝，得（x－4）2＋（y－2）2＝10，又點A，B，C組成三角形，所以點C不能在直線AB上，易得直線AB的方程為y＝－3x＋14，若C點在直線AB上，則C（x，－3x＋14），由AC＝＝，得x＝3或x＝5，故x≠3且x≠5，故選C.
6.CD　對A，由圓的標準方程可知，r2≠0，所以方程x2＋y2＝0不表示圓，A錯誤；對B，由x2＋y2－2x＋4y＋6＝0，得（x－1）2＋（y＋2）2＝－1＜0，可知該方程不表示圓，B錯誤；對C，由x2＋y2＋2ax－b2＝0，得（x＋a）2＋y2＝a2＋b2，因為ab≠0，所以a≠0，b≠0，所以a2＋b2＞0，由圓的標準方程可知，該方程表示圓心為（－a，0），半徑為的圓，C正確；對D，由（θ為參數，r≠0），得（x－a）2＋（y－b）2＝r2cos2θ＋r2sin2θ＝r2，因為r≠0，所以r2＞0，該方程表示圓心為（a，b），半徑為｜r｜的圓，D正確.故選C、D.
7.（x＋）2＋y2＝1　解析：設M（x，y），則Q（2x＋1，2y），因為Q在圓x2＋y2＝4上，所以（2x＋1）2＋4y2＝4，即（x＋）2＋y2＝1，所以軌跡C的方程是（x＋）2＋y2＝1.
8.x2＋y2－2x＋y＝0　解析：設AB的中點為Q（x，y），若AB的斜率不存在，則Q（2，0），若AB的斜率為0，則Q（0，－1），若AB的斜率存在且不為0，則AB的斜率為k＝，又OQ⊥AB，所以kOQ·k＝－1，即·＝－1，整理得x2＋y2－2x＋y＝0，點（2，0），（0，－1）也滿足，所以點Q的軌跡方程為x2＋y2－2x＋y＝0.
9.－1　解析：設此點的坐標為（x，y），則依題意有（）2＋（）2＝1，化簡得（＋）x2＋（＋）·y2－（＋1）xy＝1，此方程要表示圓，則＋1＝0，且＝，解得k＝－1.
10.解：設坐標原點為O，長度為定值2l（l＜R）的弦的中點為A，A為動點，
則OA垂直于長度為定值2l（l＜R）的弦，故OA＝為定值，
故弦中點的軌跡是以O為圓心，以OA＝為半徑的圓，
故弦中點的軌跡方程為x2＋y2＝R2－l2.
11.D　由題意，得
即
或故原方程表示兩個半圓.
12.BC　PA＋PB＝6＝AB，顯然P的軌跡是線段AB，故A錯誤；以AB中點O為原點，建立平面直角坐標系，設A（－3，0），B（3，0），設P（x，y），則＝（－3－x，－y），＝（3－x，－y），已知·＝－1，則x2＋y2＝8，所以點P的軌跡是圓，故B正確；由兩點間距離公式得PA＝，PB＝，代入PA＝2PB中化簡得x2－10x＋y2＋9＝0，即（x－5）2＋y2＝16，故P的軌跡是圓，故C正確；代入PA2＋PB2＝18中化簡得x2＋y2＝0，顯然P的軌跡是一個點，故D錯誤.故選B、C.
13.1　x2＋y2－x＋4＝0　
解析：設P（x，y），由PA＝λPB（λ＞0），可得＝λ，兩邊平方，整理得點P的軌跡方程為（1－λ2）x2＋（1－λ2）y2＋4（1＋λ2）x＋4－4λ2＝0.若點P的軌跡為一條直線，則解得λ＝1或λ＝－1（舍去）.若λ＝2，則點P的軌跡方程為3x2＋3y2－20x＋12＝0，即x2＋y2－x＋4＝0.
14.解：（1）由PM＝2PN可知，
＝2，化簡得（x－2）2＋y2＝4，
即點P（x，y）的軌跡為以C（2，0）為圓心，半徑為2的圓，方程為（x－2）2＋y2＝4.
（2）由題意可知，PN＝PM，
所以PM＋PN＝PM，
點M（－2，0）在圓外，所以PM的最大值為MC＋r＝4＋2＝6，
所以PM＋PN的最大值為×6＝9.
15.解：（1）設點P（x，y），M（x0，y0），因為P為MN中點，
所以于是有
因為點M在圓x2＋y2＋8x＝0上運動，
所以＋＋8x0＝0，
代入得（2x－4）2＋（2y）2＋8（2x－4）＝0，
化簡得x2＋y2＝4，
所以點P的軌跡方程為x2＋y2＝4.
（2）PA2＋PB2＋PC2＝（x－1）2＋（y－6）2＋（x＋3）2＋（y＋3）2＋（x－3）2＋（y＋3）2＝3x2＋3y2－2x＋73＝85－2x，
因為－2≤x≤2，所以81≤85－2x≤89，
所以PA2＋PB2＋PC2的最大值為89.
2 / 2第3課時　與圓有關的軌跡問題
題型一 定義法求軌跡方程
【例1】　由圓x2＋y2＝9外一點P（5，12）引圓的割線交圓于A，B兩點，求弦AB的中點M的軌跡.
通性通法
定義法求軌跡方程的策略
（1）當動點滿足到定點的距離等于定長時，直接求圓心、半徑得圓的方程；
（2）注意軌跡與軌跡方程的區別.
【跟蹤訓練】
（2024·連云港月考）線段AB長度為4，其兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，則線段AB中點的軌跡所圍成圖形的面積為（　　）
A.2　　 B.4
C.2π　　 D.4π
題型二 直接法求軌跡方程
【例2】　點B（1，1）是圓x2＋y2＝4內一點，P，Q為圓上的動點.若∠PBQ＝90°，求線段PQ的中點N的軌跡方程.
通性通法
直接法求軌跡方程的兩種常見類型及解題策略
　　直接法求軌跡方程，就是設出動點的坐標（x，y），然后根據題目中的等量關系列出x，y之間的關系并化簡.主要有以下兩種常見類型：
（1）題目給出等量關系，求軌跡方程.可直接代入，得出方程；
（2）題中未明確給出等量關系，求軌跡方程.可利用已知條件尋找等量關系，得出方程.
提醒　求出曲線的方程后要注意驗證方程的純粹性和完備性.
【跟蹤訓練】
已知動點M與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為，則動點M的軌跡方程為　　　　.
題型三 代入法求軌跡方程
【例3】　已知圓C：（x－3）2＋y2＝9，D是圓C上的動點，點E（2，4），若動點M滿足＝2，則點M的軌跡方程為（　　）
A.2x＋y＋3＝0
B.xy＝9
C.（x－1）2＋（y－8）2＝9
D.（x－8）2＋（y－1）2＝9
通性通法
代入法求軌跡方程的步驟
（1）設動點P（x，y），相關動點M（x0，y0）；
（2）利用條件求出兩動點坐標之間的關系
（3）代入相關動點的軌跡方程；
（4）化簡、整理，得出所求軌跡方程.
【跟蹤訓練】
已知圓C：x2＋（y－1）2＝1，過原點作圓C的弦OP，則OP的中點Q的軌跡方程為　　　　　　　　.
1.已知點A的坐標是（－1，0），點M滿足MA＝2，那么點M的軌跡方程是（　　）
A.x2＋y2＋2x－3＝0
B.x2＋y2－2x－3＝0
C.x2＋y2＋2y－3＝0
D.x2＋y2－2y－3＝0
2.點P（4，－2）與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是（　　）
A.（x－2）2＋（y＋1）2＝1
B.（x－2）2＋（y＋1）2＝4
C.（x＋4）2＋（y－2）2＝4
D.（x＋2）2＋（y－1）2＝1
3.已知動點M到點（8，0）的距離等于點M到點（2，0）的距離的2倍，則點M的軌跡方程是　　　　　.
第3課時　與圓有關的軌跡問題
【典型例題·精研析】
【例1】　解：如圖，∵點M是AB的中點，∴OM⊥AB，∴點M的軌跡是以OP為直徑的圓，圓心為（，6），半徑為＝.∴圓的方程為（x－）2＋（y－6）2＝（）2，化簡得x2＋y2－5x－12y＝0.故點M的軌跡為圓x2＋y2－5x－12y＝0在圓x2＋y2＝9內的部分.
跟蹤訓練
　D　∵OA⊥OB，設P為線段AB中點，∴OP＝AB＝2，設P（x，y），則＝2，即x2＋y2＝4.則線段AB中點的軌跡是以坐標原點為圓心，2為半徑的圓，故線段AB中點的軌跡所圍成圖形的面積為4π.故選D.
【例2】　解：設線段PQ的中點N（x，y），
在Rt△PBQ中，PN＝BN.
設O為坐標原點，連接ON（圖略），則ON⊥PQ，
∴OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，
∴x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4，
整理得x2＋y2－x－y－1＝0，
∴線段PQ的中點N的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.
跟蹤訓練
　x2＋y2＋2x－3＝0　解析：設動點M（x，y），∵動點M與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為，∴＝，化簡得動點M的軌跡方程為x2＋y2＋2x－3＝0.
【例3】　C　設M（x，y），D（a，b），由＝2，得所以又因為點D在圓C：（x－3）2＋y2＝9上，所以（4－x－3）2＋（8－y）2＝9，即（x－1）2＋（y－8）2＝9，故選C.
跟蹤訓練
　x2＋（y－）2＝（y≠0）
解析：設Q（x，y）（y≠0），則P（2x，2y），代入圓C：x2＋（y－1）2＝1，可得（2x）2＋（2y－1）2＝1，即x2＋（y－）2＝，∴點Q的軌跡方程為x2＋＝（y≠0）.
隨堂檢測
1.A　由A（－1，0），點M滿足MA＝2，由圓的定義知，點M的軌跡為圓，其圓心為A（－1，0），半徑r＝2，故其方程為（x＋1）2＋（y－0）2＝4，即x2＋y2＋2x－3＝0，故選A.
2.A　設圓上任一點為Q（x0，y0），PQ的中點為M（x，y），則解得因為點Q在圓x2＋y2＝4上，所以＋＝4，即（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，化簡得（x－2）2＋（y＋1）2＝1.
3.x2＋y2＝16　解析：設M（x，y），則＝2，整理可得點M的軌跡方程為x2＋y2＝16.
2 / 2(共48張PPT)
第3課時　
與圓有關的軌跡問題
目錄
典型例題·精研析
01
知能演練·扣課標
02
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 定義法求軌跡方程
【例1】　由圓 x2＋ y2＝9外一點 P （5，12）引圓的割線交圓于 A ， B
兩點，求弦 AB 的中點 M 的軌跡.
解：如圖，∵點 M 是 AB 的中點，∴ OM ⊥ AB ，∴點 M
的軌跡是以 OP 為直徑的圓，圓心為（ ，6），半徑為
＝ .∴圓的方程為（ x － ）2＋（ y －6）2＝
（ ）2，化簡得 x2＋ y2－5 x －12 y ＝0.故點 M 的軌跡
為圓 x2＋ y2－5 x －12 y ＝0在圓 x2＋ y2＝9內的部分.
通性通法
定義法求軌跡方程的策略
（1）當動點滿足到定點的距離等于定長時，直接求圓心、半徑得圓
的方程；
（2）注意軌跡與軌跡方程的區別.
【跟蹤訓練】
（2024·連云港月考）線段 AB 長度為4，其兩個端點 A 和 B 分別在 x 軸
和 y 軸上滑動，則線段 AB 中點的軌跡所圍成圖形的面積為（　　）
A. 2 B. 4
C. 2π D. 4π
解析：　∵ OA ⊥ OB ，設 P 為線段 AB 中點，∴ OP ＝ AB ＝2，設 P
（ x ， y ），則 ＝2，即 x2＋ y2＝4.則線段 AB 中點的軌跡是以
坐標原點為圓心，2為半徑的圓，故線段 AB 中點的軌跡所圍成圖形的
面積為4π.故選D.
題型二 直接法求軌跡方程
【例2】　點 B （1，1）是圓 x2＋ y2＝4內一點， P ， Q 為圓上的動點.
若∠ PBQ ＝90°，求線段 PQ 的中點 N 的軌跡方程.
解：設線段 PQ 的中點 N （ x ， y ），
在Rt△ PBQ 中， PN ＝ BN .
設 O 為坐標原點，連接 ON （圖略），則 ON ⊥ PQ ，
∴ OP2＝ ON2＋ PN2＝ ON2＋ BN2，
∴ x2＋ y2＋（ x －1）2＋（ y －1）2＝4，
整理得 x2＋ y2－ x － y －1＝0，
∴線段 PQ 的中點 N 的軌跡方程為 x2＋ y2－ x － y －1＝0.
通性通法
直接法求軌跡方程的兩種常見類型及解題策略
　　直接法求軌跡方程，就是設出動點的坐標（ x ， y ），然后根
據題目中的等量關系列出 x ， y 之間的關系并化簡.主要有以下兩
種常見類型：
（1）題目給出等量關系，求軌跡方程.可直接代入，得出方程；
（2）題中未明確給出等量關系，求軌跡方程.可利用已知條件尋找等
量關系，得出方程.
提醒　求出曲線的方程后要注意驗證方程的純粹性和完備性.
【跟蹤訓練】
已知動點 M 與兩個定點 O （0，0）， A （3，0）的距離之比為 ，則
動點 M 的軌跡方程為 .
解析：設動點 M （ x ， y ），∵動點 M 與兩個定點 O （0，0）， A
（3，0）的距離之比為 ，∴ ＝ ，化簡得動點 M 的軌
跡方程為 x2＋ y2＋2 x －3＝0.
x2＋ y2＋2 x －3＝0　
題型三 代入法求軌跡方程
【例3】　已知圓 C ：（ x －3）2＋ y2＝9， D 是圓 C 上的動點，點 E
（2，4），若動點 M 滿足 ＝2 ，則點 M 的軌跡方程為（　　）
A. 2 x ＋ y ＋3＝0
B. xy ＝9
C. （ x －1）2＋（ y －8）2＝9
D. （ x －8）2＋（ y －1）2＝9
解析：　設 M （ x ， y ）， D （ a ， b ），由 ＝2 ，得
所以又因為點 D 在圓 C ：（ x －3）2＋
y2＝9上，所以（4－ x －3）2＋（8－ y ）2＝9，即（ x －1）2＋（ y －
8）2＝9，故選C.
通性通法
代入法求軌跡方程的步驟
（1）設動點 P （ x ， y ），相關動點 M （ x0， y0）；
（2）利用條件求出兩動點坐標之間的關系
（3）代入相關動點的軌跡方程；
（4）化簡、整理，得出所求軌跡方程.

解析：設 Q （ x ， y ）（ y ≠0），則 P （2 x ，2 y ），代入圓 C ： x2＋
（ y －1）2＝1，可得（2 x ）2＋（2 y －1）2＝1，即 x2＋（ y － ）2＝
，∴點 Q 的軌跡方程為 x2＋ ＝ （ y ≠0）.
x2＋（ y － ）2＝ （ y ≠0）　
1. 已知點 A 的坐標是（－1，0），點 M 滿足 MA ＝2，那么點 M 的軌
跡方程是（　　）
A. x2＋ y2＋2 x －3＝0 B. x2＋ y2－2 x －3＝0
C. x2＋ y2＋2 y －3＝0 D. x2＋ y2－2 y －3＝0
解析：　由 A （－1，0），點 M 滿足 MA ＝2，由圓的定義知，點
M 的軌跡為圓，其圓心為 A （－1，0），半徑 r ＝2，故其方程為
（ x ＋1）2＋（ y －0）2＝4，即 x2＋ y2＋2 x －3＝0，故選A.
2. 點 P （4，－2）與圓 x2＋ y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是
（　　）
A. （ x －2）2＋（ y ＋1）2＝1
B. （ x －2）2＋（ y ＋1）2＝4
C. （ x ＋4）2＋（ y －2）2＝4
D. （ x ＋2）2＋（ y －1）2＝1
解析：　設圓上任一點為 Q （ x0， y0）， PQ 的中點為 M （ x ，
y ），則解得因為點 Q 在圓 x2＋ y2＝4
上，所以 ＋ ＝4，即（2 x －4）2＋（2 y ＋2）2＝4，化簡得
（ x －2）2＋（ y ＋1）2＝1.
3. 已知動點 M 到點（8，0）的距離等于點 M 到點（2，0）的距離的2
倍，則點 M 的軌跡方程是 .
解析：設 M （ x ， y ），則 ＝2
，整理可得點 M 的軌跡方程為 x2＋ y2＝16.
x2＋ y2＝16　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
　　
1. 已知圓 C ：（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝1過點 A （1，0），則圓 C 的
圓心的軌跡是（　　）
A. 點 B. 直線
C. 線段 D. 圓
解析：　由圓 C 的方程知，圓心 C 的坐標為（ a ， b ），半徑 r ＝
1，因為 A （1，0）為圓 C 上一點，所以 AC ＝ ＝
1，即（ a －1）2＋ b2＝1，所以圓心 C 的軌跡是以點 A 為圓心，以1
為半徑的圓.
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2. 已知Rt△ ABC 的斜邊為 AB ，且 A （－1，0）， B （3，0），則直角
頂點 C 的軌跡方程為（　　）
A. （ x －1）2＋ y2＝4
B. x2＋（ y －1）2＝4
C. （ x －1）2＋ y2＝4（ x ≠3，且 x ≠－1）
D. x2＋（ y －1）2＝4（ x ≠3，且 x ≠－1）
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解析：　設 AB 的中點為 D ，由中點坐標公式，得 D （1，0）.由
直角三角形的性質，知 CD ＝ AB ＝2.由圓的定義，知動點 C 的軌
跡是以 D （1，0）為圓心，以2為半徑長的圓（因為 A ， B ， C 三點
不共線，所以應除去與 x 軸的交點）.設 C （ x ， y ），則直角頂點
C 的軌跡方程為（ x －1）2＋ y2＝4（ x ≠3，且 x ≠－1）.
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3. 古希臘數學家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出了圓的另
一種定義：平面內，到兩個定點 A ， B 的距離之比是常數λ（λ＞
0，λ≠1）的點 M 的軌跡是圓.若兩定點 A ， B 的距離為3，動點 M
滿足 MA ＝2 MB ，則點 M 的軌跡圍成區域的面積為（　　）
A. π B. 2π
C. 3π D. 4π
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解析：　以點 A 為原點，直線 AB 為 x 軸建立平面直角坐標系（圖
略），則可取 B （3，0）.設 M （ x ， y ），依題意有
＝2，化簡整理得， x2＋ y2－8 x ＋12＝0，即（ x －
4）2＋ y2＝4，故點 M 的軌跡為圓，該圓的面積為4π.
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4. 已知線段 AB 的端點 B 的坐標為（4，3），端點 A 在圓 x2＋ y2＝4上
運動，則線段 AB 的中點 M 的軌跡所圍成圖形的面積為（　　）
A. 4π
C. π
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解析：　設線段 AB 的中點 M （ x ， y ）， A （ x0， y0），則
即因為端點 A 在圓 x2＋ y2＝4上運動，所
以 ＋ ＝4，即（2 x －4）2＋（2 y －3）2＝4，整理得：（ x －
2）2＋（ y － ）2＝1，所以點 M 的軌跡是圓心為（2， ），半徑
為 r ＝1的圓.所以該圓的面積為 S ＝π r2＝π.故選C.
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5. 已知等腰三角形 ABC 的底邊 BC 對應的頂點是 A （4，2），底邊的
一個端點是 B （3，5），則底邊另一個端點 C 的軌跡方程是
（　　）
A. （ x －4）2＋（ y －2）2＝10
B. （ x ＋4）2＋（ y －2）2＝10
C. （ x －4）2＋（ y －2）2＝10（ x ≠3， x ≠5）
D. （ x ＋4）2＋（ y －2）2＝10（ x ≠3， x ≠5）
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解析：　設 C （ x ， y ），由 AB ＝ ＝
，得（ x －4）2＋（ y －2）2＝10，又點 A ， B ， C 組成三角
形，所以點 C 不能在直線 AB 上，易得直線 AB 的方程為 y ＝－3 x ＋
14，若 C 點在直線 AB 上，則 C （ x ，－3 x ＋14），由 AC ＝
＝ ，得 x ＝3或 x ＝5，故 x ≠3
且 x ≠5，故選C.
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6. （多選）如果點 P 的坐標（ x ， y ）滿足以下方程，則點 P 的軌跡是
圓的有（　　）
A. x2＋ y2＝0
B. x2＋ y2－2 x ＋4 y ＋6＝0
C. x2＋ y2＋2 ax － b2＝0（ ab ≠0）
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解析：　對A，由圓的標準方程可知， r2≠0，所以方程 x2＋ y2
＝0不表示圓，A錯誤；對B，由 x2＋ y2－2 x ＋4 y ＋6＝0，得（ x －
1）2＋（ y ＋2）2＝－1＜0，可知該方程不表示圓，B錯誤；對C，
由 x2＋ y2＋2 ax － b2＝0，得（ x ＋ a ）2＋ y2＝ a2＋ b2，因為 ab
≠0，所以 a ≠0， b ≠0，所以 a2＋ b2＞0，由圓的標準方程可知，
該方程表示圓心為（－ a ，0），半徑為 的圓，C正確；對
D，由（θ為參數， r ≠0），得（ x － a ）2＋（ y
－ b ）2＝ r2 cos 2θ＋ r2 sin 2θ＝ r2，因為 r ≠0，所以 r2＞0，該方
程表示圓心為（ a ， b ），半徑為｜ r ｜的圓，D正確.故選C、D.
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（ x ＋ ）2＋ y2＝1　
解析：設 M （ x ， y ），則 Q （2 x ＋1，2 y ），因為 Q 在圓 x2＋ y2＝4上，所以（2 x ＋1）2＋4 y2＝4，即（ x ＋ ）2＋ y2＝1，所以軌跡 C 的方程是（ x ＋ ）2＋ y2＝1.
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8. 圓 x2＋ y2＝8內有一點 P （2，－1）， AB 為過點 P 的弦，則 AB 的中
點 Q 的軌跡方程為 .
解析：設 AB 的中點為 Q （ x ， y ），若 AB 的斜率不存在，則 Q
（2，0），若 AB 的斜率為0，則 Q （0，－1），若 AB 的斜率存在
且不為0，則 AB 的斜率為 k ＝ ，又 OQ ⊥ AB ，所以 kOQ · k ＝－
1，即 · ＝－1，整理得 x2＋ y2－2 x ＋ y ＝0，點（2，0），
（0，－1）也滿足，所以點 Q 的軌跡方程為 x2＋ y2－2 x ＋ y ＝0.
x2＋ y2－2 x ＋ y ＝0　
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9. 已知平面上到兩直線 y ＝ x 與 y ＝ kx 的距離平方和為1的點的軌跡是
一個圓，則實數 k ＝ .
解析：設此點的坐標為（ x ， y ），則依題意有（ ）2＋
（ ）2＝1，化簡得（ ＋ ） x2＋（ ＋ ） y2－
（ ＋1） xy ＝1，此方程要表示圓，則 ＋1＝0，且 ＝
，解得 k ＝－1.
－1　
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10. 在定圓 x2＋ y2＝ R2內，作長度為定值2 l （ l ＜ R ）的弦，求弦中點
的軌跡方程.
解：設坐標原點為 O ，長度為定值2 l （ l ＜ R ）的弦的中點為
A ， A 為動點，
則 OA 垂直于長度為定值2 l （ l ＜ R ）的弦，故 OA ＝
為定值，
故弦中點的軌跡是以 O 為圓心，以 OA ＝ 為半徑的
圓，故弦中點的軌跡方程為 x2＋ y2＝ R2－ l2.
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11. 方程｜ x ｜－1＝ 所表示的曲線是（　　）
A. 一個圓 B. 兩個圓
C. 半個圓 D. 兩個半圓
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解析：　由題意，得即
或
故原方程表示兩個半圓.
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12. （多選）已知 A ， B 是平面內兩個定點，且 AB ＝6，則滿足下列
條件的動點 P 的軌跡為圓的是（　　）
A. PA ＋ PB ＝6
C. PA ＝2 PB D. PA2＋ PB2＝18
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解析：　 PA ＋ PB ＝6＝ AB ，顯然 P 的軌跡是線段 AB ，故A錯
誤；以 AB 中點 O 為原點，建立平面直角坐標系，設 A （－3，
0）， B （3，0），設 P （ x ， y ），則 ＝（－3－ x ，－ y ），
＝（3－ x ，－ y ），已知 · ＝－1，則 x2＋ y2＝8，所以點
P 的軌跡是圓，故B正確；由兩點間距離公式得 PA ＝
， PB ＝ ，代入 PA ＝2 PB 中化
簡得 x2－10 x ＋ y2＋9＝0，即（ x －5）2＋ y2＝16，故 P 的軌跡是
圓，故C正確；代入 PA2＋ PB2＝18中化簡得 x2＋ y2＝0，顯然 P 的
軌跡是一個點，故D錯誤.故選B、C.
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13. 存在如下結論：平面內到兩定點距離之比等于已知數的動點軌跡
為直線或圓.現已知在平面直角坐標系中 A （－2，0）， B （2，
0），動點 P 滿足 PA ＝λ PB （λ＞0），若點 P 的軌跡為一條直
線，則λ＝ ；若λ＝2，則點 P 的軌跡方程為
.
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x2＋ y2－ x ＋4
＝0　
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解析：設 P （ x ， y ），由 PA ＝λ PB （λ＞0），可得
＝λ ，兩邊平方，整理得點 P
的軌跡方程為（1－λ2） x2＋（1－λ2） y2＋4（1＋λ2） x ＋4－
4λ2＝0.若點 P 的軌跡為一條直線，則解得λ＝1或
λ＝－1（舍去）.若λ＝2，則點 P 的軌跡方程為3 x2＋3 y2－20 x
＋12＝0，即 x2＋ y2－ x ＋4＝0.
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14. 已知點 M （－2，0）， N （1，0），點 P （ x ， y ）滿足 PM ＝2
PN .
（1）求點 P （ x ， y ）的軌跡方程；
解：由 PM ＝2 PN 可知，
＝2 ，化簡得（ x －2）2
＋ y2＝4，
即點 P （ x ， y ）的軌跡為以 C （2，0）為圓心，半徑為2的
圓，方程為（ x －2）2＋ y2＝4.
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（2）求 PM ＋ PN 的最大值.
解：由題意可知， PN ＝ PM ，
所以 PM ＋ PN ＝ PM ，
點 M （－2，0）在圓外，所以 PM 的最大值為 MC ＋ r ＝4＋
2＝6，
所以 PM ＋ PN 的最大值為 ×6＝9.
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15. 已知點 M 在圓 x2＋ y2＋8 x ＝0上運動， N （4，0）， A （1，6），
點 P 為線段 MN 中點.
（1）求點 P 的軌跡方程；
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解：設點 P （ x ， y ）， M （ x0， y0），因為 P 為 MN中點，
所以于是有
因為點 M 在圓 x2＋ y2＋8 x ＝0上運動，
所以 ＋ ＋8 x0＝0，
代入得（2 x －4）2＋（2 y ）2＋8（2 x －4）＝0，
化簡得 x2＋ y2＝4，
所以點 P 的軌跡方程為 x2＋ y2＝4.
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（2）已知 B （－3，－3）， C （3，－3），求 PA2＋ PB2＋ PC2的
最大值.
解：PA2＋ PB2＋ PC2＝（ x －1）2＋（ y －6）2＋（ x ＋3）2＋（ y ＋3）2＋（ x －3）2＋（ y ＋3）2＝3 x2＋3 y2－2 x ＋73＝85－2 x ，因為－2≤ x ≤2，所以81≤85－2 x ≤89，
所以 PA2＋ PB2＋ PC2的最大值為89.
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