資源簡介

一、圓的方程
　　理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中掌握圓的標準方程與一般方程，能根據圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.
【例1】　（2022·全國乙卷15題）過四點（0，0），（4，0），（－1，1），（4，2）中的三點的一個圓的方程為　　　　.
反思感悟
求圓的方程的兩種方法
【跟蹤訓練】
1.（2022·全國甲卷14題）設點M在直線2x＋y－1＝0上，點（3，0）和（0，1）均在☉M上，則☉M的方程為　　　　.
2.大約在2 000年前，我國的墨子給出了圓的概念“一中同長也”，意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等.這個定義比希臘數學家歐幾里得給圓下的定義要早100多年.現有一動點P滿足OP＝2，其中O為坐標原點，若M（，－），則PM的最小值為　　　　.
二、直線與圓的位置關系
1.能根據給定直線與圓的方程，判斷直線與圓的位置關系.
2.能用直線與圓的方程解決與圓有關的切線、弦長問題，并能解決一些簡單的實際問題.
【例2】　已知圓M：（x－1）2＋（y－1）2＝4，直線l過點P（2，3）且與圓M交于A，B兩點，且AB＝2，求直線l的方程.
反思感悟
1.直線被圓截得的弦長的兩種求法
2.解決直線與圓相切問題的策略
【跟蹤訓練】
已知點A（2，a），圓C：（x－1）2＋y2＝5.
（1）若過點A只能作一條圓C的切線，求實數a的值及切線方程；
（2）設直線l過點A但不過原點，且在兩坐標軸上的截距相等，若直線l被圓C截得的弦長為2，求實數a的值.
三、圓與圓的位置關系
　　能根據給定圓的方程，判斷圓與圓的位置關系（外離、外切、相交、內切、內含）.
【例3】　已知圓C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0與圓C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.
（1）證明圓C1與圓C2相切，并求過切點的兩圓公切線的方程；
（2）求過點（2，3）且與兩圓相切于（1）中切點的圓的方程.
反思感悟
圓與圓位置關系相關問題的求解策略
（1）判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系；
（2）若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到.
【跟蹤訓練】
已知圓C1：x2＋y2－4x＋2y＝0與圓C2：x2＋y2－2y－4＝0.
（1）求證：兩圓相交；
（2）求兩圓公共弦所在直線的方程.
四、與圓有關的軌跡問題
　　求軌跡方程的步驟：（1）建系設點；（2）列出動點滿足的軌跡條件；（3）把軌跡條件坐標化；（4）化簡整理；（5）檢驗.在檢驗中要排除不符合要求的點，或者補充上漏掉的部分.
【例4】　如圖所示，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2＝4，過動點P分別作圓O1、圓O2的切線PM，PN（M，N分別為切點），使得PM＝PN，試建立適當的坐標系，并求動點P的軌跡方程.
反思感悟
求與圓有關的軌跡問題的四種方法
【跟蹤訓練】
1.過圓C：（x－3）2＋（y＋4）2＝4外一點P（x，y）引該圓的一條切線，切點為Q，PQ的長度等于點P到原點O的距離，則點P的軌跡方程為（　?。?br/>A.8x－6y－21＝0
B.8x＋6y－21＝0
C.6x＋8y－21＝0
D.6x－8y－21＝0
2.點A（3，0）為圓x2＋y2＝1外一點，P為圓上任意一點，若AP的中點為M，當P在圓上運動時，求點M的軌跡.
章末復習與總結
【例1】?。▁－2）2＋（y－3）2＝13或（x－2）2＋（y－1）2＝5或＋＝或＋（y－1）2＝（答案不唯一）　解析：若圓過（0，0），（4，0），（－1，1）三點，設過這三點的圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），分別將三點的坐標代入，可得解得易得D2＋E2－4F＞0，所以過這三點的圓的方程為x2＋y2－4x－6y＝0，即（x－2）2＋（y－3）2＝13；
若圓過（0，0），（4，0），（4，2）三點，設過這三點的圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），分別將三點的坐標代入，可得解得易得D2＋E2－4F＞0，所以過這三點的圓的方程為x2＋y2－4x－2y＝0，即（x－2）2＋（y－1）2＝5；
若圓過（0，0），（－1，1），（4，2）三點，設過這三點的圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），分別將三點的坐標代入，可得
解得易得D2＋E2－4F＞0，所以過這三點的圓的方程為x2＋y2－x－y＝0，即＋＝；
若圓過（4，0），（－1，1），（4，2）三點，設過這三點的圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），分別將三點的坐標代入，可得解得易得D2＋E2－4F＞0，所以過這三點的圓的方程為x2＋y2－x－2y－＝0，即＋（y－1）2＝.
跟蹤訓練
1.（x－1）2＋（y＋1）2＝5　解析：法一　設☉M的方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2，則解得∴☉M的方程為（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
法二　設☉M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），則M，
∴
解得
∴☉M的方程為x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
法三　設A（3，0），B（0，1），☉M的半徑為r，則kAB＝＝－，AB的中點坐標為，∴AB的垂直平分線方程為y－＝3，即3x－y－4＝0.聯立解得M（1，－1），∴r2＝MA2＝（3－1）2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉M的方程為（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
2.1　解析：動點P的軌跡是以O為圓心，2為半徑的圓，即x2＋y2＝4，而OM＝＝1＜2，故點M（，－）在圓內，所以當O，M，P三點共線時，PM最小，即PMmin＝2－OM＝2－1＝1.
【例2】　解：（1）當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y－3＝k（x－2），
即kx－y＋3－2k＝0.
示意圖如圖所示，作MC⊥AB于點C.
在Rt△MBC中，BC＝AB＝，MB＝2，故MC＝＝1，
又M（1，1），
故由點到直線的距離公式得＝1，
解得k＝.故直線l的方程為3x－4y＋6＝0.
（2）當直線l的斜率不存在時，其方程為x＝2，
且AB＝2，所以符合題意.
綜上所述，直線l的方程為3x－4y＋6＝0或x＝2.
跟蹤訓練
　解：（1）因為過點A只能作一條圓C的切線，所以點A在圓C上，
所以1＋a2＝5，解得a＝±2.
當a＝2時，A（2，2），則切線方程為（2－1）（x－1）＋2y＝5，即x＋2y－6＝0；
當a＝－2時，A（2，－2），則切線方程為（2－1）（x－1）－2y＝5，即x－2y－6＝0.
（2）設直線l的方程為x＋y＝b（b≠0），
因為直線過A（2，a），則2＋a＝b，
所以直線l的方程為x＋y－a－2＝0，
所以圓C的圓心（1，0）到直線l的距離為d＝＝，
所以2＝2＝2，
解得a＝1或a＝－3.
【例3】　解：（1）證明：把圓C1與圓C2都化為標準方程，得（x＋2）2＋（y－2）2＝13，（x－4）2＋（y＋2）2＝13.
圓心與半徑長分別為C1（－2，2），r1＝；
C2（4，－2），r2＝.
因為C1C2＝＝2＝r1＋r2，
所以圓C1與圓C2相切.
由兩式相減得12x－8y－12＝0，
即3x－2y－3＝0，就是過切點的兩圓公切線的方程.
（2）法一　過圓心C1，C2的直線方程為＝，即2x＋3y－2＝0，
聯立解得則切點坐標為（1，0）.
設所求圓的方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
則解得
所以所求圓的方程為（x＋4）2＋（y－）2＝，
即x2＋y2＋8x－y－9＝0.
法二　由圓系方程，可設所求圓的方程為x2＋y2＋4x－4y－5＋λ（3x－2y－3）＝0.
因為點（2，3）在此圓上，將點的坐標代入方程解得λ＝.
所以所求圓的方程為x2＋y2＋4x－4y－5＋（3x－2y－3）＝0，即x2＋y2＋8x－y－9＝0.
跟蹤訓練
　解：（1）證明：圓C1的方程可化為（x－2）2＋（y＋1）2＝5，圓C2的方程可化為x2＋（y－1）2＝5，
∴C1（2，－1），C2（0，1），兩圓的半徑均為，
∵C1C2＝＝2＜2，∴兩圓相交.
（2）將兩圓的方程相減即可得到兩圓公共弦所在直線的方程，x2＋y2－4x＋2y－（x2＋y2－2y－4）＝0，即x－y－1＝0.
【例4】　解：如圖所示，以O1O2所在直線為x軸，線段O1O2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，則O1（－2，0），O2（2，0），
設動點P的坐標為（x，y），連接MO1，NO2，
在Rt△PMO1中，PM2＝P－1，
在Rt△PNO2中，PN2＝P－1.
因為PM＝PN，所以PM2＝2PN2，
即P－1＝2（P－1），即P＋1＝2P，
所以（x＋2）2＋y2＋1＝2[（x－2）2＋y2]，
整理得x2＋y2－12x＋3＝0，
即為所求點P的軌跡方程.
跟蹤訓練
1.D　由題意得，圓心C的坐標為（3，－4），半徑r＝2，如圖.因為｜PQ｜＝｜PO｜，且PQ⊥CQ，所以｜PO｜2＋r2＝｜PC｜2，所以x2＋y2＋4＝（x－3）2＋（y＋4）2，即6x－8y－21＝0，所以點P的軌跡方程為6x－8y－21＝0.
2.解：設點M（x，y），因為M為線段AP的中點，點A（3，0），所以P（2x－3，2y），
因為P為圓x2＋y2＝1上任意一點，所以（2x－3）2＋（2y）2＝1，化簡得（x－）2＋y2＝，
所以點M的軌跡方程為（x－）2＋y2＝.
故動點M的軌跡為圓心坐標為（，0），半徑長為的圓.
3 / 3(共35張PPT)
章末復習與總結
　　
一、圓的方程
　　理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中掌握圓的標準方程
與一般方程，能根據圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題.
【例1】?。?022·全國乙卷15題）過四點（0，0），（4，0），（－
1，1），（4，2）中的三點的一個圓的方程為 　　　　.
答案：（ x －2）2＋（ y －3）2＝13或（ x －2）2＋（ y －1）2＝5
或 ＋ ＝ 或 ＋（ y －1）2＝ （答案
不唯一）
解析：若圓過（0，0），（4，0），（－1，1）三點，設過這三點的
圓的一般方程為 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞0），分別
將三點的坐標代入，可得解得易得 D2
＋ E2－4 F ＞0，所以過這三點的圓的方程為 x2＋ y2－4 x －6 y ＝0，即
（ x －2）2＋（ y －3）2＝13；
若圓過（0，0），（4，0），（4，2）三點，設過這三點的圓的一般
方程為 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞0），分別將三點的
坐標代入，可得解得易得 D2＋ E2
－4 F ＞0，所以過這三點的圓的方程為 x2＋ y2－4 x －2 y ＝0，即（ x －
2）2＋（ y －1）2＝5；
若圓過（0，0），（－1，1），（4，2）三點，設過這三點的圓的一
般方程為 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞0），分別將三點
的坐標代入，可得解得易得 D2
＋ E2－4 F ＞0，所以過這三點的圓的方程為 x2＋ y2－ x － y ＝0，即
＋ ＝ ；
若圓過（4，0），（－1，1），（4，2）三點，設過這三點的圓的一
般方程為 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞0），分別將三點
的坐標代入，可得解得易得 D2
＋ E2－4 F ＞0，所以過這三點的圓的方程為 x2＋ y2－ x －2 y － ＝
0，即 ＋（ y －1）2＝ .
反思感悟
求圓的方程的兩種方法
【跟蹤訓練】
1. （2022·全國甲卷14題）設點 M 在直線2 x ＋ y －1＝0上，點（3，
0）和（0，1）均在☉ M 上，則☉ M 的方程為
.
解析：法一　設☉ M 的方程為（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2，則
解得∴☉ M 的方程為（ x －1）2
＋（ y ＋1）2＝5.
（ x －1）2＋（ y ＋
1）2＝5　
法二　設☉ M 的方程為 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞
0），則 M ，
∴解得
∴☉ M 的方程為 x2＋ y2－2 x ＋2 y －3＝0，即（ x －1）2＋（ y ＋
1）2＝5.
法三　設 A （3，0）， B （0，1），☉ M 的半徑為 r ，則 kAB ＝ ＝
－ ， AB 的中點坐標為 ，∴ AB 的垂直平分線方程為 y － ＝3
，即3 x － y －4＝0.聯立解得 M （1，－
1），∴ r2＝ MA2＝（3－1）2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉ M 的方程為
（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝5.
2. 大約在2 000年前，我國的墨子給出了圓的概念“一中同長也”，
意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等.這個定義比希
臘數學家歐幾里得給圓下的定義要早100多年.現有一動點 P 滿足
OP ＝2，其中 O 為坐標原點，若 M （ ，－ ），則 PM 的最小值
為 .
1　
解析：動點 P 的軌跡是以 O 為圓心，2為半徑的圓，即 x2＋ y2＝4，
而 OM ＝ ＝1＜2，故點 M （ ，－ ）在圓
內，所以當 O ， M ， P 三點共線時， PM 最小，即 PMmin＝2－ OM
＝2－1＝1.
二、直線與圓的位置關系
1. 能根據給定直線與圓的方程，判斷直線與圓的位置關系.
2. 能用直線與圓的方程解決與圓有關的切線、弦長問題，并能解決一
些簡單的實際問題.
【例2】　已知圓 M ：（ x －1）2＋（ y －1）2＝4，直線 l 過點
P （2，3）且與圓 M 交于 A ， B 兩點，且 AB ＝2 ，求直線 l
的方程.
解：當直線 l 的斜率存在時，設直線 l 的方程為
y －3＝ k （ x －2），
即 kx － y ＋3－2 k ＝0.
示意圖如圖所示，作 MC ⊥ AB 于點 C .
在Rt△ MBC 中， BC ＝ AB ＝ ， MB ＝2，故 MC
＝ ＝1，
又 M （1，1），
故由點到直線的距離公式得 ＝1，
解得 k ＝ .故直線 l 的方程為3 x －4 y ＋6＝0.
（2）當直線 l 的斜率不存在時，其方程為 x ＝2，
且 AB ＝2 ，所以符合題意.
綜上所述，直線 l 的方程為3 x －4 y ＋6＝0或 x ＝2.
反思感悟
1. 直線被圓截得的弦長的兩種求法
2. 解決直線與圓相切問題的策略
【跟蹤訓練】
已知點 A （2， a ），圓 C ：（ x －1）2＋ y2＝5.
（1）若過點 A 只能作一條圓 C 的切線，求實數 a 的值及切線方程；
解：因為過點 A 只能作一條圓 C 的切線，所以點 A 在圓 C
上，所以1＋ a2＝5，解得 a ＝±2.
當 a ＝2時， A （2，2），則切線方程為（2－1）（ x －1）＋2 y
＝5，即 x ＋2 y －6＝0；
當 a ＝－2時， A （2，－2），則切線方程為（2－1）（ x －1）
－2 y ＝5，即 x －2 y －6＝0.
（2）設直線 l 過點 A 但不過原點，且在兩坐標軸上的截距相等，若直
線 l 被圓 C 截得的弦長為2 ，求實數 a 的值.
解：設直線 l 的方程為 x ＋ y ＝ b （ b ≠0），
因為直線過 A （2， a ），則2＋ a ＝ b ，
所以直線 l 的方程為 x ＋ y － a －2＝0，
所以圓 C 的圓心（1，0）到直線 l 的距離為 d ＝ ＝
，所以2 ＝2 ＝2 ，
解得 a ＝1或 a ＝－3.
三、圓與圓的位置關系
　　能根據給定圓的方程，判斷圓與圓的位置關系（外離、外切、相
交、內切、內含）.
【例3】　已知圓 C1： x2＋ y2＋4 x －4 y －5＝0與圓 C2： x2＋ y2－8 x ＋
4 y ＋7＝0.
（1）證明圓 C1與圓 C2相切，并求過切點的兩圓公切線的方程；
解：證明：把圓 C1與圓 C2都化為標準方程，得（ x ＋2）2
＋（ y －2）2＝13，（ x －4）2＋（ y ＋2）2＝13.
圓心與半徑長分別為 C1（－2，2）， r1＝ ；
C2（4，－2）， r2＝ .
因為 C1 C2＝ ＝2 ＝ r1＋ r2，
所以圓 C1與圓 C2相切.
由兩式相減得12 x －8 y －12＝0，
即3 x －2 y －3＝0，就是過切點的兩圓公切線的方程.
（2）求過點（2，3）且與兩圓相切于（1）中切點的圓的方程.
解：法一　過圓心 C1， C2的直線方程為 ＝ ，即2 x
＋3 y －2＝0，
聯立解得則切點坐標為（1，0）.
設所求圓的方程為（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2，
則解得
所以所求圓的方程為（ x ＋4）2＋（ y － ）2＝ ，
即 x2＋ y2＋8 x － y －9＝0.
法二　由圓系方程，可設所求圓的方程為 x2＋ y2＋4 x －4 y －5＋λ（3
x －2 y －3）＝0.
因為點（2，3）在此圓上，將點的坐標代入方程解得λ＝ .
所以所求圓的方程為 x2＋ y2＋4 x －4 y －5＋ （3 x －2 y －3）＝0，即
x2＋ y2＋8 x － y －9＝0.
反思感悟
圓與圓位置關系相關問題的求解策略
（1）判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距
離與兩圓半徑之間的關系；
（2）若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作
差消去 x2， y2項得到.
【跟蹤訓練】
已知圓 C1： x2＋ y2－4 x ＋2 y ＝0與圓 C2： x2＋ y2－2 y －4＝0.
（1）求證：兩圓相交；
解：證明：圓 C1的方程可化為（ x －2）2＋（ y ＋1）2
＝5，圓 C2的方程可化為 x2＋（ y －1）2＝5，
∴ C1（2，－1）， C2（0，1），兩圓的半徑均為 ，
∵ C1 C2＝ ＝2 ＜2 ，∴兩圓
相交.
（2）求兩圓公共弦所在直線的方程.
解：將兩圓的方程相減即可得到兩圓公共弦所在直線的方程， x2＋ y2－4 x ＋2 y －（ x2＋ y2－2 y －4）＝0，即 x － y －1＝0.
四、與圓有關的軌跡問題
　　求軌跡方程的步驟：（1）建系設點；（2）列出動點滿足的軌跡
條件；（3）把軌跡條件坐標化；（4）化簡整理；（5）檢驗.在檢驗
中要排除不符合要求的點，或者補充上漏掉的部分.
【例4】　如圖所示，圓 O1與圓 O2的半徑都是1， O1 O2＝4，過動點 P
分別作圓 O1、圓 O2的切線 PM ， PN （ M ， N 分別為切點），使得 PM
＝ PN ，試建立適當的坐標系，并求動點 P 的軌跡方程.
解：如圖所示，以 O1 O2所在直線為 x 軸，線段 O1
O2的垂直平分線為 y 軸，建立平面直角坐標系，則
O1（－2，0）， O2（2，0），
設動點 P 的坐標為（ x ， y ），連接 MO1， NO2，
在Rt△ PMO1中， PM2＝ P －1，
在Rt△ PNO2中， PN2＝ P －1.
因為 PM ＝ PN ，所以 PM2＝2 PN2，
即 P －1＝2（ P －1），即 P ＋1＝2 P ，
所以（ x ＋2）2＋ y2＋1＝2[（ x －2）2＋ y2]，
整理得 x2＋ y2－12 x ＋3＝0，
即為所求點 P 的軌跡方程.
反思感悟
求與圓有關的軌跡問題的四種方法
【跟蹤訓練】
1. 過圓 C ：（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝4外一點 P （ x ， y ）引該圓的一
條切線，切點為 Q ， PQ 的長度等于點 P 到原點 O 的距離，則點 P
的軌跡方程為（　　）
A. 8 x －6 y －21＝0 B. 8 x ＋6 y －21＝0
C. 6 x ＋8 y －21＝0 D. 6 x －8 y －21＝0
解析：　由題意得，圓心 C 的坐標為（3，－4），半徑 r ＝2，如圖.因為｜ PQ ｜＝｜ PO ｜，且 PQ ⊥ CQ ，所以｜ PO ｜2＋ r2＝｜ PC ｜2，所以 x2＋ y2＋4＝（ x －3）2＋（ y ＋4）2，即6 x －8 y －21＝0，所以點 P 的軌跡方程為6 x －8 y －21＝0.
2. 點 A （3，0）為圓 x2＋ y2＝1外一點， P 為圓上任意一點，若 AP 的
中點為 M ，當 P 在圓上運動時，求點 M 的軌跡.
解：設點 M （ x ， y ），因為 M 為線段 AP 的中點，點 A （3，0），
所以 P （2 x －3，2 y ），
因為 P 為圓 x2＋ y2＝1上任意一點，所以（2 x －3）2＋（2 y ）2＝
1，化簡得（ x － ）2＋ y2＝ ，
所以點 M 的軌跡方程為（ x － ）2＋ y2＝ .故動點 M 的軌跡為圓心
坐標為（ ，0），半徑長為 的圓.
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