資源簡介

章末檢測（二）　圓與方程
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.已知圓C以點（2，－3）為圓心，半徑等于5，則點M（5，－7）與圓C的位置關系是（　　）
A.在圓內　　 B.在圓上
C.在圓外　　 D.無法判斷
2.圓心為（1，1）且過原點的圓的方程是（　　）
A.（x－1）2＋（y－1）2＝1　　 B.（x＋1）2＋（y＋1）2＝1
C.（x＋1）2＋（y＋1）2＝2　　 D.（x－1）2＋（y－1）2＝2
3.經過點M（2，1）作圓O：x2＋y2＝5的切線，則切線方程為（　　）
A.x＋y－5＝0　　 B.x＋y＋5＝0
C.2x＋y－5＝0　　 D.2x＋y＋5＝0
4.直線x＋y－1＝0被圓（x＋1）2＋y2＝3截得的弦長等于（　　）
A.　　 B.2
C.2 　　 D.4
5.已知圓C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0關于直線l：x－y＋1＝0對稱，則直線x＝－1與圓C的位置關系是（　　）
A.相切　　 B.相交
C.相離　　 D.不能確定
6.在平面直角坐標系中，點A（0，1）和點B（4，5）到直線l的距離分別為1和2，則符合條件的直線l的條數為（　　）
A.1　　 B.2
C.3　　 D.4
7.已知圓C的方程為（x－3）2＋y2＝1，若y軸上存在一點A，使得以點A為圓心，半徑為3的圓與圓C有公共點，則點A的縱坐標可以是（　　）
A.1　　 B.－3
C.5　　 D.－7
8.已知A，B是圓O：x2＋y2＝4上兩個動點，點P的坐標為（2，1），若PA⊥PB，則線段AB長度的最大值為（　　）
A.3＋　　 B.2＋
C.3　　 D.＋
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.直線x－y＋m＝0與圓x2＋y2－2x－1＝0有兩個不同的交點的充分不必要條件可以是（　　）
A.0＜m＜1　　 B.m＜1
C.－2＜m＜1　　 D.－3＜m＜1
10.已知點A（2，0），圓C：（x－a－1）2＋（y－a）2＝1上存在點P，滿足PA2＋PO2＝10，則實數a的取值可能是（　　）
A.1　　 B.－1
C.　　 D.0
11.已知點P在圓C1：（x－2）2＋y2＝4上，點Q在圓C2：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上，則（　　）
A.兩圓外離　　 B.PQ的最大值為9
C.PQ的最小值為1　　 D.兩個圓的一條公切線方程為3x－4y＋4＝0
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中橫線上）
12.經過直線x＋y＋1＝0與圓x2＋y2＝2的交點，且過點（1，2）的圓的方程為　　　　.
13.已知直線l：4x－3y－4＝0，請寫出一個滿足以下條件的圓M的方程　　　　.
①圓M與x軸相切；②圓M與直線l相切；③圓M的半徑為2.
14.已知點A（x，y）在曲線y＝上運動，則的最大值為　　　　.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）已知從圓外一點P（4，6）作圓O：x2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B.
（1）求以OP為直徑的圓的方程；
（2）求直線AB的方程.
16.（本小題滿分15分）已知△ABC的三個頂點A（－1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圓為圓H.
（1）求圓H的標準方程；
（2）若直線l過點C，且被圓H截得的弦長為2，求直線l的方程.
17.（本小題滿分15分）若☉A的方程為x2＋y2－2x－2y－7＝0，☉B的方程為x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，判斷☉A和☉B是否相交？若相交，求過兩交點的直線方程及兩交點間的距離；若不相交，說明理由.
18.（本小題滿分17分）如圖，四邊形MNPQ是一塊長方形綠地，MQ＝3 km，MN＝2 km，RS是一條直路，交MN于點R，交MQ于點S，且MR＝SQ＝1 km.現在該綠地上建一個標志性建筑物，使建筑物的中心到P，R，S三個點的距離相等.以點M為坐標原點，直線MN，MQ分別為x，y軸建立如圖所示的直角坐標系.
（1）求出建筑物的中心C的坐標；
（2）由建筑物的中心到直路RS要開通一條路，已知路的造價為150萬元/km，求開通的這條路的最低造價.（≈2.24）
19.（本小題滿分17分）已知復數z＝x＋yi和w＝u＋vi，x，y，u，v∈R，對任意非零復數z有w＝.
（1）求x，y用u，v表示的關系式；
（2）將（x，y）作為點P的坐標，（u，v）作為點Q的坐標，當點P在圓Cr：（x－1）2＋y2＝r2（r是常數，r＞0，r≠1）上移動時，試求點Q的軌跡方程，并指出軌跡是怎樣的曲線；
（3）判斷能否找到實數r，使點Q的軌跡恰為圓Cr？
章末檢測（二）　圓與方程
1.B　點M（5，－7）到圓心（2，－3）的距離d＝＝5，故點M在圓C上.
2.D　圓的半徑r＝＝，圓心坐標為（1，1），所以圓的標準方程為（x－1）2＋（y－1）2＝2.
3.C　∵M（2，1）在圓上，∴切線與MO垂直.∵kMO＝，∴切線斜率為－2.又過點M（2，1），∴y－1＝－2（x－2），即2x＋y－5＝0.
4.B　由題意，得圓心為（－1，0），半徑r＝，弦心距為d＝＝，所以所求的弦長為2 ＝2，故選B.
5.A　由已知得C：（x－1）2＋（y－m）2＝4，即圓心C（1，m），半徑r＝2，因為圓C關于直線l：x－y＋1＝0對稱，所以圓心（1，m）在直線l：x－y＋1＝0上，所以m＝2.由圓心C（1，2）到直線x＝－1的距離d＝1＋1＝2＝r知，直線x＝－1與圓C相切.故選A.
6.D　將點到直線的距離問題轉化為圓的切線問題，如圖，AB＝＝4＞1＋2，兩圓外離，滿足要求的公切線有4條.
7.A　設A（0，b），則圓A與圓C的圓心距d＝.因為以點A為圓心、半徑為3的圓與圓C有公共點，所以3－1≤d≤3＋1，即2≤≤4，解得－≤b≤，觀察各選項知選A.
8.D　如圖所示，取AB的中點Q，連接OQ，PQ，OB.由圓的性質可知OQ⊥AB，由PA⊥PB可知：AB＝2PQ，所以PQ＝BQ，設點Q的坐標為（x，y），在Rt△OBQ中，OB2＝OQ2＋BQ2，即2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0，可化為（x－1）2＋（y－）2＝，故Q的軌跡為以（1，）為圓心，為半徑的圓，PQ的最大值為＋＝，故AB＝2PQ≤＋.
9.AC　圓x2＋y2－2x－1＝0的圓心為（1，0），半徑為.因為直線x－y＋m＝0與圓x2＋y2－2x－1＝0有兩個不同的交點，所以直線與圓相交，因此圓心到直線的距離d＝＜，所以｜1＋m｜＜2，解得－3＜m＜1，求其充分不必要條件，即求其真子集，故由選項易得A、C符合.故選A、C.
10.ABC　設P（x，y），由PA2＋PO2＝10，得（x－2）2＋y2＋x2＋y2＝10，整理得（x－1）2＋y2＝4.由題知P（x，y）在圓C上，即兩圓（x－1）2＋y2＝4與（x－a－1）2＋（y－a）2＝1有交點，則1＝2－1≤≤2＋1＝3，解得≤｜a｜≤.∴實數a的取值可能是1，－1，.故選A、B、C.
11.ABC　圓C1：（x－2）2＋y2＝4的圓心坐標為C1（2，0），半徑r＝2，圓C2：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0，即（x＋1）2＋（y－4）2＝4的圓心坐標為C2（－1，4），半徑R＝2，所以圓心距C1C2＝＝5，因為C1C2＞R＋r＝4，所以兩圓外離，故A正確；因為P在圓C1上，Q在圓C2上，所以PQmin＝C1C2－R－r＝1，PQmax＝C1C2＋R＋r＝9，故B、C正確；因為圓心C2（－1，4）到直線3x－4y＋4＝0的距離d＝＝3≠R，所以3x－4y＋4＝0不是兩圓公切線，故D錯誤.故選A、B、C.
12.x2＋y2－x－y－＝0　解析：由已知可設所求圓的方程為x2＋y2－2＋λ（x＋y＋1）＝0，將（1，2）代入，可得λ＝－，故所求圓的方程為x2＋y2－x－y－＝0.
13.x2＋（y－2）2＝4（x2＋（y－2）2＝4或（x－5）2＋（y－2）2＝4或（x－2）2＋（y＋2）2＝4或（x＋3）2＋（y＋2）2＝4中的一個即可）
解析：由①③可設圓心M（a，2）或M（a，－2），由②可得：若M（a，2），則d＝＝2，解得a＝0或a＝5，圓M的方程為x2＋（y－2）2＝4或（x－5）2＋（y－2）2＝4；若M（a，－2），則d＝＝2，解得a＝2或a＝－3，圓M的方程為（x－2）2＋（y＋2）2＝4或（x＋3）2＋（y＋2）2＝4.
14.　解析：y＝變形為x2＋y2＝4（y≥0），它是以原點為圓心，2為半徑的上半圓，如圖，A（x，y）在上半圓上，表示點A（x，y）與M（－4，0）連線的斜率，由題意得，當直線與半圓相切時斜率最大，設直線與半圓相切時直線斜率為k，直線方程y＝k（x＋4），即kx－y＋4k＝0，因此＝2，解得k＝（由圖k＝－舍去），所以的最大值為.
15.解：（1）∵所求圓的圓心為線段OP的中點（2，3），
半徑為OP＝ ＝，
∴以OP為直徑的圓的方程為（x－2）2＋（y－3）2＝13.
（2）∵PA，PB是圓O：x2＋y2＝1的兩條切線，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴A，B兩點都在以OP為直徑的圓上.
由得直線AB的方程為4x＋6y－1＝0.
16.解：（1）設圓H的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），
則由題意，可知解得
所以圓H的標準方程為x2＋（y－3）2＝10.
（2）設圓心到直線l的距離為d，則1＋d2＝10，所以d＝3.
若直線l的斜率不存在，即l⊥x軸時，則直線方程為x＝3，滿足題意；
若直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝k（x－3）＋2，
圓心到直線l的距離為d＝＝3，解得k＝，
所以直線l的方程為4x－3y－6＝0.
綜上可知，直線l的方程為x＝3或4x－3y－6＝0.
17.解：☉A的方程可寫成（x－1）2＋（y－1）2＝9，
圓心A（1，1），半徑為3.
☉B的方程可寫成（x＋1）2＋（y＋1）2＝4，
圓心B（－1，－1），半徑為2.
∴兩圓心之間的距離滿足
3－2＜AB＝＝2＜3＋2.
∴兩圓相交，
由
兩式相減，得過兩圓交點的直線方程為4x＋4y＋5＝0.
設兩交點分別為C，D，則CD：4x＋4y＋5＝0，
點A到直線CD的距離為
d＝＝.
則兩交點間的距離CD＝2＝2＝.
18.解：（1）法一　由題可知R（1，0），S（0，2），P（2，3），
由題可知經過點R，S，P的圓的圓心即為所建建筑物的中心C，
設圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
則解得
∴圓C的方程為x2＋y2－3x－3y＋2＝0，即（x－）2＋（y－）2＝，
∴建筑物的中心的坐標為C（，）.
法二　由題可知R（1，0），S（0，2），P（2，3），
由題可知經過點R，S，P的圓的圓心C即為所建建筑物的中心，
線段SP中點為（1，），且kSP＝，∴線段SP的垂直平分線為y＝－2x＋，
線段RS中點為（，1），且kRS＝－2，∴線段RS的垂直平分線為y＝x＋，
聯立解得∴建筑物的中心的坐標為C（，）.
（2）∵C（，）為建筑物的中心坐標，
設線段RS的中點為H，由垂徑定理得CH的長度為點C到RS的最小距離，
∵RS＝＝，圓C的半徑為，
∴點C到RS的距離為＝，
∴開通的這條路的最低造價為×150＝75≈75×2.24＝168（萬元）.
19.解：（1）因為w＝，所以z＝，
即x＋yi＝＝－i，
所以
（2）將代入（x－1）2＋y2＝r2，得（－1）2＋（）2＝r2，
整理得（u2＋v2）2－2u（u2＋v2）＋u2＋v2＝r2（u2＋v2）2. ①
因為r≠1，所以（x，y）≠（0，0），即z≠0，
所以w＝≠0，u2＋v2≠0.
①式化簡為u2＋v2－2u＋1＝r2（u2＋v2），（r2－1）u2＋（r2－1）v2＋2u＝1.
同除r2－1得u2＋＋v2＝，
配方有（u＋）2＋v2＝＋（）2，
即（u＋）2＋v2＝（）2為Q的軌跡方程，
所以Q的軌跡是以（－，0）為圓心，｜｜為半徑的圓.
（3）若Q的軌跡與Cr重合，則它們的圓心也要重合.
于是，有－＝1 r＝0，與r＞0的條件矛盾，
所以找不到實數r（r＞0，r≠1）使Q的軌跡恰為Cr.
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章末檢測（二）　圓與方程
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給
出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 已知圓 C 以點（2，－3）為圓心，半徑等于5，則點 M （5，－7）
與圓 C 的位置關系是（　　）
A. 在圓內 B. 在圓上
C. 在圓外 D. 無法判斷
解析：　點 M （5，－7）到圓心（2，－3）的距離 d ＝
＝5，故點 M 在圓 C 上.
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2. 圓心為（1，1）且過原點的圓的方程是（　　）
A. （ x －1）2＋（ y －1）2＝1
B. （ x ＋1）2＋（ y ＋1）2＝1
C. （ x ＋1）2＋（ y ＋1）2＝2
D. （ x －1）2＋（ y －1）2＝2
解析：　圓的半徑 r ＝ ＝ ，圓心坐
標為（1，1），所以圓的標準方程為（ x －1）2＋（ y －1）2＝2.
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3. 經過點 M （2，1）作圓 O ： x2＋ y2＝5的切線，則切線方程為
（　　）
C. 2 x ＋ y －5＝0 D. 2 x ＋ y ＋5＝0
解析：　∵ M （2，1）在圓上，∴切線與 MO 垂直.∵ kMO ＝ ，
∴切線斜率為－2.又過點 M （2，1），∴ y －1＝－2（ x －2），即
2 x ＋ y －5＝0.
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4. 直線 x ＋ y －1＝0被圓（ x ＋1）2＋ y2＝3截得的弦長等于（　　）
B. 2 D. 4
解析：　由題意，得圓心為（－1，0），半徑 r ＝ ，弦心距為
d ＝ ＝ ，所以所求的弦長為2 ＝2，故選B.
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5. 已知圓 C ： x2＋ y2－2 x －2 my ＋ m2－3＝0關于直線 l ： x － y ＋1＝0
對稱，則直線 x ＝－1與圓 C 的位置關系是（　　）
A. 相切 B. 相交
C. 相離 D. 不能確定
解析：　由已知得 C ：（ x －1）2＋（ y － m ）2＝4，即圓心 C
（1， m ），半徑 r ＝2，因為圓 C 關于直線 l ： x － y ＋1＝0對稱，
所以圓心（1， m ）在直線 l ： x － y ＋1＝0上，所以 m ＝2.由圓心
C （1，2）到直線 x ＝－1的距離 d ＝1＋1＝2＝ r 知，直線 x ＝－1與
圓 C 相切.故選A.
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6. 在平面直角坐標系中，點 A （0，1）和點 B （4，5）到直線 l 的距
離分別為1和2，則符合條件的直線 l 的條數為（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　將點到直線的距離問題轉化為圓的
切線問題，如圖， AB ＝ ＝4 ＞1＋
2，兩圓外離，滿足要求的公切線有4條.
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7. 已知圓 C 的方程為（ x －3）2＋ y2＝1，若 y 軸上存在一點 A ，使得
以點 A 為圓心，半徑為3的圓與圓 C 有公共點，則點 A 的縱坐標可以
是（　　）
A. 1 B. －3
C. 5 D. －7
解析：　設 A （0， b ），則圓 A 與圓 C 的圓心距 d ＝
.因為以點 A 為圓心、半徑為3的圓與圓 C 有公共點，
所以3－1≤ d ≤3＋1，即2≤ ≤4，解得－ ≤ b ≤
，觀察各選項知選A.
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8. 已知 A ， B 是圓 O ： x2＋ y2＝4上兩個動點，點 P 的坐標為（2，
1），若 PA ⊥ PB ，則線段 AB 長度的最大值為（　　）
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解析：　如圖所示，取 AB 的中點 Q ，連接 OQ ，
PQ ， OB . 由圓的性質可知 OQ ⊥ AB ，由 PA ⊥ PB
可知： AB ＝2 PQ ，所以 PQ ＝ BQ ，設點 Q 的坐標
為（ x ， y ），在Rt△ OBQ 中， OB2＝ OQ2＋ BQ2，
即2 x2＋2 y2－4 x －2 y ＋1＝0，可化為（ x －1）2＋（ y － ）2＝ ，故 Q 的軌跡為以（1， ）為圓心， 為半徑的圓， PQ 的最大值為
＋ ＝ ，故 AB ＝2 PQ ≤ ＋ .
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二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給
出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對
的得部分分，有選錯的得0分）
9. 直線 x － y ＋ m ＝0與圓 x2＋ y2－2 x －1＝0有兩個不同的交點的充分
不必要條件可以是（　　）
A. 0＜ m ＜1 B. m ＜1
C. －2＜ m ＜1 D. －3＜ m ＜1
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解析：　圓 x2＋ y2－2 x －1＝0的圓心為（1，0），半徑為 .
因為直線 x － y ＋ m ＝0與圓 x2＋ y2－2 x －1＝0有兩個不同的交點，
所以直線與圓相交，因此圓心到直線的距離 d ＝ ＜ ，所
以｜1＋ m ｜＜2，解得－3＜ m ＜1，求其充分不必要條件，即求其
真子集，故由選項易得A、C符合.故選A、C.
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10. 已知點 A （2，0），圓 C ：（ x － a －1）2＋（ y － a ）2＝1上
存在點 P ，滿足 PA2＋ PO2＝10，則實數 a 的取值可能是（　　）
A. 1 B. －1
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解析：　設 P （ x ， y ），由 PA2＋ PO2＝10，得（ x －2）2＋
y2＋ x2＋ y2＝10，整理得（ x －1）2＋ y2＝4.由題知 P （ x ， y ）在
圓 C 上，即兩圓（ x －1）2＋ y2＝4與（ x － a －1）2＋（ y －
a ）2＝1有交點，則1＝2－1≤ ≤2＋
1＝3，解得 ≤｜ a ｜≤ .∴實數 a 的取值可能是1，－1， .故選
A、B、C.
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11. 已知點 P 在圓 C1：（ x －2）2＋ y2＝4上，點 Q 在圓 C2： x2＋ y2＋2
x －8 y ＋13＝0上，則（　　）
A. 兩圓外離
B. PQ 的最大值為9
C. PQ 的最小值為1
D. 兩個圓的一條公切線方程為3 x －4 y ＋4＝0
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解析：　圓 C1：（ x －2）2＋ y2＝4的圓心坐標為 C1（2，0），半徑 r ＝2，圓 C2： x2＋ y2＋2 x －8 y ＋13＝0，即（ x ＋1）2＋（ y －4）2＝4的圓心坐標為 C2（－1，4），半徑 R ＝2，所以圓心距 C1 C2＝ ＝5，因為 C1 C2＞ R ＋ r ＝4，所以兩圓外離，故A正確；因為 P 在圓 C1上， Q 在圓 C2上，所以 PQmin＝ C1 C2－ R － r ＝1， PQmax＝ C1 C2＋ R ＋ r ＝9，故B、C正確；因為圓心 C2（－1，4）到直線3 x －4 y ＋4＝0的距離 d ＝ ＝3≠ R ，所以3 x －4 y ＋4＝0不是兩圓公切線，故D錯誤.故選A、B、C.
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解析：由已知可設所求圓的方程為 x2＋ y2－2＋λ（ x ＋ y ＋1）＝
0，將（1，2）代入，可得λ＝－ ，故所求圓的方程為 x2＋ y2－
x － y － ＝0.
： x2＋ y2－ x － y － ＝0　
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13. 已知直線 l ：4 x －3 y －4＝0，請寫出一個滿足以下條件的圓 M 的
方程 　　　　.
①圓 M 與 x 軸相切；②圓 M 與直線 l 相切；③圓 M 的半徑為2.
答案： x2＋（ y －2）2＝4（ x2＋（ y －2）2＝4或（ x －5）2＋（ y
－2）2＝4或（ x －2）2＋（ y ＋2）2＝4或（ x ＋3）2＋（ y ＋2）2
＝4中的一個即可）
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解析：由①③可設圓心 M （ a ，2）或 M （ a ，－2），由②可
得：若 M （ a ，2），則 d ＝ ＝2，解得 a ＝0或 a
＝5，圓 M 的方程為 x2＋（ y －2）2＝4或（ x －5）2＋（ y －
2）2＝4；若 M （ a ，－2），則 d ＝ ＝2，解得 a
＝2或 a ＝－3，圓 M 的方程為（ x －2）2＋（ y ＋2）2＝4或
（ x ＋3）2＋（ y ＋2）2＝4.
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14. 已知點 A （ x ， y ）在曲線 y ＝ 上運動，則 的最大值
為 .
　
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解析： y ＝ 變形為 x2＋ y2＝4（ y
≥0），它是以原點為圓心，2為半徑的上半
圓，如圖， A （ x ， y ）在上半圓上， 表示
點 A （ x ， y ）與 M （－4，0）連線的斜率，由題意得，當直線與半圓相切時斜率最大，設直線與半圓相切時直線斜率為 k ，直線方程 y ＝ k （ x ＋4），即 kx － y ＋4 k ＝0，因此 ＝2，解得 k ＝ （由圖 k ＝－ 舍去），所以 的最大值為 .
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四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應寫出必要的文字說
明、證明過程或演算步驟）
15. （本小題滿分13分）已知從圓外一點 P （4，6）作圓 O ： x2＋ y2＝
1的兩條切線，切點分別為 A ， B .
（1）求以 OP 為直徑的圓的方程；
解：∵所求圓的圓心為線段 OP 的中點（2，3），
半徑為 OP ＝ ＝ ，
∴以 OP 為直徑的圓的方程為（ x －2）2＋（ y －3）2＝13.
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（2）求直線 AB 的方程.
解：∵ PA ， PB 是圓 O ： x2＋ y2＝1的兩條切線，
∴ OA ⊥ PA ， OB ⊥ PB ，
∴ A ， B 兩點都在以 OP 為直徑的圓上.
由得直線 AB 的方程為4 x ＋
6 y －1＝0.
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16. （本小題滿分15分）已知△ ABC 的三個頂點 A （－1，0）， B
（1，0）， C （3，2），其外接圓為圓 H .
（1）求圓 H 的標準方程；
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解：設圓 H 的方程為 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋E2－4 F ＞0），
則由題意，可知
解得
所以圓 H 的標準方程為 x2＋（ y －3）2＝10.
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（2）若直線 l 過點 C ，且被圓 H 截得的弦長為2，求直線 l 的方程.
解：設圓心到直線 l 的距離為 d ，則1＋ d2＝10，所以 d ＝3.
若直線 l 的斜率不存在，即 l ⊥ x 軸時，則直線方程為 x ＝3，
滿足題意；
若直線 l 的斜率存在，設直線 l 的方程為 y ＝ k （ x －3）＋2，
圓心到直線 l 的距離為 d ＝ ＝3，解得 k ＝ ，
所以直線 l 的方程為4 x －3 y －6＝0.
綜上可知，直線 l 的方程為 x ＝3或4 x －3 y －6＝0.
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17. （本小題滿分15分）若☉ A 的方程為 x2＋ y2－2 x －2 y －7＝0，☉ B
的方程為 x2＋ y2＋2 x ＋2 y －2＝0，判斷☉ A 和☉ B 是否相交？若相
交，求過兩交點的直線方程及兩交點間的距離；若不相交，說明
理由.
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解：☉ A 的方程可寫成（ x －1）2＋（ y －1）2＝9，
圓心 A （1，1），半徑為3.
☉ B 的方程可寫成（ x ＋1）2＋（ y ＋1）2＝4，
圓心 B （－1，－1），半徑為2.
∴兩圓心之間的距離滿足
3－2＜ AB ＝ ＝2 ＜3＋2.
∴兩圓相交，由
兩式相減，得過兩圓交點的直線方程為4 x ＋4 y ＋5＝0.
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設兩交點分別為 C ， D ，則 CD ：4 x ＋4 y ＋5＝0，
點 A 到直線 CD 的距離為
d ＝ ＝ .
則兩交點間的距離 CD ＝2 ＝2 ＝ .
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18. （本小題滿分17分）如圖，四邊形 MNPQ 是一塊長方形綠地，
MQ ＝3 km， MN ＝2 km， RS 是一條直路，交 MN 于點 R ，交 MQ
于點 S ，且 MR ＝ SQ ＝1 km.現在該綠地上建一個標志性建筑物，
使建筑物的中心到 P ， R ， S 三個點的距離相等.以點 M 為坐標原
點，直線 MN ， MQ 分別為 x ， y 軸建立如圖所示的直角坐標系.
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（1）求出建筑物的中心 C 的坐標；
解：法一　由題可知 R （1，0）， S （0，2）， P （2，3），
由題可知經過點 R ， S ， P 的圓的圓心即為所建建筑物的中心 C ，
設圓 C 的方程為 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，
則解得
∴圓 C 的方程為 x2＋ y2－3 x －3 y ＋2＝0，
即（ x － ）2＋（ y － ）2＝ ，
∴建筑物的中心的坐標為 C （ ， ）.
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法二　由題可知 R （1，0）， S （0，2）， P （2，3），
由題可知經過點 R ， S ， P 的圓的圓心 C 即為所建建筑物的中心，
線段 SP 中點為（1， ），且 kSP ＝ ，∴線段 SP 的垂直平分線為 y ＝
－2 x ＋ ，
線段 RS 中點為（ ，1），且 kRS ＝－2，∴線段 RS 的垂直平分線為 y
＝ x ＋ ，
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聯立解得∴建筑物的中心的坐標為 C （ ， ）.
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（2）由建筑物的中心到直路 RS 要開通一條路，已知路的造價為
150萬元/km，求開通的這條路的最低造價.（ ≈2.24）
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解： ∵ C （ ， ）為建筑物的中心坐標，
設線段 RS 的中點為 H ，由垂徑定理得 CH 的長度為點 C 到 RS 的最
小距離，
∵ RS ＝ ＝ ，圓 C 的半徑為 ，
∴點 C 到 RS 的距離為 ＝ ，
∴開通的這條路的最低造價為 ×150＝75 ≈75×2.24＝168（萬元）.
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19. （本小題滿分17分）已知復數 z ＝ x ＋ y i和 w ＝ u ＋ v i， x ， y ，
u ， v ∈R，對任意非零復數 z 有 w ＝ .
（1）求 x ， y 用 u ， v 表示的關系式；
解：因為 w ＝ ，所以 z ＝ ，
即 x ＋ y i＝ ＝ － i，
所以
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（2）將（ x ， y ）作為點 P 的坐標，（ u ， v ）作為點 Q 的坐標，
當點 P 在圓 Cr ：（ x －1）2＋ y2＝ r2（ r 是常數， r ＞0， r
≠1）上移動時，試求點 Q 的軌跡方程，并指出軌跡是怎樣
的曲線；
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解：將代入（ x －1）2＋ y2＝ r2，得
（ －1）2＋（ ）2＝ r2，
整理得（ u2＋ v2）2－2 u （ u2＋ v2）＋ u2＋ v2＝ r2（ u2＋ v2）
2.　①
因為 r ≠1，所以（ x ， y ）≠（0，0），即 z ≠0，
所以 w ＝ ≠0， u2＋ v2≠0.
①式化簡為 u2＋ v2－2 u ＋1＝ r2（ u2＋ v2），（ r2－1） u2＋
（ r2－1） v2＋2 u ＝1.
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同除 r2－1得 u2＋ ＋ v2＝ ，
配方有（ u ＋ ）2＋ v2＝ ＋（ ）2，
即（ u ＋ ）2＋ v2＝（ ）2為 Q 的軌跡方程，
所以 Q 的軌跡是以（－ ，0）為圓心，｜ ｜為半徑
的圓.
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（3）判斷能否找到實數 r ，使點 Q 的軌跡恰為圓 Cr ？
解：若 Q 的軌跡與 Cr 重合，則它們的圓心也要重合.
于是，有－ ＝1 r ＝0，與 r ＞0的條件矛盾，
所以找不到實數 r （ r ＞0， r ≠1）使 Q 的軌跡恰為 Cr .
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