資源簡介

第1課時　橢圓的定義與標準方程
1.橢圓＋y2＝1上一點P到一個焦點的距離為2，則點P到另一個焦點的距離為（　　）
A.5　　　B.6　 　C.7　　　D.8
2.若橢圓＋＝1（m＞0）的焦距為2，則m＝（　　）
A.5　　B.3　　C.5或3　　D.8
3.已知橢圓過點P（，－4）和點Q（－，3），則此橢圓的標準方程是（　　）
A.＋x2＝1　　 B.＋y2＝1或x2＋＝1
C.＋y2＝1　　 D.x2＋＝1
4.設定點F1（0，－2），F2（0，2），動點P滿足條件PF1＋PF2＝m＋（m＞2），則點P的軌跡是（　　）
A.橢圓　　 B.線段
C.橢圓或線段　　 D.不存在
5.（多選）已知在平面直角坐標系中，點A（－3，0），B（3，0），點P為一動點，且PA＋PB＝2a（a≥0），下列說法中正確的是（　　）
A.當a＝2時，點P的軌跡不存在
B.當a＝4時，點P的軌跡是橢圓，且焦距為3
C.當a＝4時，點P的軌跡是橢圓，且焦距為6
D.當a＝3時，點P的軌跡是以AB為直徑的圓
6.（多選）（2024·無錫高二期中）將一個橢圓繞其對稱中心旋轉90°，若所得橢圓的兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點，則稱該橢圓為“對偶橢圓”.下列橢圓的方程中，是“對偶橢圓”的方程的是（　　）
A.＋＝1　　 B.＋＝1
C.＋＝1　　 D.＋＝1
7.設F1，F2是橢圓＋＝1的焦點，則此橢圓的焦距為　　　　；若P為橢圓上一點，則△PF1F2的周長為　　　　.
8.方程＋＝10表示的曲線是　　　　，其標準方程是　　　　.
9.如圖，在圓x2＋y2＝4上任取一點P，過點P作y軸的垂線PD，D為垂足，當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡方程為　　　　.
10.求下列橢圓的焦點坐標：
（1）＋＝1；
（2）8x2＋3y2＝24.
11.橢圓＋＝1的一個焦點為F1，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點M在y軸上，那么點M的縱坐標為（　　）
A.±　　　　　　　　 B.±
C.±　　 D.±
12.（多選）過已知圓內一個定點作圓C與已知圓相切，則圓心C的軌跡可能是（　　）
A.圓　　 B.橢圓
C.線段　　 D.射線
13.已知F1，F2是橢圓C：＋＝1的兩個焦點，點M在C上，則MF1·MF2的最大值為　　　　.
14.如圖所示，在圓C：（x＋1）2＋y2＝25內有一點A（1，0）.Q為圓C上任意一點，線段AQ的垂直平分線與C，Q的連線交于點M，當點Q在圓C上運動時，求點M的軌跡方程.
15.已知橢圓C：＋＝1內有一點M（2，3），F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，P為橢圓C上的一點，求：
（1）PM－PF1的最大值與最小值；
（2）PM＋PF1的最大值與最小值.
第1課時　橢圓的定義與標準方程
1.D　設橢圓的左、右焦點分別為F1，F2，PF1＝2，結合橢圓定義PF2＋PF1＝10，可得PF2＝8.
2.C　由題意得c＝1，a2＝b2＋c2.當m＞4時，m＝4＋1＝5；當m＜4時，4＝m＋1，∴m＝3.
3.A　設橢圓方程為Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B），由題意得解得所以此橢圓的標準方程為＋x2＝1.
4.A　設y＝m＋（m＞2），易知y＝m＋在（2，＋∞）上單調遞增，所以y＝m＋＞4，即PF1＋PF2＞4，又F1F2＝4，所以點P的軌跡為以F1，F2為焦點的橢圓.
5.AC　當a＝2時，2a＝4＜AB，故點P的軌跡不存在，A正確；當a＝4時，2a＝8＞AB，故點P的軌跡是橢圓，且焦距為AB＝6，B錯誤，C正確；當a＝3時，2a＝6＝AB，故點P的軌跡為線段AB，D錯誤.
6.AC　由題意，得當b＝c時，該橢圓為“對偶橢圓”.由c＝得，選項A中，b＝c＝2；選項B中，b＝，c＝，b≠c；選項C中，b＝c＝；選項D中，b＝，c＝，b≠c.故選A、C.
7.8　18　解析：由橢圓的方程知a＝5，b＝3，c＝＝4，故焦距為8，△PF1F2的周長為PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝10＋8＝18.
8.橢圓　＋＝1　解析：方程＋＝10，表示點P（x，y）到A（3，0），B（－3，0）兩點的距離之和等于10，而10＞6，所以方程＋＝10表示的曲線是橢圓，且2a＝10，焦距2c＝6，所以a＝5，c＝3，所以b＝＝4，所以其標準方程為＋＝1.
9.x2＋＝1　解析：設M（x，y），P（x0，y0）.由題意知x0＝2x，y0＝y①.因為點P（x0，y0）在圓x2＋y2＝4上，所以＋＝4②.把①代入②得，4x2＋y2＝4，即x2＋＝1.
10.解：（1）已知方程是橢圓的標準方程，由36＞24，可知橢圓的焦點在x軸上，且a2＝36，b2＝24，
所以c2＝a2－b2＝36－24＝12，c＝2，因此，橢圓的焦點坐標為（－2，0），（2，0）.
（2）將所給橢圓的方程化為標準方程得＋＝1，由8＞3，可知橢圓的焦點在y軸上，且a2＝8，b2＝3，
所以c2＝a2－b2＝8－3＝5，c＝.
因此，橢圓的焦點坐標為（0，－），（0，）.
11.D　∵線段PF1的中點M在y軸上且O是線段F1F2的中點（F2為橢圓的另一個焦點），∴PF2⊥x軸，∴點P的橫坐標是±3，∵點P在橢圓上，∴＋＝1，即y2＝，∴y＝±.∴點M的縱坐標為±.
12.AB　如圖，設已知圓的圓心為A，半徑為R，圓內的定點為B，動圓的半徑為r.若點A與點B不重合，由于兩圓相內切，則AC＝R－r，由于r＝BC，∴AC＝R－BC，即CA＋CB＝R.∴動點C到兩個定點A，B的距離之和為常數R.∵B為圓內的定點，∴AB＜R.∴動點C的軌跡為橢圓.若A，B重合為一點，則此時動點C的軌跡為以R為直徑的圓.
13.9　解析：由橢圓C：＋＝1，得MF1＋MF2＝2×3＝6，則MF1·MF2≤（）2＝32＝9，當且僅當MF1＝MF2＝3時等號成立.
14.解：如圖所示，連接MA.
由題意知點M在線段CQ上，從而有CQ＝MQ＋MC.
又點M在AQ的垂直平分線上，
則MA＝MQ，故MA＋MC＝CQ＝5.
又A（1，0），C（－1，0），所以AC＝2，所以MA＋MC＞AC，故點M的軌跡是以（1，0），（－1，0）為焦點的橢圓，且2a＝5，c＝1，
故a＝，b2＝a2－c2＝－1＝.
故點M的軌跡方程為＋＝1.
15.解：（1）由橢圓方程知a＝5，F1（－3，0），F2（3，0）.
如圖，連接MF1并延長交橢圓于點P1，
則P1是使PM－PF1取得最大值的點，
于是（PM－PF1）max＝MF1＝＝.
PM－PF1＝－（PF1－PM），
則求PM－PF1的最小值，即求PF1－PM的最大值，
延長F1M交橢圓于點P2，則P2是使PF1－PM取得最大值的點，
即PM－PF1取得最小值的點，
于是（PM－PF1）min＝－MF1＝－.
（2）連接PF2，由橢圓定義知PF1＋PF2＝2a＝10，則PF1＝10－PF2，
所以PM＋PF1＝PM＋10－PF2＝10＋（PM－PF2），
如圖，連接MF2并延長交橢圓于點P3，則P3是使PM＋PF1取得最大值的點，
于是（PM＋PF1）max＝10＋MF2＝10＋＝10＋.
PM＋PF1＝10－（PF2－PM），
延長F2M交橢圓于點P4，
則P4是使PF2－PM取得最大值的點，即PM＋PF1取得最小值的點，
于是（PM＋PF1）min＝10－MF2＝10－.
2 / 23.1.1　橢圓的標準方程
新課程標準解讀 核心素養
1.了解橢圓的實際背景 數學抽象
2.經歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，掌握橢圓的定義及標準方程 直觀想象
第1課時　橢圓的定義與標準方程
我們對“橢圓形狀”并不陌生，如有些汽車油罐橫截面的輪廓、天體中一些行星和衛星運行的軌道、籃球在陽光下的投影（如圖）等.我們已知道，圓是平面內到定點的距離等于定長的點的集合.
【問題】　（1）你能說說到底什么是橢圓嗎？
（2）橢圓上任意一點的特征是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　橢圓的定義
平面內到兩個定點F1，F2的　　　　　　　　　　　　的點的軌跡叫作橢圓，兩個定點F1，F2叫作橢圓的　　　　，兩個焦點間的距離叫作橢圓的　　　　.
【想一想】
定義中，將“大于F1F2”改為“等于F1F2”或“小于F1F2”的常數，其他條件不變，點的軌跡還是橢圓嗎？
知識點二　橢圓的標準方程
焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程 　　　　 （a＞b＞0） 　　　　 （a＞b＞0）
圖　形
焦點坐標 （－c，0），（c，0） （0，－c），（0，c）
a，b，c的 關系 a2＝　　　
【想一想】
1.從橢圓的標準方程如何判斷橢圓焦點的位置？
2.在橢圓的標準方程中，a＞b＞c一定成立嗎？
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）已知點F1（－1，0），F2（1，0），動點P滿足PF1＋PF2＝4，則點P的軌跡是橢圓.（　　）
（2）已知點F1（－1，0），F2（1，0），動點P滿足PF1＋PF2＝2，則點P的軌跡是橢圓.（　　）
（3）橢圓的兩種標準方程中，雖然焦點位置不同，但都有a2＝b2＋c2.（　　）
（4）方程＋＝1（a＞0，b＞0）表示的曲線是橢圓.（　　）
2.已知a＝，c＝2，焦點在y軸上，則橢圓的標準方程為　　　　.
3.橢圓＋＝1的焦距是　　　　，焦點坐標是　　　　.
題型一 橢圓的定義
【例1】　已知橢圓E：＋＝1，點A，B在橢圓上且在x軸異側，F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，則四邊形AF1BF2的周長為（　　）
A.8　　　　　　　 　 B.4
C.3　　 D.4＋2
通性通法
橢圓定義的應用技巧
（1）橢圓的定義具有雙向作用，即若PF1＋PF2＝2a（2a＞F1F2），則點P的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點P到兩焦點的距離之和必為2a；
（2）橢圓的定義能夠對一些距離進行相互轉化，簡化解題過程.因此，解題過程中遇到涉及曲線上的點到焦點的距離問題時，應先考慮是否能夠利用橢圓的定義求解.
【跟蹤訓練】
1.命題甲：動點P到兩定點A，B的距離之和PA＋PB＝2a（a＞0，常數）；命題乙：點P軌跡是橢圓.則命題甲是命題乙的（　　）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.（2024·南京月考）已知橢圓＋＝1上一點P到其一個焦點的距離為3，則點P到另一個焦點的距離為　　　　.
題型二 求橢圓的標準方程
【例2】　（鏈接教科書第83頁例1、例2）求滿足下列條件的橢圓的標準方程：
（1）兩個焦點的坐標分別是F1（－4，0），F2（4，0），并且橢圓上一點P到兩個焦點的距離之和等于10；
（2）焦點坐標分別為（0，－2），（0，2），經過點（4，3）.
通性通法
利用待定系數法求橢圓標準方程的步驟
（1）作判斷：依據條件判斷橢圓的焦點是在x軸上還是在y軸上，還是兩個坐標軸上都有可能；
（2）設方程：依據上述判斷設出橢圓的方程；
（3）尋關系：依據已知條件，建立關于a，b，c的方程組；
（4）得方程：解方程組，將求得的結果代入所設方程即為所求.
提醒　在求橢圓的標準方程時，若焦點的位置不確定，一般可設所求橢圓的方程為Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B），不必考慮焦點位置，用待定系數法求出A，B的值即可.
【跟蹤訓練】
求適合下列條件的橢圓的標準方程：
（1）經過兩點（2，－），；
（2）過點（，－），且與橢圓＋＝1有相同的焦點.
題型三 與橢圓有關的軌跡問題
【例3】　（鏈接教科書第87頁習題10題）已知圓F1：（x＋2）2＋y2＝4，圓F2：（x－2）2＋y2＝36，若動圓M與圓F1外切，與圓F2內切，求動圓圓心M的軌跡C的方程.
通性通法
求橢圓軌跡方程的常用方法
（1）定義法：若動點的軌跡特點符合某一基本軌跡（如橢圓、圓等）的定義，則可用定義法直接求解；
（2）直接法：將動點滿足的幾何條件或者等量關系直接坐標化，列出等式后化簡，得出動點的軌跡方程；
（3）相關點法：根據相關點所滿足的方程，通過轉換求出動點的軌跡方程.
【跟蹤訓練】
已知P是橢圓＋＝1上一動點，O為坐標原點，則線段OP中點Q的軌跡方程為　　　　.
1.橢圓＋＝1的焦點坐標是（　　）
A.（±5，0）　　　　　 B.（0，±5）
C.（0，±12）　　 D.（±12，0）
2.到兩定點F1（－2，0）和F2（2，0）的距離之和為4的點M的軌跡是（　　）
A.橢圓　　 B.線段
C.圓　　 D.以上都不對
3.（2024·揚州月考）在橢圓＋y2＝1中，有一沿直線運動的粒子從一個焦點F2出發經橢圓反射后經過另一個焦點F1，再次被橢圓反射后又回到F2，則該粒子在整個運動過程中經過的路程為　　　　.
4.求適合下列條件的橢圓的標準方程：
（1）橢圓的焦點在x軸上，且經過點（2，0）和點（0，1）；
（2）橢圓的焦點在y軸上，與y軸的一個交點為P（0，－10），點P到離它較近的一個焦點的距離等于2.
第1課時　橢圓的定義與標準方程
【基礎知識·重落實】
知識點一
距離之和等于常數（大于F1F2）　焦點　焦距
想一想
　提示：不是.①當2a＝F1F2時，點的軌跡是線段F1F2；②當2a＜F1F2時，點的軌跡不存在.
知識點二
＋＝1　＋＝1　b2＋c2
想一想
1.提示：判斷橢圓焦點在哪個軸上就要判斷橢圓標準方程中x2項和y2項的分母哪個更大一些，即“誰大在誰上”.
2.提示：不一定，只需a＞b，a＞c即可，b，c的大小關系不確定.
自我診斷
1.（1）√　（2）×　（3）√　（4）×
2.＋x2＝1　解析：b2＝a2－c2＝（）2－（2）2＝1，b＝1，所以橢圓的標準方程為＋x2＝1.
3.16　（－8，0），（8，0）　解析：由橢圓方程知，橢圓焦點在x軸上，且a2＝100，b2＝36，所以c2＝a2－b2＝64，解得c＝8.所以焦距2c＝16，兩焦點的坐標分別是（－8，0），（8，0）.
【典型例題·精研析】
【例1】　A　由橢圓的定義，AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝2a＝4，故四邊形AF1BF2的周長為8.故選A.
跟蹤訓練
1.B　利用橢圓的定義，若點P軌跡是橢圓，則PA＋PB＝2a（a＞0，常數），∴甲是乙的必要條件.反過來，若PA＋PB＝2a（a＞0，常數）不能推出點P軌跡是橢圓.故選B.
2.5　解析：橢圓＋＝1，則a2＝16，所以a＝4，根據橢圓的定義可知橢圓上的點到兩焦點的距離之和為2a＝8，因為橢圓上點P到其一個焦點的距離為3，則點P到另一個焦點的距離為5.
【例2】　解：（1）因為橢圓的焦點在x軸上，所以設橢圓的標準方程為＋＝1（a＞b＞0），
由已知得c＝4，2a＝10，
所以a＝5，b＝＝＝3，
所以橢圓的標準方程為＋＝1.
（2）因為橢圓的焦點在y軸上，所以設它的標準方程為＋＝1（a＞b＞0）.
法一　由橢圓的定義知2a＝＋
＝6＋＋6－＝12，
解得a＝6.
又c＝2，所以b＝＝4.
所以橢圓的標準方程為＋＝1.
法二　因為所求橢圓過點（4，3），
所以＋＝1.
又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32，
所以橢圓的標準方程為＋＝1.
跟蹤訓練
　解：（1）法一　若焦點在x軸上，設橢圓的標準方程為＋＝1（a＞b＞0）.
由已知條件得解得
所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.
若焦點在y軸上，設橢圓的標準方程為＋＝1（a＞b＞0）.
由已知條件得解得
則a2＜b2，與題設中a＞b＞0矛盾，舍去.
綜上，所求橢圓的標準方程為＋＝1.
法二　設橢圓的一般方程為Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B）.
將兩點（2，－），代入，得解得
所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.
（2）因為所求橢圓與橢圓＋＝1的焦點相同，所以其焦點在y軸上，且c2＝25－9＝16.
設它的標準方程為＋＝1（a＞b＞0）.
因為c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16. ①
又點（，－）在橢圓上，
所以＋＝1，即＋＝1. ②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求橢圓的標準方程為＋＝1.
【例3】　解：設動圓M的半徑為r，
∵動圓M與圓F1外切，與圓F2內切，
∴MF1＝2＋r，且MF2＝6－r，于是MF1＋MF2＝8＞F1F2＝4，
∴動圓圓心M的軌跡是以F1，F2為焦點的橢圓，
故a＝4，c＝2，∴b2＝12，橢圓方程為＋＝1，
又∵當M點為橢圓左頂點時，動圓M不存在，故不合題意，舍去，
故動圓圓心M的軌跡C的方程為＋＝1（x≠－4）.
跟蹤訓練
　x2＋＝1　解析：設P（xP，yP），Q（x，y）.由中點坐標公式得所以又點P在橢圓＋＝1上，所以＋＝1，即x2＋＝1.
隨堂檢測
1.C　∵c2＝a2－b2＝169－25＝122，∴c＝12.又橢圓的焦點在y軸上，故焦點坐標為（0，±12）.
2.B　MF1＋MF2＝F1F2＝4，∴點M的軌跡為線段F1F2.
3.4　解析：把粒子運動軌跡表示出來，可知整個路程為4a，即4.
4.解：（1）∵橢圓的焦點在x軸上，
∴設橢圓的標準方程為＋＝1（a＞b＞0）.
∵橢圓經過點（2，0）和點（0，1），
∴解得
∴橢圓的標準方程為＋y2＝1.
（2）∵橢圓的焦點在y軸上，
∴設橢圓的標準方程為＋＝1（a＞b＞0）.
∵點P（0，－10）在橢圓上，
∴＝1，∴a2＝100.
∵點P到離它較近的一個焦點的距離為2，
∴－c－（－10）＝2，
∴c＝8，∴b2＝a2－c2＝36.
∴橢圓的標準方程為＋＝1.
4 / 4(共71張PPT)
3.1.1　橢圓的標準方程
新課程標準解讀 核心素養
1.了解橢圓的實際背景 數學抽象
2.經歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，掌握橢圓
的定義及標準方程 直觀想象
第1課時　
橢圓的定義與標準方程
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
我們對“橢圓形狀”并不陌生，如有些汽車油罐橫截面的輪廓、天體
中一些行星和衛星運行的軌道、籃球在陽光下的投影（如圖）等.我
們已知道，圓是平面內到定點的距離等于定長的點的集合.
（2）橢圓上任意一點的特征是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【問題】　（1）你能說說到底什么是橢圓嗎？
知識點一　橢圓的定義
平面內到兩個定點 F1， F2的 的點
的軌跡叫作橢圓，兩個定點 F1， F2叫作橢圓的 ，兩個焦點間
的距離叫作橢圓的 .
距離之和等于常數（大于 F1 F2）　
焦點　
焦距　
【想一想】
定義中，將“大于 F1 F2”改為“等于 F1 F2”或“小于 F1 F2”的常
數，其他條件不變，點的軌跡還是橢圓嗎？
提示：不是.①當2 a ＝ F1 F2時，點的軌跡是線段 F1 F2；②當2 a ＜ F1
F2時，點的軌跡不存在.
知識點二　橢圓的標準方程
焦點在 x 軸上 焦點在 y 軸上
標準方程 （ a ＞ b ＞0）
（ a ＞ b ＞0）
＋ ＝1　
＋ ＝1　
焦點在 x 軸上 焦點在 y 軸上
圖　形
焦點坐標 （－ c ，0），（ c ，0） （0，－ c ），（0，
c ）
a ， b ， c 的關系 a2＝ b2＋ c2　
【想一想】
1. 從橢圓的標準方程如何判斷橢圓焦點的位置？
提示：判斷橢圓焦點在哪個軸上就要判斷橢圓標準方程中 x2項和 y2
項的分母哪個更大一些，即“誰大在誰上”.
2. 在橢圓的標準方程中， a ＞ b ＞ c 一定成立嗎？
提示：不一定，只需 a ＞ b ， a ＞ c 即可， b ， c 的大小關系不確定.
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）已知點 F1（－1，0）， F2（1，0），動點 P 滿足 PF1＋ PF2＝
4，則點 P 的軌跡是橢圓. （　√　）
（2）已知點 F1（－1，0）， F2（1，0），動點 P 滿足 PF1＋ PF2＝
2，則點 P 的軌跡是橢圓. （　×　）
（3）橢圓的兩種標準方程中，雖然焦點位置不同，但都有 a2＝ b2
＋ c2. （　√　）
（4）方程 ＋ ＝1（ a ＞0， b ＞0）表示的曲線是橢圓.
（　×　）
√
×
√
×
2. 已知 a ＝ ， c ＝2 ，焦點在 y 軸上，則橢圓的標準方程為 　
.
解析： b2＝ a2－ c2＝（ ）2－（2 ）2＝1， b ＝1，所以橢圓
的標準方程為 ＋ x2＝1.
＋ x2＝1　
3. 橢圓 ＋ ＝1的焦距是 ，焦點坐標是
.
解析：由橢圓方程知，橢圓焦點在 x 軸上，且 a2＝100， b2＝36，所
以 c2＝ a2－ b2＝64，解得 c ＝8.所以焦距2 c ＝16，兩焦點的坐標分
別是（－8，0），（8，0）.
16　
（－8，0），（8，
0）　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 橢圓的定義
【例1】　已知橢圓 E ： ＋ ＝1，點 A ， B 在橢圓上且在 x 軸異
側， F1， F2分別為橢圓的左、右焦點，則四邊形 AF1 BF2的周長為
（　　）
A. 8 B. 4
C. 3
解析：　由橢圓的定義， AF1＋ AF2＝ BF1＋ BF2＝2 a ＝4，故四邊形
AF1 BF2的周長為8.故選A.
通性通法
橢圓定義的應用技巧
（1）橢圓的定義具有雙向作用，即若 PF1＋ PF2＝2 a （2 a ＞ F1
F2），則點 P 的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點 P 到兩焦點
的距離之和必為2 a ；
（2）橢圓的定義能夠對一些距離進行相互轉化，簡化解題過程.因
此，解題過程中遇到涉及曲線上的點到焦點的距離問題時，應
先考慮是否能夠利用橢圓的定義求解.
【跟蹤訓練】
1. 命題甲：動點 P 到兩定點 A ， B 的距離之和 PA ＋ PB ＝2 a （ a ＞0，
常數）；命題乙：點 P 軌跡是橢圓.則命題甲是命題乙的（　　）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
解析：　利用橢圓的定義，若點 P 軌跡是橢圓，則 PA ＋ PB ＝2 a
（ a ＞0，常數），∴甲是乙的必要條件.反過來，若 PA ＋ PB ＝2 a
（ a ＞0，常數）不能推出點 P 軌跡是橢圓.故選B.
2. （2024·南京月考）已知橢圓 ＋ ＝1上一點 P 到其一個焦點的距
離為3，則點 P 到另一個焦點的距離為 .
解析：橢圓 ＋ ＝1，則 a2＝16，所以 a ＝4，根據橢圓的定義可
知橢圓上的點到兩焦點的距離之和為2 a ＝8，因為橢圓上點 P 到其
一個焦點的距離為3，則點 P 到另一個焦點的距離為5.
5　
題型二 求橢圓的標準方程
【例2】　（鏈接教科書第83頁例1、例2）求滿足下列條件的橢圓的
標準方程：
（1）兩個焦點的坐標分別是 F1（－4，0）， F2（4，0），并且橢圓
上一點 P 到兩個焦點的距離之和等于10；
解：因為橢圓的焦點在 x 軸上，所以設橢圓的標準方程為
＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），
由已知得 c ＝4，2 a ＝10，
所以 a ＝5， b ＝ ＝ ＝3，
所以橢圓的標準方程為 ＋ ＝1.
（2）焦點坐標分別為（0，－2），（0，2），經過點（4，3 ）.
解：因為橢圓的焦點在 y 軸上，所以設它的標準方程為
＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）.
法一　由橢圓的定義知2 a ＝ ＋
＝6＋ ＋6－ ＝12，
解得 a ＝6.
又 c ＝2，所以 b ＝ ＝4 .
所以橢圓的標準方程為 ＋ ＝1.
法二　因為所求橢圓過點（4，3 ），
所以 ＋ ＝1.
又 c2＝ a2－ b2＝4，可解得 a2＝36， b2＝32，
所以橢圓的標準方程為 ＋ ＝1.
通性通法
利用待定系數法求橢圓標準方程的步驟
（1）作判斷：依據條件判斷橢圓的焦點是在 x 軸上還是在 y 軸上，還
是兩個坐標軸上都有可能；
（2）設方程：依據上述判斷設出橢圓的方程；
（3）尋關系：依據已知條件，建立關于 a ， b ， c 的方程組；
（4）得方程：解方程組，將求得的結果代入所設方程即為所求.
提醒　在求橢圓的標準方程時，若焦點的位置不確定，一般可
設所求橢圓的方程為 Ax2＋ By2＝1（ A ＞0， B ＞0， A ≠ B ），
不必考慮焦點位置，用待定系數法求出 A ， B 的值即可.
【跟蹤訓練】
求適合下列條件的橢圓的標準方程：
（1）經過兩點（2，－ ）， ；
解：法一　若焦點在 x 軸上，設橢圓的標準方程為 ＋
＝1（ a ＞ b ＞0）.
由已知條件得解得
所以所求橢圓的標準方程為 ＋ ＝1.
若焦點在 y 軸上，設橢圓的標準方程為 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）.
由已知條件得解得
則 a2＜ b2，與題設中 a ＞ b ＞0矛盾，舍去.
綜上，所求橢圓的標準方程為 ＋ ＝1.
法二　設橢圓的一般方程為 Ax2＋ By2＝1（ A ＞0， B ＞0， A ≠ B ）.
將兩點（2，－ ）， 代入，得解得
所以所求橢圓的標準方程為 ＋ ＝1.
（2）過點（ ，－ ），且與橢圓 ＋ ＝1有相同的焦點.
解：因為所求橢圓與橢圓 ＋ ＝1的焦點相同，所以其焦點在 y 軸
上，且 c2＝25－9＝16.
設它的標準方程為 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）.
因為 c2＝16，且 c2＝ a2－ b2，故 a2－ b2＝16.　①
又點（ ，－ ）在橢圓上，
所以 ＋ ＝1，即 ＋ ＝1.　②
由①②得 b2＝4， a2＝20，所以所求橢圓的標準方程為 ＋ ＝1.
題型三 與橢圓有關的軌跡問題
【例3】　（鏈接教科書第87頁習題10題）已知圓 F1：（ x ＋2）2＋ y2
＝4，圓 F2：（ x －2）2＋ y2＝36，若動圓 M 與圓 F1外切，與圓 F2內
切，求動圓圓心 M 的軌跡 C 的方程.
解：設動圓 M 的半徑為 r ，
∵動圓 M 與圓 F1外切，與圓 F2內切，
∴ MF1＝2＋ r ，且 MF2＝6－ r ，于是 MF1＋ MF2＝8＞ F1 F2＝4，
∴動圓圓心 M 的軌跡是以 F1， F2為焦點的橢圓，
故 a ＝4， c ＝2，∴ b2＝12，橢圓方程為 ＋ ＝1，
又∵當 M 點為橢圓左頂點時，動圓 M 不存在，故不合題意，舍去，
故動圓圓心 M 的軌跡 C 的方程為 ＋ ＝1（ x ≠－4）.
通性通法
求橢圓軌跡方程的常用方法
（1）定義法：若動點的軌跡特點符合某一基本軌跡（如橢圓、圓
等）的定義，則可用定義法直接求解；
（2）直接法：將動點滿足的幾何條件或者等量關系直接坐標化，列
出等式后化簡，得出動點的軌跡方程；
（3）相關點法：根據相關點所滿足的方程，通過轉換求出動點的軌
跡方程.
【跟蹤訓練】
已知 P 是橢圓 ＋ ＝1上一動點， O 為坐標原點，則線段 OP 中點 Q
的軌跡方程為 .
解析：設 P （ xP ， yP ）， Q （ x ， y ）.由中點坐標公式得所
以又點 P 在橢圓 ＋ ＝1上，所以 ＋ ＝
1，即 x2＋ ＝1.
x2＋ ＝1　
1. 橢圓 ＋ ＝1的焦點坐標是（　　）
A. （±5，0） B. （0，±5）
C. （0，±12） D. （±12，0）
解析：　∵ c2＝ a2－ b2＝169－25＝122，∴ c ＝12.又橢圓的焦點
在 y 軸上，故焦點坐標為（0，±12）.
2. 到兩定點 F1（－2，0）和 F2（2，0）的距離之和為4的點 M 的軌跡
是（　　）
A. 橢圓 B. 線段
C. 圓 D. 以上都不對
解析：　 MF1＋ MF2＝ F1 F2＝4，∴點 M 的軌跡為線段 F1 F2.
3. （2024·揚州月考）在橢圓 ＋ y2＝1中，有一沿直線運動的粒子從
一個焦點 F2出發經橢圓反射后經過另一個焦點 F1，再次被橢圓反射
后又回到 F2，則該粒子在整個運動過程中經過的路程為 .
解析：把粒子運動軌跡表示出來，可知整個路程為4 a ，即4 .
4 　
4. 求適合下列條件的橢圓的標準方程：
（1）橢圓的焦點在 x 軸上，且經過點（2，0）和點（0，1）；
解：∵橢圓的焦點在 x 軸上，
∴設橢圓的標準方程為 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）.
∵橢圓經過點（2，0）和點（0，1），
∴解得∴橢圓的標準方程為 ＋ y2＝1.
（2）橢圓的焦點在 y 軸上，與 y 軸的一個交點為 P （0，－10），
點 P 到離它較近的一個焦點的距離等于2.
解：∵橢圓的焦點在 y 軸上，
∴設橢圓的標準方程為 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）.
∵點 P （0，－10）在橢圓上，
∴ ＝1，∴ a2＝100.
∵點 P 到離它較近的一個焦點的距離為2，
∴－ c －（－10）＝2，
∴ c ＝8，∴ b2＝ a2－ c2＝36.
∴橢圓的標準方程為 ＋ ＝1.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 橢圓 ＋ y2＝1上一點 P 到一個焦點的距離為2，則點 P 到另一個焦
點的距離為（　　）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析：　設橢圓的左、右焦點分別為 F1， F2， PF1＝2，結合橢圓
定義 PF2＋ PF1＝10，可得 PF2＝8.
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2. 若橢圓 ＋ ＝1（ m ＞0）的焦距為2，則 m ＝（　　）
A. 5 B. 3
C. 5或3 D. 8
解析：　由題意得 c ＝1， a2＝ b2＋ c2.當 m ＞4時， m ＝4＋1＝5；
當 m ＜4時，4＝ m ＋1，∴ m ＝3.
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3. 已知橢圓過點 P （ ，－4）和點 Q （－ ，3），則此橢圓的標準
方程是（　　）
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解析：　設橢圓方程為 Ax2＋ By2＝1（ A ＞0， B ＞0， A ≠ B ），
由題意得解得所以此橢圓的標準方程為
＋ x2＝1.
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4. 設定點 F1（0，－2）， F2（0，2），動點 P 滿足條件 PF1＋ PF2＝
m ＋ （ m ＞2），則點 P 的軌跡是（　　）
A. 橢圓 B. 線段
C. 橢圓或線段 D. 不存在
解析：　設 y ＝ m ＋ （ m ＞2），易知 y ＝ m ＋ 在（2，＋∞）
上單調遞增，所以 y ＝ m ＋ ＞4，即 PF1＋ PF2＞4，又 F1 F2＝4，
所以點 P 的軌跡為以 F1， F2為焦點的橢圓.
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5. （多選）已知在平面直角坐標系中，點 A （－3，0）， B （3，
0），點 P 為一動點，且 PA ＋ PB ＝2 a （ a ≥0），下列說法中正確
的是（　　）
A. 當 a ＝2時，點 P 的軌跡不存在
B. 當 a ＝4時，點 P 的軌跡是橢圓，且焦距為3
C. 當 a ＝4時，點 P 的軌跡是橢圓，且焦距為6
D. 當 a ＝3時，點 P 的軌跡是以 AB 為直徑的圓
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解析：　當 a ＝2時，2 a ＝4＜ AB ，故點 P 的軌跡不存在，A正
確；當 a ＝4時，2 a ＝8＞ AB ，故點 P 的軌跡是橢圓，且焦距為 AB
＝6，B錯誤，C正確；當 a ＝3時，2 a ＝6＝ AB ，故點 P 的軌跡為
線段 AB ，D錯誤.
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6. （多選）（2024·無錫高二期中）將一個橢圓繞其對稱中心旋轉
90°，若所得橢圓的兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點，則稱該橢
圓為“對偶橢圓”.下列橢圓的方程中，是“對偶橢圓”的方程的
是（　　）
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解析：　由題意，得當 b ＝ c 時，該橢圓為“對偶橢圓”.由 c ＝
得，選項A中， b ＝ c ＝2；選項B中， b ＝ ， c ＝ ，
b ≠ c ；選項C中， b ＝ c ＝ ；選項D中， b ＝ ， c ＝ ， b ≠
c .故選A、C.
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7. 設 F1， F2是橢圓 ＋ ＝1的焦點，則此橢圓的焦距為 ；若 P 為
橢圓上一點，則△ PF1 F2的周長為 .
解析：由橢圓的方程知 a ＝5， b ＝3， c ＝ ＝4，故焦距為
8，△ PF1 F2的周長為 PF1＋ PF2＋ F1 F2＝2 a ＋2 c ＝10＋8＝18.
8　
18　
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8. 方程 ＋ ＝10表示的曲線是
，其標準方程是 .
解析：方程 ＋ ＝10，表示點 P
（ x ， y ）到 A （3，0）， B （－3，0）兩點的距離之和等于10，而
10＞6，所以方程 ＋ ＝10表示
的曲線是橢圓，且2 a ＝10，焦距2 c ＝6，所以 a ＝5， c ＝3，所以 b
＝ ＝4，所以其標準方程為 ＋ ＝1.
橢
圓　
＋ ＝1　
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x2
＋ ＝1　
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解析：設 M （ x ， y ）， P （ x0， y0）.由題意知 x0＝2 x ， y0＝ y ①.
因為點 P （ x0， y0）在圓 x2＋ y2＝4上，所以 ＋ ＝4②.把①代
入②得，4 x2＋ y2＝4，即 x2＋ ＝1.
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10. 求下列橢圓的焦點坐標：
（1） ＋ ＝1；
解：已知方程是橢圓的標準方程，由36＞24，可知橢
圓的焦點在 x 軸上，且 a2＝36， b2＝24，
所以 c2＝ a2－ b2＝36－24＝12， c ＝2 ，
因此，橢圓的焦點坐標為（－2 ，0），（2 ，0）.
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（2）8 x2＋3 y2＝24.
解： 將所給橢圓的方程化為標準方程得 ＋ ＝1，
由8＞3，可知橢圓的焦點在 y 軸上，且 a2＝8， b2＝3，
所以 c2＝ a2－ b2＝8－3＝5， c ＝ .
因此，橢圓的焦點坐標為（0，－ ），（0， ）.
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11. 橢圓 ＋ ＝1的一個焦點為 F1，點 P 在橢圓上，如果線段 PF1的
中點 M 在 y 軸上，那么點 M 的縱坐標為（　　）
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解析：　∵線段 PF1的中點 M 在 y 軸上且 O 是線段 F1 F2的中點
（ F2為橢圓的另一個焦點），∴ PF2⊥ x 軸，∴點 P 的橫坐標是
±3，∵點 P 在橢圓上，∴ ＋ ＝1，即 y2＝ ，∴ y ＝± .
∴點 M 的縱坐標為± .
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12. （多選）過已知圓內一個定點作圓 C 與已知圓相切，則圓心 C 的
軌跡可能是（　　）
A. 圓 B. 橢圓
C. 線段 D. 射線
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解析：　如圖，設已知圓的圓心為 A ，半徑為
R ，圓內的定點為 B ，動圓的半徑為 r .若點 A 與點
B 不重合，由于兩圓相內切，則 AC ＝ R － r ，由于
r ＝ BC ，∴ AC ＝ R － BC ，即 CA ＋ CB ＝ R . ∴動
點 C 到兩個定點 A ， B 的距離之和為常數 R . ∵ B
為圓內的定點，∴ AB ＜ R . ∴動點 C 的軌跡為橢
圓.若 A ， B 重合為一點，則此時動點 C 的軌跡為
以 R 為直徑的圓.
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13. 已知 F1， F2是橢圓 C ： ＋ ＝1的兩個焦點，點 M 在 C 上，則
MF1· MF2的最大值為 .
解析：由橢圓 C ： ＋ ＝1，得 MF1＋ MF2＝2×3＝6，則
MF1· MF2≤（ ）2＝32＝9，當且僅當 MF1＝ MF2＝3時等
號成立.
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14. 如圖所示，在圓 C ：（ x ＋1）2＋ y2＝25內有一點 A （1，0）. Q
為圓 C 上任意一點，線段 AQ 的垂直平分線與 C ， Q 的連線交于點
M ，當點 Q 在圓 C 上運動時，求點 M 的軌跡方程.
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解：如圖所示，連接 MA .
由題意知點 M 在線段 CQ 上，從而有 CQ ＝ MQ＋ MC .
又點 M 在 AQ 的垂直平分線上，
則 MA ＝ MQ ，故 MA ＋ MC ＝ CQ ＝5.
又 A （1，0）， C （－1，0），所以 AC ＝2，所以 MA ＋ MC ＞ AC ，故點 M 的軌跡是以（1，0），（－1，0）為焦點的橢圓，且2 a ＝5， c ＝1，
故 a ＝ ， b2＝ a2－ c2＝ －1＝ .
故點 M 的軌跡方程為 ＋ ＝1.
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15. 已知橢圓 C ： ＋ ＝1內有一點 M （2，3）， F1， F2分別為橢
圓的左、右焦點， P 為橢圓 C 上的一點，求：
（1） PM － PF1的最大值與最小值；
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解：由橢圓方程知 a ＝5， F1（－
3，0）， F2（3，0）.
如圖，連接 MF1并延長交橢圓于點 P1，
則 P1是使 PM － PF1取得最大值的點，
于是（ PM － PF1）max＝ MF1＝
＝ .
PM － PF1＝－（ PF1－ PM ），
則求 PM － PF1的最小值，即求 PF1－
PM 的最大值，
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延長 F1 M 交橢圓于點 P2，則 P2是使 PF1
－ PM 取得最大值的點，
即 PM － PF1取得最小值的點，
于是（ PM － PF1）min＝－ MF1＝－ .
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（2） PM ＋ PF1的最大值與最小值.
解：連接 PF2，由橢圓定義知 PF1＋ PF2＝2 a ＝10，則
PF1＝10－ PF2，
所以 PM ＋ PF1＝ PM ＋10－ PF2＝10＋（ PM － PF2），
如圖，連接 MF2并延長交橢圓于點 P3，則 P3是使 PM ＋ PF1
取得最大值的點，
于是（ PM ＋ PF1）max＝10＋ MF2＝10＋
＝10＋ .
PM ＋ PF1＝10－（ PF2－ PM ），
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延長 F2 M 交橢圓于點 P4，
則 P4是使 PF2－ PM 取得最大值的點，即 PM ＋ PF1取得最小
值的點，
于是（ PM ＋ PF1）min＝10－ MF2＝10－ .
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