資源簡介

第2課時　橢圓的定義與標準方程的應用
1.若方程＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是（　　）
A.（3，6）　　 B.（，6）
C.（3，）　　 D.（1，6）
2.（2024·鹽城質檢）點F是橢圓＋＝1的一個焦點，點P在橢圓上，線段PF的中點為N，且ON＝2（O為坐標原點），則線段PF的長為（　　）
A.2　　 B.3
C.4　　 D.2
3.已知F1，F2為橢圓＋＝1的兩個焦點，P為橢圓上一點，3PF2＝5PF1，則△PF1F2的面積為（　?。?br/>A.　　 B.6
C.8　　 D.2
4.（2024·宿遷月考）若直線y＝x＋2與橢圓＋＝1有兩個公共點，則m的取值范圍是（　?。?br/>A.（－∞，0）∪（1，＋∞）　　 B.（0，3）∪（3，＋∞）
C.（1，3）∪（3，＋∞）　　 D.（1，＋∞）
5.（多選）已知曲線C：＋＝1（λ＞0），則（　?。?br/>A.當λ＝3時，C是圓
B.當λ＝2時，C是橢圓且一焦點為（2，0）
C.當λ＝4時，C是橢圓且焦距為2
D.當0＜λ＜3時，C是焦點在y軸上的橢圓
6.（多選）已知點F1，F2為橢圓C的兩個焦點，橢圓C上存在點P，使得∠F1PF2＝90°，則橢圓C的方程可以是（　?。?br/>A.＋＝1　　 B.＋＝1
C.＋＝1　　 D.＋＝1
7.橢圓x2＋ky2＝1的焦距為，則k的值為　　　　.
8.已知F1，F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，點P在橢圓上，O是坐標原點，且｜｜＝，則△F1PF2的面積等于　　　　.
9.（2024·無錫月考）已知F1，F2為橢圓＋＝1的兩個焦點，過點F1的直線交橢圓于A，B兩點.若F2A＋F2B＝12，則AB＝　　　　.
10.已知橢圓C：＋y2＝1，直線l：x－y＋＝0，判斷直線l與橢圓C公共點個數，并求出公共點的坐標.
11.設P為橢圓＋＝1上的一點，F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，且∠F1PF2＝60°，則PF1·PF2＝（　?。?br/>A.　　　B.　　C.　　　D.
12.（多選）（2024·連云港質檢）橢圓C的方程為＋＝1，F1，F2是橢圓的兩個焦點，點M為橢圓上一點且在第一象限.若△MF1F2是等腰三角形，則下列結論正確的是（　　）
A.MF2＝2
B.cos∠MF2F1＝
C.點M到x軸的距離為
D.＝9
13.已知橢圓x2＋＝1的焦點為F1，F2，點M在橢圓上且∠F1MF2＝90°，則點M到x 軸的距離為　　　　.
14.已知方程＋＝1.
（1）若上述方程表示焦點在y軸上的橢圓，求實數m的取值范圍；
（2）若上述方程表示焦點在坐標軸上的橢圓，求實數m的取值范圍.
15.已知橢圓E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，點P在橢圓E上，∠F1PF2＝2θ.
（1）求△F1PF2的面積S；
（2）研究∠F1PF2的變化規律.
第2課時　橢圓的定義與標準方程的應用
1.B　方程＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則解得＜m＜6.故選B.
2.A　如圖所示，不妨設F為左焦點，F1為右焦點，連接PF1.∵N為PF的中點，且ON＝2，∴PF1＝4.由橢圓方程可知，2a＝6，根據橢圓定義有PF＋PF1＝2a＝6，∴PF＝2.故選A.
3.B　由＋＝1，得a＝4，c＝2，即PF1＋PF2＝2a＝8，F1F2＝4，又3PF2＝5PF1，則PF1＝3，PF2＝5，所以△PF1F2為直角三角形，∠PF1F2＝90°，所以＝PF1·F1F2＝×3×4＝6，故選B.
4.C　聯立直線和橢圓方程，得所以（3＋m）x2＋4mx＋m＝0，由題意知Δ＝16m2－4m（m＋3）＞0，解得m＜0或m＞1，因為＋＝1表示橢圓，所以m＞0且m≠3，所以m＞1且m≠3.
5.AC　對于A項，當λ＝3時，方程可化為x2＋y2＝6，曲線C是圓，A正確；對于B項，當λ＝2時，方程可化為＋x2＝1，曲線C是焦點在y軸上的橢圓，B錯誤；對于C項，當λ＝4時，曲線C：＋＝1是橢圓，且c2＝13－7＝6，所以2c＝2，C正確；對于D項，當λ＝1時，曲線C不是橢圓，D錯誤.故選A、C.
6.ACD　結合選項可設橢圓方程為＋＝1（a＞b＞0），并設橢圓與y軸正半軸的交點為B.若橢圓C上存在點P，使得∠F1PF2＝90°，則需∠F1BF2≥90°，∴B＋B≤F1，即a2＋a2≤4c2.又c2＝a2－b2，∴a2≥2b2，檢驗可得選項A、C、D滿足.故選A、C、D.
7.2或　解析：因為2c＝，所以c2＝.因為橢圓的標準方程為x2＋＝1，所以當焦點在x軸上時，a2＝1，b2＝，那么c2＝1－＝，所以k＝2；當焦點在y軸上時，a2＝，b2＝1，那么c2＝－1＝，所以k＝.綜上可得k＝2或.
8.　解析：橢圓＋＝1的半焦距c＝＝3，則F1F2＝2c＝6，設點P（x0，y0），于是消去x0得｜y0｜＝，所以△F1PF2的面積＝F1F2·｜y0｜＝×6×＝.
9.8　解析：由直線AB過橢圓的焦點F1，知AB＝F1A＋F1B，∴在△F2AB中，F2A＋F2B＋AB＝4a＝20，又F2A＋F2B＝12，∴AB＝8.
10.解：由得3x2＋4x＋4＝0，
即（x＋2）2＝0，解得
所以直線l與橢圓C有一個公共點，且公共點坐標為（－，）.
11.B　橢圓＋＝1，則a＝3，b＝2，c＝，F1F2＝2c＝2，PF1＋PF2＝2a＝6，兩邊平方得P＋P＋2PF1·PF2＝36?、?，在△PF1F2中，由余弦定理得F1＝P＋P－2PF1·PF2·cos 60°，即P＋P－PF1·PF2＝20?、?，由①②得PF1·PF2＝.故選B.
12.AC　如圖，因為橢圓的標準方程為＋＝1，所以a＝4，b＝，c＝＝＝3.因為點M在第一象限，且△MF1F2是等腰三角形，MF2＋MF1＝2a＝8，所以必是F1F2＝MF1.根據橢圓的定義，MF2＝2a－MF1＝2a－F1F2＝2a－2c＝2，故A正確；在△MF1F2中，MF1＝F1F2＝6，MF2＝2，由余弦定理：cos∠MF2F1＝＝＝，故B錯誤；sin∠MF2F1＝，M到x軸的距離為MF2·sin∠MF2F1＝2×＝，故C正確；＝×6×2×＝，故D錯誤.故選A、C.
13.0　解析：由橢圓x2＋＝1，可得a＝，b＝1，所以c＝＝1，所以F1（0，－1），F2（0，1），設M（x，y），因為∠F1MF2＝90°，在△F1MF2中，M＋M＝F1，即x2＋（y＋1）2＋x2＋（y－1）2＝4，可得x2＋y2＝1，又因為點M在橢圓上，可得x2＋＝1，聯立方程組解得y2＝0，即y＝0，所以點M到x軸的距離為0.
14.解：（1）依題意，有解得－9＜m＜8.
故實數m的取值范圍為（－9，8）.
（2）依題意，有解得－9＜m＜25且m≠8，
故實數m的取值范圍為（－9，8）∪（8，25）.
15.解：（1）如圖所示，由橢圓的定義，可得PF1＋PF2＝2a.
由余弦定理，可得F1＝P＋P－2·PF1·PF2·cos 2θ＝（PF1＋PF2）2－2·PF1·PF2－2·PF1·PF2·cos 2θ＝4a2－2PF1·PF2·（1＋cos 2θ）＝4c2，
∴PF1·PF2＝.
∴S＝PF1·PF2·sin 2θ＝··sin 2θ＝·b2＝b2·tan θ.
（2）∵2θ為△PF1F2的內角，
∴2θ∈（0，π），即θ∈（0，）.
令點P由點A向點B運動，則△PF1F2的邊F1F2不變，但F1F2上的高在逐漸增大，故S逐漸變大，從而tan θ逐漸變大，由θ∈（0，）可知，θ也逐漸變大.
由此可見，點P的縱坐標的絕對值越大，2θ也越大，當點P與點B重合時，∠F1PF2達到最大值.
2 / 2第2課時　橢圓的定義與標準方程的應用
題型一 直線與橢圓的公共點問題
【例1】　（鏈接教科書第84頁例4）已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＋＝1.試問當m取何值時，直線l與橢圓C：
（1）有兩個不同的公共點；
（2）有且只有一個公共點；
（3）沒有公共點.
通性通法
　　直線與橢圓的公共點問題，實際上是研究它們的方程組成的方程組的實數解或實數解的個數問題.即將直線方程與橢圓方程聯立的方程組通過消元后變為關于x（或y）的一元二次方程，判斷該方程的判別式與0的大小關系.
【跟蹤訓練】
求直線l：y＝－x＋1與橢圓C：＋y2＝1的公共點的坐標.
題型二 橢圓標準方程的識別
【例2】　（鏈接教科書第86頁習題8題）已知方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則t的取值范圍為　　　　.
通性通法
根據橢圓方程求參數的取值范圍
（1）給出方程＋＝1，其表示橢圓的條件是其表示焦點在x軸上的橢圓的條件是m＞n＞0，其表示焦點在y軸上的橢圓的條件是n＞m＞0；
（2）若給出橢圓方程Ax2＋By2＝C，則應先將該方程轉化為橢圓的標準方程的形式＋＝1，再研究其焦點的位置等情況.
【跟蹤訓練】
1.“0＜t＜1”是“曲線＋＝1表示橢圓”的（　?。?br/>A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.（2024·南通質檢）已知橢圓方程為kx2＋3y2－6k＝0（k≠0），焦距為4，則k＝　　　　.
題型三 橢圓中與焦點三角形有關的計算問題
【例3】　設P是橢圓＋＝1上一點，F1，F2是橢圓的焦點，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積.
【母題探究】
　（變條件）將本例中橢圓的方程改為“＋＝1”其余條件不變，求△F1PF2的面積.
通性通法
1.橢圓上的點P（x0，y0）（點P不在x軸上）與兩焦點F1，F2構成的△PF1F2稱為焦點三角形，解關于焦點三角形的問題時要充分利用橢圓的定義、正弦定理、余弦定理等知識.
2.焦點三角形的常用公式
（1）焦點三角形的周長L＝2a＋2c；
（2）在△PF1F2中，由余弦定理可得F1＝P＋P－2PF1·PF2·cos θ（θ＝∠F1PF2）；
（3）焦點三角形的面積＝PF1·PF2·sin θ（θ＝∠F1PF2）.
【跟蹤訓練】
1.設F1，F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P是橢圓上一點，且PF1∶PF2＝4∶3，則∠F1PF2＝　　　　.
2.（2024·常州質檢）已知橢圓＋＝1，點P是橢圓上一點，F1，F2是橢圓的焦點，且∠PF1F2＝120°，則△PF1F2的面積為　　　　.
1.已知橢圓＋＝1（m＞0）的左焦點為F1（－4，0），則m＝（　?。?br/>A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.9
2.已知橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點P在橢圓上，若PF1＝4，則∠F1PF2＝　　　　.
3.求直線y＝x＋1與橢圓x2＋＝1的公共點的坐標.
第2課時　橢圓的定義與標準方程的應用
【典型例題·精研析】
【例1】　解：直線l的方程與橢圓C的方程聯立，得
將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0， ③
關于x的一元二次方程的判別式Δ＝（8m）2－4×9×（2m2－4）＝－8m2＋144.
（1）由Δ＞0，得－3＜m＜3.
于是，當－3＜m＜3時，方程③有兩個不同的實數根，可知原方程組有兩組不同的實數解，這時直線l與橢圓C有兩個不同的公共點.
（2）由Δ＝0，得m＝±3，
也就是當m＝±3時，方程③有兩個相同的實數根，可知原方程組有兩組相同的實數解.這時直線l與橢圓C有兩個互相重合的公共點，即直線l與橢圓C有且只有一個公共點.
（3）由Δ＜0，得m＜－3或m＞3.
從而當m＜－3或m＞3時，方程③沒有實數根，可知原方程組沒有實數解，這時直線l與橢圓C沒有公共點.
跟蹤訓練
　解：聯立直線l與橢圓C的方程
得到x2＋3（－x＋1）2＝3，即2x2－3x＝0，
解得x1＝0，x2＝，
當x1＝0時，y1＝－x1＋1＝1；當x2＝時，y2＝－x2＋1＝－，
所以直線l與橢圓C的公共點的坐標為（0，1），（，－）.
【例2】?。?，）　解析：因為方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓，所以解得3＜t＜.所以t的取值范圍是（3，）.
跟蹤訓練
1.B　曲線＋＝1表示橢圓等價于解得0＜t＜1且t≠.所以“0＜t＜1”是“曲線＋＝1表示橢圓”的必要不充分條件.故選B.
2.1或5　解析：將方程kx2＋3y2－6k＝0化為＋＝1.∵焦距為4，∴2c＝4，即c＝2.當焦點在x軸上時，6－2k＝4，解得k＝1；當焦點在y軸上時，2k－6＝4，解得k＝5.綜上，k＝1或5.
【例3】　解：由橢圓方程知，a2＝25，b2＝，所以c2＝，
所以c＝，2c＝5.
在△F1PF2中，由余弦定理得，
F1＝P＋P－2PF1·PF2cos 60°，
即25＝P＋P－PF1·PF2. ①
由橢圓的定義，得10＝PF1＋PF2，
即100＝P＋P＋2PF1·PF2. ②
由②－①，得3PF1·PF2＝75，
所以PF1·PF2＝25，
所以＝PF1·PF2·sin 60°＝.
母題探究
　解：PF1＋PF2＝2a＝20，又F1F2＝2c＝12.
在△F1PF2中，由余弦定理知，
F1＝P＋P－2PF1·PF2·cos 60°，
即144＝（PF1＋PF2）2－3PF1·PF2，
所以PF1·PF2＝，
所以＝PF1·PF2·sin 60°＝.
跟蹤訓練
1.90°　解析：因為PF1∶PF2＝4∶3，所以可設PF1＝4k，PF2＝3k.由題意可知3k＋4k＝2a＝14，所以k＝2，所以PF1＝8，PF2＝6，因為F1F2＝10，P＋P＝102＝F1，所以∠F1PF2＝90°.
2.　解析：由＋＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，從而F1F2＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得P＝P＋F1－2PF1·F1F2cos∠PF1F2，即P＝P＋4＋2PF1①.由橢圓定義得PF1＋PF2＝2a＝4②.由①②聯立可得PF1＝.所以＝PF1·F1F2·sin∠PF1F2＝××2×＝.
隨堂檢測
1.B　由4＝（m＞0），解得m＝3.
2.120°　解析：由橢圓的定義知a2＝9，b2＝2，∴a＝3，c2＝a2－b2＝7，即c＝，∴F1F2＝2.∵PF1＝4，∴PF2＝2a－PF1＝2.∴cos∠F1PF2＝＝＝－，又0°＜∠F1PF2＜180°.∴∠F1PF2＝120°.
3.解：聯立
消去y，得3x2＋2x－1＝0，
解得x＝－1或x＝.
當x＝－1時，y＝0；當x＝時，y＝.
∴所求公共點的坐標為（－1，0）和（，）.
2 / 2(共55張PPT)
第2課時　
橢圓的定義與標準方程的應用
目錄
典型例題·精研析
01
知能演練·扣課標
02
典型例題·精研析
01
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 直線與橢圓的公共點問題
【例1】?。ㄦ溄咏炭茣?4頁例4）已知直線 l ： y ＝2 x ＋ m ，橢圓
C ： ＋ ＝1.試問當 m 取何值時，直線 l 與橢圓 C ：
（1）有兩個不同的公共點；
解：直線 l 的方程與橢圓 C 的方程聯立，得
將①代入②，整理得9 x2＋8 mx ＋2 m2－4＝0，　③
關于 x 的一元二次方程的判別式Δ＝（8 m ）2－4×9×（2 m2－
4）＝－8 m2＋144.
（1）由Δ＞0，得－3 ＜ m ＜3 .
于是，當－3 ＜ m ＜3 時，方程③有兩個不同的實數根，可
知原方程組有兩組不同的實數解，這時直線 l 與橢圓 C 有兩個不
同的公共點.
（2）有且只有一個公共點；
解：由Δ＝0，得 m ＝±3 ，
也就是當 m ＝±3 時，方程③有兩個相同的實數根，可知原
方程組有兩組相同的實數解.這時直線 l 與橢圓 C 有兩個互相重
合的公共點，即直線 l 與橢圓 C 有且只有一個公共點.
（3）沒有公共點.
解：由Δ＜0，得 m ＜－3 或 m ＞3 .
從而當 m ＜－3 或 m ＞3 時，方程③沒有實數根，可知原方
程組沒有實數解，這時直線 l 與橢圓 C 沒有公共點.
通性通法
　　直線與橢圓的公共點問題，實際上是研究它們的方程組成的方程
組的實數解或實數解的個數問題.即將直線方程與橢圓方程聯立的方
程組通過消元后變為關于 x （或 y ）的一元二次方程，判斷該方程的判
別式與0的大小關系.
【跟蹤訓練】
求直線 l ： y ＝－ x ＋1與橢圓 C ： ＋ y2＝1的公共點的坐標.
解：聯立直線 l 與橢圓 C 的方程
得到 x2＋3（－ x ＋1）2＝3，即2 x2－3 x ＝0，
解得 x1＝0， x2＝ ，
當 x1＝0時， y1＝－ x1＋1＝1；當 x2＝ 時， y2＝－ x2＋1＝－ ，
所以直線 l 與橢圓 C 的公共點的坐標為（0，1），（ ，－ ）.
題型二 橢圓標準方程的識別
【例2】?。ㄦ溄咏炭茣?6頁習題8題）已知方程 ＋ ＝1表示
焦點在 x 軸上的橢圓，則 t 的取值范圍為 .
解析：因為方程 ＋ ＝1表示焦點在 x 軸上的橢圓，所以
解得3＜ t ＜ .所以 t 的取值范圍是（3， ）.
（3， ）　
通性通法
根據橢圓方程求參數的取值范圍
（1）給出方程 ＋ ＝1，其表示橢圓的條件是其表示焦
點在 x 軸上的橢圓的條件是 m ＞ n ＞0，其表示焦點在 y 軸上的橢
圓的條件是 n ＞ m ＞0；
（2）若給出橢圓方程 Ax2＋ By2＝ C ，則應先將該方程轉化為橢圓的
標準方程的形式 ＋ ＝1，再研究其焦點的位置等情況.
【跟蹤訓練】
1. “0＜ t ＜1”是“曲線 ＋ ＝1表示橢圓”的（　?。?br/>A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
解析：　曲線 ＋ ＝1表示橢圓等價于解得0＜ t
＜1且 t ≠ .所以“0＜ t ＜1”是“曲線 ＋ ＝1表示橢圓”的必
要不充分條件.故選B.
2. （2024·南通質檢）已知橢圓方程為 kx2＋3 y2－6 k ＝0（ k ≠0），焦
距為4，則 k ＝ .
解析：將方程 kx2＋3 y2－6 k ＝0化為 ＋ ＝1.∵焦距為4，∴2 c
＝4，即 c ＝2.當焦點在 x 軸上時，6－2 k ＝4，解得 k ＝1；當焦點
在 y 軸上時，2 k －6＝4，解得 k ＝5.綜上， k ＝1或5.
1或5　
題型三 橢圓中與焦點三角形有關的計算問題
【例3】　設 P 是橢圓 ＋ ＝1上一點， F1， F2是橢圓的焦點，若∠
F1 PF2＝60°，求△ F1 PF2的面積.
解：由橢圓方程知， a2＝25， b2＝ ，所以 c2＝ ，
所以 c ＝ ，2 c ＝5.
在△ F1 PF2中，由余弦定理得，
F1 ＝ P ＋ P －2 PF1· PF2 cos 60°，
即25＝ P ＋ P － PF1· PF2.　①
由橢圓的定義，得10＝ PF1＋ PF2，
即100＝ P ＋ P ＋2 PF1· PF2.　②
由②－①，得3 PF1· PF2＝75，
所以 PF1· PF2＝25，
所以 ＝ PF1· PF2· sin 60°＝ .
【母題探究】
?。ㄗ儣l件）將本例中橢圓的方程改為“ ＋ ＝1”其余條件不
變，求△ F1 PF2的面積.
解： PF1＋ PF2＝2 a ＝20，又 F1 F2＝2 c ＝12.
在△ F1 PF2中，由余弦定理知，
F1 ＝ P ＋ P －2 PF1· PF2· cos 60°，
即144＝（ PF1＋ PF2）2－3 PF1· PF2，
所以 PF1· PF2＝ ，
所以 ＝ PF1· PF2· sin 60°＝ .
通性通法
1. 橢圓上的點 P （ x0， y0）（點 P 不在 x 軸上）與兩焦點 F1， F2構成
的△ PF1 F2稱為焦點三角形，解關于焦點三角形的問題時要充分利
用橢圓的定義、正弦定理、余弦定理等知識.
（1）焦點三角形的周長 L ＝2 a ＋2 c ；
（2）在△ PF1 F2中，由余弦定理可得 F1 ＝ P ＋ P －2
PF1· PF2· cos θ（θ＝∠ F1 PF2）；
（3）焦點三角形的面積 ＝ PF1· PF2· sin θ（θ＝∠ F1
PF2）.
2. 焦點三角形的常用公式
【跟蹤訓練】
1. 設 F1， F2分別是橢圓 ＋ ＝1的左、右焦點， P 是橢圓上一點，
且 PF1∶ PF2＝4∶3，則∠ F1 PF2＝ .
解析：因為 PF1∶ PF2＝4∶3，所以可設 PF1＝4 k ， PF2＝3 k .由題
意可知3 k ＋4 k ＝2 a ＝14，所以 k ＝2，所以 PF1＝8， PF2＝6，因
為 F1 F2＝10， P ＋ P ＝102＝ F1 ，所以∠ F1 PF2＝90°.
90°　
2. （2024·常州質檢）已知橢圓 ＋ ＝1，點 P 是橢圓上一點， F1，
F2是橢圓的焦點，且∠ PF1 F2＝120°，則△ PF1 F2的面積為 .
　
解析：由 ＋ ＝1，可知 a ＝2， b ＝ ，所以 c ＝ ＝
1，從而 F1 F2＝2 c ＝2.在△ PF1 F2中，由余弦定理得 P ＝ P ＋
F1 －2 PF1· F1 F2 cos ∠ PF1 F2，即 P ＝ P ＋4＋2 PF1①.由橢
圓定義得 PF1＋ PF2＝2 a ＝4②.由①②聯立可得 PF1＝ .所以
＝ PF1· F1 F2· sin ∠ PF1 F2＝ × ×2× ＝ .
1. 已知橢圓 ＋ ＝1（ m ＞0）的左焦點為 F1（－4，0），則 m ＝
（　?。?br/>A. 2 B. 3
C. 4 D. 9
解析：　由4＝ （ m ＞0），解得 m ＝3.
2. 已知橢圓 ＋ ＝1的左、右焦點分別為 F1， F2，點 P 在橢圓上，
若 PF1＝4，則∠ F1 PF2＝ .
解析：由橢圓的定義知 a2＝9， b2＝2，∴ a ＝3， c2＝ a2－ b2＝7，
即 c ＝ ，∴ F1 F2＝2 .∵ PF1＝4，∴ PF2＝2 a － PF1＝2.∴ cos
∠ F1 PF2＝ ＝ ＝－ ，又0°＜∠ F1
PF2＜180°.∴∠ F1 PF2＝120°.
120°　
3. 求直線 y ＝ x ＋1與橢圓 x2＋ ＝1的公共點的坐標.
解：聯立
消去 y ，得3 x2＋2 x －1＝0，解得 x ＝－1或 x ＝ .
當 x ＝－1時， y ＝0；當 x ＝ 時， y ＝ .
∴所求公共點的坐標為（－1，0）和（ ， ）.
知能演練·扣課標
02
課后鞏固 核心素養落地
1. 若方程 ＋ ＝1表示焦點在 y 軸上的橢圓，則 m 的取值范圍是
（　?。?br/>A. （3，6）
D. （1，6）
解析：　方程 ＋ ＝1表示焦點在 y 軸上的橢圓，則
解得 ＜ m ＜6.故選B.
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2. （2024·鹽城質檢）點 F 是橢圓 ＋ ＝1的一個焦點，點 P 在橢圓
上，線段 PF 的中點為 N ，且 ON ＝2（ O 為坐標原點），則線段 PF
的長為（　?。?br/>A. 2 B. 3
C. 4
解析：　如圖所示，不妨設 F 為左焦點， F1為右焦
點，連接 PF1.∵ N 為 PF 的中點，且 ON ＝2，∴ PF1
＝4.由橢圓方程可知，2 a ＝6，根據橢圓定義有 PF
＋ PF1＝2 a ＝6，∴ PF ＝2.故選A.
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3. 已知 F1， F2為橢圓 ＋ ＝1的兩個焦點， P 為橢圓上一點，3 PF2
＝5 PF1，則△ PF1 F2的面積為（　?。?br/>B. 6
C. 8
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解析：　由 ＋ ＝1，得 a ＝4， c ＝2，即 PF1＋ PF2＝2 a ＝8，
F1 F2＝4，又3 PF2＝5 PF1，則 PF1＝3， PF2＝5，所以△ PF1 F2為直
角三角形，∠ PF1 F2＝90°，所以 ＝ PF1· F1 F2＝ ×3×4
＝6，故選B.
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4. （2024·宿遷月考）若直線 y ＝ x ＋2與橢圓 ＋ ＝1有兩個公共
點，則 m 的取值范圍是（　?。?br/>A. （－∞，0）∪（1，＋∞）
B. （0，3）∪（3，＋∞）
C. （1，3）∪（3，＋∞）
D. （1，＋∞）
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解析：　聯立直線和橢圓方程，得所以（3＋
m ） x2＋4 mx ＋ m ＝0，由題意知Δ＝16 m2－4 m （ m ＋3）＞0，解
得 m ＜0或 m ＞1，因為 ＋ ＝1表示橢圓，所以 m ＞0且 m ≠3，
所以 m ＞1且 m ≠3.
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5. （多選）已知曲線 C ： ＋ ＝1（λ＞0），則（　?。?br/>A. 當λ＝3時， C 是圓
B. 當λ＝2時， C 是橢圓且一焦點為（2，0）
D. 當0＜λ＜3時， C 是焦點在 y 軸上的橢圓
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解析：　對于A項，當λ＝3時，方程可化為 x2＋ y2＝6，曲線 C
是圓，A正確；對于B項，當λ＝2時，方程可化為 ＋ x2＝1，曲
線 C 是焦點在 y 軸上的橢圓，B錯誤；對于C項，當λ＝4時，曲線
C ： ＋ ＝1是橢圓，且 c2＝13－7＝6，所以2 c ＝2 ，C正
確；對于D項，當λ＝1時，曲線 C 不是橢圓，D錯誤.故選A、C.
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6. （多選）已知點 F1， F2為橢圓 C 的兩個焦點，橢圓 C 上存在點 P ，
使得∠ F1 PF2＝90°，則橢圓 C 的方程可以是（　?。?br/>1
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解析：　結合選項可設橢圓方程為 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），
并設橢圓與 y 軸正半軸的交點為 B . 若橢圓 C 上存在點 P ，使得∠
F1 PF2＝90°，則需∠ F1 BF2≥90°，∴ B ＋ B ≤ F1 ，即 a2
＋ a2≤4 c2.又 c2＝ a2－ b2，∴ a2≥2 b2，檢驗可得選項A、C、D滿
足.故選A、C、D.
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7. 橢圓 x2＋ ky2＝1的焦距為 ，則 k 的值為 　2或 　.
解析：因為2 c ＝ ，所以 c2＝ .因為橢圓的標準方程為 x2＋ ＝
1，所以當焦點在 x 軸上時， a2＝1， b2＝ ，那么 c2＝1－ ＝ ，所
以 k ＝2；當焦點在 y 軸上時， a2＝ ， b2＝1，那么 c2＝ －1＝ ，
所以 k ＝ .綜上可得 k ＝2或 .
2或 　
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8. 已知 F1， F2分別是橢圓 ＋ ＝1的左、右焦點，點 P 在橢圓上，
O 是坐標原點，且｜ ｜＝ ，則△ F1 PF2的面積等于 　 　.
解析：橢圓 ＋ ＝1的半焦距 c ＝ ＝3，則 F1 F2＝2 c ＝
6，設點 P （ x0， y0），于是 消去 x0得｜ y0｜＝
，所以△ F1 PF2的面積 ＝ F1 F2·｜ y0｜＝ ×6× ＝
.
　
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9. （2024·無錫月考）已知 F1， F2為橢圓 ＋ ＝1的兩個焦點，過
點 F1的直線交橢圓于 A ， B 兩點.若 F2 A ＋ F2 B ＝12，則 AB ＝ .
解析：由直線 AB 過橢圓的焦點 F1，知 AB ＝ F1 A ＋ F1 B ，∴在
△ F2 AB 中， F2 A ＋ F2 B ＋ AB ＝4 a ＝20，又 F2 A ＋ F2 B ＝
12，∴ AB ＝8.
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10. 已知橢圓 C ： ＋ y2＝1，直線 l ： x － y ＋ ＝0，判斷直線 l 與
橢圓 C 公共點個數，并求出公共點的坐標.
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解：由得3 x2＋4 x ＋4＝0，
即（ x ＋2）2＝0，解得
所以直線 l 與橢圓 C 有一個公共點，且公共點坐標為（－ ， ）.
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11. 設 P 為橢圓 ＋ ＝1上的一點， F1， F2分別為橢圓的左、右焦
點，且∠ F1 PF2＝60°，則 PF1· PF2＝（　?。?br/>1
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解析：　橢圓 ＋ ＝1，則 a ＝3， b ＝2， c ＝ ， F1 F2＝2 c
＝2 ， PF1＋ PF2＝2 a ＝6，兩邊平方得 P ＋ P ＋2 PF1· PF2
＝36　①，在△ PF1 F2中，由余弦定理得 F1 ＝ P ＋ P －2
PF1· PF2· cos 60°，即 P ＋ P － PF1· PF2＝20?、?，由①②得
PF1· PF2＝ .故選B.
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12. （多選）（2024·連云港質檢）橢圓 C 的方程為 ＋ ＝1， F1，
F2是橢圓的兩個焦點，點 M 為橢圓上一點且在第一象限.若△ MF1
F2是等腰三角形，則下列結論正確的是（　?。?br/>A. MF2＝2
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解析：　如圖，因為橢圓的標準方程為
＋ ＝1，所以 a ＝4， b ＝ ， c ＝
＝ ＝3.因為點 M 在第一象限，且△
MF1 F2是等腰三角形， MF2＋ MF1＝2 a ＝8，所以必是 F1 F2＝ MF1.根據橢圓的定義， MF2＝2 a － MF1＝2 a － F1 F2＝2 a －2 c ＝2，故A正確；在△ MF1 F2中， MF1＝ F1 F2＝6， MF2＝2，由余弦定理： cos ∠ MF2 F1＝ ＝ ＝ ，故B錯誤；
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sin ∠ MF2 F1＝ ， M 到 x 軸的距離為 MF2· sin ∠
MF2 F1＝2× ＝ ，故C正確； ＝
×6×2× ＝ ，故D錯誤.故選A、C.
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13. 已知橢圓 x2＋ ＝1的焦點為 F1， F2，點 M 在橢圓上且∠ F1 MF2
＝90°，則點 M 到 x 軸的距離為 .
解析：由橢圓 x2＋ ＝1，可得 a ＝ ， b ＝1，所以 c ＝
＝1，所以 F1（0，－1）， F2（0，1），設 M （ x ，
y ），因為∠ F1 MF2＝90°，在△ F1 MF2中， M ＋ M ＝ F1
，即 x2＋（ y ＋1）2＋ x2＋（ y －1）2＝4，可得 x2＋ y2＝1，又
因為點 M 在橢圓上，可得 x2＋ ＝1，聯立方程組
解得 y2＝0，即 y ＝0，所以點 M 到 x 軸的距離為0.
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14. 已知方程 ＋ ＝1.
（1）若上述方程表示焦點在 y 軸上的橢圓，求實數 m 的取值
范圍；
解：依題意，有解得－9＜ m ＜8.
故實數 m 的取值范圍為（－9，8）.
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（2）若上述方程表示焦點在坐標軸上的橢圓，求實數 m 的取
值范圍.
解：依題意，有解得－9＜ m ＜25
且 m ≠8，
故實數 m 的取值范圍為（－9，8）∪（8，25）.
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15. 已知橢圓 E ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦點分別為 F1，
F2，點 P 在橢圓 E 上，∠ F1 PF2＝2θ.
（1）求△ F1 PF2的面積 S ；
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解：如圖所示，由橢圓的定義，可
得 PF1＋ PF2＝2 a .
由余弦定理，可得 F1 ＝ P ＋ P －
2· PF1· PF2· cos 2θ＝（ PF1＋ PF2）2－
2· PF1· PF2－2· PF1· PF2· cos 2θ＝4 a2－2
PF1· PF2·（1＋ cos 2θ）＝4 c2，
∴ PF1· PF2＝ .
∴ S ＝ PF1· PF2· sin 2θ＝ · · sin
2θ＝ · b2＝ b2·tan θ.
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（2）研究∠ F1 PF2的變化規律.
解：∵2θ為△ PF1 F2的內角，
∴2θ∈（0，π），即θ∈（0， ）.
令點 P 由點 A 向點 B 運動，則△ PF1 F2的邊 F1 F2不變，但 F1
F2上的高在逐漸增大，故 S 逐漸變大，從而tan θ逐漸變
大，由θ∈（0， ）可知，θ也逐漸變大.
由此可見，點 P 的縱坐標的絕對值越大，2θ也越大，當點 P
與點 B 重合時，∠ F1 PF2達到最大值.
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