資源簡介

直線與橢圓的位置關系
題型一 直線與橢圓的相交弦問題
【例1】　已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為2.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l：y＝x＋m交橢圓C于A，B兩點，且AB＝，求m的值.
通性通法
求弦長的兩種方法
（1）求出直線與橢圓的兩交點坐標，用兩點間距離公式求弦長；
（2）聯立直線與橢圓的方程，消元得到關于一個未知數的一元二次方程，利用弦長公式：P1P2＝·（或P1P2＝ ·），其中x1，x2（y1，y2）是上述一元二次方程的兩根，由根與系數的關系求出兩根之和與兩根之積后代入公式求得弦長.
【跟蹤訓練】
已知斜率為2的直線l經過橢圓＋＝1的右焦點F2，與橢圓相交于A，B兩點，求弦AB的長.
題型二 直線與橢圓的中點弦問題
【例2】　已知橢圓＋＝1的弦AB的中點M的坐標為（2，1），求直線AB的方程.
通性通法
解決橢圓“中點弦”問題的方法
【跟蹤訓練】
過點M（1，1）作斜率為－的直線與橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）相交于A，B兩點，若點M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為　　　　.
題型三 與橢圓有關的最值（范圍）問題
【例3】　在橢圓＋＝1上求一點P，使它到直線l：3x－2y－16＝0的距離最短，并求出最短距離.
通性通法
解決與橢圓有關的最值問題的常用方法
（1）利用定義轉化為幾何問題處理；
（2）利用數形結合，挖掘數學表達式的幾何特征，進而求解；
（3）利用函數最值的研究方法，將其轉化為函數的最值問題來處理，此時，應注意橢圓中x，y的取值范圍，常常是化為閉區間上的二次函數的最值問題來求解.
【跟蹤訓練】
1.若點（x，y）在橢圓4x2＋y2＝4上，則的最小值為（　　）
A.1　　 B.－1
C.－　　 D.以上都不正確
2.已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左頂點為A（－2，0），離心率為.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）斜率為1的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，求PQ的最大值.
1.已知直線l：x＋y－3＝0，橢圓＋y2＝1，則直線與橢圓的位置關系是（　　）
A.相離　B.相切　C.相交　 D.相交或相切
2.過橢圓＋＝1（a＞b＞0）的焦點F（c，0）的弦中最短弦長是（　　）
A.　　 B.
C.　　 D.
3.若直線y＝x＋1和橢圓＋＝1交于A，B兩點，則線段AB的長為　　　　.
4.已知橢圓C的焦點F1（－2，0），F2（2，0），且長軸長為6，設直線y＝x＋2交橢圓C于A，B兩點，求線段AB的中點坐標.
培優課　直線與橢圓的位置關系
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）由題意可得
解得a＝2，b＝1，所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2）.
由消去y并整理，得x2＋2mx＋2m2－2＝0，易知Δ＞0，即（2m）2－4（2m2－2）＞0，
解得－＜m＜.
所以x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2，
所以AB＝｜x1－x2｜＝×＝×＝，解得m＝±1.
跟蹤訓練
　解：因為直線l過橢圓＋＝1的右焦點F2（1，0），
又直線斜率為2，所以直線l的方程為y＝2（x－1），即2x－y－2＝0.
法一　解方程組
得交點A（0，－2），B（，），
所以AB＝＝
＝＝.
法二　設A（x1，y1），B（x2，y2），
由方程組消去y得3x2－5x＝0，
因為Δ＝（－5）2＝25＞0，則x1＋x2＝，x1x2＝0.
所以AB＝
＝
＝
＝＝.
【例2】　解：法一　由題意可知直線AB的斜率存在，
故設直線AB的方程為y－1＝k（x－2）.
將其代入橢圓方程并整理，得（4k2＋1）x2－8（2k2－k）x＋4（2k－1）2－16＝0.
設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是上述方程的兩個根，
于是x1＋x2＝.
又M為線段AB的中點，
所以＝＝2，解得k＝－.
故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.
法二　設A（x1，y1），B（x2，y2），x1≠x2.
因為M（2，1）為線段AB的中點，
所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B兩點在橢圓上，
所以
①－②，得（－）＋4（－）＝0，
于是（x1＋x2）（x1－x2）＋4（y1＋y2）·（y1－y2）＝0.
所以＝－＝－＝－，即kAB＝－.
故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.
跟蹤訓練
　　解析：設A（x1，y1），B（x2，y2），則＋＝1　①，＋＝1　②.因為點M是線段AB的中點，所以＝1，＝1.因為直線AB的方程是y＝－（x－1）＋1，所以y1－y2＝－（x1－x2）.將①②兩式相減，可得＋＝0，即＋（－）·＝0，所以a＝b，所以c＝b，所以e＝＝.
【例3】　解：設與橢圓相切并與l平行的直線方程為y＝x＋m，
代入＋＝1，
消去y并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
由Δ＝9m2－16（m2－7）＝0得m2＝16，
∴m＝±4，
故兩切線方程為y＝x＋4和y＝x－4，
顯然y＝x－4，即3x－2y－8＝0距l最近，
它們之間的距離即為所求最短距離，且y＝x－4與橢圓的切點即為所求點P.
故所求最短距離為d＝＝＝.
由得
即P（，－）.
跟蹤訓練
1.C　設＝k，則y＝k（x－2）.由消去y，整理得（k2＋4）x2－4k2x＋4（k2－1）＝0，由題意得Δ＝16k4－4×4（k2－1）（k2＋4）≥0，解得－≤k≤，所以的最小值為－.故選C.
2.解：（1）設橢圓C的標準方程為＋＝1（a＞b＞0）.
由題意得解得c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以橢圓C的標準方程為＋＝1.
（2）設P（x1，y1），Q（x2，y2），直線l的方程為y＝x＋t.
由得7x2＋8tx＋4（t2－3）＝0，
由Δ＝（8t）2－112（t2－3）＞0，得0≤t2＜7，則x1＋x2＝－t，x1x2＝，
所以PQ＝·｜x1－x2｜
＝·
＝·
＝·，
又0≤t2＜7，所以當t＝0時，可得PQmax＝.
隨堂檢測
1.A　把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，得＋（3－x）2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝（－24）2－4×5×32＝－64＜0，∴直線與橢圓相離.
2.A　最短弦是過焦點F（c，0）且與焦點所在坐標軸垂直的弦.將點（c，y）的坐標代入橢圓＋＝1，得y＝±，故最短弦長是.
3.　解析：由消去y得3x2＋4x－2＝0.設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1x2＝－，x1＋x2＝－，所以AB＝＝·＝×＝.
4.解：由已知條件得橢圓焦點在x軸上，
其中c＝2，a＝3，從而b＝1，
其標準方程為＋y2＝1，
聯立方程消去y得10x2＋36x＋27＝0，
設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2＝－，
設中點坐標為（x0，y0），則x0＝＝－，
所以y0＝x0＋2＝，
所以線段AB的中點坐標為（－，）.
2 / 2培優課　直線與橢圓的位置關系
1.直線y＝x＋1與橢圓＋＝1的位置關系是（　　）
A.相交　　B.相切　　C.相離　　D.無法判斷
2.若直線y＝kx＋2與橢圓＋＝1相切，則斜率k＝（　　）
A.　　B.－　　C.±　　D.±
3.直線x－y＋1＝0被橢圓＋y2＝1所截得的弦AB＝（　　）
A.　　B.　　C.2　　D.3
4.橢圓4x2＋9y2＝144內有一點P（3，2），以P為中點的弦所在直線的斜率為（　　）
A.－　　B.－　　C.－　　D.－
5.已知F是橢圓＋＝1的一個焦點，AB為過橢圓中心的一條弦，則△ABF面積的最大值為（　　）
A.6　　B.15　　C.20　　D.12
6.設P，Q分別為圓x2＋（y－6）2＝2和橢圓＋y2＝1上的點，則P，Q兩點間的最大距離是（　　）
A.5　　B.＋　　C.7＋　　D.6
7.（多選）已知橢圓C：＋＝1內一點M（1，），直線l與橢圓C交于A，B兩點，且M是線段AB的中點，則下列說法正確的是（　　）
A.橢圓的焦點坐標為（2，0），（－2，0）　　B.橢圓C的長軸長為4
C.直線l的方程為2x＋2y－3＝0　　D.AB＝
8.已知F1，F2是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在點P，使∠F1PF2＝90°，則橢圓的離心率的取值范圍是　　　　.
9.若橢圓＋＝1的弦AB恰好被點M（1，1）平分，則AB的直線方程為　　　　.
10.已知動點P（x，y）在橢圓＋＝1上，若A點坐標為（3，0），｜｜＝1，且·＝0，則｜｜的最小值是　　　　.
11.橢圓＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，且橢圓與直線x＋2y＋8＝0相交于P，Q兩點，PQ＝，求橢圓的方程.
12.已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率e＝，焦距為2.
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知橢圓C與直線x－y＋m＝0相交于不同的兩點M，N，且線段MN的中點不在圓x2＋y2＝1內，求實數m的取值范圍.
13.如圖所示，已知焦點在x軸上的橢圓C，長軸是短軸的3倍，且經過點（1，），過點（1，0）的直線l交橢圓C于A，B兩點.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）求△AOB面積的最大值.
培優課　直線與橢圓的位置關系
1.A　法一　聯立直線與橢圓的方程得消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×（－15）＞0，所以直線與橢圓相交.
法二　直線過點（0，1），而0＋＜1，即點（0，1）在橢圓內部，所以可推斷直線與橢圓相交.
2.C　把y＝kx＋2代入＋＝1，得（2＋3k2）x2＋12kx＋6＝0，由題意知Δ＝0，所以k2＝，所以k＝±.
3.A　由得交點為（0，1），（－，－），
則AB＝＝.
4.A　設以P為中點的弦所在的直線與橢圓交于點A（x1，y1），B（x2，y2），斜率為k，則4＋9＝144，4＋9＝144，兩式相減，得4（x1＋x2）·（x1－x2）＋9（y1＋y2）（y1－y2）＝0.又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，＝k，所以k＝－.
5.D　由題意知，S△ABF＝·OF·｜y1－y2｜≤·OF·2b＝12.
6.D　設圓心為點C，則圓x2＋（y－6）2＝2的圓心為C（0，6），半徑r＝.設點Q（x0，y0）是橢圓上任意一點，則＋＝1，即＝10－10.由≥0，解得y0∈[－1，1].CQ＝＝
＝
＝ ，當y0＝－時，CQ有最大值5，則P，Q兩點間的最大距離為5＋r＝6.故選D.
7.BCD　由題意得a2＝4，b2＝2，所以c2＝4－2＝2，故c＝，故焦點坐標為（，0），（－，0），A錯誤；因為a＝2，所以長軸長為2a＝4，B正確；設點A（x1，y1），B（x2，y2），則由＋＝1，＋＝1，兩式相減可得，－＋2（－）＝0，整理得·＝－，因為M是線段AB的中點，M（1，），所以＝，進而＝－1，所以直線l的方程為y－＝－（x－1），整理得2x＋2y－3＝0，C正確；直線2x＋2y－3＝0與橢圓聯立得，6x2－12x＋1＝0，所以x2＋x1＝2，x2x1＝，由弦長公式得AB＝×＝，D正確.故選B、C、D.
8.［，1）　解析：由橢圓性質知：當P為橢圓上下頂點時∠F1PF2最大，所以橢圓上存在點P使∠F1PF2＝90°，只需∠F1PF2最大的情況下，有cos∠F1PF2＝＝1－2e2≤0，又橢圓離心率0＜e＜1，故≤e＜1.
9.4x＋3y－7＝0　解析：由題意，直線AB斜率存在，設A（x1，y1），B（x2，y2），則有＝1，＝1，A，B在橢圓＋＝1上，有＋＝1，＋＝1，兩式相減，得＝－，即＝－，得＝－，即直線AB的斜率為－，則AB的直線方程為y－1＝－（x－1），即4x＋3y－7＝0.
10.　解析：易知點A（3，0）是橢圓的右焦點.∵·＝0，∴⊥.∴｜｜2＝｜｜2－｜｜2＝｜｜2－1，∵橢圓右頂點到右焦點A的距離最小，故｜｜min＝2，∴｜｜min＝.
11.解：∵e＝，∴＝，即c2＝a2，∴b2＝a2－c2＝a2.
∴橢圓的方程為x2＋4y2＝a2，與方程x＋2y＋8＝0聯立并消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0，
由Δ＞0，得a2＞32.
設點P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1＋x2＝－8，x1x2＝.
由弦長公式得PQ2＝（1＋）·｜x1－x2｜2＝（1＋）·[（x1＋x2）2－4x1x2]，即10＝×[64－2（64－a2）]，解得a2＝36.∴橢圓的方程為x2＋4y2＝36，即＋＝1.
12.解：（1）由題意知e＝＝，2c＝2，解得a＝，c＝1，又a2－b2＝c2，所以a2＝2，b2＝1.
故橢圓的方程為＋y2＝1.
（2）聯立
消去y可得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.
則Δ＝16m2－12（2m2－2）＞0 －＜m＜.
設M（x1，y1），N（x2，y2），
則x1＋x2＝－，則y1＋y2＝.
所以MN的中點坐標為，
因為MN的中點不在圓x2＋y2＝1內，
所以＋≥1 m≥或m≤－，
綜上，可知－＜m≤－或≤m＜.
13.解：（1）由題意設橢圓C的標準方程為＋＝1（a＞b＞0），則 C：＋y2＝1.
（2）設直線l：x＝my＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），
聯立 （m2＋9）y2＋2my－8＝0，
由根與系數的關系知，
｜y1－y2｜＝（y1＋y2）2－4y1y2＝，
S△OAB＝×1×｜y1－y2｜＝＝≤＝，
所以當m＝0時，△AOB的最大面積為.
1 / 2(共54張PPT)
培優課　
直線與橢圓的位置關系
目錄
典型例題·精研析
01
知能演練·扣課標
02
典型例題·精研析
01
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 直線與橢圓的相交弦問題
【例1】　已知橢圓 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的離心率為 ，短軸
的一個端點到右焦點的距離為2.
（1）求橢圓 C 的方程；
解：由題意可得
解得 a ＝2， b ＝1，所以橢圓 C 的方程為 ＋ y2＝1.
（2）設直線 l ： y ＝ x ＋ m 交橢圓 C 于 A ， B 兩點，且 AB ＝ ，求 m
的值.
解：設 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）.
由消去 y 并整理，得 x2＋2 mx ＋2 m2－2＝0，易
知Δ＞0，即（2 m ）2－4（2 m2－2）＞0，
解得－ ＜ m ＜ .
所以 x1＋ x2＝－2 m ， x1 x2＝2 m2－2，
所以 AB ＝ ｜ x1－ x2｜＝ × ＝ ×
＝ ，解得 m ＝±1.
通性通法
求弦長的兩種方法
（1）求出直線與橢圓的兩交點坐標，用兩點間距離公式求弦長；
（2）聯立直線與橢圓的方程，消元得到關于一個未知數的一元二次
方程，利用弦長公式： P1 P2＝ ·
（或 P1 P2＝ · ），其中 x1， x2
（ y1， y2）是上述一元二次方程的兩根，由根與系數的關系求出
兩根之和與兩根之積后代入公式求得弦長.
【跟蹤訓練】
已知斜率為2的直線 l 經過橢圓 ＋ ＝1的右焦點 F2，與橢圓相交于
A ， B 兩點，求弦 AB 的長.
解：因為直線 l 過橢圓 ＋ ＝1的右焦點 F2（1，0），
又直線斜率為2，所以直線 l 的方程為 y ＝2（ x －1），即2 x － y
－2＝0.
法一　解方程組
得交點 A （0，－2）， B （ ， ），
所以 AB ＝ ＝
＝ ＝ .
法二　設 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
由方程組消去 y 得3 x2－5 x ＝0，
因為Δ＝（－5）2＝25＞0，則 x1＋ x2＝ ， x1 x2＝0.
所以 AB ＝
＝
＝
＝ ＝ .
題型二 直線與橢圓的中點弦問題
【例2】　已知橢圓 ＋ ＝1的弦 AB 的中點 M 的坐標為（2，1），
求直線 AB 的方程.
解：法一　由題意可知直線 AB 的斜率存在，
故設直線 AB 的方程為 y －1＝ k （ x －2）.
將其代入橢圓方程并整理，得（4 k2＋1） x2－8（2 k2－ k ） x ＋4（2 k
－1）2－16＝0.
設 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），則 x1， x2是上述方程的兩個根，
于是 x1＋ x2＝ .
又 M 為線段 AB 的中點，
所以 ＝ ＝2，解得 k ＝－ .
故所求直線的方程為 x ＋2 y －4＝0.
法二　設 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， x1≠ x2.
因為 M （2，1）為線段 AB 的中點，
所以 x1＋ x2＝4， y1＋ y2＝2.
又 A ， B 兩點在橢圓上，
所以
①－②，得（ － ）＋4（ － ）＝0，
于是（ x1＋ x2）（ x1－ x2）＋4（ y1＋ y2）（ y1－ y2）＝0.
所以 ＝－ ＝－ ＝－ ，即 kAB ＝－ .
故所求直線的方程為 x ＋2 y －4＝0.
通性通法
解決橢圓“中點弦”問題的方法
【跟蹤訓練】
過點 M （1，1）作斜率為－ 的直線與橢圓 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞
0）相交于 A ， B 兩點，若點 M 是線段 AB 的中點，則橢圓 C 的離心率
為 .
　
解析：設 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），則 ＋ ＝1　①， ＋ ＝
1　②.因為點 M 是線段 AB 的中點，所以 ＝1， ＝1.因為
直線 AB 的方程是 y ＝－ （ x －1）＋1，所以 y1－ y2＝－ （ x1－ x2）.
將①②兩式相減，可得 ＋ ＝0，即 ＋（－ ）· ＝0，所
以 a ＝ b ，所以 c ＝ b ，所以 e ＝ ＝ .
題型三 與橢圓有關的最值（范圍）問題
【例3】　在橢圓 ＋ ＝1上求一點 P ，使它到直線 l ：3 x －2 y －16
＝0的距離最短，并求出最短距離.
解：設與橢圓相切并與 l 平行的直線方程為 y ＝ x ＋ m ，
代入 ＋ ＝1，
消去 y 并整理得4 x2＋3 mx ＋ m2－7＝0，
由Δ＝9 m2－16（ m2－7）＝0得 m2＝16，
∴ m ＝±4，
故兩切線方程為 y ＝ x ＋4和 y ＝ x －4，
顯然 y ＝ x －4，即3 x －2 y －8＝0距 l 最近，
它們之間的距離即為所求最短距離，且 y ＝ x －4與橢圓的切點即為
所求點 P .
故所求最短距離為 d ＝ ＝ ＝ .
由得即 P （ ，－ ）.
通性通法
解決與橢圓有關的最值問題的常用方法
（1）利用定義轉化為幾何問題處理；
（2）利用數形結合，挖掘數學表達式的幾何特征，進而求解；
（3）利用函數最值的研究方法，將其轉化為函數的最值問題來處
理，此時，應注意橢圓中 x ， y 的取值范圍，常常是化為閉區間
上的二次函數的最值問題來求解.
【跟蹤訓練】
1. 若點（ x ， y ）在橢圓4 x2＋ y2＝4上，則 的最小值為（　　）
A. 1 B. －1
D. 以上都不正確
解析：　設 ＝ k ，則 y ＝ k （ x －2）.由消去
y ，整理得（ k2＋4） x2－4 k2 x ＋4（ k2－1）＝0，由題意得Δ＝16 k4
－4×4（ k2－1）（ k2＋4）≥0，解得－ ≤ k ≤ ，所以 的
最小值為－ .故選C.
2. 已知橢圓 C 的中心在坐標原點，焦點在 x 軸上，左頂點為 A （－2，
0），離心率為 .
（1）求橢圓 C 的標準方程；
解：設橢圓 C 的標準方程為 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）.
由題意得解得 c ＝1，所以 b2＝ a2－ c2＝3，
所以橢圓 C 的標準方程為 ＋ ＝1.
（2）斜率為1的直線 l 與橢圓 C 相交于 P ， Q 兩點，求 PQ 的最
大值.
解：設 P （ x1， y1）， Q （ x2， y2），直線 l 的方程為 y
＝ x ＋ t .
由得7 x2＋8 tx ＋4（ t2－3）＝0，
由Δ＝（8 t ）2－112（ t2－3）＞0，得0≤ t2＜7，則 x1＋ x2＝
－ t ， x1 x2＝ ，
所以 PQ ＝ ·｜ x1－ x2｜
＝ ·
＝ ·
＝ · ，
又0≤ t2＜7，所以當 t ＝0時，可得 PQmax＝ .
1. 已知直線 l ： x ＋ y －3＝0，橢圓 ＋ y2＝1，則直線與橢圓的位置
關系是（　　）
A. 相離 B. 相切
C. 相交 D. 相交或相切
解析：　把 x ＋ y －3＝0代入 ＋ y2＝1，得 ＋（3－ x ）2＝1，
即5 x2－24 x ＋32＝0.∵Δ＝（－24）2－4×5×32＝－64＜0，∴直
線與橢圓相離.
2. 過橢圓 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的焦點 F （ c ，0）的弦中最短弦長
是（　　）
解析：　最短弦是過焦點 F （ c ，0）且與焦點所在坐標軸垂直的
弦.將點（ c ， y ）的坐標代入橢圓 ＋ ＝1，得 y ＝± ，故最
短弦長是 .
3. 若直線 y ＝ x ＋1和橢圓 ＋ ＝1交于 A ， B 兩點，則線段 AB 的長
為 .
解析：由消去 y 得3 x2＋4 x －2＝0.設 A （ x1， y1），
B （ x2， y2），則 x1 x2＝－ ， x1＋ x2＝－ ，所以 AB ＝
＝ · ＝
× ＝ .
　
4. 已知橢圓 C 的焦點 F1（－2 ，0）， F2（2 ，0），且長軸長為
6，設直線 y ＝ x ＋2交橢圓 C 于 A ， B 兩點，求線段 AB 的中點坐標.
解：由已知條件得橢圓焦點在 x 軸上，
其中 c ＝2 ， a ＝3，從而 b ＝1，其標準方程為 ＋ y2＝1，
聯立方程消去 y 得10 x2＋36 x ＋27＝0，
設 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），則 x1＋ x2＝－ ，
設中點坐標為（ x0， y0），則 x0＝ ＝－ ，
所以 y0＝ x0＋2＝ ，
所以線段 AB 的中點坐標為（－ ， ）.
知能演練·扣課標
02
課后鞏固 核心素養落地
1. 直線 y ＝ x ＋1與橢圓 ＋ ＝1的位置關系是（　　）
A. 相交 B. 相切
C. 相離 D. 無法判斷
解析：　法一　聯立直線與橢圓的方程得消去 y 得
9 x2＋10 x －15＝0，Δ＝100－4×9×（－15）＞0，所以直線與橢
圓相交.
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法二　直線過點（0，1），而0＋ ＜1，即點（0，1）在橢圓內部，
所以可推斷直線與橢圓相交.
2. 若直線 y ＝ kx ＋2與橢圓 ＋ ＝1相切，則斜率 k ＝（　　）
解析：　把 y ＝ kx ＋2代入 ＋ ＝1，得（2＋3 k2） x2＋12 kx ＋
6＝0，由題意知Δ＝0，所以 k2＝ ，所以 k ＝± .
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3. 直線 x － y ＋1＝0被橢圓 ＋ y2＝1所截得的弦 AB ＝（　　）
解析：　由得交點為（0，1），（－ ，－
），則 AB ＝ ＝ .
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4. 橢圓4 x2＋9 y2＝144內有一點 P （3，2），以 P 為中點的弦所在直線
的斜率為（　　）
解析：　設以 P 為中點的弦所在的直線與橢圓交于點 A （ x1，
y1）， B （ x2， y2），斜率為 k ，則4 ＋9 ＝144，4 ＋9 ＝
144，兩式相減，得4（ x1＋ x2）·（ x1－ x2）＋9（ y1＋ y2）（ y1－
y2）＝0.又 x1＋ x2＝6， y1＋ y2＝4， ＝ k ，所以 k ＝－ .
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5. 已知 F 是橢圓 ＋ ＝1的一個焦點， AB 為過橢圓中心的一條弦，
則△ ABF 面積的最大值為（　　）
A. 6 B. 15
C. 20 D. 12
解析：　由題意知， S△ ABF ＝ · OF ·｜ y1－ y2｜≤ · OF ·2 b ＝12.
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6. 設 P ， Q 分別為圓 x2＋（ y －6）2＝2和橢圓 ＋ y2＝1上的點，則
P ， Q 兩點間的最大距離是（　　）
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解析：　設圓心為點 C ，則圓 x2＋（ y －6）2＝2的圓心為 C （0，
6），半徑 r ＝ .設點 Q （ x0， y0）是橢圓上任意一點，則 ＋
＝1，即 ＝10－10 .由 ≥0，解得 y0∈[－1，1]. CQ ＝
＝ ＝
＝ ，當 y0＝－ 時， CQ 有
最大值5 ，則 P ， Q 兩點間的最大距離為5 ＋ r ＝6 .故選D.
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7. （多選）已知橢圓 C ： ＋ ＝1內一點 M （1， ），直線 l 與橢
圓 C 交于 A ， B 兩點，且 M 是線段 AB 的中點，則下列說法正確的
是（　　）
A. 橢圓的焦點坐標為（2，0），（－2，0）
B. 橢圓 C 的長軸長為4
C. 直線 l 的方程為2 x ＋2 y －3＝0
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解析：　由題意得 a2＝4， b2＝2，所以 c2＝4－2＝2，故 c ＝
，故焦點坐標為（ ，0），（－ ，0），A錯誤；因為 a ＝
2，所以長軸長為2 a ＝4，B正確；設點 A （ x1， y1）， B （ x2，
y2），則由 ＋ ＝1， ＋ ＝1，兩式相減可得， － ＋2
（ － ）＝0，整理得 · ＝－ ，因為 M 是線段 AB 的
中點， M （1， ），所以 ＝ ，進而 ＝－1，所以直線 l
的方程為 y － ＝－（ x －1），整理得2 x ＋2 y －3＝0，C正確；
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直線2 x ＋2 y －3＝0與橢圓聯立得，6 x2－12 x ＋1＝0，所以 x2＋ x1＝2，
x2 x1＝ ，由弦長公式得 AB ＝ × ＝ ，D正確.故選B、
C、D.
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8. 已知 F1， F2是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在點 P ，使∠ F1 PF2
＝90°，則橢圓的離心率的取值范圍是 .
解析：由橢圓性質知：當 P 為橢圓上下頂點時∠ F1 PF2最大，所以
橢圓上存在點 P 使∠ F1 PF2＝90°，只需∠ F1 PF2最大的情況下，
有 cos ∠ F1 PF2＝ ＝1－2 e2≤0，又橢圓離心率0＜ e ＜1，故
≤ e ＜1.
［ ，1）　
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9. 若橢圓 ＋ ＝1的弦 AB 恰好被點 M （1，1）平分，則 AB 的直線
方程為 .
4 x ＋3 y －7＝0　
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解析：由題意，直線 AB 斜率存在，設 A （ x1， y1）， B （ x2，
y2），則有 ＝1， ＝1， A ， B 在橢圓 ＋ ＝1上，有
＋ ＝1， ＋ ＝1，兩式相減，得 ＝－ ，即
＝－ ，得 ＝－ ，即直線
AB 的斜率為－ ，則 AB 的直線方程為 y －1＝－ （ x －1），即4 x
＋3 y －7＝0.
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10. 已知動點 P （ x ， y ）在橢圓 ＋ ＝1上，若 A 點坐標為（3，
0），｜ ｜＝1，且 · ＝0，則｜ ｜的最小值是 .
解析：易知點 A （3，0）是橢圓的右焦點.∵ · ＝0，∴
⊥ .∴｜ ｜2＝｜ ｜2－｜ ｜2＝｜ ｜2－1，∵橢圓
右頂點到右焦點 A 的距離最小，故｜ ｜min＝2，∴｜ ｜min
＝ .
　
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11. 橢圓 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的離心率為 ，且橢圓與直線 x ＋2 y
＋8＝0相交于 P ， Q 兩點， PQ ＝ ，求橢圓的方程.
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解：∵ e ＝ ，∴ ＝ ，即 c2＝ a2，∴ b2＝ a2－ c2＝ a2.
∴橢圓的方程為 x2＋4 y2＝ a2，與方程 x ＋2 y ＋8＝0聯立并消去
y ，
得2 x2＋16 x ＋64－ a2＝0，
由Δ＞0，得 a2＞32.
設點 P （ x1， y1）， Q （ x2， y2），則 x1＋ x2＝－8， x1 x2＝ .
由弦長公式得 PQ2＝（1＋ ）·｜ x1－ x2｜2＝（1＋ ）·[（ x1
＋ x2）2－4 x1 x2]，即10＝ ×[64－2（64－ a2）]，解得 a2＝36.
∴橢圓的方程為 x2＋4 y2＝36，即 ＋ ＝1.
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12. 已知橢圓 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的離心率 e ＝ ，焦距為2.
（1）求橢圓 C 的方程；
解：由題意知 e ＝ ＝ ，2 c ＝2，解得 a ＝ ， c ＝
1，又 a2－ b2＝ c2，
所以 a2＝2， b2＝1.
故橢圓的方程為 ＋ y2＝1.
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（2）已知橢圓 C 與直線 x － y ＋ m ＝0相交于不同的兩點 M ，
N ，且線段 MN 的中點不在圓 x2＋ y2＝1內，求實數 m 的
取值范圍.
解：聯立
消去 y 可得3 x2＋4 mx ＋2 m2－2＝0.
則Δ＝16 m2－12（2 m2－2）＞0 － ＜ m ＜ .
設 M （ x1， y1）， N （ x2， y2），則 x1＋ x2＝－ ，
則 y1＋ y2＝ .
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所以 MN 的中點坐標為 ，
因為 MN 的中點不在圓 x2＋ y2＝1內，
所以 ＋ ≥1 m ≥ 或 m ≤－ ，
綜上，可知－ ＜ m ≤－ 或 ≤ m ＜ .
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13. 如圖所示，已知焦點在 x 軸上的橢圓 C ，長軸是短軸的3倍，且經
過點（1， ），過點（1，0）的直線 l 交橢圓 C 于 A ， B 兩點.
（1）求橢圓 C 的標準方程；
解：由題意設橢圓 C 的標準方程為
＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），則
C ： ＋ y2＝1.
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（2）求△ AOB 面積的最大值.
解：設直線 l ： x ＝ my ＋1， A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
聯立 （ m2＋9） y2＋2 my －8＝0，
由根與系數的關系知，
｜ y1－ y2｜＝（ y1＋ y2）2－4 y1 y2＝ ，
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S△ OAB ＝ ×1×｜ y1－ y2｜＝ ＝ ≤ ＝ ，
所以當 m ＝0時，
△ AOB 的最大面積為 .
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謝 謝 觀 看！

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