資源簡介

第2課時　雙曲線的定義與標準方程的應用
1.直線y＝x與雙曲線－y2＝1公共點的個數為（　　）
A.0　 　　B.1　 　　C.2　 　　D.4
2.（2024·連云港月考）已知F是雙曲線C：－＝1的一個焦點，點P在C上，O為坐標原點.若OP＝OF，則△OPF的面積為（　　）
A.　　B.　　C.　　D.
3.設雙曲線－＝1的左、右焦點分別為F1，F2，P為雙曲線右支上一點，PF1＝3PF2，則∠F1PF2的大小為（　　）
A.30°　　B.45°　　C.60°　　D.90°
4.（2024·泰州月考）已知F1，F2分別為雙曲線－＝1的左、右焦點，P（3，1）為雙曲線內一點，點A在雙曲線的右支上，則AP＋AF2的最小值為（　　）
A.＋4　　 B.－4
C.－2　　 D.＋2
5.（多選）已知A，B兩監測點間距離為800米，且A監測點聽到爆炸聲的時間比B監測點遲2秒，若聲速為340米/秒，則下列說法正確的是（　　）
A.爆炸點在以A，B為焦點的橢圓上
B.爆炸點在以A，B為焦點的雙曲線的一支上
C.若B監測點的聲強是A監測點的4倍（聲強與距離的平方成反比），則爆炸點到B監測點的距離為米
D.若B監測點的聲強是A監測點的4倍（聲強與距離的平方成反比），則爆炸點到B監測點的距離為680米
6.（多選）（2024·南京質檢）雙曲線C：－＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點P在C上.若△PF1F2是直角三角形，則△PF1F2的面積為（　　）
A.　　B.　　C.4　　D.2
7.已知直線l：y＝kx－1與雙曲線C：－＝1有且只有一個公共點，則k＝　　　　.
8.已知F1，F2是雙曲線－＝1的焦點，PQ是過焦點F1的弦，則PF2＋QF2－PQ＝　　　　.
9.已知F1，F2是雙曲線C：－y2＝1的兩個焦點，點M在直線x－y＋3＝0上，則MF1＋MF2的最小值為　　　　.
10.已知雙曲線3x2－y2＝3，直線l過右焦點F2，且傾斜角為45°，與雙曲線交于A，B兩點，試問A，B兩點是否位于雙曲線的同一支上？
11.（2024·淮安質檢）雙曲線的光學性質是：從雙曲線一個焦點發出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上.已知雙曲線C：－＝1的左、右焦點分別為F1，F2，從F2發出的光線射向C上的點P（8，y0）后，被C反射出去，則入射光線與反射光線夾角的余弦值是（　　）
A.　　B.－　　C.　　D.－
12.（多選）已知點P在雙曲線C：－＝1上，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，若△PF1F2的面積為20，則下列說法正確的是（　　）
A.點P到x軸的距離為4
B.PF1＋PF2＝
C.△PF1F2為鈍角三角形
D.∠F1PF2＝60°
13.（2024·無錫月考）已知O為坐標原點，A（－5，0），B（5，0），點P滿足PA＋PB＝14，點P（x，y）又滿足－＝2，則點P的坐標是　　　　.
14.已知雙曲線C：－y2＝1，P是C上的任意一點.
（1）設點A的坐標為（4，0），求PA的最小值；
（2）若F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面積.
15.（2024·南京質檢）在一次軍事演習中，某時刻三艘艦艇呈“品”字形列陣（此時艦艇可視作靜止的點），如圖中的點A，B，C，且OA＝OB＝OC＝3，假設敵艦艇在某處發出信號，A點接收到信號的時間比B點接收到信號的時間早秒（注：v0為信號傳播速度），C處艦艇保持靜默.
（1）建立適當的坐標系，并求敵艦艇所有可能出現的位置的軌跡方程；
（2）在A，B兩處的艦艇對敵艦艇攻擊后，C處艦艇派出無人機到敵艦艇處觀察攻擊效果，則無人機飛行的最小距離是多少？
第2課時　雙曲線的定義與標準方程的應用
1.C　聯立直線與雙曲線的方程得 整理得x2＝即x＝±，方程有兩解，故選C.
2.B　因為c2＝a2＋b2＝9，所以OP＝OF＝3.設點P的坐標為（x，y），則x2＋y2＝9，把x2＝9－y2代入雙曲線方程得｜y｜＝，所以S△OPF＝OF·｜y｜＝.
3.C　根據雙曲線的定義得PF1－PF2＝4，又因為PF1＝3PF2，所以PF1＝6，PF2＝2.又因為F1F2＝2，所以在△F1PF2中結合余弦定理的推論得：cos∠F1PF2＝＝，因為0°＜∠F1PF2＜180°，得∠F1PF2的大小為60°.故選C.
4.C　由雙曲線的定義，得AP＋AF2＝AP＋AF1－2，所以要求AP＋AF2的最小值，只需求AP＋AF1的最小值.如圖，連接F1P交雙曲線的右支于點A0，當點A位于點A0處時，AP＋AF1最小，最小值為PF1＝＝.故AP＋AF2的最小值為－2.
5.BD　依題意，A，B兩監測點間距離為800米，且A監測點聽到爆炸聲的時間比B監測點遲2秒，設爆炸點為C，則CA－CB＝340×2＝680＜800，所以爆炸點在以A，B為焦點的雙曲線的一支上，所以A選項錯誤，B選項正確；若B監測點的聲強是A監測點的4倍（聲強與距離的平方成反比），所以＝4，即CA＝2CB，結合CA－CB＝680，可得CB＝680.所以C選項錯誤，D選項正確.故選B、D.
6.AC　由雙曲線C：－＝1可得c＝＝＝4.根據雙曲線的對稱性只需考慮PF1⊥F1F2或PF1⊥PF2.當PF1⊥F1F2時，將x＝－4代入－＝1可得y＝±，所以△PF1F2的面積為F1F2·PF1＝.當PF1⊥PF2時，由雙曲線的定義可知，｜PF1－PF2｜＝2a＝4，由勾股定理可得P＋P＝F1＝（2c）2＝64.因為P＋P＝＋2PF1·PF2＝64，所以PF1·PF2＝8，此時△PF1F2的面積為PF1·PF2＝4.綜上所述，△PF1F2的面積為4或.故選A、C.
7.±或±　解析：由得（9－4k2）x2＋8kx－40＝0（*），當9－4k2＝0，即k＝±時，方程（*）有唯一解符合題意；當9－4k2≠0時，需Δ＝64k2＋160（9－4k2）＝0，解得k＝±，故k＝±或±.
8.16　解析：由雙曲線方程得，2a＝8，由雙曲線的定義得PF2－PF1＝2a＝8①，QF2－QF1＝2a＝8②，①＋②，得PF2＋QF2－（PF1＋QF1）＝16，所以PF2＋QF2－PQ＝16.
9.　解析：由雙曲線C：－y2＝1可得a2＝3，b2＝1，所以c2＝a2＋b2＝4，可得c＝2，所以F1（－2，0），F2（2，0）.如圖，設點F2（2，0）關于直線x－y＋3＝0對稱的點為P（m，n），由可得所以P（－3，5），所以MF1＋MF2＝MF1＋MP≥PF1，當且僅當P，M，F1三點共線時等號成立，PF1＝＝，所以MF1＋MF2的最小值為.
10.解：雙曲線方程可化為x2－＝1，
故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，
∴c＝2.∴F2（2，0），又直線l的傾斜角為45°，∴直線l的斜率k＝tan 45°＝1，
∴直線l的方程為y＝x－2，
代入雙曲線方程，得2x2＋4x－7＝0.
設A（x1，y1），B（x2，y2），∵x1·x2＝－＜0，
∴A，B兩點不位于雙曲線的同一支上.
11.C　設P（8，y0）在第一象限，則－＝1 y0＝3，PF2＝＝6，PF1＝6＋8＝14，F1F2＝10，cos∠F1PF2＝＝.
12.AC　由雙曲線的方程可得a＝4，b＝3，則c＝5，不妨設點P在第一象限，由△PF1F2的面積為20，得×2c×yP＝×10×yP＝20，解得yP＝4，即點P到x軸的距離為4，故A選項正確；將yP＝4代入雙曲線方程可得xP＝，故P（，4），則PF2＝＝，由雙曲線的定義知PF1－PF2＝2a＝8，則PF1＝8＋＝，則PF1＋PF2＝＋＝，故B選項錯誤；在△PF1F2中，PF1＝＞2c＝10＞PF2＝，則＝＝＞0，∠PF2F1為鈍角，則△PF1F2為鈍角三角形，故C選項正確；cos∠F1PF2＝＝＝＝1－≠，則∠F1PF2≠60°，故D選項錯誤.故選A、C.
13.（，±）　解析：由A（－5，0），B（5，0），點P滿足PA＋PB＝14＞AB，由橢圓的定義可得點P在橢圓＋＝1（a＞b＞0）上，所以2a＝14，c＝5，所以b2＝a2－c2＝24.橢圓方程為＋＝1.又點P（x，y）滿足－＝2，所以PA－PB＝2＜AB.由雙曲線的定義可得點P在x2－＝1（x≥1）上，聯立橢圓方程與雙曲線方程可得y＝±，x＝，所以點P的坐標是（，±）.
14.解：（1）設點P的坐標為（x0，y0），
則PA2＝（x0－4）2＋＝＋－1＝－8x0＋15＝＋，
因為｜x0｜≥，所以當x0＝時，PA取得最小值.
（2）由雙曲線的定義知｜PF1－PF2｜＝2， ①
由余弦定理得F1＝P＋P－2PF1·PF2·cos 60°， ②
根據①②可得PF1·PF2＝4，
所以＝PF1·PF2·sin 60°＝×4×＝.
15.解：（1）如圖，以O為原點，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系.設敵艦艇的位置為P（x，y），由題意可知PB－PA＝v0·＝4＜AB＝6.
由雙曲線的定義可知，敵艦艇的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的左支，且2a＝4，c＝3，所以b＝.
所以敵艦艇的軌跡方程為－＝1（x≤－2）.
（2）設方程－＝1（x≤－2）上一點M（x0，y0），
由題意知－＝1（x0≤－2），即＝4＋，又C（0，3），
所以MC＝
＝
＝
＝（y0∈R），
所以當y0＝時，MCmin＝2，
即無人機飛行的最小距離是2.
2 / 2第2課時　雙曲線的定義與標準方程的應用
題型一 直線與雙曲線的公共點問題
【例1】　（鏈接教科書第99頁例4）判斷直線l：y＝x＋1與雙曲線C：x2－y2＝1是否有公共點.如果有，求出公共點的坐標.
通性通法
　　判斷直線與雙曲線的位置關系或求直線與雙曲線交點時可采用代數法，將直線方程和雙曲線方程聯立求解，一解時一個公共點；兩解時兩個公共點；無解時沒有公共點.
【跟蹤訓練】
已知雙曲線x2－y2＝4，直線l：y＝k（x－1），直線l與雙曲線有兩個不同的公共點，確定滿足條件的實數k的取值范圍.
題型二 雙曲線的實際應用
【例2】　A，B，C是我方三個炮兵陣地，A在B正東6 km，C在B北偏西30°，相距4 km，P為敵炮兵陣地，某時刻A處發現敵炮兵陣地的某種信號，由于B，C兩地比A距P地遠.因此4 s后，B，C才同時發現這一信號，此信號的傳播速度為1 km/s，A若炮擊P地，求炮擊的方向角.
通性通法
利用雙曲線解決實際問題的步驟
（1）建立適當的坐標系；
（2）求出雙曲線的標準方程；
（3）根據雙曲線的方程及定義解決實際應用問題（注意實際意義）.
【跟蹤訓練】
某工程需要挖一個橫截面為半圓的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP運到P處（如圖），AP＝100 m，BP＝150 m，∠APB＝60°，試說明怎樣運土才能最省工.
題型三 雙曲線中與焦點三角形有關的計算問題
【例3】　（鏈接教科書第101頁習題10題）已知F1，F2分別是雙曲線－＝1的左、右焦點，若P是雙曲線左支上的點，且PF1·PF2＝32.則△F1PF2的面積為　　　　.
【母題探究】
1.（變條件，變設問）若將本例條件“PF1·PF2＝32”改成“PF1∶PF2＝1∶3”，其他條件不變，試求△F1PF2的周長.
2.（變條件）若將本例條件“PF1·PF2＝32”改為“∠F1PF2＝60°”，其他條件不變，試求△F1PF2的面積.
通性通法
　　在解與焦點三角形（△PF1F2）有關的問題時，一般地，可由雙曲線的定義，得PF1，PF2的關系式，或利用正弦定理、余弦定理，得PF1，PF2的關系式，從而求出PF1，PF2.但是，一般我們不直接求解出PF1，PF2，而是根據需要，把PF1＋PF2，PF1－PF2，PF1·PF2看作一個整體來處理.
【跟蹤訓練】
1.（2024·徐州月考）設F1，F2分別是雙曲線－＝1的下、上焦點，P是該雙曲線上的一點，且3PF1＝5PF2，則△PF1F2的面積為（　　）
A.12　　B.24　　C.12　　D.24
2.已知雙曲線x2－y2＝1，F1，F2分別為其左、右焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1⊥PF2，則PF1＋PF2＝　　　　.
1.直線3x－4y＝0與雙曲線－＝1的交點個數是（　　）
A.0　　B.1　　C.2　　D.3
2.如圖，已知雙曲線的方程為－＝1（a＞0，b＞0），點A，B均在雙曲線的右支上，線段AB經過雙曲線的右焦點F2，AB＝m，F1為雙曲線的左焦點，則△ABF1的周長為（　　）
A.2a＋2m　　 B.4a＋2m
C.a＋m　　 D.2a＋4m
3.（2024·宿遷月考）已知F1，F2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，PF1＝2PF2，則cos∠F1PF2＝　　　　.
第2課時　雙曲線的定義與標準方程的應用
【典型例題·精研析】
【例1】　解：聯立直線與雙曲線的方程，可得方程組消去y，可得x2－（x＋1）2＝1，由此可解得x＝－1.此時，y＝0.因此直線與雙曲線有一個公共點，且公共點的坐標為（－1，0）.
跟蹤訓練
　解：聯立消去y，得（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0.（*）
當1－k2≠0，即k≠±1時，
Δ＝（2k2）2－4（1－k2）（－k2－4）＝4（4－3k2）.
由得－＜k＜且k≠±1，
此時方程（*）有兩個不同的實數解，即直線l與雙曲線有兩個不同的公共點.
【例2】　解：如圖，以直線BA為x軸，線段BA的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則B（－3，0），A（3，0），C（－5，2）.
因為PB＝PC，所以點P在線段BC的垂直平分線上.
設敵炮兵陣地P的坐標為（x，y），BC的中點為D.
因為kBC＝－，D（－4，），
所以直線PD的方程為y－＝（x＋4）.①
又PB－PA＝4，所以P在以A，B為焦點的雙曲線的右支上，且方程為－＝1（x≥2）. ②
聯立①②，解得x＝8，y＝5，
所以P點的坐標為（8，5）.
因此kPA＝＝.
故炮擊的方向角為北偏東30°.
跟蹤訓練
　解：如圖，以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，
設M是分界線上的點，則MA＋AP＝MB＋BP，即MA－MB＝BP－AP＝150－100＝50（m），
在△APB中，AB2＝AP2＋BP2－2AP·BP·cos 60°＝17 500，AB＝50＞MA－MB，
這說明分界線是以A，B為焦點的雙曲線的右支，且a＝25.
c2＝＝4 375，b2＝3 750，
故所求分界線的方程為－＝1（x≥25）.
即在運土時，將此分界線左側的土沿道路AP運到P處，右側的土沿道路BP運到P處最省工.
【例3】　16　解析：由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.因為P是雙曲線左支上的點，所以PF2－PF1＝6，兩邊平方得P＋P－2PF1·PF2＝36，所以P＋P＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝0，所以∠F1PF2＝90°，所以＝PF1·PF2＝×32＝16.
母題探究
1.解：由題意知F1F2＝2＝10，又PF1∶PF2＝1∶3，∴PF1＝3，PF2＝9，故△F1PF2的周長為3＋9＋10＝22.
2.解：由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定義和余弦定理得PF1－PF2＝－6，
F1＝P＋P－2PF1·PF2cos 60°，
∴102＝（PF1－PF2）2＋PF1·PF2，
∴PF1·PF2＝64，
∴＝PF1·PF2·sin∠F1PF2
＝×64×＝16.
跟蹤訓練
1.B　由雙曲線－＝1得a＝2，b＝2，c＝4，又3PF1＝5PF2，且PF1－PF2＝2a＝4，得到PF1＝10，PF2＝6，所以P－P＝64＝（2c）2＝F1，即△PF1F2為直角三角形，所以＝PF2·F1F2＝×6×8＝24.故選B.
2.2　解析：不妨設點P在雙曲線的右支上，因為PF1⊥PF2，所以F1＝P＋P＝（2）2，又PF1－PF2＝2，所以（PF1－PF2）2＝4，可得2PF1·PF2＝4，則（PF1＋PF2）2＝P＋P＋2PF1·PF2＝12，所以PF1＋PF2＝2.
隨堂檢測
1.A　聯立直線3x－4y＝0與雙曲線－＝1的方程，得方程組無解，說明直線與雙曲線沒有交點.
2.B　由雙曲線的定義，知AF1－AF2＝2a，BF1－BF2＝2a.又AF2＋BF2＝AB，所以△ABF1的周長為AF1＋BF1＋AB＝4a＋2AB＝4a＋2m.
3.　解析：由 x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由雙曲線定義知，PF1－PF2＝2a＝2，又PF1＝2PF2，∴PF1＝4，PF2＝2，在△PF1F2中，F1F2＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝.
2 / 2(共57張PPT)
第2課時　雙曲線的定義與標準方程的應用
目錄
典型例題·精研析
01
知能演練·扣課標
02
典型例題·精研析
01
課堂互動 關鍵能力提升
　　
題型一 直線與雙曲線的公共點問題
【例1】　（鏈接教科書第99頁例4）判斷直線 l ： y ＝ x ＋1與雙曲線
C ： x2－ y2＝1是否有公共點.如果有，求出公共點的坐標.
解：聯立直線與雙曲線的方程，可得方程組消去 y ，可
得 x2－（ x ＋1）2＝1，由此可解得 x ＝－1.此時， y ＝0.因此直線與雙
曲線有一個公共點，且公共點的坐標為（－1，0）.
通性通法
　　判斷直線與雙曲線的位置關系或求直線與雙曲線交點時可采用代
數法，將直線方程和雙曲線方程聯立求解，一解時一個公共點；兩解
時兩個公共點；無解時沒有公共點.
【跟蹤訓練】
已知雙曲線 x2－ y2＝4，直線 l ： y ＝ k （ x －1），直線 l 與雙曲線有兩
個不同的公共點，確定滿足條件的實數 k 的取值范圍.
解：聯立消去 y ，得（1－ k2） x2＋2 k2 x － k2－4＝0.
（*）
當1－ k2≠0，即 k ≠±1時，
Δ＝（2 k2）2－4（1－ k2）（－ k2－4）＝4（4－3 k2）.
由得－ ＜ k ＜ 且 k ≠±1，
此時方程（*）有兩個不同的實數解，即直線 l 與雙曲線有兩個不同的
公共點.
題型二 雙曲線的實際應用
【例2】　 A ， B ， C 是我方三個炮兵陣地， A 在 B 正東6 km， C 在 B
北偏西30°，相距4 km， P 為敵炮兵陣地，某時刻 A 處發現敵炮兵陣
地的某種信號，由于 B ， C 兩地比 A 距 P 地遠.因此4 s后， B ， C 才同
時發現這一信號，此信號的傳播速度為1 km/s， A 若炮擊 P 地，求炮
擊的方向角.
解：如圖，以直線 BA 為 x 軸，線段 BA 的垂直平分線
為 y 軸建立平面直角坐標系，則 B （－3，0）， A
（3，0）， C （－5，2 ）.
因為 PB ＝ PC ，所以點 P 在線段 BC 的垂直平分線上.
設敵炮兵陣地 P 的坐標為（ x ， y ）， BC 的中點為
D .
因為 kBC ＝－ ， D （－4， ），
所以直線 PD 的方程為 y － ＝ （ x ＋4）.　①
聯立①②，解得 x ＝8， y ＝5 ，
所以 P 點的坐標為（8，5 ）.
因此 kPA ＝ ＝ .
故炮擊的方向角為北偏東30°.
又 PB － PA ＝4，所以 P 在以 A ， B 為焦點的雙曲線的右支上，且方程
為 － ＝1（ x ≥2）.　②
通性通法
利用雙曲線解決實際問題的步驟
（1）建立適當的坐標系；
（2）求出雙曲線的標準方程；
（3）根據雙曲線的方程及定義解決實際應用問題（注意實際意義）.
【跟蹤訓練】
　某工程需要挖一個橫截面為半圓的柱形隧道，挖出的土只能沿道路
AP ， BP 運到 P 處（如圖）， AP ＝100 m， BP ＝150 m，∠ APB ＝
60°，試說明怎樣運土才能最省工.
解：如圖，以 AB 所在的直線為 x 軸， AB 的垂直平分
線為 y 軸建立平面直角坐標系，
設 M 是分界線上的點，則 MA ＋ AP ＝ MB ＋ BP ，即
MA － MB ＝ BP － AP ＝150－100＝50（m），
在△ APB 中， AB2＝ AP2＋ BP2－2 AP · BP · cos 60°＝
17 500， AB ＝50 ＞ MA － MB ，
這說明分界線是以 A ， B 為焦點的雙曲線的右支，且 a
＝25.
c2＝ ＝4 375， b2＝3 750，
故所求分界線的方程為 － ＝1（ x ≥25）.
即在運土時，將此分界線左側的土沿道路 AP 運到 P
處，右側的土沿道路 BP 運到 P 處最省工.
題型三 雙曲線中與焦點三角形有關的計算問題
【例3】　（鏈接教科書第101頁習題10題）已知 F1， F2分別是雙曲線
－ ＝1的左、右焦點，若 P 是雙曲線左支上的點，且 PF1· PF2＝
32.則△ F1 PF2的面積為 .
16　
解析：由 － ＝1，得 a ＝3， b ＝4， c ＝5.因為 P 是雙曲線左支上
的點，所以 PF2－ PF1＝6，兩邊平方得 P ＋ P －2 PF1· PF2＝36，
所以 P ＋ P ＝36＋2 PF1· PF2＝36＋2×32＝100.在△ F1 PF2中，
由余弦定理，得 cos ∠ F1 PF2＝ ＝ ＝0，所以∠
F1 PF2＝90°，所以 ＝ PF1· PF2＝ ×32＝16.
【母題探究】
1. （變條件，變設問）若將本例條件“ PF1· PF2＝32”改成“ PF1∶
PF2＝1∶3”，其他條件不變，試求△ F1 PF2的周長.
解：由題意知 F1 F2＝2 ＝10，又 PF1∶ PF2＝1∶3，∴ PF1
＝3， PF2＝9，故△ F1 PF2的周長為3＋9＋10＝22.
2. （變條件）若將本例條件“ PF1· PF2＝32”改為“∠ F1 PF2＝
60°”，其他條件不變，試求△ F1 PF2的面積.
解：由 － ＝1，得 a ＝3， b ＝4， c ＝5.
由定義和余弦定理得 PF1－ PF2＝－6，
F1 ＝ P ＋ P －2 PF1· PF2 cos 60°，
∴102＝（ PF1－ PF2）2＋ PF1· PF2，
∴ PF1· PF2＝64，∴ ＝ PF1· PF2· sin ∠ F1 PF2＝ ×64×
＝16 .
通性通法
　　在解與焦點三角形（△ PF1 F2）有關的問題時，一般地，可由雙
曲線的定義，得 PF1， PF2的關系式，或利用正弦定理、余弦定理，得
PF1， PF2的關系式，從而求出 PF1， PF2.但是，一般我們不直接求解
出 PF1， PF2，而是根據需要，把 PF1＋ PF2， PF1－ PF2， PF1· PF2看
作一個整體來處理.
【跟蹤訓練】
1. （2024·徐州月考）設 F1， F2分別是雙曲線 － ＝1的下、上焦
點， P 是該雙曲線上的一點，且3 PF1＝5 PF2，則△ PF1 F2的面積為
（　　）
A. 12 B. 24
解析：　由雙曲線 － ＝1得 a ＝2， b ＝2 ， c ＝4，又3 PF1
＝5 PF2，且 PF1－ PF2＝2 a ＝4，得到 PF1＝10， PF2＝6，所以 P
－ P ＝64＝（2 c ）2＝ F1 ，即△ PF1 F2為直角三角形，所以
＝ PF2· F1 F2＝ ×6×8＝24.故選B.

解析：不妨設點 P 在雙曲線的右支上，因為 PF1⊥ PF2，所以 F1
＝ P ＋ P ＝（2 ）2，又 PF1－ PF2＝2，所以（ PF1－ PF2）2
＝4，可得2 PF1· PF2＝4，則（ PF1＋ PF2）2＝ P ＋ P ＋2
PF1· PF2＝12，所以 PF1＋ PF2＝2 .
2 　
1. 直線3 x －4 y ＝0與雙曲線 － ＝1的交點個數是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：　聯立直線3 x －4 y ＝0與雙曲線 － ＝1的方程，得
方程組無解，說明直線與雙曲線沒有交點.
2. 如圖，已知雙曲線的方程為 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），點 A ， B
均在雙曲線的右支上，線段 AB 經過雙曲線的右焦點 F2， AB ＝ m ，
F1為雙曲線的左焦點，則△ ABF1的周長為（　　）
A. 2 a ＋2 m B. 4 a ＋2 m
C. a ＋ m D. 2 a ＋4 m
解析：　由雙曲線的定義，知 AF1－ AF2＝2 a ， BF1－ BF2＝2 a .
又 AF2＋ BF2＝ AB ，所以△ ABF1的周長為 AF1＋ BF1＋ AB ＝4 a ＋2
AB ＝4 a ＋2 m .

解析：由 x2－ y2＝2，知 a ＝ b ＝ ， c ＝2.由雙曲線定義知， PF1
－ PF2＝2 a ＝2 ，又 PF1＝2 PF2，∴ PF1＝4 ， PF2＝2 ，在
△ PF1 F2中， F1 F2＝2 c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠ F1 PF2＝
＝ .
　
知能演練·扣課標
02
課后鞏固 核心素養落地
1. 直線 y ＝ x 與雙曲線 － y2＝1公共點的個數為（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
解析：　聯立直線與雙曲線的方程得 整理得 x2＝
即 x ＝± ，方程有兩解，故選C.
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2. （2024·連云港月考）已知 F 是雙曲線 C ： － ＝1的一個焦點，
點 P 在 C 上， O 為坐標原點.若 OP ＝ OF ，則△ OPF 的面積為
（　　）
解析：　因為 c2＝ a2＋ b2＝9，所以 OP ＝ OF ＝3.設點 P 的坐標為
（ x ， y ），則 x2＋ y2＝9，把 x2＝9－ y2代入雙曲線方程得｜ y ｜＝
，所以 S△ OPF ＝ OF ·｜ y ｜＝ .
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3. 設雙曲線 － ＝1的左、右焦點分別為 F1， F2， P 為雙曲線右支
上一點， PF1＝3 PF2，則∠ F1 PF2的大小為（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：　根據雙曲線的定義得 PF1－ PF2＝4，又因為 PF1＝3
PF2，所以 PF1＝6， PF2＝2.又因為 F1 F2＝2 ，所以在△ F1 PF2中
結合余弦定理的推論得： cos ∠ F1 PF2＝ ＝ ，因
為0°＜∠ F1 PF2＜180°，得∠ F1 PF2的大小為60°.故選C.
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4. （2024·泰州月考）已知 F1， F2分別為雙曲線 － ＝1的左、右
焦點， P （3，1）為雙曲線內一點，點 A 在雙曲線的右支上，則 AP
＋ AF2的最小值為（　　）
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解析：　由雙曲線的定義，得 AP ＋ AF2＝ AP
＋ AF1－2 ，所以要求 AP ＋ AF2的最小值，
只需求 AP ＋ AF1的最小值.如圖，連接 F1 P 交
雙曲線的右支于點 A0，當點 A 位于點 A0處時，
AP ＋ AF1最小，最小值為 PF1＝
＝ .故 AP ＋ AF2的最小
值為 －2 .
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5. （多選）已知 A ， B 兩監測點間距離為800米，且 A 監測點聽到爆炸
聲的時間比 B 監測點遲2秒，若聲速為340米/秒，則下列說法正確的
是（　　）
A. 爆炸點在以 A ， B 為焦點的橢圓上
B. 爆炸點在以 A ， B 為焦點的雙曲線的一支上
D. 若 B 監測點的聲強是 A 監測點的4倍（聲強與距離的平方成反
比），則爆炸點到 B 監測點的距離為680米
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解析：　依題意， A ， B 兩監測點間距離為800米，且 A 監測點
聽到爆炸聲的時間比 B 監測點遲2秒，設爆炸點為 C ，則 CA － CB
＝340×2＝680＜800，所以爆炸點在以 A ， B 為焦點的雙曲線的一
支上，所以A選項錯誤，B選項正確；若 B 監測點的聲強是 A 監測點
的4倍（聲強與距離的平方成反比），所以 ＝4，即 CA ＝2
CB ，結合 CA － CB ＝680，可得 CB ＝680.所以C選項錯誤，D選項
正確.故選B、D.
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6. （多選）（2024·南京質檢）雙曲線 C ： － ＝1的左、右焦點分
別為 F1， F2，點 P 在 C 上.若△ PF1 F2是直角三角形，則△ PF1 F2的
面積為（　　）
C. 4 D. 2
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解析：　由雙曲線 C ： － ＝1可得 c ＝ ＝
＝4.根據雙曲線的對稱性只需考慮 PF1⊥ F1 F2或 PF1⊥ PF2.當
PF1⊥ F1 F2時，將 x ＝－4代入 － ＝1可得 y ＝± ，所以△
PF1 F2的面積為 F1 F2· PF1＝ .當 PF1⊥ PF2時，由雙曲線的定義
可知，｜ PF1－ PF2｜＝2 a ＝4 ，由勾股定理可得 P ＋ P ＝
F1 ＝（2 c ）2＝64.因為 P ＋ P ＝ ＋2
PF1· PF2＝64，所以 PF1· PF2＝8，此時△ PF1 F2的面積為 PF1· PF2
＝4.綜上所述，△ PF1 F2的面積為4或 .故選A、C.
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7. 已知直線 l ： y ＝ kx －1與雙曲線 C ： － ＝1有且只有一個公共
點，則 k ＝ .
解析：由得（9－4 k2） x2＋8 kx －40＝0（*），當9－
4 k2＝0，即 k ＝± 時，方程（*）有唯一解符合題意；當9－4
k2≠0時，需Δ＝64 k2＋160（9－4 k2）＝0，解得 k ＝± ，故 k ＝
± 或± .
± 或± 　
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8. 已知 F1， F2是雙曲線 － ＝1的焦點， PQ 是過焦點 F1的弦，則
PF2＋ QF2－ PQ ＝ .
解析：由雙曲線方程得，2 a ＝8，由雙曲線的定義得 PF2－ PF1＝2
a ＝8①， QF2－ QF1＝2 a ＝8②，①＋②，得 PF2＋ QF2－（ PF1＋
QF1）＝16，所以 PF2＋ QF2－ PQ ＝16.
16　
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9. 已知 F1， F2是雙曲線 C ： － y2＝1的兩個焦點，點 M 在直線 x － y
＋3＝0上，則 MF1＋ MF2的最小值為 .
　
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解析：由雙曲線 C ： － y2＝1可得 a2＝3， b2＝1，所以 c2＝ a2＋
b2＝4，可得 c ＝2，所以 F1（－2，0）， F2（2，0）.如圖，設點
F2（2，0）關于直線 x － y ＋3＝0對稱的點為 P （ m ， n ），由
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可得所以 P （－3，5），所以 MF1
＋ MF2＝ MF1＋ MP ≥ PF1，當且僅當 P ， M ， F1三點共線時等號
成立， PF1＝ ＝ ，所以 MF1＋
MF2的最小值為 .
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10. 已知雙曲線3 x2－ y2＝3，直線 l 過右焦點 F2，且傾斜角為
45°，與雙曲線交于 A ， B 兩點，試問 A ， B 兩點是否位于雙
曲線的同一支上？
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解：雙曲線方程可化為 x2－ ＝1，
故 a2＝1， b2＝3， c2＝ a2＋ b2＝4，
∴ c ＝2.∴ F2（2，0），又直線 l 的傾斜角為45°，
∴直線 l 的斜率 k ＝tan 45°＝1，
∴直線 l 的方程為 y ＝ x －2，
代入雙曲線方程，得2 x2＋4 x －7＝0.
設 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），∵ x1· x2＝－ ＜0，
∴ A ， B 兩點不位于雙曲線的同一支上.
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11. （2024·淮安質檢）雙曲線的光學性質是：從雙曲線一個焦點發出
的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙
曲線的另一個焦點上.已知雙曲線 C ： － ＝1的左、右焦點分
別為 F1， F2，從 F2發出的光線射向 C 上的點 P （8， y0）后，被 C
反射出去，則入射光線與反射光線夾角的余弦值是（　　）
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解析：　設 P （8， y0）在第一象限，則 － ＝1 y0＝3 ，
PF2＝ ＝6， PF1＝6＋8＝14， F1 F2＝
10， cos ∠ F1 PF2＝ ＝ .
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12. （多選）已知點 P 在雙曲線 C ： － ＝1上， F1， F2分別為雙
曲線的左、右焦點，若△ PF1 F2的面積為20，則下列說法正確的是
（　　）
A. 點 P 到 x 軸的距離為4
C. △ PF1 F2為鈍角三角形
D. ∠ F1 PF2＝60°
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解析：　由雙曲線的方程可得 a ＝4， b ＝3，則 c ＝5，不妨設點 P 在第一象限，由△ PF1 F2的面積為20，得 ×2 c × yP ＝ ×10× yP ＝20，解得 yP ＝4，即點 P 到 x 軸的距離為4，故A選項正確；將 yP ＝4代入雙曲線方程可得 xP ＝ ，故 P （ ，4），則 PF2＝ ＝ ，由雙曲線的定義知 PF1－ PF2＝2 a ＝8，則 PF1＝8＋ ＝ ，則 PF1＋ PF2＝ ＋ ＝ ，故B選項錯誤；
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在△ PF1 F2中， PF1＝ ＞2 c ＝10＞ PF2＝ ，則 ＝ ＝ ＞0，
∠ PF2 F1為鈍角，則△ PF1 F2為鈍角三角形，故C選項正確； cos ∠ F1
PF2＝ ＝ ＝ ＝1
－ ≠ ，則∠ F1 PF2≠60°，故D選項錯誤.故選A、C.
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13. （2024·無錫月考）已知 O 為坐標原點， A （－5，0）， B （5，
0），點 P 滿足 PA ＋ PB ＝14，點 P （ x ， y ）又滿足
－ ＝2，則點 P 的坐標
是 .
（ ，± ）　
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解析：由 A （－5，0）， B （5，0），點 P 滿足 PA ＋ PB ＝14＞
AB ，由橢圓的定義可得點 P 在橢圓 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）上，
所以2 a ＝14， c ＝5，所以 b2＝ a2－ c2＝24.橢圓方程為 ＋ ＝
1.又點 P （ x ， y ）滿足 － ＝
2，所以 PA － PB ＝2＜ AB . 由雙曲線的定義可得點 P 在 x2－ ＝1
（ x ≥1）上，聯立橢圓方程與雙曲線方程可得 y ＝± ， x ＝ ，
所以點 P 的坐標是（ ，± ）.
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14. 已知雙曲線 C ： － y2＝1， P 是 C 上的任意一點.
（1）設點 A 的坐標為（4，0），求 PA 的最小值；
解：設點 P 的坐標為（ x0， y0），
則 PA2＝ ＋ ＝
＋ －1＝ －8 x0＋15＝
＋ ，
因為｜ x0｜≥ ，所以當 x0＝ 時， PA取得最小值 .
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（2）若 F1， F2分別為雙曲線的左、右焦點，∠ F1 PF2＝60°，求
△ PF1 F2的面積.
解：由雙曲線的定義知｜ PF1－ PF2｜＝2 ，　①
由余弦定理得 F1 ＝ P ＋ P －2 PF1· PF2· cos 60°，②
根據①②可得 PF1· PF2＝4，
所以 ＝ PF1· PF2· sin 60°＝ ×4× ＝ .
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15. （2024·南京質檢）在一次軍事演習中，某時刻三艘艦艇呈“品”
字形列陣（此時艦艇可視作靜止的點），如圖中的點 A ， B ， C ，
且 OA ＝ OB ＝ OC ＝3，假設敵艦艇在某處發出信號， A 點接收到
信號的時間比 B 點接收到信號的時間早 秒（注： v0為信號傳播
速度）， C 處艦艇保持靜默.
（1）建立適當的坐標系，并求敵艦艇
所有可能出現的位置的軌跡方程；
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解：如圖，以 O 為原點， OB 所在直
線為 x 軸， OC 所在直線為 y 軸，建立平面
直角坐標系.設敵艦艇的位置為 P （ x ，
y ），由題意可知 PB － PA ＝ v0· ＝4＜ AB＝6.
由雙曲線的定義可知，敵艦艇的軌跡是以 A ， B 為焦點的雙曲線的左支，且2 a ＝4， c ＝3，所以 b ＝ .
所以敵艦艇的軌跡方程為 － ＝1（ x ≤－2）.
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（2）在 A ， B 兩處的艦艇對敵艦艇攻擊后， C 處艦艇派出無
人機到敵艦艇處觀察攻擊效果，則無人機飛行的最小距
離是多少？
解：設方程 － ＝1（ x ≤－2）上一
點 M （ x0， y0），
由題意知 － ＝1（ x0≤－2），即 ＝4＋ ，又 C
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（0，3），所以 MC ＝ ＝
＝ ＝
（ y0∈R），
所以當 y0＝ 時， MCmin＝2 ，
即無人機飛行的最小距離是2 .
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