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第2課時　雙曲線幾何性質的綜合問題
1.直線y＝x－1被雙曲線2x2－y2＝3所截得的弦的中點坐標是（　　）
A.（1，2）　　　　　　 B.（－2，－1）
C.（－1，－2）　　 D.（2，1）
2.已知雙曲線的漸近線為y＝±x，焦點坐標為（－4，0），（4，0），則雙曲線方程為（　　）
A.－＝1　　 B.－＝1
C.－＝1　　 D.－＝1
3.若雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）與直線y＝2x無交點，則離心率e的取值范圍是（　　）
A.（1，2）　　 B.（1，2]
C.（1，）　　 D.（1，]
4.已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標是（1，3），則△APF的面積為（　　）
A.　　 B.
C.　　 D.
5.已知等軸雙曲線的中心在坐標原點，焦點在x軸上，與直線y＝x交于A，B兩點，若AB＝2，則該雙曲線的方程為（　　）
A.x2－y2＝6　　 B.x2－y2＝9
C.x2－y2＝16　　 D.x2－y2＝25
6.（多選）設e1，e2分別為雙曲線和它的共軛雙曲線的離心率，則（　　）
A.＋＝　　 B.＋≥4
C.＋＜　　 D.＋＞
7.若雙曲線x2－＝1（b＞0）的一條漸近線與直線x＋2y－4＝0平行，則雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離為　　　　.
8.設F1，F2是雙曲線C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，A為左頂點，點P為雙曲線C右支上一點，F1F2＝10，PF2⊥F1F2，PF2＝，O為坐標原點，則·＝　　　　.
9.已知直線l：x－y＋m＝0與雙曲線x2－＝1交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點在圓x2＋y2＝5上，則實數m＝　　　　.
10.雙曲線的兩條漸近線的方程為y＝±x，且經過點（3，－2）.
（1）求雙曲線的方程；
（2）過雙曲線的右焦點F且傾斜角為60°的直線交雙曲線于A，B兩點，求AB.
11.（2024·揚州月考）若直線y＝kx與雙曲線x2－y2＝1的兩支各有一個交點，則實數k的取值范圍是（　　）
A.（－1，0）　　 B.（0，1）
C.（－1，1）　　 D.（1，＋∞）
12.（多選）（2024·無錫月考）已知平面上兩點M（－5，0）和N（5，0），若直線上存在點P使PM－PN＝6，則稱該直線為“單曲型直線”.下列直線中是“單曲型直線”的有（　　）
A.3y＝x＋1　　 B.y＝2
C.y＝x　　 D.y＝2x＋1
13.如圖，雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）的兩頂點為A1，A2，虛軸的兩端點為B1，B2，兩焦點為F1，F2.若以A1A2為直徑的圓內切于菱形F1B1F2B2，切點分別為A，B，C，D.則：
（1）雙曲線的離心率e＝　　　　；
（2）菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值＝　　　　.
14.已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為（，0）.
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）若直線l：y＝kx＋與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且·＞2（其中O為原點），求實數k的取值范圍.
15.（2024·鄭州月考）祖暅，祖沖之之子，是我國南宋時期的數學家.他提出了體積計算原理（祖暅原理）：“冪勢既同，則積不容異”.意思是：如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.已知雙曲線C的焦點在y軸上，離心率為，且過點（，2）.
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）若直線x＝0，x＝1在第一象限內與C及其漸近線圍成如圖陰影部分所示的圖形，求陰影圖形繞x軸旋轉一周所得幾何體的體積.
第2課時　雙曲線幾何性質的綜合問題
1.C　將y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中點的橫坐標為＝＝－1，縱坐標為－1－1＝－2，即中點坐標為（－1，－2）.
2.D　雙曲線的漸近線為y＝±x，焦點在x軸上，設雙曲線方程為x2－＝λ（λ＞0），即－＝1，a2＝λ，b2＝3λ.∵焦點坐標為（－4，0），（4，0），∴c＝4，c2＝a2＋b2＝4λ＝16 λ＝4，∴雙曲線方程為－＝1.
3.D　由題意可得，≤2，∴e2＝＝≤＝5，又e＞1，∴1＜e≤，故選D.
4.D　由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F（2，0），將x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，所以PF＝3.又A的坐標是（1，3），故△APF的面積為×3×（2－1）＝.
5.B　設等軸雙曲線的方程為x2－y2＝a2（a＞0），與y＝x聯立，得x2－a2＝0.設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2＝0，x1·x2＝－，∴AB＝×a＝2，∴a＝3，故選B.
6.AB　由題意知，e1，e2分別為雙曲線和它的共軛雙曲線的離心率，由雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）與－＝1（a＞0，b＞0）互為共軛雙曲線，可得e1＝，e2＝，由c2＝a2＋b2，可得1＝＋，即＋＝1，可得＋＝.又＋≥2e1e2，則e1e2≥2，當且僅當e1＝e2＝時等號成立，故＋≥4.則A、B正確，C、D錯誤.
7.　解析：根據題意可得－b＝－，故可得b＝，則c＝＝，則右焦點坐標為（，0），一條漸近線為y＝x，右焦點到一條漸近線的距離d＝＝.
8.－15　解析：由題得所以a＝3，b＝4.所以雙曲線的方程為－＝1.所以點P的坐標為（5，）或（5，－）.所以·＝（－3，0）·（5，±）＝－15.
9.±1　解析：由消去y得x2－2mx－m2－2＝0.則Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8＞0.設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以線段AB的中點坐標為（m，2m）.又點（m，2m）在x2＋y2＝5上，所以m2＋（2m）2＝5，得m＝±1.
10.解：（1）因為雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x，
所以可設雙曲線的方程為2x2－y2＝λ（λ≠0）.
又因為雙曲線經過點（3，－2），代入方程可得λ＝6，
所以所求雙曲線的方程為－＝1.
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），
過F且傾斜角為60°的直線方程為y＝（x－3），
聯立消去y得x2－18x＋33＝0，因為Δ＞0，
由根與系數的關系得x1＋x2＝18，x1x2＝33，
所以AB＝·｜x1－x2｜＝·＝2＝16，即弦長AB＝16.
11.C　直線y＝kx過原點，且與雙曲線x2－y2＝1的兩支各有一個交點，可得直線y＝kx一定在兩漸近線之間，如圖.因為雙曲線的漸近線方程為y＝±x，所以k∈（－1，1）.
12.AB　因為PM－PN＝6＜MN＝10，所以點P在以M，N為焦點的雙曲線的右支上，即點P的軌跡方程為－＝1（x≥3）.根據題意得“單曲型直線”與雙曲線的右支存在交點，下面依次聯立方程，消去y，判斷所得方程有無正根即可.對于A，聯立得消y得15x2－2x－145＝0，因為Δ＝（－2）2－4×15×（－145）＞0，且x1x2＜0，所以3y＝x＋1是“單曲型直線”.對于B，聯立得消y得x2＝，所以y＝2是“單曲型直線”.對于C，聯立得整理得0＝1，顯然不成立，所以y＝x不是“單曲型直線”.對于D，聯立得消y得20x2＋36x＋153＝0，因為Δ＝362－4×20×153＜0，所以y＝2x＋1不是“單曲型直線”.綜上，是“單曲型直線”的有A、B.
13.（1）　（2）　解析：（1）由題意可得a＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0.∴e4－3e2＋1＝0.∴e2＝.∴e＝.
（2）設sin θ＝，cos θ＝，則＝＝＝＝e2－＝.
14.解：（1）設雙曲線C的標準方程為－＝1（a＞0，b＞0）.
由已知得a＝，c＝2，則b2＝c2－a2＝1，故雙曲線C的標準方程為－y2＝1.
（2）將y＝kx＋與－y2＝1聯立，得（1－3k2）x2－6kx－9＝0.
由直線l與雙曲線C恒有兩個不同的交點，得
即k2≠且k2＜1.
設A（xA，yA），B（xB，yB），則xA＋xB＝，xAxB＝.
由·＞2，得xAxB＋yAyB＞2，
即xAxB＋yAyB＝xAxB＋（kxA＋）·（kxB＋）＝（k2＋1）xAxB＋k（xA＋xB）＋2＝（k2＋1）·＋k·＋2＝＞2，∴＞0，解得＜k2＜3.
又∵k2＜1，∴＜k2＜1，故實數k的取值范圍為（－1，－）∪（，1）.
15.解：（1）∵雙曲線C的離心率e＝＝，∴c＝a，
∴c2＝a2＋b2＝a2，∴b2＝a2，
∴雙曲線的方程為－＝1，過點（，2），即－＝1，a2＝3，b2＝1，
∴雙曲線方程為－x2＝1.
（2）由（1）知雙曲線的漸近線方程為y＝±x，
取直線x＝m（0≤m≤1），代入－x2＝1，得y＝，
代入y＝x，得y＝m，
∴直線x＝m與陰影部分旋轉一周所得圓環的面積S＝（3＋3m2）π－3m2π＝3π.
又高度為1，故根據祖暅原理，該圖形繞x軸旋轉一周所得幾何體與底面半徑為，高為1的圓柱“冪勢相同”，故它繞x軸旋轉一圈所得幾何體的體積為3π.
2 / 2第2課時　雙曲線幾何性質的綜合問題
題型一 共軛雙曲線
【例1】　（鏈接教科書第108頁習題14題）（多選）關于雙曲線C1：4x2－9y2＝－36與雙曲線C2：4x2－9y2＝36的說法正確的是（　　）
A.有相同的焦點　　 B.有相同的焦距
C.有相同的離心率　　 D.有相同的漸近線
通性通法
共軛雙曲線的定義及性質
（1）定義：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫作原雙曲線的共軛雙曲線；
（2）性質：①兩個共軛雙曲線有相同的漸近線；②兩個共軛雙曲線有相同的焦距；③共軛雙曲線的離心率倒數的平方和等于常數1.
提醒　與雙曲線－＝1具有相同漸近線的雙曲線方程可設為－＝λ（λ≠0）.
【跟蹤訓練】
已知雙曲線E與雙曲線－＝1共漸近線，且過點A（2，－3）.若雙曲線M以雙曲線E的實軸為虛軸，虛軸為實軸，求雙曲線M的標準方程.
題型二 弦長及中點弦問題
【例2】　（1）已知雙曲線C：－＝1（a＞0，b＞0），過點P（3，6）的直線l與C相交于A，B兩點，且AB的中點為N（12，15），則雙曲線C的離心率為（　　）
A.2　　　B.　　　C.　　　D.
（2）斜率為2的直線l在雙曲線－＝1上截得的弦長為，則l的方程為　　　　　.
通性通法
　　雙曲線中有關弦長問題的解決方法與橢圓中類似.解決中點弦問題常用判別式法和點差法，注意所求參數的取值范圍.
【跟蹤訓練】
（2024·常州月考）已知雙曲線C：x2－y2＝2，過右焦點的直線交雙曲線于A，B兩點，若A，B中點的橫坐標為4，則弦AB的長為（　　）
A.3　　B.4　　C.6　　D.6
題型三 雙曲線幾何性質的綜合應用
【例3】　已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F2在坐標軸上，離心率為，且過點（3，－1），點M（3，m）在雙曲線上.
（1）求雙曲線的方程；
（2）求·的值；
（3）求△F1MF2的面積.
通性通法
1.解決雙曲線的幾何性質問題可用代數法，也可用幾何法，綜合應用幾何性質解題可簡化運算.
2.雙曲線的幾何性質常與平面向量，正、余弦定理，不等式結合.
【跟蹤訓練】
　已知F1，F2分別為雙曲線C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，雙曲線的離心率為2，點P在雙曲線C的右支上，且PF1的中點N在圓O：x2＋y2＝c2上，其中c為雙曲線的半焦距，則sin∠F1PF2＝　　　　.
1.若直線y＝kx與雙曲線4x2－y2＝16有兩個公共點，則實數k的取值范圍為（　　）
A.（－2，2）　　　　　　 B.[－2，2）
C.（－2，2]　　 D.[－2，2]
2.已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，實軸長為4，則雙曲線的方程為（　　）
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D.－＝1或－＝1
3.（2024·鹽城月考）經過雙曲線x2－y2＝8的右焦點且斜率為2的直線被雙曲線截得的線段的長為（　　）
A.　　 B.
C.　　 D.7
第2課時　雙曲線幾何性質的綜合問題
【典型例題·精研析】
【例1】　BD　兩方程均化成標準方程為－＝1和－＝1，這里均有c2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦點一個在y軸上，另一個在x軸上，所以A錯誤，B正確；又兩方程的漸近線均為y＝±x，故D正確；C1的離心率e1＝，C2的離心率e2＝，故C錯誤，故選B、D.
跟蹤訓練
　解：由題意，設雙曲線E的方程為－＝t（t≠0）.
∵點A（2，－3）在雙曲線E上，
∴－＝t，解得t＝－.
∴雙曲線E的標準方程為－＝1.
又雙曲線M與雙曲線E互為共軛雙曲線，
∴雙曲線M的標準方程為－＝1.
【例2】　（1）B　（2）y＝2x±
解析：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的中點為N（12，15），則x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，由兩式相減得：＝，則＝＝，由直線AB的斜率k＝＝1，∴＝1，則＝，∴雙曲線C的離心率e＝＝＝，故選B.
（2）設直線l的方程為y＝2x＋m，由得10x2＋12mx＋3（m2＋2）＝0（*），設直線l與雙曲線交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，由根與系數的關系，得x1＋x2＝－，x1x2＝.∴AB2＝＋＝5＝5[－4x1x2]＝5［－4×］，由AB＝，得5［－4×］＝6，解得m＝±，由（*）式得Δ＝24m2－240，把m＝±代入上式，得Δ＞0，∴m的值為±，∴所求直線l的方程為y＝2x±.
跟蹤訓練
　D　雙曲線C：－＝1，則c2＝4，所以右焦點F（2，0），根據題意易得過F的直線斜率存在，設為y＝k（x－2），A（xA，yA），B（xB，yB），聯立化簡得（1－k2）x2＋4k2x－4k2－2＝0，所以xA＋xB＝，xAxB＝，因為A，B中點橫坐標為4，所以xA＋xB＝＝8，解得k2＝2，所以xAxB＝＝10，則＝－4xAxB＝82－4×10＝24，則AB＝＝＝6.故選D.
【例3】　解：（1）因為e＝，所以可設雙曲線的方程為x2－y2＝λ.
因為過點（3，－1），所以9－1＝λ，即λ＝8，所以雙曲線的方程為x2－y2＝8，
即－＝1.
（2）因為F1（－4，0），F2（4，0），
＝（－4－3，－m），＝（4－3，－m），
所以·＝（－4－3）×（4－3）＋m2＝2＋m2，
因為M點在雙曲線上，所以18－m2＝8，即m2＝10，所以·＝12.
（3）△F1MF2的底邊F1F2＝8，由（2）知m＝±.
所以△F1MF2的高h＝｜m｜＝，
所以＝4.
跟蹤訓練
　　解析：如圖，由題意可得OF1＝ON＝c，因為O為F1F2的中點，所以ON＝PF2，所以PF2＝2c，PF1＝2a＋2c，因為雙曲線C：－＝1（a＞0，b＞0）的離心率為2，所以c＝2a，故在△F1PF2中，PF1＝6a，PF2＝F1F2＝4a，sin∠F1PF2＝＝＝.
隨堂檢測
1.A　易知k≠±2，將y＝kx代入4x2－y2＝16得關于x的一元二次方程（4－k2）x2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜k＜2.
2.C　實軸長2a＝4 a＝2，若雙曲線焦點在x軸上，則＝ b＝2 雙曲線方程為－＝1；若雙曲線焦點在y軸上，則＝ b＝ 雙曲線方程為－＝1，故選C.
3.B　雙曲線x2－y2＝8的右焦點為（4，0），經過雙曲線x2－y2＝8的右焦點且斜率為2的直線方程為y＝2（x－4），代入x2－y2＝8并整理得3x2－32x＋72＝0，設交點A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2＝，x1x2＝24，所以直線被雙曲線截得的線段的長為×＝.
2 / 2(共59張PPT)
第2課時　雙曲線幾何性質的綜合問題
目錄
典型例題·精研析
01
知能演練·扣課標
02
典型例題·精研析
01
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 共軛雙曲線
【例1】　（鏈接教科書第108頁習題14題）（多選）關于雙曲線 C1：
4 x2－9 y2＝－36與雙曲線 C2：4 x2－9 y2＝36的說法正確的是（　　）
A. 有相同的焦點 B. 有相同的焦距
C. 有相同的離心率 D. 有相同的漸近線
解析：　兩方程均化成標準方程為 － ＝1和 － ＝1，這里
均有 c2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦點一個在 y 軸上，另一
個在 x 軸上，所以A錯誤，B正確；又兩方程的漸近線均為 y ＝± x ，
故D正確； C1的離心率 e1＝ ， C2的離心率 e2＝ ，故C錯誤，故
選B、D.
通性通法
共軛雙曲線的定義及性質
（1）定義：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫作
原雙曲線的共軛雙曲線；
（2）性質：①兩個共軛雙曲線有相同的漸近線；②兩個共軛雙曲
線有相同的焦距；③共軛雙曲線的離心率倒數的平方和等于
常數1.
提醒　與雙曲線 － ＝1具有相同漸近線的雙曲線方程可設為
－ ＝λ（λ≠0）.
【跟蹤訓練】
已知雙曲線 E 與雙曲線 － ＝1共漸近線，且過點 A （2 ，－
3）.若雙曲線 M 以雙曲線 E 的實軸為虛軸，虛軸為實軸，求雙曲線 M
的標準方程.
解：由題意，設雙曲線 E 的方程為 － ＝ t （ t ≠0）.
∵點 A （2 ，－3）在雙曲線 E 上，
∴ － ＝ t ，解得 t ＝－ .
∴雙曲線 E 的標準方程為 － ＝1.
又雙曲線 M 與雙曲線 E 互為共軛雙曲線，
∴雙曲線 M 的標準方程為 － ＝1.
題型二 弦長及中點弦問題
【例2】　（1）已知雙曲線 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0），過點 P
（3，6）的直線 l 與 C 相交于 A ， B 兩點，且 AB 的中點為 N （12，
15），則雙曲線 C 的離心率為（　B　）
A. 2
解析： 設 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），由 AB 的中點為 N
（12，15），則 x1＋ x2＝24， y1＋ y2＝30，由 兩
式相減得： ＝ ，則 ＝
＝ ，由直線 AB 的斜率 k ＝ ＝1，∴ ＝1，
則 ＝ ，∴雙曲線 C 的離心率 e ＝ ＝ ＝ ，故選B.
（2）斜率為2的直線 l 在雙曲線 － ＝1上截得的弦長為 ，則 l 的
方程為 .
y ＝2 x ± 　
解析：設直線 l 的方程為 y ＝2 x ＋ m ，由得
10 x2＋12 mx ＋3（ m2＋2）＝0（*），設直線 l 與雙曲線交于 A
（ x1， y1）， B （ x2， y2）兩點，由根與系數的關系，得 x1＋ x2
＝－ ， x1 x2＝ .∴ AB2＝ ＋
＝5 ＝5[ －4 x1 x2]＝5
［ －4× ］，由 AB ＝ ，得5［ －4×
］＝6，解得 m ＝± ，由（*）式得Δ＝24 m2－
240，把 m ＝± 代入上式，得Δ＞0，∴ m 的值為± ，
∴所求直線 l 的方程為 y ＝2 x ± .
通性通法
　　雙曲線中有關弦長問題的解決方法與橢圓中類似.解決中點弦問
題常用判別式法和點差法，注意所求參數的取值范圍.
【跟蹤訓練】
（2024·常州月考）已知雙曲線 C ： x2－ y2＝2，過右焦點的直線交雙
曲線于 A ， B 兩點，若 A ， B 中點的橫坐標為4，則弦 AB 的長為
（　　）
C. 6
解析：　雙曲線 C ： － ＝1，則 c2＝4，所以右焦點 F （2，
0），根據題意易得過 F 的直線斜率存在，設為 y ＝ k （ x －2）， A
（ xA ， yA ）， B （ xB ， yB ），聯立化簡得（1－ k2） x2
＋4 k2 x －4 k2－2＝0，所以 xA ＋ xB ＝ ， xAxB ＝ ，因為 A ， B
中點橫坐標為4，所以 xA ＋ xB ＝ ＝8，解得 k2＝2，所以 xAxB ＝
＝10，則 ＝ －4 xAxB ＝82－4×10＝
24，則 AB ＝ ＝ ＝6 .故選D.
題型三 雙曲線幾何性質的綜合應用
【例3】　已知雙曲線的中心在原點，焦點 F1， F2在坐標軸上，離心
率為 ，且過點（3，－1），點 M （3 ， m ）在雙曲線上.
（1）求雙曲線的方程；
解：因為 e ＝ ，所以可設雙曲線的方程為 x2－ y2＝λ.
因為過點（3，－1），所以9－1＝λ，即λ＝8，
所以雙曲線的方程為 x2－ y2＝8，
即 － ＝1.
（2）求 · 的值；
解：因為 F1（－4，0）， F2（4，0），
＝（－4－3 ，－ m ）， ＝（4－3 ，－ m ），
所以 · ＝（－4－3 ）×（4－3 ）＋ m2＝2＋ m2，
因為 M 點在雙曲線上，所以18－ m2＝8，即 m2＝10，
所以 · ＝12.
（3）求△ F1 MF2的面積.
解：△ F1 MF2的底邊 F1 F2＝8，由（2）知 m ＝± .
所以△ F1 MF2的高 h ＝｜ m ｜＝ ，
所以 ＝4 .
通性通法
1. 解決雙曲線的幾何性質問題可用代數法，也可用幾何法，綜合應用
幾何性質解題可簡化運算.
2. 雙曲線的幾何性質常與平面向量，正、余弦定理，不等式結合.
【跟蹤訓練】
　已知 F1， F2分別為雙曲線 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的左、右
焦點，雙曲線的離心率為2，點 P 在雙曲線 C 的右支上，且 PF1的中點
N 在圓 O ： x2＋ y2＝ c2上，其中 c 為雙曲線的半焦距，則 sin ∠ F1 PF2
＝ .
　
解析：如圖，由題意可得 OF1＝ ON ＝ c ，因為 O 為
F1 F2的中點，所以 ON ＝ PF2，所以 PF2＝2 c ， PF1
＝2 a ＋2 c ，因為雙曲線 C ： － ＝1（ a ＞0， b
＞0）的離心率為2，所以 c ＝2 a ，故在△ F1 PF2中，
PF1＝6 a ， PF2＝ F1 F2＝4 a ， sin ∠ F1 PF2＝ ＝
＝ .
1. 若直線 y ＝ kx 與雙曲線4 x2－ y2＝16有兩個公共點，則實數 k 的取值
范圍為（　　）
A. （－2，2） B. [－2，2）
C. （－2，2] D. [－2，2]
解析：　易知 k ≠±2，將 y ＝ kx 代入4 x2－ y2＝16得關于 x 的一元
二次方程（4－ k2） x2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜ k ＜2.
2. 已知雙曲線的一條漸近線方程為 y ＝ x ，實軸長為4，則雙曲線
的方程為（　　）
解析：　實軸長2 a ＝4 a ＝2，若雙曲線焦點在 x 軸上，則 ＝
b ＝2 雙曲線方程為 － ＝1；若雙曲線焦點在 y 軸
上，則 ＝ b ＝ 雙曲線方程為 － ＝1，故選C.
3. （2024·鹽城月考）經過雙曲線 x2－ y2＝8的右焦點且斜率為2的直線
被雙曲線截得的線段的長為（　　）
解析：　雙曲線 x2－ y2＝8的右焦點為（4，0），經過雙曲線 x2－
y2＝8的右焦點且斜率為2的直線方程為 y ＝2（ x －4），代入 x2－ y2
＝8并整理得3 x2－32 x ＋72＝0，設交點 A （ x1， y1）， B （ x2，
y2），則 x1＋ x2＝ ， x1 x2＝24，所以直線被雙曲線截得的線段的
長為 × ＝ .
知能演練·扣課標
02
課后鞏固 核心素養落地
1. 直線 y ＝ x －1被雙曲線2 x2－ y2＝3所截得的弦的中點坐標是
（　　）
A. （1，2） B. （－2，－1）
C. （－1，－2） D. （2，1）
解析：　將 y ＝ x －1代入2 x2－ y2＝3，得 x2＋2 x －4＝0，由此可
得弦的中點的橫坐標為 ＝ ＝－1，縱坐標為－1－1＝－2，
即中點坐標為（－1，－2）.
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2. 已知雙曲線的漸近線為 y ＝± x ，焦點坐標為（－4，0），
（4，0），則雙曲線方程為（　　）
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解析：　雙曲線的漸近線為 y ＝± x ，焦點在 x 軸上，設雙曲線
方程為 x2－ ＝λ（λ＞0），即 － ＝1， a2＝λ， b2＝
3λ.∵焦點坐標為（－4，0），（4，0），∴ c ＝4， c2＝ a2＋ b2＝
4λ＝16 λ＝4，∴雙曲線方程為 － ＝1.
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3. 若雙曲線 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）與直線 y ＝2 x 無交點，則離心
率 e 的取值范圍是（　　）
A. （1，2） B. （1，2]
解析：　由題意可得， ≤2，∴ e2＝ ＝ ≤ ＝5，
又 e ＞1，∴1＜ e ≤ ，故選D.
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4. 已知 F 是雙曲線 C ： x2－ ＝1的右焦點， P 是 C 上一點，且 PF 與 x
軸垂直，點 A 的坐標是（1，3），則△ APF 的面積為（　　）
解析：　由 c2＝ a2＋ b2＝4得 c ＝2，所以 F （2，0），將 x ＝2代
入 x2－ ＝1，得 y ＝±3，所以 PF ＝3.又 A 的坐標是（1，3），故
△ APF 的面積為 ×3×（2－1）＝ .
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5. 已知等軸雙曲線的中心在坐標原點，焦點在 x 軸上，與直線 y ＝ x
交于 A ， B 兩點，若 AB ＝2 ，則該雙曲線的方程為（　　）
A. x2－ y2＝6 B. x2－ y2＝9
C. x2－ y2＝16 D. x2－ y2＝25
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解析：　設等軸雙曲線的方程為 x2－ y2＝ a2（ a ＞0），與 y ＝ x
聯立，得 x2－ a2＝0.設 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），則 x1＋ x2＝
0， x1· x2＝－ ，∴ AB ＝ × a ＝2 ，∴ a ＝
3，故選B.
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6. （多選）設 e1， e2分別為雙曲線和它的共軛雙曲線的離心率，則
（　　）
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解析：　由題意知， e1， e2分別為雙曲線和它的共軛雙曲線的
離心率，由雙曲線 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）與 － ＝1（ a ＞
0， b ＞0）互為共軛雙曲線，可得 e1＝ ， e2＝ ，由 c2＝ a2＋ b2，
可得1＝ ＋ ，即 ＋ ＝1，可得 ＋ ＝ .又 ＋
≥2 e1 e2，則 e1 e2≥2，當且僅當 e1＝ e2＝ 時等號成立，故 ＋
≥4.則A、B正確，C、D錯誤.
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7. 若雙曲線 x2－ ＝1（ b ＞0）的一條漸近線與直線 x ＋2 y －4＝0平
行，則雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離為 .
解析：根據題意可得－ b ＝－ ，故可得 b ＝ ，則 c ＝ ＝
，則右焦點坐標為（ ，0），一條漸近線為 y ＝ x ，右焦點到
一條漸近線的距離 d ＝ ＝ .
　
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8. 設 F1， F2是雙曲線 C ： － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的左、右焦
點， A 為左頂點，點 P 為雙曲線 C 右支上一點， F1 F2＝10， PF2⊥
F1 F2， PF2＝ ， O 為坐標原點，則 · ＝ .
解析：由題得所以 a ＝3， b ＝4.所以雙曲線的方程
為 － ＝1.所以點 P 的坐標為（5， ）或（5，－ ）.所以
· ＝（－3，0）·（5，± ）＝－15.
－15　
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9. 已知直線 l ： x － y ＋ m ＝0與雙曲線 x2－ ＝1交于不同的兩點 A ，
B ，若線段 AB 的中點在圓 x2＋ y2＝5上，則實數 m ＝ .
解析：由消去 y 得 x2－2 mx － m2－2＝0.則Δ＝4 m2
＋4 m2＋8＝8 m2＋8＞0.設 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），則 x1＋ x2
＝2 m ， y1＋ y2＝ x1＋ x2＋2 m ＝4 m ，所以線段 AB 的中點坐標為
（ m ，2 m ）.又點（ m ，2 m ）在 x2＋ y2＝5上，所以 m2＋（2 m ）2
＝5，得 m ＝±1.
±1　
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10. 雙曲線的兩條漸近線的方程為 y ＝± x ，且經過點（3，－2
）.
（1）求雙曲線的方程；
解：因為雙曲線的兩條漸近線方程為 y ＝± x ，
所以可設雙曲線的方程為2 x2－ y2＝λ（λ≠0）.
又因為雙曲線經過點（3，－2 ），代入方程可得λ＝6，
所以所求雙曲線的方程為 － ＝1.
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（2）過雙曲線的右焦點 F 且傾斜角為60°的直線交雙曲線于 A ，
B 兩點，求 AB .
解：設 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
過 F 且傾斜角為60°的直線方程為 y ＝ （ x －3），
聯立消去 y 得 x2－18 x ＋33＝0，因為Δ＞0，
由根與系數的關系得 x1＋ x2＝18， x1 x2＝33，
所以 AB ＝ ·｜ x1－ x2｜＝
· ＝2 ＝16 ，即
弦長 AB ＝16 .
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11. （2024·揚州月考）若直線 y ＝ kx 與雙曲線 x2－ y2＝1的兩支各有一
個交點，則實數 k 的取值范圍是（　　）
A. （－1，0） B. （0，1）
C. （－1，1） D. （1，＋∞）
解析：C　直線 y ＝ kx 過原點，且與雙曲線 x2
－ y2＝1的兩支各有一個交點，可得直線 y ＝
kx 一定在兩漸近線之間，如圖.因為雙曲線的漸近線方程為 y ＝± x ，所以 k ∈（－1，1）.
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12. （多選）（2024·無錫月考）已知平面上兩點 M （－5，0）和 N
（5，0），若直線上存在點 P 使 PM － PN ＝6，則稱該直線為“單
曲型直線”.下列直線中是“單曲型直線”的有（　　）
A. 3 y ＝ x ＋1 B. y ＝2
D. y ＝2 x ＋1
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解析：　因為 PM － PN ＝6＜ MN ＝10，所以點 P 在以 M ， N
為焦點的雙曲線的右支上，即點 P 的軌跡方程為 － ＝1（ x
≥3）.根據題意得“單曲型直線”與雙曲線的右支存在交點，下
面依次聯立方程，消去 y ，判斷所得方程有無正根即可.對于A，
聯立得消 y 得15 x2－2 x －145＝0，因為Δ＝（－2）2
－4×15×（－145）＞0，且 x1 x2＜0，所以3 y ＝ x ＋1是“單曲型
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直線”.對于B，聯立得消 y 得 x2＝ ，所以 y ＝2是
“單曲型直線”.對于C，聯立得整理得0＝1，顯然
不成立，所以 y ＝ x 不是“單曲型直線”.對于D，聯立得
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消 y 得20 x2＋36 x ＋153＝0，因為Δ＝362－
4×20×153＜0，所以 y ＝2 x ＋1不是“單曲型直線”.綜上，是
“單曲型直線”的有A、B.
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13. 如圖，雙曲線 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）的兩頂點為 A1， A2，虛
軸的兩端點為 B1， B2，兩焦點為 F1， F2.若以 A1 A2為直徑的圓內
切于菱形 F1 B1 F2 B2，切點分別為 A ， B ， C ， D . 則：

解析：由題意可得 a ＝ bc ，
∴ a4－3 a2 c2＋ c4＝0.∴ e4－3 e2＋1＝0.
∴ e2＝ .∴ e ＝ .
　
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（2）菱形 F1 B1 F2 B2的面積 S1與矩形 ABCD 的面積 S2的比值
＝ .
解析：設 sin θ＝ ， cos θ
＝ ，則 ＝ ＝
＝ ＝ e2－ ＝ .
　
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14. 已知中心在原點的雙曲線 C 的右焦點為（2，0），右頂點為
（ ，0）.
（1）求雙曲線 C 的標準方程；
解：設雙曲線 C 的標準方程為 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）.
由已知得 a ＝ ， c ＝2，則 b2＝ c2－ a2＝1，故雙曲線 C 的
標準方程為 － y2＝1.
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（2）若直線 l ： y ＝ kx ＋ 與雙曲線 C 恒有兩個不同的交點 A 和
B ，且 · ＞2（其中 O 為原點），求實數 k 的取值范圍.
解：將 y ＝ kx ＋ 與 － y2＝1聯立，得（1－3 k2） x2
－6 kx －9＝0.
由直線 l 與雙曲線 C 恒有兩個不同的交點，得
即 k2≠ 且 k2＜1.
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設 A （ xA ， yA ）， B （ xB ， yB ），則 xA ＋ xB ＝ ， xAxB
＝ .
由 · ＞2，得 xAxB ＋ yAyB ＞2，
即 xAxB ＋ yAyB ＝ xAxB ＋（ kxA ＋ ）·（ kxB ＋ ）＝（ k2＋
1） xAxB ＋ k （ xA ＋ xB ）＋2＝（ k2＋1）· ＋
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k · ＋2＝ ＞2，∴ ＞0，解得 ＜ k2＜3.
又∵ k2＜1，∴ ＜ k2＜1，故實數 k 的取值范圍為（－1，－
）∪（ ，1）.
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15. （2024·鄭州月考）祖暅，祖沖之之子，是我國南宋時期的數學
家.他提出了體積計算原理（祖暅原理）：“冪勢既同，則積不容
異”.意思是：如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面
積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.已知雙曲線 C 的焦點在
y 軸上，離心率為 ，且過點（ ，2 ）.
（1）求雙曲線的標準方程；
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解：∵雙曲線 C 的離心率 e ＝ ＝ ，∴ c ＝ a ，
∴ c2＝ a2＋ b2＝ a2，∴ b2＝ a2，
∴雙曲線的方程為 － ＝1，過
點（ ，2 ），即 － ＝1，
a2＝3， b2＝1，
∴雙曲線方程為 － x2＝1.
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（2）若直線 x ＝0， x ＝1在第一象限內與 C 及其漸近線圍成如圖
陰影部分所示的圖形，求陰影圖形繞 x 軸旋轉一周所得幾何
體的體積.
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解：由（1）知雙曲線的漸近線方程為 y ＝± x ，
取直線 x ＝ m （0≤ m ≤1），代入 － x2＝1，得 y ＝ ，代入 y ＝ x ，得 y ＝ m ，
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∴直線 x ＝ m 與陰影部分旋轉一周所得圓環的面積 S ＝（3＋
3 m2）π－3 m2π＝3π.
又高度為1，故根據祖暅原理，該圖形繞 x 軸旋轉一周所得
幾何體與底面半徑為 ，高為1的圓柱“冪勢相同”，故它
繞 x 軸旋轉一圈所得幾何體的體積為3π.
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