資源簡介

4.2.1　等差數列的概念
1.下列數列是等差數列的是（　　）
A.，，　　 B.lg 5，lg 6，lg 7
C.1，，　　 D.2，3，5
2.已知（　　），5，9成等差數列，則括號內應填的數字是（　　）
A.0　　 B.1
C.2　　 D.3
3.設數列{an}（n∈N*）是公差為d的等差數列，若a2＝4，a4＝6，則d＝（　　）
A.4　　 B.3
C.2　　 D.1
4.已知在各項均不為零的等差數列{an}中，滿足a1＋a3＝，則a2＝（　　）
A.0　　 B.1
C.2　　 D.4
5.若數列{an}滿足3an＋1＝3an＋1，則數列{an}（　　）
A.是公差為1的等差數列　　
B.是公差為的等差數列
C.是公差為－的等差數列　　
D.不是等差數列
6.（多選）（2024·淮安月考）已知數列{an}滿足an＋1＝an－3，n∈N*，a1＝27，則下列說法正確的是（　　）
A.該數列為等差數列　　 B.公差為3
C.a5＝15　　 D.a1＋a5＝a2＋a4
7.（多選）已知下列數列的通項公式，其中是等差數列的是（　　）
A.an＝1－3n　　 B.an＝2n－3
C.an＝2n　　 D.an＝3
8.在－3和6之間插入兩個數a，b，使這四個數成等差數列，則公差為　　　　.
9.已知數列{an}滿足＝＋4，且a1＝1，an＞0，則a3＝　　　　　.
10.已知數列是等差數列.
（1）若a1＝0，a3＝8，求公差d和a2；
（2）若a2＝3，a3＝6，求公差d和a1；
（3）若a1＝1，a2＝3，求公差d和a7.
11.已知數列是無窮數列，則“2a2＝a1＋a3”是“數列為等差數列”的（　　）
A.充分不必要條件　　
B.必要不充分條件
C.充要條件　　
D.既不充分又不必要條件
12.（2024·徐州質檢）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數列，C＝2（A＋B），則＝（　　）
A.　　　B.　　C.　　　D.
13.在從100到999的所有三位數中，百位、十位、個位數字依次構成等差數列的有　　　　個.
14.已知數列中，a3＝9，a5＝5，且滿足an＋2－2an＋1＋an＝0（n∈N*），試判斷數列是否為等差數列？若是，求數列的首項和公差；若不是，請說明理由.
15.（2024·蘇州質檢）對數列{an}，規定{Δan}為數列{an}的一階差分數列，其中Δan＝an＋1－an（n∈N*）.對于k≥2，k∈N*，規定{Δkan}為{an}的k階差分數列，其中Δkan＝Δk－1an＋1－Δk－1an＝Δ（Δk－1an）.
（1）試寫出一個等差數列的一階差分數列的前5項；
（2）已知數列{an}的通項公式為an＝n2＋n（n∈N*），試判斷數列{Δan}，{Δ2an}是否為等差數列.
4.2.1　等差數列的概念
1.C　對于A，－≠－，A不是等差數列；對于B，lg 6－lg 5≠lg 7－lg 6，B不是等差數列；對于C，－1＝－，C是等差數列；對于D，3－2≠5－3，D不是等差數列.故選C.
2.B　設括號內的數字為x，則有5－x＝9－5，故x＝1.
3.D　由a3－a2＝a4－a3得a3＝＝5，所以d＝a3－a2＝5－4＝1.
4.C　∵{an}為等差數列，∴a2－a1＝a3－a2，∴a1＋a3＝2a2，∴2a2＝，解得a2＝2（a2＝0舍去）.
5.B　由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝，所以數列{an}是公差為的等差數列.故選B.
6.ACD　由條件可知an＋1－an＝－3，所以該數列為等差數列，公差為－3.所以a2＝a1＋（－3）＝24，a3＝a2＋（－3）＝21，a4＝a3＋（－3）＝18，a5＝a4＋（－3）＝15，所以a1＋a5＝42，a2＋a4＝42，即a1＋a5＝a2＋a4.故A、C、D正確，B錯誤.
7.ABD　當n≥2時，對于A，an－an－1＝1－3n－[1－3（n－1）]＝－3，是等差數列；對于B，an－an－1＝2n－3－[2（n－1）－3]＝2，是等差數列；對于C，an－an－1＝2n－2n－1＝2n－1，不是常數，不是等差數列；對于D，an－an－1＝3－3＝0，是等差數列.
8.3　解析：由等差數列的定義可知解得所以d＝3.
9.3　解析：由等差數列的定義可知－＝4，故是以4為公差的等差數列，所以＝＋4＝5，＝＋4＝9，所以a3＝3（負值舍去）.
10.解：（1）由等差數列的定義可知a2－a1＝a3－a2＝d，所以a2＝4，d＝4.
（2）由等差數列的定義可知a2－a1＝a3－a2＝d，
所以d＝3，a1＝0.
（3）由等差數列的定義可知a2－a1＝d＝2，所以a7＝13.
11.B　若“數列為等差數列”成立，必有“2a2＝a1＋a3”，而僅有“2a2＝a1＋a3”成立，不能斷定“數列為等差數列”成立，必須滿足對任意的n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2成立才可以，故“2a2＝a1＋a3”是“數列為等差數列”的必要不充分條件.
12.C　由C＝2（A＋B），A＋B＋C＝π，得C＝，由a，b，c成等差數列，則b－a＝c－b，得2b＝a＋c，由余弦定理，得cos C＝，即－＝，整理，得5ab－3b2＝0，由b≠0得5a－3b＝0，由a≠0得＝.故選C.
13.45　解析：先考慮不存在0的情況，由題意可知，公差最大為4，公差為0有9個，公差為±1有14個，公差為±2有10個，公差為±3有6個，公差為±4有2個；當三位數有0時，有4個，綜上所述，構成等差數列的共有45個.
14.解：因為an＋2－2an＋1＋an＝0，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an（n∈N*），說明這個數列從第2項起，后一項減前一項所得的差始終相等，所以數列是等差數列.
由a3＝9，a5＝5，可知a4＝7，所以d＝－2，所以a1＝13.
15.解：（1）由題意，可以得到許多一階差分數列，不妨取等差數列{n＋1}，由Δan＝an＋1－an可得，等差數列{n＋1}的一階差分數列的前5項為1，1，1，1，1（答案不唯一，符合題意即可）.
（2）∵Δan＝an＋1－an＝（n＋1）2＋（n＋1）－（n2＋n）＝2n＋2，
Δan＋1－Δan＝2，Δa1＝a2－a1＝4，∴{Δan}是首項為4，公差為2的等差數列.
∵Δ2an＝2（n＋1）＋2－（2n＋2）＝2，∴{Δ2an}是首項為2，公差為0的等差數列.
2 / 24.2.1　等差數列的概念
新課程標準解讀 核心素養
1.通過生活中的實例，理解等差數列的概念，并根據等差數列的定義進行簡單的運算 數學抽象、數學運算
2.能根據等差數列的定義證明一個數列是等差數列 邏輯推理、數學運算
（1）我國有用12生肖紀年的習慣，例如，2024年是龍年，從2024年開始，龍年的年份為2024，2036， 2048，2060，2072，2084，…；
（2）我國確定鞋號的腳長值以毫米為單位來表示，常用確定鞋號腳長值按從大到小的順序可排列為275，270，265，260，255，250，…；
（3）2024年1月中，每個星期一的日期為1，8，15，22，29.
【問題】　這些數列的后一項與前一項之間的關系是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　等差數列的概念
　如果一個數列從第二項起，每一項減去它的前一項所得的差都等于　　　　　常數，那么這個數列就叫作等差數列，這個常數叫作等差數列的　　　　，公差通常用　　　表示.
提醒　對等差數列概念的再理解：①“從第2項起”是指第1項前面沒有項，無法與后續條件中“與前一項的差”相吻合；
②“每一項與它的前一項的差”這一運算要求是指“相鄰且后項減去前項”，強調了：（ⅰ）作差的順序；（ⅱ）這兩項必須相鄰；
③定義中的“同一個常數”是指全部的后一項減去前一項都等于同一個常數，否則這個數列不能稱為等差數列.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）數列4，4，4，…是等差數列.（　　）
（2）數列6，4，2，0是公差為2的等差數列.（　　）
（3）數列{2n＋1}（n∈N*）是等差數列.（　　）
（4）若一個數列從第2項起每一項與它前一項的差都是常數，則這個數列是等差數列.（　　）
2.若1，x，2成等差數列，則x＝（　　）
A.　　 B.3
C.2　　 D.±
3.已知數列是等差數列，且a1＝2，a3＝6，則該等差數列的公差d＝（　　）
A.　　 B.1
C.　　 D.2
題型一 等差數列的判斷
【例1】　（鏈接教科書第140頁例1）判斷下列各組數列是不是等差數列.如果是，寫出首項a1和公差d.
（1）1，3，5，7，9，…；
（2）9，6，3，0，－3，…；
（3）1，3，4，5，6，…；
（4）7，7，7，7，7，…；
（5）1，，，，，….
通性通法
利用定義判斷等差數列的策略
　　從第二項起，檢驗每一項減去它的前一項所得的差是否都等于同一個常數，若是同一個常數，則是等差數列，否則不是等差數列.
【跟蹤訓練】
（多選）下列數列是等差數列的是（　　）
A.an＝－2n＋3（n∈N*）
B.4，7，10，13，16
C.，，1，，
D.－3，－2，－1，1，2
題型二 利用定義求等差數列中的項
【例2】　（鏈接教科書第141頁例2）（1）若，a，成等差數列，則a＝　　　　；
（2）若－1，a，b，c，7成等差數列，試求a，b，c的值.
通性通法
　　若幾個數成等差數列，嚴格按照等差數列的定義列出等式，通過解方程或方程組的方法求出未知量.
【跟蹤訓練】
若m，4，2n成等差數列，2m，5，n也成等差數列，則m＋n＝　　　　.
題型三 等差數列的證明
【例3】　（2024·南通質檢）在數列{an}中，a1＝1，an＋1＝，設bn＝，n∈N*.求證：數列{bn}是等差數列.
通性通法
用定義法判定數列{an}是等差數列的基本步驟
（1）作差：an＋1－an；
（2）變形：化簡an＋1－an；
（3）得結論：若化簡結果是與n無關的常數，則{an}為等差數列，否則不是等差數列.
【跟蹤訓練】
已知數列{an}滿足a1＝4，an＝4－（n＞1），記bn＝.求證：數列{bn}是等差數列.
1.（2024·泰州月考）若－1，a，7三個數成等差數列，則a＝（　　）
A.1　　 B.2
C.3　　 D.4
2.（多選）下列數列是等差數列的是（　　）
A.2，5，8，11　　
B.1.1，1.01，1.001，1.000 1
C.a，a，a，a　　
D.lg 2，lg 20，lg 200，lg 2 000
3.已知數列{an}，滿足a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3（n≥2，n∈N*），試判斷數列{an}是否是等差數列.
4.2.1　等差數列的概念
【基礎知識·重落實】
知識點
同一個　公差　d
自我診斷
1.（1）√　（2）×　（3）√　（4）×
2.A　由等差數列的定義可知2－x＝x－1，則x＝＝，故選A.
3.D　由等差數列的定義可知a2－a1＝a3－a2，所以a2＝4，故公差d＝a2－a1＝2.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）是，a1＝1，d＝2.
（2）是，a1＝9，d＝－3.
（3）不是.
（4）是，a1＝7，d＝0.
（5）不是.
跟蹤訓練
　ABC　A項，由an＝－2n＋3（n∈N*），則a1＝1，a2＝－1，a3＝－3，…，由等差數列的定義，故是等差數列；B項d＝3，故是等差數列；C項d＝，故是等差數列；D項每一項與前一項的差不是同一個常數，故不是等差數列.
【例2】　（1）　解析：由等差數列的定義可知a－＝－a，解得a＝.
（2）解：由等差數列的定義可知解得
跟蹤訓練
　6　解析：由等差數列的定義可知解得故m＋n＝6.
【例3】　證明：法一　由條件知，＝＝＋1，
所以－＝1，所以bn＋1－bn＝1.
又b1＝＝1，所以數列{bn}是首項為1，公差為1的等差數列.
法二　由條件，得bn＋1－bn＝－＝－＝＝1.
又b1＝＝1，所以數列{bn}是首項為1，公差為1的等差數列.
跟蹤訓練
　證明：因為bn＋1＝＝＝，所以bn＋1－bn＝－＝＝（n∈N*）.
又b1＝＝，
所以數列{bn}是首項為，公差為的等差數列.
隨堂檢測
1.C　由等差數列的定義可知7－a＝a－（－1），則2a＝－1＋7＝6，故a＝3，故選C.
2.ACD　對于A，因為從第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數3，所以此數列是等差數列；對于B，因為1.01－1.1＝－0.09，1.001－1.01＝－0.009，即1.01－1.1≠1.001－1.01，所以此數列不是等差數列；對于C，因為從第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數0，所以此數列是等差數列；對于D，數列lg 2，lg 20，lg 200，lg 2 000可表示為lg 2，1＋lg 2，2＋lg 2，3＋lg 2，因為從第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數1，所以此數列是等差數列.故選A、C、D.
3.解：當n≥2時，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝，但a2－a1＝2－1＝1≠，故數列{an}不是等差數列.
2 / 3(共50張PPT)
4.2.1　等差數列的概念
新課程標準解讀 核心素養
1.通過生活中的實例，理解等差數列的概念，并根據
等差數列的定義進行簡單的運算 數學抽象、
數學運算
2.能根據等差數列的定義證明一個數列是等差數列 邏輯推理、
數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
（1）我國有用12生肖紀年的習慣，例如，2024年是龍年，從2024年
開始，龍年的年份為2024，2036， 2048，2060，2072，
2084，…；
（2）我國確定鞋號的腳長值以毫米為單位來表示，常用確定鞋號腳
長值按從大到小的順序可排列為275，270，265，260，255，
250，…；
（3）2024年1月中，每個星期一的日期為1，8，15，22，29.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【問題】　這些數列的后一項與前一項之間的關系是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　等差數列的概念
　如果一個數列從第二項起，每一項減去它的前一項所得的差都等
于 常數，那么這個數列就叫作等差數列，這個常數叫作等
差數列的 ，公差通常用 表示.
同一個　
公差　
d 　
提醒　對等差數列概念的再理解：①“從第2項起”是指第1項前面沒
有項，無法與后續條件中“與前一項的差”相吻合；②“每一項與它
的前一項的差”這一運算要求是指“相鄰且后項減去前項”，強調
了：（ⅰ）作差的順序；（ⅱ）這兩項必須相鄰；③定義中的“同一個
常數”是指全部的后一項減去前一項都等于同一個常數，否則這個數
列不能稱為等差數列.
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）數列4，4，4，…是等差數列. （　√　）
（2）數列6，4，2，0是公差為2的等差數列. （　×　）
（3）數列{2 n ＋1}（ n ∈N*）是等差數列. （　√　）
（4）若一個數列從第2項起每一項與它前一項的差都是常數，則這
個數列是等差數列. （　×　）
√
×
√
×
2. 若1， x ，2成等差數列，則 x ＝（　　）
B. 3 C. 2
解析：　由等差數列的定義可知2－ x ＝ x －1，則 x ＝ ＝ ，故
選A.
3. 已知數列 是等差數列，且 a1＝2， a3＝6，則該等差數列的公差
d ＝（　　）
B. 1
D. 2
解析：　由等差數列的定義可知 a2－ a1＝ a3－ a2，所以 a2＝4，故
公差 d ＝ a2－ a1＝2.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 等差數列的判斷
【例1】　（鏈接教科書第140頁例1）判斷下列各組數列是不是等差
數列.如果是，寫出首項 a1和公差 d .
（1）1，3，5，7，9，…；
解：是， a1＝1， d ＝2.
（2）9，6，3，0，－3，…；
解：是， a1＝9， d ＝－3.
（3）1，3，4，5，6，…；
解：不是.
（4）7，7，7，7，7，…；
解：是， a1＝7， d ＝0.
（5）1， ， ， ， ，….
解：不是.
通性通法
利用定義判斷等差數列的策略
　　從第二項起，檢驗每一項減去它的前一項所得的差是否都等于同
一個常數，若是同一個常數，則是等差數列，否則不是等差數列.
【跟蹤訓練】
（多選）下列數列是等差數列的是（　　）
A. an ＝－2 n ＋3（ n ∈N*） B. 4，7，10，13，16
D. －3，－2，－1，1，2
解析： 　A項，由 an ＝－2 n ＋3（ n ∈N*），則 a1＝1， a2＝－1，
a3＝－3，…，由等差數列的定義，故是等差數列；B項 d ＝3，故是等
差數列；C項 d ＝ ，故是等差數列；D項每一項與前一項的差不是同
一個常數，故不是等差數列.
題型二 利用定義求等差數列中的項
【例2】　（鏈接教科書第141頁例2）（1）若 ， a ， 成等
差數列，則 a ＝ ；
解析：由等差數列的定義可知 a － ＝ － a ，解得 a ＝ .
　
（2）若－1， a ， b ， c ，7成等差數列，試求 a ， b ， c 的值.
解：由等差數列的定義可知
解得
通性通法
　　若幾個數成等差數列，嚴格按照等差數列的定義列出等式，通過
解方程或方程組的方法求出未知量.
【跟蹤訓練】
若 m ，4，2 n 成等差數列，2 m ，5， n 也成等差數列，則 m ＋ n ＝ .
解析：由等差數列的定義可知解得故 m
＋ n ＝6.
6　
題型三 等差數列的證明
【例3】　（2024·南通質檢）在數列{ an }中， a1＝1， an＋1＝ ，
設 bn ＝ ， n ∈N*.求證：數列{ bn }是等差數列.
證明：法一　由條件知， ＝ ＝ ＋1，
所以 － ＝1，所以 bn＋1－ bn ＝1.
又 b1＝ ＝1，所以數列{ bn }是首項為1，公差為1的等差數列.
法二　由條件，得 bn＋1－ bn ＝ － ＝ － ＝ ＝1.
又 b1＝ ＝1，所以數列{ bn }是首項為1，公差為1的等差數列.
通性通法
用定義法判定數列{ an }是等差數列的基本步驟
（1）作差： an＋1－ an ；
（2）變形：化簡 an＋1－ an ；
（3）得結論：若化簡結果是與 n 無關的常數，則{ an }為等差數列，否
則不是等差數列.
【跟蹤訓練】
已知數列{ an }滿足 a1＝4， an ＝4－ （ n ＞1），記 bn ＝ .求
證：數列{ bn }是等差數列.
證明：因為 bn＋1＝ ＝ ＝ ，所以 bn＋1－ bn
＝ － ＝ ＝ （ n ∈N*）.
又 b1＝ ＝ ，
所以數列{ bn }是首項為 ，公差為 的等差數列.
1. （2024·泰州月考）若－1， a ，7三個數成等差數列，則 a ＝
（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　由等差數列的定義可知7－ a ＝ a －（－1），則2 a ＝－1
＋7＝6，故 a ＝3，故選C.
2. （多選）下列數列是等差數列的是（　　）
A. 2，5，8，11
B. 1.1，1.01，1.001，1.000 1
C. a ， a ， a ， a
D. lg 2，lg 20，lg 200，lg 2 000
解析：　對于A，因為從第2項起，后一項與前一項的差是同
一個常數3，所以此數列是等差數列；對于B，因為1.01－1.1＝－
0.09，1.001－1.01＝－0.009，即1.01－1.1≠1.001－1.01，所以
此數列不是等差數列；對于C，因為從第2項起，后一項與前一項
的差是同一個常數0，所以此數列是等差數列；對于D，數列lg 2，
lg 20，lg 200，lg 2 000可表示為lg 2，1＋lg 2，2＋lg 2，3＋lg 2，
因為從第2項起，后一項與前一項的差是同一個常數1，所以此數列
是等差數列.故選A、C、D.
3. 已知數列{ an }，滿足 a1＝1， a2＝2，2 an＋1＝2 an ＋3（ n ≥2， n
∈N*），試判斷數列{ an }是否是等差數列.
解：當 n ≥2時，由2 an＋1＝2 an ＋3，得 an＋1－ an ＝ ，但 a2－ a1＝2
－1＝1≠ ，故數列{ an }不是等差數列.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 下列數列是等差數列的是（　　）
B. lg 5，lg 6，lg 7
D. 2，3，5
解析：　對于A， － ≠ － ，A不是等差數列；對于B，lg 6－
lg 5≠lg 7－lg 6，B不是等差數列；對于C， －1＝ － ，C是等差
數列；對于D，3－2≠5－3，D不是等差數列.故選C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 已知（　　），5，9成等差數列，則括號內應填的數字是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：　設括號內的數字為 x ，則有5－ x ＝9－5，故 x ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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3. 設數列{ an }（ n ∈N*）是公差為 d 的等差數列，若 a2＝4， a4＝6，
則 d ＝（　　）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
解析：　由 a3－ a2＝ a4－ a3得 a3＝ ＝5，所以 d ＝ a3－ a2＝5
－4＝1.
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4. 已知在各項均不為零的等差數列{ an }中，滿足 a1＋ a3＝ ，則 a2
＝（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 4
解析：　∵{ an }為等差數列，∴ a2－ a1＝ a3－ a2，∴ a1＋ a3＝2
a2，∴2 a2＝ ，解得 a2＝2（ a2＝0舍去）.
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5. 若數列{ an }滿足3 an＋1＝3 an ＋1，則數列{ an }（　　）
A. 是公差為1的等差數列
D. 不是等差數列
解析：　由3 an＋1＝3 an ＋1，得3 an＋1－3 an ＝1，即 an＋1－ an ＝
，所以數列{ an }是公差為 的等差數列.故選B.
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6. （多選）（2024·淮安月考）已知數列{ an }滿足 an＋1＝ an －3， n
∈N*， a1＝27，則下列說法正確的是（　　）
A. 該數列為等差數列 B. 公差為3
C. a5＝15 D. a1＋ a5＝ a2＋ a4
解析：　由條件可知 an＋1－ an ＝－3，所以該數列為等差數
列，公差為－3.所以 a2＝ a1＋（－3）＝24， a3＝ a2＋（－3）＝
21， a4＝ a3＋（－3）＝18， a5＝ a4＋（－3）＝15，所以 a1＋ a5＝
42， a2＋ a4＝42，即 a1＋ a5＝ a2＋ a4.故A、C、D正確，B錯誤.
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7. （多選）已知下列數列的通項公式，其中是等差數列的是（　　）
A. an ＝1－3 n B. an ＝2 n －3
C. an ＝2 n D. an ＝3
解析：　當 n ≥2時，對于A， an － an－1＝1－3 n －[1－3（ n －
1）]＝－3，是等差數列；對于B， an － an－1＝2 n －3－[2（ n －
1）－3]＝2，是等差數列；對于C， an － an－1＝2 n －2 n－1＝2 n－1，
不是常數，不是等差數列；對于D， an － an－1＝3－3＝0，是等差
數列.
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8. 在－3和6之間插入兩個數 a ， b ，使這四個數成等差數列，則公差
為 .
解析：由等差數列的定義可知解得所以 d
＝3.
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9. 已知數列{ an }滿足 ＝ ＋4，且 a1＝1， an ＞0，則 a3＝ .
解析：由等差數列的定義可知 － ＝4，故 是以4為公差
的等差數列，所以 ＝ ＋4＝5， ＝ ＋4＝9，所以 a3＝3
（負值舍去）.
3　
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10. 已知數列 是等差數列.
（1）若 a1＝0， a3＝8，求公差 d 和 a2；
解：由等差數列的定義可知 a2－ a1＝ a3－ a2＝ d ，所以
a2＝4， d ＝4.
（2）若 a2＝3， a3＝6，求公差 d 和 a1；
解：由等差數列的定義可知 a2－ a1＝ a3－ a2＝ d ，
所以 d ＝3， a1＝0.
（3）若 a1＝1， a2＝3，求公差 d 和 a7.
解：由等差數列的定義可知 a2－ a1＝ d ＝2，所以 a7＝13.
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11. 已知數列 是無窮數列，則“2 a2＝ a1＋ a3”是“數列 為等
差數列”的（　　）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分又不必要條件
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解析：　若“數列 為等差數列”成立，必有“2 a2＝ a1＋
a3”，而僅有“2 a2＝ a1＋ a3”成立，不能斷定“數列 為等差
數列”成立，必須滿足對任意的 n ∈N*，都有2 an＋1＝ an ＋ an＋2成
立才可以，故“2 a2＝ a1＋ a3”是“數列 為等差數列”的必要
不充分條件.
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12. （2024·徐州質檢）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所對的邊分別為
a ， b ， c ，若 a ， b ， c 成等差數列， C ＝2（ A ＋ B ），則 ＝
（　　）
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解析：　由 C ＝2（ A ＋ B ）， A ＋ B ＋ C ＝π，得 C ＝ ，由
a ， b ， c 成等差數列，則 b － a ＝ c － b ，得2 b ＝ a ＋ c ，由余弦
定理，得 cos C ＝ ，即－ ＝ ，整理，得
5 ab －3 b2＝0，由 b ≠0得5 a －3 b ＝0，由 a ≠0得 ＝ .故選C.
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13. 在從100到999的所有三位數中，百位、十位、個位數字依次構成
等差數列的有 個.
解析：先考慮不存在0的情況，由題意可知，公差最大為4，公差
為0有9個，公差為±1有14個，公差為±2有10個，公差為±3有6
個，公差為±4有2個；當三位數有0時，有4個，綜上所述，構成
等差數列的共有45個.
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14. 已知數列 中， a3＝9， a5＝5，且滿足 an＋2－2 an＋1＋ an ＝0
（ n ∈N*），試判斷數列 是否為等差數列？若是，求數列
的首項和公差；若不是，請說明理由.
解：因為 an＋2－2 an＋1＋ an ＝0，所以 an＋2－ an＋1＝ an＋1－ an （ n
∈N*），說明這個數列從第2項起，后一項減前一項所得的差始終
相等，所以數列 是等差數列.
由 a3＝9， a5＝5，可知 a4＝7，所以 d ＝－2，所以 a1＝13.
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15. （2024·蘇州質檢）對數列{ an }，規定{Δ an }為數列{ an }的一階差
分數列，其中Δ an ＝ an＋1－ an （ n ∈N*）.對于 k ≥2， k ∈N*，規
定{Δ kan }為{ an }的 k 階差分數列，其中Δ kan ＝Δ k－1 an＋1－Δ k－1 an
＝Δ（Δ k－1 an ）.
（1）試寫出一個等差數列的一階差分數列的前5項；
解：由題意，可以得到許多一階差分數列，不妨取等
差數列{ n ＋1}，由Δ an ＝ an＋1－ an 可得，等差數列{ n ＋1}
的一階差分數列的前5項為1，1，1，1，1（答案不唯一，符
合題意即可）.
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（2）已知數列{ an }的通項公式為 an ＝ n2＋ n （ n ∈N*），試判斷
數列{Δ an }，{Δ2 an }是否為等差數列.
解：∵Δ an ＝ an＋1－ an ＝（ n ＋1）2＋（ n ＋1）－（ n2
＋ n ）＝2 n ＋2，
Δ an＋1－Δ an ＝2，Δ a1＝ a2－ a1＝4，∴{Δ an }是首項為4，公
差為2的等差數列.
∵Δ2 an ＝2（ n ＋1）＋2－（2 n ＋2）＝2，∴{Δ2 an }是首項
為2，公差為0的等差數列.
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