資源簡介

第1課時　等差數(shù)列的通項公式
1.數(shù)列中，a1＝5，an＋1＝an＋3，那么這個數(shù)列的通項公式是（　　）
A.an＝3n－1　　 B.an＝3n＋2
C.an＝3n－2　　 D.an＝3n＋1
2.已知在等差數(shù)列中，a1＝1，d＝3，則當(dāng)an＝298時，n＝（　　）
A.90　　 B.96
C.98　　 D.100
3.在等差數(shù)列中，a3＋a9＝32，a2＝4，則a10＝（　　）
A.25　　 B.28
C.31　　 D.34
4.（2024·淮安月考）《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金棰，長五尺.斬本一尺，重四斤.斬末一尺，重二斤.問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)在有一根金棰，長五尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下一尺，重4斤；在細(xì)的一端截下一尺，重2斤，問各尺依次重多少？”按這一問題的題設(shè)，假設(shè)金棰由粗到細(xì)各尺質(zhì)量依次成等差數(shù)列，則從粗端開始的第二尺的質(zhì)量是（　　）
A.斤　　 B.斤
C.斤　　 D.3斤
5.等差數(shù)列20，17，14，11，…中第一個負(fù)數(shù)項是（　　）
A.第7項　　 B.第8項
C.第9項　　 D.第10項
6.（多選）在數(shù)列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且數(shù)列是等差數(shù)列，公差為d，則（　　）
A.a4＝　　 B.a3＝1
C.d＝　　 D.d＝
7.在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6＝　　　　.
8.在數(shù)列{an}中，若＝＋，a1＝8，則數(shù)列{an}的通項公式為　　　　.
9.體育課上老師指揮大家排成一排，冬冬站排頭，阿奇站排尾，從排頭到排尾依次報數(shù).如果冬冬報17，阿奇報150，每位同學(xué)報的數(shù)都比前一位多7，則隊伍里一共有　　　　人.
10.在等差數(shù)列{an}中，
（1）已知a1＝2，d＝3，求a10；
（2）已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n.
11.（2024·泰州月考）一個等差數(shù)列的首項為，從第10項起各項都比1大，則這個等差數(shù)列的公差d的取值范圍是（　　）
A.d＞　　 B.d＜
C.＜d＜　　 D.＜d≤
12.（多選）若{an}是等差數(shù)列，則下列數(shù)列為等差數(shù)列的有（　　）
A.{an＋3}　　 B.{}
C.{an＋1＋an}　　 D.{2an＋n}
13.數(shù)列{an}的首項a1＝，a3＝且對任意n∈N*，－＝1恒成立，則a10＝　　　　.
14.在等差數(shù)列{an}中，a1＝23，公差d為整數(shù)，若a6＞0，a7＜0.
（1）求公差d的值；
（2）求{an}的通項公式.
15.某商場用如下方法促銷某品牌的上衣：原銷售價為每件280元，改為買一件的單價為265元，買兩件的單價為250元，依此類推，每多買一件，則所買各件的單價均再減少15元，但每件的價格不低于160元.設(shè)an為購買n件這類上衣所花費的金額（單位：元），求an.
第1課時　等差數(shù)列的通項公式
1.B　因為an＋1－an＝3，所以數(shù)列是以5為首項，3為公差的等差數(shù)列，則an＝5＋3＝3n＋2，n∈N*.
2.D　由題意知1＋3（n－1）＝298，解得n＝100.
3.B　因為在等差數(shù)列中，a3＋a9＝32，a2＝4，所以2a1＋10d＝32，a1＋d＝4，解得a1＝1，d＝3，所以a10＝a1＋9d＝28.
4.B　依題意，金棰由粗到細(xì)各尺質(zhì)量構(gòu)成一個等差數(shù)列，設(shè)首項為a1＝4，則a5＝2，設(shè)公差為d，則2＝4＋4d，解得d＝－，所以a2＝4－＝.
5.B　∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋（n－1）×（－3）＝23－3n，∴a7＝2＞0，a8＝－1＜0.故數(shù)列中第一個負(fù)數(shù)項是第8項.
6.ABD　由題意得解得因此＝＋3d＝，故a4＝，＝＋2d＝，解得a3＝1.
7.0　解析：由題意知，解得∴a6＝a1＋5d＝0.
8.an＝2（n＋1）2　解析：由題意得－＝，故數(shù)列{}是首項為＝2，公差為的等差數(shù)列，所以＝2＋（n－1）＝n＋，故an＝2（n＋1）2.
9.20　解析：由題意知，每位同學(xué)報的數(shù)是一個等差數(shù)列，其中首項為17，公差為7，末項為150，設(shè)末項為第n項，則17＋7（n－1）＝150，解得n＝20，則隊伍里一共有20人.
10.解：（1）a10＝a1＋（10－1）d＝2＋9×3＝29.
（2）由an＝a1＋（n－1）d，得3＋2（n－1）＝21，解得n＝10.
11.D　由題意可得即解得＜d≤.
12.ACD　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＋1－an＝d.對于A，an＋1＋3－（an＋3）＝an＋1－an＝d，為常數(shù)，因此{(lán)an＋3}是等差數(shù)列；對于B，－＝（an＋1＋an）（an＋1－an）＝d[2a1＋（2n－1）d]，不為常數(shù)，因此{(lán)}不是等差數(shù)列；對于C，（an＋2＋an＋1）－（an＋1＋an）＝an＋2－an＝2d，為常數(shù)，因此{(lán)an＋1＋an}是等差數(shù)列；對于D，2an＋1＋（n＋1）－（2an＋n）＝2（an＋1－an）＋1＝2d＋1，為常數(shù)，因此{(lán)2an＋n}是等差數(shù)列.故選A、C、D.
13.　解析：因為－＝1，且a1＝，則數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以＝2＋（n－1）×1＝n＋1，則an＝，所以a10＝＝.
14.解：（1）因為{an}是等差數(shù)列，a1＝23，a6＞0，a7＜0，
所以解得－＜d＜－.
又公差d為整數(shù)，所以d＝－4.
（2）因為等差數(shù)列{an}的首項為23，公差為－4，
所以an＝23－4（n－1）＝－4n＋27.
15.解：設(shè)當(dāng)購買n件這類上衣時，每件的單價為bn元，
則每件的價格組成以b1＝265為首項，－15為公差的等差數(shù)列.
又單價不能低于160元，
則265＋（n－1）·（－15）≥160，解得n≤8.
所以當(dāng)n＞8時，bn＝160.
綜上所述，得bn＝n∈N*.
從而an＝n∈N*.
2 / 24.2.2　等差數(shù)列的通項公式
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.掌握等差數(shù)列的通項公式，并能運(yùn)用通項公式解決一些簡單的問題 邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算
2.體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系 數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算
第1課時　等差數(shù)列的通項公式
　　前面學(xué)習(xí)過數(shù)列的通項公式的定義，我們是根據(jù)一個數(shù)列的前幾項猜測或歸納出的這個數(shù)列的通項公式，對于等差數(shù)列5，8，11，14，….
【問題】　（1）你能寫出它的通項公式嗎？
（2）你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項公式嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　等差數(shù)列的通項公式
若等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則等差數(shù)列{an}的通項公式為　　　　　　.
提醒　由等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋（n－1）d可得an＝dn＋（a1－d），如果設(shè)p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常數(shù).當(dāng)p≠0時，an是關(guān)于n的一次函數(shù)；當(dāng)p＝0時，an＝q，等差數(shù)列為常數(shù)列.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）任何等差數(shù)列都有通項公式.（　　）
（2）若等差數(shù)列{an}的首項a1＝0，公差d＝0，則an＝0.（　　）
（3）數(shù)列{an}的通項公式為an＝則{an}是等差數(shù)列.（　　）
2.已知等差數(shù)列{an}中，a5＝10，a9＝20，則a1＝（　　）
A.－　　 B.0
C.2　　 D.5
3.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列且a2＝5，a5＝11，則數(shù)列{an}的通項公式an＝　　　　.
題型一 等差數(shù)列通項公式的證明與推廣
【例1】　已知等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d.求證：an＝a1＋（n－1）d.
通性通法
　　等差數(shù)列{an}的通項公式是由a1和d唯一確定的，其公式的推導(dǎo)除教科書中的累加法外，還可由歸納法、迭代法、逐差法推導(dǎo)出，以上方法均為數(shù)學(xué)中的常用方法.
【跟蹤訓(xùn)練】
已知等差數(shù)列{an}中的任意兩項ap，aq（p，q∈N*且p≠q）.證明對于任意的n（n∈N*），都有an＝（ap－aq）＋ap.
題型二 等差數(shù)列通項公式的應(yīng)用
角度1　等差數(shù)列基本量的計算
【例2】　（鏈接教科書第143頁例4）在等差數(shù)列{an}中.
（1）已知a5＝－1，a8＝2，求a1與d；
（2）已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
角度2　等差數(shù)列通項公式的應(yīng)用
【例3】　（鏈接教科書第145頁練習(xí)2題）已知等差數(shù)列{an}中，a15＝33，a61＝217，試判斷153是不是這個數(shù)列的項？如果是，是第幾項？
【母題探究】
（變設(shè)問）若例3條件不變，求a38及a30＋a46的值，并判斷2a38與a15＋a61是否相等？a30＋a46與a15＋a61是否相等？
通性通法
等差數(shù)列通項公式的求法與應(yīng)用技巧
（1）等差數(shù)列的通項公式可由首項與公差確定，所以要求等差數(shù)列的通項公式，只需求出首項與公差即可；
（2）等差數(shù)列{an}的通項公式an＝a1＋（n－1）d中共含有四個參數(shù)，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三個參數(shù)，那么就可以由通項公式求出第四個參數(shù)，這一求未知量的過程，我們通常稱之為“知三求一”.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.（2024·無錫月考）2 024是等差數(shù)列4，6，8，…的（　　）
A.第1 009項　　 B.第1 010項
C.第1 011項　　 D.第1 012項
2.在等差數(shù)列{an}中，
（1）已知a1＝6，d＝3，求a8；
（2）已知a7＝，d＝－2，求a1；
（3）已知a2＝12，an＝－20，d＝－2，求n；
（4）已知a4＝10，a10＝4，求a7和d.
題型三 等差數(shù)列的實際應(yīng)用
【例4】　（鏈接教科書第144頁例5）某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第一年可獲利200萬元，從第二年起由于市場競爭方面的原因，其利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律，如果該公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？
通性通法
解決等差數(shù)列實際應(yīng)用問題的步驟
提醒　在利用數(shù)列方法解決實際問題時，一定要弄清首項、項數(shù)等關(guān)鍵問題.
【跟蹤訓(xùn)練】
（2024·鹽城質(zhì)檢）某市出租車的計價標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4 km（不含4 km）計費10元.如果某人乘坐該市的出租車去往14 km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付車費　　　　元.
1.已知等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝3－4n，則數(shù)列{an}的首項與公差分別是（　　）
A.1，4　　 B.－1，－4
C.4，1　　 D.－4，－1
2.已知數(shù)列{an}中各項均為非負(fù)數(shù)，a2＝1，a5＝16，若數(shù)列{}為等差數(shù)列，則a13＝（　　）
A.169　　 B.144
C.12　　 D.13
3.在等差數(shù)列{an}中，已知a4＝10，a14＝70，則an＝　　　　.
第1課時　等差數(shù)列的通項公式
【基礎(chǔ)知識·重落實】
知識點
an＝a1＋（n－1）d
自我診斷
1.（1）√　（2）√　（3）×
2.B　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a5＝10，a9＝20，所以解得d＝，a1＝0，故選B.
3.2n＋1　解析：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則解得a1＝3，d＝2，所以an＝a1＋（n－1）d＝3＋（n－1）×2＝2n＋1.
【典型例題·精研析】
【例1】　證明：法一（歸納法）　a1＝a1＋0·d，
a2＝a1＋d，
a3＝a2＋d＝（a1＋d）＋d＝a1＋2d，
a4＝a3＋d＝（a1＋2d）＋d＝a1＋3d，
…
歸納可得an＝a1＋（n－1）d.
法二（迭代法）　已知{an}是等差數(shù)列，則an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d＝an－2＋2d＝an－3＋d＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋（n－1）d.
法三（逐差法）　已知{an}是等差數(shù)列，則an＝an－an－1＋an－1＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋an－2＝…＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝a1＋（n－1）d.
跟蹤訓(xùn)練
　證明：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，
∵an＝a1＋（n－1）d， ①
ap＝a1＋（p－1）d， ②
aq＝a1＋（q－1）d， ③
①－②得，an－ap＝（n－p）d， ④
②－③得，ap－aq＝（p－q）d，∴d＝，代入④式得an－ap＝（ap－aq），整理得an＝·（ap－aq）＋ap，n∈N*.
【例2】　解：（1）∵a5＝－1，a8＝2，
∴解得
（2）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，
由已知得，解得
∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1，
∴a9＝2×9－1＝17.
【例3】　解：設(shè)首項為a1，公差為d，則an＝a1＋（n－1）d，
由已知得
解得
所以an＝－23＋（n－1）×4＝4n－27，
令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N*，所以153是所給數(shù)列的第45項.
母題探究
　解：由例3知a15＋a61＝33＋217＝250，
an＝4n－27，
所以a38＝4×38－27＝125，
a30＋a46＝4×30－27＋4×46－27＝250，
故2a38＝a15＋a61，a30＋a46＝a15＋a61.
跟蹤訓(xùn)練
1.C　∵此等差數(shù)列的公差d＝2，a1＝4，∴an＝4＋（n－1）×2＝2n＋2，令2 024＝2n＋2，解得n＝1 011.
2.解：（1）∵a1＝6，d＝3，∴an＝6＋3（n－1）＝3n＋3，
∴a8＝3×8＋3＝27.
（2）∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝，∴a1＝.
（3）∵a2＝12，d＝－2，∴a1＝a2－d＝12－（－2）＝14，
∴an＝14－2（n－1）＝16－2n，令16－2n＝－20，∴n＝18.
（4）法一　由題意知解得
∴a7＝13＋6×（－1）＝7.
法二　∵a4＝10，a10＝4，∴d＝＝－1，
∴an＝a4＋（n－4）×（－1）＝－n＋14，
∴a7＝－7＋14＝7.
【例4】　解：設(shè)從第一年起，第n年的利潤為an萬元，
則a1＝200，an＋1－an＝－20（n∈N*），
∴每年的利潤構(gòu)成一個等差數(shù)列{an}，
從而an＝a1＋（n－1）d＝200＋（n－1）×（－20）＝220－20n.
若an＜0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損.
∴由an＝220－20n＜0，得n＞11，
即從第12年起，該公司經(jīng)銷此產(chǎn)品將虧損.
跟蹤訓(xùn)練
　23.2　解析：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4 km時，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以可以建立一個等差數(shù)列{an}來計算車費.令a1＝11.2，表示4 km處的車費，公差d＝1.2，那么當(dāng)出租車行至14 km處時，n＝11，此時需要支付車費a11＝11.2＋（11－1）×1.2＝23.2（元）.
隨堂檢測
1.B　因為當(dāng)n＝1時，a1＝－1，當(dāng)n＝2時，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4.
2.B　由題意a2＝1，a5＝16，所以＝1，＝4，又因為數(shù)列{}是等差數(shù)列，所以d＝＝1，且＝0滿足各項為非負(fù)數(shù)，則有＝＋（13－1）d＝12，可得a13＝122＝144.故選B.
3.6n－14　解析：法一　設(shè)公差為d，則解得所以an＝a1＋（n－1）d＝6n－14.
法二　設(shè)公差為d，則d＝＝＝6，an＝a4＋（n－4）·d＝10＋6（n－4）＝6n－14.
3 / 3(共54張PPT)
4.2.2　
等差數(shù)列的通項公式
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.掌握等差數(shù)列的通項公式，并能運(yùn)用通項公式解
決一些簡單的問題 邏輯推理、數(shù)
學(xué)運(yùn)算
2.體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系 數(shù)學(xué)抽象、數(shù)
學(xué)運(yùn)算
第1課時　
等差數(shù)列的通項公式
目錄
基礎(chǔ)知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識·重落實
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識梳理
　　前面學(xué)習(xí)過數(shù)列的通項公式的定義，我們是根據(jù)一個數(shù)列的前幾
項猜測或歸納出的這個數(shù)列的通項公式，對于等差數(shù)列5，8，11，
14，….
【問題】　（1）你能寫出它的通項公式嗎？
（2）你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項公式嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
知識點　等差數(shù)列的通項公式
若等差數(shù)列{ an }的首項為 a1，公差為 d ，則等差數(shù)列{ an }的通項公式
為 .
提醒　由等差數(shù)列的通項公式 an ＝ a1＋（ n －1） d 可得 an ＝ dn ＋（ a1
－ d ），如果設(shè) p ＝ d ， q ＝ a1－ d ，那么 an ＝ pn ＋ q ，其中 p ， q 是常
數(shù).當(dāng) p ≠0時， an 是關(guān)于 n 的一次函數(shù)；當(dāng) p ＝0時， an ＝ q ，等差數(shù)
列為常數(shù)列.
an ＝ a1＋（ n －1） d 　
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）任何等差數(shù)列都有通項公式. （　√　）
（2）若等差數(shù)列{ an }的首項 a1＝0，公差 d ＝0，則 an ＝0.
（　√　）
（3）數(shù)列{ an }的通項公式為 an ＝則{ an }是等差數(shù)
列. （　×　）
√
√
×
2. 已知等差數(shù)列{ an }中， a5＝10， a9＝20，則 a1＝（　　）
B. 0
C. 2 D. 5
解析：　設(shè)等差數(shù)列{ an }的公差為 d ，因為 a5＝10， a9＝20，所
以解得 d ＝ ， a1＝0，故選B.
3. 若數(shù)列{ an }為等差數(shù)列且 a2＝5， a5＝11，則數(shù)列{ an }的通項公式
an ＝ .
解析：設(shè)數(shù)列{ an }的公差為 d ，則解得 a1＝3， d
＝2，所以 an ＝ a1＋（ n －1） d ＝3＋（ n －1）×2＝2 n ＋1.
2 n ＋1　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關(guān)鍵能力提升
　　
題型一 等差數(shù)列通項公式的證明與推廣
【例1】　已知等差數(shù)列{ an }的首項為 a1，公差為 d .求證： an ＝ a1＋
（ n －1） d .
證明：法一（歸納法）　 a1＝ a1＋0· d ，
a2＝ a1＋ d ，
a3＝ a2＋ d ＝（ a1＋ d ）＋ d ＝ a1＋2 d ，
a4＝ a3＋ d ＝（ a1＋2 d ）＋ d ＝ a1＋3 d ，
…
歸納可得 an ＝ a1＋（ n －1） d .
法二（迭代法）　已知{ an }是等差數(shù)列，則 an ＝ an－1＋ d ＝ an－2＋ d
＋ d ＝ an－2＋2 d ＝ an－3＋ d ＋2 d ＝ an－3＋3 d ＝…＝ a1＋（ n －1） d .
法三（逐差法）　已知{ an }是等差數(shù)列，則 an ＝ an － an－1＋ an－1＝
（ an － an－1）＋（ an－1－ an－2）＋ an－2＝…＝（ an － an－1）＋（ an－1
－ an－2）＋…＋（ a2－ a1）＋ a1＝ a1＋（ n －1） d .
通性通法
　　等差數(shù)列{ an }的通項公式是由 a1和 d 唯一確定的，其公式的推導(dǎo)
除教科書中的累加法外，還可由歸納法、迭代法、逐差法推導(dǎo)出，以
上方法均為數(shù)學(xué)中的常用方法.
【跟蹤訓(xùn)練】
已知等差數(shù)列{ an }中的任意兩項 ap ， aq （ p ， q ∈N*且 p ≠ q ）.證明
對于任意的 n （ n ∈N*），都有 an ＝ （ ap － aq ）＋ ap .
證明：設(shè)等差數(shù)列{ an }的首項為 a1，公差為 d ，
∵ an ＝ a1＋（ n －1） d ，　①
ap ＝ a1＋（ p －1） d ，　②
aq ＝ a1＋（ q －1） d ，　③
①－②得， an － ap ＝（ n － p ） d ， ④
②－③得， ap － aq ＝（ p － q ） d ，∴ d ＝ ，代入④式得 an － ap
＝ （ ap － aq ），整理得 an ＝ ·（ ap － aq ）＋ ap ， n ∈N*.
題型二 等差數(shù)列通項公式的應(yīng)用
角度1　等差數(shù)列基本量的計算
【例2】　（鏈接教科書第143頁例4）在等差數(shù)列{ an }中.
（1）已知 a5＝－1， a8＝2，求 a1與 d ；
解：∵ a5＝－1， a8＝2，
∴解得
（2）已知 a1＋ a6＝12， a4＝7，求 a9.
解：設(shè)數(shù)列{ an }的公差為 d ，
由已知得，解得
∴ an ＝1＋（ n －1）×2＝2 n －1，
∴ a9＝2×9－1＝17.
角度2　等差數(shù)列通項公式的應(yīng)用
【例3】　（鏈接教科書第145頁練習(xí)2題）已知等差數(shù)列{ an }中，
a15＝33， a61＝217，試判斷153是不是這個數(shù)列的項？如果是，是
第幾項？
解：設(shè)首項為 a1，公差為 d ，則 an ＝ a1＋（ n －1） d ，
由已知得
解得
所以 an ＝－23＋（ n －1）×4＝4 n －27，
令 an ＝153，即4 n －27＝153，解得 n ＝45∈N*，所以153是所給數(shù)列
的第45項.
【母題探究】
（變設(shè)問）若例3條件不變，求 a38及 a30＋ a46的值，并判斷2 a38與 a15
＋ a61是否相等？ a30＋ a46與 a15＋ a61是否相等？
解：由例3知 a15＋ a61＝33＋217＝250，
an ＝4 n －27，
所以 a38＝4×38－27＝125，
a30＋ a46＝4×30－27＋4×46－27＝250，
故2 a38＝ a15＋ a61， a30＋ a46＝ a15＋ a61.
通性通法
等差數(shù)列通項公式的求法與應(yīng)用技巧
（1）等差數(shù)列的通項公式可由首項與公差確定，所以要求等差數(shù)列
的通項公式，只需求出首項與公差即可；
（2）等差數(shù)列{ an }的通項公式 an ＝ a1＋（ n －1） d 中共含有四個參
數(shù)，即 a1， d ， n ， an ，如果知道了其中的任意三個參數(shù)，那么
就可以由通項公式求出第四個參數(shù)，這一求未知量的過程，我
們通常稱之為“知三求一”.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. （2024·無錫月考）2 024是等差數(shù)列4，6，8，…的（　　）
A. 第1 009項 B. 第1 010項
C. 第1 011項 D. 第1 012項
解析：　∵此等差數(shù)列的公差 d ＝2， a1＝4，∴ an ＝4＋（ n －
1）×2＝2 n ＋2，令2 024＝2 n ＋2，解得 n ＝1 011.
2. 在等差數(shù)列{ an }中，
（1）已知 a1＝6， d ＝3，求 a8；
解：∵ a1＝6， d ＝3，∴ an ＝6＋3（ n －1）＝3 n ＋3，
∴ a8＝3×8＋3＝27.
（2）已知 a7＝ ， d ＝－2，求 a1；
解：∵ a7＝ a1＋6 d ＝ a1－12＝ ，∴ a1＝ .
（3）已知 a2＝12， an ＝－20， d ＝－2，求 n ；
解：∵ a2＝12， d ＝－2，∴ a1＝ a2－ d ＝12－（－2）＝14，
∴ an ＝14－2（ n －1）＝16－2 n ，令16－2 n ＝－20，∴ n ＝18.
（4）已知 a4＝10， a10＝4，求 a7和 d .
解：法一　由題意知解得
∴ a7＝13＋6×（－1）＝7.
法二　∵ a4＝10， a10＝4，∴ d ＝ ＝－1，
∴ an ＝ a4＋（ n －4）×（－1）＝－ n ＋14，
∴ a7＝－7＋14＝7.
題型三 等差數(shù)列的實際應(yīng)用
【例4】　（鏈接教科書第144頁例5）某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第
一年可獲利200萬元，從第二年起由于市場競爭方面的原因，其利潤
每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律，如果該公司不開發(fā)新產(chǎn)
品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？
解：設(shè)從第一年起，第 n 年的利潤為 an 萬元，
則 a1＝200， an＋1－ an ＝－20（ n ∈N*），
∴每年的利潤構(gòu)成一個等差數(shù)列{ an }，
從而 an ＝ a1＋（ n －1） d ＝200＋（ n －1）×（－20）＝220－20 n .
若 an ＜0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損.
∴由 an ＝220－20 n ＜0，得 n ＞11，
即從第12年起，該公司經(jīng)銷此產(chǎn)品將虧損.
通性通法
解決等差數(shù)列實際應(yīng)用問題的步驟
提醒　在利用數(shù)列方法解決實際問題時，一定要弄清首項、項數(shù)等關(guān)
鍵問題.
【跟蹤訓(xùn)練】
（2024·鹽城質(zhì)檢）某市出租車的計價標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價為10
元，即最初的4 km（不含4 km）計費10元.如果某人乘坐該市的出租
車去往14 km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付車
費 元.
23.2　
解析：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4 km時，每增加1
km，乘客需要支付1.2元.所以可以建立一個等差數(shù)列{ an }來計算車
費.令 a1＝11.2，表示4 km處的車費，公差 d ＝1.2，那么當(dāng)出租車行
至14 km處時， n ＝11，此時需要支付車費 a11＝11.2＋（11－1）
×1.2＝23.2（元）.
1. 已知等差數(shù)列{ an }的通項公式為 an ＝3－4 n ，則數(shù)列{ an }的首項與
公差分別是（　　）
A. 1，4 B. －1，－4
C. 4，1 D. －4，－1
解析：　因為當(dāng) n ＝1時， a1＝－1，當(dāng) n ＝2時， a2＝3－4×2＝－
5，所以公差 d ＝ a2－ a1＝－4.
2. 已知數(shù)列{ an }中各項均為非負(fù)數(shù)， a2＝1， a5＝16，若數(shù)列{ }
為等差數(shù)列，則 a13＝（　　）
A. 169 B. 144
C. 12 D. 13
解析：　由題意 a2＝1， a5＝16，所以 ＝1， ＝4，又因為
數(shù)列{ }是等差數(shù)列，所以 d ＝ ＝1，且 ＝0滿足各項
為非負(fù)數(shù)，則有 ＝ ＋（13－1） d ＝12，可得 a13＝122＝
144.故選B.
3. 在等差數(shù)列{ an }中，已知 a4＝10， a14＝70，則 an ＝ .
解析：法一　設(shè)公差為 d ，則解得所
以 an ＝ a1＋（ n －1） d ＝6 n －14.
6 n －14　
法二　設(shè)公差為 d ，則 d ＝ ＝ ＝6， an ＝ a4＋（ n －4）· d ＝10
＋6（ n －4）＝6 n －14.
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 數(shù)列 中， a1＝5， an＋1＝ an ＋3，那么這個數(shù)列的通項公式是
（　　）
A. an ＝3 n －1 B. an ＝3 n ＋2
C. an ＝3 n －2 D. an ＝3 n ＋1
解析：　因為 an＋1－ an ＝3，所以數(shù)列 是以5為首項，3為公
差的等差數(shù)列，則 an ＝5＋3 ＝3 n ＋2， n ∈N*.
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2. 已知在等差數(shù)列 中， a1＝1， d ＝3，則當(dāng) an ＝298時， n ＝
（　　）
A. 90 B. 96
C. 98 D. 100
解析：　由題意知1＋3（ n －1）＝298，解得 n ＝100.
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3. 在等差數(shù)列 中， a3＋ a9＝32， a2＝4，則 a10＝（　　）
A. 25 B. 28
C. 31 D. 34
解析：　因為在等差數(shù)列 中， a3＋ a9＝32， a2＝4，所以2 a1
＋10 d ＝32， a1＋ d ＝4，解得 a1＝1， d ＝3，所以 a10＝ a1＋9 d ＝
28.
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4. （2024·淮安月考）《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金棰，長五
尺.斬本一尺，重四斤.斬末一尺，重二斤.問次一尺各重幾何？”
意思是：“現(xiàn)在有一根金棰，長五尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一
端截下一尺，重4斤；在細(xì)的一端截下一尺，重2斤，問各尺依次重
多少？”按這一問題的題設(shè)，假設(shè)金棰由粗到細(xì)各尺質(zhì)量依次成等
差數(shù)列，則從粗端開始的第二尺的質(zhì)量是（　　）
D. 3斤
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解析：　依題意，金棰由粗到細(xì)各尺質(zhì)量構(gòu)成一個等差數(shù)列，設(shè)
首項為 a1＝4，則 a5＝2，設(shè)公差為 d ，則2＝4＋4 d ，解得 d ＝－
，所以 a2＝4－ ＝ .
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5. 等差數(shù)列20，17，14，11，…中第一個負(fù)數(shù)項是（　　）
A. 第7項 B. 第8項
C. 第9項 D. 第10項
解析：　∵ a1＝20， d ＝－3，∴ an ＝20＋（ n －1）×（－
3）＝23－3 n ，∴ a7＝2＞0， a8＝－1＜0.故數(shù)列中第一個負(fù)數(shù)
項是第8項.
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6. （多選）在數(shù)列{ an }中，已知 a2＝2， a6＝0，且數(shù)列 是等差
數(shù)列，公差為 d ，則（　　）
B. a3＝1
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解析：　由題意得解得
因此 ＝ ＋3 d ＝ ，故 a4＝ ， ＝ ＋2 d ＝ ，解得
a3＝1.
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7. 在等差數(shù)列{ an }中，若 a2＝4， a4＝2，則 a6＝ .
解析：由題意知，解得
∴ a6＝ a1＋5 d ＝0.
0　
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8. 在數(shù)列{ an }中，若 ＝ ＋ ， a1＝8，則數(shù)列{ an }的通項
公式為 .
解析：由題意得 － ＝ ，故數(shù)列{ }是首項為
＝2 ，公差為 的等差數(shù)列，所以 ＝2 ＋ （ n －1）＝
n ＋ ，故 an ＝2（ n ＋1）2.
an ＝2（ n ＋1）2　
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9. 體育課上老師指揮大家排成一排，冬冬站排頭，阿奇站排尾，從排
頭到排尾依次報數(shù).如果冬冬報17，阿奇報150，每位同學(xué)報的數(shù)都
比前一位多7，則隊伍里一共有 人.
解析：由題意知，每位同學(xué)報的數(shù)是一個等差數(shù)列，其中首項為
17，公差為7，末項為150，設(shè)末項為第 n 項，則17＋7（ n －1）＝
150，解得 n ＝20，則隊伍里一共有20人.
20　
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10. 在等差數(shù)列{ an }中，
（1）已知 a1＝2， d ＝3，求 a10；
解：a10＝ a1＋（10－1） d ＝2＋9×3＝29.
（2）已知 a1＝3， an ＝21， d ＝2，求 n .
解：由 an ＝ a1＋（ n －1） d ，得3＋2（ n －1）＝21，
解得 n ＝10.
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11. （2024·泰州月考）一個等差數(shù)列的首項為 ，從第10項起各項都
比1大，則這個等差數(shù)列的公差 d 的取值范圍是（　　）
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解析：由題意可得即解得 ＜ d ≤ .
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12. （多選）若{ an }是等差數(shù)列，則下列數(shù)列為等差數(shù)列的有
（　　）
A. { an ＋3}
C. { an＋1＋ an } D. {2 an ＋ n }
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解析：　設(shè)等差數(shù)列{ an }的公差為 d ，則 an＋1－ an ＝ d .對于
A， an＋1＋3－（ an ＋3）＝ an＋1－ an ＝ d ，為常數(shù)，因此{(lán) an ＋3}
是等差數(shù)列；對于B， － ＝（ an＋1＋ an ）（ an＋1－ an ）＝
d [2 a1＋（2 n －1） d ]，不為常數(shù)，因此{(lán) }不是等差數(shù)列；對
于C，（ an＋2＋ an＋1）－（ an＋1＋ an ）＝ an＋2－ an ＝2 d ，為常
數(shù)，因此{(lán) an＋1＋ an }是等差數(shù)列；對于D，2 an＋1＋（ n ＋1）－
（2 an ＋ n ）＝2（ an＋1－ an ）＋1＝2 d ＋1，為常數(shù)，因此{(lán)2 an ＋
n }是等差數(shù)列.故選A、C、D.
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13. 數(shù)列{ an }的首項 a1＝ ， a3＝ 且對任意 n ∈N*， － ＝1恒
成立，則 a10＝ .
解析：因為 － ＝1，且 a1＝ ，則數(shù)列 是以2為首項，1
為公差的等差數(shù)列，所以 ＝2＋（ n －1）×1＝ n ＋1，則 an ＝
，所以 a10＝ ＝ .
　
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14. 在等差數(shù)列{ an }中， a1＝23，公差 d 為整數(shù)，若 a6＞0， a7＜0.
（1）求公差 d 的值；（2）求{ an }的通項公式.
解：（1）因為{ an }是等差數(shù)列， a1＝23， a6＞0， a7＜0，
所以解得－ ＜ d ＜－ .
又公差 d 為整數(shù)，所以 d ＝－4.
（2）因為等差數(shù)列{ an }的首項為23，公差為－4，
所以 an ＝23－4（ n －1）＝－4 n ＋27.
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15. 某商場用如下方法促銷某品牌的上衣：原銷售價為每件280元，改
為買一件的單價為265元，買兩件的單價為250元，依此類推，每
多買一件，則所買各件的單價均再減少15元，但每件的價格不低
于160元.設(shè) an 為購買 n 件這類上衣所花費的金額（單位：元），
求 an .
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解：設(shè)當(dāng)購買 n 件這類上衣時，每件的單價為 bn 元，
則每件的價格組成以 b1＝265為首項，－15為公差的等差數(shù)列.
又單價不能低于160元，
則265＋（ n －1）·（－15）≥160，解得 n ≤8.
所以當(dāng) n ＞8時， bn ＝160.
綜上所述，得 bn ＝ n ∈N*.
從而 an ＝ n ∈N*.
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