資源簡介

第2課時　等差數列的性質
1.在等差數列{an}中，a6＝5，a10＝6，則公差d＝（　?。?br/>A.　　 B.
C.2　　 D.－
2.已知等差數列{an}滿足a20－a22＝2，a1 011＝1 012，則a2 024＝（　　）
A.－1　　 B.1
C.2　　 D.2 024
3.已知等差數列{an}的公差為d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m＝（　?。?br/>A.12　　 B.8
C.6　　 D.4
4.已知數列{an}，{bn}為等差數列，且公差分別為d1＝2，d2＝1，則數列{2an－3bn}的公差為（　?。?br/>A.7　　 B.5
C.3　　 D.1
5.已知{an}為等差數列，且a4，a14是方程x2－4x－15＝0的兩根，則a9＝（　?。?br/>A.－4　　 B.－2
C.2　　 D.4
6.（多選）已知a，b，c成等差數列，則（　?。?br/>A.a2，b2，c2一定成等差數列
B.2a，2b，2c可能成等差數列
C.ka＋2，kb＋2，kc＋2（k為常數）一定成等差數列
D.，，可能成等差數列
7.（2024·湖州月考）已知等差數列{an}，若a1＋a5＋a9＝2π，則sin（a2＋a8）＝　　　　.
8.如果等差數列{an}中，a1＝2，a3＝6，則數列{2an－3}是公差為　　　　的等差數列.
9.等差數列，滿足對任意n∈N*都有＝，則＋＝　　　　.
10.（1）已知等差數列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8的值；
（2）設{an}是公差為正數的等差數列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值.
11.已知圓O的半徑為5，且OP＝3，過點P的2 025條弦的長度組成一個等差數列{an}，最短弦長為a1，最長弦長為a2 025，則其公差為（　?。?br/>A.　　B.　　C.　　D.
12.（2024·南京月考）我國古代數學名著《孫子算經》中記載有一道數學問題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩二.問物幾何？”這里的幾何指多少的意思.翻譯成數學語言就是：求正整數N，使N除以3余2，除以5余2.根據這一數學思想，今有由小到大排列的所有正整數數列{an}，{bn}，{an}滿足被3除余2，a1＝2，{bn}滿足被5除余2，b1＝2，把數列{an}與{bn}相同的項從小到大組成一個新數列，記為{cn}，則下列說法正確的是（　?。?br/>A.c2＝a1＋b1　　 B.c6＝a2b3
C.c10＝a46　　 D.a1＋2b2＝c4
13.（多選）已知等差數列{an}滿足a1＞0，且a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則（　　）
A.a1＋a101＞0　　 B.a1＋a101＜0
C.a3＋a99＝0　　 D.a51＜a50
14.已知在等差數列{an}中，a5＝4，公差d＝4.若在每相鄰兩項中各插入兩個數，使之成等差數列{bn}.
（1）求新數列的通項公式；
（2）a50是新數列的第幾項？
15.給定整數n（n≥4），設集合A＝{a1，a2，…，an}，記集合B＝{ai＋aj｜ai，aj∈A，1≤i≤j≤n}.
（1）若A＝{－3，0，1，2}，求集合B；
（2）若a1，a2，…，an構成以a1為首項，d（d＞0）為公差的等差數列，求證：集合B中的元素個數為2n－1.
第2課時　等差數列的性質
1.A　在等差數列{an}中，a10－a6＝4d＝6－5＝1，所以d＝.故選A.
2.A　在等差數列{an}中，設公差為d.由a20－a22＝2，得2d＝－2，即d＝－1.∴a2 024＝a1 011＋1 013d＝1 012－1 013＝－1.故選A.
3.B　由等差數列性質得，a3＋a6＋a10＋a13＝（a3＋a13）＋（a6＋a10）＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
4.D　由于{an}，{bn}為等差數列，故數列{2an－3bn}的公差d＝（2an＋1－3bn＋1）－（2an－3bn）＝2（an＋1－an）－3（bn＋1－bn）＝2d1－3d2＝1.
5.C　由a4，a14是方程x2－4x－15＝0的兩根，可得a4＋a14＝4，又由數列{an}為等差數列，可得a4＋a14＝2a9，所以a9＝2.故選C.
6.BCD　對于A，取a＝1，b＝2，c＝3，則a2＝1，b2＝4，c2＝9，此時a2，b2，c2不成等差數列，故A錯誤；對于B，令a＝b＝c，則2a＝2b＝2c，此時2a，2b，2c是公差為0的等差數列，故B正確；對于C，∵a，b，c成等差數列，∴b－a＝c－b＝m（m為常數）.又（kb＋2）－（ka＋2）＝k（b－a），（kc＋2）－（kb＋2）＝k（c－b），∴（kb＋2）－（ka＋2）＝（kc＋2）－（kb＋2）＝km（km為常數），∴ka＋2，kb＋2，kc＋2（k為常數）為等差數列，故C正確；對于D，令a＝b＝c≠0，則＝＝，此時，，是公差為0的等差數列，故D正確.故選B、C、D.
7.－　解析：已知等差數列{an}，所以a1＋a5＋a9＝3a5＝2π，則a5＝，所以a2＋a8＝2a5＝，故sin （a2＋a8）＝sin＝－.
8.4　解析：因為數列{an}是等差數列，且a3－a1＝6－2＝4，所以2d＝4，即d＝2，則an＝2＋2（n－1）＝2n，所以2an－3＝4n－3，則（4n－3）－＝4，所以數列{2an－3}是公差為4的等差數列.
9.1　解析：由等差數列的性質可得b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6，所以＋＝＝＝＝1.
10.解：（1）法一　根據等差數列的性質得a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，
由a2＋a6＋a10＝1，
得3a6＝1，解得a6＝，
∴a4＋a8＝2a6＝.
法二　設公差為d，根據等差數列的通項公式，
得a2＋a6＋a10＝（a1＋d）＋（a1＋5d）＋（a1＋9d）＝3a1＋15d，
由題意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝.
∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2（a1＋5d）＝.
（2）設公差為d（d＞0），∵a1＋a3＝2a2，
∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5.
又a1a2a3＝80，{an}是公差為正數的等差數列，
∴a1a3＝（5－d）（5＋d）＝16 d＝3或d＝－3（舍去），
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.
11.B　因為圓O的半徑為5，且OP＝3，過點P的2 025條弦的長度組成一個等差數列{an}，其中最短弦長為a1＝2＝8，最長弦長為a2 025＝2×5＝10，所以等差數列{an}的公差為d＝＝＝.故選B.
12.C　由條件可知an＝2＋3（n－1）＝3n－1，bn＝2＋5（n－1）＝5n－3，cn＝2＋15（n－1）＝15n－13.對于A，c2＝17，a1＋b1＝4，所以A錯誤；對于B，c6＝77，a2b3＝60，所以B錯誤；對于C，c10＝137，a46＝137，所以C正確；對于D，a1＋2b2＝16，c4＝47，所以D錯誤.
13.CD　根據等差數列的性質，得a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，因為a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以101a51＝0，所以a1＋a101＝a3＋a99＝2a51＝0.又a1＞0，所以d＜0，a51＝a50＋d＜a50，故選C、D.
14.解：（1）an＝a5＋（n－5）d＝4n－16.
在新數列{bn}中，b1＝a1＝－12，
公差d'＝d＝，
∴bn＝－12＋（n－1）＝n－.
（2）由a50＝184＝n－，
得n＝148.
∴a50是新數列的第148項.
15.解：（1）因為B＝{ai＋aj｜ai，aj∈A，1≤i≤j≤n}，
當A＝{－3，0，1，2}時，ai＋aj＝－6，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，所以B＝{－6，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}.
（2）證明：因為a1，a2，…，an構成以a1為首項，d（d＞0）為公差的等差數列，所以有ai－1＋an＝ai＋an－1（2≤i≤n－2），2ai＝ai－1＋ai＋1（2≤i≤n－1）.
此時，集合B中的元素有以下大小關系：
2a1＜a1＋a2＜a1＋a3＜…＜a1＋an＜a2＋an＜a3＋an＜…＜an－1＋an＜2an.
因此，集合B中含有2n－1個元素.
2 / 2第2課時　等差數列的性質
　　如圖，第一層有一個球，第二層有2個球，最上層有16個球.
【問題】　（1）每隔一層的球數有什么規律？
（2）每隔二層呢？每隔三層呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　等差中項
1.條件：如果三個數a，A，b成　　　數列.
2.結論：那么A叫作a與b的　　　　　.
3.滿足的關系式：2A＝　　　　.
【想一想】
　任何兩個數都有等差中項嗎？
知識點二　等差數列項的運算性質
　設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，則
（1）an＝am＋　　　　d，d＝（m，n∈N*，且m≠n）；
（2）若m＋n＝s＋t，則am＋an＝　　　　；
特別地，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap（m，n，s，t，p∈N*）；
（3）對有窮等差數列，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的　　，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
【想一想】
1.若{an}為等差數列，且m＋n＝p（m，n，p∈N*），則am＋an＝ap一定成立嗎？
2.在等差數列{an}中，若m，n，p，q，…成等差數列，那么am，an，ap，aq，…也成等差數列嗎？若成等差數列，公差是什么？
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）若三個數a，b，c滿足a＋c＝2b，則a，b，c一定成等差數列.（　?。?br/>（2）若數列a1，a2，a3，a4，…是等差數列，則數列a1，a3，a5，…也是等差數列.（　　）
（3）若{an}是等差數列，則{｜an｜}也是等差數列.（　?。?br/>2.2與8的等差中項是（　　）
A.－5　　B.5　　C.4　　D.±4
3.已知等差數列{an}中，a3＝9，a9＝3，則公差d＝　　　　.
題型一 等差中項及應用
【例1】?。ㄦ溄咏炭茣?47頁習題11題）（1）已知2m與n的等差中項為5，m與2n的等差中項為4，則m與n的等差中項為　　　??；
（2）已知△ABC中的三邊a，b，c成等差數列，，，也成等差數列，則△ABC的形狀為　　　　.
通性通法
等差中項的應用策略
（1）求兩個數x，y的等差中項A，根據等差中項的定義得A＝；
（2）證明三項成等差數列，只需證明中間一項為兩邊兩項的等差中項即可，即若a，b，c成等差數列，則a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，則a，b，c成等差數列.
【跟蹤訓練】
1.設x是a與b的等差中項，x2是a2與－b2的等差中項，則a，b的關系是（　　）
A.a＝－b
B.a＝3b
C.a＝－b或a＝3b
D.a＝b＝0
2.已知a＋3是2a－1和2a＋1的等差中項，則3a－5和4a＋6的等差中項為　　　　.
題型二 等差數列性質的應用
【例2】　（1）在等差數列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，則此數列的通項公式an＝　　　??；
（2）如果在等差數列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝　　　　.
通性通法
等差數列運算的兩種常用方法及思路
（1）基本量法：根據已知條件，列出關于a1，d的方程（組），確定a1，d，然后求其他量；
（2）巧用性質法：觀察等差數列中項的序號，若滿足m＋n＝p＋q＝2r（m，n，p，q，r∈N*），則am＋an＝ap＋aq＝2ar.
【跟蹤訓練】
1.在等差數列{an}中，a2＋3a8＋a14＝100，則2a9－a10＝（　?。?br/>A.20　　 B.18
C.16　　 D.－8
2.已知{bn}為等差數列，若b3＝－2，b10＝12，則b8＝　　　　.
題型三 由等差數列衍生的新數列
【例3】　（1）若數列{an}是公差為d的等差數列，則數列{dan}是（　　）
A.公差為d的等差數列
B.公差為2d的等差數列
C.公差為d2的等差數列
D.公差為4d的等差數列
（2）若等差數列{an}的公差為d，則a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的公差為　　　　.
通性通法
由等差數列衍生的新數列
若{an}，{bn}分別是公差為d，d'的等差數列，則有
數列 結論
{c＋an} 公差為d的等差數列（c為任一常數）
{c·an} 公差為cd的等差數列（c為任一常數）
{an＋an＋k} 公差為kd的等差數列（k為常數，k∈N*）
{pan＋qbn} 公差為pd＋qd'的等差數列（p，q為常數）
【跟蹤訓練】
1.（2024·徐州月考）設數列{an}，{bn}都是等差數列.若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝　　　　.
2.（2024·南通質檢）已知兩個等差數列{an}：5，8，11，…，與{bn}：3，7，11，…，它們的公共項組成數列{cn}，則數列{cn}的通項公式cn＝　　　??；若數列{an}和{bn}的項數均為100，則{cn}的項數是　　　　.
1.在等差數列{an}中，a3＋a7＝4，則必有（　?。?br/>A.a5＝4　　 B.a6＝4
C.a5＝2　　 D.a6＝2
2.在等差數列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7＝（　　）
A.5　　 B.8
C.10　　 D.14
3.由公差d≠0的等差數列{an}組成一個新的數列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列說法正確的是（　?。?br/>A.新數列不是等差數列
B.新數列是公差為d的等差數列
C.新數列是公差為2d的等差數列
D.新數列是公差為3d的等差數列
4.在－1與7之間順次插入三個數a，b，c，使這五個數成等差數列，求此數列.
第2課時　等差數列的性質
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.等差　2.等差中項　3.a＋b
想一想
　提示：任何兩個數都有等差中項.
知識點二
（1）（n－m）?。?）as＋at?。?）和
想一想
1.提示：不一定.如數列1，2，3，4，…，滿足a1＋a2＝a3；而數列1，1，1，1，…，則不滿足a1＋a2＝a3.
2.提示：成等差數列，若{an}的公差為d，則am，an，ap，aq，…的公差為（n－m）d.
自我診斷
1.（1）√?。?）√?。?）×
2.B　設2與8的等差中項是x，則2x＝2＋8，解得x＝5.
3.－1　解析：等差數列{an}中，a3＝9，a9＝3，則a9＝a3＋6d，即3＝9＋6d，解得d＝－1.
【典型例題·精研析】
【例1】?。?）3　（2）等邊三角形
解析：（1）依題意可得2m＋n＝10，m＋2n＝8，兩式相加得3m＋3n＝18，所以m＋n＝6，故m與n的等差中項為3.
（2）因為a，b，c成等差數列，，，也成等差數列，所以則4b＝（＋）2＝a＋c＋2，即a＋c＝2，所以（－）2＝0，故a＝c＝b.所以△ABC為等邊三角形.
跟蹤訓練
1.C　由等差中項的定義知x＝，x2＝，所以＝（）2，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.
2.11　解析：因為a＋3是2a－1和2a＋1的等差中項，所以2（a＋3）＝（2a－1）＋（2a＋1），解得a＝3，則3a－5＝4，4a＋6＝18，所以3a－5和4a＋6的等差中項為＝11.
【例2】?。?）2n＋1（n∈N*）?。?）28　
解析：（1）設等差數列{an}的公差為d，因為a8＝a2＋（8－2）d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.又因為an＝a2＋（n－2）d，所以an＝5＋（n－2）×2＝2n＋1，n∈N*.
（2）因為a3＋a4＋a5＝12，所以3a4＝12，則a4＝4.又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.
跟蹤訓練
1.A　因為a2＋3a8＋a14＝5a8＝100，所以a8＝20.因為2a9＝a10＋a8，所以2a9－a10＝a8＝20，故選A.
2.8　解析：法一　∵{bn}為等差數列，∴可設其公差為d，則d＝＝＝2，∴bn＝b3＋（n－3）d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8.
法二　由＝＝d，得b8＝×5＋b3＝2×5＋（－2）＝8.
【例3】?。?）C?。?）9d　解析：（1）由于數列{an}是公差為d的等差數列，因此，當n∈N*時，an＋1－an＝d，所以當n∈N*時，dan＋1－dan＝d（an＋1－an）＝d2.
（2）由等差數列的性質可知，a1＋a2＋a3＝3a2，a4＋a5＋a6＝3a5，a7＋a8＋a9＝3a8，由3a5－3a2＝3a8－3a5＝9d可知，a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9的公差為9d.
跟蹤訓練
1.35　解析：設數列{an}，{bn}的公差分別為d1，d2.因為a3＋b3＝（a1＋2d1）＋（b1＋2d2）＝（a1＋b1）＋2（d1＋d2）＝7＋2（d1＋d2）＝21，所以d1＋d2＝7.所以a5＋b5＝（a3＋b3）＋2（d1＋d2）＝21＋2×7＝35.
2.12n－1　25　解析：由于數列{an}和{bn}都是等差數列，所以{cn}也是等差數列，且公差為3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12（n－1）＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，所以解得1≤n≤25.25，又n∈N*，故{cn}的項數為25.
隨堂檢測
1.C　因為a3＋a7＝2a5＝4，所以a5＝2.
2.B　由等差數列的性質可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又因為a1＝2，所以a7＝8.
3.C　因為（an＋1＋an＋3）－（an＋an＋2）＝（an＋1－an）＋（an＋3－an＋2）＝2d，所以數列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差為2d的等差數列.
4.解：∵－1，a，b，c，7成等差數列，
∴b是－1與7的等差中項，∴b＝＝3.
又a是－1與3的等差中項，∴a＝＝1.
又c是3與7的等差中項，∴c＝＝5.
∴該數列為－1，1，3，5，7.
4 / 4(共57張PPT)
第2課時　等差數列的性質
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　如圖，第一層有一個球，第二層有2個球，最上層有16個球.
（2）每隔二層呢？每隔三層呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【問題】　（1）每隔一層的球數有什么規律？
知識點一　等差中項
1. 條件：如果三個數 a ， A ， b 成 數列.
2. 結論：那么 A 叫作 a 與 b 的 .
3. 滿足的關系式：2 A ＝ .
等差　
等差中項　
a ＋ b 　
【想一想】
　任何兩個數都有等差中項嗎？
提示：任何兩個數都有等差中項.
知識點二　等差數列項的運算性質
　設等差數列{ an }的首項為 a1，公差為 d ，則
（1） an ＝ am ＋ d ， d ＝ （ m ， n ∈N*，且 m ≠
n ）；
（2）若 m ＋ n ＝ s ＋ t ，則 am ＋ an ＝ ；
特別地，若 m ＋ n ＝2 p ，則 am ＋ an ＝2 ap （ m ， n ， s ， t ， p
∈N*）；
（3）對有窮等差數列，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末
兩項的 ，即 a1＋ an ＝ a2＋ an－1＝…＝ ak ＋ an－ k＋1＝….
（ n － m ）　
as ＋ at 　
和　
【想一想】
1. 若{ an }為等差數列，且 m ＋ n ＝ p （ m ， n ， p ∈N*），則 am ＋ an
＝ ap 一定成立嗎？
提示：不一定.如數列1，2，3，4，…，滿足 a1＋ a2＝ a3；而數列
1，1，1，1，…，則不滿足 a1＋ a2＝ a3.
2. 在等差數列{ an }中，若 m ， n ， p ， q ，…成等差數列，那么 am ，
an ， ap ， aq ，…也成等差數列嗎？若成等差數列，公差是什么？
提示：成等差數列，若{ an }的公差為 d ，則 am ， an ， ap ， aq ，…
的公差為（ n － m ） d .
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）若三個數 a ， b ， c 滿足 a ＋ c ＝2 b ，則 a ， b ， c 一定成等差
數列. （　√?。?br/>（2）若數列 a1， a2， a3， a4，…是等差數列，則數列 a1， a3，
a5，…也是等差數列. （　√?。?br/>（3）若{ an }是等差數列，則{｜ an ｜}也是等差數列. （　×?。?br/>√
√
×
2.2與8的等差中項是（　?。?br/>A. －5 B. 5 C. 4 D. ±4
解析：　設2與8的等差中項是 x ，則2 x ＝2＋8，解得 x ＝5.
3. 已知等差數列{ an }中， a3＝9， a9＝3，則公差 d ＝ .
解析：等差數列{ an }中， a3＝9， a9＝3，則 a9＝ a3＋6 d ，即3＝9
＋6 d ，解得 d ＝－1.
－1　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 等差中項及應用
【例1】?。ㄦ溄咏炭茣?47頁習題11題）（1）已知2 m 與 n 的等差
中項為5， m 與2 n 的等差中項為4，則 m 與 n 的等差中項為 ；
解析：依題意可得2 m ＋ n ＝10， m ＋2 n ＝8，兩式相加得
3 m ＋3 n ＝18，所以 m ＋ n ＝6，故 m 與 n 的等差中項為3.
3　
（2）已知△ ABC 中的三邊 a ， b ， c 成等差數列， ， ， 也成
等差數列，則△ ABC 的形狀為 .
解析：因為 a ， b ， c 成等差數列， ， ， 也成等
差數列，所以則4 b ＝（ ＋ ）2＝ a ＋ c ＋
2 ，即 a ＋ c ＝2 ，所以（ － ）2＝0，故 a ＝ c ＝ b .
所以△ ABC 為等邊三角形.
等邊三角形　
通性通法
等差中項的應用策略
（1）求兩個數 x ， y 的等差中項 A ，根據等差中項的定義得 A ＝
；
（2）證明三項成等差數列，只需證明中間一項為兩邊兩項的等差中
項即可，即若 a ， b ， c 成等差數列，則 a ＋ c ＝2 b ；反之，若 a
＋ c ＝2 b ，則 a ， b ， c 成等差數列.
【跟蹤訓練】
1. 設 x 是 a 與 b 的等差中項， x2是 a2與－ b2的等差中項，則 a ， b 的關
系是（　?。?br/>A. a ＝－ b B. a ＝3 b
C. a ＝－ b 或 a ＝3 b D. a ＝ b ＝0
解析：　由等差中項的定義知 x ＝ ， x2＝ ，所以
＝（ ）2，即 a2－2 ab －3 b2＝0.故 a ＝－ b 或 a ＝3 b .
2. 已知 a ＋3是2 a －1和2 a ＋1的等差中項，則3 a －5和4 a ＋6的等差
中項為 .
解析：因為 a ＋3是2 a －1和2 a ＋1的等差中項，所以2（ a ＋3）＝
（2 a －1）＋（2 a ＋1），解得 a ＝3，則3 a －5＝4，4 a ＋6＝18，
所以3 a －5和4 a ＋6的等差中項為 ＝11.
11　
題型二 等差數列性質的應用
【例2】?。?）在等差數列{ an }中，已知 a2＝5， a8＝17，則此數列
的通項公式 an ＝ ；
解析：設等差數列{ an }的公差為 d ，因為 a8＝ a2＋（8－2） d ，所以
17＝5＋6 d ，解得 d ＝2.又因為 an ＝ a2＋（ n －2） d ，所以 an ＝5＋
（ n －2）×2＝2 n ＋1， n ∈N*.
2 n ＋1（ n ∈N*）　
（2）如果在等差數列{ an }中， a3＋ a4＋ a5＝12，那么 a1＋ a2＋…＋ a7
＝ .
解析：因為 a3＋ a4＋ a5＝12，所以3 a4＝12，則 a4＝4.又 a1＋ a7
＝ a2＋ a6＝ a3＋ a5＝2 a4，故 a1＋ a2＋…＋ a7＝7 a4＝28.
28　
通性通法
等差數列運算的兩種常用方法及思路
（1）基本量法：根據已知條件，列出關于 a1， d 的方程（組），確定
a1， d ，然后求其他量；
（2）巧用性質法：觀察等差數列中項的序號，若滿足 m ＋ n ＝ p ＋ q
＝2 r （ m ， n ， p ， q ， r ∈N*），則 am ＋ an ＝ ap ＋ aq ＝2 ar .
【跟蹤訓練】
1. 在等差數列{ an }中， a2＋3 a8＋ a14＝100，則2 a9－ a10＝（　?。?br/>A. 20 B. 18
C. 16 D. －8
解析：　因為 a2＋3 a8＋ a14＝5 a8＝100，所以 a8＝20.因為2 a9＝
a10＋ a8，所以2 a9－ a10＝ a8＝20，故選A.
2. 已知{ bn }為等差數列，若 b3＝－2， b10＝12，則 b8＝ .
解析：法一　∵{ bn }為等差數列，∴可設其公差為 d ，則 d ＝
＝ ＝2，∴ bn ＝ b3＋（ n －3） d ＝2 n －8.∴ b8＝
2×8－8＝8.
8　
法二　由 ＝ ＝ d ，得 b8＝ ×5＋ b3＝2×5＋（－2）
＝8.
題型三 由等差數列衍生的新數列
【例3】?。?）若數列{ an }是公差為 d 的等差數列，則數列{ dan }是
（　C　）
A. 公差為 d 的等差數列
B. 公差為2 d 的等差數列
C. 公差為 d2的等差數列
D. 公差為4 d 的等差數列
解析：由于數列{ an }是公差為 d 的等差數列，因此，當 n ∈N*時， an＋
1－ an ＝ d ，所以當 n ∈N*時， dan＋1－ dan ＝ d （ an＋1－ an ）＝ d2.
（2）若等差數列{ an }的公差為 d ，則 a1＋ a2＋ a3， a4＋ a5＋ a6， a7＋
a8＋ a9的公差為 .
解析：由等差數列的性質可知， a1＋ a2＋ a3＝3 a2， a4＋ a5＋ a6
＝3 a5， a7＋ a8＋ a9＝3 a8，由3 a5－3 a2＝3 a8－3 a5＝9 d 可知， a1
＋ a2＋ a3， a4＋ a5＋ a6， a7＋ a8＋ a9的公差為9 d .
9 d 　
通性通法
由等差數列衍生的新數列
若{ an }，{ bn }分別是公差為 d ，d'的等差數列，則有
數列 結論
{ c ＋ an } 公差為 d 的等差數列（ c 為任一常數）
{ c · an } 公差為 cd 的等差數列（ c 為任一常數）
{ an ＋ an＋ k } 公差為 kd 的等差數列（ k 為常數， k ∈N*）
{ pan ＋ qbn } 公差為 pd ＋qd'的等差數列（ p ， q 為常數）
【跟蹤訓練】
1. （2024·徐州月考）設數列{ an }，{ bn }都是等差數列.若 a1＋ b1＝
7， a3＋ b3＝21，則 a5＋ b5＝ .
解析：設數列{ an }，{ bn }的公差分別為 d1， d2.因為 a3＋ b3＝（ a1
＋2 d1）＋（ b1＋2 d2）＝（ a1＋ b1）＋2（ d1＋ d2）＝7＋2（ d1＋
d2）＝21，所以 d1＋ d2＝7.所以 a5＋ b5＝（ a3＋ b3）＋2（ d1＋ d2）
＝21＋2×7＝35.
35　
2. （2024·南通質檢）已知兩個等差數列{ an }：5，8，11，…，與
{ bn }：3，7，11，…，它們的公共項組成數列{ cn }，則數列{ cn }的
通項公式 cn ＝ ；若數列{ an }和{ bn }的項數均為100，則
{ cn }的項數是 .
解析：由于數列{ an }和{ bn }都是等差數列，所以{ cn }也是等差數
列，且公差為3×4＝12，又 c1＝11，故 cn ＝11＋12（ n －1）＝12 n
－1.又 a100＝302， b100＝399，所以解得1≤
n ≤25.25，又 n ∈N*，故{ cn }的項數為25.
12 n －1　
25　
1. 在等差數列{ an }中， a3＋ a7＝4，則必有（　?。?br/>A. a5＝4 B. a6＝4
C. a5＝2 D. a6＝2
解析：　因為 a3＋ a7＝2 a5＝4，所以 a5＝2.
2. 在等差數列{ an }中， a1＝2， a3＋ a5＝10，則 a7＝（　?。?br/>A. 5 B. 8
C. 10 D. 14
解析：　由等差數列的性質可得 a1＋ a7＝ a3＋ a5＝10，又因為 a1
＝2，所以 a7＝8.
3. 由公差 d ≠0的等差數列{ an }組成一個新的數列 a1＋ a3， a2＋ a4， a3
＋ a5，…，下列說法正確的是（　?。?br/>A. 新數列不是等差數列
B. 新數列是公差為 d 的等差數列
C. 新數列是公差為2 d 的等差數列
D. 新數列是公差為3 d 的等差數列
解析：　因為（ an＋1＋ an＋3）－（ an ＋ an＋2）＝（ an＋1－ an ）＋
（ an＋3－ an＋2）＝2 d ，所以數列 a1＋ a3， a2＋ a4， a3＋ a5，…是公
差為2 d 的等差數列.
4. 在－1與7之間順次插入三個數 a ， b ， c ，使這五個數成等差數
列，求此數列.
解：∵－1， a ， b ， c ，7成等差數列，
∴ b 是－1與7的等差中項，∴ b ＝ ＝3.
又 a 是－1與3的等差中項，∴ a ＝ ＝1.
又 c 是3與7的等差中項，∴ c ＝ ＝5.
∴該數列為－1，1，3，5，7.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 在等差數列{ an }中， a6＝5， a10＝6，則公差 d ＝（　　）
C. 2
解析：　在等差數列{ an }中， a10－ a6＝4 d ＝6－5＝1，所以 d ＝
.故選A.
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2. 已知等差數列{ an }滿足 a20－ a22＝2， a1 011＝1 012，則 a2 024＝
（　?。?br/>A. －1 B. 1
C. 2 D. 2 024
解析：　在等差數列{ an }中，設公差為 d .由 a20－ a22＝2，得2 d
＝－2，即 d ＝－1.∴ a2 024＝ a1 011＋1 013 d ＝1 012－1 013＝－1.故
選A.
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3. 已知等差數列{ an }的公差為 d （ d ≠0），且 a3＋ a6＋ a10＋ a13＝
32，若 am ＝8，則 m ＝（　?。?br/>A. 12 B. 8
C. 6 D. 4
解析：　由等差數列性質得， a3＋ a6＋ a10＋ a13＝（ a3＋ a13）＋
（ a6＋ a10）＝2 a8＋2 a8＝4 a8＝32，∴ a8＝8，又 d ≠0，∴ m ＝8.
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4. 已知數列{ an }，{ bn }為等差數列，且公差分別為 d1＝2， d2＝1，則
數列{2 an －3 bn }的公差為（　?。?br/>A. 7 B. 5
C. 3 D. 1
解析：　由于{ an }，{ bn }為等差數列，故數列{2 an －3 bn }的公差
d ＝（2 an＋1－3 bn＋1）－（2 an －3 bn ）＝2（ an＋1－ an ）－3（ bn＋1
－ bn ）＝2 d1－3 d2＝1.
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5. 已知{ an }為等差數列，且 a4， a14是方程 x2－4 x －15＝0的兩根，則
a9＝（　?。?br/>A. －4 B. －2
C. 2 D. 4
解析：　由 a4， a14是方程 x2－4 x －15＝0的兩根，可得 a4＋ a14＝
4，又由數列{ an }為等差數列，可得 a4＋ a14＝2 a9，所以 a9＝2.故
選C.
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6. （多選）已知 a ， b ， c 成等差數列，則（　?。?br/>A. a2， b2， c2一定成等差數列
B. 2 a ，2 b ，2 c 可能成等差數列
C. ka ＋2， kb ＋2， kc ＋2（ k 為常數）一定成等差數列
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解析：　對于A，取 a ＝1， b ＝2， c ＝3，則 a2＝1， b2＝4，
c2＝9，此時 a2， b2， c2不成等差數列，故A錯誤；對于B，令 a ＝ b
＝ c ，則2 a ＝2 b ＝2 c ，此時2 a ，2 b ，2 c 是公差為0的等差數列，故B
正確；對于C，∵ a ， b ， c 成等差數列，∴ b － a ＝ c － b ＝ m （ m
為常數）.又（ kb ＋2）－（ ka ＋2）＝ k （ b － a ），（ kc ＋2）－
（ kb ＋2）＝ k （ c － b ），∴（ kb ＋2）－（ ka ＋2）＝（ kc ＋2）
－（ kb ＋2）＝ km （ km 為常數），∴ ka ＋2， kb ＋2， kc ＋2（ k
為常數）為等差數列，故C正確；對于D，令 a ＝ b ＝ c ≠0，則 ＝
＝ ，此時 ， ， 是公差為0的等差數列，故D正確.故選B、C、D.
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7. （2024·湖州月考）已知等差數列{ an }，若 a1＋ a5＋ a9＝2π，則 sin
（ a2＋ a8）＝ .
解析：已知等差數列{ an }，所以 a1＋ a5＋ a9＝3 a5＝2π，則 a5＝
，所以 a2＋ a8＝2 a5＝ ，故 sin （ a2＋ a8）＝ sin ＝－ .
－ 　
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8. 如果等差數列{ an }中， a1＝2， a3＝6，則數列{2 an －3}是公差
為 的等差數列.
解析：因為數列{ an }是等差數列，且 a3－ a1＝6－2＝4，所以2 d ＝
4，即 d ＝2，則 an ＝2＋2（ n －1）＝2 n ，所以2 an －3＝4 n －3，
則（4 n －3）－ ＝4，所以數列{2 an －3}是公差為4
的等差數列.
4　
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9. 等差數列 ， 滿足對任意 n ∈N*都有 ＝ ，則 ＋
＝ .
解析：由等差數列的性質可得 b3＋ b9＝ b4＋ b8＝2 b6， a7＋ a5＝2
a6，所以 ＋ ＝ ＝ ＝ ＝1.
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10. （1）已知等差數列{ an }中， a2＋ a6＋ a10＝1，求 a4＋ a8的值；
解：法一　根據等差數列的性質得 a2＋ a10＝ a4＋ a8＝2 a6，
由 a2＋ a6＋ a10＝1，
得3 a6＝1，解得 a6＝ ，
∴ a4＋ a8＝2 a6＝ .
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法二　設公差為 d ，根據等差數列的通項公式，
得 a2＋ a6＋ a10＝（ a1＋ d ）＋（ a1＋5 d ）＋（ a1＋9 d ）＝3 a1＋15d ，
由題意知，3 a1＋15 d ＝1，即 a1＋5 d ＝ .
∴ a4＋ a8＝2 a1＋10 d ＝2（ a1＋5 d ）＝ .
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解：設公差為 d （ d ＞0），∵ a1＋ a3＝2 a2，
∴ a1＋ a2＋ a3＝15＝3 a2，∴ a2＝5.
又 a1 a2 a3＝80，{ an }是公差為正數的等差數列，
∴ a1 a3＝（5－ d ）（5＋ d ）＝16 d ＝3或 d ＝－3（舍去），
∴ a12＝ a2＋10 d ＝35， a11＋ a12＋ a13＝3 a12＝105.
（2）設{ an }是公差為正數的等差數列，若 a1＋ a2＋ a3＝15， a1 a2
a3＝80，求 a11＋ a12＋ a13的值.
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11. 已知圓 O 的半徑為5，且 OP ＝3，過點 P 的2 025條弦的長度組成一
個等差數列{ an }，最短弦長為 a1，最長弦長為 a2 025，則其公差為
（　?。?br/>1
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解析：　因為圓 O 的半徑為5，且 OP ＝3，過點 P 的2 025條弦的
長度組成一個等差數列{ an }，其中最短弦長為 a1＝2 ＝
8，最長弦長為 a2 025＝2×5＝10，所以等差數列{ an }的公差為 d ＝
＝ ＝ .故選B.
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12. （2024·南京月考）我國古代數學名著《孫子算經》中記載有一道
數學問題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩二.問
物幾何？”這里的幾何指多少的意思.翻譯成數學語言就是：求正
整數 N ，使 N 除以3余2，除以5余2.根據這一數學思想，今有由小
到大排列的所有正整數數列{ an }，{ bn }，{ an }滿足被3除余2， a1
＝2，{ bn }滿足被5除余2， b1＝2，把數列{ an }與{ bn }相同的項從
小到大組成一個新數列，記為{ cn }，則下列說法正確的是（　?。?br/>A. c2＝ a1＋ b1 B. c6＝ a2 b3
C. c10＝ a46 D. a1＋2 b2＝ c4
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解析：　由條件可知 an ＝2＋3（ n －1）＝3 n －1， bn ＝2＋5（ n
－1）＝5 n －3， cn ＝2＋15（ n －1）＝15 n －13.對于A， c2＝
17， a1＋ b1＝4，所以A錯誤；對于B， c6＝77， a2 b3＝60，所以B
錯誤；對于C， c10＝137， a46＝137，所以C正確；對于D， a1＋2
b2＝16， c4＝47，所以D錯誤.
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13. （多選）已知等差數列{ an }滿足 a1＞0，且 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a101
＝0，則（　?。?br/>A. a1＋ a101＞0 B. a1＋ a101＜0
C. a3＋ a99＝0 D. a51＜ a50
解析：　根據等差數列的性質，得 a1＋ a101＝ a2＋ a100＝…＝
a50＋ a52＝2 a51，因為 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a101＝0，所以101 a51＝0，
所以 a1＋ a101＝ a3＋ a99＝2 a51＝0.又 a1＞0，所以 d ＜0， a51＝ a50
＋ d ＜ a50，故選C、D.
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14. 已知在等差數列{ an }中， a5＝4，公差 d ＝4.若在每相鄰兩項中各
插入兩個數，使之成等差數列{ bn }.
（1）求新數列的通項公式；
解：an ＝ a5＋（ n －5） d ＝4 n －16.
在新數列{ bn }中， b1＝ a1＝－12，
公差d'＝ d ＝ ，
∴ bn ＝－12＋ （ n －1）＝ n － .
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（2） a50是新數列的第幾項？
解：由 a50＝184＝ n － ，得 n ＝148.
∴ a50是新數列的第148項.
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15. 給定整數 n （ n ≥4），設集合 A ＝{ a1， a2，…， an }，記集合 B
＝{ ai ＋ aj ｜ ai ， aj ∈ A ，1≤ i ≤ j ≤ n }.
（1）若 A ＝{－3，0，1，2}，求集合 B ；
解：因為 B ＝{ ai ＋ aj ｜ ai ， aj ∈ A ，1≤ i ≤ j ≤ n }，
當 A ＝{－3，0，1，2}時， ai ＋ aj ＝－6，－3，－2，－1，
0，1，2，3，4，所以 B ＝{－6，－3，－2，－1，0，1，
2，3，4}.
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（2）若 a1， a2，…， an 構成以 a1為首項， d （ d ＞0）為公差的等
差數列，求證：集合 B 中的元素個數為2 n －1.
解：證明：因為 a1， a2，…， an 構成以 a1為首項， d
（ d ＞0）為公差的等差數列，所以有 ai－1＋ an ＝ ai ＋ an－1
（2≤ i ≤ n －2），2 ai ＝ ai－1＋ ai＋1（2≤ i ≤ n －1）.
此時，集合 B 中的元素有以下大小關系：
2 a1＜ a1＋ a2＜ a1＋ a3＜…＜ a1＋ an ＜ a2＋ an ＜ a3＋ an ＜…
＜ an－1＋ an ＜2 an .
因此，集合 B 中含有2 n －1個元素.
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