資源簡介

第2課時　等差數列前n項和的性質及應用
1.設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S9＝72，則a2＋a4＋a9＝（　　）
A.24　　　B.25　　　C.26　　　D.27
2.在等差數列{an}中，a1＝1，其前n項和為Sn，若－＝2，則S10＝（　　）
A.10　　B.100　　C.110　　D.120
3.若數列{an}滿足：a1＝19，an＋1＝an－3（n∈N*），則數列{an}的前n項和數值最大時，n的值為（　　）
A.6　　B.7　　C.8　　D.9
4.已知等差數列前3項的和為34，后3項的和為146，所有項的和為390，則這個數列的項數為（　　）
A.13　　B.12　　C.11　　D.10
5.（多選）已知數列{an}是等差數列，其前n項和Sn滿足a1＋3a2＝S6，則下列四個選項中正確的是（　　）
A.a7＝0　　 B.S13＝0
C.S7最小　　 D.S5＝S8
6.（多選）（2024·常州月考）設Sn是公差為d（d≠0）的無窮等差數列{an}的前n項和，則下列命題中正確的是（　　）
A.若d＜0，則數列{Sn}有最大項
B.若數列{Sn}有最大項，則d＜0
C.若數列{Sn}是遞增數列，則對任意n∈N*，均有Sn＞0
D.若對任意n∈N*，均有Sn＞0，則數列{Sn}是遞增數列
7.已知等差數列{an}的首項a1＝7，公差d＝－2，則前n項和Sn的最大值為　　　　.
8.植樹節某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植樹一棵，相鄰兩棵樹相距10 m，開始時需將樹苗集中放置在某一棵樹坑旁邊，使每位同學從各自樹坑出發前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，此最小值為　　　　m.
9.已知等差數列{an}的首項a1＝0，等差數列{bn}的首項b1＝－4，{an}和{bn}的前m項和分別為Sm，S'm，若Sm＋S'm＝0，則am＋bm＝　　　　.
10.一件家用電器用分期付款的方式購買，單價為1 150元，購買當天先付150元，以后每月這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%.若交付150元后的第1個月為分期付款的第1個月.
（1）分期付款的第10個月應付多少錢？
（2）全部貨款付清后，買這件家用電器實際花了多少錢？
11.已知等差數列{an}滿足S30＝120，a3＋a6＋a9＋…＋a30＝60，則an＝（　　）
A.2n－25　　 B.2n－27
C.3n－15　　 D.3n－18
12.（多選）已知Sn是等差數列{an}的前n項和，且S6＞S7＞S5，則下列四個命題正確的是（　　）
A.d＜0　　
B.S11＞0
C.S12＜0　　
D.數列{Sn}中的最大項為S11
13.（2024·徐州月考）現有100根相同的鋼管，把它們堆成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數為　　　　.
14.已知等差數列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）當n為何值時，數列{an}的前n項和取得最大值？
15.已知Sn為等差數列{an}的前n項和，且a1＝－15，S5＝－55.
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若不等式Sn＞t對于任意的n∈N*恒成立，求實數t的取值范圍.
第2課時　等差數列前n項和的性質及應用
1.A　∵S9＝9a5，∴a5＝8，∴a2＋a4＋a9＝（a2＋a9）＋a4＝（a5＋a6）＋a4＝3a5＝24，故選A.
2.B　∵{an}是等差數列，a1＝1，∴{}也是等差數列且首項為＝1.又－＝2，∴{}的公差是1，∴＝1＋（10－1）×1＝10，∴S10＝100.
3.B　因為an＋1－an＝－3，所以數列{an}是以19為首項，－3為公差的等差數列，所以an＝19＋（n－1）×（－3）＝22－3n.由前n項和最大，則有所以所以≤n≤.因為n∈N*，所以n＝7.故滿足條件的n的值為7.
4.A　設該等差數列為{an}，其前n項和為Sn.由題意得，a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，∴（a1＋a2＋a3）＋（an－2＋an－1＋an）＝（a1＋an）＋（a2＋an－1）＋（a3＋an－2）＝3（a1＋an）＝34＋146，∴a1＋an＝60.又Sn＝，∴390＝，解得n＝13，故選A.
5.ABD　根據題意，設等差數列{an}的公差為d.對于A，a1＋3a2＝S6，即4a1＋3d＝6a1＋d，變形可得a1＋6d＝0，即a7＝0，故A正確；對于B，S13＝＝13a7＝0，故B正確；對于C，S7＝＝7a4，可能大于0，也可能小于0，故C不正確；對于D，S5－S8＝（5a1＋d）－（8a1＋d）＝－3a1－18d＝－3a7＝0，故D正確.
6.ABD　顯然Sn對應的二次函數有最大值時d＜0，且若d＜0，則Sn有最大值，故A、B正確；又若對任意n∈N*，Sn＞0，則a1＞0，d＞0，{Sn}必為遞增數列，故D正確；而對于C項，令Sn＝n2－2n，則數列{Sn}遞增，但S1＝－1＜0，故C不正確.
7.16　解析：等差數列{an}的首項a1＝7，公差d＝－2，∴Sn＝7n＋×（－2）＝－n2＋8n＝－（n－4）2＋16.則前n項和Sn的最大值為16.
8.2 000　解析：假設20位同學是1號到20號依次排列，使每位同學從各自樹坑出發前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，則樹苗需放在第10或第11號樹坑旁，此時兩側的同學所走的路程分別組成以20為首項，20為公差的等差數列，故所有同學往返的總路程為S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000（m）.
9.4　解析：法一　由等差數列的前n項和公式，得Sm＋S'm＝＋＝0，所以am＋bm＝－（a1＋b1）＝4.
法二　由于數列{an}，{bn}是等差數列，因此數列{an＋bn}也是等差數列.由條件知該數列的首項為a1＋b1＝－4，前m項的和為0.根據等差數列的前n項和公式得0＝＝.故am＋bm＝4.
10.解：（1）購買當天付了150元，欠款1 000元，每月付50元，分20次付完.設每月的付款數依次組成數列{an}，則
a1＝50＋1 000×0.01＝60，
a2＝50＋（1 000－50）×0.01＝60－0.5＝59.5，
a3＝50＋（1 000－50×2）×0.01＝60－0.5×2＝59，
…
所以數列{an}是等差數列，公差d＝－0.5，an＝60－0.5（n－1）（1≤n≤20）.
由n＝10，得a10＝60－0.5×9＝55.5，
故第10個月應付55.5元.
（2）全部貨款付清后付款總數為S20＋150＝＋150＝（2a1＋19d）×10＋150＝（2×60－19×0.5）×10＋150＝1 255.
故全部貨款付清后，買這件家用電器實際花了1 255元.
11.B　設等差數列的公差為d，則S30＝（a1＋a4＋…＋a28）＋（a2＋a5＋…＋a29）＋（a3＋a6＋…＋a30）＝（a3＋a6＋…＋a30）－20d＋（a3＋a6＋…＋a30）－10d＋（a3＋a6＋…＋a30）＝180－30d，即120＝180－30d，解得d＝2.又S30＝30a1＋×2＝120，解得a1＝－25.所以an＝－25＋（n－1）×2＝2n－27，故選B.
12.AB　∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞0，∴d＜0，A正確；又S11＝（a1＋a11）＝11a6＞0，B正確；S12＝（a1＋a12）＝6（a6＋a7）＞0，C不正確；{Sn}中最大項為S6，D不正確.
13.9　解析：由題意知鋼管排列方式是從上到下各層鋼管數組成了一個等差數列，最上面一層鋼管數為1，逐層增加1個.∴鋼管總數為Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.當n＝13時，S13＝91；當n＝14時，S14＝105＞100.∴當n＝13時，剩余鋼管根數最少，為9根.
14.解：（1）由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋（n－1）d＝11－2n.
（2）法一　由a1＝9，d＝－2，
得Sn＝9n＋·（－2）＝－n2＋10n＝－（n－5）2＋25，
∴當n＝5時，Sn取得最大值.
法二　由（1）知a1＝9，d＝－2＜0，∴{an}是遞減數列.
令an≥0，則11－2n≥0，解得n≤.
∵n∈N*，∴n≤5時，an＞0，n≥6時，an＜0.
∴當n＝5時，Sn取得最大值.
15.解：（1）設等差數列{an}的公差為d，
S5＝5×＝5a3＝－55，
所以a3＝－11，所以d＝＝＝2.所以an＝a1＋（n－1）d＝－15＋（n－1）×2＝2n－17.
（2）由（1）知，an＝2n－17，所以Sn＝＝＝n（n－16）＝（n－8）2－64，
所以（Sn）min＝－64.
Sn＞t對任意n∈N*恒成立等價于（Sn）min＞t，即－64＞t.
所以實數t的取值范圍為（－∞，－64）.
2 / 2第2課時　等差數列前n項和的性質及應用
題型一 等差數列前n項和的性質
【例1】　（鏈接教科書第150頁例3）（1）已知數列{an}滿足an＋1＝an＋6，{an}的前n項和為Sn，則－＝（　　 ）
A.12　　 B.6
C.3　　 D.2
（2）等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，求數列{an}的前3m項的和S3m.
通性通法
等差數列前n項和的常用性質
（1）等差數列的依次k項之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…組成公差為k2d的等差數列；
（2）數列是等差數列，公差為數列{an}的公差的倍.事實上，＝An＋B（A，B為常數） 為等差數列，且有，，成等差數列，其實質是Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數列的變形.
【跟蹤訓練】
1.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝－10，－＝1，則S10＝　　　　.
2.已知一個等差數列的前10項和為100，前100項和為10，求前110項之和.
題型二 等差數列前n項和的最值問題
【例2】　（鏈接教科書第154頁習題11題）在等差數列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求該數列前n項和Sn的最大值.
通性通法
求等差數列前n項和的最值的方法
（1）二次函數法：即先求得Sn的表達式，然后配方.若對稱軸恰好為正整數，則就在該處取得最值；若對稱軸不是正整數，則應在離對稱軸最近的正整數處取得最值，n的值有時有2個，有時為1個；
（2）不等式法：①當a1＞0，d＜0時，由 Sm為最大值；
②當a1＜0，d＞0時，由 Sm為最小值.
【跟蹤訓練】
設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當Sn取最小值時，n＝（　　）
A.6　　 B.7
C.8　　 D.9
題型三 等差數列前n項和公式的實際應用
【例3】　（鏈接教科書第151頁例4）某地去年9月份曾發生流感，據統計，9月1日該地區流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人數比前一天新感染者人數增加40.從9月11日起，該地區醫療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到有效控制，每天的新感染者人數比前一天的新感染者人數減少10.
（1）分別求出該地區在9月10日和9月11日這兩天的流感病毒的新感染者人數；
（2）該地區9月份（共30天）流感病毒的新感染者共有多少人？
通性通法
應用等差數列模型解決實際問題的一般思路
【跟蹤訓練】
（2024·淮安月考）某抗洪指揮部接到預報，24小時后有一洪峰到達，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道防線，經計算，除現有的參戰軍民連續奮戰外，還需調用20臺同型號翻斗車，平均每輛車工作24小時，從各地緊急抽調的同型號翻斗車，目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達，一共可調集25輛，那么在24小時內能否構筑成第二道防線？
1.等差數列{an}中，S3＝3，S6＝9，則S12＝（　　）
A.12　　 B.18
C.24　　 D.30
2.已知數列{an}滿足an＝26－2n，則使其前n項和Sn取最大值的n的值為（　　）
A.11或12　　 B.12
C.13　　 D.12或13
3.（2024·蘇州質檢）在巴比倫晚期的《泥板文書》中，有按級遞減分物的等差數列問題，其中有一個問題大意是：10個兄弟分100兩銀子，長兄最多，依次減少相同數目，現知第8個兄弟分得6兩，則長兄可分得銀子的數目為（　　）
A.兩　　 B.兩
C.兩　　 D.兩
4.設等差數列{an}的前n項和為Sn，且Sm＝－2，Sm＋1＝0，Sm＋2＝3，則m＝　　　　.
第2課時　等差數列前n項和的性質及應用
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）B　∵an＋1＝an＋6，∴數列{an}是以6為公差的等差數列，∴－＝－＝a1＋3n－a1－3（n－1）＝3，∴數列是以3為公差的等差數列，∴－＝2×3＝6.故選B.
（2）解：法一　在等差數列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數列，
∴30，70，S3m－100成等差數列.
∴2×70＝30＋（S3m－100），∴S3m＝210.
法二　在等差數列中，，，成等差數列，
∴＝＋.
即S3m＝3（S2m－Sm）＝3×（100－30）＝210.
跟蹤訓練
1.－10　解析：在等差數列中，因為a1＝－10，－＝1，所以＝－10，所以{}是以－10為首項，1為公差的等差數列，所以＝－10＋9×1＝－1，S10＝－10.
2.解：在等差數列中，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差數列.
設其公差為d，前10項和為10S10＋d＝S100＝10，解得d＝－22，
∴S110－S100＝S10＋（11－1）d＝100＋10×（－22）＝－120，
∴S110＝－120＋S100＝－110.
【例2】　解：由S17＝S9且a1＝25，得25×17＋d＝25×9＋d，解得d＝－2，
法一　Sn＝25n＋×（－2）＝－（n－13）2＋169.
由二次函數性質得，當n＝13時，Sn有最大值169.
法二　∵a1＝25＞0，由得即12≤n≤13.
又∵n∈N*，∴當n＝13時，Sn有最大值169.
跟蹤訓練
　A　設等差數列的公差為d，∵a4＋a6＝－6，∴2a5＝－6，∴a5＝－3.又∵a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2.∴Sn＝－11n＋×2＝n2－12n＝（n－6）2－36，故當n＝6時，Sn取得最小值，故選A.
【例3】　解：（1）由題意，知該地區9月份前10天每天新感染者人數構成一個首項a1＝40，公差d＝40的等差數列{an}，
所以9月10日的新感染者人數為a10＝40＋（10－1）×40＝400.
從9月11日起，每天的新感染者人數比前一天的新感染者人數減少10，所以9月11日的新感染者人數為400－10＝390.
（2）9月份前10天流感病毒的新感染者人數的和為S10＝＝2 200，
9月份后20天每天新感染者人數構成一個首項b1＝390，公差d1＝－10的等差數列{bn}，
又b20＝390－10×19＝200，
所以后20天流感病毒的新感染者人數的和為
T20＝＝5 900，
所以該地區9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100（人）.
跟蹤訓練
　解：從第一輛車投入工作算起，各車工作時間（單位：小時）依次設為a1，a2，…，a25.
由題意可知，此數列為等差數列，且a1＝24，公差d＝－.
25輛翻斗車的工作時間為：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，
而完成本次工作需要的工作時間為24×20＝480.
∵500＞480，∴在24小時內能構筑成第二道防線.
隨堂檢測
1.D　根據題意，在等差數列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…也成等差數列，又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6，則S9－S6＝9，S12－S9＝12，則S12＝S3＋（S6－S3）＋（S9－S6）＋（S12－S9）＝3＋6＋9＋12＝30.
2.D　∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2（n≥2，n∈N*），∴數列{an}為等差數列.又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋×（－2）＝－n2＋25n＝－（n－）2＋.∵n∈N*，∴當n＝12或n＝13時，Sn最大.
3.C　設10個兄弟由大到小依次分得an（n＝1，2，…，10）兩銀子，設數列{an}的公差為d，其前n項和為Sn，則由題意得即解得所以長兄分得兩銀子.
4.4　解析：因為Sn是等差數列{an}的前n項和，所以數列{}是等差數列，所以＋＝，即＋＝0，解得m＝4.
2 / 2(共53張PPT)
第2課時　等差數列前n項和的性質及應用
目錄
典型例題·精研析
01
知能演練·扣課標
02
典型例題·精研析
01
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 等差數列前 n 項和的性質
【例1】　（鏈接教科書第150頁例3）（1）已知數列{ an }滿足 an＋1＝
an ＋6，{ an }的前 n 項和為 Sn ，則 － ＝（　　 ）
A. 12 B. 6
C. 3 D. 2
解析：　∵ an＋1＝ an ＋6，∴數列{ an }是以6為公差的等差數列，
∴ － ＝ － ＝ a1＋3 n －
a1－3（ n －1）＝3，∴數列 是以3為公差的等差數列，∴ －
＝2×3＝6.故選B.
（2）等差數列{ an }的前 m 項和為30，前2 m 項和為100，求數列{ an }
的前3 m 項的和 S3 m .
解：法一　在等差數列中，∵ Sm ， S2 m － Sm ， S3 m － S2 m 成等差
數列，
∴30，70， S3 m －100成等差數列.
∴2×70＝30＋（ S3 m －100），∴ S3 m ＝210.
法二　在等差數列中， ， ， 成等差數列，
∴ ＝ ＋ .
即 S3 m ＝3（ S2 m － Sm ）＝3×（100－30）＝210.
通性通法
等差數列前 n 項和的常用性質
（1）等差數列的依次 k 項之和， Sk ， S2 k － Sk ， S3 k － S2 k ，…組成公
差為 k2 d 的等差數列；
（2）數列 是等差數列，公差為數列{ an }的公差的 倍.事實上，
＝ An ＋ B （ A ， B 為常數） 為等差數列，且有 ， ，
成等差數列，其實質是 Sm ， S2 m － Sm ， S3 m － S2 m 成等差數列
的變形.
【跟蹤訓練】
1. 已知等差數列{ an }的前 n 項和為 Sn ，若 a1＝－10， － ＝1，則
S10＝ .
解析：在等差數列中，因為 a1＝－10， － ＝1，所以 ＝－
10，所以{ }是以－10為首項，1為公差的等差數列，所以 ＝－
10＋9×1＝－1， S10＝－10.
－10　
2. 已知一個等差數列的前10項和為100，前100項和為10，求前110項
之和.
解：在等差數列中， S10， S20－ S10， S30－ S20，…， S100－ S90， S110
－ S100成等差數列.
設其公差為 d ，前10項和為10 S10＋ d ＝ S100＝10，解得 d ＝－
22，
∴ S110－ S100＝ S10＋（11－1） d ＝100＋10×（－22）＝－120，
∴ S110＝－120＋ S100＝－110.
題型二 等差數列前 n 項和的最值問題
【例2】　（鏈接教科書第154頁習題11題）在等差數列{ an }中， a1＝
25， S17＝ S9，求該數列前 n 項和 Sn 的最大值.
解：由 S17＝ S9且 a1＝25，得25×17＋ d ＝25×9＋
d ，解得 d ＝－2，
法一　 Sn ＝25 n ＋ ×（－2）＝－（ n －13）2＋169.
由二次函數性質得，當 n ＝13時， Sn 有最大值169.
法二　∵ a1＝25＞0，由得
即12 ≤ n ≤13 .
又∵ n ∈N*，∴當 n ＝13時， Sn 有最大值169.
通性通法
求等差數列前 n 項和的最值的方法
（1）二次函數法：即先求得 Sn 的表達式，然后配方.若對稱軸恰
好為正整數，則就在該處取得最值；若對稱軸不是正整數，
則應在離對稱軸最近的正整數處取得最值， n 的值有時有2
個，有時為1個；
（2）不等式法：①當 a1＞0， d ＜0時，由 Sm 為最大值；
②當 a1＜0， d ＞0時，由 Sm 為最小值.
【跟蹤訓練】
設等差數列{ an }的前 n 項和為 Sn ，若 a1＝－11， a4＋ a6＝－6，則當 Sn
取最小值時， n ＝（　　）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
解析： 　設等差數列的公差為 d ，∵ a4＋ a6＝－6，∴2 a5＝－6，
∴ a5＝－3.又∵ a1＝－11，∴－3＝－11＋4 d ，∴ d ＝2.∴ Sn ＝－11 n
＋ ×2＝ n2－12 n ＝（ n －6）2－36，故當 n ＝6時， Sn 取得最
小值，故選A.
題型三 等差數列前 n 項和公式的實際應用
【例3】　（鏈接教科書第151頁例4）某地去年9月份曾發生流感，據
統計，9月1日該地區流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感
染者人數比前一天新感染者人數增加40.從9月11日起，該地區醫療部
門采取措施，使該種病毒的傳播得到有效控制，每天的新感染者人數
比前一天的新感染者人數減少10.
（1）分別求出該地區在9月10日和9月11日這兩天的流感病毒的新感
染者人數；
解： 由題意，知該地區9月份前10天每天新感染者人數構
成一個首項 a1＝40，公差 d ＝40的等差數列{ an }，
所以9月10日的新感染者人數為 a10＝40＋（10－1）×40＝400.
從9月11日起，每天的新感染者人數比前一天的新感染者人數減
少10，所以9月11日的新感染者人數為400－10＝390.
（2）該地區9月份（共30天）流感病毒的新感染者共有多少人？
解： 9月份前10天流感病毒的新感染者人數的和為 S10＝
＝2 200，
9月份后20天每天新感染者人數構成一個首項 b1＝390，公差 d1
＝－10的等差數列{ bn }，
又 b20＝390－10×19＝200，
所以后20天流感病毒的新感染者人數的和為
T20＝ ＝5 900，
所以該地區9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100（人）.
通性通法
應用等差數列模型解決實際問題的一般思路
【跟蹤訓練】
（2024·淮安月考）某抗洪指揮部接到預報，24小時后有一洪峰到達，
為確保安全，指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道
防線，經計算，除現有的參戰軍民連續奮戰外，還需調用20臺同型號
翻斗車，平均每輛車工作24小時，從各地緊急抽調的同型號翻斗車，
目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達，一共可調
集25輛，那么在24小時內能否構筑成第二道防線？
解：從第一輛車投入工作算起，各車工作時間（單位：小時）依次設
為 a1， a2，…， a25.
由題意可知，此數列為等差數列，且 a1＝24，公差 d ＝－ .
25輛翻斗車的工作時間為： a1＋ a2＋…＋ a25＝25×24＋25×12×
＝500，
而完成本次工作需要的工作時間為24×20＝480.
∵500＞480，∴在24小時內能構筑成第二道防線.
1. 等差數列{ an }中， S3＝3， S6＝9，則 S12＝（　　）
A. 12 B. 18 C. 24 D. 30
解析： 　根據題意，在等差數列{ an }中， S3， S6－ S3， S9－ S6，
S12－ S9，…也成等差數列，又由 S3＝3， S6＝9，得 S6－ S3＝6，則
S9－ S6＝9， S12－ S9＝12，則 S12＝ S3＋（ S6－ S3）＋（ S9－ S6）＋
（ S12－ S9）＝3＋6＋9＋12＝30.
2. 已知數列{ an }滿足 an ＝26－2 n ，則使其前 n 項和 Sn 取最大值的 n 的
值為（　　）
A. 11或12 B. 12
C. 13 D. 12或13
解析： 　∵ an ＝26－2 n ，∴ an － an－1＝－2（ n ≥2， n ∈N*），
∴數列{ an }為等差數列.又 a1＝24， d ＝－2，∴ Sn ＝24 n ＋
×（－2）＝－ n2＋25 n ＝－（ n － ）2＋ .∵ n
∈N*，∴當 n ＝12或 n ＝13時， Sn 最大.
3. （2024·蘇州質檢）在巴比倫晚期的《泥板文書》中，有按級遞減
分物的等差數列問題，其中有一個問題大意是：10個兄弟分100兩
銀子，長兄最多，依次減少相同數目，現知第8個兄弟分得6兩，則
長兄可分得銀子的數目為（　　）
A. 兩 B. 兩
C. 兩 D. 兩
解析： 　設10個兄弟由大到小依次分得 an （ n ＝1，2，…，10）
兩銀子，設數列{ an }的公差為 d ，其前 n 項和為 Sn ，則由題意得
即解得所以長兄分
得 兩銀子.
4. 設等差數列{ an }的前 n 項和為 Sn ，且 Sm ＝－2， Sm＋1＝0， Sm＋2＝
3，則 m ＝ .
解析：因為 Sn 是等差數列{ an }的前 n 項和，所以數列{ }是等差數
列，所以 ＋ ＝ ，即 ＋ ＝0，解得 m ＝4.
4　
知能演練·扣課標
02
課后鞏固 核心素養落地
1. 設等差數列{ an }的前 n 項和為 Sn ，若 S9＝72，則 a2＋ a4＋ a9＝
（　　）
A. 24 B. 25
C. 26 D. 27
解析：A　∵ S9＝9 a5，∴ a5＝8，∴ a2＋ a4＋ a9＝（ a2＋ a9）＋ a4
＝（ a5＋ a6）＋ a4＝3 a5＝24，故選A.
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2. 在等差數列{ an }中， a1＝1，其前 n 項和為 Sn ，若 － ＝2，則
S10＝（　　）
A. 10 B. 100
C. 110 D. 120
解析： 　∵{ an }是等差數列， a1＝1，∴{ }也是等差數列且首
項為 ＝1.又 － ＝2，∴{ }的公差是1，∴ ＝1＋（10－
1）×1＝10，∴ S10＝100.
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3. 若數列{ an }滿足： a1＝19， an＋1＝ an －3（ n ∈N*），則數列{ an }
的前 n 項和數值最大時， n 的值為（　　）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
解析： 　因為 an＋1－ an ＝－3，所以數列{ an }是以19為首項，－3
為公差的等差數列，所以 an ＝19＋（ n －1）×（－3）＝22－3 n .
由前 n 項和最大，則有所以所
以 ≤ n ≤ .因為 n ∈N*，所以 n ＝7.故滿足條件的 n 的值為7.
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4. 已知等差數列前3項的和為34，后3項的和為146，所有項的和為
390，則這個數列的項數為（　　）
A. 13 B. 12
C. 11 D. 10
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解析： 　設該等差數列為{ an }，其前 n 項和為 Sn .由題意得， a1＋
a2＋ a3＝34， an－2＋ an－1＋ an ＝146，∴（ a1＋ a2＋ a3）＋（ an－2＋
an－1＋ an ）＝（ a1＋ an ）＋（ a2＋ an－1）＋（ a3＋ an－2）＝3（ a1
＋ an ）＝34＋146，∴ a1＋ an ＝60.又 Sn ＝ ，∴390＝
，解得 n ＝13，故選A.
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5. （多選）已知數列{ an }是等差數列，其前 n 項和 Sn 滿足 a1＋3 a2＝
S6，則下列四個選項中正確的是（　　）
A. a7＝0 B. S13＝0
C. S7最小 D. S5＝ S8
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解析： 　根據題意，設等差數列{ an }的公差為 d .對于A， a1＋
3 a2＝ S6，即4 a1＋3 d ＝6 a1＋ d ，變形可得 a1＋6 d ＝0，即 a7＝
0，故A正確；對于B， S13＝ ＝13 a7＝0，故B正確；
對于C， S7＝ ＝7 a4，可能大于0，也可能小于0，故C不
正確；對于D， S5－ S8＝（5 a1＋ d ）－（8 a1＋ d ）＝－3 a1
－18 d ＝－3 a7＝0，故D正確.
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6. （多選）（2024·常州月考）設 Sn 是公差為 d （ d ≠0）的無窮等差
數列{ an }的前 n 項和，則下列命題中正確的是（　　）
A. 若 d ＜0，則數列{ Sn }有最大項
B. 若數列{ Sn }有最大項，則 d ＜0
C. 若數列{ Sn }是遞增數列，則對任意 n ∈N*，均有 Sn ＞0
D. 若對任意 n ∈N*，均有 Sn ＞0，則數列{ Sn }是遞增數列
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解析： 　顯然 Sn 對應的二次函數有最大值時 d ＜0，且若 d ＜
0，則 Sn 有最大值，故A、B正確；又若對任意 n ∈N*， Sn ＞0，則
a1＞0， d ＞0，{ Sn }必為遞增數列，故D正確；而對于C項，令 Sn ＝
n2－2 n ，則數列{ Sn }遞增，但 S1＝－1＜0，故C不正確.
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7. 已知等差數列{ an }的首項 a1＝7，公差 d ＝－2，則前 n 項和 Sn 的最
大值為 .
解析：等差數列{ an }的首項 a1＝7，公差 d ＝－2，∴ Sn ＝7 n ＋
×（－2）＝－ n2＋8 n ＝－（ n －4）2＋16.則前 n 項和 Sn
的最大值為16.
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8. 植樹節某班20名同學在一段直線公路一側植樹，每人植樹一棵，相
鄰兩棵樹相距10 m，開始時需將樹苗集中放置在某一棵樹坑旁邊，
使每位同學從各自樹坑出發前來領取樹苗往返所走的路程總和最
小，此最小值為 m.
解析：假設20位同學是1號到20號依次排列，使每位同學從各自樹
坑出發前來領取樹苗往返所走的路程總和最小，則樹苗需放在第10
或第11號樹坑旁，此時兩側的同學所走的路程分別組成以20為首
項，20為公差的等差數列，故所有同學往返的總路程為 S ＝9×20
＋ ×20＋10×20＋ ×20＝2 000（m）.
2 000　
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9. 已知等差數列{ an }的首項 a1＝0，等差數列{ bn }的首項 b1＝－4，
{ an }和{ bn }的前 m 項和分別為 Sm ，S' m ，若 Sm ＋S' m ＝0，則 am ＋
bm ＝ .
解析：法一　由等差數列的前 n 項和公式，得 Sm ＋S' m ＝
＋ ＝0，所以 am ＋ bm ＝－（ a1＋
b1）＝4.
4　
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法二　由于數列{ an }，{ bn }是等差數列，因此數列{ an ＋ bn }也是等差
數列.由條件知該數列的首項為 a1＋ b1＝－4，前 m 項的和為0.根據等
差數列的前 n 項和公式得0＝ ＝
.故 am ＋ bm ＝4.
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10. 一件家用電器用分期付款的方式購買，單價為1 150元，購買當天
先付150元，以后每月這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利
率為1%.若交付150元后的第1個月為分期付款的第1個月.
（1）分期付款的第10個月應付多少錢？
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解： 購買當天付了150元，欠款1 000元，每月付50
元，分20次付完.設每月的付款數依次組成數列{ an }，則
a1＝50＋1 000×0.01＝60，
a2＝50＋（1 000－50）×0.01＝60－0.5＝59.5，
a3＝50＋（1 000－50×2）×0.01＝60－0.5×2＝59，
…
所以數列{ an }是等差數列，公差 d ＝－0.5， an ＝60－0.5
（ n －1）（1≤ n ≤20）.
由 n ＝10，得 a10＝60－0.5×9＝55.5，
故第10個月應付55.5元.
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（2）全部貨款付清后，買這件家用電器實際花了多少錢？
解： 全部貨款付清后付款總數為 S20＋150＝
＋150＝（2 a1＋19 d ）×10＋150＝（2×60－
19×0.5）×10＋150＝1 255.
故全部貨款付清后，買這件家用電器實際花了1 255元.
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11. 已知等差數列{ an }滿足 S30＝120， a3＋ a6＋ a9＋…＋ a30＝60，則
an ＝（　　）
A. 2 n －25 B. 2 n －27
C. 3 n －15 D. 3 n －18
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解析： 　設等差數列的公差為 d ，則 S30＝（ a1＋ a4＋…＋ a28）
＋（ a2＋ a5＋…＋ a29）＋（ a3＋ a6＋…＋ a30）＝（ a3＋ a6＋…＋
a30）－20 d ＋（ a3＋ a6＋…＋ a30）－10 d ＋（ a3＋ a6＋…＋ a30）
＝180－30 d ，即120＝180－30 d ，解得 d ＝2.又 S30＝30 a1＋
×2＝120，解得 a1＝－25.所以 an ＝－25＋（ n －1）×2＝2 n －
27，故選B.
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12. （多選）已知 Sn 是等差數列{ an }的前 n 項和，且 S6＞ S7＞ S5，則
下列四個命題正確的是（　　）
A. d ＜0
B. S11＞0
C. S12＜0
D. 數列{ Sn }中的最大項為 S11
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解析： 　∵ S6＞ S7，∴ a7＜0，∵ S7＞ S5，∴ a6＋ a7＞0，∴ a6
＞0，∴ d ＜0，A正確；又 S11＝ （ a1＋ a11）＝11 a6＞0，B正
確； S12＝ （ a1＋ a12）＝6（ a6＋ a7）＞0，C不正確；{ Sn }中最
大項為 S6，D不正確.
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13. （2024·徐州月考）現有100根相同的鋼管，把它們堆成正三角形
垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數為 .
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解析：由題意知鋼管排列方式是從上到下各層鋼管數組成了一個
等差數列，最上面一層鋼管數為1，逐層增加1個.∴鋼管總數為 Sn
＝1＋2＋3＋…＋ n ＝ .當 n ＝13時， S13＝91；當 n ＝14
時， S14＝105＞100.∴當 n ＝13時，剩余鋼管根數最少，為9根.
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14. 已知等差數列{ an }中， a1＝9， a4＋ a7＝0.
（1）求數列{ an }的通項公式；
解： 由 a1＝9， a4＋ a7＝0，
得 a1＋3 d ＋ a1＋6 d ＝0，解得 d ＝－2，
∴ an ＝ a1＋（ n －1） d ＝11－2 n .
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（2）當 n 為何值時，數列{ an }的前 n 項和取得最大值？
解： 法一　由 a1＝9， d ＝－2，
得 Sn ＝9 n ＋ ·（－2）＝－ n2＋10 n ＝－（ n －5）2
＋25，
∴當 n ＝5時， Sn 取得最大值.
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法二　由（1）知 a1＝9， d ＝－2＜0，∴{ an }是遞減數列.
令 an ≥0，則11－2 n ≥0，解得 n ≤ .
∵ n ∈N*，∴ n ≤5時， an ＞0， n ≥6時， an ＜0.
∴當 n ＝5時， Sn 取得最大值.
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15. 已知 Sn 為等差數列{ an }的前 n 項和，且 a1＝－15， S5＝－55.
（1）求數列{ an }的通項公式；
解： 設等差數列{ an }的公差為 d ，
S5＝5× ＝5 a3＝－55，
所以 a3＝－11，所以 d ＝ ＝ ＝2.所以 an ＝ a1＋
（ n －1） d ＝－15＋（ n －1）×2＝2 n －17.
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（2）若不等式 Sn ＞ t 對于任意的 n ∈N*恒成立，求實數 t 的取
值范圍.
解： 由（1）知， an ＝2 n －17，所以 Sn ＝
＝ ＝ n （ n －16）＝（ n －8）2－64，
所以（ Sn ）min＝－64.
Sn ＞ t 對任意 n ∈N*恒成立等價于（ Sn ）min＞ t ，即－64＞ t .
所以實數 t 的取值范圍為（－∞，－64）.
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