資源簡(jiǎn)介

4.3.1　等比數(shù)列的概念
1.若2，a，6成等比數(shù)列，則a＝（　　）
A.1　　 B.±2
C.2　　 D.－2
2.在等比數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝64，則a3＝（　　）
A.16　　 B.－16
C.32　　 D.－32
3.在各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，則a4＝（　　）
A.108　　 B.54
C.36　　 D.18
4.（2024·泰州質(zhì)檢）“b＝”是“a，b，c成等比數(shù)列”的（　　）
A.充分不必要條件　　
B.充要條件
C.必要不充分條件　　
D.既不充分也不必要條件
5.（多選）下列各組數(shù)成等比數(shù)列的是（　　）
A.1，－2，4，－8
B.－，2，－2，4
C.x，x2，x3，x4
D.a－1，a－2，a－3，a－4
6.（多選）已知{an}是等比數(shù)列，則下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（　　）
A.{an＋1}
B.{3an}
C.{}
D.{an＋1－an}
7.若{an}為等比數(shù)列，且a3＋a4＝4，a2＝2，則公比q＝　　　　.
8.已知a是2和4的等差中項(xiàng)，若數(shù)列－2，b，－8成等比數(shù)列，則ab＝　　　　.
9.在△ABC中，若sin A，sin B，sin C成公比為的等比數(shù)列，則cos B＝　　　　.
10.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，判斷它是否為等比數(shù)列：
（1）an＝3n；（2）an＝5×32－n；
（3）an＝n－1；（4）an＝3.
11.（2024·廣州質(zhì)檢）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”這句話出自《莊子·天下》，其意思為“一根一尺長(zhǎng)的木棰，每天截取其一半，永遠(yuǎn)都取不完”.設(shè)第一天這根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，則＝（　　）
A.18　　 B.20
C.22　　 D.24
12.已知不等式x2－5x－6＜0的解集中有三個(gè)整數(shù)解，構(gòu)成等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)，則數(shù)列{an}的第四項(xiàng)是（　　）
A.8　　 B.
C.8或2　　 D.8或
13.在等比數(shù)列a，2a＋2，3a＋3，…，中，a＝　　　　.
14.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝（an－1）（n∈N*）.證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
15.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且a2－c2＝ac－bc，求角A的大小及的值.
4.3.1　等比數(shù)列的概念
1.B　根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得＝，即a2＝2×6＝12，所以a＝±2.
2.C　根據(jù)等比數(shù)列的定義可得即解得a3＝32.
3.B　因?yàn)閍n＋1＝3an，即＝3，所以數(shù)列{an}是公比為3的等比數(shù)列，所以＝＝＝3，又a1＝2，所以a4＝54.
4.D　由等比數(shù)列的定義可得＝，即b2＝ac，b＝±，故必要性不成立；若b＝，令a＝b＝0，滿足b＝，但此時(shí)a，b，c不構(gòu)成等比數(shù)列，故充分性不成立.故選D.
5.ABD　對(duì)于A：1，－2，4，－8中，由＝＝＝－2得，數(shù)列是以－2為公比的等比數(shù)列；對(duì)于B：－，2，－2，4中，由＝＝＝－得，數(shù)列是以－為公比的等比數(shù)列；對(duì)于C：當(dāng)x＝0時(shí)，不是等比數(shù)列；對(duì)于D：a－1，a－2，a－3，a－4中，由＝＝＝a－1得，數(shù)列是以a－1為公比的等比數(shù)列.故選A、B、D.
6.BC　不妨設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.對(duì)于A選項(xiàng)，不妨取數(shù)列{an}展開為2，4，8，16，…，則{an＋1}展開為3，5，9，17，…，顯然不是等比數(shù)列，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由＝＝q，則數(shù)列{3an}為等比數(shù)列，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由＝（）2＝q2，則數(shù)列{}為等比數(shù)列，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)q＝1時(shí)，數(shù)列{an＋1－an}為首項(xiàng)為0的常數(shù)列，顯然不是等比數(shù)列，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選B、C.
7.1或－2　解析：因?yàn)椋絨，所以a3＝a2q＝2q，因?yàn)椋絨，所以a4＝a3q＝2q2，所以2q2＋2q＝4，即q2＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2.
8.±12　解析：因?yàn)閍是2和4的等差中項(xiàng)，故a＝＝3 ，數(shù)列－2，b，－8成等比數(shù)列，故＝，即b＝±＝±4，所以ab＝±12.
9.　解析：因?yàn)閟in A，sin B，sin C成公比為的等比數(shù)列，所以sin B＝sin A，sin C＝2sin A，由正弦定理可知b＝a，c＝2a，所以cos B＝＝＝.
10.解：由等比數(shù)列的定義可知，＝q（n≥2，n∈N*），若q是一個(gè)與n無關(guān)的非零常數(shù)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
（1）＝＝，不是常數(shù)，故不是等比數(shù)列；
（2）＝＝，是等比數(shù)列；
（3）＝＝，不是常數(shù)，故不是等比數(shù)列；
（4）＝＝1，是等比數(shù)列.
11.D　設(shè)這根木棰總長(zhǎng)為1，每天截取其一半，剩下的部分記為an，則{an}是首項(xiàng)a1＝，公比q＝的等比數(shù)列，所以a1＝，a2＝，…，a5＝，所以＝＝24.
12.D　不等式x2－5x－6＜0的解集為{x｜－1＜x＜6}，其中成等比數(shù)列的三個(gè)整數(shù)為1，2，4，若數(shù)列前3項(xiàng)為1，2，4，則第4項(xiàng)為8，若數(shù)列前3項(xiàng)為4，2，1，則第4項(xiàng)為.
13.－4　解析：a，2a＋2，3a＋3成等比數(shù)列，則＝，即（2a＋2）2＝a（3a＋3），解得a＝－4或a＝－1，當(dāng)a＝－1時(shí)，2a＋2＝0，3a＋3＝0，不滿足條件；當(dāng)a＝－4時(shí)，等比數(shù)列為：－4，－6，－9，…，滿足條件.
14.證明：因?yàn)镾n＝（an－1），所以Sn＋1＝（an＋1－1），
兩式相減，得an＋1＝an＋1－an，即an＋1＝－an.
又當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝（a1－1），所以a1＝－.
所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為－，公比為－的等比數(shù)列.
15.解：∵a，b，c成等比數(shù)列，∴＝，即b2＝ac，
又a2－c2＝ac－bc，∴a2－c2＝b2－bc，即b2＋c2－a2＝bc，
在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝，∴A＝60°.
在△ABC中，由正弦定理得sin B＝，
∴＝＝sin A＝.
2 / 24.3.1　等比數(shù)列的概念
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.通過生活中的實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念 數(shù)學(xué)抽象
2.能根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值 邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算
　　我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有一個(gè)有趣的問題叫“出門望九堤”：“今有出門望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各有幾何？”
【問題】　（1）你能寫出“出門望九堤”問題構(gòu)成的數(shù)列嗎？
（2）根據(jù)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，上述數(shù)列有什么特點(diǎn)？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)　等比數(shù)列的概念
　如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于　　　　　　　　，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的　　　　，公比通常用字母　　　表示.
提醒　理解等比數(shù)列概念的注意點(diǎn)：①“從第2項(xiàng)起”，也就是說等比數(shù)列中至少含有三項(xiàng)；②“每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比”不可理解為“每相鄰兩項(xiàng)的比”；③公比q可正，可負(fù)，但不能為0，它是一個(gè)與n無關(guān)的非零常數(shù).
【想一想】
　若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為常數(shù)，則該數(shù)列一定是等比數(shù)列嗎？
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）
（1）數(shù)列1，－1，1，－1，…是等比數(shù)列.（　　）
（2）若數(shù)列{an}滿足＝2，＝2，則{an}為等比數(shù)列.（　　）
（3）任何常數(shù)列都是等比數(shù)列.（　　）
2.下列數(shù)列為等比數(shù)列的是（　　）
A.2，22，3×22，…　　
B.，，，…
C.s－1，（s－1）2，（s－1）3，…　　
D.0，0，0，…
3.若－1，b，－9成等比數(shù)列，則b＝（　　）
A.3　　 B.－3
C.±3　　 D.2
題型一 等比數(shù)列的概念
【例1】　（鏈接教科書第155頁例1）判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，如果是，寫出它的公比.
（1）1，，，，，…；
（2）10，10，10，10，10，…；
（3），（）2，（）3，（）4，…；
（4）1，0，1，0，1，0，…；
（5）1，－4，16，－64，256，….
通性通法
判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列的方法
　　定義法：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就是等比數(shù)列，否則，不是等比數(shù)列，且等比數(shù)列中任意一項(xiàng)不能為0，對(duì)于含參的數(shù)列需要分類討論.
【跟蹤訓(xùn)練】
（多選）以下數(shù)列中是等比數(shù)列的是（　　）
A.1，2，6，18，…
B.1，－，，－，…
C.a，a，…，a，…
D.數(shù)列{an}中，＝q（q≠0），其中n∈N*
題型二 利用定義求等比數(shù)列中的項(xiàng)
【例2】　（鏈接教科書第156頁例2）求出下列等比數(shù)列中的未知項(xiàng)：
（1）4，a，9；
（2）1，b，c，－8.
通性通法
　　一般地，如果幾個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則按照等比數(shù)列的定義構(gòu)造方程或方程組求值即可.但要注意題目中的要求，比如正項(xiàng)的等比數(shù)列或負(fù)項(xiàng)的等比數(shù)列.
【跟蹤訓(xùn)練】
若1，a，3成等差數(shù)列，1，b，4成等比數(shù)列，則＝（　　）
A.±　　B.　　C.1　　D.±1
題型三 等比數(shù)列的判定與證明
【例3】　已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋n－1.求證：數(shù)列{an＋n}為等比數(shù)列.
通性通法
用定義法判定數(shù)列{an}是等比數(shù)列的步驟
（1）作商：；
（2）變形：化簡(jiǎn)；
（3）得結(jié)論：若化簡(jiǎn)結(jié)果是與n無關(guān)的常數(shù)，則{an}為等比數(shù)列，否則不是等比數(shù)列.
【跟蹤訓(xùn)練】
判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列：
（1）an＝2n；（2）an＝n2；
（3）an＝3×2n；（4）an＝2n＋1.
1.下列數(shù)列是等比數(shù)列的是（　　）
A.10，100，1 000，10 000
B.4，6，9，12
C.－1，0，1，2
D.lg 2，lg 3，lg 6，lg 18
2.若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且an＝3n－1＋a－2，則a＝（　　）
A.　　 B.2
C.　　 D.3
3.（多選）下列說法正確的有（　　）
A.等比數(shù)列中的項(xiàng)不能為0
B.等比數(shù)列的公比的取值范圍是R
C.若一個(gè)常數(shù)列是等比數(shù)列，則公比為1
D.22，42，62，82，…成等比數(shù)列
4.3.1　等比數(shù)列的概念
【基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)
同一個(gè)常數(shù)　公比　q
想一想
　提示：不一定，根據(jù)等比數(shù)列的定義，只有比值為同一個(gè)常數(shù)時(shí)，該數(shù)列才是等比數(shù)列.
自我診斷
1.（1）√　（2）×　（3）×
2.B　A項(xiàng)不滿足定義，C項(xiàng)可為0，D項(xiàng)不符合定義.故選B.
3.C　由等比數(shù)列定義知＝，即b2＝9，故b＝±3.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）不是等比數(shù)列.
（2）是等比數(shù)列，公比為1.
（3）是等比數(shù)列，公比為.
（4）不是等比數(shù)列.
（5）是等比數(shù)列，公比為－4.
跟蹤訓(xùn)練
　BD　A項(xiàng)，數(shù)列不符合等比數(shù)列的定義，不是等比數(shù)列；B項(xiàng)，該數(shù)列符合等比數(shù)列的定義，是等比數(shù)列；C項(xiàng)，當(dāng)a＝0時(shí)，不是等比數(shù)列；D項(xiàng)，該數(shù)列符合等比數(shù)列的定義，是等比數(shù)列.
【例2】　解：（1）根據(jù)題意，得＝，
所以a＝6或a＝－6.
（2）根據(jù)題意，得解得
所以b＝－2，c＝4.
跟蹤訓(xùn)練
　D　因?yàn)?，a，3成等差數(shù)列，1，b，4成等比數(shù)列，所以a＝＝2，＝，b＝±＝±2，所以的值為±1.
【例3】　證明：由an＋1＝2an＋n－1，得an＋1＋n＋1＝2an＋2n＝2（an＋n），易知an＋n≠0，
∴＝2，且a1＋1＝2，
∴數(shù)列 {an＋n}是首項(xiàng)與公比都為2的等比數(shù)列.
跟蹤訓(xùn)練
　解：（1）＝＝2，是等比數(shù)列.
（2）＝，不是常數(shù)，故不是等比數(shù)列.
（3）＝＝2，是等比數(shù)列.
（4）＝，不是常數(shù)，故不是等比數(shù)列.
隨堂檢測(cè)
1.A　A滿足等比數(shù)列的定義，其余均不滿足.
2.B　由題意可得，a1＝a－1，a2＝a＋1，a3＝a＋7，所以＝，解得a＝2.
3.AC　A顯然正確；等比數(shù)列的公比不能為0，故B錯(cuò)誤；C顯然正確；由于≠，不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.
3 / 3(共48張PPT)
4.3.1　等比數(shù)列的概念
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.通過生活中的實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念 數(shù)學(xué)抽象
2.能根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)
列，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值 邏輯推理、
數(shù)學(xué)運(yùn)算
目錄
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識(shí)梳理
我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有一個(gè)有趣的問題叫“出門望九
堤”：“今有出門望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九
禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各有幾何？”
【問題】　（1）你能寫出“出門望九堤”問題構(gòu)成的數(shù)列嗎？
（2）根據(jù)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，上述數(shù)列有什么特點(diǎn)？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)　等比數(shù)列的概念
　如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于
，那么這個(gè)數(shù)列就叫作等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列
的 ，公比通常用字母 表示.
提醒　理解等比數(shù)列概念的注意點(diǎn)：①“從第2項(xiàng)起”，也就是說等
比數(shù)列中至少含有三項(xiàng)；②“每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比”不可理解為
“每相鄰兩項(xiàng)的比”；③公比 q 可正，可負(fù)，但不能為0，它是一個(gè)與
n 無關(guān)的非零常數(shù).
同一
個(gè)常數(shù)　
公比　
q 　
【想一想】
　若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為常數(shù)，則該數(shù)列一定
是等比數(shù)列嗎？
提示：不一定，根據(jù)等比數(shù)列的定義，只有比值為同一個(gè)常數(shù)時(shí)，該
數(shù)列才是等比數(shù)列.
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）
（1）數(shù)列1，－1，1，－1，…是等比數(shù)列. （　√　）
（2）若數(shù)列{ an }滿足 ＝2， ＝2，則{ an }為等比數(shù)列.
（　×　）
（3）任何常數(shù)列都是等比數(shù)列. （　×　）
√
×
×
2. 下列數(shù)列為等比數(shù)列的是（　　）
A. 2，22，3×22，…
C. s －1，（ s －1）2，（ s －1）3，…
D. 0，0，0，…
解析：　A項(xiàng)不滿足定義，C項(xiàng)可為0，D項(xiàng)不符合定義.故選B.
3. 若－1， b ，－9成等比數(shù)列，則 b ＝（　　）
A. 3 B. －3
C. ±3 D. 2
解析：　由等比數(shù)列定義知 ＝ ，即 b2＝9，故 b ＝±3.
典型例題·精研析
02
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 等比數(shù)列的概念
【例1】　（鏈接教科書第155頁例1）判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)
列，如果是，寫出它的公比.
（1）1， ， ， ， ，…；
（2）10，10，10，10，10，…；
（3） ，（ ）2，（ ）3，（ ）4，…；
（4）1，0，1，0，1，0，…；
（5）1，－4，16，－64，256，….
解：（1）不是等比數(shù)列.
（2）是等比數(shù)列，公比為1.
（3）是等比數(shù)列，公比為 .
（4）不是等比數(shù)列.
（5）是等比數(shù)列，公比為－4.
通性通法
判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列的方法
　　定義法：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都
等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就是等比數(shù)列，否則，不是等比數(shù)
列，且等比數(shù)列中任意一項(xiàng)不能為0，對(duì)于含參的數(shù)列需要分類討論.
【跟蹤訓(xùn)練】
（多選）以下數(shù)列中是等比數(shù)列的是（　　）
A. 1，2，6，18，…
C. a ， a ，…， a ，…
解析：　A項(xiàng)，數(shù)列不符合等比數(shù)列的定義，不是等比數(shù)列；B
項(xiàng)，該數(shù)列符合等比數(shù)列的定義，是等比數(shù)列；C項(xiàng)，當(dāng) a ＝0時(shí)，不
是等比數(shù)列；D項(xiàng)，該數(shù)列符合等比數(shù)列的定義，是等比數(shù)列.
題型二 利用定義求等比數(shù)列中的項(xiàng)
【例2】　（鏈接教科書第156頁例2）求出下列等比數(shù)列中的未知
項(xiàng)：
（1）4， a ，9；
解： 根據(jù)題意，得 ＝ ，
所以 a ＝6或 a ＝－6.
（2）1， b ， c ，－8.
解： 根據(jù)題意，得解得
所以 b ＝－2， c ＝4.
通性通法
　　一般地，如果幾個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則按照等比數(shù)列的定義構(gòu)造方
程或方程組求值即可.但要注意題目中的要求，比如正項(xiàng)的等比數(shù)列
或負(fù)項(xiàng)的等比數(shù)列.
【跟蹤訓(xùn)練】
若1， a ，3成等差數(shù)列，1， b ，4成等比數(shù)列，則 ＝（　　）
C. 1 D. ±1
解析： 　因?yàn)?， a ，3成等差數(shù)列，1， b ，4成等比數(shù)列，所以 a ＝
＝2， ＝ ， b ＝± ＝±2，所以 的值為±1.
題型三 等比數(shù)列的判定與證明
【例3】　已知數(shù)列{ an }中， a1＝1， an＋1＝2 an ＋ n －1.求證：數(shù)列
{ an ＋ n }為等比數(shù)列.
證明：由 an＋1＝2 an ＋ n －1，得 an＋1＋ n ＋1＝2 an ＋2 n ＝2（ an ＋
n ），易知 an ＋ n ≠0，
∴ ＝2，且 a1＋1＝2，
∴數(shù)列 { an ＋ n }是首項(xiàng)與公比都為2的等比數(shù)列.
通性通法
用定義法判定數(shù)列{ an }是等比數(shù)列的步驟
（1）作商： ；
（2）變形：化簡(jiǎn) ；
（3）得結(jié)論：若化簡(jiǎn)結(jié)果是與 n 無關(guān)的常數(shù)，則{ an }為等比數(shù)列，否
則不是等比數(shù)列.
【跟蹤訓(xùn)練】
判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列：
（1） an ＝2 n ；（2） an ＝ n2；
（3） an ＝3×2 n ；（4） an ＝2 n ＋1.
解：（1） ＝ ＝2，是等比數(shù)列.
（2） ＝ ，不是常數(shù)，故不是等比數(shù)列.
（3） ＝ ＝2，是等比數(shù)列.
（4） ＝ ，不是常數(shù)，故不是等比數(shù)列.
1. 下列數(shù)列是等比數(shù)列的是（　　）
A. 10，100，1 000，10 000
B. 4，6，9，12
C. －1，0，1，2
D. lg 2，lg 3，lg 6，lg 18
解析： 　A滿足等比數(shù)列的定義，其余均不滿足.
2. 若數(shù)列{ an }是等比數(shù)列，且 an ＝3 n－1＋ a －2，則 a ＝（　　）
B. 2
D. 3
解析： 　由題意可得， a1＝ a －1， a2＝ a ＋1， a3＝ a ＋7，所以
＝ ，解得 a ＝2.
3. （多選）下列說法正確的有（　　）
A. 等比數(shù)列中的項(xiàng)不能為0
B. 等比數(shù)列的公比的取值范圍是R
C. 若一個(gè)常數(shù)列是等比數(shù)列，則公比為1
D. 22，42，62，82，…成等比數(shù)列
解析： 　A顯然正確；等比數(shù)列的公比不能為0，故B錯(cuò)誤；C顯
然正確；由于 ≠ ，不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 若2， a ，6成等比數(shù)列，則 a ＝（　　）
A. 1
C. 2 D. －2
解析： 　根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得 ＝ ，即 a2＝2×6＝12，所
以 a ＝±2 .
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2. 在等比數(shù)列{ an }中， a1＝8， a4＝64，則 a3＝（　　）
A. 16 B. －16
C. 32 D. －32
解析： 　根據(jù)等比數(shù)列的定義可得即解得
a3＝32.
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3. 在各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{ an }中，若 an＋1＝3 an ， a1＝2，則 a4＝
（　　）
A. 108 B. 54
C. 36 D. 18
解析： 　因?yàn)?an＋1＝3 an ，即 ＝3，所以數(shù)列{ an }是公比為3
的等比數(shù)列，所以 ＝ ＝ ＝3，又 a1＝2，所以 a4＝54.
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4. （2024·泰州質(zhì)檢）“ b ＝ ”是“ a ， b ， c 成等比數(shù)列”的
（　　）
A. 充分不必要條件
B. 充要條件
C. 必要不充分條件
D. 既不充分也不必要條件
解析： 　由等比數(shù)列的定義可得 ＝ ，即 b2＝ ac ， b ＝± ，
故必要性不成立；若 b ＝ ，令 a ＝ b ＝0，滿足 b ＝ ，但此
時(shí) a ， b ， c 不構(gòu)成等比數(shù)列，故充分性不成立.故選D.
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5. （多選）下列各組數(shù)成等比數(shù)列的是（　　）
A. 1，－2，4，－8
C. x ， x2， x3， x4 D. a－1， a－2， a－3， a－4
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解析： 　對(duì)于A：1，－2，4，－8中，由 ＝ ＝ ＝－2
得，數(shù)列是以－2為公比的等比數(shù)列；對(duì)于B：－ ，2，－2 ，
4中，由 ＝ ＝ ＝－ 得，數(shù)列是以－ 為公比的等
比數(shù)列；對(duì)于C：當(dāng) x ＝0時(shí)，不是等比數(shù)列；對(duì)于D： a－1， a－2，
a－3， a－4中，由 ＝ ＝ ＝ a－1得，數(shù)列是以 a－1為公比的等
比數(shù)列.故選A、B、D.
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6. （多選）已知{ an }是等比數(shù)列，則下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是
（　　）
A. { an ＋1} B. {3 an }
D. { an＋1－ an }
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解析： 　不妨設(shè)等比數(shù)列{ an }的公比為 q .對(duì)于A選項(xiàng)，不妨取
數(shù)列{ an }展開為2，4，8，16，…，則{ an ＋1}展開為3，5，9，
17，…，顯然不是等比數(shù)列，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由 ＝
＝ q ，則數(shù)列{3 an }為等比數(shù)列，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由
＝（ ）2＝ q2，則數(shù)列{ }為等比數(shù)列，故C項(xiàng)正確；對(duì)于
D選項(xiàng)，當(dāng) q ＝1時(shí)，數(shù)列{ an＋1－ an }為首項(xiàng)為0的常數(shù)列，顯然不
是等比數(shù)列，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選B、C.
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7. 若{ an }為等比數(shù)列，且 a3＋ a4＝4， a2＝2，則公比 q ＝ .
解析：因?yàn)? ＝ q ，所以 a3＝ a2 q ＝2 q ，因?yàn)? ＝ q ，所以 a4＝ a3 q
＝2 q2，所以2 q2＋2 q ＝4，即 q2＋ q －2＝0，解得 q ＝1或 q ＝－2.
1或－2　
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8. 已知 a 是2和4的等差中項(xiàng)，若數(shù)列－2， b ，－8成等比數(shù)列，則 ab
＝ .
解析：因?yàn)?a 是2和4的等差中項(xiàng)，故 a ＝ ＝3 ，數(shù)列－2， b ，－
8成等比數(shù)列，故 ＝ ，即 b ＝± ＝±4，所以
ab ＝±12.
±12　
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9. 在△ ABC 中，若 sin A ， sin B ， sin C 成公比為 的等比數(shù)列，則
cos B ＝ .
解析：因?yàn)?sin A ， sin B ， sin C 成公比為 的等比數(shù)列，所以 sin
B ＝ sin A ， sin C ＝2 sin A ，由正弦定理可知 b ＝ a ， c ＝2 a ，
所以 cos B ＝ ＝ ＝ .
　
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10. 已知數(shù)列{ an }的通項(xiàng)公式，判斷它是否為等比數(shù)列：
（1） an ＝3 n ；（2） an ＝5×32－ n ；
（3） an ＝ n－1；（4） an ＝3.
解：由等比數(shù)列的定義可知， ＝ q （ n ≥2， n ∈N*），
若 q 是一個(gè)與 n 無關(guān)的非零常數(shù)，則數(shù)列{ an }是等比數(shù)列.
（1） ＝ ＝ ，不是常數(shù)，故不是等比數(shù)
列；
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（2） ＝ ＝ ，是等比數(shù)列；
（3） ＝ ＝ ，不是常數(shù)，故不是等比
數(shù)列；
（4） ＝ ＝1，是等比數(shù)列.
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11. （2024·廣州質(zhì)檢）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”這句話出
自《莊子·天下》，其意思為“一根一尺長(zhǎng)的木棰，每天截取其一
半，永遠(yuǎn)都取不完”.設(shè)第一天這根木棰被截取一半剩下 a1尺，第
二天被截取剩下的一半剩下 a2尺，…，第五天被截取剩下的一半
剩下 a5尺，則 ＝（　　）
A. 18 B. 20
C. 22 D. 24
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解析： 　設(shè)這根木棰總長(zhǎng)為1，每天截取其一半，剩下的部分記
為 an ，則{ an }是首項(xiàng) a1＝ ，公比 q ＝ 的等比數(shù)列，所以 a1＝
， a2＝ ，…， a5＝ ，所以 ＝ ＝24.
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12. 已知不等式 x2－5 x －6＜0的解集中有三個(gè)整數(shù)解，構(gòu)成等比數(shù)列
{ an }的前三項(xiàng)，則數(shù)列{ an }的第四項(xiàng)是（　　）
A. 8
C. 8或2
解析： 　不等式 x2－5 x －6＜0的解集為{ x ｜－1＜ x ＜6}，其中
成等比數(shù)列的三個(gè)整數(shù)為1，2，4，若數(shù)列前3項(xiàng)為1，2，4，則第
4項(xiàng)為8，若數(shù)列前3項(xiàng)為4，2，1，則第4項(xiàng)為 .
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13. 在等比數(shù)列 a ，2 a ＋2，3 a ＋3，…，中， a ＝ .
解析： a ，2 a ＋2，3 a ＋3成等比數(shù)列，則 ＝ ，即（2 a
＋2）2＝ a （3 a ＋3），解得 a ＝－4或 a ＝－1，當(dāng) a ＝－1時(shí)，2 a
＋2＝0，3 a ＋3＝0，不滿足條件；當(dāng) a ＝－4時(shí)，等比數(shù)列為：－
4，－6，－9，…，滿足條件.
－4　
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14. 已知數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，且 Sn ＝ （ an －1）（ n ∈N*）.證
明：數(shù)列{ an }是等比數(shù)列.
證明：因?yàn)?Sn ＝ （ an －1），所以 Sn＋1＝ （ an＋1－1），
兩式相減，得 an＋1＝ an＋1－ an ，即 an＋1＝－ an .
又當(dāng) n ＝1時(shí)， a1＝ S1＝ （ a1－1），所以 a1＝－ .
所以數(shù)列{ an }是首項(xiàng)為－ ，公比為－ 的等比數(shù)列.
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15. 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的對(duì)邊分別是 a ， b ， c ，若 a ， b ， c
成等比數(shù)列，且 a2－ c2＝ ac － bc ，求角 A 的大小及 的值.
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解：∵ a ， b ， c 成等比數(shù)列，∴ ＝ ，即 b2＝ ac ，
又 a2－ c2＝ ac － bc ，∴ a2－ c2＝ b2－ bc ，即 b2＋ c2－ a2＝ bc ，
在△ ABC 中，由余弦定理得 cos A ＝ ＝ ＝ ，∴ A ＝
60°.
在△ ABC 中，由正弦定理得 sin B ＝ ，
∴ ＝ ＝ sin A ＝ .
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