資源簡介

第1課時　等比數(shù)列的通項公式
1.數(shù)列－，，－，，…的一個通項公式an＝（　　）
A.　 B.－　 C.　 D.－
2.在首項a1＝1，公比q＝2的等比數(shù)列{an}中，當(dāng)an＝64時，項數(shù)n＝（　　）
A.4　　B.5　　C.6　　D.7
3.設(shè)a1＝2，數(shù)列{1＋2an}是公比為3的等比數(shù)列，則a6＝（　　）
A.607.5　　B.608　　C.607　　D.159
4.各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2，a3，a1成等差數(shù)列，則＝（　　）
A.　　 B.
C.　　 D.或
5.（多選）已知正項等比數(shù)列{an}滿足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若設(shè)其公比為q，則（　　）
A.q＝2　　 B.an＝2n
C.18是數(shù)列中的項　　 D.an＋an＋1＜an＋2
6.（多選）（2024·臺州月考）我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題；今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬.”馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人應(yīng)分別償還a升，b升，c升粟，1斗為10升，則下列判斷正確的是（　　）
A.a，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列
B.a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列
C.a＝
D.c＝
7.已知{an}是等比數(shù)列，a1＝，a2＝4，則a3＝　　　　，a1a2a3a4a5a6＝　　　　.
8.在160與5中間插入4個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這4個數(shù)依次為　　　　.
9.（2024·蘇州月考）我國生物科技發(fā)展日新月異，其中生物制藥發(fā)展尤其迅速，某制藥公司第一年共投入資金50萬元進行新藥開發(fā)，并計劃每年投入的研發(fā)資金比上一年增加20%.按此規(guī)律至少到第　　　　年每年投入的資金可達250萬元以上（精確到1年）.（參考數(shù)據(jù)lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70）
10.在等比數(shù)列{an}中，
（1）已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；
（2）已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通項公式.
11.若正項數(shù)列{an}滿足a1＝2，－3an＋1an－4＝0，則數(shù)列{an}的通項公式an＝（　　）
A.22n－1　　B.2n　　C.22n＋1　　D.22n－3
12.如圖給出了一個“三角形數(shù)陣”，已知每一列數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，記第i行第j列的數(shù)為aij（i，j∈N*），則a53＝（　　）
，
，，
…
A.　　B.　　C.　　D.
13.一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其每一項都等于它后面的相鄰兩項之和，則公比q＝　　　　.
14.從盛滿a（a＞1）升純酒精的容器里倒出1升，然后添滿水搖勻，再倒出1升混合溶液后又添滿水搖勻，如此繼續(xù)下去，問：
（1）第n次操作后容器中酒精的濃度是多少？
（2）當(dāng)a＝2時至少應(yīng)操作幾次后才能使容器中酒精的濃度低于10%？
15.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2（n＋1）an，設(shè)bn＝.
（1）求b1，b2，b3；
（2）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；
（3）求{an}的通項公式.
第1課時　等比數(shù)列的通項公式
1.A　該數(shù)列是以－為公比，－為首項的等比數(shù)列，則an＝.
2.D　因為an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.
3.C　因為1＋2an＝（1＋2a1）×3n－1，所以1＋2a6＝5×35，所以a6＝＝607.
4.B　設(shè){an}的公比為q（q＞0，q≠1），根據(jù)題意可知a3＝a2＋a1，∴q2－q－1＝0，解得q＝或q＝（舍去），則＝＝.故選B.
5.ABD　由題意可得2q3＝4q＋2q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2（負值舍去），選項A正確；an＝2×2n－1＝2n，選項B正確，C錯誤；an＋an＋1＝3an，而an＋2＝4an＞3an，選項D正確.
6.BD　依題意a＝2b，b＝2c，所以a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，a＋b＋c＝50，即4c＋2c＋c＝7c＝50，c＝，a＝4c＝.所以B、D選項正確.故選B、D.
7.32　239　解析：因為數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a1＝，a2＝4.所以等比數(shù)列{an}的公比q＝＝8，所以a3＝a2q＝4×8＝32，所以a1a2a3a4a5a6＝·q15＝（2－1）6×（23）15＝239.
8.80，40，20，10　解析：設(shè)這6個數(shù)所成等比數(shù)列的公比為q，則5＝160q5，∴q5＝，∴q＝.∴這4個數(shù)依次為80，40，20，10.
9.10　解析：由題知，該制藥公司每年投入的研發(fā)資金滿足等比數(shù)列模型，且a1＝50，q＝1.2，所以an＝50×（1.2）n－1，令an＝50×（1.2）n－1＝250，所以（1.2）n－1＝5，所以n－1＝log1.25＝≈＝8.75，所以n＝9.75，又因為n為正整數(shù)，所以n＝10.
10.解：（1）∵an＝a1qn－1，∴4×2n－1＝128，
∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6.
（2）∵a3＝a1q2，即8＝2q2，
∴q2＝4，∴q＝±2.
當(dāng)q＝2時，an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n，
當(dāng)q＝－2時，an＝a1qn－1＝2×（－2）n－1＝（－1）n－12n，
∴數(shù)列{an}的公比為2或－2，對應(yīng)的通項公式分別為an＝2n或an＝（－1）n－12n.
11.A　由－3an＋1an－4＝0，得（an＋1－4an）·（an＋1＋an）＝0.又{an}是正項數(shù)列，所以an＋1－4an＝0，＝4.由等比數(shù)列的定義知數(shù)列{an}是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列.由等比數(shù)列的通項公式，得an＝2×4n－1＝22n－1.
12.C　第一列構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列，所以a51＝＋（5－1）×＝.又因為從第三行起每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，所以第5行構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，所以a53＝×（）3－1＝.
13.　解析：由題意得an＝an＋1＋an＋2，所以1＝q＋q2，即q2＋q－1＝0，解得q＝或q＝（舍去）.
14.解：（1）由題意知開始時容器中酒精的濃度為1，設(shè)第n次操作后容器中酒精的濃度為an，
則第1次操作后容器中酒精的濃度為a1＝1－，
第n＋1次操作后容器中酒精的濃度為an＋1＝an（1－），
所以{an}是首項為a1＝1－，公比為q＝1－的等比數(shù)列，
所以an＝a1qn－1＝（1－）n，
即第n次操作后容器中酒精的濃度是（1－）n.
（2）當(dāng)a＝2時，由an＝（）n＜，解得n≥4.
故至少應(yīng)操作4次后才能使容器中酒精的濃度低于10%.
15.解：（1）由條件可得an＋1＝an.
將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
所以b1＝1，b2＝2，b3＝4.
（2）數(shù)列{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.
理由如下：由條件可得＝，
即bn＋1＝2bn，又b1＝1，
所以數(shù)列{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.
（3）由（2）可得＝2n－1，
所以an＝n·2n－1.
2 / 24.3.2　等比數(shù)列的通項公式
新課程標準解讀 核心素養(yǎng)
1.掌握等比數(shù)列的通項公式，并能運用通項公式解決一些簡單的問題 邏輯推理、數(shù)學(xué)運算
2.體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系 數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算
第1課時　等比數(shù)列的通項公式
　　在我們學(xué)習(xí)等比數(shù)列的過程中，發(fā)現(xiàn)它與等差數(shù)列有許多相似之處，這其實就是我們在這兩類數(shù)列之間運用了類比思想，對于等比數(shù)列2，4，8，….
【問題】　（1）你能寫出它的通項公式嗎？
（2）你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項公式嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　等比數(shù)列的通項公式
若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q（q≠0），則等比數(shù)列{an}的通項公式為an＝　　　　　.
提醒　由等比數(shù)列的通項公式an＝a1qn－1可得，an＝·qn，當(dāng)q＞0且q≠1時，等比數(shù)列{an}的第n項an是指數(shù)型函數(shù)f（x）＝·qx（x∈R）當(dāng)x＝n時的函數(shù)值，即an＝f（n）.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）在等比數(shù)列{an}中，an＝a1qn－1（n∈N*）.（　　）
（2）等比數(shù)列{an}的圖象是指數(shù)型函數(shù)y＝·qx的圖象上一些孤立的點.（　　）
（3）等比數(shù)列1，－1，1，－1，…，的通項公式為an＝（－1）n－1.（　　）
2.等比數(shù)列{an}中，a1＝3，公比q＝2，則a5＝（　　）
A.32　　 B.－48
C.48　　 D.96
3.在數(shù)列{an}中，an＋1＝－3an且a2＝－3，則an＝（　　）
A.3n－2　　 B.（－3）n－2
C.－3n－1　　 D.（－3）n－1
題型一 等比數(shù)列通項公式的推導(dǎo)
【例1】　已知等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，求證：an＝a1qn－1.
通性通法
　　推導(dǎo)等比數(shù)列的通項公式除教科書中的累乘法外，還可類比等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)方法，通過歸納法或迭代法推導(dǎo)，最后一定要驗證n＝1時是否成立.若n＝1時不成立，則通項公式用分段函數(shù)表示.
【跟蹤訓(xùn)練】
已知等比數(shù)列{an}的第m項am與公比q，證明an＝amqn－m.
題型二 等比數(shù)列基本量的運算
【例2】　（鏈接教科書第158頁例4）在等比數(shù)列{an}中：
（1）a1＝1，a4＝8，求an；
（2）an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
（3）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
通性通法
關(guān)于等比數(shù)列基本量的運算
（1）a1和q是等比數(shù)列的兩個基本量，解決相應(yīng)問題時，只要求出這兩個基本量，其余的量便可以得出；
（2）等比數(shù)列的通項公式涉及4個量a1，an，n，q，只要知道其中任意三個就能求出另外一個，解題時常列方程（組）來解決.
【跟蹤訓(xùn)練】
在等比數(shù)列{an}中：
（1）若它的前三項分別為5，－15，45，求a5；
（2）若a2＝4，a5＝－，求an；
（3）若a2＝4，q＝2，an＝128，求n.
題型三 等比數(shù)列的實際應(yīng)用
【例3】　（2024·南通月考）某工廠2024年1月的生產(chǎn)總值為a萬元，計劃從2024年2月起，每月生產(chǎn)總值比上一個月增長m%，那么到2025年8月底該廠的生產(chǎn)總值為多少萬元？
通性通法
等比數(shù)列實際應(yīng)用的求解思路
（1）認真審題，弄清題意，將實際問題轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型；
（2）合理設(shè)出未知數(shù)，建立等比數(shù)列模型，依據(jù)其性質(zhì)或方程思想求出未知元素；
（3）針對所求結(jié)果作出合理解釋.
【跟蹤訓(xùn)練】
某人買了一輛價值13.5萬元的新車，專家預(yù)測這種車每年按10%的速度貶值.
（1）用一個式子表示第n（n∈N*）年這輛車的價值；
（2）如果他打算用滿4年時賣掉這輛車，他大概能得到多少錢？
1.在數(shù)列{an}中，an＋1＝2an，且a1＝1，則a4＝（　　）
A.4　　 B.6
C.8　　 D.16
2.在等比數(shù)列{an}中，a1＋a3＝5，a2＋a4＝10，則{an}的公比q＝（　　）
A.1　　 B.2
C.3　　 D.4
3.已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1a2＝2，a3a4＝32，則數(shù)列{an}的通項公式為　　　　.
4.畫一個邊長為2的正方形，再以這個正方形的一條對角線為邊畫第2個正方形，以第2個正方形的一條對角線為邊畫第3個正方形，……，這樣共畫了10個正方形，則第10個正方形的面積等于　　　　.
第1課時　等比數(shù)列的通項公式
【基礎(chǔ)知識·重落實】
知識點
a1qn－1
自我診斷
1.（1）×　（2）√　（3）√
2.C　a5＝a1q4＝3×24＝48.
3.D　∵an＋1＝－3an，即＝－3 ，∴{an}為等比數(shù)列，公比q＝－3，∴a1＝＝1，an＝a1·qn－1＝1×（－3）n－1＝（－3）n－1，故選D.
【典型例題·精研析】
【例1】　證明：法一（歸納法）　由等比數(shù)列的定義可知，a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…，歸納得an＝a1qn－1（n≥2）.當(dāng)n＝1時，上面的等式兩邊均為a1，所以等式也成立，因此當(dāng)n∈N*時，an＝a1qn－1成立.
（2）法二（迭代法）　由于數(shù)列{an}是等比數(shù)列，所以an＝an－1q＝（an－2q）q＝an－2q2＝（an－3q）q2＝…＝a1qn－1（n≥2）.當(dāng)n＝1時，等式也成立.
跟蹤訓(xùn)練
　證明：因為{an}是等比數(shù)列，所以an＝a1qn－1，am＝a1qm－1，由＝qn－m，所以an＝amqn－m.
【例2】　解：（1）因為a4＝a1q3，所以8＝q3，所以q＝2，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
（2）a1＝＝＝5.
（3）因為
由，得q＝，從而a1＝32.
又an＝1，
所以32×＝1，
即26－n＝20，故n＝6.
跟蹤訓(xùn)練
　解：（1）因為a5＝a1q4，
而a1＝5，q＝＝－3，所以a5＝5×（－3）4＝405.
（2）由題意可知
所以q＝－，a1＝－8，
所以an＝a1qn－1＝－8×（－）n－1＝（－2）4－n.
（3）由a2＝4，q＝2，得a1＝2，所以2·2n－1＝128，解得n＝7.
【例3】　解：設(shè)從2024年1月開始，第n個月該廠的生產(chǎn)總值是an萬元，則an＋1＝an＋anm%，
∴＝1＋m%.
∴數(shù)列{an}是首項a1＝a，公比q＝1＋m%的等比數(shù)列.∴an＝a（1＋m%）n－1.
∴2025年8月底該廠的生產(chǎn)總值為a20＝a（1＋m%）20－1＝a（1＋m%）19（萬元）.
跟蹤訓(xùn)練
　解：（1）從第一年起，每年車的價值（萬元）依次設(shè)為：a1，a2，a3，…，an，
由題意，得a1＝13.5，a2＝13.5（1－10%），a3＝13.5（1－10%）2，….
由等比數(shù)列定義，知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a1·＝13.5×0.9n－1.
∴第n年車的價值為an＝13.5×0.9n－1萬元.
（2）當(dāng)他用滿4年時，車的價值為a5＝13.5×0.95－1≈8.857.
∴用滿4年賣掉時，他大概能得到8.857萬元.
隨堂檢測
1.C　因為an＋1＝2an，a1＝1，所以{an}為公比為2的等比數(shù)列，所以a4＝a1·23＝8，故選C.
2.B　由題意＝＝q＝＝2.故選B.
3.an＝2n－1（n∈N*）　解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a2＝a1q，a3＝a1q2，a4＝a1q3，所以又a1＞0，q＞0，解得所以an＝2n－1.
4.2 048　解析：依題意，這10個正方形的邊長構(gòu)成以2為首項，為公比的等比數(shù)列{an}，所以an＝2×（）n－1，所以第10個正方形的面積S＝＝[2×（）9]2＝4×29＝2 048.
3 / 3(共56張PPT)
4.3.2　
等比數(shù)列的通項公式
新課程標準解讀 核心素養(yǎng)
1.掌握等比數(shù)列的通項公式，并能運用通項公式
解決一些簡單的問題 邏輯推理、數(shù)學(xué)
運算
2.體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系 數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)
運算
第1課時　
等比數(shù)列的通項公式
目錄
基礎(chǔ)知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎(chǔ)知識·重落實
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識梳理
　　在我們學(xué)習(xí)等比數(shù)列的過程中，發(fā)現(xiàn)它與等差數(shù)列有許多相似之
處，這其實就是我們在這兩類數(shù)列之間運用了類比思想，對于等比數(shù)
列2，4，8，….
【問題】　（1）你能寫出它的通項公式嗎？
（2）你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項公式嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　等比數(shù)列的通項公式
若等比數(shù)列{ an }的首項為 a1，公比為 q （ q ≠0），則等比數(shù)列{ an }的
通項公式為 an ＝ .
提醒　由等比數(shù)列的通項公式 an ＝ a1 qn－1可得， an ＝ · qn ，當(dāng) q ＞0
且 q ≠1時，等比數(shù)列{ an }的第 n 項 an 是指數(shù)型函數(shù) f （ x ）＝ · qx
（ x ∈R）當(dāng) x ＝ n 時的函數(shù)值，即 an ＝ f （ n ）.
a1 qn－1　
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）在等比數(shù)列{ an }中， an ＝ a1 qn－1（ n ∈N*）. （　×　）
（2）等比數(shù)列{ an }的圖象是指數(shù)型函數(shù) y ＝ · qx 的圖象上一些孤
立的點. （　√　）
（3）等比數(shù)列1，－1，1，－1，…，的通項公式為 an ＝（－1） n
－1. （　√　）
×
√
√
2. 等比數(shù)列{ an }中， a1＝3，公比 q ＝2，則 a5＝（　　）
A. 32 B. －48
C. 48 D. 96
解析： 　 a5＝ a1 q4＝3×24＝48.
3. 在數(shù)列{ an }中， an＋1＝－3 an 且 a2＝－3，則 an ＝（　　）
A. 3 n－2 B. （－3） n－2
C. －3 n－1 D. （－3） n－1
解析：　∵ an＋1＝－3 an ，即 ＝－3 ，∴{ an }為等比數(shù)列，公
比 q ＝－3，∴ a1＝ ＝1， an ＝ a1· qn－1＝1×（－3） n－1＝（－3）
n－1，故選D.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關(guān)鍵能力提升
題型一 等比數(shù)列通項公式的推導(dǎo)
【例1】　已知等比數(shù)列{ an }的首項為 a1，公比為 q ，求證： an ＝ a1 qn
－1.
證明：法一（歸納法）　由等比數(shù)列的定義可知， a2＝ a1 q ， a3＝ a2 q
＝ a1 q2， a4＝ a3 q ＝ a1 q3， a5＝ a4 q ＝ a1 q4，…，歸納得 an ＝ a1 qn－1
（ n ≥2）.當(dāng) n ＝1時，上面的等式兩邊均為 a1，所以等式也成立，因
此當(dāng) n ∈N*時， an ＝ a1 qn－1成立.
法二（迭代法）　由于數(shù)列{ an }是等比數(shù)列，所以 an ＝ an－1 q ＝
（ an－2 q ） q ＝ an－2 q2＝（ an－3 q ） q2＝…＝ a1 qn－1（ n ≥2）.當(dāng) n ＝1
時，等式也成立.
通性通法
　　推導(dǎo)等比數(shù)列的通項公式除教科書中的累乘法外，還可類比等差
數(shù)列通項公式的推導(dǎo)方法，通過歸納法或迭代法推導(dǎo)，最后一定要驗
證 n ＝1時是否成立.若 n ＝1時不成立，則通項公式用分段函數(shù)表示.
【跟蹤訓(xùn)練】
已知等比數(shù)列{ an }的第 m 項 am 與公比 q ，證明 an ＝ amqn－ m .
證明：因為{ an }是等比數(shù)列，所以 an ＝ a1 qn－1， am ＝ a1 qm－1，由
＝ qn－ m ，所以 an ＝ amqn－ m .
題型二 等比數(shù)列基本量的運算
【例2】　（鏈接教科書第158頁例4）在等比數(shù)列{ an }中：
（1） a1＝1， a4＝8，求 an ；
解：因為 a4＝ a1 q3，所以8＝ q3，所以 q ＝2，
所以 an ＝ a1 qn－1＝2 n－1.
（2） an ＝625， n ＝4， q ＝5，求 a1；
解：a1＝ ＝ ＝5.
（3） a2＋ a5＝18， a3＋ a6＝9， an ＝1，求 n .
解：因為
由 ，得 q ＝ ，從而 a1＝32.
又 an ＝1，
所以32× ＝1，
即26－ n ＝20，故 n ＝6.
通性通法
關(guān)于等比數(shù)列基本量的運算
（1） a1和 q 是等比數(shù)列的兩個基本量，解決相應(yīng)問題時，只要求出這
兩個基本量，其余的量便可以得出；
（2）等比數(shù)列的通項公式涉及4個量 a1， an ， n ， q ，只要知道其中
任意三個就能求出另外一個，解題時常列方程（組）來解決.
【跟蹤訓(xùn)練】
在等比數(shù)列{ an }中：
（1）若它的前三項分別為5，－15，45，求 a5；
解：因為 a5＝ a1 q4，
而 a1＝5， q ＝ ＝－3，所以 a5＝5×（－3）4＝405.
（2）若 a2＝4， a5＝－ ，求 an ；
解：由題意可知
所以 q ＝－ ， a1＝－8，
所以 an ＝ a1 qn－1＝－8×（－ ） n－1＝（－2）4－ n .
（3）若 a2＝4， q ＝2， an ＝128，求 n .
解：由 a2＝4， q ＝2，得 a1＝2，所以2·2 n－1＝128，解得 n＝7.
題型三 等比數(shù)列的實際應(yīng)用
【例3】　（2024·南通月考）某工廠2024年1月的生產(chǎn)總值為 a 萬元，
計劃從2024年2月起，每月生產(chǎn)總值比上一個月增長 m %，那么到2025
年8月底該廠的生產(chǎn)總值為多少萬元？
解：設(shè)從2024年1月開始，第 n 個月該廠的生產(chǎn)總值是 an 萬元，則 an＋1
＝ an ＋ anm %，
∴ ＝1＋ m %.
∴數(shù)列{ an }是首項 a1＝ a ，公比 q ＝1＋ m %的等比數(shù)列.∴ an ＝ a （1
＋ m %） n－1.
∴2025年8月底該廠的生產(chǎn)總值為 a20＝ a （1＋ m %）20－1＝ a （1＋ m
%）19（萬元）.
通性通法
等比數(shù)列實際應(yīng)用的求解思路
（1）認真審題，弄清題意，將實際問題轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型；
（2）合理設(shè)出未知數(shù)，建立等比數(shù)列模型，依據(jù)其性質(zhì)或方程思想
求出未知元素；
（3）針對所求結(jié)果作出合理解釋.
【跟蹤訓(xùn)練】
某人買了一輛價值13.5萬元的新車，專家預(yù)測這種車每年按10%的速
度貶值.
（1）用一個式子表示第 n （ n ∈N*）年這輛車的價值；
解：從第一年起，每年車的價值（萬元）依次設(shè)為： a1，
a2， a3，…， an ，
由題意，得 a1＝13.5， a2＝13.5（1－10%）， a3＝13.5（1－
10%）2，….
由等比數(shù)列定義，知數(shù)列{ an }是等比數(shù)列，首項 a1＝13.5，公
比 q ＝1－10%＝0.9，
∴ an ＝ a1· ＝13.5×0.9 n－1.
∴第 n 年車的價值為 an ＝13.5×0.9 n－1萬元.
（2）如果他打算用滿4年時賣掉這輛車，他大概能得到多少錢？
解：當(dāng)他用滿4年時，車的價值為 a5＝13.5×0.95－
1≈8.857.
∴用滿4年賣掉時，他大概能得到8.857萬元.
1. 在數(shù)列{ an }中， an＋1＝2 an ，且 a1＝1，則 a4＝（　　）
A. 4 B. 6
C. 8 D. 16
解析： 　因為 an＋1＝2 an ， a1＝1，所以{ an }為公比為2的等比數(shù)
列，所以 a4＝ a1·23＝8，故選C.
2. 在等比數(shù)列{ an }中， a1＋ a3＝5， a2＋ a4＝10，則{ an }的公比 q ＝
（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 　由題意 ＝ ＝ q ＝ ＝2.故選B.
3. 已知數(shù)列{ an }是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且 a1 a2＝2， a3 a4＝
32，則數(shù)列{ an }的通項公式為 .
解析：設(shè)等比數(shù)列{ an }的公比為 q ，則 a2＝ a1 q ， a3＝ a1 q2， a4＝
a1 q3，所以 又 a1＞0， q ＞0，解得所以 an ＝2
n－1.
an ＝2 n－1（ n ∈N*）　
4. 畫一個邊長為2的正方形，再以這個正方形的一條對角線為邊畫第2
個正方形，以第2個正方形的一條對角線為邊畫第3個正方
形，……，這樣共畫了10個正方形，則第10個正方形的面積等于
.
解析：依題意，這10個正方形的邊長構(gòu)成以2為首項， 為公比的
等比數(shù)列{ an }，所以 an ＝2×（ ） n－1，所以第10個正方形的面
積 S ＝ ＝[2×（ ）9]2＝4×29＝2 048.
2
048　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 數(shù)列－ ， ，－ ， ，…的一個通項公式 an ＝（　　）
解析： 　該數(shù)列是以－ 為公比，－ 為首項的等比數(shù)列，則 an ＝
.
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2. 在首項 a1＝1，公比 q ＝2的等比數(shù)列{ an }中，當(dāng) an ＝64時，項數(shù) n
＝（　　）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析： 　因為 an ＝ a1 qn－1，所以1×2 n－1＝64，即2 n－1＝26，得 n
－1＝6，解得 n ＝7.
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3. 設(shè) a1＝2，數(shù)列{1＋2 an }是公比為3的等比數(shù)列，則 a6＝（　　）
A. 607.5 B. 608
C. 607 D. 159
解析： 　因為1＋2 an ＝（1＋2 a1）×3 n－1，所以1＋2 a6＝5×35，
所以 a6＝ ＝607.
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4. 各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{ an }中， a2， a3， a1成等差數(shù)列，則
＝（　　）
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解析： 設(shè){ an }的公比為 q （ q ＞0， q ≠1），根據(jù)題意可知 a3＝
a2＋ a1，∴ q2－ q －1＝0，解得 q ＝ 或 q ＝ （舍去），則
＝ ＝ .故選B.
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5. （多選）已知正項等比數(shù)列{ an }滿足 a1＝2， a4＝2 a2＋ a3，若設(shè)其
公比為 q ，則（　　）
A. q ＝2 B. an ＝2 n
C. 18是數(shù)列中的項 D. an ＋ an＋1＜ an＋2
解析： 　由題意可得2 q3＝4 q ＋2 q2，即 q2－ q －2＝0，解得 q
＝2（負值舍去），選項A正確； an ＝2×2 n－1＝2 n ，選項B正確，C
錯誤； an ＋ an＋1＝3 an ，而 an＋2＝4 an ＞3 an ，選項D正確.
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6. （多選）（2024·臺州月考）我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有
這樣一個問題；今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主
曰：“我羊食半馬.”馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各
出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗
主人要求賠償5斗粟.羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一
半.”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比
率償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人應(yīng)分別償還 a
升， b 升， c 升粟，1斗為10升，則下列判斷正確的是（　　）
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A. a ， b ， c 依次成公比為2的等比數(shù)列
解析： 　依題意 a ＝2 b ， b ＝2 c ，所以 a ， b ， c 依次成公比為
的等比數(shù)列， a ＋ b ＋ c ＝50，即4 c ＋2 c ＋ c ＝7 c ＝50， c ＝ ， a
＝4 c ＝ .所以B、D選項正確.故選B、D.
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7. 已知{ an }是等比數(shù)列， a1＝ ， a2＝4，則 a3＝ ， a1 a2 a3 a4 a5 a6
＝ .
解析：因為數(shù)列{ an }是等比數(shù)列，且 a1＝ ， a2＝4.所以等比數(shù)列
{ an }的公比 q ＝ ＝8，所以 a3＝ a2 q ＝4×8＝32，所以 a1 a2 a3 a4 a5
a6＝ · q15＝（2－1）6×（23）15＝239.
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8. 在160與5中間插入4個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這4個
數(shù)依次為 .
解析：設(shè)這6個數(shù)所成等比數(shù)列的公比為 q ，則5＝160 q5，∴ q5＝
，∴ q ＝ .∴這4個數(shù)依次為80，40，20，10.
80，40，20，10　
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9. （2024·蘇州月考）我國生物科技發(fā)展日新月異，其中生物制藥發(fā)
展尤其迅速，某制藥公司第一年共投入資金50萬元進行新藥開發(fā)，
并計劃每年投入的研發(fā)資金比上一年增加20%.按此規(guī)律至少到
第 年每年投入的資金可達250萬元以上（精確到1年）.（參考
數(shù)據(jù)lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70）
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解析：由題知，該制藥公司每年投入的研發(fā)資金滿足等比數(shù)列模
型，且 a1＝50， q ＝1.2，所以 an ＝50×（1.2） n－1，令 an ＝50×
（1.2） n－1＝250，所以（1.2） n－1＝5，所以 n －1＝log1.25＝
≈ ＝8.75，所以 n ＝9.75，又因為 n 為正整數(shù)，所以 n ＝10.
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10. 在等比數(shù)列{ an }中，
（1）已知 an ＝128， a1＝4， q ＝2，求 n ；
解： ∵ an ＝ a1 qn－1，∴4×2 n－1＝128，
∴2 n－1＝32，∴ n －1＝5， n ＝6.
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（2）已知 a1＝2， a3＝8，求公比 q 和通項公式.
解： ∵ a3＝ a1 q2，即8＝2 q2，
∴ q2＝4，∴ q ＝±2.
當(dāng) q ＝2時， an ＝ a1 qn－1＝2×2 n－1＝2 n ，
當(dāng) q ＝－2時， an ＝ a1 qn－1＝2×（－2） n－1＝（－1） n－12 n ，
∴數(shù)列{ an }的公比為2或－2，對應(yīng)的通項公式分別為 an ＝2 n
或 an ＝（－1） n－12 n .
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11. 若正項數(shù)列{ an }滿足 a1＝2， －3 an＋1 an －4 ＝0，則數(shù)列
{ an }的通項公式 an ＝（　　）
A. 22 n－1 B. 2 n
C. 22 n＋1 D. 22 n－3
解析：　由 －3 an＋1 an －4 ＝0，得（ an＋1－4 an ）·（ an＋1
＋ an ）＝0.又{ an }是正項數(shù)列，所以 an＋1－4 an ＝0， ＝4.由
等比數(shù)列的定義知數(shù)列{ an }是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列.由
等比數(shù)列的通項公式，得 an ＝2×4 n－1＝22 n－1.
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12. 如圖給出了一個“三角形數(shù)陣”，已知每一列數(shù)成等差數(shù)列，從
第三行起，每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，記
第 i 行第 j 列的數(shù)為 aij （ i ， j ∈N*），則 a53＝（　　）
，
， ，
…
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解析： 　第一列構(gòu)成首項為 ，公差為 的等差數(shù)列，所以 a51＝
＋（5－1）× ＝ .又因為從第三行起每一行數(shù)成等比數(shù)列，而
且每一行的公比都相等，所以第5行構(gòu)成首項為 ，公比為 的等
比數(shù)列，所以 a53＝ ×（ ）3－1＝ .
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13. 一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其每一項都等于它后面的相鄰兩
項之和，則公比 q ＝ .
解析：由題意得 an ＝ an＋1＋ an＋2，所以1＝ q ＋ q2，即 q2＋ q －1＝
0，解得 q ＝ 或 q ＝ （舍去）.
　
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14. 從盛滿 a （ a ＞1）升純酒精的容器里倒出1升，然后添滿水搖勻，
再倒出1升混合溶液后又添滿水搖勻，如此繼續(xù)下去，問：
（1）第 n 次操作后容器中酒精的濃度是多少？
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解： 由題意知開始時容器中酒精的濃度為1，設(shè)第 n
次操作后容器中酒精的濃度為 an ，
則第1次操作后容器中酒精的濃度為 a1＝1－ ，
第 n ＋1次操作后容器中酒精的濃度為 an＋1＝ an （1－ ），
所以{ an }是首項為 a1＝1－ ，公比為 q ＝1－ 的等比數(shù)列，
所以 an ＝ a1 qn－1＝（1－ ） n ，
即第 n 次操作后容器中酒精的濃度是（1－ ） n .
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（2）當(dāng) a ＝2時至少應(yīng)操作幾次后才能使容器中酒精的濃度低于
10%？
解：當(dāng) a ＝2時，由 an ＝（ ） n ＜ ，解得 n ≥4.
故至少應(yīng)操作4次后才能使容器中酒精的濃度低于10%.
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15. 已知數(shù)列{ an }滿足 a1＝1， nan＋1＝2（ n ＋1） an ，設(shè) bn ＝ .
（1）求 b1， b2， b3；
解：由條件可得 an＋1＝ an .
將 n ＝1代入得， a2＝4 a1，
而 a1＝1，所以 a2＝4.
將 n ＝2代入得， a3＝3 a2，所以 a3＝12.
所以 b1＝1， b2＝2， b3＝4.
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（2）判斷數(shù)列{ bn }是否為等比數(shù)列，并說明理由；
解：數(shù)列{ bn }是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.
理由如下：由條件可得 ＝ ，
即 bn＋1＝2 bn ，又 b1＝1，
所以數(shù)列{ bn }是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.
（3）求{ an }的通項公式.
解：由（2）可得 ＝2 n－1，
所以 an ＝ n ·2 n－1.
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