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第2課時　等比數(shù)列的性質(zhì)
1.在等比數(shù)列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，則公比q＝（　　）
A.－　　 B.2
C.　　 D.－2
2.在等比數(shù)列{an}中，若a2a6＋＝π，則a3a5＝（　　）
A.　　 B.
C.　　 D.
3.已知等比數(shù)列{an}中，am·am＋10＝a，am＋20·am＋30＝b（m∈N*），則am＋40·am＋50＝（　　）
A.　　 B.
C.　　 D.
4.若正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足a1a5＝4，當(dāng)＋取最小值時，數(shù)列的公比q＝（　　）
A.1　　 B.2
C.±1　　 D.±2
5.（2024·湛江月考）《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等比數(shù)列，上面3節(jié)的容積之積為3，下面3節(jié)的容積之積為9，則第5節(jié)的容積為（　　）
A.2　　 B.
C.3　　 D.
6.（多選）已知等比數(shù)列{an}，則下面式子對任意正整數(shù)k都成立的是（　　）
A.ak·ak＋1＞0
B.ak·ak＋2＞0
C.ak·ak＋1·ak＋2＞0
D.ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＞0
7.（2024·宿遷月考）設(shè)A和G分別是a，b的等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)，則a2＋b2＝　　　　.
8.已知項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列{an}和{bn}，公比分別為q1，q2（q1，q2≠1），則數(shù)列①{3an}，②{}，③{2an－3bn}，④{2an·3bn}中是等比數(shù)列的是　　　　（填序號）.
9.在等比數(shù)列{an}中，a5，a13是方程x2＋6x＋2＝0的兩個根，則a9＝　　　　.
10.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值.
11.已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，anan＋1＝2n，則＝（　　）
A.4　　 B.2
C.5　　 D.
12.（多選）已知等比數(shù)列{an}的公比q＜0，等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1＞0，若a9＞b9，且a10＞b10，則下列結(jié)論一定正確的是（　　）
A.a9a10＜0　　 B.a9＞a10
C.b10＞0　 D.b9＞b10
13.已知兩個等比數(shù)列{an}，{bn}，滿足a1＝a（a＞0），b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.若數(shù)列{an}唯一，則a的值為　　　　.
14.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列.
（1）若an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；
（2）若數(shù)列{an}的前三項(xiàng)和為168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中項(xiàng).
15.設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，且q＞0，q≠1.
（1）若a1＝qm，m∈Z，且m≥－1，求證：數(shù)列{an}中任意不同的兩項(xiàng)之積仍為數(shù)列{an}中的項(xiàng)；
（2）若數(shù)列{an}中任意不同的兩項(xiàng)之積仍為數(shù)列{an}中的項(xiàng)，求證：存在整數(shù)m，且m≥－1，使得a1＝qm.
第2課時　等比數(shù)列的性質(zhì)
1.D　因?yàn)椋絨3＝－8，故q＝－2.
2.C　因?yàn)閍2a6＝＝a3a5，所以a3a5＝.
3.C　由等比數(shù)列性質(zhì)an＋p＝an·qp，b＝am＋20·am＋30＝am·q20·am＋10·q20＝（am·am＋10）q40＝aq40，∴q40＝，故am＋40·am＋50＝（am·am＋10）·q80＝a·（）2＝.
4.B　設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞0），因?yàn)閍1a5＝4，所以由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a2a4＝4，因此＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即＝q2＝4，即q＝2（負(fù)值舍去）時，等號成立.所以數(shù)列{an}的公比是2.
5.D　法一　依題意可設(shè)竹子自上而下各節(jié)的容積成等比數(shù)列{an}，設(shè)其公比為q（q≠0），由上面3節(jié)的容積之積為3，下面3節(jié)的容積之積為9，可知解得a1q＝，q3＝，所以第5節(jié)的容積為a1q4＝a1q·q3＝×＝.
法二　依題意可設(shè)竹子自上而下各節(jié)的容積成等比數(shù)列{an}，由上面3節(jié)的容積之積為3，下面3節(jié)的容積之積為9，可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1a2a3a7a8a9＝（a1a9）（a2a8）·（a3a7）＝＝27.所以a5＝.
6.BD　對于A，當(dāng)q＜0時，ak·ak＋1＜0，A不一定成立；對于B，ak·ak＋2＝（akq）2＞0，B成立；對于C，ak·ak＋1·ak＋2＝＞0不一定成立，C不一定成立；對于D，ak·ak＋1·ak＋2·ak＋3＝（ak＋1·ak＋2）2＞0一定成立，故選B、D.
7.4A2－2G2　解析：由題意得：2A＝a＋b，G2＝ab，a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝4A2－2G2.
8.①④　解析：在①中，＝q1，是等比數(shù)列；在②中，令an＝2n－1，則數(shù)列{}為3，32，34，…，而≠，故不是等比數(shù)列；在③中，數(shù)列的項(xiàng)可能為零，故不一定是等比數(shù)列；在④中，＝q1q2，是等比數(shù)列.
9.－　解析：因?yàn)閍5，a13是方程x2＋6x＋2＝0的兩個根，所以有a5＋a13＝－6＜0，a5a13＝2＞0，因此a5＜0，a13＜0，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，a9＜0，而＝a5a13＝2 a9＝－.
10.解：∵{an}為等比數(shù)列，
∴a1a9＝a3a7＝64.
又∵a3＋a7＝20，
∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.
①當(dāng)a3＝4，a7＝16時，＝q4＝4，
此時a11＝a3q8＝4×42＝64.
②當(dāng)a3＝16，a7＝4時，＝q4＝，
此時a11＝a3q8＝16×（）2＝1.
綜上可得，a11＝64或a11＝1.
11.A　因?yàn)閍nan＋1＝2n，所以an－1an＝2n－1（n≥2），所以＝2（n≥2），所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)組成等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)組成等比數(shù)列，故＝22＝4，故選A.
12.AD　對選項(xiàng)A，因?yàn)閝＜0，所以a9a10＝a9·a9q＝q＜0，故A正確；對選項(xiàng)B，因?yàn)閍9a10＜0，所以或即a9＞a10或a9＜a10，故B錯誤；對選項(xiàng)C、D，因?yàn)閍9，a10異號，a9＞b9，且a10＞b10，所以b9，b10中至少有一個負(fù)數(shù)，又因?yàn)閎1＞0，所以d＜0，b9＞b10，b10＜0，故C錯誤，D正確.故選A、D.
13.　解析：設(shè){an}的公比為q，由b1＝1＋a，b2＝2＋a2，b3＝3＋a3且＝b1b3 （2＋aq）2＝（1＋a）（3＋aq2） aq2－4aq＋3a－1＝0，由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，所以方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.由{an}唯一，知方程必有一根為0，代入方程aq2－4aq＋3a－1＝0中，得a＝.
14.解：（1）∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，
∴＋2a3a5＋＝36，
即（a3＋a5）2＝36，
又∵an＞0，∴a3＋a5＝6.
（2）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
∵a2－a5＝42，∴q≠1.
由已知，得
∴
解得若G是a5，a7的等比中項(xiàng)，
則有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝q10＝962×（）10＝9，
∴a5，a7的等比中項(xiàng)為±3.
15.證明：（1）設(shè)ar，at為等比數(shù)列{an}中不同的兩項(xiàng)，由a1＝qm，得ar·at＝a1qr－1·a1qt－1＝a1·q（r＋t＋m－1）－1.
因?yàn)閞＋t≥3，且m≥－1，所以r＋m＋t－1≥1.
所以arat是數(shù)列{an}的第（r＋m＋t－1）項(xiàng).
（2）等比數(shù)列{an}中任意不同兩項(xiàng)之積仍為數(shù)列{an}中的項(xiàng)，令as·at＝al（l，t，s∈N*，t≠s），
由as＝a1·qs－1，at＝a1·qt－1，al＝a1·ql－1，
得a1·qs－1·a1·qt－1＝a1·ql－1，a1＝ql－s－t＋1.
令整數(shù)m＝l－s－t＋1，則a1＝qm.
下證整數(shù)m≥－1.
若設(shè)整數(shù)m＜－1，則－m≥2.令k＝－m，
由題設(shè)，取a1，ak，使a1·ak＝ar（r∈N*），
即a1·a1·qk－1＝a1·qr－1，
所以qm·q－m－1＝qr－1，即q－1＝qr－1.
因?yàn)閝＞0，q≠1，所以－1＝r－1，r＝0，與r∈N*矛盾.
所以m≥－1.
2 / 2第2課時　等比數(shù)列的性質(zhì)
　　1915年，波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基創(chuàng)造了一個美妙的“藝術(shù)品”，被人們稱為謝爾賓斯基三角形，如圖所示.我們來數(shù)一數(shù)圖中那些白色的同一類三角形的個數(shù)，可以得到一列數(shù)：1，3，9，27，…，我們知道這是一個等比數(shù)列.
【問題】　在等差數(shù)列{an}中有這樣的性質(zhì)：若m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，用上述情境中的數(shù)列驗(yàn)證，在等比數(shù)列中是否有類似的性質(zhì)？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點(diǎn)一　等比中項(xiàng)
1.條件：如果三個數(shù)a，G，b成　　　　數(shù)列.
2.結(jié)論：那么G叫作a與b的　　　　　　.
3.滿足的關(guān)系式：G2＝　　　.
【想一想】
　任何兩個非零實(shí)數(shù)都有等比中項(xiàng)嗎？
知識點(diǎn)二　等比數(shù)列{an}的常用性質(zhì)
{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公比為q，則
（1）an＝am·　　　　（n，m∈N*）；
（2）若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），則　　　　　；
特別地，①若m＋n＝2r，則aman＝，m，n，r∈N*；
②a1an＝a2an－1＝…＝aian＋1－i＝…（i＝1，2，3，…，n）；
③若m＋n＋t＝p＋r＋s，則amanat＝aparas，其中m，n，t，p，r，s∈N*；
（3）若m，n，p（m，n，p∈N*）成等差數(shù)列，則am，an，ap成等比數(shù)列.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）數(shù)列a，G，b成等比數(shù)列的充要條件是G2＝ab.（　　）
（2）若{an}是等比數(shù)列，則{}也是等比數(shù)列.（　　）
（3）若{an}，{bn}是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則{}也是等比數(shù)列.（　　）
2.已知等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝，則a5＝（　　）
A.±　　 B.－
C.　　 D.±
3.在等比數(shù)列{an}中，a3＝2，a7＝18，求a3與a7的等比中項(xiàng).
題型一 等比中項(xiàng)及應(yīng)用
【例1】　（鏈接教科書第161頁習(xí)題11題）－2和＋2的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)分別為（　　）
A.，±2　　 B.2，±
C.，±1　　 D.1，±
通性通法
應(yīng)用等比中項(xiàng)需注意的問題
（1）由等比中項(xiàng)的定義可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同號時，a，b的等比中項(xiàng)有兩個，異號時，沒有等比中項(xiàng)；
（2）在一個等比數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的等比中項(xiàng).
【跟蹤訓(xùn)練】
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a3＝0.如果ak是a6與ak＋6的等比中項(xiàng)，那么k＝　　　　.
題型二 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
【例2】　（1）在等比數(shù)列{an}中，若a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，則n＝（　　）
A.7　　 B.8
C.9　　 D.10
（2）在等比數(shù)列{an}中，a6·a12＝6，a4＋a14＝5，則＝（　　）
A.或　　 B.
C.或　　 D.或
通性通法
利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題
（1）基本思路：充分發(fā)揮項(xiàng)的“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用，分析等比數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)解題；
（2）優(yōu)缺點(diǎn)：簡便快捷，但是適用面窄，有一定的思維含量.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.已知在等比數(shù)列中，有a3a7a10＝9，則a4＝（　　）
A.3　　 B.9
C.20　　 D.無法計算
2.在等比數(shù)列{an}中，a3a4a6a7＝81，則a1a9＝（　　）
A.9　　　B.－9　　　C.±9　　　D.18
題型三 由等比數(shù)列衍生的新數(shù)列
【例3】　（1）由公比為q的等比數(shù)列a1，a2，…依次相鄰兩項(xiàng)的乘積組成的數(shù)列a1a2，a2a3，a3a4，…是（　　）
A.等差數(shù)列
B.以q為公比的等比數(shù)列
C.以q2為公比的等比數(shù)列
D.以2q為公比的等比數(shù)列
（2）若等比數(shù)列{an}的公比為q，則a1，a8，a15的公比為　　　　.
通性通法
1.由等比數(shù)列衍生的新的等比數(shù)列，一定要檢驗(yàn)新的數(shù)列中的項(xiàng)是否為0.
2.如果{an}，{bn}均為等比數(shù)列，且公比分別為q1，q2，那么：
（1）ak，ak＋n，ak＋2n，…為等比數(shù)列，公比為；
（2）數(shù)列，{an·bn}，{}，{｜an｜}仍是等比數(shù)列，且公比分別為，q1q2，，｜q1｜.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.在等比數(shù)列{an}中，a3a4a5＝3，a6a7a8＝24，則a9a10a11＝　　　　.
2.設(shè){an}，{bn}都是等比數(shù)列，若a1b1＝7，a3b3＝21，則a5b5＝　　　　.
1.在等比數(shù)列{an}中，a3＝9，公比q＝，則a3與a5的等比中項(xiàng)是（　　）
A.1　　B.3　　C.±1　　D.±3
2.若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（　　）
A.{lg an}　　 B.{1＋an}
C.{}　　 D.{an＋an＋1}
3.若an＞0，a5a6＝9，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝　　　　.
第2課時　等比數(shù)列的性質(zhì)
【基礎(chǔ)知識·重落實(shí)】
知識點(diǎn)一
1.等比　2.等比中項(xiàng)　3.ab
想一想
　提示：不一定，只有a，b同號時才有等比中項(xiàng).
知識點(diǎn)二
（1）qn－m　（2）aman＝apaq
自我診斷
1.（1）×　（2）√　（3）√
2.C　根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1a5＝ a5＝＝.
3.解：設(shè)a3與a7的等比中項(xiàng)為G，則G＝±＝±6.
【典型例題·精研析】
【例1】　C　－2和＋2的等差中項(xiàng)為＝，－2和＋2的等比中項(xiàng)為±＝±1.
跟蹤訓(xùn)練
　9　解析：由題意得a3＝a1＋2d＝0，∴a1＝－2d.又∵ak是a6與ak＋6的等比中項(xiàng)，∴＝a6ak＋6，即[a1＋（k－1）d]2＝（a1＋5d）·[a1＋（k＋5）d]，[（k－3）d]2＝3d·（k＋3）d，又d≠0，解得k＝9或k＝0（舍去）.
【例2】　（1）C　（2）A　解析：（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.由得q＝.再由a3＋a6＝a3·（1＋q3）＝36得a3＝32，則an＝a3·qn－3＝32×（）n－3＝（）n－8＝，所以n－8＝1，所以n＝9.
（2）由a6·a12＝a4·a14＝6，且a4＋a14＝5，解得a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2，若a4＝2，a14＝3，則q10＝，即＝；若a4＝3，a14＝2，則q10＝，即＝.
跟蹤訓(xùn)練
1.B　由等比數(shù)列多項(xiàng)之間的下標(biāo)和的關(guān)系可知3＋7＋10＝4＋8＋8，故a4＝9.
2.A　因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9.所以（a1a9）2＝81，即a1a9＝±9.因?yàn)樵诘缺葦?shù)列{an}中，奇數(shù)項(xiàng)（或偶數(shù)項(xiàng)）的符號相同，所以a1，a9同號，所以a1a9＝9.
【例3】　（1）C　（2）q7　解析：（1）因?yàn)椋剑絨2，為常數(shù)，所以該數(shù)列為以q2為公比的等比數(shù)列.
（2）由于數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，因此a8＝a1q7，a15＝a1q14，故＝＝q7.
跟蹤訓(xùn)練
1.192　解析：因?yàn)閧an}成等比數(shù)列，所以a3a4a5，a6a7a8，a9a10a11仍成等比數(shù)列，公比q＝＝＝8，a9a10a11＝（a6a7a8）·q＝24×8＝192.
2.63　解析：因?yàn)閧an}，{bn}為等比數(shù)列，所以{anbn}也為等比數(shù)列，設(shè){anbn}的公比為q，又a1b1＝7，a3b3＝21，所以q2＝＝3，即a5b5＝a3b3·q2＝21×3＝63.
隨堂檢測
1.D　因?yàn)閍3a5＝＝9，所以a3與a5的等比中項(xiàng)是±3，故選D.
2.C　取等比數(shù)列an＝（－1）n，則a1＝－1，所以A、B不是等比數(shù)列，又an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比數(shù)列，故選C.
3.10　解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3（a1a2·…·a10）＝log3[（a1a10）·（a2a9）·（a3a8）（a4a7）（a5a6）]＝log395＝10.
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第2課時　
等比數(shù)列的性質(zhì)
目錄
基礎(chǔ)知識·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識梳理
　　1915年，波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基創(chuàng)造了一個美妙的“藝術(shù)品”，
被人們稱為謝爾賓斯基三角形，如圖所示.我們來數(shù)一數(shù)圖中那些白
色的同一類三角形的個數(shù)，可以得到一列數(shù)：1，3，9，27，…，我
們知道這是一個等比數(shù)列.
【問題】　在等差數(shù)列{ an }中有這樣的性質(zhì)：若 m ＋ n ＝ p ＋ q ，那么
am ＋ an ＝ ap ＋ aq ，用上述情境中的數(shù)列驗(yàn)證，在等比數(shù)列中是否有類
似的性質(zhì)？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點(diǎn)一　等比中項(xiàng)
1. 條件：如果三個數(shù) a ， G ， b 成 數(shù)列.
2. 結(jié)論：那么 G 叫作 a 與 b 的 .
3. 滿足的關(guān)系式： G2＝ .
等比　
等比中項(xiàng)　
ab 　
【想一想】
　任何兩個非零實(shí)數(shù)都有等比中項(xiàng)嗎？
提示：不一定，只有 a ， b 同號時才有等比中項(xiàng).
知識點(diǎn)二　等比數(shù)列{ an }的常用性質(zhì)
{ an }是等比數(shù)列，首項(xiàng)為 a1，公比為 q ，則
（1） an ＝ am · （ n ， m ∈N*）；
（2）若 m ＋ n ＝ p ＋ q （ m ， n ， p ， q ∈N*），則 ；
特別地，①若 m ＋ n ＝2 r ，則 aman ＝ ， m ， n ， r ∈N*；
② a1 an ＝ a2 an－1＝…＝ aian＋1－ i ＝…（ i ＝1，2，3，…， n ）；
③若 m ＋ n ＋ t ＝ p ＋ r ＋ s ，則 amanat ＝ aparas ，其中 m ， n ， t ，
p ， r ， s ∈N*；
qn－ m 　
aman ＝ apaq 　
（3）若 m ， n ， p （ m ， n ， p ∈N*）成等差數(shù)列，則 am ， an ， ap 成
等比數(shù)列.
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）數(shù)列 a ， G ， b 成等比數(shù)列的充要條件是 G2＝ ab .
（　×　）
（2）若{ an }是等比數(shù)列，則{ }也是等比數(shù)列. （　√　）
（3）若{ an }，{ bn }是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則{ }也是等比數(shù)
列. （　√　）
×
√
√
2. 已知等比數(shù)列{ an }中， a1＝1， a3＝ ，則 a5＝（　　）
解析：　根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知 a1 a5＝ a5＝ ＝ .
3. 在等比數(shù)列{ an }中， a3＝2， a7＝18，求 a3與 a7的等比中項(xiàng).
解：設(shè) a3與 a7的等比中項(xiàng)為 G ，則 G ＝± ＝±6.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關(guān)鍵能力提升
題型一 等比中項(xiàng)及應(yīng)用
【例1】　（鏈接教科書第161頁習(xí)題11題） －2和 ＋2的等差中
項(xiàng)與等比中項(xiàng)分別為（　　）
解析：　 －2和 ＋2的等差中項(xiàng)為 ＝ ，
－2和 ＋2的等比中項(xiàng)為± ＝±1.
通性通法
應(yīng)用等比中項(xiàng)需注意的問題
（1）由等比中項(xiàng)的定義可知 ＝ G2＝ ab G ＝± ，所以
只有 a ， b 同號時， a ， b 的等比中項(xiàng)有兩個，異號時，沒有
等比中項(xiàng)；
（2）在一個等比數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除
外）都是它的前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的等比中項(xiàng).
【跟蹤訓(xùn)練】
設(shè)等差數(shù)列{ an }的公差 d ≠0，且 a3＝0.如果 ak 是 a6與 ak＋6的等比中
項(xiàng)，那么 k ＝ .
解析：由題意得 a3＝ a1＋2 d ＝0，∴ a1＝－2 d .又∵ ak 是 a6與 ak＋6的等
比中項(xiàng)，∴ ＝ a6 ak＋6，即[ a1＋（ k －1） d ]2＝（ a1＋5 d ）·[ a1＋
（ k ＋5） d ]，[（ k －3） d ]2＝3 d ·（ k ＋3） d ，又 d ≠0，解得 k ＝9
或 k ＝0（舍去）.
9　
題型二 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
【例2】　（1）在等比數(shù)列{ an }中，若 a3＋ a6＝36， a4＋ a7＝18， an
＝ ，則 n ＝（　C　）
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
解析：設(shè)等比數(shù)列{ an }的公比為 q .由
得 q ＝ .再由 a3＋ a6＝ a3·（1＋ q3）＝36得 a3＝32，則 an ＝ a3· qn－3＝
32×（ ） n－3＝（ ） n－8＝ ，所以 n －8＝1，所以 n ＝9.
（2）在等比數(shù)列{ an }中， a6· a12＝6， a4＋ a14＝5，則 ＝
（　A　）
解析：由 a6· a12＝ a4· a14＝6，且 a4＋ a14＝5，解得 a4＝2， a14＝3
或 a4＝3， a14＝2，若 a4＝2， a14＝3，則 q10＝ ，即 ＝ ；若
a4＝3， a14＝2，則 q10＝ ，即 ＝ .
通性通法
利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題
（1）基本思路：充分發(fā)揮項(xiàng)的“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用，分析等比數(shù)列
項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)解題；
（2）優(yōu)缺點(diǎn)：簡便快捷，但是適用面窄，有一定的思維含量.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 已知在等比數(shù)列 中，有 a3 a7 a10＝9，則 a4 ＝（　　）
A. 3 B. 9
C. 20 D. 無法計算
解析：　由等比數(shù)列多項(xiàng)之間的下標(biāo)和的關(guān)系可知3＋7＋10＝4
＋8＋8，故 a4 ＝9.
2. 在等比數(shù)列{ an }中， a3 a4 a6 a7＝81，則 a1 a9＝（　　）
A. 9 B. －9
C. ±9 D. 18
解析：　因?yàn)閧 an }為等比數(shù)列，所以 a3 a7＝ a4 a6＝ a1 a9.所以（ a1
a9）2＝81，即 a1 a9＝±9.因?yàn)樵诘缺葦?shù)列{ an }中，奇數(shù)項(xiàng)（或偶
數(shù)項(xiàng)）的符號相同，所以 a1， a9同號，所以 a1 a9＝9.
題型三 由等比數(shù)列衍生的新數(shù)列
【例3】　（1）由公比為 q 的等比數(shù)列 a1， a2，…依次相鄰兩項(xiàng)的乘
積組成的數(shù)列 a1 a2， a2 a3， a3 a4，…是（　C　）
A. 等差數(shù)列
B. 以 q 為公比的等比數(shù)列
C. 以 q2為公比的等比數(shù)列
D. 以2 q 為公比的等比數(shù)列
解析：因?yàn)? ＝ ＝ q2，為常數(shù)，所以該數(shù)列為以 q2為公比
的等比數(shù)列.
（2）若等比數(shù)列{ an }的公比為 q ，則 a1， a8， a15的公比為 .
解析：由于數(shù)列{ an }是公比為 q 的等比數(shù)列，因此 a8＝ a1 q7，
a15＝ a1 q14，故 ＝ ＝ q7.
q7　
通性通法
1. 由等比數(shù)列衍生的新的等比數(shù)列，一定要檢驗(yàn)新的數(shù)列中的項(xiàng)是否
為0.
2. 如果{ an }，{ bn }均為等比數(shù)列，且公比分別為 q1， q2，那么：
（1） ak ， ak＋ n ， ak＋2 n ，…為等比數(shù)列，公比為 ；
（2）數(shù)列 ，{ an · bn }，{ }，{｜ an ｜}仍是等比數(shù)列，且公比
分別為 ， q1 q2， ，｜ q1｜.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. 在等比數(shù)列{ an }中， a3 a4 a5＝3， a6 a7 a8＝24，則 a9 a10 a11＝ .
解析：因?yàn)閧 an }成等比數(shù)列，所以 a3 a4 a5， a6 a7 a8， a9 a10 a11仍成
等比數(shù)列，公比 q ＝ ＝ ＝8， a9 a10 a11＝（ a6 a7 a8）· q ＝
24×8＝192.
192　
2. 設(shè){ an }，{ bn }都是等比數(shù)列，若 a1 b1＝7， a3 b3＝21，則 a5 b5
＝ .
解析：因?yàn)閧 an }，{ bn }為等比數(shù)列，所以{ anbn }也為等比數(shù)列，設(shè)
{ anbn }的公比為 q ，又 a1 b1＝7， a3 b3＝21，所以 q2＝ ＝3，即
a5 b5＝ a3 b3· q2＝21×3＝63.
63　
1. 在等比數(shù)列{ an }中， a3＝9，公比 q ＝ ，則 a3與 a5的等比中項(xiàng)是
（　　）
A. 1 B. 3
C. ±1 D. ±3
解析： 　因?yàn)?a3 a5＝ ＝9，所以 a3與 a5的等比中項(xiàng)是±3，
故選D.
2. 若數(shù)列{ an }是等比數(shù)列，則下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（　　）
A. {lg an } B. {1＋ an }
D. { an ＋ an＋1}
解析： 　取等比數(shù)列 an ＝（－1） n ，則 a1＝－1，所以A、B
不是等比數(shù)列，又 an ＋ an＋1＝0，所以{ an ＋ an＋1}不是等比數(shù)
列，故選C.
3. 若 an ＞0， a5 a6＝9，則log3 a1＋log3 a2＋…＋log3 a10＝ .
解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)知 a5 a6＝ a1 a10＝ a2 a9＝ a3 a8＝ a4 a7＝9，
所以log3 a1＋log3 a2＋…＋log3 a10＝log3（ a1 a2·…· a10）＝log3[（ a1
a10）（ a2 a9）·（ a3 a8）（ a4 a7）（ a5 a6）]＝log395＝10.
10　
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 在等比數(shù)列{ an }中，若 a2＝4， a5＝－32，則公比 q ＝（　　）
B. 2
D. －2
解析： 　因?yàn)? ＝ q3＝－8，故 q ＝－2.
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2. 在等比數(shù)列{ an }中，若 a2 a6＋ ＝π，則 a3 a5＝（　　）
解析： 　因?yàn)?a2 a6＝ ＝ a3 a5，所以 a3 a5＝ .
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3. 已知等比數(shù)列{ an }中， am · am＋10＝ a ， am＋20· am＋30＝ b （ m
∈N*），則 am＋40· am＋50＝（　　）
解析： 　由等比數(shù)列性質(zhì) an＋ p ＝ an · qp ， b ＝ am＋20· am＋30＝
am · q20· am＋10· q20＝（ am · am＋10） q40＝ aq40，∴ q40＝ ，故 am＋40· am
＋50＝（ am · am＋10）· q80＝ a ·（ ）2＝ .
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4. 若正項(xiàng)等比數(shù)列{ an }滿足 a1 a5＝4，當(dāng) ＋ 取最小值時，數(shù)列
的公比 q ＝（　　）
A. 1 B. 2
C. ±1 D. ±2
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解析： 　設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{ an }的公比為 q （ q ＞0），因?yàn)?a1 a5＝
4，所以由等比數(shù)列的性質(zhì)可得 a2 a4＝4，因此 ＋ ≥2 ＝
2，當(dāng)且僅當(dāng) ＝ ，即 ＝ q2＝4，即 q ＝2（負(fù)值舍去）時，等
號成立.所以數(shù)列{ an }的公比是2.
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5. （2024·湛江月考）《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的
竹子，自上而下各節(jié)的容積成等比數(shù)列，上面3節(jié)的容積之積為3，
下面3節(jié)的容積之積為9，則第5節(jié)的容積為（　　）
A. 2
C. 3
解析：　法一　依題意可設(shè)竹子自上而下各節(jié)的容積成等比數(shù)列
{ an }，設(shè)其公比為 q （ q ≠0），由上面3節(jié)的容積之積為3，下面3
節(jié)的容積之積為9，可知解得 a1 q ＝ ， q3
＝ ，所以第5節(jié)的容積為 a1 q4＝ a1 q · q3＝ × ＝ .
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法二　依題意可設(shè)竹子自上而下各節(jié)的容積成等比數(shù)列{ an }，由上面
3節(jié)的容積之積為3，下面3節(jié)的容積之積為9，可知 a1 a2 a3＝3， a7 a8 a9
＝9，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知 a1 a2 a3 a7 a8 a9＝（ a1 a9）（ a2 a8）·（ a3
a7）＝ ＝27.所以 a5＝ .
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6. （多選）已知等比數(shù)列{ an }，則下面式子對任意正整數(shù) k 都成立的
是（　　）
A. ak · ak＋1＞0
B. ak · ak＋2＞0
C. ak · ak＋1· ak＋2＞0
D. ak · ak＋1· ak＋2· ak＋3＞0
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解析： 　對于A，當(dāng) q ＜0時， ak · ak＋1＜0，A不一定成立；對于
B， ak · ak＋2＝（ akq ）2＞0，B成立；對于C， ak · ak＋1· ak＋2＝
＞0不一定成立，C不一定成立；對于D， ak · ak＋1· ak＋2· ak＋3＝（ ak＋
1· ak＋2）2＞0一定成立，故選B、D.
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7. （2024·宿遷月考）設(shè) A 和 G 分別是 a ， b 的等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)，
則 a2＋ b2＝ .
解析：由題意得：2 A ＝ a ＋ b ， G2＝ ab ， a2＋ b2＝（ a ＋ b ）2－2
ab ＝4 A2－2 G2.
4 A2－2 G2　
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8. 已知項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列{ an }和{ bn }，公比分別為 q1， q2（ q1，
q2≠1），則數(shù)列①{3 an }，②{ }，③{2 an －3 bn }，④{2 an ·3
bn }中是等比數(shù)列的是 （填序號）.
解析：在①中， ＝ q1，是等比數(shù)列；在②中，令 an ＝2 n－1，
則數(shù)列{ }為3，32，34，…，而 ≠ ，故不是等比數(shù)列；在③
中，數(shù)列的項(xiàng)可能為零，故不一定是等比數(shù)列；在④中，
＝ q1 q2，是等比數(shù)列.
①④　
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9. 在等比數(shù)列{ an }中， a5， a13是方程 x2＋6 x ＋2＝0的兩個根，則 a9
＝ .
解析：因?yàn)?a5， a13是方程 x2＋6 x ＋2＝0的兩個根，所以有 a5＋ a13
＝－6＜0， a5 a13＝2＞0，因此 a5＜0， a13＜0，由等比數(shù)列的性質(zhì)
可知， a9＜0，而 ＝ a5 a13＝2 a9＝－ .
－ 　
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10. 已知數(shù)列{ an }是等比數(shù)列， a3＋ a7＝20， a1 a9＝64，求 a11的值.
解：∵{ an }為等比數(shù)列，
∴ a1 a9＝ a3 a7＝64.
又∵ a3＋ a7＝20，
∴ a3＝4， a7＝16或 a3＝16， a7＝4.
①當(dāng) a3＝4， a7＝16時， ＝ q4＝4，
此時 a11＝ a3 q8＝4×42＝64.
②當(dāng) a3＝16， a7＝4時， ＝ q4＝ ，
此時 a11＝ a3 q8＝16×（ ）2＝1.
綜上可得， a11＝64或 a11＝1.
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11. 已知數(shù)列{ an }滿足 a1＝5， anan＋1＝2 n ，則 ＝（　　）
A. 4 B. 2
C. 5
解析： 　因?yàn)?anan＋1＝2 n ，所以 an－1 an ＝2 n－1（ n ≥2），所以
＝2（ n ≥2），所以數(shù)列{ an }的奇數(shù)項(xiàng)組成等比數(shù)列，偶數(shù)
項(xiàng)組成等比數(shù)列，故 ＝22＝4，故選A.
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12. （多選）已知等比數(shù)列{ an }的公比 q ＜0，等差數(shù)列{ bn }的首項(xiàng) b1
＞0，若 a9＞ b9，且 a10＞ b10，則下列結(jié)論一定正確的是（　　）
A. a9 a10＜0 B. a9＞ a10
C. b10＞0 D. b9＞ b10
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解析： 　對選項(xiàng)A，因?yàn)?q ＜0，所以 a9 a10＝ a9· a9 q ＝ q ＜
0，故A正確；對選項(xiàng)B，因?yàn)?a9 a10＜0，所以或
即 a9＞ a10或 a9＜ a10，故B錯誤；對選項(xiàng)C、D，因?yàn)?br/>a9， a10異號， a9＞ b9，且 a10＞ b10，所以 b9， b10中至少有一個負(fù)
數(shù)，又因?yàn)?b1＞0，所以 d ＜0， b9＞ b10， b10＜0，故C錯誤，D正
確.故選A、D.
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13. 已知兩個等比數(shù)列{ an }，{ bn }，滿足 a1＝ a （ a ＞0）， b1－ a1＝
1， b2－ a2＝2， b3－ a3＝3.若數(shù)列{ an }唯一，則 a 的值為 .
解析：設(shè){ an }的公比為 q ，由 b1＝1＋ a ， b2＝2＋ a2， b3＝3＋ a3
且 ＝ b1 b3 （2＋ aq ）2＝（1＋ a ）（3＋ aq2） aq2－4 aq ＋3 a
－1＝0，由 a ＞0得Δ＝4 a2＋4 a ＞0，所以方程有兩個不相等的實(shí)
數(shù)根.由{ an }唯一，知方程必有一根為0，代入方程 aq2－4 aq ＋3 a
－1＝0中，得 a ＝ .
　
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14. 已知數(shù)列{ an }為等比數(shù)列.
（1）若 an ＞0，且 a2 a4＋2 a3 a5＋ a4 a6＝36，求 a3＋ a5的值；
解： ∵ a2 a4＋2 a3 a5＋ a4 a6＝36，
∴ ＋2 a3 a5＋ ＝36，
即（ a3＋ a5）2＝36，
又∵ an ＞0，∴ a3＋ a5＝6.
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（2）若數(shù)列{ an }的前三項(xiàng)和為168， a2－ a5＝42，求 a5， a7的等
比中項(xiàng).
解： 設(shè)等比數(shù)列{ an }的公比為 q ，
∵ a2－ a5＝42，∴ q ≠1.
由已知，得
∴
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解得
若 G 是 a5， a7的等比中項(xiàng)，
則有 G2＝ a5 a7＝ a1 q4· a1 q6＝ q10＝962×（ ）10＝9，
∴ a5， a7的等比中項(xiàng)為±3.
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15. 設(shè)等比數(shù)列{ an }的首項(xiàng)為 a1，公比為 q ，且 q ＞0， q ≠1.
（1）若 a1＝ qm ， m ∈Z，且 m ≥－1，求證：數(shù)列{ an }中任意不
同的兩項(xiàng)之積仍為數(shù)列{ an }中的項(xiàng)；
證明： 設(shè) ar ， at 為等比數(shù)列{ an }中不同的兩項(xiàng)，由 a1
＝ qm ，得 ar · at ＝ a1 qr－1· a1 qt－1＝ a1· q（ r＋ t＋ m－1）－1.
因?yàn)?r ＋ t ≥3，且 m ≥－1，所以 r ＋ m ＋ t －1≥1.
所以 arat 是數(shù)列{ an }的第（ r ＋ m ＋ t －1）項(xiàng).
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（2）若數(shù)列{ an }中任意不同的兩項(xiàng)之積仍為數(shù)列{ an }中的項(xiàng)，
求證：存在整數(shù) m ，且 m ≥－1，使得 a1＝ qm .
證明： 等比數(shù)列{ an }中任意不同兩項(xiàng)之積仍為數(shù)列
{ an }中的項(xiàng)，令 as · at ＝ al （ l ， t ， s ∈N*， t ≠ s ），
由 as ＝ a1· qs－1， at ＝ a1· qt－1， al ＝ a1· ql－1，
得 a1· qs－1· a1· qt－1＝ a1· ql－1， a1＝ ql－ s－ t＋1.
令整數(shù) m ＝ l － s － t ＋1，則 a1＝ qm .
下證整數(shù) m ≥－1.
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若設(shè)整數(shù) m ＜－1，則－ m ≥2.令 k ＝－ m ，
由題設(shè)，取 a1， ak ，使 a1· ak ＝ ar （ r ∈N*），
即 a1· a1· qk－1＝ a1· qr－1，
所以 qm · q－ m－1＝ qr－1，即 q－1＝ qr－1.
因?yàn)?q ＞0， q ≠1，所以－1＝ r －1， r ＝0，與 r ∈N*矛盾.
所以 m ≥－1.
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