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第3課時　等比數列的綜合問題
1.若數列{an}是公比為q的遞增等比數列，則（　　）
A.a1＞0，q＞1
B.a1（q－1）＞0
C.（a1－1）q＞0
D.（a1－1）q＜0
2.在等比數列{an}中，a1，a17是方程x2＋2 024x＋25＝0的兩個實根，則a9＝（　　）
A.－5　　 B.±5
C.5　　 D.25
3.等差數列{an}的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數列，則{an}的前6項和為（　　）
A.－24　　 B.－3
C.3　　 D.8
4.（2024·鹽城質檢）已知{an}是等差數列，且公差d≠0，若a＝，b＝，c＝，則a，b，c（　　）
A.成等比數列，不成等差數列
B.成等差數列，不成等比數列
C.既不成等比數列，又不成等差數列
D.既成等差數列，又成等比數列
5.（多選）已知{an}為等差數列，滿足2a2－a1＝2，{bn}為等比數列，滿足b2＝1，b4＝4，則下列說法正確的是（　　）
A.數列{an}的首項為4　　
B.a3＝2
C.b8＝64　　
D.數列{bn}的公比為±2
6.（多選）已知{an}為等比數列，下面結論中正確的是（　　）
A.a1＋a3≥2a2
B.＋≥2
C.若a1＝a2，則a1＝a3
D.若a3＞a1，則a4＞a2
7.在《九章算術》中“衰分”是按比例遞減分配的意思.今共有糧98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，則衰分比例為　　　　.
8.已知等比數列{an}中，a5a11＝9a8，數列{bn}是等差數列，且b8＝a8，則b3＋b13＝　　　　　.
9.在各項為正的遞增等比數列{an}中，a1a2a6＝64，a1＋a3＋a5＝21，則an＝　　　　.
10.已知三個數成等比數列，其積為512，如果第一個數與第三個數各減去2，則此時的三個數成等差數列，求原來的三個數的和.
11.（2024·南京月考）已知函數f（x）＝logax（a＞0，a≠1），則下列條件能使數列{an}成等比數列的是（　　）
A.f（an）＝2n　　 B.f（an）＝n2
C.f（an）＝2n　　 D.f（an）＝
12.（多選）設{an}（n∈N*）是各項均為正數的等比數列，q是其公比，Kn是其前n項的積，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，則下列選項中成立的是（　　）
A.0＜q＜1
B.a7＝1
C.K9＞K5
D.K6與K7均為Kn的最大值
13.設等比數列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為　　　　.
14.設數列{an}是公比小于1的正項等比數列，已知a1＝8，且a1＋13，4a2，a3＋9成等差數列.
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若bn＝an（n＋2－λ），且數列{bn}是遞減數列，求實數λ的取值范圍.
15.已知數列{Am}：a1，a2，…，am（m≥2）.若存在公比為q的等比數列{Bm＋1}：b1，b2，…，bm＋1，使得bk＜ak＜bk＋1，其中k＝1，2，…，m，則稱數列{Bm＋1}為數列{Am}的“等比分割數列”.若數列{A10}的通項公式為an＝2n（n＝1，2，…，10），其“等比分割數列”{B11}的首項為1，求數列{B11}的公比q的取值范圍.
第3課時　等比數列的綜合問題
1.B　依題意，不妨設a1＝1，q＝2，數列是遞增的等比數列，由此判斷C、D選項錯誤.設a1＝－1，q＝，數列是遞增的等比數列，由此判斷A選項不正確.故正確的選項為B.
2.A　由題意得得a1＜0，a17＜0，則a9＝a1q8＜0.由＝a1a17＝25，得a9＝－5.故選A.
3.A　根據題意得＝a2a6，即（a1＋2d）2＝（a1＋d）（a1＋5d），解得d＝0（舍去）或d＝－2，所以數列{an}的前6項和為S6＝6a1＋d＝1×6＋×（－2）＝－24.
4.A　由{an}是等差數列，且公差d≠0，得a1，a3，a5是公差為2d的等差數列，所以＝＝22d，故a，b，c成等比數列.若一個數列既是等差數列，又是等比數列，則該數列只能是常數列，而a，b，c不是常數列，故a，b，c不是等差數列.
5.BCD　對于A項，設{an}的公差為d，由2a2－a1＝2可得2（a1＋d）－a1＝2，a1＋2d＝2，不能確定a1的值，故A項錯誤；對于B項，a3＝a1＋2d＝2，故B項正確；對于C、D兩項，設{bn}的公比為q，由b2＝1，b4＝4，可得q2＝4，則q＝±2，于是b8＝b4q4＝64，故C項正確，D項也正確.故選B、C、D.
6.BC　設等比數列{an}的公比為q，當a1＜0，q＜0時，a3＜0，a2＞0，故a1＋a3≥2a2不成立，故A不正確；＋＝（）2＋（a2q）2＝（＋q2）≥2，當且僅當q2＝1時，等號成立，故B正確；若a1＝a2，則q＝1，所以a1＝a3成立，故C正確；當a1＝1，q＝－2時，a2＝－2，a3＝4，a4＝－8，滿足a3＞a1，但a4＞a2不成立，故D不正確.
7.　解析：設衰分比例為q，則甲、乙、丙各分得，28，28q石，∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或q＝.又0＜q＜1，∴q＝.
8.18　解析：在等比數列{an}中，a5a11＝9a8，即＝9a8，又an≠0，所以a8＝9，所以b8＝a8＝9，所以在等差數列{bn}中有b3＋b13＝2b8＝18.
9.2n－1　解析：∵{an}為等比數列，設其公比為q，∴a1a2a6＝q6＝（a1q2）3＝＝64，則a3＝4，∵a1＋a3＋a5＝21，∴＋a3＋a3q2＝21，即＋4＋4q2＝21，解得q＝±2或q＝±，又∵{an}各項為正且遞增，∴q＝2，a1＝1，∴an＝2n－1.
10.解：依題意，設原來的三個數依次為，a，aq.
因為·a·aq＝512，所以a＝8.
又因為第一個數與第三個數各減去2后的三個數成等差數列，所以（－2）＋（aq－2）＝2a，所以2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝，
所以原來的三個數為4，8，16或16，8，4.
因為4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，
所以原來的三個數的和等于28.
11.C　由f（x）＝logax（a＞0，a≠1），令y＝logax，可得x＝ay，故對于A，有an＝，非等比數列；對于B，an＝，非等比數列；對于C，an＝a2n，為等比數列；對于D，an＝，非等比數列.
12.ABD　根據題意，分析選項.對于B，由K6＝K7，得a7＝＝1，B正確；對于A，由K5＜K6可得，a6＝＞1，則q＝∈（0，1），故A正確；對于C，由{an}是各項均為正數的等比數列且q∈（0，1）可得數列是遞減數列，則有K9＜K5，故C錯誤；對于D，結合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正確.故選A、B、D.
13.64　解析：法一　設{an}的公比為q，依題意得解得所以an＝（）n－4，從而a1a2…an＝（＝（，當n＝3或n＝4時，［（n－）2－］取到最小值－6，此時（取到最大值26，所以a1a2…an的最大值為64.
法二　設{an}的公比為q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，得a1＝8，q＝，則a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝，所以a1a2…an≤a1a2a3a4＝64.
14.解：（1）設數列{an}的公比為q.
由題意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1.
由a1＋13，4a2，a3＋9成等差數列，
知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，
解得q＝或q＝（舍去），
所以an＝8×（）n－1＝24－n，n∈N*.
（2）bn＝an（n＋2－λ）＝（n＋2－λ）·24－n，
由bn＞bn＋1，
得（n＋2－λ）·24－n＞（n＋3－λ）·23－n，
即λ＜n＋1，
所以λ＜（n＋1）min＝2，
故實數λ的取值范圍為（－∞，2）.
15.解：因為{B11}的首項為1，公比為q，所以bn＝qn－1，則qk－1＜2k＜qk對于k＝1，2，…，10成立，
當k＝1時1＜2＜q；
當k＝2，3，…，10時，2＜q＜.
而y＝2x是增函數，＝1＋隨著k的增大而減小，
所以y＝隨著k的增大而減小，
從而（）min＝，所以2＜q＜.
2 / 2第3課時　等比數列的綜合問題
題型一 等比數列與指數函數的關系
【例1】　（2024·無錫質檢）在等比數列{an}中，如果公比為q，且q＜1，那么等比數列{an}是（　　）
A.遞增數列　　　 B.遞減數列
C.常數列　　 D.無法確定單調性
通性通法
判斷等比數列{an}的單調性的方法
（1）當q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時，數列{an}是遞增數列；
（2）當q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時，數列{an}是遞減數列；
（3）當q＝1時，{an}是常數列；當q＜0時，數列{an}是擺動數列.
【跟蹤訓練】
1.設{an}是等比數列，則“a1＜a2”是“數列{an}是遞增數列”的（　　）
A.充分不必要條件　　 B.必要不充分條件
C.充要條件　　 D.既不充分也不必要條件
2.若等比數列{an}是遞減數列，且a2＋a4＝30，a2a4＝144，則公比q＝　　　　.
題型二 等比數列中項的設法
【例2】　有四個實數，前三個數成等比數列，且它們的乘積為216，后三個數成等差數列，且它們的和為12，求這四個數.
通性通法
巧設等比數列項的方法
（1）若三個數成等比數列，常設為，a，aq.推廣到一般，奇數個數成等比數列，可設為…，，，a，aq，aq2，…；
（2）四個符號相同的數成等比數列，常設為，，aq，aq3.推廣到一般，偶數個符號相同的數成等比數列，可設為…，，，，aq，aq3，aq5，…；
（3）四個數成等比數列，不能確定它們的符號是否相同時，可設為a，aq，aq2，aq3.
【跟蹤訓練】
有四個數成等比數列，將這四個數分別減去1，1，4，13后成等差數列，則這四個數的和是　　　　.
題型三 等差、等比數列的綜合問題
【例3】　（2024·淮安月考）已知公差不為0的等差數列{an}的前n項和為Sn，S1＋1，S3，S4成等差數列，且a1，a2，a5成等比數列.
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若S4，S6，Sn成等比數列，求n及此等比數列的公比.
通性通法
　　解決等差、等比數列綜合問題時，一定要弄清等差數列中的某些項與等比數列中的某些項之間的關系，然后利用兩種數列的性質求解.
【跟蹤訓練】
在公比大于0的等比數列{an}中，已知a2，a3，6a1依次組成公差為4的等差數列，求{an}的通項公式.
1.在等比數列{an}中，已知a1＞0，8a2－a5＝0，則數列{an}為（　　）
A.遞增數列　　 B.遞減數列
C.常數列　　 D.無法確定單調性
2.若等差數列{an}和等比數列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則＝　　　　.
3.已知四個數成等比數列，其乘積為1，第2項與第3項之和為－，求這四個數.
第3課時　等比數列的綜合問題
【典型例題·精研析】
【例1】　D　如等比數列{（－1）n}的公比為－1，是擺動數列，不具有單調性；等比數列（）n的公比為，是遞減數列；等比數列－（）n的公比為，是遞增數列.
跟蹤訓練
1.B　設等比數列{an}的公比為q，由a1＜a2，可得a1（q－1）＞0，解得或此時數列{an}不一定是遞增數列；若數列{an}為遞增數列，可得或所以“a1＜a2”是“數列{an}為遞增數列”的必要不充分條件.
2.　解析：∵a2＋a4＝30，a2a4＝144，∴a2，a4是方程x2－30x＋144＝0的兩個實數根（a2＞a4），∴a2＝24，a4＝6，∴q2＝＝＝，解得q＝或q＝－（舍去）.
【例2】　解：法一　設前三個數分別為，a，aq，
則·a·aq＝216，
所以a3＝216，
所以a＝6.
因此前三個數為，6，6q.
由題意知第4個數為12q－6，
所以6＋6q＋12q－6＝12，
解得q＝.
故所求的四個數為9，6，4，2.
法二　設后三個數分別為4－d，4，4＋d，
則第一個數為（4－d）2，
由題意知（4－d）2×（4－d）×4＝216，
解得4－d＝6.
所以d＝－2.
故所求的四個數為9，6，4，2.
跟蹤訓練
　45　解析：設這四個數分別為a，aq，aq2，aq3，則a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差數列.即整理得解得因此這四個數分別是3，6，12，24，其和為45.
【例3】　解：（1）設等差數列{an}的公差為d（d≠0）.
因為S1＋1，S3，S4成等差數列，且a1，a2，a5成等比數列，
所以2S3＝S1＋1＋S4，＝a1a5，
即a2＋a3＝1＋a4，（a1＋d）2＝a1（a1＋4d）.
解得a1＝1，d＝2，
所以an＝1＋2（n－1）＝2n－1，n∈N*.
（2）由（1）可得Sn＝＝n2，
所以S4＝42＝16，S6＝62＝36.
因為S4，S6，Sn成等比數列，
所以＝S4·Sn，
所以362＝16n2，化為36＝4n，解得n＝9，
此等比數列的公比q＝＝.
跟蹤訓練
　解：設{an}的公比為q（q＞0），因為a2，a3，6a1成等差數列，
所以a2＋6a1＝2a3，則2q2－q－6＝0.
又q＞0，所以q＝2.
又因為a3－a2＝4，即a1q2－a1q＝4，
所以4a1－2a1＝4，解得a1＝2，
所以an＝2×2n－1＝2n.
隨堂檢測
1.A　由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2.又a1＞0，所以數列{an}為遞增數列.
2.1　解析：∵{an}為等差數列，a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，∴d＝3，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2.∵{bn}為等比數列，b1＝－1，b4＝8＝b1q3＝－q3，∴q＝－2，∴b2＝b1q＝2，則＝＝1.
3.解：設四個數依次為a，aq，aq2，aq3，
則
解得或
故所求四個數依次為－，，－2，8或8，－2，，－.
2 / 2(共47張PPT)
第3課時　
等比數列的綜合問題
目錄
典型例題·精研析
01
知能演練·扣課標
02
典型例題·精研析
01
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 等比數列與指數函數的關系
【例1】　（2024·無錫質檢）在等比數列{ an }中，如果公比為 q ，且 q
＜1，那么等比數列{ an }是（　　）
A. 遞增數列
B. 遞減數列
C. 常數列
D. 無法確定單調性
解析： 　如等比數列{（－1） n }的公比為－1，是擺動數列，不具有
單調性；等比數列 （ ） n 的公比為 ，是遞減數列；等比數列 －
（ ） n 的公比為 ，是遞增數列.
通性通法
判斷等比數列{ an }的單調性的方法
（1）當 q ＞1， a1＞0或0＜ q ＜1， a1＜0時，數列{ an }是遞增數列；
（2）當 q ＞1， a1＜0或0＜ q ＜1， a1＞0時，數列{ an }是遞減數列；
（3）當 q ＝1時，{ an }是常數列；當 q ＜0時，數列{ an }是擺動數列.
【跟蹤訓練】
1. 設{ an }是等比數列，則“ a1＜ a2”是“數列{ an }是遞增數列”的
（　　）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
解析： 　設等比數列{ an }的公比為 q ，由 a1＜ a2，可得 a1（ q －
1）＞0，解得或此時數列{ an }不一定是
遞增數列；若數列{ an }為遞增數列，可得或
所以“ a1＜ a2”是“數列{ an }為遞增數列”的必要不充分條件.
2. 若等比數列{ an }是遞減數列，且 a2＋ a4＝30， a2 a4＝144，則公比 q
＝ .
解析：∵ a2＋ a4＝30， a2 a4＝144，∴ a2， a4是方程 x2－30 x ＋144
＝0的兩個實數根（ a2＞ a4），∴ a2＝24， a4＝6，∴ q2＝ ＝ ＝
，解得 q ＝ 或 q ＝－ （舍去）.
　
題型二 等比數列中項的設法
【例2】　有四個實數，前三個數成等比數列，且它們的乘積為216，
后三個數成等差數列，且它們的和為12，求這四個數.
解：法一　設前三個數分別為 ， a ， aq ，
則 · a · aq ＝216，
所以 a3＝216，所以 a ＝6.
因此前三個數為 ，6，6 q .
由題意知第4個數為12 q －6，
所以6＋6 q ＋12 q －6＝12，
解得 q ＝ .
故所求的四個數為9，6，4，2.
法二　設后三個數分別為4－ d ，4，4＋ d ，
則第一個數為 （4－ d ）2，
由題意知 （4－ d ）2×（4－ d ）×4＝216，
解得4－ d ＝6.所以 d ＝－2.
故所求的四個數為9，6，4，2.
通性通法
巧設等比數列項的方法
（1）若三個數成等比數列，常設為 ， a ， aq .推廣到一般，奇數個
數成等比數列，可設為…， ， ， a ， aq ， aq2，…；
（2）四個符號相同的數成等比數列，常設為 ， ， aq ， aq3.推廣
到一般，偶數個符號相同的數成等比數列，可設為…， ，
， ， aq ， aq3， aq5，…；
（3）四個數成等比數列，不能確定它們的符號是否相同時，可設為
a ， aq ， aq2， aq3.
【跟蹤訓練】
有四個數成等比數列，將這四個數分別減去1，1，4，13后成等差數
列，則這四個數的和是 .
45　
解析：設這四個數分別為 a ， aq ， aq2， aq3，則 a －1， aq －1， aq2－
4， aq3－13成等差數列.即
整理得解得因此這四個數分別是3，6，
12，24，其和為45.
題型三 等差、等比數列的綜合問題
【例3】　（2024·淮安月考）已知公差不為0的等差數列{ an }的前 n 項
和為 Sn ， S1＋1， S3， S4成等差數列，且 a1， a2， a5成等比數列.
（1）求數列{ an }的通項公式；
解： 設等差數列{ an }的公差為 d （ d ≠0）.
因為 S1＋1， S3， S4成等差數列，且 a1， a2， a5成等比數列，
所以2 S3＝ S1＋1＋ S4， ＝ a1 a5，
即 a2＋ a3＝1＋ a4，（ a1＋ d ）2＝ a1（ a1＋4 d ）.
解得 a1＝1， d ＝2，
所以 an ＝1＋2（ n －1）＝2 n －1， n ∈N*.
（2）若 S4， S6， Sn 成等比數列，求 n 及此等比數列的公比.
解： 由（1）可得 Sn ＝ ＝ n2，
所以 S4＝42＝16， S6＝62＝36.
因為 S4， S6， Sn 成等比數列，
所以 ＝ S4· Sn ，
所以362＝16 n2，化為36＝4 n ，解得 n ＝9，
此等比數列的公比 q ＝ ＝ .
通性通法
　　解決等差、等比數列綜合問題時，一定要弄清等差數列中的
某些項與等比數列中的某些項之間的關系，然后利用兩種數列的
性質求解.
【跟蹤訓練】
在公比大于0的等比數列{ an }中，已知 a2， a3，6 a1依次組成公差為4
的等差數列，求{ an }的通項公式.
解：設{ an }的公比為 q （ q ＞0），因為 a2， a3，6 a1成等差數列，
所以 a2＋6 a1＝2 a3，則2 q2－ q －6＝0.
又 q ＞0，所以 q ＝2.
又因為 a3－ a2＝4，即 a1 q2－ a1 q ＝4，
所以4 a1－2 a1＝4，解得 a1＝2，
所以 an ＝2×2 n－1＝2 n .
1. 在等比數列{ an }中，已知 a1＞0，8 a2－ a5＝0，則數列{ an }為
（　　）
A. 遞增數列
B. 遞減數列
C. 常數列
D. 無法確定單調性
解析： 　由8 a2－ a5＝0，可知 ＝ q3＝8，解得 q ＝2.又 a1＞0，
所以數列{ an }為遞增數列.
2. 若等差數列{ an }和等比數列{ bn }滿足 a1＝ b1＝－1， a4＝ b4＝8，則
＝ .
解析：∵{ an }為等差數列， a1＝－1， a4＝8＝ a1＋3 d ＝－1＋3 d ，
∴ d ＝3，∴ a2＝ a1＋ d ＝－1＋3＝2.
∵{ bn }為等比數列， b1＝－1， b4＝8＝ b1 q3＝－ q3，∴ q ＝－2，
∴ b2＝ b1 q ＝2，則 ＝ ＝1.
1　
3. 已知四個數成等比數列，其乘積為1，第2項與第3項之和為－ ，
求這四個數.
解：設四個數依次為 a ， aq ， aq2， aq3，
則
解得或
故所求四個數依次為－ ， ，－2，8或8，－2， ，－ .
知能演練·扣課標
02
課后鞏固 核心素養落地
1. 若數列{ an }是公比為 q 的遞增等比數列，則（　　）
A. a1＞0， q ＞1 B. a1（ q －1）＞0
C. （ a1－1） q ＞0 D. （ a1－1） q ＜0
解析： 　依題意，不妨設 a1＝1， q ＝2，數列是遞增的等比數
列，由此判斷C、D選項錯誤.設 a1＝－1， q ＝ ，數列是遞增的等
比數列，由此判斷A選項不正確.故正確的選項為B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 在等比數列{ an }中， a1， a17是方程 x2＋2 024 x ＋25＝0的兩個實
根，則 a9＝（　　）
A. －5 B. ±5
C. 5 D. 25
解析： 　由題意得得 a1＜0， a17＜0，
則 a9＝ a1 q8＜0.由 ＝ a1 a17＝25，得 a9＝－5.故選A.
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3. 等差數列{ an }的首項為1，公差不為0.若 a2， a3， a6成等比數列，
則{ an }的前6項和為（　　）
A. －24 B. －3
C. 3 D. 8
解析： 　根據題意得 ＝ a2 a6，即（ a1＋2 d ）2＝（ a1＋ d ）（ a1
＋5 d ），解得 d ＝0（舍去）或 d ＝－2，所以數列{ an }的前6項和
為 S6＝6 a1＋ d ＝1×6＋ ×（－2）＝－24.
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4. （2024·鹽城質檢）已知{ an }是等差數列，且公差 d ≠0，若 a ＝
， b ＝ ， c ＝ ，則 a ， b ， c （　　）
A. 成等比數列，不成等差數列
B. 成等差數列，不成等比數列
C. 既不成等比數列，又不成等差數列
D. 既成等差數列，又成等比數列
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解析： 　由{ an }是等差數列，且公差 d ≠0，得 a1， a3， a5是公差
為2 d 的等差數列，所以 ＝ ＝22 d ，故 a ， b ， c 成等比數列.
若一個數列既是等差數列，又是等比數列，則該數列只能是常數
列，而 a ， b ， c 不是常數列，故 a ， b ， c 不是等差數列.
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5. （多選）已知{ an }為等差數列，滿足2 a2－ a1＝2，{ bn }為等比數
列，滿足 b2＝1， b4＝4，則下列說法正確的是（　　）
A. 數列{ an }的首項為4
B. a3＝2
C. b8＝64
D. 數列{ bn }的公比為±2
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解析： 　對于A項，設{ an }的公差為 d ，由2 a2－ a1＝2可得2
（ a1＋ d ）－ a1＝2， a1＋2 d ＝2，不能確定 a1的值，故A項錯誤；
對于B項， a3＝ a1＋2 d ＝2，故B項正確；對于C、D兩項，設{ bn }
的公比為 q ，由 b2＝1， b4＝4，可得 q2＝4，則 q ＝±2，于是 b8＝
b4 q4＝64，故C項正確，D項也正確.故選B、C、D.
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6. （多選）已知{ an }為等比數列，下面結論中正確的是（　　）
A. a1＋ a3≥2 a2 B. ＋ ≥2
C. 若 a1＝ a2，則 a1＝ a3 D. 若 a3＞ a1，則 a4＞ a2
解析： 　設等比數列{ an }的公比為 q ，當 a1＜0， q ＜0時， a3＜
0， a2＞0，故 a1＋ a3≥2 a2不成立，故A不正確； ＋ ＝（ ）2
＋（ a2 q ）2＝ （ ＋ q2）≥2 ，當且僅當 q2＝1時，等號成
立，故B正確；若 a1＝ a2，則 q ＝1，所以 a1＝ a3成立，故C正確；
當 a1＝1， q ＝－2時， a2＝－2， a3＝4， a4＝－8，滿足 a3＞ a1，但
a4＞ a2不成立，故D不正確.
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7. 在《九章算術》中“衰分”是按比例遞減分配的意思.今共有糧98
石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，則衰分比例為 .
解析：設衰分比例為 q ，則甲、乙、丙各分得 ，28，28 q 石，
∴ ＋28＋28 q ＝98，∴ q ＝2或 q ＝ .又0＜ q ＜1，∴ q ＝ .
　
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8. 已知等比數列{ an }中， a5 a11＝9 a8，數列{ bn }是等差數列，且 b8＝
a8，則 b3＋ b13＝ .
解析：在等比數列{ an }中， a5 a11＝9 a8，即 ＝9 a8，又 an ≠0，所
以 a8＝9，所以 b8＝ a8＝9，所以在等差數列{ bn }中有 b3＋ b13＝2 b8
＝18.
18　
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9. 在各項為正的遞增等比數列{ an }中， a1 a2 a6＝64， a1＋ a3＋ a5＝
21，則 an ＝ .
解析：∵{ an }為等比數列，設其公比為 q ，∴ a1 a2 a6＝ q6＝（ a1
q2）3＝ ＝64，則 a3＝4，∵ a1＋ a3＋ a5＝21，∴ ＋ a3＋ a3 q2＝
21，即 ＋4＋4 q2＝21，解得 q ＝±2或 q ＝± ，又∵{ an }各項為
正且遞增，∴ q ＝2， a1＝1，∴ an ＝2 n－1.
2 n－1　
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10. 已知三個數成等比數列，其積為512，如果第一個數與第三個數各
減去2，則此時的三個數成等差數列，求原來的三個數的和.
解：依題意，設原來的三個數依次為 ， a ， aq .
因為 · a · aq ＝512，所以 a ＝8.
又因為第一個數與第三個數各減去2后的三個數成等差數列，所以
（ －2）＋（ aq －2）＝2 a ，所以2 q2－5 q ＋2＝0，所以 q ＝2或
q ＝ ，
所以原來的三個數為4，8，16或16，8，4.
因為4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，
所以原來的三個數的和等于28.
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11. （2024·南京月考）已知函數 f （ x ）＝log ax （ a ＞0， a ≠1），則
下列條件能使數列{ an }成等比數列的是（　　）
A. f （ an ）＝2 n B. f （ an ）＝ n2
C. f （ an ）＝2 n D. f （ an ）＝
解析： 　由 f （ x ）＝log ax （ a ＞0， a ≠1），令 y ＝log ax ，可得
x ＝ ay ，故對于A，有 an ＝ ，非等比數列；對于B， an ＝
，非等比數列；對于C， an ＝ a2 n ，為等比數列；對于D， an ＝
，非等比數列.
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12. （多選）設{ an }（ n ∈N*）是各項均為正數的等比數列， q 是其公
比， Kn 是其前 n 項的積，且 K5＜ K6， K6＝ K7＞ K8，則下列選項中
成立的是（　　）
A. 0＜ q ＜1
B. a7＝1
C. K9＞ K5
D. K6與 K7均為 Kn 的最大值
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解析： 　根據題意，分析選項.對于B，由 K6＝ K7，得 a7＝
＝1，B正確；對于A，由 K5＜ K6可得， a6＝ ＞1，則 q ＝ ∈
（0，1），故A正確；對于C，由{ an }是各項均為正數的等比數列
且 q ∈（0，1）可得數列是遞減數列，則有 K9＜ K5，故C錯誤；
對于D，結合 K5＜ K6， K6＝ K7＞ K8，可得D正確.故選A、B、D.
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13. 設等比數列{ an }滿足 a1＋ a3＝10， a2＋ a4＝5，則 a1 a2… an 的最大
值為 .
解析：法一　設{ an }的公比為 q ，依題意得解得
所以 an ＝（ ） n－4，從而 a1 a2… an ＝（
＝（ ，當 n ＝3或 n ＝4時， ［（ n － ）2－
］取到最小值－6，此時（ 取到最大值26，
所以 a1 a2… an 的最大值為64.
64　
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法二　設{ an }的公比為 q ，由 a1＋ a3＝10， a2＋ a4＝5，得 a1＝8， q ＝
，則 a2＝4， a3＝2， a4＝1， a5＝ ，所以 a1 a2… an ≤ a1 a2 a3 a4＝64.
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14. 設數列{ an }是公比小于1的正項等比數列，已知 a1＝8，且 a1＋
13，4 a2， a3＋9成等差數列.
（1）求數列{ an }的通項公式；
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解： 設數列{ an }的公比為 q .
由題意，可得 an ＝8 qn－1，且0＜ q ＜1.
由 a1＋13，4 a2， a3＋9成等差數列，
知8 a2＝30＋ a3，所以64 q ＝30＋8 q2，
解得 q ＝ 或 q ＝ （舍去），
所以 an ＝8×（ ） n－1＝24－ n ， n ∈N*.
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（2）若 bn ＝ an （ n ＋2－λ），且數列{ bn }是遞減數列，求實數
λ的取值范圍.
解： bn ＝ an （ n ＋2－λ）＝（ n ＋2－λ）·24－ n ，
由 bn ＞ bn＋1，
得（ n ＋2－λ）·24－ n ＞（ n ＋3－λ）·23－ n ，
即λ＜ n ＋1，所以λ＜（ n ＋1）min＝2，
故實數λ的取值范圍為（－∞，2）.
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15. 已知數列{ Am }： a1， a2，…， am （ m ≥2）.若存在公比為 q 的等
比數列{ Bm＋1}： b1， b2，…， bm＋1，使得 bk ＜ ak ＜ bk＋1，其中 k
＝1，2，…， m ，則稱數列{ Bm＋1}為數列{ Am }的“等比分割數
列”.若數列{ A10}的通項公式為 an ＝2 n （ n ＝1，2，…，10），
其“等比分割數列”{ B11}的首項為1，求數列{ B11}的公比 q 的取
值范圍.
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解：因為{ B11}的首項為1，公比為 q ，所以 bn ＝ qn－1，則 qk－1＜2 k
＜ qk 對于 k ＝1，2，…，10成立，
當 k ＝1時1＜2＜ q ；
當 k ＝2，3，…，10時，2＜ q ＜ .
而 y ＝2 x 是增函數， ＝1＋ 隨著 k 的增大而減小，
所以 y ＝ 隨著 k 的增大而減小，
從而（ ）min＝ ，所以2＜ q ＜ .
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