資源簡介

第1課時　等比數列的前n項和公式
1.在數列{an}中，已知an＋1＝2an，且a1＝1，則數列{an}的前5項的和等于（　　）
A.－25　　　 B.25
C.－31　　 D.31
2.已知Sn為等比數列{an}的前n項和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，則項數n＝（　　）
A.3　　 B.4
C.5　　 D.6
3.（2024·徐州月考）河南洛陽龍門石窟是中國石刻藝術寶庫，現為世界非物質文化遺產之一.某洞窟的浮雕共7層，它們構成一幅優美的圖案.若從下往上計算，從第2層開始，每層浮雕像個數依次是下層個數的2倍，該洞窟浮雕像總共有1 016個，則第5層浮雕像的個數為（　　）
A.64　　 B.128
C.224　　 D.512
4.數列an＝4n－1＋n的前n項和Sn＝（　　）
A.＋　　 B.＋
C.＋　　 D.＋
5.（多選）已知等比數列{an}的前n項和為Sn，公比為q，若a1≠a2，a3a4＝2a1，a3－a2＝2（a4－a3），則下列結論正確的是（　　）
A.q＝　　 B.a7＝2
C.a8＝8　　 D.S6＝126
6.（多選）設等比數列{an}的前n項和為Sn，若8a2＋a5＝0，則下列式子中數值確定的是（　　）
A.　　 B.
C.　　 D.
7.若數列{an}的通項公式是an＝其前n項和為Sn，則S30＝　　　　.
8.等比數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝15，a3＝5，則公比q＝　　　　.
9.已知等比數列{an}的首項為1，公比為3，則＋＋…＋＝　　　　.
10.在等比數列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
（1）求{an}的通項公式；
（2）記Sn為{an}的前n項和.若Sm＝63，求m.
11.數列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k＝（　　）
A.2　　 B.3
C.4　　 D.5
12.等比數列{an}的公比為q，前n項和Sn＞0（n＝1，2，3，…），則q的取值范圍是　　　　.
13.設f（x）是定義在R上的恒不為零的函數，且對任意的實數x，y，都有f（x）·f（y）＝f（x＋y）.若a1＝，an＝f（n）（n∈N*），則數列{an}的前n項和Sn＝　　　　.
14.已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
（1）證明{an＋1}是等比數列，并求{an}的通項公式；
（2）求數列{an}落入區間（10，2 024）的所有項的和.
15.將數列{an}中的所有項按“第一行三項，以下每一行比上一行多一項”的規則排成如下數表.
a1 a2 a3
a4 a5 a6 a7
a8 a9 a10 a11 a12
…
記表中的第一列數a1，a4，a8，…構成的數列為{bn}，已知：
①在數列{bn}中，b1＝1，對于任何n∈N*，都有（n＋1）bn＋1－nbn＝0；
②表中每一行的數從左到右均構成公比為q（q＞0）的等比數列；
③a66＝.
請解答以下問題：
（1）求數列{bn}的通項公式；
（2）求上表中第k（k∈N*）行所有項的和S（k）.
第1課時　等比數列的前n項和公式
1.D　因為an＋1＝2an，且a1＝1，所以數列{an}是首項為1，公比為2的等比數列，所以數列{an}的前5項的和為＝31.
2.C　由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，得解得
3.B　設最下層的浮雕像的數量為a1，依題意有公比q＝2，n＝7，S7＝＝1 016，解得a1＝8，則an＝8×2n－1＝2n＋2（1≤n≤7，n∈N*），所以a5＝27＝128.
4.B　Sn＝（40＋1）＋（41＋2）＋…＋（4n－1＋n）＝（40＋41＋…＋4n－1）＋（1＋2＋…＋n）＝＋.
5.AD　因為等比數列{an}中，a1≠a2，所以q≠1，因為a3·a4＝2a1，a3－a2＝2（a4－a3）＝2q（a3－a2），所以q5＝2a1，且2q＝1，即q＝，A正確；所以a1＝64，a7＝64×＝1，B錯誤；a8＝a1q7＝64×＝，C錯誤；S6＝＝126，D正確.故選A、D.
6.ABC　由8a2＋a5＝0得8a2＋a2q3＝0，∵a2≠0，∴q3＝－8，∴q＝－2.A中，＝q2＝4；B中，＝＝＝；C中，＝＝＝；D中，＝與n有關，不確定.故選A、B、C.
7.240　解析：由題意得S30＝（a1＋a3＋…＋a29）＋（a2＋a4＋…＋a30）＝（1＋2＋…＋15）＋（1＋2＋…＋15）＝×2＝240.
8.－或1　解析：當q≠1時，∵S3＝15，a3＝5，∴解得q＝－.當q＝1時，{an}為各項均為5的常數列，符合題意.
9.（9n－1）　解析：由題意得＝32＝9，故{}為首項為12＝1，公比為9的等比數列，則＋＋…＋＝＝（9n－1）.
10.解：（1）設等比數列{an}的公比為q，
由題意得an＝qn－1，q4＝4q2，
解得q＝0（舍去），q＝－2或q＝2.
故an＝（－2）n－1或an＝2n－1.
（2）若an＝（－2）n－1，則Sn＝.
由Sm＝63得＝63，
即（－2）m＝－188，此方程沒有正整數解.
若an＝2n－1，則Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m－1＝63，即2m＝64，解得m＝6.綜上，m＝6.
11.C　∵an＋1＝2an，∴＝2，又a1＝2，∴數列{an}是以2為首項，以2為公比的等比數列，則an＝2×2n－1＝2n，ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝＝＝2k＋1（210－1）＝25（210－1），∴2k＋1＝25，則k＋1＝5，解得k＝4.
12.（－1，0）∪（0，＋∞）　解析：因為數列{an}為等比數列，Sn＞0，所以a1＝S1＞0，q≠0.當q＝1時，Sn＝na1＞0；當q≠1時，Sn＝＞0，即＞0，所以或所以－1＜q＜1或q＞1.綜上，q的取值范圍為（－1，0）∪（0，＋∞）.
13.1－　解析：令x＝n，y＝1，則f（n）·f（1）＝f（n＋1），又an＝f（n），∴＝＝f（1）＝a1＝，∴數列{an}是以為首項，為公比的等比數列，∴Sn＝＝1－.
14.解：（1）∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2（an＋1），即＝2，∴{an＋1}是公比為2的等比數列.
∵首項為a1＋1＝2，公比為2，∴an＋1＝2n，
∴an＝2n－1.
（2）令10＜2n－1＜2 024，即11＜2n＜2 025，
∵n∈N*，∴n可取4，5，6，7，8，9，10，
∴數列{an}落入區間（10，2 024）的所有項的和S＝a4＋a5＋…＋a9＋a10＝（24－1）＋（25－1）＋…＋（210－1）＝－7＝2 025.
15.解：（1）由（n＋1）bn＋1－nbn＝0，得數列{nbn}為常數列，故nbn＝1·b1＝1，∴bn＝.
（2）∵3＋4＋…＋11＝63，∴表中第一行至第九行共含有{an}的前63項，a66在表中第十行第三列.
故a66＝b10·q2，
又a66＝，而b10＝，q＞0，∴q＝2.
故S（k）＝＝（2k＋2－1）.
2 / 24.3.3　等比數列的前n項和
新課程標準解讀 核心素養
1.探索并掌握等比數列的前n項和公式，理解等比數列的通項公式與前n項和公式的關系 數學運算
2.能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題 邏輯推理、數學運算
第1課時　等比數列的前n項和公式
　　如圖所示，如果一個人得到某個信息之后，就將這個信息傳給3個不同的好友（稱為第1輪傳播），每個好友收到信息后，又都傳給了3個不同的好友（稱為第2輪傳播），……，依此下去，假設信息在傳播的過程中都是傳給不同的人，則每一輪傳播后，信息傳播的人數就構成了一個等比數列：1，3，9，27，81，….
【問題】　如果信息按照上述方式共傳播了20輪，那么知曉這個信息的人數共有多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　等比數列的前n項和公式
已知量 首項a1與公比q 首項a1，末項an與公比q
公式 Sn＝　　　　　 Sn＝　　　　
提醒　求等比數列的前n項和，需對公比分q＝1與q≠1兩種情況進行討論，當q＝1時，應利用公式Sn＝na1求和.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）等比數列前n項和Sn不可能為0.（　　）
（2）若首項為a的數列既是等比數列又是等差數列，則其前n項和等于na.（　　）
（3）若a∈R，則1＋a＋a2＋…＋an－1＝.（　　）
2.在等比數列{an}中，a1＝2，q＝3，則S3＝（　　）
A.12　　 B.13
C.24　　 D.26
3.在等比數列{an}中，若a1＝1，a4＝，則該數列的前10項和S10＝（　　）
A.2－　　 B.2－
C.2－　　 D.2－
4.已知等比數列{an}的前n項和為Sn，公比為2，且S4＝15，則a1＝　　　　.
題型一 等比數列前n項和公式的直接應用
【例1】　（鏈接教科書第162頁例1）求下列等比數列前8項的和：
（1），，，…；
（2）a1＝27，a9＝，q＜0.
通性通法
　　求等比數列的前n項和，要確定首項、公比或首項、末項、公比，注意公比q＝1是否成立.
【跟蹤訓練】
（1）求數列{（－1）n＋2}的前100項的和；
（2）在14與之間插入n個數，組成所有項的和為的等比數列，求此數列的項數.
題型二 利用等比數列前n項和公式求基本量
【例2】　（鏈接教科書第163頁例2）在等比數列{an}中，公比為q，前n項和為Sn.
（1）a1＝8，an＝，Sn＝，求n；
（2）S3＝，S6＝，求an及Sn.
通性通法
　　在等比數列{an}的五個量a1，q，an，n，Sn中，a1與q是最基本的元素，當條件與結論間的聯系不明顯時，均可以用a1與q表示an與Sn，從而列方程組求解，在解方程組時經常用到兩式相除達到整體消元的目的.這是方程思想與整體思想在數列中的具體應用.
【跟蹤訓練】
　在等比數列{an}中，已知a6－a4＝24，a3·a5＝64，求S8.
題型三 分組轉化法求和
【例3】　（鏈接教科書第163頁例3）已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2Sn＋1，其中Sn為{an}的前n項和，n∈N*.
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設{bn－an}是首項為1，公差為2的等差數列，求數列{bn}的前n項和Tn.
通性通法
分組求和的適用題型
　　一般情況下，形如cn＝an±bn，其中數列{an}與{bn}一個是等差數列，另一個是等比數列，求數列{cn}的前n項和，分別利用等差數列和等比數列前n項和公式求和即可.
【跟蹤訓練】
　若數列{an}滿足an＝則a1＋a2＋a3＋…＋a10＝　　　　.（用具體數值作答）
1.已知等比數列{an}的首項a1＝3，公比q＝2，則S5＝（　　）
A.93　　B.－93　　C.45　　D.－45
2.在等比數列{an}中，a1＝2，S3＝26，則公比q＝　　　　.
3.求an＝2n＋n的前n項和.
第1課時　等比數列的前n項和公式
【基礎知識·重落實】
知識點
　
自我診斷
1.（1）×　（2）√　（3）×
2.D　S3＝＝26.
3.B　易知公比q＝，則S10＝＝2－.
4.1　解析：依題意，a1＋a2＋a3＋a4＝15，故a1＋2a1＋4a1＋8a1＝15，解得a1＝1.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）因為a1＝，a2＝，可得q＝，
所以S8＝＝.
（2）由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.
又由q＜0，可得q＝－，
所以S8＝＝＝＝.
跟蹤訓練
　解：（1）法一　a1＝（－1）3＝－1，q＝－1.
∴S100＝＝0.
法二　數列{（－1）n＋2}為－1，1，－1，1，…，
∴S100＝50×（－1＋1）＝0.
（2）設此數列的公比為q（易知q≠1），
則解得故此數列共有5項.
【例2】　解：（1）顯然q≠1，由Sn＝，即＝，
∴q＝.又∵an＝a1qn－1，即8×＝，∴n＝6.
（2）法一　由S6≠2S3知q≠1，由題意得
②÷①，得1＋q3＝9，∴q3＝8，解得q＝2.
代入①得a1＝，∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2，
Sn＝＝2n－1－.
法二　由S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3（a1＋a2＋a3）＝S3＋q3S3＝（1＋q3）S3.
∴1＋q3＝＝9，∴q3＝8，解得q＝2.
代入＝，得a1＝，
∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2，
Sn＝＝2n－1－.
跟蹤訓練
　解：由題意，得
化簡得
①÷②，得q2－1＝±3，
∴q2＝4，負值舍去，∴q＝2或q＝－2.
當q＝2時，代入①得a1＝1，
∴S8＝＝255.
當q＝－2時，代入①得a1＝－1，
∴S8＝＝85.
綜上知S8＝255或S8＝85.
【例3】　解：（1）當n＝1時，a2＝2a1＋1＝3.當n≥2時，an＝2Sn－1＋1，則an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，且a2＝3a1.故{an}是以1為首項，3為公比的等比數列，所以an＝3n－1.
（2）由題意bn－an＝1＋2（n－1）＝2n－1，所以bn＝3n－1＋2n－1，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝（30＋31＋…＋3n－1）＋（1＋3＋…＋2n－1）＝＋n2＝＋n2.
跟蹤訓練
　107　解析：由題意可得：a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1＋2＋5＋22＋…＋17＋25＝（1＋5＋…＋17）＋（2＋22＋…＋25）＝＋＝45＋62＝107.
隨堂檢測
1.A　S5＝＝＝93.
2.3或－4　解析：由題意得q≠1.因為S3＝＝＝26，所以q2＋q－12＝0，解得q＝3或－4.
3.解：由an＝2n＋n，所以Sn＝（2＋22＋…＋2n）＋（1＋2＋…＋n）＝2n＋1－2＋.
3 / 3(共57張PPT)
4.3.3　
等比數列的前n項和
新課程標準解讀 核心素養
1.探索并掌握等比數列的前 n 項和公式，理解等比數
列的通項公式與前 n 項和公式的關系 數學運算
2.能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并
解決相應的問題 邏輯推理、
數學運算
第1課時　
等比數列的前n項和公式
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　如圖所示，如果一個人得到某個信息之后，就將這個信息傳給3
個不同的好友（稱為第1輪傳播），每個好友收到信息后，又都傳給
了3個不同的好友（稱為第2輪傳播），……，依此下去，假設信息在
傳播的過程中都是傳給不同的人，則每一輪傳播后，信息傳播的人數
就構成了一個等比數列：1，3，9，27，81，….
【問題】　如果信息按照上述方式共傳播了20輪，那么知曉這個信息
的人數共有多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　等比數列的前 n 項和公式
已知量 首項 a1與公比 q 首項 a1，末項 an 與公比 q
公式 Sn
＝ Sn ＝
　
提醒　求等比數列的前 n 項和，需對公比分 q ＝1與 q ≠1兩種情況進行
討論，當 q ＝1時，應利用公式 Sn ＝ na1求和.
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）等比數列前 n 項和 Sn 不可能為0. （　×　）
（2）若首項為 a 的數列既是等比數列又是等差數列，則其前 n 項和
等于 na . （　√　）
（3）若 a ∈R，則1＋ a ＋ a2＋…＋ an－1＝ . （　×　）
×
√
×
2. 在等比數列{ an }中， a1＝2， q ＝3，則 S3＝（　　）
A. 12 B. 13
C. 24 D. 26
解析：　 S3＝ ＝26.
3. 在等比數列{ an }中，若 a1＝1， a4＝ ，則該數列的前10項和 S10＝
（　　）
解析： 　易知公比 q ＝ ，則 S10＝ ＝2－ .
4. 已知等比數列{ an }的前 n 項和為 Sn ，公比為2，且 S4＝15，則 a1
＝ .
解析：依題意， a1＋ a2＋ a3＋ a4＝15，故 a1＋2 a1＋4 a1＋8 a1＝
15，解得 a1＝1.
1　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
　　
題型一 等比數列前 n 項和公式的直接應用
【例1】　（鏈接教科書第162頁例1）求下列等比數列前8項的和：
（1） ， ， ，…；
解：因為 a1＝ ， a2＝ ，可得 q ＝ ，
所以 S8＝ ＝ .
（2） a1＝27， a9＝ ， q ＜0.
解：由 a1＝27， a9＝ ，可得 ＝27· q8.
又由 q ＜0，可得 q ＝－ ，
所以 S8＝ ＝ ＝ ＝ .
通性通法
　　求等比數列的前 n 項和，要確定首項、公比或首項、末項、公
比，注意公比 q ＝1是否成立.
【跟蹤訓練】
（1）求數列{（－1） n＋2}的前100項的和；
解：法一　 a1＝（－1）3＝－1， q ＝－1.
∴ S100＝ ＝0.
法二　數列{（－1） n＋2}為－1，1，－1，1，…，
∴ S100＝50×（－1＋1）＝0.
解：設此數列的公比為 q （易知 q ≠1），
則解得故此數列共有5項.
（2）在14與 之間插入 n 個數，組成所有項的和為 的等比數列，求
此數列的項數.
題型二 利用等比數列前 n 項和公式求基本量
【例2】　（鏈接教科書第163頁例2）在等比數列{ an }中，公比為 q ，
前 n 項和為 Sn .
（1） a1＝8， an ＝ ， Sn ＝ ，求 n ；
解：顯然 q ≠1，由 Sn ＝ ，即 ＝ ，
∴ q ＝ .又∵ an ＝ a1 qn－1，即8× ＝ ，
∴ n ＝6.
（2） S3＝ ， S6＝ ，求 an 及 Sn .
解：法一　由 S6≠2 S3知 q ≠1，由題意得

②÷①，得1＋ q3＝9，∴ q3＝8，解得 q ＝2.
代入①得 a1＝ ，∴ an ＝ a1 qn－1＝ ×2 n－1＝2 n－2，
Sn ＝ ＝2 n－1－ .
法二　由 S3＝ a1＋ a2＋ a3， S6＝ S3＋ a4＋ a5＋ a6＝ S3＋ q3（ a1＋ a2＋
a3）＝ S3＋ q3 S3＝（1＋ q3） S3.
∴1＋ q3＝ ＝9，∴ q3＝8，解得 q ＝2.
代入 ＝ ，得 a1＝ ，
∴ an ＝ a1 qn－1＝ ×2 n－1＝2 n－2，
Sn ＝ ＝2 n－1－ .
通性通法
　　在等比數列{ an }的五個量 a1， q ， an ， n ， Sn 中， a1與 q 是最基
本的元素，當條件與結論間的聯系不明顯時，均可以用 a1與 q 表示 an
與 Sn ，從而列方程組求解，在解方程組時經常用到兩式相除達到整體
消元的目的.這是方程思想與整體思想在數列中的具體應用.
【跟蹤訓練】
　在等比數列{ an }中，已知 a6－ a4＝24， a3· a5＝64，求 S8.
解：由題意，得
化簡得
①÷②，得 q2－1＝±3，
∴ q2＝4，負值舍去，∴ q ＝2或 q ＝－2.
當 q ＝2時，代入①得 a1＝1，
∴ S8＝ ＝255.
當 q ＝－2時，代入①得 a1＝－1，
∴ S8＝ ＝85.
綜上知 S8＝255或 S8＝85.
題型三 分組轉化法求和
【例3】　（鏈接教科書第163頁例3）已知數列{ an }滿足 a1＝1， an＋1
＝2 Sn ＋1，其中 Sn 為{ an }的前 n 項和， n ∈N*.
（1）求數列{ an }的通項公式；
解：當 n ＝1時， a2＝2 a1＋1＝3.當 n ≥2時， an ＝2 Sn－1＋
1，則 an＋1－ an ＝2 an ，即 an＋1＝3 an ，且 a2＝3 a1.故{ an }是以1
為首項，3為公比的等比數列，所以 an ＝3 n－1.
（2）設{ bn － an }是首項為1，公差為2的等差數列，求數列{ bn }的前 n
項和 Tn .
解：由題意 bn － an ＝1＋2（ n －1）＝2 n －1，所以 bn ＝3 n
－1＋2 n －1，所以 Tn ＝ b1＋ b2＋…＋ bn ＝（30＋31＋…＋3 n－1）
＋（1＋3＋…＋2 n －1）＝ ＋ n2＝ ＋ n2.
通性通法
分組求和的適用題型
　　一般情況下，形如 cn ＝ an ± bn ，其中數列{ an }與{ bn }一個是等差
數列，另一個是等比數列，求數列{ cn }的前 n 項和，分別利用等差數
列和等比數列前 n 項和公式求和即可.
【跟蹤訓練】
　若數列{ an }滿足 an ＝則 a1＋ a2＋ a3＋…＋ a10
＝ .（用具體數值作答）
解析：由題意可得： a1＋ a2＋ a3＋…＋ a10＝1＋2＋5＋22＋…＋17＋25
＝（1＋5＋…＋17）＋（2＋22＋…＋25）＝ ＋ ＝
45＋62＝107.
107　
1. 已知等比數列{ an }的首項 a1＝3，公比 q ＝2，則 S5＝（　　）
A. 93 B. －93
C. 45 D. －45
解析：　 S5＝ ＝ ＝93.
2. 在等比數列{ an }中， a1＝2， S3＝26，則公比 q ＝ .
解析：由題意得 q ≠1.因為 S3＝ ＝ ＝26，所以
q2＋ q －12＝0，解得 q ＝3或－4.
3. 求 an ＝2 n ＋ n 的前 n 項和.
解：由 an ＝2 n ＋ n ，所以 Sn ＝（2＋22＋…＋2 n ）＋（1＋2＋…＋
n ）＝2 n＋1－2＋ .
3或－4　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 在數列{ an }中，已知 an＋1＝2 an ，且 a1＝1，則數列{ an }的前5項的
和等于（　　）
A. －25 B. 25
C. －31 D. 31
解析：　因為 an＋1＝2 an ，且 a1＝1，所以數列{ an }是首項為1，
公比為2的等比數列，所以數列{ an }的前5項的和為 ＝31.
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2. 已知 Sn 為等比數列{ an }的前 n 項和， Sn ＝93， an ＝48，公比 q ＝
2，則項數 n ＝（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析：　由 Sn ＝93， an ＝48，公比 q ＝2，得
解得
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3. （2024·徐州月考）河南洛陽龍門石窟是中國石刻藝術寶庫，現為
世界非物質文化遺產之一.某洞窟的浮雕共7層，它們構成一幅優美
的圖案.若從下往上計算，從第2層開始，每層浮雕像個數依次是下
層個數的2倍，該洞窟浮雕像總共有1 016個，則第5層浮雕像的個
數為（　　）
A. 64 B. 128
C. 224 D. 512
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解析：　設最下層的浮雕像的數量為 a1，依題意有公比 q ＝2， n
＝7， S7＝ ＝1 016，解得 a1＝8，則 an ＝8×2 n－1＝2 n＋2
（1≤ n ≤7， n ∈N*），所以 a5＝27＝128.
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4. 數列 an ＝4 n－1＋ n 的前 n 項和 Sn ＝（　　）
解析：　 Sn ＝（40＋1）＋（41＋2）＋…＋（4 n－1＋ n ）＝（40＋
41＋…＋4 n－1）＋（1＋2＋…＋ n ）＝ ＋ .
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5. （多選）已知等比數列{ an }的前 n 項和為 Sn ，公比為 q ，若 a1≠
a2， a3 a4＝2 a1， a3－ a2＝2（ a4－ a3），則下列結論正確的是
（　　）
B. a7＝2
C. a8＝8 D. S6＝126
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解析：因為等比數列{ an }中， a1≠ a2，所以 q ≠1，因為 a3· a4
＝2 a1， a3－ a2＝2（ a4－ a3）＝2 q （ a3－ a2），所以 q5＝2 a1，
且2 q ＝1，即 q ＝ ，A正確；所以 a1＝64， a7＝64× ＝1，B錯
誤； a8＝ a1 q7＝64× ＝ ，C錯誤； S6＝ ＝126，D
正確.故選A、D.
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6. （多選）設等比數列{ an }的前 n 項和為 Sn ，若8 a2＋ a5＝0，則下列
式子中數值確定的是（　　）
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解析： 　由8 a2＋ a5＝0得8 a2＋ a2 q3＝0，∵ a2≠0，∴ q3＝－
8，∴ q ＝－2.A中， ＝ q2＝4；B中， ＝ ＝ ＝
；C中， ＝ ＝ ＝ ；D中， ＝
與 n 有關，不確定.故選A、B、C.
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7. 若數列{ an }的通項公式是 an ＝其前 n 項和為 Sn ，
則 S30＝ .
解析：由題意得 S30＝（ a1＋ a3＋…＋ a29）＋（ a2＋ a4＋…＋ a30）
＝（1＋2＋…＋15）＋（1＋2＋…＋15）＝ ×2＝240.
240　
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8. 等比數列{ an }的前 n 項和為 Sn ，若 S3＝15， a3＝5，則公比 q ＝
.
解析：當 q ≠1時，∵ S3＝15， a3＝5，∴解得 q
＝－ .當 q ＝1時，{ an }為各項均為5的常數列，符合題意.
－
或1　
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9. 已知等比數列{ an }的首項為1，公比為3，則 ＋ ＋…＋ ＝
.
解析：由題意得 ＝32＝9，故{ }為首項為12＝1，公比為9的
等比數列，則 ＋ ＋…＋ ＝ ＝ （9 n －1）.
（9 n －1）　
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10. 在等比數列{ an }中， a1＝1， a5＝4 a3.
（1）求{ an }的通項公式；
解： 設等比數列{ an }的公比為 q ，
由題意得 an ＝ qn－1， q4＝4 q2，
解得 q ＝0（舍去）， q ＝－2或 q ＝2.
故 an ＝（－2） n－1或 an ＝2 n－1.
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（2）記 Sn 為{ an }的前 n 項和.若 Sm ＝63，求 m .
解： 若 an ＝（－2） n－1，則 Sn ＝ .
由 Sm ＝63得 ＝63，
即（－2） m ＝－188，此方程沒有正整數解.
若 an ＝2 n－1，則 Sn ＝2 n －1.由 Sm ＝63得2 m －1＝63，即2 m ＝
64，解得 m ＝6.綜上， m ＝6.
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11. 數列{ an }中， a1＝2， an＋1＝2 an ，若 ak＋1＋ ak＋2＋…＋ ak＋10＝215
－25，則 k ＝（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析：　∵ an＋1＝2 an ，∴ ＝2，又 a1＝2，∴數列{ an }是以
2為首項，以2為公比的等比數列，則 an ＝2×2 n－1＝2 n ， ak＋1＋ ak
＋2＋…＋ ak＋10＝ ＝ ＝2 k＋1（210－1）
＝25（210－1），∴2 k＋1＝25，則 k ＋1＝5，解得 k ＝4.
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12. 等比數列{ an }的公比為 q ，前 n 項和 Sn ＞0（ n ＝1，2，3，…），
則 q 的取值范圍是 .
解析：因為數列{ an }為等比數列， Sn ＞0，所以 a1＝ S1＞0， q
≠0.當 q ＝1時， Sn ＝ na1＞0；當 q ≠1時， Sn ＝ ＞0，
即 ＞0，所以或所以－1＜ q ＜1或
q ＞1.綜上， q 的取值范圍為（－1，0）∪（0，＋∞）.
（－1，0）∪（0，＋∞）　
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13. 設 f （ x ）是定義在R上的恒不為零的函數，且對任意的實數 x ，
y ，都有 f （ x ）· f （ y ）＝ f （ x ＋ y ）.若 a1＝ ， an ＝ f （ n ）（ n
∈N*），則數列{ an }的前 n 項和 Sn ＝ .
解析：令 x ＝ n ， y ＝1，則 f （ n ）· f （1）＝ f （ n ＋1），又 an ＝ f
（ n ），∴ ＝ ＝ f （1）＝ a1＝ ，∴數列{ an }是以
為首項， 為公比的等比數列，∴ Sn ＝ ＝1－ .
1－ 　
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14. 已知數列{ an }滿足 a1＝1， an＋1＝2 an ＋1.
（1）證明{ an ＋1}是等比數列，并求{ an }的通項公式；
解： ∵ an＋1＝2 an ＋1，∴ an＋1＋1＝2（ an ＋1），即
＝2，∴{ an ＋1}是公比為2的等比數列.
∵首項為 a1＋1＝2，公比為2，∴ an ＋1＝2 n ，
∴ an ＝2 n －1.
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（2）求數列{ an }落入區間（10，2 024）的所有項的和.
解： 令10＜2 n －1＜2 024，即11＜2 n ＜2 025，
∵ n ∈N*，∴ n 可取4，5，6，7，8，9，10，
∴數列{ an }落入區間（10，2 024）的所有項的和 S ＝ a4＋ a5
＋…＋ a9＋ a10＝（24－1）＋（25－1）＋…＋（210－1）＝
－7＝2 025.
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15. 將數列{ an }中的所有項按“第一行三項，以下每一行比上一行多
一項”的規則排成如下數表.
a1 a2 a3
a4 a5 a6 a7
a8 a9 a10 a11 a12
…
記表中的第一列數 a1， a4， a8，…構成的數列為{ bn }，已知：
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①在數列{ bn }中， b1＝1，對于任何 n ∈N*，都有（ n ＋1） bn＋1－
nbn ＝0；
②表中每一行的數從左到右均構成公比為 q （ q ＞0）的等比數
列；
③ a66＝ .
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請解答以下問題：
（1）求數列{ bn }的通項公式；
解： 由（ n ＋1） bn＋1－ nbn ＝0，得數列{ nbn }為常數
列，故 nbn ＝1· b1＝1，∴ bn ＝ .
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（2）求上表中第 k （ k ∈N*）行所有項的和 S （ k ）.
解： ∵3＋4＋…＋11＝63，
∴表中第一行至第九行共含有{ an }的前63項， a66在表中第
十行第三列.
故 a66＝ b10· q2，
又 a66＝ ，而 b10＝ ， q ＞0，∴ q ＝2.
故 S （ k ）＝ ＝ （2 k＋2－1）.
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謝 謝 觀 看！
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