資源簡(jiǎn)介

4.4　數(shù)學(xué)歸納法*
1.一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果證得當(dāng)n＝1時(shí)命題成立，并在假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N*）時(shí)命題成立的基礎(chǔ)上，證明了當(dāng)n＝k＋2時(shí)命題成立，那么綜合上述，對(duì)于（　　）
A.一切正整數(shù)命題成立
B.一切正奇數(shù)命題成立
C.一切正偶數(shù)命題成立
D.以上都不對(duì)
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是（　　）
A.假設(shè)n＝2k＋1時(shí)正確，再推n＝2k＋3時(shí)正確
B.假設(shè)n＝2k－1時(shí)正確，再推n＝2k＋1時(shí)正確
C.假設(shè)n＝k時(shí)正確，再推n＝k＋1時(shí)正確
D.假設(shè)n＝k（k≥1），再推n＝k＋2時(shí)正確（以上k∈N*）
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋＜n（n∈N*，n＞1）時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式（　　）
A.1＋＜2　　 B.1＋＋＜2
C.1＋＋＜3　　 D.1＋＋＋＜3
4.已知8＞7，16＞9，32＞11，…，則有（　　）
A.2n＞2n＋1　　 B.2n＋1＞2n＋1
C.2n＋2＞2n＋5　　 D.2n＋3＞2n＋7
5.用數(shù)學(xué)歸納法證明n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2）＝（2n－1）2（n∈N*）時(shí)，若記f（n）＝n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2），則f（k＋1）－f（k）＝（　　）
A.3k－1　　 B.3k＋1
C.8k　　 D.9k
6.（多選）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋＋…＋＞－1（n∈N*，n≥2）時(shí)，以下說(shuō)法正確的是（　　）
A.第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)不等式成立
B.“n＝k（k∈N*，k≥2）到n＝k＋1”左邊需要增加的代數(shù)式是
C.從“n＝k（k∈N*，k≥2）到n＝k＋1”左邊需要增加2k－1項(xiàng)
D.當(dāng)n＝2時(shí)不等式左邊是
7.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＞（n∈N*）成立，其初始值至少應(yīng)取　　　　.
8.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“兩兩相交且不共點(diǎn)的n條直線把平面分為f（n）部分，則f（n）＝1＋.”證明第二步歸納遞推時(shí)，用到f（k＋1）＝f（k）＋　　　　.
9.用數(shù)學(xué)歸納法證明“（3n＋1）·7n－1（n∈N*）能被9整除”，在假設(shè)n＝k時(shí)命題成立之后，需證明n＝k＋1時(shí)命題也成立，這時(shí)除了用歸納假設(shè)外，還需證明的是余項(xiàng)　　　　能被9整除.
10.設(shè)f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N*）.求證：f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）＝n[f（n）－1]（n≥2，n∈N*）.
11.用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上（　　）
A.（k＋1）2
B.k2＋1
C.
D.（k2＋1）＋（k2＋2）＋（k2＋3）＋…＋（k＋1）2
12.（多選）已知一個(gè)命題p（k），k＝2n（n∈N*），若當(dāng)n＝1，2，…，1 000時(shí)，p（k）成立，且當(dāng)n＝1 001時(shí)也成立，則下列判斷中正確的是（　　）
A.p（k）對(duì)k＝528成立
B.p（k）對(duì)每一個(gè)自然數(shù)k都成立
C.p（k）對(duì)每一個(gè)正偶數(shù)k都成立
D.p（k）對(duì)某些偶數(shù)可能不成立
13.平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都無(wú)公共點(diǎn)，用f（n）表示這n個(gè)圓把平面分割的區(qū)域數(shù)，那么f（n＋1）與f（n）之間的關(guān)系為　　　　.
14.用數(shù)學(xué)歸納法證明：＋＋＋…＋＜1－（n≥2，n∈N*）.
15.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*）.
（1）寫(xiě)出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想，并求出an的表達(dá)式.
4.4　數(shù)學(xué)歸納法*
1.B　本題證明了當(dāng)n＝1，3，5，7，…時(shí)，命題成立，即命題對(duì)一切正奇數(shù)成立.
2.B　因?yàn)閚為正奇數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明步驟，第二步應(yīng)先假設(shè)第k個(gè)正奇數(shù)也成立，本題即假設(shè)n＝2k－1正確，再推第（k＋1）個(gè)正奇數(shù)即n＝2k＋1正確.
3.B　由題意得，當(dāng)n＝2時(shí)，不等式為1＋＋＜2，故選B.
4.C　由8＞7，16＞9，32＞11，得到23＞2×3＋1，24＞2×4＋1，25＞2×5＋1，即22＋1＞2×（2＋1）＋1＝2×1＋5，22＋2＞2×（2＋2）＋1＝2×2＋5，22＋3＞2×（2＋3）＋1＝2×3＋5，由此可得第四項(xiàng)為64＞13，即22＋4＞2×（2＋4）＋1＝2×4＋5，故有2n＋2＞2n＋5，故選C.
5.C　因?yàn)閒（k）＝k＋（k＋1）＋（k＋2）＋…＋（3k－2），f（k＋1）＝（k＋1）＋（k＋2）＋…＋（3k－2）＋（3k－1）＋3k＋（3k＋1），則f（k＋1）－f（k）＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.
6.CD　第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)n＝2時(shí)不等式成立，所以A不正確；因?yàn)椋ǎ剑╧∈N*），所以從“n＝k到n＝k＋1”左邊需要增加的代數(shù)式是＋＋…＋，所以B不正確；所以從“n＝k到n＝k＋1”左邊需要增加2k－1項(xiàng)，所以C正確；當(dāng)n＝2時(shí)，＝，不等式左邊是，所以D正確.
7.8　解析：據(jù)已知可轉(zhuǎn)化為＞，整理得2n＞128，解得n＞7，故原不等式的初始值為n＝8.
8.k＋1　解析：f（k）＝1＋，f（k＋1）＝1＋，∴f（k＋1）－f（k）＝－＝k＋1，∴f（k＋1）＝f（k）＋（k＋1）.
9.3·7k＋1＋6　解析：假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即（3k＋1）·7k－1能被9整除，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，[3（k＋1）＋1]·7k＋1－1－[（3k＋1）·7k－1]＝（3k＋4）·7k＋1－（3k＋1）·7k＝[（3k＋1）＋3]·7k＋1－（3k＋1）·7k＝（3k＋1）·7k＋1＋3·7k＋1－（3k＋1）·7k＝6·（3k＋1）·7k＋3·7k＋1＝6·[（3k＋1）·7k－1]＋3·7k＋1＋6.由（3k＋1）·7k－1能被9整除可知要證上式能被9整除，還需證明3·7k＋1＋6也能被9整除.
10.證明：當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝f（1）＝1，
右邊＝2×＝1，左邊＝右邊，等式成立.
假設(shè)n＝k（k≥2，k∈N*）時(shí)，等式成立，即f（1）＋f（2）＋…＋f（k－1）＝k[f（k）－1]，
那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
f（1）＋f（2）＋…＋f（k－1）＋f（k）
＝k[f（k）－1]＋f（k）
＝（k＋1）f（k）－k
＝（k＋1）－k
＝（k＋1）f（k＋1）－（k＋1）
＝（k＋1）[f（k＋1）－1]，
∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式仍然成立.
∴f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）＝n[f（n）－1]（n≥2，n∈N*）.
11.D　因?yàn)楫?dāng)n＝k時(shí)，等號(hào)的左端為1＋2＋3＋…＋k2，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等號(hào)的左端為1＋2＋3＋…＋（k＋1）2，所以增加了（k2＋1）＋（k2＋2）＋（k2＋3）＋…＋（k＋1）2.
12.AD　由題意知p（k）對(duì)k＝2，4，6，…，2 002成立，當(dāng)k取其他值時(shí)不能確定p（k）是否成立，故選A、D.
13.f（n＋1）＝f（n）＋2n　解析：依題意得，由n個(gè)圓增加到（n＋1）個(gè)圓，增加了2n個(gè)交點(diǎn)，這2n個(gè)交點(diǎn)將新增的圓分成2n段弧，而每一段弧都將原來(lái)的一塊區(qū)域分成了2塊，故增加了2n塊區(qū)域，因此f（n＋1）＝f（n）＋2n.
14.解：（1）當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝＝，
右邊＝1－＝.因?yàn)椋迹圆坏仁匠闪?
（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥2，k∈N*）時(shí)，不等式成立，
即＋＋＋…＋＜1－，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
＋＋＋…＋＋＜1－＋＝1－＝1－＜1－＝1－，
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立.
綜上所述，對(duì)任意n≥2的正整數(shù)，不等式都成立.
15.解：（1）∵a1＝1，Sn＝n2an，∴S1＝a1＝1；
當(dāng)n＝2時(shí)，S2＝a1＋a2＝4a2，可得a2＝，S2＝1＋＝；當(dāng)n＝3時(shí)，
S3＝a1＋a2＋a3＝9a3，可得a3＝，S3＝1＋＋＝；當(dāng)n＝4時(shí)，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝16a4，可得a4＝，S4＝.
猜想Sn＝.
（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立.
①當(dāng)n＝1時(shí)，猜想顯然成立.
②假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N*）時(shí)，猜想成立，即Sk＝，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，Sk＋1＝（k＋1）2ak＋1＝（k＋－Sk），
∴（k2＋2k）Sk＋1＝（k＋1）2Sk＝（k＋1）2·，
∴Sk＋1＝.
故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想也成立.
由①和②可知，對(duì)于任意的n∈N*都有Sn＝.故猜想成立.
∵Sn＝n2an，∴an＝＝＝.
2 / 24.4　數(shù)學(xué)歸納法*
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中的一些簡(jiǎn)單命題 邏輯推理
五十多年前，清華大學(xué)數(shù)學(xué)系趙訪熊教授（1908—1996）給大學(xué)一年級(jí)學(xué)生講高等數(shù)學(xué)課時(shí)，總要先講講數(shù)學(xué)的基本概念和方法，他對(duì)數(shù)學(xué)歸納法所作的講解極其生動(dòng)，他講了一個(gè)“公雞歸納法”的故事：某主婦養(yǎng)小雞十只，公母各半.她預(yù)備將母雞養(yǎng)大留著生蛋，公雞則養(yǎng)到一百天就陸續(xù)殺以佐餐.每天早晨她拿米喂雞.到第一百天的早晨，其中的一只公雞正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……，第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃.”這時(shí)，主婦來(lái)了，正好把這只公雞抓去殺了.這只公雞在第一百天的早晨不但沒(méi)有吃著米，反而被殺了.雖然它已有九十九天吃米的經(jīng)驗(yàn)，但不能證明第一百天一定有米吃.趙先生把這只公雞的推理戲稱為“公雞歸納法”.
【問(wèn)題】　“公雞歸納法”得到的結(jié)論一定正確嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)　數(shù)學(xué)歸納法
一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，可按如下兩個(gè)步驟進(jìn)行：
（1）證明當(dāng)n＝n0（n0∈N*）時(shí)命題成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥n0，k∈N*）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立.
根據(jù)（1）（2）就可以斷定命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立，上述證明方法叫作數(shù)學(xué)歸納法.
提醒　數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k＋1”的過(guò)程中，要正確分析式子項(xiàng)數(shù)的變化.關(guān)鍵是弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，弄清由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng).
【想一想】
用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，第一步一定要驗(yàn)證n＝1時(shí)成立嗎？
1.判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）
（1）與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法.（　　）
（2）用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí)，要分兩個(gè)步驟，缺一不可.（　　）
（3）推證n＝k＋1時(shí)可以不用n＝k時(shí)的假設(shè).（　　）
2.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n（n－3）條時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證n＝（　　）
A.1　　　B.2　　C.3　　　D.4
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝（a≠1）”.當(dāng)驗(yàn)證n＝1時(shí)，上式左端計(jì)算所得為　　　　.
題型一 對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解
【例1】　（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2n＞（n＋1）2（n∈N*）時(shí)，初始值n0應(yīng)等于（　　）
A.1　　　B.3　　C.5　　　D.6
（2）設(shè)S1＝12，S2＝12＋22＋12，S3＝12＋22＋32＋22＋12，…，Sn＝12＋22＋32＋…＋n2＋…＋22＋12，用數(shù)學(xué)歸納法證明“Sn＝”的過(guò)程中，第二步從k到k＋1應(yīng)添加的項(xiàng)為　　　　.
通性通法
數(shù)學(xué)歸納法的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
（1）驗(yàn)證是基礎(chǔ)：找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)，有些問(wèn)題中驗(yàn)證的初始值不一定是1；
（2）遞推是關(guān)鍵：數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，要正確分析式子中項(xiàng)數(shù)的變化，弄清式子兩邊的構(gòu)成規(guī)律；
（3）利用假設(shè)是核心：在第二步證明n＝k＋1時(shí)，一定要利用歸納假設(shè).
【跟蹤訓(xùn)練】
　對(duì)于不等式＜n＋1（n∈N*），某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程如下：
（1）當(dāng)n＝1時(shí)，＜1＋1，不等式成立.
（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥1且k∈N*）時(shí)，不等式成立，即＜k＋1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＝＜＝＝（k＋1）＋1，
∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立，則上述證法（　　）
A.過(guò)程全部正確
B.n＝1驗(yàn)證不正確
C.歸納假設(shè)不正確
D.從n＝k到n＝k＋1的推理不正確
題型二 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式、不等式
角度1　用數(shù)學(xué)歸納法證明等式
【例2】　（鏈接教科書(shū)第171頁(yè)例2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋（n∈N*）.
通性通法
用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的策略
　　應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)需要確定兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)，即：（1）n＝n0時(shí)，等式的結(jié)構(gòu)；
（2）n＝k到n＝k＋1時(shí)，兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)：n＝k＋1時(shí)的代數(shù)式比n＝k時(shí)的代數(shù)式增加（或減少）的項(xiàng).
這時(shí)一定要弄清三點(diǎn)：
①代數(shù)式從哪一項(xiàng)（哪一個(gè)數(shù)）開(kāi)始，即第一項(xiàng)；
②代數(shù)式相鄰兩項(xiàng)之間的變化規(guī)律；
③代數(shù)式中最后一項(xiàng)（最后一個(gè)數(shù)）與n的關(guān)系.
角度2　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
【例3】　（鏈接教科書(shū)第175頁(yè)習(xí)題4題）求證：＋＋…＋＞（n≥2，n∈N*）.
通性通法
數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的適用范圍及關(guān)鍵
（1）適用范圍：當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，若用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法；
（2）關(guān)鍵：由n＝k時(shí)命題成立證n＝k＋1時(shí)命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來(lái)加以證明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.
【跟蹤訓(xùn)練】
用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n（3n＋1）＝n（n＋1）2（其中n∈N*）.
題型三 歸納——猜想——證明
【例4】　（鏈接教科書(shū)第173頁(yè)例4）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝－nan＋1，n＝1，2，3，….
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜想出{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
通性通法
“歸納——猜想——證明”的一般環(huán)節(jié)
【跟蹤訓(xùn)練】
　試比較2n＋2與n2的大小（n∈N*），并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋（n＋3）＝（n∈N*），驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是（　　）
A.1　　　　　　　　　 B.1＋2
C.1＋2＋3　　 D.1＋2＋3＋4
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1（n∈N*）的過(guò)程如下：
①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立.
②假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N*）時(shí)等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立.由此可知對(duì)于任何n∈N*，等式都成立.上述證明，錯(cuò)誤是　　　　　　.
3.設(shè)f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N*），那么f（n＋1）－f（n）＝　　　　.
4.4　數(shù)學(xué)歸納法*
【基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)】
想一想
　提示：不一定.如：證明多邊形內(nèi)角和為（n－2）×180°時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證n＝3.
自我診斷
1.（1）×　（2）√　（3）×
2.C　邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形，故選C.
3.1＋a＋a2
【典型例題·精研析】
【例1】　（1）D　（2）（k＋1）2＋k2
解析：（1）由題意，得當(dāng)n＝1時(shí)，21＜（1＋1）2；當(dāng)n＝2時(shí)，22＜（2＋1）2；當(dāng)n＝3時(shí)，23＜（3＋1）2；當(dāng)n＝4時(shí)，24＜（4＋1）2；當(dāng)n＝5時(shí)，25＜（5＋1）2；當(dāng)n＝6時(shí)，26＞（6＋1）2，所以用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2n＞（n＋1）2（n∈N*）時(shí)，初始值n0應(yīng)等于6.
（2）當(dāng)n＝k時(shí)，Sk＝12＋22＋…＋k2＋…＋22＋12；當(dāng)n＝k＋1時(shí)，Sk＋1＝12＋22＋…＋k2＋（k＋1）2＋k2＋…＋22＋12，可見(jiàn)，從k到k＋1應(yīng)添加的項(xiàng)是（k＋1）2＋k2.
跟蹤訓(xùn)練
　D　在n＝k＋1時(shí)，沒(méi)有應(yīng)用n＝k時(shí)的歸納假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法.
【例2】　證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1－＝，右邊＝＝.
左邊＝右邊，等式成立.
（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥1）時(shí)等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
＋＝（＋＋…＋）＋
＝＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋.
即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立.
綜合（1）和（2）可知，對(duì)一切正整數(shù)n等式都成立.
【例3】　證明：（1）當(dāng)n＝2時(shí)，
左邊＝＋＋＋＞，不等式成立.
（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥2，k∈N*）時(shí)不等式成立，即＋＋…＋＞，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋（＋＋－）＞＋（＋＋－）＞＋＝，
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立.
由（1）（2）可知，原不等式對(duì)一切n≥2，n∈N*均成立.
跟蹤訓(xùn)練
　證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1×4＝4，右邊＝1×22＝4，左邊＝右邊，等式成立.
（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N*）時(shí)等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＝k（k＋1）2.
那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＋（k＋1）[3（k＋1）＋1]＝k（k＋1）2＋（k＋1）[3（k＋1）＋1]＝（k＋1）（k2＋4k＋4）＝（k＋1）[（k＋1）＋1]2，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立.
根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何n∈N*都成立.
【例4】　解：（1）由a1＝2得a2＝－a1＋1＝3，
a3＝－2a2＋1＝4，a4＝－3a3＋1＝5.
（2）由（1）猜想{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝n＋1（n∈N*），
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2＝1＋1，猜想成立.
②假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N*）時(shí)猜想成立，
即ak＝k＋1，
那么ak＋1＝－kak＋1＝（k＋1）2－k（k＋1）＋1＝k＋2＝（k＋1）＋1，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，猜想也成立，
根據(jù)①②，對(duì)于所有n≥1，有an＝n＋1.
跟蹤訓(xùn)練
　解：當(dāng)n＝1時(shí)，21＋2＝4＞n2＝1，
當(dāng)n＝2時(shí)，22＋2＝6＞n2＝4，
當(dāng)n＝3時(shí)，23＋2＝10＞n2＝9，
當(dāng)n＝4時(shí)，24＋2＝18＞n2＝16，
由此可以猜想，2n＋2＞n2（n∈N*）.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝21＋2＝4，右邊＝1，
所以左邊＞右邊，所以原不等式成立.
當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝22＋2＝6，右邊＝22＝4，
所以左邊＞右邊，所以原不等式成立；
當(dāng)n＝3時(shí)，左邊＝23＋2＝10，右邊＝32＝9，
所以左邊＞右邊，所以原不等式成立.
（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥3，且k∈N*）時(shí)，不等式成立，即2k＋2＞k2.
那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2（2k＋2）－2＞2k2－2.
又因?yàn)?k2－2－（k＋1）2＝k2－2k－3
＝（k－3）（k＋1）≥0，
即2k2－2≥（k＋1）2，故2k＋1＋2＞（k＋1）2成立.
根據(jù)（1）和（2），原不等式對(duì)于任意n∈N*都成立.
隨堂檢測(cè)
1.D　當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＋2＋3＋4.
2.未用歸納假設(shè)　解析：本題在由n＝k成立證明n＝k＋1成立時(shí)，應(yīng)用了等比數(shù)列的求和公式，而未用上歸納假設(shè)，這與數(shù)學(xué)歸納法的要求不符.
3.＋＋　解析：注意末項(xiàng)與首項(xiàng)，所以f（n＋1）－f（n）＝＋＋.
4 / 4(共61張PPT)
4.4　數(shù)學(xué)歸納法*
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中
的一些簡(jiǎn)單命題 邏輯推理
目錄
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識(shí)梳理
　　
五十多年前，清華大學(xué)數(shù)學(xué)系趙訪熊教授（1908～1996）給大學(xué)一年級(jí)學(xué)生講高等數(shù)學(xué)課時(shí)，總要先講講數(shù)學(xué)的基本概念和方法，他對(duì)數(shù)
學(xué)歸納法所作的講解極其生動(dòng)，他講了一個(gè)“公雞歸納法”的故事：
某主婦養(yǎng)小雞十只，公母各半.她預(yù)備將母雞養(yǎng)大留著生蛋，公雞則
養(yǎng)到一百天就陸續(xù)殺以佐餐.每天早晨她拿米喂雞.到第一百天的早
晨，其中的一只公雞正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米
吃，……，第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一
定有米吃.”這時(shí)，主婦來(lái)了，正好把這只公雞抓去殺了.這只公雞在
第一百天的早晨不但沒(méi)有吃著米，反而被殺了.雖然它已有九十九天
吃米的經(jīng)驗(yàn)，但不能證明第一百天一定有米吃.趙先生把這只公雞的
推理戲稱為“公雞歸納法”.
【問(wèn)題】　“公雞歸納法”得到的結(jié)論一定正確嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)　數(shù)學(xué)歸納法
一般地，證明一個(gè)與正整數(shù) n 有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，可按如下兩個(gè)步驟
進(jìn)行：
（1）證明當(dāng) n ＝ n0（ n0∈N*）時(shí)命題成立；
（2）假設(shè)當(dāng) n ＝ k （ k ≥ n0， k ∈N*）時(shí)命題成立，證明當(dāng) n ＝ k ＋1時(shí)
命題也成立.
根據(jù)（1）（2）就可以斷定命題對(duì)于從 n0開(kāi)始的所有正整數(shù) n 都
成立，上述證明方法叫作數(shù)學(xué)歸納法.
提醒　數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“ k ”到“ k ＋1”的
過(guò)程中，要正確分析式子項(xiàng)數(shù)的變化.關(guān)鍵是弄清等式兩邊的構(gòu)
成規(guī)律，弄清由 n ＝ k 到 n ＝ k ＋1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少
項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng).
【想一想】
用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，第一步一定要驗(yàn)證 n ＝1時(shí)成立嗎？
提示：不一定.如：證明多邊形內(nèi)角和為（ n －2）×180°時(shí)，第一步
應(yīng)驗(yàn)證 n ＝3.
1. 判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）
（1）與正整數(shù) n 有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法.
（　×　）
（2）用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí)，要分兩個(gè)步驟，缺一不可.
（　√　）
（3）推證 n ＝ k ＋1時(shí)可以不用 n ＝ k 時(shí)的假設(shè). （　×　）
×
√
×
2. 在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸 n 邊形的對(duì)角線為 n （ n －3）條時(shí)，第
一步應(yīng)驗(yàn)證 n ＝（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：　邊數(shù)最少的凸 n 邊形是三角形，故選C.
3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋ a ＋ a2＋…＋ an＋1＝ （ a ≠1）”.當(dāng)
驗(yàn)證 n ＝1時(shí)，上式左端計(jì)算所得為 .
1＋ a ＋ a2　
典型例題·精研析
02
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
　　
題型一 對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的理解
【例1】　（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2 n ＞（ n ＋1）2（ n ∈N*）
時(shí)，初始值 n0應(yīng)等于（　D　）
A. 1 B. 3
C. 5 D. 6
解析：由題意，得當(dāng) n ＝1時(shí)，21＜（1＋1）2；當(dāng) n ＝2
時(shí)，22＜（2＋1）2；當(dāng) n ＝3時(shí)，23＜（3＋1）2；當(dāng) n ＝4時(shí)，24
＜（4＋1）2；當(dāng) n ＝5時(shí)，25＜（5＋1）2；當(dāng) n ＝6時(shí)，26＞（6
＋1）2，所以用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2 n ＞（ n ＋1）2（ n
∈N*）時(shí)，初始值 n0應(yīng)等于6.
（2）設(shè) S1＝12， S2＝12＋22＋12， S3＝12＋22＋32＋22＋12，…， Sn ＝
12＋22＋32＋…＋ n2＋…＋22＋12，用數(shù)學(xué)歸納法證明“ Sn ＝
”的過(guò)程中，第二步從 k 到 k ＋1應(yīng)添加的項(xiàng)為
.
解析：當(dāng) n ＝ k 時(shí)， Sk ＝12＋22＋…＋ k2＋…＋22＋12；當(dāng) n
＝ k ＋1時(shí)， Sk＋1＝12＋22＋…＋ k2＋（ k ＋1）2＋ k2＋…＋22＋
12，可見(jiàn)，從 k 到 k ＋1應(yīng)添加的項(xiàng)是（ k ＋1）2＋ k2.
（ k ＋
1）2＋ k2　
通性通法
數(shù)學(xué)歸納法的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)
（1）驗(yàn)證是基礎(chǔ)：找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)，有些問(wèn)題中驗(yàn)證的初始值
不一定是1；
（2）遞推是關(guān)鍵：數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，要正確分析式子中
項(xiàng)數(shù)的變化，弄清式子兩邊的構(gòu)成規(guī)律；
（3）利用假設(shè)是核心：在第二步證明 n ＝ k ＋1時(shí)，一定要利用歸納
假設(shè).
【跟蹤訓(xùn)練】
　對(duì)于不等式 ＜ n ＋1（ n ∈N*），某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證
明過(guò)程如下：
（1）當(dāng) n ＝1時(shí)， ＜1＋1，不等式成立.
（2）假設(shè)當(dāng) n ＝ k （ k ≥1且 k ∈N*）時(shí)，不等式成立，即 ＜ k
＋1，則當(dāng) n ＝ k ＋1時(shí)， ＝
＜ ＝ ＝（ k
＋1）＋1，
∴當(dāng) n ＝ k ＋1時(shí)，不等式成立，則上述證法（　　）
A. 過(guò)程全部正確
B. n ＝1驗(yàn)證不正確
C. 歸納假設(shè)不正確
D. 從 n ＝ k 到 n ＝ k ＋1的推理不正確
解析：　在 n ＝ k ＋1時(shí)，沒(méi)有應(yīng)用 n ＝ k 時(shí)的歸納假設(shè)，不是
數(shù)學(xué)歸納法.
題型二 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式、不等式
角度1　用數(shù)學(xué)歸納法證明等式
【例2】　（鏈接教科書(shū)第171頁(yè)例2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1－ ＋ －
＋…＋ － ＝ ＋ ＋…＋ （ n ∈N*）.
證明： （1）當(dāng) n ＝1時(shí)，左邊＝1－ ＝ ，右邊＝ ＝ .
左邊＝右邊，等式成立.
（2）假設(shè)當(dāng) n ＝ k （ k ≥1）時(shí)等式成立，即1－ ＋ － ＋…＋
－ ＝ ＋ ＋…＋ ，
則當(dāng) n ＝ k ＋1時(shí)，
＋
＝ ＋
＝ ＋ ＋…＋ ＋
＝ ＋ ＋…＋ ＋ .
即當(dāng) n ＝ k ＋1時(shí)，等式也成立.
綜合（1）和（2）可知，對(duì)一切正整數(shù) n 等式都成立.
通性通法
用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的策略
　　應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)需要確定兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)，即：
（1） n ＝ n0時(shí)，等式的結(jié)構(gòu)；
（2） n ＝ k 到 n ＝ k ＋1時(shí)，兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)： n ＝ k ＋1時(shí)的代數(shù)式比
n ＝ k 時(shí)的代數(shù)式增加（或減少）的項(xiàng).
這時(shí)一定要弄清三點(diǎn)：
①代數(shù)式從哪一項(xiàng)（哪一個(gè)數(shù)）開(kāi)始，即第一項(xiàng)；
②代數(shù)式相鄰兩項(xiàng)之間的變化規(guī)律；
③代數(shù)式中最后一項(xiàng)（最后一個(gè)數(shù)）與 n 的關(guān)系.
角度2　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
【例3】　（鏈接教科書(shū)第175頁(yè)習(xí)題4題）求證： ＋ ＋…＋
＞ （ n ≥2， n ∈N*）.
證明：（1）當(dāng) n ＝2時(shí)，
左邊＝ ＋ ＋ ＋ ＞ ，不等式成立.
（2）假設(shè)當(dāng) n ＝ k （ k ≥2， k ∈N*）時(shí)不等式成立，即 ＋ ＋…
＋ ＞ ，則當(dāng) n ＝ k ＋1時(shí)，
＋ ＋…＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋
＋…＋ ＋（ ＋ ＋ － ）＞ ＋（ ＋ ＋
－ ）＞ ＋ ＝ ，
所以當(dāng) n ＝ k ＋1時(shí)不等式也成立.
由（1）（2）可知，原不等式對(duì)一切 n ≥2， n ∈N*均成立.
通性通法
數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的適用范圍及關(guān)鍵
（1）適用范圍：當(dāng)遇到與正整數(shù) n 有關(guān)的不等式證明時(shí)，若用其他辦
法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法；
（2）關(guān)鍵：由 n ＝ k 時(shí)命題成立證 n ＝ k ＋1時(shí)命題也成立，在歸納假
設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來(lái)加以證
明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問(wèn)題
得以簡(jiǎn)化.
【跟蹤訓(xùn)練】
用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋ n （3 n ＋1）＝ n （ n
＋1）2（其中 n ∈N*）.
證明：（1）當(dāng) n ＝1時(shí)，左邊＝1×4＝4，右邊＝1×22＝4，左邊＝右
邊，等式成立.
（2）假設(shè)當(dāng) n ＝ k （ k ∈N*）時(shí)等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…
＋ k （3 k ＋1）＝ k （ k ＋1）2.
那么，當(dāng) n ＝ k ＋1時(shí)，1×4＋2×7＋3×10＋…＋ k （3 k ＋1）＋（ k
＋1）[3（ k ＋1）＋1]＝ k （ k ＋1）2＋（ k ＋1）[3（ k ＋1）＋1]＝
（ k ＋1）（ k2＋4 k ＋4）＝（ k ＋1）[（ k ＋1）＋1]2，即當(dāng) n ＝ k ＋1
時(shí)等式也成立.
根據(jù)（1）和（2），可知等式對(duì)任何 n ∈N*都成立.
題型三 歸納——猜想——證明
【例4】　（鏈接教科書(shū)第173頁(yè)例4）設(shè)數(shù)列{ an }滿足 a1＝2， an＋1＝
－ nan ＋1， n ＝1，2，3，….
（1）求 a2， a3， a4；
解：由 a1＝2得 a2＝ － a1＋1＝3，
a3＝ －2 a2＋1＝4， a4＝ －3 a3＋1＝5.
（2）猜想出{ an }的一個(gè)通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
解：由（1）猜想{ an }的一個(gè)通項(xiàng)公式為 an ＝ n ＋1（ n ∈N*），
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng) n ＝1時(shí)， a1＝2＝1＋1，猜想成立.
②假設(shè)當(dāng) n ＝ k （ k ∈N*）時(shí)猜想成立，
即 ak ＝ k ＋1，
那么 ak＋1＝ － kak ＋1＝（ k ＋1）2－ k （ k ＋1）＋1＝ k ＋2＝
（ k ＋1）＋1，即當(dāng) n ＝ k ＋1時(shí)，猜想也成立，
根據(jù)①②，對(duì)于所有 n ≥1，有 an ＝ n ＋1.
通性通法
“歸納——猜想——證明”的一般環(huán)節(jié)
【跟蹤訓(xùn)練】
　試比較2 n ＋2與 n2的大小（ n ∈N*），并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的
結(jié)論.
解：當(dāng) n ＝1時(shí)，21＋2＝4＞ n2＝1，
當(dāng) n ＝2時(shí)，22＋2＝6＞ n2＝4，
當(dāng) n ＝3時(shí)，23＋2＝10＞ n2＝9，
當(dāng) n ＝4時(shí)，24＋2＝18＞ n2＝16，
由此可以猜想，2 n ＋2＞ n2（ n ∈N*）.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng) n ＝1時(shí)，左邊＝21＋2＝4，右邊＝1，
所以左邊＞右邊，所以原不等式成立.
當(dāng) n ＝2時(shí)，左邊＝22＋2＝6，右邊＝22＝4，
所以左邊＞右邊，所以原不等式成立；
當(dāng) n ＝3時(shí)，左邊＝23＋2＝10，右邊＝32＝9，
所以左邊＞右邊，所以原不等式成立.
（2）假設(shè)當(dāng) n ＝ k （ k ≥3，且 k ∈N*）時(shí)，不等式成立，即2 k ＋2＞
k2.
那么當(dāng) n ＝ k ＋1時(shí)，2 k＋1＋2＝2·2 k ＋2＝2（2 k ＋2）－2＞2 k2－2.
又因?yàn)? k2－2－（ k ＋1）2＝ k2－2 k －3
＝（ k －3）（ k ＋1）≥0，
即2 k2－2≥（ k ＋1）2，故2 k＋1＋2＞（ k ＋1）2成立.
根據(jù)（1）和（2），原不等式對(duì)于任意 n ∈N*都成立.
1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋（ n ＋3）＝ （ n
∈N*），驗(yàn)證 n ＝1時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是（　　）
A. 1 B. 1＋2
C. 1＋2＋3 D. 1＋2＋3＋4
解析：　當(dāng) n ＝1時(shí)，左邊＝1＋2＋3＋4.
2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋22＋…＋2 n－1＝2 n －1（ n ∈N*）的過(guò)
程如下：
①當(dāng) n ＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立.
②假設(shè)當(dāng) n ＝ k （ k ∈N*）時(shí)等式成立，即1＋2＋22＋…＋2 k－1＝2 k
－1，則當(dāng) n ＝ k ＋1時(shí)，1＋2＋22＋…＋2 k－1＋2 k ＝ ＝2 k＋1－
1，所以當(dāng) n ＝ k ＋1時(shí)等式也成立.由此可知對(duì)于任何 n ∈N*，等式
都成立.上述證明，錯(cuò)誤是 .
解析：本題在由 n ＝ k 成立證明 n ＝ k ＋1成立時(shí)，應(yīng)用了等比數(shù)列
的求和公式，而未用上歸納假設(shè)，這與數(shù)學(xué)歸納法的要求不符.
未用歸納假設(shè)　
3. 設(shè) f （ n ）＝1＋ ＋ ＋…＋ （ n ∈N*），那么 f （ n ＋1）－ f
（ n ）＝ .
解析：注意末項(xiàng)與首項(xiàng)，所以 f （ n ＋1）－ f （ n ）＝ ＋ ＋
.
＋ ＋ 　
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 一個(gè)關(guān)于自然數(shù) n 的命題，如果證得當(dāng) n ＝1時(shí)命題成立，并在假設(shè)
當(dāng) n ＝ k （ k ∈N*）時(shí)命題成立的基礎(chǔ)上，證明了當(dāng) n ＝ k ＋2時(shí)命題
成立，那么綜合上述，對(duì)于（　　）
A. 一切正整數(shù)命題成立 B. 一切正奇數(shù)命題成立
C. 一切正偶數(shù)命題成立 D. 以上都不對(duì)
解析：　本題證明了當(dāng) n ＝1，3，5，7，…時(shí)，命題成立，即命
題對(duì)一切正奇數(shù)成立.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng) n 為正奇數(shù)時(shí)， xn ＋ yn 能被 x ＋ y 整除”的
第二步是（　　）
A. 假設(shè) n ＝2 k ＋1時(shí)正確，再推 n ＝2 k ＋3時(shí)正確
B. 假設(shè) n ＝2 k －1時(shí)正確，再推 n ＝2 k ＋1時(shí)正確
C. 假設(shè) n ＝ k 時(shí)正確，再推 n ＝ k ＋1時(shí)正確
D. 假設(shè) n ＝ k （ k ≥1），再推 n ＝ k ＋2時(shí)正確（以上 k ∈N*）
解析：　因?yàn)?n 為正奇數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明步驟，第二步應(yīng)
先假設(shè)第 k 個(gè)正奇數(shù)也成立，本題即假設(shè) n ＝2 k －1正確，再推第
（ k ＋1）個(gè)正奇數(shù)即 n ＝2 k ＋1正確.
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3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋ ＋ ＋…＋ ＜ n （ n ∈N*， n ＞1）時(shí)，
第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式（　　）
解析：　由題意得，當(dāng) n ＝2時(shí)，不等式為1＋ ＋ ＜2，故選B.
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4. 已知8＞7，16＞9，32＞11，…，則有（　　）
A. 2 n ＞2 n ＋1 B. 2 n＋1＞2 n ＋1
C. 2 n＋2＞2 n ＋5 D. 2 n＋3＞2 n ＋7
解析：　由8＞7，16＞9，32＞11，得到23＞2×3＋1，24＞2×4
＋1，25＞2×5＋1，即22＋1＞2×（2＋1）＋1＝2×1＋5，22＋2＞
2×（2＋2）＋1＝2×2＋5，22＋3＞2×（2＋3）＋1＝2×3＋5，由
此可得第四項(xiàng)為64＞13，即22＋4＞2×（2＋4）＋1＝2×4＋5，故
有2 n＋2＞2 n ＋5，故選C.
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5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明 n ＋（ n ＋1）＋（ n ＋2）＋…＋（3 n －2）＝
（2 n －1）2（ n ∈N*）時(shí)，若記 f （ n ）＝ n ＋（ n ＋1）＋（ n ＋
2）＋…＋（3 n －2），則 f （ k ＋1）－ f （ k ）＝（　　）
A. 3 k －1 B. 3 k ＋1
C. 8 k D. 9 k
解析：　因?yàn)?f （ k ）＝ k ＋（ k ＋1）＋（ k ＋2）＋…＋（3 k －
2）， f （ k ＋1）＝（ k ＋1）＋（ k ＋2）＋…＋（3 k －2）＋（3 k
－1）＋3 k ＋（3 k ＋1），則 f （ k ＋1）－ f （ k ）＝3 k －1＋3 k ＋3
k ＋1－ k ＝8 k .
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6. （多選）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 ＋ ＋ ＋…＋ ＞ －1（ n
∈N*， n ≥2）時(shí)，以下說(shuō)法正確的是（　　）
A. 第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng) n ＝1時(shí)不等式成立
C. 從“ n ＝ k （ k ∈N*， k ≥2）到 n ＝ k ＋1”左邊需要增加2 k－1項(xiàng)
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解析：第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng) n ＝2時(shí)不等式成立，所以A不正
確；因?yàn)? ＋ ＋ ＋…＋ －（ ＋ ＋ ＋…＋ ）＝ ＋
＋…＋ （ k ∈N*），所以從“ n ＝ k 到 n ＝ k ＋1”左邊需要
增加的代數(shù)式是 ＋ ＋…＋ ，所以B不正確；所以從
“ n ＝ k 到 n ＝ k ＋1”左邊需要增加2 k－1項(xiàng)，所以C正確；當(dāng) n ＝2
時(shí)， ＝ ，不等式左邊是 ，所以D正確.
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7. 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋ ＋ ＋…＋ ＞ （ n ∈N*）成
立，其初始值至少應(yīng)取 .
解析：據(jù)已知可轉(zhuǎn)化為 ＞ ，整理得2 n ＞128，解得 n
＞7，故原不等式的初始值為 n ＝8.
8　
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8. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：“兩兩相交且不共點(diǎn)的 n 條直線把平面分為 f
（ n ）部分，則 f （ n ）＝1＋ .”證明第二步歸納遞推
時(shí)，用到 f （ k ＋1）＝ f （ k ）＋ .
解析： f （ k ）＝1＋ ， f （ k ＋1）＝1＋ ，∴ f
（ k ＋1）－ f （ k ）＝ － ＝ k ＋
1，∴ f （ k ＋1）＝ f （ k ）＋（ k ＋1）.
k ＋1　
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9. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“（3 n ＋1）·7 n －1（ n ∈N*）能被9整除”，在
假設(shè) n ＝ k 時(shí)命題成立之后，需證明 n ＝ k ＋1時(shí)命題也成立，這時(shí)
除了用歸納假設(shè)外，還需證明的是余項(xiàng) 能被9整除.
3·7 k＋1＋6　
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解析：假設(shè) n ＝ k 時(shí)命題成立，即（3 k ＋1）·7 k －1能被9整除，那
么當(dāng) n ＝ k ＋1時(shí)，[3（ k ＋1）＋1]·7 k＋1－1－[（3 k ＋1）·7 k －1]
＝（3 k ＋4）·7 k＋1－（3 k ＋1）·7 k ＝[（3 k ＋1）＋3]·7 k＋1－（3 k
＋1）·7 k ＝（3 k ＋1）·7 k＋1＋3·7 k＋1－（3 k ＋1）·7 k ＝6·（3 k ＋
1）·7 k ＋3·7 k＋1＝6·[（3 k ＋1）·7 k －1]＋3·7 k＋1＋6.由（3 k ＋1）·7 k
－1能被9整除可知要證上式能被9整除，還需證明3·7 k＋1＋6也能被9
整除.
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10. 設(shè) f （ n ）＝1＋ ＋ ＋…＋ （ n ∈N*）.求證： f （1）＋ f （2）
＋…＋ f （ n －1）＝ n [ f （ n ）－1]（ n ≥2， n ∈N*）.
證明：當(dāng) n ＝2時(shí)，左邊＝ f （1）＝1，
右邊＝2× ＝1，左邊＝右邊，等式成立.
假設(shè) n ＝ k （ k ≥2， k ∈N*）時(shí)，等式成立，即
f （1）＋ f （2）＋…＋ f （ k －1）＝ k [ f （ k ）－1]，
那么，當(dāng) n ＝ k ＋1時(shí)，
f （1）＋ f （2）＋…＋ f （ k －1）＋ f （ k ）
＝ k [ f （ k ）－1]＋ f （ k ）
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＝（ k ＋1） f （ k ）－ k
＝（ k ＋1） － k
＝（ k ＋1） f （ k ＋1）－（ k ＋1）
＝（ k ＋1）[ f （ k ＋1）－1]，
∴當(dāng) n ＝ k ＋1時(shí)等式仍然成立.
∴ f （1）＋ f （2）＋…＋ f （ n －1）＝ n [ f （ n ）－1]（ n ≥2， n
∈N*）.
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11. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋ n2＝ ，則當(dāng) n ＝ k ＋1時(shí)左
端應(yīng)在 n ＝ k 的基礎(chǔ)上加上（　　）
A. （ k ＋1）2
B. k2＋1
D. （ k2＋1）＋（ k2＋2）＋（ k2＋3）＋…＋（ k ＋1）2
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解析：　因?yàn)楫?dāng) n ＝ k 時(shí)，等號(hào)的左端為1＋2＋3＋…＋ k2，當(dāng) n
＝ k ＋1時(shí)，等號(hào)的左端為1＋2＋3＋…＋（ k ＋1）2，所以增加了
（ k2＋1）＋（ k2＋2）＋（ k2＋3）＋…＋（ k ＋1）2.
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12. （多選）已知一個(gè)命題 p （ k ）， k ＝2 n （ n ∈N*），若當(dāng) n ＝1，
2，…，1 000時(shí)， p （ k ）成立，且當(dāng) n ＝1 001時(shí)也成立，則下列
判斷中正確的是（　　）
A. p （ k ）對(duì) k ＝528成立
B. p （ k ）對(duì)每一個(gè)自然數(shù) k 都成立
C. p （ k ）對(duì)每一個(gè)正偶數(shù) k 都成立
D. p （ k ）對(duì)某些偶數(shù)可能不成立
解析：　由題意知 p （ k ）對(duì) k ＝2，4，6，…，2 002成立，當(dāng)
k 取其他值時(shí)不能確定 p （ k ）是否成立，故選A、D.
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13. 平面內(nèi)有 n 個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都無(wú)
公共點(diǎn)，用 f （ n ）表示這 n 個(gè)圓把平面分割的區(qū)域數(shù)，那么 f （ n
＋1）與 f （ n ）之間的關(guān)系為 .
解析：依題意得，由 n 個(gè)圓增加到（ n ＋1）個(gè)圓，增加了2 n 個(gè)交
點(diǎn)，這2 n 個(gè)交點(diǎn)將新增的圓分成2 n 段弧，而每一段弧都將原來(lái)的
一塊區(qū)域分成了2塊，故增加了2 n 塊區(qū)域，因此 f （ n ＋1）＝ f
（ n ）＋2 n .
f （ n ＋1）＝ f （ n ）＋2 n 　
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14. 用數(shù)學(xué)歸納法證明： ＋ ＋ ＋…＋ ＜1－ （ n ≥2， n
∈N*）.
解：（1）當(dāng) n ＝2時(shí)，左邊＝ ＝ ，
右邊＝1－ ＝ .因?yàn)? ＜ ，所以不等式成立.
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（2）假設(shè)當(dāng) n ＝ k （ k ≥2， k ∈N*）時(shí)，不等式成立，
即 ＋ ＋ ＋…＋ ＜1－ ，
則當(dāng) n ＝ k ＋1時(shí)，
＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＜1－ ＋ ＝1－
＝1－ ＜1－ ＝1－ ，
所以當(dāng) n ＝ k ＋1時(shí)，不等式也成立.
綜上所述，對(duì)任意 n ≥2的正整數(shù)，不等式都成立.
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15. 已知數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，且 a1＝1， Sn ＝ n2 an （ n ∈N*）.
（1）寫(xiě)出 S1， S2， S3， S4，并猜想 Sn 的表達(dá)式；
解：∵ a1＝1， Sn ＝ n2 an ，∴ S1＝ a1＝1；
當(dāng) n ＝2時(shí)， S2＝ a1＋ a2＝4 a2，可得 a2＝ ， S2＝1＋ ＝ ；
當(dāng) n ＝3時(shí)， S3＝ a1＋ a2＋ a3＝9 a3，可得 a3＝ ， S3＝1＋
＋ ＝ ；當(dāng) n ＝4時(shí)， S4＝ a1＋ a2＋ a3＋ a4＝16 a4，可得 a4
＝ ， S4＝ .猜想 Sn ＝ .
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（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想，并求出 an 的表達(dá)式.
解：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立.
①當(dāng) n ＝1時(shí)，猜想顯然成立.
②假設(shè)當(dāng) n ＝ k （ k ∈N*）時(shí)，猜想成立，即 Sk ＝ ，
則當(dāng) n ＝ k ＋1時(shí)， Sk＋1＝（ k ＋1）2 ak＋1＝（ k ＋ － Sk ），
∴（ k2＋2 k ） Sk＋1＝（ k ＋1）2 Sk ＝（ k ＋1）2· ，
∴ Sk＋1＝ .
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故當(dāng) n ＝ k ＋1時(shí)，猜想也成立.
由①和②可知，對(duì)于任意的 n ∈N*都有 Sn ＝ .故猜想成立.
∵ Sn ＝ n2 an ，∴ an ＝ ＝ ＝ .
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