資源簡(jiǎn)介

5.1.1　平均變化率
1.已知函數(shù)f（x）＝x2＋1，則當(dāng)x由2變到2.1時(shí)，函數(shù)值的改變量為（　　）
A.0.40　　B.0.41　　C.0.43　　D.0.44
2.如圖，函數(shù)y＝f（x）在[1，3]上的平均變化率為（　　）
A.1　　B.－1　　C.2　　D.－2
3.（2024·蘇州月考）函數(shù)f（x）＝x2＋2c（c∈R）在區(qū)間[1，3]上的平均變化率為（　　）
A.2　　B.4　　C.2c　　D.4c
4.正方體的棱長(zhǎng)從1增加到2時(shí)，正方體體積的平均膨脹率為（　　）
A.8　　B.7　　C.　　D.1
5.對(duì)于以下四個(gè)函數(shù)，在區(qū)間[1，1.3]上函數(shù)的平均變化率最大的是（　　）
A.y＝x　　B.y＝x2
C.y＝x3　　D.y＝
6.函數(shù)f（x）＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的平均變化率是2，則t＝　　　　，f（x）在[t，6]上的平均變化率為　　　　.
7.（2024·南通月考）汽車行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖象如圖，在時(shí)間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為，，，則三者的大小關(guān)系為　　　　（用“＜”連接）.
8.某人服藥后，吸收藥物的情況可以用血液中藥物的質(zhì)量濃度c（單位：mg/mL）來表示，它是關(guān)于時(shí)間t（單位：min）的函數(shù)，表示為c＝c（t），下表給出了c（t）的一些函數(shù)值：
t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
c（t） 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63
則此人服藥后30 min到70 min血液中藥物的質(zhì)量濃度的平均變化率為　 　　 mg/（mL·min）.
9.已知正弦函數(shù)y＝sin x在區(qū)間和上的平均變化率分別為k1，k2，則k1，k2的大小關(guān)系為　　　　.
10.為了檢測(cè)甲、乙兩輛車的剎車性能，分別對(duì)兩輛車進(jìn)行了測(cè)試，甲車從25 m/s到0 m/s花了5 s，乙車從18 m/s到0 m/s花了4 s，則　　　　車的剎車性能好.
11.（2024·揚(yáng)州月考）A，B兩機(jī)關(guān)開展節(jié)能活動(dòng)，活動(dòng)開始后兩機(jī)關(guān)的用電量W1（t），W2（t）與時(shí)間t（天）的關(guān)系如圖所示，則一定有（　　）
A.兩機(jī)關(guān)節(jié)能效果一樣好
B.A機(jī)關(guān)比B機(jī)關(guān)節(jié)能效果好
C.A機(jī)關(guān)的用電量在[0，t0]上的平均變化率比B機(jī)關(guān)的用電量在[0，t0]上的平均變化率大
D.A機(jī)關(guān)與B機(jī)關(guān)自節(jié)能以來用電量總是一樣大
12.某公司的盈利y（元）與時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系是y＝f（x），假設(shè)＞0（x1＞x0≥0）恒成立，且＝10，＝1，則說明后10天與前10天比（　　）
A.公司虧損且虧損幅度變大
B.公司的盈利增加，增加的幅度變大
C.公司虧損且虧損幅度變小
D.公司的盈利增加，增加的幅度變小
13.圓柱形容器，其底面直徑為2 m，高度為1 m，盛滿液體后以0.01 m3/s的速率放出，則液面高度的平均變化率為　　　　m/s.
5.1.1　平均變化率
1.B　Δy＝f（2.1）－f（2）＝2.12＋1－（22＋1）＝4.41－4＝0.41，故選B.
2.B　＝＝＝－1.
3.B　∵f（x）＝x2＋2c，∴該函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的平均變化率為＝＝＝4.
4.B　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則V＝a3，則正方體的棱長(zhǎng)從1增加到2時(shí)，正方體體積的平均膨脹率為＝＝7，故選B.
5.C　A中，函數(shù)y＝x，則Δy＝f（1.3）－f（1）＝0.3；B中，函數(shù)y＝x2，則Δy＝f（1.3）－f（1）＝0.69；C中，函數(shù)y＝x3，則Δy＝f（1.3）－f（1）＝1.197；D中，函數(shù)y＝，則Δy＝f（1.3）－f（1）≈－0.23.所以平均變化率最大的是C.
6.5　10　解析：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的平均變化率是2，所以＝＝2，即t2－t－6＝2t＋4，從而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2（舍去）.所以f（x）在[t，6]上的平均變化率為＝＝＝10.
7.＜＜　解析：由平均變化率的幾何意義知：＝kOA，＝kAB，＝kBC，由圖象知：kOA＜kAB＜kBC，即＜＜.
8.－0.002　解析：易得此人服藥后30 min到70 min血液中藥物的質(zhì)量濃度的平均變化率為＝＝－0.002（mg/（mL·min））.
9.k1＞k2　解析：函數(shù)y＝sin x在上的平均變化率為k1＝＝＝.函數(shù)y＝sin x在上的平均變化率k2＝＝＝，∵＞，∴k1＞k2.
10.甲　解析：甲車速度的平均變化率為＝－5（m/s2）.乙車速度的平均變化率為＝－4.5（m/s2），平均變化率為負(fù)值說明速度在減少，因?yàn)閯x車后，甲車的速度變化相對(duì)較快，所以甲車的剎車性能較好.
11.B　由題圖可知，A，B兩機(jī)關(guān)用電量在[0，t0]上的平均變化率都小于0，由平均變化率的幾何意義知，在[0，t0]上A機(jī)關(guān)用電量的平均變化率小于B機(jī)關(guān)用電量的平均變化率，從而A機(jī)關(guān)比B機(jī)關(guān)節(jié)能效果好.
12.D　由＞0（x1＞x0≥0）恒成立，可知y＝f（x）單調(diào)遞增，即盈利增加，又平均變化率＝10＞＝1，說明盈利增加的幅度變小.
13.－　解析：設(shè)放出液體t秒后的液面高度為y m，則π·12·y＝π·12×1－0.01t，∴y＝1－t，則液面高度的平均變化率為＝＝－（m/s），故液面高度的平均變化率為－ m/s.
2 / 25.1.1　平均變化率
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.通過實(shí)例分析，了解平均變化率的實(shí)際意義 數(shù)學(xué)抽象
2.體會(huì)平均變化率在實(shí)際生活中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)運(yùn)算
　　下面是我國(guó)北方某地某日氣溫日變化曲線圖.
【問題】　（1）從圖中可以看出，從6時(shí)到10時(shí)為“氣溫陡增”的時(shí)段，它的數(shù)學(xué)意義是什么？
（2）如何比較不同時(shí)間段內(nèi)的氣溫變化的大小？例如：假設(shè)6時(shí)的氣溫是25 ℃，10時(shí)的氣溫是29 ℃，12時(shí)的氣溫是30 ℃，那么如何比較從6時(shí)到10時(shí)與從10時(shí)到12時(shí)氣溫變化的大小？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)　函數(shù)的平均變化率
1.函數(shù)f（x）在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率為　　　　　.
2.平均變化率是曲線陡峭程度的“　　　　”，或者說，曲線陡峭程度是平均變化率的“　 　　”.
提醒　對(duì)平均變化率的再理解：①函數(shù)在區(qū)間[x1，x2]上有意義；②實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的改變量Δy與自變量的改變量Δx之比.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）
（1）平均變化率只能是正數(shù).（　　）
（2）在平均變化率的定義中，自變量x在x0處的變化量Δx可取任意實(shí)數(shù).（　　）
（3）利用平均變化率可以刻畫變量平均變化的趨勢(shì)和快慢程度，效果是“粗糙不精確的”.（　　）
（4）平均變化率的絕對(duì)值越大，曲線y＝f（x）在相應(yīng)區(qū)間上越“陡峭”，反之亦然.（　　）
2.（2024·無錫月考）已知函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖所示.設(shè)函數(shù)y＝f（x）從－1到1的平均變化率為v1，從1到2的平均變化率為v2，則v1與v2的大小關(guān)系為（　　）
A.v1＞v2　　 B.v1＝v2
C.v1＜v2　　 D.不能確定
3.函數(shù)f（x）＝x－1－1在區(qū)間[2，3]上的平均變化率為　　　　.
題型一 平均變化率的概念
【例1】　（多選）某物體的位移公式為s＝s（t），從t0到t0＋Δt這段時(shí)間內(nèi)，下列理解正確的有（　　）
A.（t0＋Δt）－t0為自變量的改變量
B.t0為函數(shù)值的改變量
C.Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）為函數(shù)值的改變量
D.為s（t）在區(qū)間[t0，Δt＋t0]上的平均變化率
通性通法
平均變化率概念的理解
（1）要注意Δx，Δy的值可正、可負(fù)，但Δx≠0，Δy可為零，若函數(shù)f（x）為常數(shù)函數(shù)，則Δy＝0；
（2）求點(diǎn)x0附近的平均變化率可用表示；
（3）平均變化率一定是相對(duì)某一區(qū)間而言的，一般地，區(qū)間不同，平均變化率也不同.
【跟蹤訓(xùn)練】
當(dāng)函數(shù)y＝f（x）的自變量x從x1變化到x2時(shí)，函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù)（　　）
A.在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率
B.在x1處的變化率
C.在x2處的變化率
D.在區(qū)間[x1，x2]上的變化量
題型二 由函數(shù)的圖象研究平均變化率
【例2】　（鏈接教科書第188頁(yè)例1）某病人吃完退燒藥后他的體溫變化如圖所示：
（1）試分別求當(dāng)x從0 min變化到20 min及x從20 min變化到30 min時(shí)體溫y相對(duì)于時(shí)間x的平均變化率；
（2）利用（1）的結(jié)果說明哪段時(shí)間體溫變化較快？
通性通法
由函數(shù)圖象求函數(shù)平均變化率的步驟
第一步：求自變量的增量Δx＝x2－x1；
第二步：借助圖象求函數(shù)值的增量Δy＝y(tǒng)2－y1；
第三步：求平均變化率＝.
【跟蹤訓(xùn)練】
地高辛是用來治療心臟病的一種藥物，若某病人血液中地高辛的初始劑量為0.5 mg，且x天后血液中剩余的劑量為y mg，y與x的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：
x 0 1 2 3 4 5
y 0.5 0.345 0.238 0.164 0.113 0.078
將y看成x的函數(shù)，分別求函數(shù)在[0，2]和[3，5]上的平均變化率.
題型三 由函數(shù)解析式求平均變化率
【例3】　（鏈接教科書第189頁(yè)例3、例4）已知函數(shù)f（x）＝3x2＋5，求f（x）：
（1）在區(qū)間[0.1，0.2]上的平均變化率；
（2）在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率.
通性通法
求函數(shù)平均變化率的三個(gè)步驟
第一步，求自變量的增量Δx＝x2－x1；
第二步，求函數(shù)值的增量Δy＝f（x2）－f（x1）；
第三步，求平均變化率＝.
【跟蹤訓(xùn)練】
已知函數(shù)f（x）＝x＋，分別計(jì)算f（x）在自變量x從1變到2和從3變到5時(shí)的平均變化率，并判斷在哪個(gè)區(qū)間上函數(shù)值變化得較快.
1.某物體的運(yùn)動(dòng)方程為s（t）＝1－t2，則該物體在[1，2]內(nèi)的平均速度為（　　）
A.2　　　B.3　　　C.－2　　　D.－3
2.函數(shù)f（x）＝5x－3在區(qū)間[a，b]上的平均變化率為（　　）
A.3　　B.4　　C.5　　D.6
3.（2024·常州月考）如圖是某變量變化的折線圖，則該變量在區(qū)間[0，2]上的平均變化率為　　　　.
5.1.1　平均變化率
【基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)
1.　2.數(shù)量化　視覺化
自我診斷
1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）√
2.C　記v1＝＝tan α1，v2＝＝tan α2，由圖易知α1＜α2，所以v1＜v2.故選C.
3.－　解析：函數(shù)f（x）＝x－1－1在區(qū)間[2，3]上的平均變化率為＝－.
【典型例題·精研析】
【例1】　ACD　由自變量的改變量、函數(shù)值的改變量、平均變化率的概念易得A、C、D正確.
跟蹤訓(xùn)練
　A　由平均變化率的定義知：當(dāng)函數(shù)y＝f（x）的自變量x從x1變化到x2時(shí)，函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率，故選A.
【例2】　解：（1）當(dāng)時(shí)間x從0 min變到20 min時(shí)，體溫y相對(duì)于時(shí)間x的平均變化率為＝－0.025（℃/min）.
當(dāng)時(shí)間x從20 min變到30 min時(shí)體溫y相對(duì)于時(shí)間x的平均變化率為＝－0.05（℃/min）.
（2）由（1）知｜－0.05｜＞｜－0.025｜，故體溫從20 min到30 min這段時(shí)間下降得比0 min到20 min這段時(shí)間要快.
跟蹤訓(xùn)練
　解：函數(shù)在[0，2]上的平均變化率為＝－0.131，
函數(shù)在[3，5]上的平均變化率為＝－0.043.
【例3】　解：（1）因?yàn)閒（x）＝3x2＋5，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[0.1，0.2]上的平均變化率為＝＝0.9.
（2）f（x0＋Δx）－f（x0）
＝3（x0＋Δx）2＋5－（3＋5）
＝3＋6x0Δx＋3（Δx）2＋5－3－5
＝6x0Δx＋3（Δx）2.
函數(shù)f（x）在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率為＝6x0＋3Δx.
跟蹤訓(xùn)練
　解：自變量x從1變到2時(shí)，函數(shù)f（x）的平均變化率為＝＝；
自變量x從3變到5時(shí)，函數(shù)f（x）的平均變化率為＝＝.
因?yàn)椋迹?br/>所以函數(shù)f（x）＝x＋在自變量x從3變到5時(shí)函數(shù)值變化得較快.
隨堂檢測(cè)
1.D　＝＝－3.
2.C　平均變化率為＝＝5.
3.　解析：由折線圖可知當(dāng)x＝0時(shí)y＝1.5，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝3，所以在[0，2]上的平均變化率為＝.
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5.1.1　平均變化率
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.通過實(shí)例分析，了解平均變化率的實(shí)際意義 數(shù)學(xué)抽象
2.體會(huì)平均變化率在實(shí)際生活中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)運(yùn)算
目錄
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識(shí)梳理
　　下面是我國(guó)北方某地某日氣溫日變化曲線圖.
（2）如何比較不同時(shí)間段內(nèi)的氣溫變化的大小？例如：假設(shè)6時(shí)的氣
溫是25 ℃，10時(shí)的氣溫是29 ℃，12時(shí)的氣溫是30 ℃，那么如何
比較從6時(shí)到10時(shí)與從10時(shí)到12時(shí)氣溫變化的大小？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【問題】　（1）從圖中可以看出，從6時(shí)到10時(shí)為“氣溫陡增”的時(shí)
段，它的數(shù)學(xué)意義是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)　函數(shù)的平均變化率

2. 平均變化率是曲線陡峭程度的“ ”，或者說，曲線陡峭
程度是平均變化率的“ ”.
提醒　對(duì)平均變化率的再理解：①函數(shù)在區(qū)間[ x1， x2]上有意義；
②實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的改變量Δ y 與自變量的改變量Δ x 之比.
　
數(shù)量化　
視覺化　
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）
（1）平均變化率只能是正數(shù). （　×　）
（2）在平均變化率的定義中，自變量 x 在 x0處的變化量Δ x 可取任
意實(shí)數(shù). （　×　）
（3）利用平均變化率可以刻畫變量平均變化的趨勢(shì)和快慢程度，
效果是“粗糙不精確的”. （　√　）
（4）平均變化率的絕對(duì)值越大，曲線 y ＝ f （ x ）在相應(yīng)區(qū)間上越
“陡峭”，反之亦然. （　√　）
×
×
√
√
2. （2024·無錫月考）已知函數(shù) y ＝ f （ x ）的圖象如圖所示.設(shè)函數(shù) y
＝ f （ x ）從－1到1的平均變化率為 v1，從1到2的平均變化率為 v2，
則 v1與 v2的大小關(guān)系為（　　）
A. v1＞ v2 B. v1＝ v2
C. v1＜ v2 D. 不能確定
解析：　記 v1＝ ＝tan α1， v2＝ ＝tan α2，由圖易知α1＜
α2，所以 v1＜ v2.故選C.
3. 函數(shù) f （ x ）＝ x－1－1在區(qū)間[2，3]上的平均變化率為 .
解析：函數(shù) f （ x ）＝ x－1－1在區(qū)間[2，3]上的平均變化率為
＝－ .
－ 　
典型例題·精研析
02
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 平均變化率的概念
【例1】　（多選）某物體的位移公式為 s ＝ s （ t ），從 t0到 t0＋Δ t 這
段時(shí)間內(nèi)，下列理解正確的有（　　）
A. （ t0＋Δ t ）－ t0為自變量的改變量
B. t0為函數(shù)值的改變量
C. Δ s ＝ s （ t0＋Δ t ）－ s （ t0）為函數(shù)值的改變量
解析：　由自變量的改變量、函數(shù)值的改變量、平均變化率的概
念易得A、C、D正確.
通性通法
平均變化率概念的理解
（1）要注意Δ x ，Δ y 的值可正、可負(fù)，但Δ x ≠0，Δ y 可為零，若函數(shù)
f （ x ）為常數(shù)函數(shù)，則Δ y ＝0；
（2）求點(diǎn) x0附近的平均變化率可用 表示；
（3）平均變化率一定是相對(duì)某一區(qū)間而言的，一般地，區(qū)間不同，
平均變化率也不同.
【跟蹤訓(xùn)練】
當(dāng)函數(shù) y ＝ f （ x ）的自變量 x 從 x1變化到 x2時(shí)，函數(shù)值的增量與相應(yīng)
自變量的增量之比是函數(shù)（　　）
A. 在區(qū)間[ x1， x2]上的平均變化率
B. 在 x1處的變化率
C. 在 x2處的變化率
D. 在區(qū)間[ x1， x2]上的變化量
解析：　由平均變化率的定義知：當(dāng)函數(shù) y ＝ f （ x ）的自變量 x 從 x1
變化到 x2時(shí)，函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù)在區(qū)間
[ x1， x2]上的平均變化率，故選A.
題型二 由函數(shù)的圖象研究平均變化率
【例2】　（鏈接教科書第188頁(yè)例1）某病人吃完退燒藥后他的體溫
變化如圖所示：
（1）試分別求當(dāng) x 從0 min變化到20 min及 x 從20 min變化到30 min時(shí)
體溫 y 相對(duì)于時(shí)間 x 的平均變化率；
解：當(dāng)時(shí)間 x 從0 min變到20 min時(shí)，體溫 y 相對(duì)于時(shí)間 x 的
平均變化率為 ＝－0.025（℃/min）.
當(dāng)時(shí)間 x 從20 min變到30 min時(shí)體溫 y 相對(duì)于時(shí)間 x 的平均變化率
為 ＝－0.05（℃/min）.
（2）利用（1）的結(jié)果說明哪段時(shí)間體溫變化較快？
解：由（1）知｜－0.05｜＞｜－0.025｜，故體溫從20
min到30 min這段時(shí)間下降得比0 min到20 min這段時(shí)間要快.
通性通法
由函數(shù)圖象求函數(shù)平均變化率的步驟
第一步：求自變量的增量Δ x ＝ x2－ x1；
第二步：借助圖象求函數(shù)值的增量Δ y ＝ y2－ y1；
第三步：求平均變化率 ＝ .
【跟蹤訓(xùn)練】
地高辛是用來治療心臟病的一種藥物，若某病人血液中地高辛的初始
劑量為0.5 mg，且 x 天后血液中剩余的劑量為 y mg， y 與 x 的部分?jǐn)?shù)據(jù)
如下表所示：
x 0 1 2 3 4 5
y 0.5 0.345 0.238 0.164 0.113 0.078
將 y 看成 x 的函數(shù)，分別求函數(shù)在[0，2]和[3，5]上的平均變化率.
解：函數(shù)在[0，2]上的平均變化率為 ＝－0.131，
函數(shù)在[3，5]上的平均變化率為 ＝－0.043.
題型三 由函數(shù)解析式求平均變化率
【例3】　（鏈接教科書第189頁(yè)例3、例4）已知函數(shù) f （ x ）＝3 x2＋
5，求 f （ x ）：
（1）在區(qū)間[0.1，0.2]上的平均變化率；
解：因?yàn)?f （ x ）＝3 x2＋5，
所以函數(shù) f （ x ）在區(qū)間[0.1，0.2]上的平均變化率為
＝ ＝0.9.
（2）在區(qū)間[ x0， x0＋Δ x ]上的平均變化率.
解：f （ x0＋Δ x ）－ f （ x0）
＝3（ x0＋Δ x ）2＋5－（3 ＋5）
＝3 ＋6 x0Δ x ＋3（Δ x ）2＋5－3 －5
＝6 x0Δ x ＋3（Δ x ）2.
函數(shù) f （ x ）在區(qū)間[ x0， x0＋Δ x ]上的平均變化率為
＝6 x0＋3Δ x .
通性通法
求函數(shù)平均變化率的三個(gè)步驟
第一步，求自變量的增量Δ x ＝ x2－ x1；
第二步，求函數(shù)值的增量Δ y ＝ f （ x2）－ f （ x1）；
第三步，求平均變化率 ＝ .
【跟蹤訓(xùn)練】
已知函數(shù) f （ x ）＝ x ＋ ，分別計(jì)算 f （ x ）在自變量 x 從1變到2和從3
變到5時(shí)的平均變化率，并判斷在哪個(gè)區(qū)間上函數(shù)值變化得較快.
解：自變量 x 從1變到2時(shí)，函數(shù) f （ x ）的平均變化率為
＝ ＝ ；
自變量 x 從3變到5時(shí)，函數(shù) f （ x ）的平均變化率為 ＝
＝ .因?yàn)? ＜ ，
所以函數(shù) f （ x ）＝ x ＋ 在自變量 x 從3變到5時(shí)函數(shù)值變化得較快.
1. 某物體的運(yùn)動(dòng)方程為 s （ t ）＝1－ t2，則該物體在[1，2]內(nèi)的平均
速度為（　　）
A. 2 B. 3
C. －2 D. －3
解析：　 ＝ ＝－3.
2. 函數(shù) f （ x ）＝5 x －3在區(qū)間[ a ， b ]上的平均變化率為（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析：　平均變化率為 ＝ ＝5.

解析：由折線圖可知當(dāng) x ＝0時(shí) y ＝1.5，當(dāng) x ＝2時(shí)， y ＝3，所以在
[0，2]上的平均變化率為 ＝ .
　
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 已知函數(shù) f （ x ）＝ x2＋1，則當(dāng) x 由2變到2.1時(shí)，函數(shù)值的改變量
為（　　）
A. 0.40 B. 0.41
C. 0.43 D. 0.44
解析：　Δ y ＝ f （2.1）－ f （2）＝2.12＋1－（22＋1）＝4.41－
4＝0.41，故選B.
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2. 如圖，函數(shù) y ＝ f （ x ）在[1，3]上的平均變化率為（　　）
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
解析：　 ＝ ＝ ＝－1.
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3. （2024·蘇州月考）函數(shù) f （ x ）＝ x2＋2 c （ c ∈R）在區(qū)間[1，3]上
的平均變化率為（　　）
A. 2 B. 4
C. 2 c D. 4 c
解析：　∵ f （ x ）＝ x2＋2 c ，∴該函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的平均變
化率為 ＝ ＝ ＝4.
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4. 正方體的棱長(zhǎng)從1增加到2時(shí)，正方體體積的平均膨脹率為（　　）
A. 8 B. 7 D. 1
解析：　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 a ，則 V ＝ a3，則正方體的棱長(zhǎng)從1增
加到2時(shí)，正方體體積的平均膨脹率為 ＝ ＝7，
故選B.
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5. 對(duì)于以下四個(gè)函數(shù)，在區(qū)間[1，1.3]上函數(shù)的平均變化率最大的是
（　　）
A. y ＝ x B. y ＝ x2
C. y ＝ x3
解析：　A中，函數(shù) y ＝ x ，則Δ y ＝ f （1.3）－ f （1）＝0.3；B
中，函數(shù) y ＝ x2，則Δ y ＝ f （1.3）－ f （1）＝0.69；C中，函數(shù) y
＝ x3，則Δ y ＝ f （1.3）－ f （1）＝1.197；D中，函數(shù) y ＝ ，則Δ y
＝ f （1.3）－ f （1）≈－0.23.所以平均變化率最大的是C.
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6. 函數(shù) f （ x ）＝ x2－ x 在區(qū)間[－2， t ]上的平均變化率是2，則 t
＝ ， f （ x ）在[ t ，6]上的平均變化率為 .
解析：因?yàn)楹瘮?shù) f （ x ）＝ x2－ x 在區(qū)間[－2， t ]上的平均變化率是
2，所以 ＝ ＝2，即 t2－ t －6＝2 t
＋4，從而 t2－3 t －10＝0，解得 t ＝5或 t ＝－2（舍去）.所以 f
（ x ）在[ t ，6]上的平均變化率為 ＝ ＝
＝10.
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10　
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7. （2024·南通月考）汽車行駛的路程 s 和時(shí)間 t 之間的函數(shù)圖象如
圖，在時(shí)間段[ t0， t1]，[ t1， t2]，[ t2， t3]上的平均速度分別為
， ， ，則三者的大小關(guān)系為 　 ＜ ＜ 　（用“＜”連
接）.
＜ ＜ 　
解析：由平均變化率的幾何意義知： ＝ kOA ， ＝ kAB ， ＝ kBC ，由圖象知： kOA ＜ kAB ＜ kBC ，即 ＜ ＜ .
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8. 某人服藥后，吸收藥物的情況可以用血液中藥物的質(zhì)量濃度 c （單
位：mg/mL）來表示，它是關(guān)于時(shí)間 t （單位：min）的函數(shù)，表示
為 c ＝ c （ t ），下表給出了 c （ t ）的一些函數(shù)值：
t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
c
（ t ） 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63
則此人服藥后30 min到70 min血液中藥物的質(zhì)量濃度的平均變化率
為 mg/（mL·min）.
－0.002　
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解析：易得此人服藥后30 min到70 min血液中藥物的質(zhì)量濃度的平
均變化率為 ＝ ＝－0.002（mg/（mL·min））.
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9. 已知正弦函數(shù) y ＝ sin x 在區(qū)間 和 上的平均變化率分
別為 k1， k2，則 k1， k2的大小關(guān)系為 .
解析：函數(shù) y ＝ sin x 在 上的平均變化率為 k1＝
＝ ＝ .函數(shù) y ＝ sin x 在 上的平均變化率 k2＝ ＝
＝ ，∵ ＞ ，∴ k1＞ k2.
k1＞ k2　
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10. 為了檢測(cè)甲、乙兩輛車的剎車性能，分別對(duì)兩輛車進(jìn)行了測(cè)試，
甲車從25 m/s到0 m/s花了5 s，乙車從18 m/s到0 m/s花了4 s，
則 車的剎車性能好.
解析：甲車速度的平均變化率為 ＝－5（m/s2）.
乙車速度的平均變化率為 ＝－4.5（m/s2），
平均變化率為負(fù)值說明速度在減少，因?yàn)閯x車后，甲車的速度變
化相對(duì)較快，所以甲車的剎車性能較好.
甲　
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11. （2024·揚(yáng)州月考） A ， B 兩機(jī)關(guān)開展節(jié)能活動(dòng)，活動(dòng)開始后兩機(jī)
關(guān)的用電量 W1（ t ）， W2（ t ）與時(shí)間 t （天）的關(guān)系如圖所示，
則一定有（　　）
A. 兩機(jī)關(guān)節(jié)能效果一樣好
B. A 機(jī)關(guān)比 B 機(jī)關(guān)節(jié)能效果好
C. A 機(jī)關(guān)的用電量在[0， t0]上的平均變化率比 B 機(jī)關(guān)
的用電量在[0， t0]上的平均變化率大
D. A 機(jī)關(guān)與 B 機(jī)關(guān)自節(jié)能以來用電量總是一樣大
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解析： 　由題圖可知， A ， B 兩機(jī)關(guān)用電量在[0， t0]上的平均變
化率都小于0，由平均變化率的幾何意義知，在[0， t0]上 A 機(jī)關(guān)用
電量的平均變化率小于 B 機(jī)關(guān)用電量的平均變化率，從而 A 機(jī)關(guān)
比 B 機(jī)關(guān)節(jié)能效果好.
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12. 某公司的盈利 y （元）與時(shí)間 x （天）的函數(shù)關(guān)系是 y ＝ f （ x ），
假設(shè) ＞0（ x1＞ x0≥0）恒成立，且 ＝
10， ＝1，則說明后10天與前10天比（　　）
A. 公司虧損且虧損幅度變大
B. 公司的盈利增加，增加的幅度變大
C. 公司虧損且虧損幅度變小
D. 公司的盈利增加，增加的幅度變小
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解析：　由 ＞0（ x1＞ x0≥0）恒成立，可知 y ＝ f
（ x ）單調(diào)遞增，即盈利增加，又平均變化率 ＝10
＞ ＝1，說明盈利增加的幅度變小.
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解析：設(shè)放出液體 t 秒后的液面高度為 y m，則π·12· y ＝π·12×1－
0.01 t ，∴ y ＝1－ t ，則液面高度的平均變化率為 ＝
＝－ （m/s），故液面高度的平均變化率
為－ m/s.
－ 　
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謝 謝 觀 看！

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