資源簡介

第1課時　曲線上一點處的切線
1.已知拋物線f（x）＝x2＋4上兩點A，B，xA＝1，xB＝1.3，則直線AB的斜率為（　　）
A.2　　 B.2.3
C.2.09　　 D.2.1
2.已知拋物線y＝x2，拋物線上有一點P（1，），Q是拋物線上點P附近的一點，則點Q的坐標(biāo)為（　　）
A.（1＋Δx，（Δx）2）　　 B.（Δx，（Δx）2）
C.（1＋Δx，（1＋Δx）2）　　 D.（Δx，（1＋Δx）2）
3.如圖，直線l是曲線y＝f（x）在x＝4處的切線，則直線l的斜率為（　　）
A.　　 B.3
C.4　　 D.5
4.（2024·南京月考）已知函數(shù)f（x）＝x2圖象上四點A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3）），D（4，f（4）），割線AB，BC，CD的斜率分別為k1，k2，k3，則（　　）
A.k1＜k2＜k3　　 B.k2＜k1＜k3
C.k3＜k2＜k1　　 D.k1＜k3＜k2
5.已知曲線y＝x3在點P處的切線的斜率k＝3，則點P的坐標(biāo)是（　　）
A.（1，1）　　 B.（－1，1）
C.（1，1）或（－1，－1）　　 D.（2，8）或（－2，－8）
6.（2024·宿遷月考）近兩年為抑制房價上漲過快，政府出臺了一系列以“限購、限外、限貸、限價”為主題的房地產(chǎn)調(diào)控政策.各地房產(chǎn)部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定房價，提出多種方案，其中之一就是在規(guī)定的時間T內(nèi)完成房產(chǎn)供應(yīng)量任務(wù)Q.已知房產(chǎn)供應(yīng)量Q與時間t的函數(shù)關(guān)系可用函數(shù)圖象表示，則在以下四種房產(chǎn)供應(yīng)方案中，供應(yīng)效率（單位時間的供應(yīng)量）逐步提高的是（　　）
7.曲線y＝在點P（2，1）處的切線方程為（　　）
A.x＝1　　 B.y＝1
C.x＋y－3＝0　　 D.x－y＋3＝0
8.過曲線y＝x2上兩點A（2，4）和B（2＋Δx，4＋Δy）作割線，當(dāng)Δx＝0.1時，割線AB的斜率為　　　　.
9.若曲線y＝x2＋ax＋b在點（0，b）處的切線方程是x－y＋1＝0，則a，b的值分別為　　　　，　　　　.
10.（2024·蘇州月考）當(dāng)h無限趨近于0時，無限趨近于　　　　，無限趨近于　　　　.
11.若曲線y＝ax2在x＝a處的切線與直線2x－y－1＝0平行，則a＝（　　）
A.－1　　B.1
C.－1或1　　D.－或1
12.在曲線y＝x3＋3x2＋6x－10的切線中，斜率最小的切線方程為　　　　　　.
13.若拋物線y＝4x2上的點P到直線y＝4x－5的距離最短，求點P的坐標(biāo).
第1課時　曲線上一點處的切線
1.B　∵f（1）＝5，f（1.3）＝5.69，∴直線AB的斜率kAB＝＝＝2.3，故選B.
2.C　當(dāng)x＝1＋Δx時，y＝（1＋Δx）2，點Q的坐標(biāo)為（1＋Δx，（1＋Δx）2），故選C.
3.A　設(shè)曲線y＝f（x）在x＝4處的切線l的斜率為k，可得k＝＝，故選A.
4.A　k1＝＝4－1＝3，k2＝＝9－4＝5，k3＝＝16－9＝7，∴k1＜k2＜k3.
5.C　∵y＝x3，∴Δy＝（x＋Δx）3－x3，則＝3x2＋3x·Δx＋（Δx）2，當(dāng)Δx無限趨近于0時，可得k＝3x2＝3，解得x＝1或x＝－1，當(dāng)x＝1時y＝1；當(dāng)x＝－1時，y＝－1.故點P的坐標(biāo)為（1，1）或（－1，－1）.故選C.
6.B　單位時間的供應(yīng)量逐步提高對應(yīng)供應(yīng)量的增長速度越來越快，圖象上切線的斜率隨著自變量的增加會越來越大，則曲線是上升的，且越來越陡，故函數(shù)的圖象應(yīng)是下凹的.
7.C　Δy＝－＝－1＝，當(dāng)Δx無限趨近于0時，＝無限趨近于－1，所以曲線y＝在點P（2，1）處的切線斜率為－1，故其切線方程為y－1＝－1（x－2），即x＋y－3＝0.
8.4.1　解析：kAB＝＝＝＝Δx＋4，所以當(dāng)Δx＝0.1時，割線AB的斜率為4.1.
9.1　1　解析：∵Δy＝f（Δx）－f（0）＝[（Δx）2＋aΔx＋b]－b＝（Δx）2＋aΔx，∴＝Δx＋a，當(dāng)Δx趨近于0時，趨近于常數(shù)a，∴函數(shù)y＝x2＋ax＋b在點（0，b）處的切線的斜率為a，則a＝1.∵點（0，b）在切線x－y＋1＝0上，則b＝1，∴a，b的值均為1.
10.8　　解析：＝＝8＋h，當(dāng)h無限趨近于0時，8＋h無限趨近于8.＝＝，當(dāng)h無限趨近于0時，無限趨近于.
11.A　根據(jù)題意得＝＝2a2＋a·Δx，當(dāng)Δx無限趨近于0時，無限趨近于2a2，故2a2＝2，∴a＝±1，當(dāng)a＝1時，y＝x2，切點是（1，1），切線的斜率k＝2，故切線方程是y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0，此時與直線2x－y－1＝0重合，故a＝－1.
12.3x－y－11＝0　解析：設(shè)切點為P（x0，y0），曲線在點P處的切線斜率為k，＝[（x0＋Δx）3＋3（x0＋Δx）2＋6（x0＋Δx）－10－（＋3＋6x0－10）]＝3＋6x0＋6＋（Δx）2＋（3x0＋3）Δx，當(dāng)Δx無限趨近于0時，無限趨近于3＋6x0＋6＝3（x0＋1）2＋3.所以k＝3（x0＋1）2＋3.當(dāng)x0＝－1時，k有最小值3，此時點P的坐標(biāo)為（－1，－14），其切線方程為3x－y－11＝0.
13.解：由點P到直線y＝4x－5的距離最短知，過點P的切線方程與直線y＝4x－5平行，
設(shè)P（x0，y0），則＝＝＝8x＋4Δx，
當(dāng)Δx無限趨近于0時，無限趨近于8x，
由得
故所求的點為P（，1）.
2 / 25.1.2　瞬時變化率——導(dǎo)數(shù)
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.通過實例分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，體會導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想 數(shù)學(xué)抽象
2.體會極限思想 數(shù)學(xué)抽象
3.通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義 直觀想象
第1課時　曲線上一點處的切線
　　“天圓地方”是我國先哲們認(rèn)識世界的思維方式，尤其體現(xiàn)在古代中國的建筑和錢幣上，而反映到我們數(shù)學(xué)上，則是以直代曲，無限逼近的數(shù)學(xué)思想，比如我國古代劉徽在運(yùn)用“割圓術(shù)”求圓的周長時，在圓內(nèi)作正多邊形，用正多邊形的周長無限逼近圓的周長，這是最早出現(xiàn)的“以直代曲”的例子.
【問題】　如何利用直線或直線段來近似代替曲線或曲線段？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　曲線上一點處的切線
名稱 割線的斜率 切線的斜率
斜率 設(shè)曲線C上一點P（x，f（x）），過點P的一條直線交曲線C于另一點Q（x＋Δx，f（x＋Δx）），直線PQ稱為曲線C的　　　，則割線PQ的斜率為kPQ＝　　　　 當(dāng)點Q沿曲線C向點P運(yùn)動，并無限逼近點P時，割線PQ逼近點P的切線l，從而割線的斜率逼近切線l的斜率，即當(dāng)Δx無限趨近于0時，無限趨近于點P（x，f（x））處的切線的斜率
提醒　對曲線上一點處的切線的理解：①過曲線上的一點可以作無數(shù)條割線，但在該點處的切線至多一條；②曲線上某一點處的切線是該點處的割線的極限位置.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）曲線的切線與曲線有且只有一個公共點.（　　）
（2）對于曲線上任意一點都可以用割線逼近切線的方法作出過這點的切線.（　　）
（3）若曲線在點P附近經(jīng)過放大后可以近似看成直線，則曲線在點P處一定存在切線.（　　）
（4）以曲線上某點為切點的曲線的切線可以有兩條.（　　）
2.已知曲線y＝f（x）＝2x2上一點A（2，8），則點A處的切線斜率為（　　）
A.4　　 B.16
C.8　　 D.2
3.（2024·南通月考）已知曲線y＝x3在點（2，8）處的切線斜率為12a，則實數(shù)a的值為　　　　.
題型一 以直代曲思想
【例1】　劉徽是我國魏晉時期杰出的數(shù)學(xué)家，他采用了以直代曲、無限趨近、內(nèi)夾外逼的思想，創(chuàng)立了割圓術(shù)，如圖是半徑為1的圓內(nèi)接正六邊形，若用該正六邊形的面積近似代替圓的面積，則該圓的面積的近似值為　　　　.
通性通法
　　以直代曲思想用來研究函數(shù)的局部性質(zhì)，重在體會“無限逼近”“量變到質(zhì)變”“近似與精確”的思想.
【跟蹤訓(xùn)練】
已知函數(shù)f（x）的部分圖象如圖所示，若把曲線AB近似地看成線段，則圖中陰影部分的面積近似為　　　　.
題型二 曲線的割線和切線
【例2】　（1）已知點P（－1，1）為曲線上的一點，PQ為曲線的割線，當(dāng)Δx無限趨近于0時，若kPQ無限趨近于－2，則曲線在點P處的切線的斜率為（　　）
A.－2　　 B.－1
C.1　　 D.2
（2）（2024·鎮(zhèn)江月考）已知曲線y＝－1上兩點A（2，－），B（2＋Δx，－＋Δy），當(dāng)Δx＝1時，割線AB的斜率為（　　）
A.　　 B.
C.－　　 D.1
通性通法
　　一條直線與一條曲線有兩個公共點，我們就說這條直線是這條曲線的割線，當(dāng)這兩個點不斷靠近，并重合為一個點時，這條直線就變成了這條曲線的切線.
【跟蹤訓(xùn)練】
寫出曲線f（x）＝x－x2過點P（2，－2），Q（2＋h，f（2＋h））的割線的斜率，再讓點Q沿曲線趨近于點P，求出曲線在點P處切線的斜率.
題型三 曲線在一點處的切線
【例3】　（鏈接教科書第192頁例5）求拋物線f（x）＝x2－2x＋3在點（1，2）處的切線方程.
通性通法
　　根據(jù)曲線上一點處的切線的定義，要求曲線在某點處的切線方程，只需求出切線的斜率，即在該點處，當(dāng)Δx無限趨近于0時，無限趨近于在該點處的切線斜率.
【跟蹤訓(xùn)練】
　（2024·泰州月考）拋物線y＝x2在點M（，）處的切線的傾斜角是（　　）
A.30°　　 B.45°
C.60°　　 D.90°
1.曲線y＝x2＋x在x＝1處切線的斜率為（　　）
A.3　　 B.2
C.1　　 D.0
2.已知曲線y＝x2－1上兩點A（2，3），B（2＋Δx，3＋Δy），當(dāng)Δx＝1時，割線AB的斜率為（　　）
A.2　　 B.3
C.4　　 D.5
3.求曲線f（x）＝在點（3，3）處的切線方程.
第1課時　曲線上一點處的切線
【基礎(chǔ)知識·重落實】
知識點
割線　
自我診斷
1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）×
2.C　當(dāng)Δx無限趨近于0時，＝＝8＋2Δx無限趨近于常數(shù)8，從而y＝f（x）在點A處的切線斜率為8.
3.1　解析：＝＝3x2＋3Δx·x＋（Δx）2，因為當(dāng)Δx無限趨近于0時，無限趨近于3x2，所以曲線在點（2，8）處的切線斜率k＝12，所以12a＝12，即a＝1.
【典型例題·精研析】
【例1】　　解析：S圓≈S正六邊形＝6×＝.
跟蹤訓(xùn)練
　　解析：若把曲線AB近似看成線段，則陰影部分的面積近似為直角三角形的面積S＝×1×3＝.
【例2】　（1）A　（2）C　解析：（1）由切線的概念知，曲線在點P處切線的斜率為－2.
（2）由函數(shù)的解析式有Δy＝（－1）－（－1）＝－＝，則＝＝.當(dāng)Δx＝1時，割線AB的斜率k＝＝＝－.
跟蹤訓(xùn)練
　解：因為f（2＋h）＝（2＋h）－（2＋h）2＝－h(huán)2－3h－2，所以kPQ＝＝＝－h(huán)－3，
當(dāng)點Q沿曲線趨近于點P時，即h趨近于0時，該曲線在點P處切線的斜率為－3.
【例3】　解：由
＝＝Δx，
當(dāng)Δx無限趨近于0時，可得切線的斜率為k＝0.
所以切線的方程為y－2＝0×（x－1），即y＝2.
跟蹤訓(xùn)練
　B　∵點M（，）在拋物線y＝x2上，＝＝1＋Δx，當(dāng)Δx無限趨近于0時，無限趨近于1，∴在點M（，）處的切線的斜率為1，故傾斜角為45°.
隨堂檢測
1.A　設(shè)P（1，2），Q（1＋Δx，（1＋Δx）2＋1＋Δx），則kPQ＝＝3＋Δx，當(dāng)Δx無限趨近于0時，kPQ無限趨近于3.故選A.
2.D　當(dāng)Δx＝1時，割線AB的斜率k＝＝＝＝5.
3.解：當(dāng)Δx無限趨近于0時，＝9＝－9無限趨近于－，
所以曲線f（x）＝在點（3，3）處的切線斜率為－＝－1.
所以切線方程為y－3＝－（x－3），即x＋y－6＝0.
3 / 3(共48張PPT)
5.1.2　
瞬時變化率——導(dǎo)數(shù)
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.通過實例分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率
的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬
時變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，體會導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想 數(shù)學(xué)抽象
2.體會極限思想 數(shù)學(xué)抽象
3.通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義 直觀想象
第1課時　
曲線上一點處的切線
目錄
基礎(chǔ)知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識·重落實
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識梳理
　　
　　“天圓地方”是我國先哲們認(rèn)識世界的思維方式，尤其體現(xiàn)在古
代中國的建筑和錢幣上，而反映到我們數(shù)學(xué)上，則是以直代曲，無限
逼近的數(shù)學(xué)思想，比如我國古代劉徽在運(yùn)用“割圓術(shù)”求圓的周長
時，在圓內(nèi)作正多邊形，用正多邊形的周長無限逼近圓的周長，這是
最早出現(xiàn)的“以直代曲”的例子.
【問題】　如何利用直線或直線段來近似代替曲線或曲線段？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　曲線上一點處的切線
名稱 割線的斜率 切線的斜率
斜率 設(shè)曲線 C 上一點 P （ x ， f
（ x ）），過點 P 的一條直
線交曲線 C 于另一點 Q （ x
＋Δ x ， f （ x ＋Δ x ）），直
線 PQ 稱為曲線 C 的
，則割線 PQ 的斜率為
kPQ ＝
割
線　
　
提醒　對曲線上一點處的切線的理解：①過曲線上的一點可以作無數(shù)
條割線，但在該點處的切線至多一條；②曲線上某一點處的切線是該
點處的割線的極限位置.
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）曲線的切線與曲線有且只有一個公共點. （　×　）
（2）對于曲線上任意一點都可以用割線逼近切線的方法作出過這
點的切線. （　×　）
（3）若曲線在點 P 附近經(jīng)過放大后可以近似看成直線，則曲線在
點 P 處一定存在切線. （　√　）
（4）以曲線上某點為切點的曲線的切線可以有兩條. （　×　）
×
×
√
×
2. 已知曲線 y ＝ f （ x ）＝2 x2上一點 A （2，8），則點 A 處的切線斜率
為（　　）
A. 4 B. 16
C. 8 D. 2
解析：　當(dāng)Δ x 無限趨近于0時， ＝
＝8＋2Δ x 無限趨近于常數(shù)8，從而 y ＝ f （ x ）在點 A 處的切線斜率
為8.
3. （2024·南通月考）已知曲線 y ＝ x3在點（2，8）處的切線斜率為12
a ，則實數(shù) a 的值為 .
解析： ＝ ＝3 x2＋3Δ x · x ＋（Δ x ）2，因為當(dāng)Δ x 無
限趨近于0時， 無限趨近于3 x2，所以曲線在點（2，8）處的切線
斜率 k ＝12，所以12 a ＝12，即 a ＝1.
1　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關(guān)鍵能力提升
　　
題型一 以直代曲思想
【例1】　劉徽是我國魏晉時期杰出的數(shù)學(xué)家，他采用了以直代曲、
無限趨近、內(nèi)夾外逼的思想，創(chuàng)立了割圓術(shù)，如圖是半徑為1的圓內(nèi)
接正六邊形，若用該正六邊形的面積近似代替圓的面積，則該圓的面
積的近似值為 .
　
解析： S圓≈ S正六邊形＝6× ＝ .
通性通法
　　以直代曲思想用來研究函數(shù)的局部性質(zhì)，重在體會“無限逼
近”“量變到質(zhì)變”“近似與精確”的思想.

　
解析：若把曲線 AB 近似看成線段，則陰影部分的面積近似為直角三
角形的面積 S ＝ ×1×3＝ .
題型二 曲線的割線和切線
【例2】　（1）已知點 P （－1，1）為曲線上的一點， PQ 為曲線的
割線，當(dāng)Δ x 無限趨近于0時，若 kPQ 無限趨近于－2，則曲線在點 P 處
的切線的斜率為（　A　）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
解析：由切線的概念知，曲線在點 P 處切線的斜率為－2.
（2）（2024·鎮(zhèn)江月考）已知曲線 y ＝ －1上兩點 A （2，－ ）， B
（2＋Δ x ，－ ＋Δ y ），當(dāng)Δ x ＝1時，割線 AB 的斜率為
（　C　）
D. 1
解析：由函數(shù)的解析式有Δ y ＝（ －1）－（ －1）＝
－ ＝ ，則 ＝ ＝ .當(dāng)Δ x ＝1時，
割線 AB 的斜率 k ＝ ＝ ＝－ .
通性通法
　　一條直線與一條曲線有兩個公共點，我們就說這條直線是這條曲
線的割線，當(dāng)這兩個點不斷靠近，并重合為一個點時，這條直線就變
成了這條曲線的切線.
【跟蹤訓(xùn)練】
寫出曲線 f （ x ）＝ x － x2過點 P （2，－2）， Q （2＋ h ， f （2＋
h ））的割線的斜率，再讓點 Q 沿曲線趨近于點 P ，求出曲線在點 P 處
切線的斜率.
解：因為 f （2＋ h ）＝（2＋ h ）－（2＋ h ）2＝－ h2－3 h －2，所以
kPQ ＝ ＝ ＝－ h －3，
當(dāng)點 Q 沿曲線趨近于點 P 時，即 h 趨近于0時，該曲線在點 P 處切線的
斜率為－3.
題型三 曲線在一點處的切線
【例3】　（鏈接教科書第192頁例5）求拋物線 f （ x ）＝ x2－2 x ＋3在
點（1，2）處的切線方程.
解：由 ＝ ＝Δ x ，
當(dāng)Δ x 無限趨近于0時，可得切線的斜率為 k ＝0.
所以切線的方程為 y －2＝0×（ x －1），即 y ＝2.
通性通法
　　根據(jù)曲線上一點處的切線的定義，要求曲線在某點處的切線方
程，只需求出切線的斜率，即在該點處，當(dāng)Δ x 無限趨近于0時， 無
限趨近于在該點處的切線斜率.
【跟蹤訓(xùn)練】
　（2024·泰州月考）拋物線 y ＝ x2在點 M （ ， ）處的切線的傾斜角
是（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：　∵點 M （ ， ）在拋物線 y ＝ x2上， ＝
＝1＋Δ x ，當(dāng)Δ x 無限趨近于0時， 無限趨近于
1，∴在點 M （ ， ）處的切線的斜率為1，故傾斜角為45°.
1. 曲線 y ＝ x2＋ x 在 x ＝1處切線的斜率為（　　）
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
解析：　設(shè) P （1，2）， Q （1＋Δ x ，（1＋Δ x ）2＋1＋Δ x ），
則 kPQ ＝ ＝3＋Δ x ，當(dāng)Δ x 無限趨近于0時， kPQ 無
限趨近于3.故選A.
2. 已知曲線 y ＝ x2－1上兩點 A （2，3）， B （2＋Δ x ，3＋Δ y ），當(dāng)Δ
x ＝1時，割線 AB 的斜率為（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析：　當(dāng)Δ x ＝1時，割線 AB 的斜率 k ＝ ＝
＝ ＝5.
3. 求曲線 f （ x ）＝ 在點（3，3）處的切線方程.
解：當(dāng)Δ x 無限趨近于0時， ＝9 ＝－9
無限趨近于－ ，
所以曲線 f （ x ）＝ 在點（3，3）處的切線斜率為－ ＝－1.
所以切線方程為 y －3＝－（ x －3），即 x ＋ y －6＝0.
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 已知拋物線 f （ x ）＝ x2＋4上兩點 A ， B ， xA ＝1， xB ＝1.3，則直
線 AB 的斜率為（　　）
A. 2 B. 2.3
C. 2.09 D. 2.1
解析： 　∵ f （1）＝5， f （1.3）＝5.69，∴直線 AB 的斜率 kAB
＝ ＝ ＝2.3，故選B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. 已知拋物線 y ＝ x2，拋物線上有一點 P （1， ）， Q 是拋物線上點
P 附近的一點，則點 Q 的坐標(biāo)為（　　）
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解析： 　當(dāng) x ＝1＋Δ x 時， y ＝ （1＋Δ x ）2，點 Q 的坐標(biāo)為（1
＋Δ x ， （1＋Δ x ）2），故選C.
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3. 如圖，直線 l 是曲線 y ＝ f （ x ）在 x ＝4處的切線，則直線 l 的斜率
為（　　）
B. 3
C. 4 D. 5
解析： 　設(shè)曲線 y ＝ f （ x ）在 x ＝4處的切線 l 的斜率為 k ，可得 k
＝ ＝ ，故選A.
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4. （2024·南京月考）已知函數(shù) f （ x ）＝ x2圖象上四點 A （1， f
（1））， B （2， f （2））， C （3， f （3））， D （4， f
（4）），割線 AB ， BC ， CD 的斜率分別為 k1， k2， k3，則
（　　）
A. k1＜ k2＜ k3 B. k2＜ k1＜ k3
C. k3＜ k2＜ k1 D. k1＜ k3＜ k2
解析： 　 k1＝ ＝4－1＝3， k2＝ ＝9－4
＝5， k3＝ ＝16－9＝7，∴ k1＜ k2＜ k3.
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5. 已知曲線 y ＝ x3在點 P 處的切線的斜率 k ＝3，則點 P 的坐標(biāo)是
（　　）
A. （1，1）
B. （－1，1）
C. （1，1）或（－1，－1）
D. （2，8）或（－2，－8）
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解析： 　∵ y ＝ x3，∴Δ y ＝（ x ＋Δ x ）3－ x3，則 ＝3 x2＋3 x ·Δ
x ＋（Δ x ）2，當(dāng)Δ x 無限趨近于0時，可得 k ＝3 x2＝3，解得 x ＝1或
x ＝－1，當(dāng) x ＝1時 y ＝1；當(dāng) x ＝－1時， y ＝－1.故點 P 的坐標(biāo)為
（1，1）或（－1，－1）.故選C.
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6. （2024·宿遷月考）近兩年為抑制房價上漲過快，政府出臺了一系
列以“限購、限外、限貸、限價”為主題的房地產(chǎn)調(diào)控政策.各地
房產(chǎn)部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定房價，提出多種方案，其中之一就是在規(guī)
定的時間 T 內(nèi)完成房產(chǎn)供應(yīng)量任務(wù) Q . 已知房產(chǎn)供應(yīng)量 Q 與時間 t 的
函數(shù)關(guān)系可用函數(shù)圖象表示，則在以下四種房產(chǎn)供應(yīng)方案中，供應(yīng)
效率（單位時間的供應(yīng)量）逐步提高的是（　　）
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解析： 　單位時間的供應(yīng)量逐步提高對應(yīng)供應(yīng)量的增長速度越來
越快，圖象上切線的斜率隨著自變量的增加會越來越大，則曲線是
上升的，且越來越陡，故函數(shù)的圖象應(yīng)是下凹的.
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7. 曲線 y ＝ 在點 P （2，1）處的切線方程為（　　）
A. x ＝1 B. y ＝1
C. x ＋ y －3＝0 D. x － y ＋3＝0
解析： 　Δ y ＝ － ＝ －1＝ ，當(dāng)Δ x 無限趨近于
0時， ＝ 無限趨近于－1，所以曲線 y ＝ 在點 P （2，1）
處的切線斜率為－1，故其切線方程為 y －1＝－1（ x －2），即 x ＋
y －3＝0.
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8. 過曲線 y ＝ x2上兩點 A （2，4）和 B （2＋Δ x ，4＋Δ y ）作割線，當(dāng)
Δ x ＝0.1時，割線 AB 的斜率為 .
解析： kAB ＝ ＝ ＝ ＝Δ x ＋4，所以當(dāng)Δ x
＝0.1時，割線 AB 的斜率為4.1.
4.1　
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9. 若曲線 y ＝ x2＋ ax ＋ b 在點（0， b ）處的切線方程是 x － y ＋1＝
0，則 a ， b 的值分別為 ， .
解析：∵Δ y ＝ f （Δ x ）－ f （0）＝[（Δ x ）2＋ a Δ x ＋ b ]－ b ＝（Δ
x ）2＋ a Δ x ，∴ ＝Δ x ＋ a ，當(dāng)Δ x 趨近于0時， 趨近于常數(shù) a ，
∴函數(shù) y ＝ x2＋ ax ＋ b 在點（0， b ）處的切線的斜率為 a ，則 a ＝
1.∵點（0， b ）在切線 x － y ＋1＝0上，則 b ＝1，∴ a ， b 的值均
為1.
1　
1　
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10. （2024·蘇州月考）當(dāng) h 無限趨近于0時， 無限趨近
于 ， 無限趨近于 　 　.
解析： ＝ ＝8＋ h ，當(dāng) h 無限趨近于0時，8＋ h
無限趨近于8. ＝ ＝ ，當(dāng) h 無限趨近于0
時， 無限趨近于 .
8　
　
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11. 若曲線 y ＝ ax2在 x ＝ a 處的切線與直線2 x － y －1＝0平行，則 a ＝
（　　）
A. －1 B. 1
C. －1或1
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解析： 　根據(jù)題意得 ＝ ＝2 a2＋ a ·Δ x ，當(dāng)Δ x
無限趨近于0時， 無限趨近于2 a2，故2 a2＝2，∴ a ＝±1，當(dāng) a
＝1時， y ＝ x2，切點是（1，1），切線的斜率 k ＝2，故切線方程
是 y －1＝2（ x －1），即2 x － y －1＝0，此時與直線2 x － y －1＝
0重合，故 a ＝－1.
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12. 在曲線 y ＝ x3＋3 x2＋6 x －10的切線中，斜率最小的切線方程為
.
解析：設(shè)切點為 P （ x0， y0），曲線在點 P 處的切線斜率為 k ，
＝ [（ x0＋Δ x ）3＋3（ x0＋Δ x ）2＋6（ x0＋Δ x ）－10－（ ＋
3 ＋6 x0－10）]＝3 ＋6 x0＋6＋（Δ x ）2＋（3 x0＋3）Δ x ，當(dāng)
Δ x 無限趨近于0時， 無限趨近于3 ＋6 x0＋6＝3（ x0＋1）2＋
3.所以 k ＝3（ x0＋1）2＋3.當(dāng) x0＝－1時， k 有最小值3，此時點 P
的坐標(biāo)為（－1，－14），其切線方程為3 x － y －11＝0.
3 x
－ y －11＝0　
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13. 若拋物線 y ＝4 x2上的點 P 到直線 y ＝4 x －5的距離最短，求點 P 的
坐標(biāo).
解：由點 P 到直線 y ＝4 x －5的距離最短知，過點 P 的切線方程與
直線 y ＝4 x －5平行，
設(shè) P （ x0， y0），
則 ＝
＝
＝8 x ＋4Δ x ，
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當(dāng)Δ x 無限趨近于0時， 無限趨近于8 x ，
由 得
故所求的點為 P （ ，1）.
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謝 謝 觀 看！

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