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第2課時(shí)　瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度
1.某質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)的方程為f（x）＝－2x2＋1（x表示時(shí)間，f（x）表示位移），則該質(zhì)點(diǎn)從x＝1到x＝2的平均速度為（　　）
A.－4　　 B.－8
C.6　　 D.－6
2.一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為S＝5－3t2，若該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段[1，1＋Δt]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為－3Δt－6，則該質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度是（　　）
A.－3　　 B.3
C.6　　 D.－6
3.一物體運(yùn)動(dòng)的速度方程為v（t）＝t2＋3，則t＝2時(shí)物體的瞬時(shí)加速度為（　　）
A.4　　 B.3
C.2　　 D.1
4.（2024·無錫質(zhì)檢）某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是f（x）＝x2－1，其在區(qū)間[1，m]上的平均速度為3，則實(shí)數(shù)m的值為（　　）
A.5　　 B.4
C.3　　 D.2
5.（多選）已知自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為s（t）＝5t2，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A.t在2到2＋Δt這一段時(shí)間內(nèi)落體的平均速度為20＋5Δt
B.t在2到2＋Δt這一段時(shí)間內(nèi)落體的平均速度為20
C.落體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為20
D.落體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為25
6.（多選）已知物體作自由落體運(yùn)動(dòng)的位移函數(shù)為s（t）＝gt2，g＝9.8，若v＝，當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，v趨近于9.8，則9.8是（　　）
A.物體從0 s到1 s這段時(shí)間的平均速度
B.物體從1 s到（1＋Δt）s這段時(shí)間的平均速度
C.物體在t＝1 s這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度
D.函數(shù)s（t）＝gt2在t＝1處的切線斜率
7.一物體的運(yùn)動(dòng)方程為S＝3t2－2，則其在t＝　　　時(shí)的瞬時(shí)速度為1.
8.已知某物體的位移S（m）與時(shí)間t（s）的關(guān)系是S（t）＝3t－t2.則t＝0 s到t＝2 s的平均速度為　　　　；此物體在t＝2 s時(shí)的瞬時(shí)速度為　　　　.
9.（2024·徐州月考）高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在t秒時(shí)距水面高度h（t）＝－4.9t2＋6.5t＋10（單位：米），則該運(yùn)動(dòng)員的初速度為　　　　米/秒.
10.飛機(jī)起飛一段時(shí)間內(nèi)，第t s時(shí)的高度h（t）＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中高度h的單位為m，時(shí)間t的單位為s.
（1）h（0），h（1），h（2）分別表示什么？
（2）求第2 s內(nèi)的平均速度；
（3）求第2 s末的瞬時(shí)速度.
11.（2024·揚(yáng)州質(zhì)檢）甲、乙的速度v與時(shí)間t的關(guān)系如圖，a（t0）是在t＝t0時(shí)的加速度，S（t0）是從t＝0到t＝t0的路程，則下列說法正確的是（　　）
A.a甲（t0）＝a乙（t0）　　 B.a甲（t0）＜a乙（t0）
C.S甲（t0）＝S乙（t0）　　 D.S甲（t0）＜S乙（t0）
12.火車開出車站一段時(shí)間內(nèi)，速度v（單位：米/秒）與行駛時(shí)間t（單位：秒）之間的關(guān)系是v（t）＝0.6t2＋0.4t，則火車加速度為2.8米/秒2時(shí)，剛好開出了（　　）
A.秒　 　B.2秒　　C.秒　 　D.秒
13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝x，y＝0，x＝t（t＞0）圍成的△OAB的面積為S（t），則S（t）在t＝2時(shí)的瞬時(shí)變化率是　　　　.
14.一物體的運(yùn)動(dòng)方程如下（位移：m，時(shí)間：s）：S＝
（1）求物體在t∈[3，5]內(nèi)的平均速度；
（2）求物體的初速度；
（3）求物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度.
15.（2024·南京月考）某機(jī)械廠生產(chǎn)一種木材旋切機(jī)械，已知生產(chǎn)總利潤c（元）與產(chǎn)量x（臺(tái)）之間的關(guān)系式為c（x）＝－2x2＋7 000x＋600.
（1）求產(chǎn)量為1 000臺(tái)的總利潤與平均利潤；
（2）求產(chǎn)量由1 000臺(tái)提高到1 500臺(tái)時(shí)，總利潤的平均改變量；
（3）當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，求與，并說明它們的實(shí)際意義.
第2課時(shí)　瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度
1.D　由題意得該質(zhì)點(diǎn)從x＝1到x＝2的平均速度為＝＝－6.
2.D　由平均速度和瞬時(shí)速度的關(guān)系可知，當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于－6，即質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度是－6.
3.A　因?yàn)椋剑?t＋Δt.所以當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于2t.所以t＝2時(shí)物體的瞬時(shí)加速度為4.
4.D　根據(jù)題意，該質(zhì)點(diǎn)在區(qū)間[1，m]上的平均速度為＝＝m＋1，則有m＋1＝3，解得m＝2.
5.AC　由題知物體在t＝2到t＝2＋Δt這一段時(shí)間內(nèi)的平均速度為v＝＝20＋5Δt，則當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，v無限趨近于20，即t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為20.
6.CD　由平均速度、瞬時(shí)速度及切線斜率的幾何意義知C、D正確.
7.　解析：＝＝6t＋3Δt.當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于6t，因?yàn)樗矔r(shí)速度為1，故6t＝1，即t＝.
8.1 m/s　－1 m/s　解析：v＝＝1（m/s）.＝
＝
＝－1－Δt，當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于－1，∴此物體在t＝2 s時(shí)的瞬時(shí)速度為－1 m/s.
9.6.5　解析：＝＝－4.9Δt＋6.5，∵當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，－4.9Δt＋6.5無限趨近于6.5，∴該運(yùn)動(dòng)員的初速度為6.5米/秒.
10.解：（1）h（0）表示飛機(jī)起飛前的高度；
h（1）表示飛機(jī)起飛后第1 s時(shí)的高度；
h（2）表示飛機(jī)起飛后第2 s時(shí)的高度.
（2）飛機(jī)起飛后第2 s內(nèi)的平均速度＝＝
＝170（m/s）.
（3）第2 s末的瞬時(shí)速度為＝＝
－
＝
＝5（Δt）2＋60Δt＋225.
當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于225.
∴第2 s末的瞬時(shí)速度為225 m/s.
11.B　加速度是速度對(duì)時(shí)間的函數(shù)的切線斜率，由圖可得在t＝t0處，甲的切線斜率小于乙的切線斜率，即甲在t＝t0處的加速度小于乙在t＝t0處的加速度；由圖知，從t＝0到t＝t0，甲的速度總大于等于乙的速度，所以甲從t＝0到t＝t0的路程大于乙從t＝0到t＝t0的路程.
12.B　由題意可知，＝
＝0.4＋1.2t＋0.6Δt，當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于0.4＋1.2t，由0.4＋1.2t＝2.8，得t＝2秒.
13.2　解析：∵S（t）＝OA·AB＝·t·t＝t2，＝＝＝t＋，當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于t，∴S（t）在t＝2時(shí)的瞬時(shí)變化率是2.
14.解：（1）在t∈[3，5]內(nèi)，物體的運(yùn)動(dòng)方程S＝3t2＋2，
則該段時(shí)間內(nèi)的位移ΔS＝（3×25＋2）－（3×9＋2）＝48（m），
可知平均速度v＝＝＝24（m/s）.
（2）當(dāng)0≤t＜3時(shí)，S＝29＋3（t－3）2＝3t2－18t＋56，
物體的初速度即物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度，當(dāng)t＝0時(shí)，
＝＝3Δt－18，
當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，物體的初速度為－18 m/s.
（3）當(dāng)t＝1時(shí)，＝
＝3Δt－12，當(dāng)Δt趨近于0時(shí)，趨近于－12，
故t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為－12 m/s.
15.解：（1）產(chǎn)量為1 000臺(tái)時(shí)的總利潤為c（1 000）＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600（元），
平均利潤為＝5 000.6（元）.
（2）當(dāng)產(chǎn)量由1 000臺(tái)提高到1 500臺(tái)時(shí)，總利潤的平均改變量為
＝＝2 000（元）.
（3）∵當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，
無限趨近于－4x＋7 000，
∴＝3 000，
＝1 000，
它們指的是當(dāng)產(chǎn)量為1 000臺(tái)時(shí)，生產(chǎn)一臺(tái)機(jī)械可多獲利3 000元；而當(dāng)產(chǎn)量為1 500臺(tái)時(shí)，生產(chǎn)一臺(tái)機(jī)械可多獲利1 000元.
2 / 2第2課時(shí)　瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度
在實(shí)際生產(chǎn)生活中，我們需要研究一些物體的瞬時(shí)變化率，例如：
（1）摩托車的運(yùn)動(dòng)方程為s＝8＋3t2，其中s表示位移，t表示時(shí)間，知道它在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度就可以更好地指導(dǎo)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行比賽；
（2）冶煉鋼鐵時(shí)需要測定鐵水的瞬時(shí)溫度來確定其質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)；
（3）凈化飲用水時(shí)需要根據(jù)凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率來控制凈化成本.
【問題】　上述實(shí)例中都涉及到某個(gè)量的瞬時(shí)變化率，在數(shù)學(xué)意義上，這些實(shí)際上是某個(gè)量的函數(shù)的瞬時(shí)變化率，它在數(shù)學(xué)上稱為什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)　瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度
1.平均速度：在物理學(xué)中，運(yùn)動(dòng)物體的位移與　　　　　的比稱為平均速度.
提醒　（1）平均速度反映一段時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的平均快慢程度，它與一段位移或一段時(shí)間相對(duì)應(yīng)；
（2）平均速度是矢量，其方向與一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生的位移方向相同，與運(yùn)動(dòng)方向不一定相同.
2.瞬時(shí)速度：一般地，如果當(dāng)Δt　　　趨近于0時(shí)，運(yùn)動(dòng)物體位移S（t）的平均變化率　　　　　　無限趨近于一個(gè)　　　，那么這個(gè)常數(shù)稱為物體在t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度，也就是位移對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率.
提醒　瞬時(shí)速度與平均速度的區(qū)別和聯(lián)系：①區(qū)別：瞬時(shí)速度刻畫物體在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而平均速度則是刻畫物體在某一段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，與該段時(shí)間內(nèi)的某一時(shí)刻無關(guān)；②聯(lián)系：瞬時(shí)速度是平均速度的極限值.
3.瞬時(shí)加速度：一般地，如果當(dāng)Δt　　　趨近于0時(shí)，運(yùn)動(dòng)物體速度v（t）的平均變化率　　　　　　無限趨近于一個(gè)　　　，那么這個(gè)常數(shù)稱為物體在　　　　時(shí)的瞬時(shí)加速度，也就是速度對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）
（1）瞬時(shí)加速度是速度的極限值.（　　）
（2）在計(jì)算物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度時(shí)，s（t0＋Δt）＞s（t0）.（　　）
（3）瞬時(shí)速度是刻畫物體在區(qū)間[t0，t0＋Δt]（Δt＞0）上變化快慢的物理量.（　　）
2.某物體運(yùn)動(dòng)t s后，其位移（單位：m）為y＝t2＋2t.在2≤t≤4這段時(shí)間里，該物體的平均速度為（　　）
A.5 m/s　　 B.6 m/s
C.8 m/s　　 D.10 m/s
3.如果質(zhì)點(diǎn)A按照規(guī)律s（t）＝3t2運(yùn)動(dòng)，則在t0＝3時(shí)的瞬時(shí)速度為（　　）
A.6　　 B.18
C.54　　 D.81
4.（2024·鎮(zhèn)江月考）一質(zhì)點(diǎn)沿直線作加速運(yùn)動(dòng)，假設(shè)t秒時(shí)的速度為v（t）＝t2＋10，求質(zhì)點(diǎn)在t＝3時(shí)的瞬時(shí)加速度.
題型一 平均速度
【例1】　已知甲、乙兩人百米賽跑路程與時(shí)間的關(guān)系如圖所示.甲、乙兩人的平均速度各是多少？
通性通法
求物體運(yùn)動(dòng)的平均速度的步驟
（1）先計(jì)算位移的改變量s（t2）－s（t1）；
（2）再計(jì)算時(shí)間的改變量t2－t1；
（3）得平均速度＝.
【跟蹤訓(xùn)練】
一個(gè)物體做直線運(yùn)動(dòng)，位移s（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系為s（t）＝5t2＋bt，且這一物體在2≤t≤3這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為26 m/s，則實(shí)數(shù)b＝（　　）
A.2　　 B.1
C.－1　　 D.6
題型二 瞬時(shí)速度
【例2】　（鏈接教科書第195頁練習(xí)2題）某物體運(yùn)動(dòng)的位移S（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)S（t）＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度.
【母題探究】
　（變設(shè)問）若本例中的條件不變，試求物體的初速度.
通性通法
求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟
（1）求位移改變量ΔS＝S（t0＋Δt）－S（t0）；
（2）求平均速度＝；
（3）求瞬時(shí)速度，當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于的常數(shù)v即為瞬時(shí)速度.
【跟蹤訓(xùn)練】
（2024·鹽城月考）一質(zhì)點(diǎn)M按運(yùn)動(dòng)方程s（t）＝at2＋1做直線運(yùn)動(dòng)（位移單位：m，時(shí)間單位：s），若質(zhì)點(diǎn)M在t＝2 s時(shí)的瞬時(shí)速度為8 m/s，則常數(shù)a＝　　　　.
題型三 瞬時(shí)加速度
【例3】　（鏈接教科書第194頁例6）一輛汽車從停止?fàn)顟B(tài)開始加速行駛，并且前5 s的速度v（m/s）與時(shí)間t（s）的關(guān)系可近似地表示為v＝－t2＋10t，0＜t≤5，則汽車在t＝1 s時(shí)的瞬時(shí)加速度為（　　）
A.10 m/s2　　 B.9 m/s2
C.8 m/s2　　 D.7 m/s2
通性通法
1.瞬時(shí)加速度即為瞬時(shí)速度在Δt無限趨近于0時(shí)的極限值，要求瞬時(shí)加速度應(yīng)先求出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù).
2.瞬時(shí)加速度為狀態(tài)量，反映某一時(shí)刻物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是表示速度變化快慢的物理量.
【跟蹤訓(xùn)練】
某堆雪在融化過程中，其體積V（單位：m3）與融化時(shí)間t（單位：h）近似滿足函數(shù)關(guān)系：V（t）＝（H為常數(shù)），其圖象如圖所示.記此堆雪從融化開始到結(jié)束的平均融化速度為 m3/h，觀察圖象可知瞬時(shí)融化速度等于 m3/h的時(shí)刻是（　　）
A.t1　　 B.t2
C.t3　　 D.t4
1.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律S＝t2＋3，則在時(shí)間[3，3＋Δt]中，質(zhì)點(diǎn)的平均速度等于（　　）
A.6＋Δt　　 B.6＋Δt＋
C.3＋Δt　　 D.9＋Δt
2.（2024·南通月考）一物體做直線運(yùn)動(dòng)，其位移y（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系是y＝－t2＋9t，則該物體在t＝3 s時(shí)的瞬時(shí)速度為（　　）
A.3　　 B.6
C.12　　 D.16
3.某物體的運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間的關(guān)系為v（t）＝2t2－1，則t＝2時(shí)的瞬時(shí)加速度為（　　）
A.2　　 B.－2
C.8　　 D.－8
第2課時(shí)　瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度
【基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)
1.所用時(shí)間　2.無限　
常數(shù)　3.無限　　常數(shù)　t＝t0
自我診斷
1.（1）×　（2）×　（3）×
2.A　當(dāng)t＝2時(shí)，位移為×22＋2×2＝6，當(dāng)t＝4時(shí)，位移為×42＋2×4＝16，在2≤t≤4這段時(shí)間里，該物體的平均速度為＝5 m/s.故選A.
3.B　∵s（t）＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）＝3（3＋Δt）2－3×32＝18Δt＋3（Δt）2.∴＝18＋3Δt.當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于18，即質(zhì)點(diǎn)A在t0＝3時(shí)的瞬時(shí)速度為18.
4.解：質(zhì)點(diǎn)在t＝3到t＝3＋Δt的時(shí)間內(nèi)平均加速度為＝＝＝＝6＋Δt，
當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于6，
即質(zhì)點(diǎn)在t＝3時(shí)的瞬時(shí)加速度為6.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：由題圖可知，當(dāng)t＝0時(shí)，甲、乙從起點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)t＝12 s時(shí)，甲、乙到達(dá)終點(diǎn)，且甲、乙兩人跑100 m都用了12 s，即y總＝100 m，t總＝12 s，
所以＝＝＝＝（m/s）.
跟蹤訓(xùn)練
　B　由已知，得＝26，所以（5×32＋3b）－（5×22＋2b）＝26，解得b＝1.
【例2】　解：在1到1＋Δt的時(shí)間內(nèi)，物體的平均速度＝＝＝
＝3＋Δt，
∴當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于3，
∴S（t）在t＝1處的瞬時(shí)變化率為3.
即物體在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為3 m/s.
母題探究
　解：求物體的初速度，即求物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度.
∵＝
＝
＝1＋Δt，
∴當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，1＋Δt無限趨近于1，
∴S（t）在t＝0時(shí)的瞬時(shí)變化率為1，
即物體的初速度為1 m/s.
跟蹤訓(xùn)練
　2　解析：因?yàn)椋剑剑?a＋aΔt，當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，4a＋aΔt無限趨近于4a，即質(zhì)點(diǎn)M在t＝2 s時(shí)的瞬時(shí)速度為4a m/s，由4a＝8，得a＝2.
【例3】　C　由題意得，＝
＝－2t＋10－Δt，當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于－2t＋10，則汽車在t＝1 s時(shí)的瞬時(shí)加速度為8 m/s2.
跟蹤訓(xùn)練
C　如圖所示，平均融化速度實(shí)際上是點(diǎn)A與點(diǎn)B連線所在直線的斜率k；瞬時(shí)融化速度實(shí)際上是曲線V（t）在某時(shí)刻的切線斜率，通過對(duì)比，曲線在t3時(shí)刻的切線斜率與k相等，故瞬時(shí)融化速度等于 m3/h的時(shí)刻是t3.
隨堂檢測
1.A　平均速度為＝＝6＋Δt.
2.A　Δy＝－（3＋Δt）2＋9（3＋Δt）－（－9＋27）＝－9－（Δt）2－6Δt＋27＋9Δt＋9－27＝－（Δt）2＋3Δt，所以＝＝－Δt＋3，當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于3，故選A.
3.C　由題意知，＝＝4t＋2Δt，當(dāng)Δt無限趨近于0時(shí)，無限趨近于4t，則該物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)加速度為8.
3 / 3(共59張PPT)
第2課時(shí)　
瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度
目錄
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識(shí)梳理
在實(shí)際生產(chǎn)生活中，我們需要研究一些物體的瞬時(shí)變化率，例如：
（1）摩托車的運(yùn)動(dòng)方程為 s ＝8＋3 t2，其中 s 表示位移， t 表示時(shí)
間，知道它在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度就可以更好地指導(dǎo)運(yùn)動(dòng)員
進(jìn)行比賽；
（2）冶煉鋼鐵時(shí)需要測定鐵水的瞬時(shí)溫度來確定其質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)；
（3）凈化飲用水時(shí)需要根據(jù)凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率來控制凈化成本.
【問題】　上述實(shí)例中都涉及到某個(gè)量的瞬時(shí)變化率，在數(shù)學(xué)
意義上，這些實(shí)際上是某個(gè)量的函數(shù)的瞬時(shí)變化率，它在數(shù)學(xué)
上稱為什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)　瞬時(shí)速度與瞬時(shí)加速度
1. 平均速度：在物理學(xué)中，運(yùn)動(dòng)物體的位移與 的比稱為
平均速度.
提醒　（1）平均速度反映一段時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的平均快慢程度，
它與一段位移或一段時(shí)間相對(duì)應(yīng)；
（2）平均速度是矢量，其方向與一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生的位移方向相
同，與運(yùn)動(dòng)方向不一定相同.
所用時(shí)間　

提醒　瞬時(shí)速度與平均速度的區(qū)別和聯(lián)系：①區(qū)別：瞬時(shí)速度刻畫
物體在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而平均速度則是刻畫物體在某一段時(shí)
間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，與該段時(shí)間內(nèi)的某一時(shí)刻無關(guān)；②聯(lián)系：瞬時(shí)速
度是平均速度的極限值.
無限　
　
常
數(shù)　
3. 瞬時(shí)加速度：一般地，如果當(dāng)Δ t 趨近于0時(shí)，運(yùn)動(dòng)物體速
度 v （ t ）的平均變化率 無限趨近于一
個(gè) ，那么這個(gè)常數(shù)稱為物體在 時(shí)的瞬時(shí)加速
度，也就是速度對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率.
無限　
　
常數(shù)　
t ＝ t0　
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）
（1）瞬時(shí)加速度是速度的極限值. （　×　）
（2）在計(jì)算物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度時(shí)， s （ t0＋Δ t ）＞ s （ t0）.
（　×　）
（3）瞬時(shí)速度是刻畫物體在區(qū)間[ t0， t0＋Δ t ]（Δ t ＞0）上變化快
慢的物理量. （　×　）
×
×
×
2. 某物體運(yùn)動(dòng) t s后，其位移（單位：m）為 y ＝ t2＋2 t .在2≤ t ≤4這
段時(shí)間里，該物體的平均速度為（　　）
A. 5 m/s B. 6 m/s
C. 8 m/s D. 10 m/s
解析：　當(dāng) t ＝2時(shí)，位移為 ×22＋2×2＝6，當(dāng) t ＝4時(shí)，位移為
×42＋2×4＝16，在2≤ t ≤4這段時(shí)間里，該物體的平均速度為
＝5 m/s.故選A.
3. 如果質(zhì)點(diǎn) A 按照規(guī)律 s （ t ）＝3 t2運(yùn)動(dòng)，則在 t0＝3時(shí)的瞬時(shí)速度為
（　　）
A. 6 B. 18
C. 54 D. 81
解析：　∵ s （ t ）＝3 t2， t0＝3，∴Δ s ＝ s （ t0＋Δ t ）－ s （ t0）
＝3（3＋Δ t ）2－3×32＝18Δ t ＋3（Δ t ）2.∴ ＝18＋3Δ t .當(dāng)Δ t 無
限趨近于0時(shí)， 無限趨近于18，即質(zhì)點(diǎn) A 在 t0＝3時(shí)的瞬時(shí)速度為
18.
4. （2024·鎮(zhèn)江月考）一質(zhì)點(diǎn)沿直線作加速運(yùn)動(dòng)，假設(shè) t 秒時(shí)的速度為
v （ t ）＝ t2＋10，求質(zhì)點(diǎn)在 t ＝3時(shí)的瞬時(shí)加速度.
解：質(zhì)點(diǎn)在 t ＝3到 t ＝3＋Δ t 的時(shí)間內(nèi)平均加速度為 ＝ ＝
＝ ＝6＋Δ t ，
當(dāng)Δ t 無限趨近于0時(shí)， 無限趨近于6，
即質(zhì)點(diǎn)在 t ＝3時(shí)的瞬時(shí)加速度為6.
典型例題·精研析
02
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 平均速度
【例1】　已知甲、乙兩人百米賽跑路程與時(shí)間的關(guān)系如圖所示.甲、
乙兩人的平均速度各是多少？
解：由題圖可知，當(dāng) t ＝0時(shí)，甲、乙從起點(diǎn)出發(fā)，當(dāng) t ＝12 s時(shí)，甲、
乙到達(dá)終點(diǎn)，且甲、乙兩人跑100 m都用了12 s，即 y總＝100 m， t總＝
12 s，所以 ＝ ＝ ＝ ＝ （m/s）.
通性通法
求物體運(yùn)動(dòng)的平均速度的步驟
（1）先計(jì)算位移的改變量 s （ t2）－ s （ t1）；
（2）再計(jì)算時(shí)間的改變量 t2－ t1；
（3）得平均速度 ＝ .
【跟蹤訓(xùn)練】
一個(gè)物體做直線運(yùn)動(dòng)，位移 s （單位：m）與時(shí)間 t （單位：s）之間的
函數(shù)關(guān)系為 s （ t ）＝5 t2＋ bt ，且這一物體在2≤ t ≤3這段時(shí)間內(nèi)的平
均速度為26 m/s，則實(shí)數(shù) b ＝（　　）
A. 2 B. 1
C. －1 D. 6
解析： 　由已知，得 ＝26，所以（5×32＋3 b ）－
（5×22＋2 b ）＝26，解得 b ＝1.
題型二 瞬時(shí)速度
【例2】　（鏈接教科書第195頁練習(xí)2題）某物體運(yùn)動(dòng)的位移 S （單
位：m）與時(shí)間 t （單位：s）的關(guān)系可用函數(shù) S （ t ）＝ t2＋ t ＋1表
示，求物體在 t ＝1時(shí)的瞬時(shí)速度.
解：在1到1＋Δ t 的時(shí)間內(nèi)，物體的平均速度 ＝ ＝
＝ ＝3＋Δ t ，
∴當(dāng)Δ t 無限趨近于0時(shí)， 無限趨近于3，
∴ S （ t ）在 t ＝1處的瞬時(shí)變化率為3.
即物體在 t ＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為3 m/s.
【母題探究】
　（變設(shè)問）若本例中的條件不變，試求物體的初速度.
解：求物體的初速度，即求物體在 t ＝0時(shí)的瞬時(shí)速度.
∵ ＝
＝ ＝1＋Δ t ，
∴當(dāng)Δ t 無限趨近于0時(shí)，1＋Δ t 無限趨近于1，
∴ S （ t ）在 t ＝0時(shí)的瞬時(shí)變化率為1，
即物體的初速度為1 m/s.
通性通法
求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟
（1）求位移改變量Δ S ＝ S （ t0＋Δ t ）－ S （ t0）；
（2）求平均速度 ＝ ；
（3）求瞬時(shí)速度，當(dāng)Δ t 無限趨近于0時(shí)， 無限趨近于的常數(shù) v 即為
瞬時(shí)速度.
【跟蹤訓(xùn)練】
（2024·鹽城月考）一質(zhì)點(diǎn) M 按運(yùn)動(dòng)方程 s （ t ）＝ at2＋1做直線運(yùn)動(dòng)
（位移單位：m，時(shí)間單位：s），若質(zhì)點(diǎn) M 在 t ＝2 s時(shí)的瞬時(shí)速度為
8 m/s，則常數(shù) a ＝ .
解析：因?yàn)? ＝ ＝ ＝4 a ＋ a Δ t ，當(dāng)Δ t
無限趨近于0時(shí)，4 a ＋ a Δ t 無限趨近于4 a ，即質(zhì)點(diǎn) M 在 t ＝2 s時(shí)的瞬
時(shí)速度為4 a m/s，由4 a ＝8，得 a ＝2.
2　
題型三 瞬時(shí)加速度
【例3】　（鏈接教科書第194頁例6）一輛汽車從停止?fàn)顟B(tài)開始加速
行駛，并且前5 s的速度 v （m/s）與時(shí)間 t （s）的關(guān)系可近似地表示為
v ＝－ t2＋10 t ，0＜ t ≤5，則汽車在 t ＝1 s時(shí)的瞬時(shí)加速度為（　　）
A. 10 m/s2 B. 9 m/s2
C. 8 m/s2 D. 7 m/s2
解析：　由題意得， ＝ ＝－2 t ＋
10－Δ t ，當(dāng)Δ t 無限趨近于0時(shí)， 無限趨近于－2 t ＋10，則汽車在 t
＝1 s時(shí)的瞬時(shí)加速度為8 m/s2.
通性通法
1. 瞬時(shí)加速度即為瞬時(shí)速度在Δ t 無限趨近于0時(shí)的極限值，要求瞬時(shí)
加速度應(yīng)先求出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù).
2. 瞬時(shí)加速度為狀態(tài)量，反映某一時(shí)刻物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是表示速度變
化快慢的物理量.
【跟蹤訓(xùn)練】
某堆雪在融化過程中，其體積 V （單位：m3）與融化時(shí)間 t （單位：
h）近似滿足函數(shù)關(guān)系： V （ t ）＝ （ H 為常數(shù)），其
圖象如圖所示.記此堆雪從融化開始到結(jié)束的平均融化速度為 m3/h，
觀察圖象可知瞬時(shí)融化速度等于 m3/h的時(shí)刻是（　　）
A. t1 B. t2
C. t3 D. t4
解析：　如圖所示，平均融化速度實(shí)際上是點(diǎn) A 與點(diǎn)
B 連線所在直線的斜率 k ；瞬時(shí)融化速度實(shí)際上是曲線
V （ t ）在某時(shí)刻的切線斜率，通過對(duì)比，曲線在 t3時(shí)
刻的切線斜率與 k 相等，故瞬時(shí)融化速度等于 m3/h的
時(shí)刻是 t3.
1. 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律 S ＝ t2＋3，則在時(shí)間[3，3＋Δ t ]中，質(zhì)點(diǎn)的平均速
度等于（　　）
A. 6＋Δ t
C. 3＋Δ t D. 9＋Δ t
解析： 　平均速度為 ＝ ＝6＋Δ t .
2. （2024·南通月考）一物體做直線運(yùn)動(dòng)，其位移 y （單位：m）與時(shí)
間 t （單位：s）的關(guān)系是 y ＝－ t2＋9 t ，則該物體在 t ＝3 s時(shí)的瞬時(shí)
速度為（　　）
A. 3 B. 6
C. 12 D. 16
解析：　Δ y ＝－（3＋Δ t ）2＋9（3＋Δ t ）－（－9＋27）＝－9
－（Δ t ）2－6Δ t ＋27＋9Δ t ＋9－27＝－（Δ t ）2＋3Δ t ，所以 ＝
＝－Δ t ＋3，當(dāng)Δ t 無限趨近于0時(shí)， 無限趨近于3，故
選A.
3. 某物體的運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間的關(guān)系為 v （ t ）＝2 t2－1，則 t ＝2時(shí)的瞬
時(shí)加速度為（　　）
A. 2 B. －2
C. 8 D. －8
解析：　由題意知， ＝ ＝4 t ＋2Δ t ，當(dāng)Δ t
無限趨近于0時(shí)， 無限趨近于4 t ，則該物體在 t ＝2時(shí)的瞬時(shí)加速
度為8.
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 某質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)的方程為 f （ x ）＝－2 x2＋1（ x 表示時(shí)間， f
（ x ）表示位移），則該質(zhì)點(diǎn)從 x ＝1到 x ＝2的平均速度為（　　）
A. －4 B. －8
C. 6 D. －6
解析：　由題意得該質(zhì)點(diǎn)從 x ＝1到 x ＝2的平均速度為
＝ ＝－6.
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2. 一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 S ＝5－3 t2，若該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段[1，1＋Δ t ]內(nèi)
相應(yīng)的平均速度為－3Δ t －6，則該質(zhì)點(diǎn)在 t ＝1時(shí)的瞬時(shí)速度是
（　　）
A. －3 B. 3
C. 6 D. －6
解析：　由平均速度和瞬時(shí)速度的關(guān)系可知，當(dāng)Δ t 無限趨近于0
時(shí)， 無限趨近于－6，即質(zhì)點(diǎn)在 t ＝1時(shí)的瞬時(shí)速度是－6.
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3. 一物體運(yùn)動(dòng)的速度方程為 v （ t ）＝ t2＋3，則 t ＝2時(shí)物體的瞬時(shí)加
速度為（　　）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
解析：　因?yàn)? ＝ ＝2 t ＋Δ t .所以當(dāng)Δ t 無限趨
近于0時(shí)， 無限趨近于2 t .所以 t ＝2時(shí)物體的瞬時(shí)加速度為4.
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4. （2024·無錫質(zhì)檢）某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是 f （ x ）＝ x2－1，其在區(qū)間
[1， m ]上的平均速度為3，則實(shí)數(shù) m 的值為（　　）
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
解析：　根據(jù)題意，該質(zhì)點(diǎn)在區(qū)間[1， m ]上的平均速度為 ＝
＝ m ＋1，則有 m ＋1＝3，解得 m ＝2.
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5. （多選）已知自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為 s （ t ）＝5 t2，則下列結(jié)論正
確的是（　　）
A. t 在2到2＋Δ t 這一段時(shí)間內(nèi)落體的平均速度為20＋5Δ t
B. t 在2到2＋Δ t 這一段時(shí)間內(nèi)落體的平均速度為20
C. 落體在 t ＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為20
D. 落體在 t ＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為25
解析：　由題知物體在 t ＝2到 t ＝2＋Δ t 這一段時(shí)間內(nèi)的平均速
度為 v ＝ ＝20＋5Δ t ，則當(dāng)Δ t 無限趨近于0時(shí)， v 無
限趨近于20，即 t ＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為20.
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6. （多選）已知物體作自由落體運(yùn)動(dòng)的位移函數(shù)為 s （ t ）＝ gt2， g
＝9.8，若 v ＝ ，當(dāng)Δ t 無限趨近于0時(shí)， v 趨近于
9.8，則9.8是（　　）
A. 物體從0 s到1 s這段時(shí)間的平均速度
B. 物體從1 s到（1＋Δ t ）s這段時(shí)間的平均速度
C. 物體在 t ＝1 s這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度
解析：由平均速度、瞬時(shí)速度及切線斜率的幾何意義知C、D正確.
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7. 一物體的運(yùn)動(dòng)方程為 S ＝3 t2－2，則其在 t ＝ 時(shí)的瞬時(shí)速度為1.
解析： ＝ ＝6 t ＋3Δ t .當(dāng)Δ t 無限趨近于0時(shí)，
無限趨近于6 t ，因?yàn)樗矔r(shí)速度為1，故6 t ＝1，即 t ＝ .
　
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8. 已知某物體的位移 S （m）與時(shí)間 t （s）的關(guān)系是 S （ t ）＝3 t － t2.
則 t ＝0 s到 t ＝2 s的平均速度為 ；此物體在 t ＝2 s時(shí)的瞬時(shí)速
度為 .
1 m/s　
－1 m/s　
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解析： v ＝ ＝1（m/s）.
＝
＝ ＝－1－Δ t ，
當(dāng)Δ t 無限趨近于0時(shí)， 無限趨近于－1，∴此物體在 t ＝2 s時(shí)的瞬
時(shí)速度為－1 m/s.
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9. （2024·徐州月考）高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在 t 秒時(shí)距水面高度 h （ t ）
＝－4.9 t2＋6.5 t ＋10（單位：米），則該運(yùn)動(dòng)員的初速度
為 米/秒.
解析： ＝ ＝－4.9Δ t ＋6.5，∵當(dāng)Δ t 無限
趨近于0時(shí)，－4.9Δ t ＋6.5無限趨近于6.5，∴該運(yùn)動(dòng)員的初速度
為6.5米/秒.
6.5　
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10. 飛機(jī)起飛一段時(shí)間內(nèi)，第 t s時(shí)的高度 h （ t ）＝5 t3＋30 t2＋45 t ＋
4，其中高度 h 的單位為m，時(shí)間 t 的單位為s.
（1） h （0）， h （1）， h （2）分別表示什么？
解：h （0）表示飛機(jī)起飛前的高度；
h （1）表示飛機(jī)起飛后第1 s時(shí)的高度；
h （2）表示飛機(jī)起飛后第2 s時(shí)的高度.
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（2）求第2 s內(nèi)的平均速度；
解：飛機(jī)起飛后第2 s內(nèi)的平均速度 ＝ ＝
＝170（m/s）.
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解：第2 s末的瞬時(shí)速度為 ＝ ＝
－
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＝5（Δ t ）2＋60Δ t ＋225.
當(dāng)Δ t 無限趨近于0時(shí)， 無限趨近于225.
∴第2 s末的瞬時(shí)速度為225 m/s.
（3）求第2 s末的瞬時(shí)速度.
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11. （2024·揚(yáng)州質(zhì)檢）甲、乙的速度 v 與時(shí)間 t 的關(guān)系如圖， a （ t0）
是在 t ＝ t0時(shí)的加速度， S （ t0）是從 t ＝0到 t ＝ t0的路程，則下列
說法正確的是（　　）
A. a甲（ t0）＝ a乙（ t0） B. a甲（ t0）＜ a乙（ t0）
C. S甲（ t0）＝ S乙（ t0） D. S甲（ t0）＜ S乙（ t0）
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解析： 　加速度是速度對(duì)時(shí)間的函數(shù)的切線斜率，由圖可得在 t
＝ t0處，甲的切線斜率小于乙的切線斜率，即甲在 t ＝ t0處的加速
度小于乙在 t ＝ t0處的加速度；由圖知，從 t ＝0到 t ＝ t0，甲的速度
總大于等于乙的速度，所以甲從 t ＝0到 t ＝ t0的路程大于乙從 t ＝0
到 t ＝ t0的路程.
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12. 火車開出車站一段時(shí)間內(nèi)，速度 v （單位：米/秒）與行駛時(shí)間 t
（單位：秒）之間的關(guān)系是 v （ t ）＝0.6 t2＋0.4 t ，則火車加速度
為2.8米/秒2時(shí)，剛好開出了（　　）
B. 2秒
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解析：　由題意可知， ＝
＝0.4＋1.2 t ＋0.6Δ t ，當(dāng)Δ t 無限趨近于0時(shí)， 無限趨近于0.4＋
1.2 t ，由0.4＋1.2 t ＝2.8，得 t ＝2秒.
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13. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 y ＝ x ， y ＝0， x ＝ t （ t
＞0）圍成的△ OAB 的面積為 S （ t ），則 S （ t ）在 t ＝2時(shí)的瞬時(shí)
變化率是 .
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解析：∵ S （ t ）＝ OA · AB ＝ · t · t ＝ t2， ＝
＝ ＝ t ＋ ，當(dāng)Δ t 無限趨
近于0時(shí)， 無限趨近于 t ，∴ S （ t ）在 t ＝2時(shí)的瞬時(shí)變化率
是2 .
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14. 一物體的運(yùn)動(dòng)方程如下（位移：m，時(shí)間：s）： S ＝
（1）求物體在 t ∈[3，5]內(nèi)的平均速度；
解： 在 t ∈[3，5]內(nèi)，物體的運(yùn)動(dòng)方程 S ＝3 t2＋2，
則該段時(shí)間內(nèi)的位移Δ S ＝（3×25＋2）－（3×9＋2）＝48（m），
可知平均速度 v ＝ ＝ ＝24（m/s）.
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（2）求物體的初速度；
解：當(dāng)0≤ t ＜3時(shí)， S ＝29＋3（ t －3）2＝3 t2－18 t ＋56，
物體的初速度即物體在 t ＝0時(shí)的瞬時(shí)速度，當(dāng) t ＝0時(shí)，
＝ ＝3Δ t －18，
當(dāng)Δ t 無限趨近于0時(shí)，物體的初速度為－18 m/s.
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（3）求物體在 t ＝1時(shí)的瞬時(shí)速度.
解：當(dāng) t ＝1時(shí)， ＝
＝3Δ t －12，當(dāng)Δ t 趨近于0時(shí)， 趨近于－12，
故 t ＝1時(shí)的瞬時(shí)速度為－12 m/s.
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15. （2024·南京月考）某機(jī)械廠生產(chǎn)一種木材旋切機(jī)械，已知生產(chǎn)總
利潤 c （元）與產(chǎn)量 x （臺(tái)）之間的關(guān)系式為 c （ x ）＝－2 x2＋7
000 x ＋600.
（1）求產(chǎn)量為1 000臺(tái)的總利潤與平均利潤；
解：產(chǎn)量為1 000臺(tái)時(shí)的總利潤為 c （1 000）＝－2×1
0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600（元），
平均利潤為 ＝5 000.6（元）.
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（2）求產(chǎn)量由1 000臺(tái)提高到1 500臺(tái)時(shí)，總利潤的平均改變量；
解：當(dāng)產(chǎn)量由1 000臺(tái)提高到1 500臺(tái)時(shí)，
總利潤的平均改變量為 ＝
＝2 000（元）.
（3）當(dāng)Δ x 無限趨近于0時(shí)，求 與
，并說明它們的實(shí)際意義.
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解：∵當(dāng)Δ x 無限趨近于0時(shí)，
無限趨近于－4 x ＋7 000，
∴ ＝3 000，
＝1 000，
它們指的是當(dāng)產(chǎn)量為1 000臺(tái)時(shí)，生產(chǎn)一臺(tái)機(jī)械可多獲利
3 000元；而當(dāng)產(chǎn)量為1 500臺(tái)時(shí)，生產(chǎn)一臺(tái)機(jī)械可多獲利1000元.
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