資源簡介

第3課時　導數
1.設f'（x0）＝0，則曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0））處的切線（　　）
A.不存在　　 B.與x軸平行或重合
C.與x軸垂直　　 D.與x軸斜交
2.已知f（x）＝x2，則f'（2）＝（　　）
A.1　　 B.2
C.3　　 D.4
3.（2024·宿遷月考）已知函數f（x）滿足f'（x1）＞0，f'（x2）＜0，則在x1和x2附近符合條件的f（x）的圖象大致是（　　）
4.已知曲線f（x）＝x2＋x的一條切線的斜率是3，則該切點的橫坐標為（　　）
A.－2　　 B.－1
C.1　　 D.2
5.設函數y＝f（x）在x＝x0處可導，且＝1，則f'（x0）＝（　　）
A.1　　 B.－1
C.－　　 D.
6.（多選）下列說法正確的是（　　）
A.若f'（x0）不存在，則曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0））處也可能有切線
B.若曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0））處有切線，則f'（x0）必存在
C.若f'（x0）不存在，則曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0））處的切線斜率不存在
D.若曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0））處沒有切線，則f'（x0）有可能存在
7.設函數f（x）＝ax＋3，若f'（1）＝3，則a＝　　　　.
8.函數y＝（x－1）2的導數y'＝　　　　.
9.（2024·鹽城月考）請根據圖中的函數圖象，將下列數值按從小到大的順序排列為　　　　（填序號）.
①曲線在點A處切線的斜率；②曲線在點B處切線的斜率；③曲線在點C處切線的斜率；④割線AB的斜率；⑤數值0；⑥數值1.
10.求函數f（x）＝2x2＋4x在x＝3處的導數.
11.曲線y＝x＋上任意一點P處的切線斜率為k，則k的取值范圍是（　　）
A.（－∞，－1）　　 B.（－1，1）
C.（－∞，1）　　 D.（1，＋∞）
12.若函數f（x）的導函數在區間[a，b]上單調遞增，則函數f（x）在區間[a，b]上的圖象可能是（　　）
13.（2024·南通質檢）已知直線x＋y＝b是函數f（x）＝ax＋的圖象在點（1，m）處的切線，則a＋b＝　　　　，m＝　　　　.
14.某銅管廠生產銅管的利潤函數為P（n）＝－n3＋600n2＋67 500n－1 200 000，其中n為工廠每月生產該銅管的根數，利潤P（n）的單位是元.
（1）求利潤函數P'（n）＝0時n的值；
（2）解釋（1）中n的實際意義.
15.（2024·蘇州質檢）英國數學家牛頓在17世紀給出了一種求方程近似根的方法——牛頓迭代法，方法如下：如圖，設r是f（x）＝0的根，選取x0作為r的初始近似值，在點（x0，f（x0））處作曲線y＝f（x）的切線l：y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0），則l與x軸的交點的橫坐標x1＝x0－（f'（x0）≠0），稱x1是r的一次近似值；在點（x1，f（x1））處作曲線y＝f（x）的切線，則該切線與x軸的交點的橫坐標為x2，稱x2是r的二次近似值；重復以上過程，得r的近似值序列，其中xn＋1＝xn－（f'（xn）≠0），稱xn＋1是r的n＋1次近似值.若使用該方法求方程x2＝2的近似解.
（1）取初始近似值為2，求該方程解的二次近似值；
（2）證明：x4＝x0－－－－.
第3課時　導數
1.B　因為f'（x0）＝0，所以曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0））處的切線斜率為0，故切線與x軸平行或重合.
2.D　f'（2）＝＝＝（4＋Δx）＝4.
3.D　由f'（x1）＞0，f'（x2）＜0可知，f（x）的圖象在x1處切線的斜率為正，在x2處切線的斜率為負.
4.D　∵Δy＝f（x＋Δx）－f（x）＝（x＋Δx）2＋（x＋Δx）－x2－x＝x·Δx＋（Δx）2＋Δx，∴＝x＋Δx＋1，∴f'（x）＝＝x＋1.設切點坐標為（x0，y0），則f'（x0）＝x0＋1＝3，∴x0＝2.
5.C　∵＝
［·（－3）］＝－3f'（x0）＝1，∴f'（x0）＝－.故選C.
6.AC　k＝f'（x0），所以f'（x0）不存在只能說明曲線在該點處的切線斜率不存在，而當斜率不存在時，切線方程也可能存在，其切線方程是x＝x0，故A、C正確.
7.3　解析：因為f'（1）＝＝＝a，所以a＝3.
8.2（x－1）　解析：y'＝
＝
＝＝2x－2＝2（x－1）.
9.③⑤②④⑥①　解析：由圖象可知：曲線在點A處的瞬時變化率大于y＝x的變化率，則曲線在點A處的切線斜率kA＞1；曲線在點B處的瞬時變化率為正且小于y＝x的變化率，則曲線在點B處的切線斜率0＜kB＜1；曲線在點C處的瞬時變化率為負，則曲線在點C處的切線斜率kC＜0；割線AB的斜率為正且小于y＝x的變化率，則割線AB的斜率0＜kAB＜1；又曲線在點B處的切線斜率小于割線AB的斜率，∴0＜kB＜kAB＜1；綜上所述，按照從小到大的順序排列為③⑤②④⑥①.
10.解：Δy＝2（3＋Δx）2＋4（3＋Δx）－（2×32＋4×3）
＝12Δx＋2（Δx）2＋4Δx＝2（Δx）2＋16Δx，
∴＝＝2Δx＋16.
∴f'（3）＝＝（2Δx＋16）＝16.
11.C　y＝x＋上任意一點P（x0，y0）處的切線斜率為k＝y'＝
＝（1－）＝1－＜1，即k＜1，故選C.
12.A　函數f（x）的導函數f'（x）在[a，b]上單調遞增，若對任意x1和x2滿足a＜x1＜x2＜b，則有f'（a）＜f'（x1）＜f'（x2）＜f'（b），根據導數的幾何意義，可知函數y＝f（x）的切線斜率在[a，b]內單調遞增，觀察圖象，只有A選項符合.
13.5　3　解析：由題意知m＝a＋2，1＋m＝b，因為f'（1）＝＝（a－）＝a－2，所以曲線f（x）在點（1，m）處的切線斜率為a－2，由a－2＝－1，得a＝1，m＝3，b＝4，a＋b＝5.
14.解：（1）因為Δy＝P（n＋Δn）－P（n）＝－（n＋Δn）3＋600（n＋Δn）2＋67 500（n＋Δn）－1 200 000－（－n3＋600n2＋67 500n－1 200 000）
＝（－3n2＋1 200n＋67 500）Δn＋（－3n＋600－Δn）（Δn）2，
所以＝－3n2＋1 200n＋67 500＋（－3n＋600－Δn）Δn.
當Δn無限趨近于0時，無限趨近于－3n2＋1 200n＋67 500.
所以P'（n）＝－3n2＋1 200n＋67 500.
由P'（n）＝0，即－3n2＋1 200n＋67 500＝0.
解得n＝450或n＝－50（舍）.
即當利潤函數P'（n）＝0時，n的值為450.
（2）當P'（n）＝0時，n的值為450表示的實際意義是當工廠每月生產450根銅管時，利潤增加量為零.
15.解：（1）令f（x）＝x2－2，則f'（x）＝＝2x，
取初始近似值x0＝2，則x1＝x0－＝2－＝，x2＝x1－＝－＝.
（2）證明：根據題意，可知x1＝x0－，x2＝x1－，x3＝x2－，x4＝x3－，上述四式相加，得x4＝x0－－－－.
2 / 2第3課時　導數
從物理學中我們知道，如果物體運動的軌跡是一條曲線，那么該物體在每一個點處的瞬時速度的方向是與曲線相切的.例如，若物體的運動軌跡如圖所示，而且物體是順次經過A，B兩點的，則物體在A點處的瞬時速度的方向與向量v的方向相同.
【問題】　如果設曲線的方程為y＝f（x），A（x0，f（x0）），那么曲線在點A處的切線的斜率是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　導數
1.導數的定義
設函數y＝f（x）在區間（a，b）上有定義，x0∈（a，b），若Δx無限趨近于　　時，比值＝無限趨近于一個　　　　，則稱f（x）在x＝x0處　　　，并稱該常數A為函數f（x）在x＝x0處的導數（也稱為瞬時變化率），記作　　　.即f'（x0）＝.
提醒　對導數概念的再理解：①函數應在點x0的附近有定義，否則導數不存在；②導數是一個局部概念，它只與函數y＝f（x）在x＝x0及其附近的函數值有關，與Δx無關；③導數的實質是一個極限值.
2.導數的幾何意義
導數f'（x0）的幾何意義就是曲線y＝f（x）在點　　　　處的切線的　　　.
3.導函數的定義
若f（x）對于區間（a，b）內任一點都可導，則f（x）在各點處的導數也隨著自變量x的變化而變化，因而也是自變量x的函數，該函數稱為f（x）的導函數，記作　　　.
提醒　函數f（x）在x＝x0處的導數f'（x0）、導函數f'（x）之間的區別與聯系：①區別：（ⅰ）f'（x0）是在x＝x0處函數值的改變量與自變量的改變量之比的極限，是一個常數，不是變量；（ⅱ）f'（x）是函數f（x）的導函數，是對某一區間內任意x而言的；②聯系：函數f（x）在x＝x0處的導數f'（x0）就是導函數f'（x）在x＝x0處的函數值.
【想一想】
若函數y＝f（x）在點x0處的導數存在，則曲線y＝f（x）在點P（x0，f（x0））處的切線方程是什么？
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）函數在x＝x0處的導數反映了函數在區間[x0，x0＋Δx]上變化的快慢程度.（　　）
（2）函數y＝f（x）在x＝x0處的導數值與Δx的正負無關.（　　）
（3）函數在x＝x0處的導數f'（x0）是一個常數.（　　）
（4）函數y＝f（x）在x＝x0處的導數值就是曲線y＝f（x）在x＝x0處的切線的斜率.（　　）
2.設f（x）＝2x＋1，則f'（1）＝（　　）
A.0　　 B.1
C.2　　 D.3
3.（2024·常州月考）若曲線y＝f（x）在點（x0，f（x0））處的切線方程為2x－y＋1＝0，則（　　）
A.f'（x0）＞0　　 B.f'（x0）＜0
C.f'（x0）＝0　　 D.f'（x0）不存在
題型一 導數的概念
【例1】　若函數y＝f（x）在x＝x0處的導數等于a，則的值為（　　）
A.0　　 B.a
C.2a　　 D.3a
通性通法
1.利用定義求函數在某點處的導數，其格式采用的是求過一點的切線斜率，在求解時要注意分子、分母的對應關系.
2.導數的定義式可取不同的形式，常見的有：f'（x0）＝，f'（x0）＝.在這里h＝Δx；
f'（x0）＝，在這里Δx＝x－x0.
【跟蹤訓練】
設函數f（x）在x＝1處的導數為2，則＝　　　　.
題型二 求函數在某點處的導數
【例2】　（鏈接教科書第196頁例7）求函數f（x）＝x－在x＝1處的導數f'（1）.
通性通法
用導數定義求函數在某一點處的導數的步驟
（1）求函數的改變量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）；
（2）求平均變化率＝；
（3）求導數f'（x0）＝.
【跟蹤訓練】
1.函數f（x）＝在x＝2處的導數為（　　）
A.2　　 B.－
C.　　 D.－
2.函數y＝在x＝1處的導數為　　　　.
題型三 導函數
【例3】　已知y＝，則y'＝　　　　.
通性通法
求導函數的一般步驟
（1）求Δy＝f（x＋Δx）－f（x）；
（2）求＝；
（3）求.
【跟蹤訓練】
已知函數f（x）＝x2－x.則f'（x）＝　　　　.
題型四 導數的幾何意義及應用
【例4】　（2024·蘇州月考）已知函數f（x）的圖象如圖所示，則下列不等關系中正確的是（　　）
A.0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2）
B.0＜f'（2）＜f（3）－f（2）＜f'（3）
C.0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2）
D.0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3）
通性通法
　　函數y＝f（x）在x＝x0處的導數的幾何意義就是該函數曲線在x＝x0處的切線的斜率，所以比較兩個導數值的大小可以根據函數圖象，觀察函數y＝f（x）在這兩點處對應切線的斜率的大小.
【跟蹤訓練】
已知曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為2x－y＋2＝0，則f'（1）＝（　　）
A.4　　 B.－4
C.－2　　 D.2
1.設f（x）是可導函數，且＝－2，則f'（x0）＝（　　）
A.2　　 B.－1
C.1　　 D.－2
2.（2024·連云港月考）如圖，點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））在函數f（x）的圖象上，且x2＜x1，則f'（x1）與f'（x2）的大小關系是（　　）
A.f'（x1）＞f'（x2）
B.f'（x1）＜f'（x2）
C.f'（x1）＝f'（x2）
D.不能確定
3.求f（x）＝x2在x＝1處的導數.
第3課時　導數
【基礎知識·重落實】
知識點
1.0　常數A　可導　f'（x0）
2.P（x0，f（x0））　斜率　3.f'（x）
想一想
　提示：根據直線的點斜式方程，得切線方程為y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0）.
自我診斷
1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）√
2.C　f'（1）＝
＝＝2.
3.A　由切線方程可以看出其斜率是2，又曲線在該點處的切線的斜率就是函數在該點處的導數，即k＝f'（x0）＝2＞0，故選A.
【典型例題·精研析】
【例1】　C　由已知得
＝
＝＋
＝2f'（x0）＝2a，故選C.
跟蹤訓練
　－1　解析：因為函數f（x）在x＝1處的導數為2，即f'（1）＝2，所以＝
－＝－f'（1）＝－1.
【例2】　解：∵Δy＝（1＋Δx）－－（1－）＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴＝（1＋）＝2.
從而f'（1）＝2.
跟蹤訓練
1.D　∵＝＝＝－·，∴f'（2）＝＝（－·）＝－，∴f（x）在x＝2處的導數為－.
2.　解析：∵Δy＝－1，＝＝，＝，∴y'｜x＝1＝.
【例3】　　解析：∵Δy＝－，∴＝，∴＝＝
＝＝，
即y'＝.
跟蹤訓練
　2x－　解析：∵Δy＝f（x＋Δx）－f（x）＝（Δx）2＋2x·Δx－Δx，∴＝2x＋Δx－，∴f'（x）＝＝2x－.
【例4】　C　kAB＝＝f（3）－f（2），f'（2）為函數f（x）的圖象在點B（2，f（2））處的切線的斜率，f'（3）為函數f（x）的圖象在點A（3，f（3））處的切線的斜率，根據題圖可知0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2）.
跟蹤訓練
　D　由導數的幾何意義知f'（1）＝2.
隨堂檢測
1.C　f'（x0）＝＝－×＝－×（－2）＝1.
2.A　如圖，根據導數的幾何意義，f'（x1）為曲線f（x）在點A處切線的斜率，設該斜率為k1，f'（x2）為曲線f（x）在點B處切線的斜率，設該斜率為k2，由圖象可得0＞k1＞k2，即有f'（x1）＞f'（x2）.
3.解：＝＝
＝（2＋Δx）＝2.
3 / 4(共60張PPT)
第3課時　導數
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
從物理學中我們知道，如果物體運動的軌跡是一條曲線，那么該物體
在每一個點處的瞬時速度的方向是與曲線相切的.例如，若物體的運
動軌跡如圖所示，而且物體是順次經過 A ， B 兩點的，則物體在 A 點
處的瞬時速度的方向與向量 v 的方向相同.
【問題】　如果設曲線的方程為 y ＝ f （ x ）， A （ x0， f （ x0）），那
么曲線在點 A 處的切線的斜率是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　導數
1. 導數的定義
設函數 y ＝ f （ x ）在區間（ a ， b ）上有定義， x0∈（ a ， b ），若
Δ x 無限趨近于 時，比值 ＝ 無限趨近于
一個 ，則稱 f （ x ）在 x ＝ x0處 ，并稱該常數 A
為函數 f （ x ）在 x ＝ x0處的導數（也稱為瞬時變化率），記作
.即f'（ x0）＝ .
0　
常數 A 　
可導　
f'
（ x0）　
提醒　對導數概念的再理解：①函數應在點 x0的附近有定義，否則
導數不存在；②導數是一個局部概念，它只與函數 y ＝ f （ x ）在 x
＝ x0及其附近的函數值有關，與Δ x 無關；③導數的實質是一個極
限值.
2. 導數的幾何意義
導數f'（ x0）的幾何意義就是曲線 y ＝ f （ x ）在點
處的切線的 .
3. 導函數的定義
若 f （ x ）對于區間（ a ， b ）內任一點都可導，則 f （ x ）在各點處
的導數也隨著自變量 x 的變化而變化，因而也是自變量 x 的函數，
該函數稱為 f （ x ）的導函數，記作 .
P （ x0， f
（ x0））　
斜率　
f'（ x ）　
提醒　函數 f （ x ）在 x ＝ x0處的導數f'（ x0）、導函數f'（ x ）之間
的區別與聯系：①區別：（ⅰ）f'（ x0）是在 x ＝ x0處函數值的改變
量與自變量的改變量之比的極限，是一個常數，不是變量；（ⅱ）f'
（ x ）是函數 f （ x ）的導函數，是對某一區間內任意 x 而言的；②
聯系：函數 f （ x ）在 x ＝ x0處的導數f'（ x0）就是導函數f'（ x ）在 x
＝ x0處的函數值.
【想一想】
若函數 y ＝ f （ x ）在點 x0處的導數存在，則曲線 y ＝ f （ x ）在點 P
（ x0， f （ x0））處的切線方程是什么？
提示：根據直線的點斜式方程，得切線方程為 y － f （ x0）＝f'（ x0）
（ x － x0）.
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）函數在 x ＝ x0處的導數反映了函數在區間[ x0， x0＋Δ x ]上變
化的快慢程度. （　×　）
（2）函數 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0處的導數值與Δ x 的正負無關.
（　√　）
（3）函數在 x ＝ x0處的導數f'（ x0）是一個常數. （　√　）
（4）函數 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0處的導數值就是曲線 y ＝ f （ x ）在 x
＝ x0處的切線的斜率. （　√　）
×
√
√
√
2. 設 f （ x ）＝2 x ＋1，則f'（1）＝（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：　f'（1）＝
＝ ＝2.
3. （2024·常州月考）若曲線 y ＝ f （ x ）在點（ x0， f （ x0））處的切
線方程為2 x － y ＋1＝0，則（　　）
A. f'（ x0）＞0 B. f'（ x0）＜0
C. f'（ x0）＝0 D. f'（ x0）不存在
解析：　由切線方程可以看出其斜率是2，又曲線在該點處的
切線的斜率就是函數在該點處的導數，即 k ＝f'（ x0）＝2＞0，
故選A.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 導數的概念
【例1】　若函數 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0處的導數等于 a ，則
的值為（　　）
A. 0 B. a
C. 2 a D. 3 a
解析：　由已知得 ＝
＝
＋ ＝2f'（ x0）＝2 a ，
故選C.
通性通法
1. 利用定義求函數在某點處的導數，其格式采用的是求過一點的切線
斜率，在求解時要注意分子、分母的對應關系.
2. 導數的定義式可取不同的形式，常見的有：
f'（ x0）＝ ，
f'（ x0）＝ .在這里 h ＝Δ x ；
f'（ x0）＝ ，在這里Δ x ＝ x － x0.
【跟蹤訓練】
設函數 f （ x ）在 x ＝1處的導數為2，則 ＝ .
解析：因為函數 f （ x ）在 x ＝1處的導數為2，即f'（1）＝2，所以
＝－ ＝－ f'（1）＝－1.
－1　
題型二 求函數在某點處的導數
【例2】　（鏈接教科書第196頁例7）求函數 f （ x ）＝ x － 在 x ＝1處
的導數f'（1）.
解：∵Δ y ＝（1＋Δ x ）－ －（1－ ）
＝Δ x ＋ ，
∴ ＝ ＝1＋ ，
∴ ＝ （1＋ ）＝2.
從而f'（1）＝2.
通性通法
用導數定義求函數在某一點處的導數的步驟
（1）求函數的改變量Δ y ＝ f （ x0＋Δ x ）－ f （ x0）；
（2）求平均變化率 ＝ ；
（3）求導數f'（ x0）＝ .
【跟蹤訓練】
1. 函數 f （ x ）＝ 在 x ＝2處的導數為（　　）
A. 2
解析：　∵ ＝ ＝ ＝－ · ，
∴f'（2）＝ ＝ （－ · ）＝－ ，∴ f （ x ）在 x ＝
2處的導數為－ .
2. 函數 y ＝ 在 x ＝1處的導數為 　 　.
解析：∵Δ y ＝ －1， ＝ ＝ ，
＝ ，∴y'｜ x＝1＝ .

題型三 導函數
【例3】　已知 y ＝ ，則y'＝ 　 　.
解析：∵Δ y ＝ － ，∴ ＝ ，∴ ＝
＝ ＝ ＝ ，即y'＝ .

通性通法
求導函數的一般步驟
（1）求Δ y ＝ f （ x ＋Δ x ）－ f （ x ）；
（2）求 ＝ ；
（3）求 .
【跟蹤訓練】
已知函數 f （ x ）＝ x2－ x .則f'（ x ）＝ 　2 x － 　.
解析：∵Δ y ＝ f （ x ＋Δ x ）－ f （ x ）＝（Δ x ）2＋2 x ·Δ x － Δ x ，
∴ ＝2 x ＋Δ x － ，∴f'（ x ）＝ ＝2 x － .
2 x － 　
題型四 導數的幾何意義及應用
【例4】　（2024·蘇州月考）已知函數 f （ x ）的圖象如圖所示，則下
列不等關系中正確的是（　　）
A. 0＜f'（2）＜f'（3）＜ f （3）－ f （2）
B. 0＜f'（2）＜ f （3）－ f （2）＜f'（3）
C. 0＜f'（3）＜ f （3）－ f （2）＜f'（2）
D. 0＜ f （3）－ f （2）＜f'（2）＜f'（3）
解析：　 kAB ＝ ＝ f （3）－ f （2），f'（2）為函數 f
（ x ）的圖象在點 B （2， f （2））處的切線的斜率，f'（3）為函數 f
（ x ）的圖象在點 A （3， f （3））處的切線的斜率，根據題圖可知0
＜f'（3）＜ f （3）－ f （2）＜f'（2）.
通性通法
　　函數 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0處的導數的幾何意義就是該函數曲線在 x
＝ x0處的切線的斜率，所以比較兩個導數值的大小可以根據函數圖
象，觀察函數 y ＝ f （ x ）在這兩點處對應切線的斜率的大小.
【跟蹤訓練】
已知曲線 y ＝ f （ x ）在點（1， f （1））處的切線方程為2 x － y ＋2＝
0，則f'（1）＝（　　）
A. 4 B. －4
C. －2 D. 2
解析：　由導數的幾何意義知f'（1）＝2.
1. 設 f （ x ）是可導函數，且 ＝－2，則f'
（ x0）＝（　　）
A. 2 B. －1
C. 1 D. －2
解析：　f'（ x0）＝ ＝－ ×
＝－ ×（－2）＝1.
2. （2024·連云港月考）如圖，點 A （ x1， f （ x1））， B （ x2， f
（ x2））在函數 f （ x ）的圖象上，且 x2＜ x1，則f'（ x1）與f'（ x2）
的大小關系是（　　）
A. f'（ x1）＞f'（ x2）
B. f'（ x1）＜f'（ x2）
C. f'（ x1）＝f'（ x2）
D. 不能確定
解析：　如圖，根據導數的幾何意義，f'（ x1）
為曲線 f （ x ）在點 A 處切線的斜率，設該斜率為
k1，f'（ x2）為曲線 f （ x ）在點 B 處切線的斜率，
設該斜率為 k2，由圖象可得0＞ k1＞ k2，即有f'
（ x1）＞f'（ x2）.
3. 求 f （ x ）＝ x2在 x ＝1處的導數.
解： ＝ ＝
＝ （2＋Δ x ）＝2.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 設f'（ x0）＝0，則曲線 y ＝ f （ x ）在點（ x0， f （ x0））處的切線
（　　）
A. 不存在 B. 與 x 軸平行或重合
C. 與 x 軸垂直 D. 與 x 軸斜交
解析： 　因為f'（ x0）＝0，所以曲線 y ＝ f （ x ）在點（ x0， f
（ x0））處的切線斜率為0，故切線與 x 軸平行或重合.
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2. 已知 f （ x ）＝ x2，則f'（2）＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 　f'（2）＝ ＝ ＝
（4＋Δ x ）＝4.
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3. （2024·宿遷月考）已知函數 f （ x ）滿足f'（ x1）＞0，f'（ x2）＜
0，則在 x1和 x2附近符合條件的 f （ x ）的圖象大致是（　　）
解析： 　由f'（ x1）＞0，f'（ x2）＜0可知， f （ x ）的圖象在 x1處
切線的斜率為正，在 x2處切線的斜率為負.
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4. 已知曲線 f （ x ）＝ x2＋ x 的一條切線的斜率是3，則該切點的橫坐
標為（　　）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
解析： 　∵Δ y ＝ f （ x ＋Δ x ）－ f （ x ）＝ （ x ＋Δ x ）2＋（ x ＋
Δ x ）－ x2－ x ＝ x ·Δ x ＋ （Δ x ）2＋Δ x ，∴ ＝ x ＋ Δ x ＋1，
∴f'（ x ）＝ ＝ x ＋1.設切點坐標為（ x0， y0），則f'（ x0）
＝ x0＋1＝3，∴ x0＝2.
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5. 設函數 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0處可導，且 ＝1，則f'
（ x0）＝（　　）
A. 1 B. －1
解析： 　∵ ＝［ ·（－
3）］＝－3f'（ x0）＝1，∴f'（ x0）＝－ .故選C.
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6. （多選）下列說法正確的是（　　）
A. 若f'（ x0）不存在，則曲線 y ＝ f （ x ）在點（ x0， f （ x0））處也可
能有切線
B. 若曲線 y ＝ f （ x ）在點（ x0， f （ x0））處有切線，則f'（ x0）必存
在
C. 若f'（ x0）不存在，則曲線 y ＝ f （ x ）在點（ x0， f （ x0））處的切
線斜率不存在
D. 若曲線 y ＝ f （ x ）在點（ x0， f （ x0））處沒有切線，則f'（ x0）有
可能存在
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解析： 　 k ＝f'（ x0），所以f'（ x0）不存在只能說明曲線在該點
處的切線斜率不存在，而當斜率不存在時，切線方程也可能存在，
其切線方程是 x ＝ x0，故A、C正確.
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7. 設函數 f （ x ）＝ ax ＋3，若f'（1）＝3，則 a ＝ .
解析：因為f'（1）＝ ＝
＝ a ，所以 a ＝3.
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8. 函數 y ＝（ x －1）2的導數y'＝ .
解析：y'＝
＝
＝ ＝2 x －2＝2（ x －1）.
2（ x －1）　
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9. （2024·鹽城月考）請根據圖中的函數圖象，將下列數值按從小到
大的順序排列為 （填序號）.
③⑤②④⑥①　
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①曲線在點 A 處切線的斜率；②曲線在點 B 處切線的斜率；③曲線
在點 C 處切線的斜率；④割線 AB 的斜率；⑤數值0；⑥數值1.
解析：由圖象可知：曲線在點 A 處的瞬時變化率大于 y ＝ x 的變化
率，則曲線在點 A 處的切線斜率 kA ＞1；曲線在點 B 處的瞬時變化
率為正且小于 y ＝ x 的變化率，則曲線在點 B 處的切線斜率0＜ kB ＜
1；曲線在點 C 處的瞬時變化率為負，則曲線在點 C 處的切線斜率
kC ＜0；割線 AB 的斜率為正且小于 y ＝ x 的變化率，則割線 AB 的斜
率0＜ kAB ＜1；又曲線在點 B 處的切線斜率小于割線 AB 的斜率，
∴0＜ kB ＜ kAB ＜1；綜上所述，按照從小到大的順序排列為③⑤②
④⑥①.
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10. 求函數 f （ x ）＝2 x2＋4 x 在 x ＝3處的導數.
解：Δ y ＝2（3＋Δ x ）2＋4（3＋Δ x ）－（2×32＋4×3）
＝12Δ x ＋2（Δ x ）2＋4Δ x ＝2（Δ x ）2＋16Δ x ，
∴ ＝ ＝2Δ x ＋16.
∴f'（3）＝ ＝ （2Δ x ＋16）＝16.
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11. 曲線 y ＝ x ＋ 上任意一點 P 處的切線斜率為 k ，則 k 的取值范圍是
（　　）
A. （－∞，－1） B. （－1，1）
C. （－∞，1） D. （1，＋∞）
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解析： 　 y ＝ x ＋ 上任意一點 P （ x0， y0）處的切線斜率為 k ＝
y' ＝ ＝ （1－ ）＝1－ ＜1，即 k ＜1，故選C.
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12. 若函數 f （ x ）的導函數在區間[ a ， b ]上單調遞增，則函數 f
（ x ）在區間[ a ， b ]上的圖象可能是（　　）
解析： 　函數 f （ x ）的導函數f'（ x ）在[ a ， b ]上單調遞增，若
對任意 x1和 x2滿足 a ＜ x1＜ x2＜ b ，則有f'（ a ）＜f'（ x1）＜f'
（ x2）＜f'（ b ），根據導數的幾何意義，可知函數 y ＝ f （ x ）的
切線斜率在[ a ， b ]內單調遞增，觀察圖象，只有A選項符合.
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13. （2024·南通質檢）已知直線 x ＋ y ＝ b 是函數 f （ x ）＝ ax ＋ 的圖
象在點（1， m ）處的切線，則 a ＋ b ＝ ， m ＝ .
解析：由題意知 m ＝ a ＋2，1＋ m ＝ b ，因為f'（1）＝
＝ （ a － ）＝ a －2，所以曲線 f
（ x ）在點（1， m ）處的切線斜率為 a －2，由 a －2＝－1，得 a
＝1， m ＝3， b ＝4， a ＋ b ＝5.
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14. 某銅管廠生產銅管的利潤函數為 P （ n ）＝－ n3＋600 n2＋67 500 n
－1 200 000，其中 n 為工廠每月生產該銅管的根數，利潤 P （ n ）
的單位是元.
（1）求利潤函數P'（ n ）＝0時 n 的值；
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解： 因為Δ y ＝ P （ n ＋Δ n ）－ P （ n ）＝－（ n ＋Δ
n ）3＋600（ n ＋Δ n ）2＋67 500（ n ＋Δ n ）－1 200 000－
（－ n3＋600 n2＋67 500 n －1 200 000）
＝（－3 n2＋1 200 n ＋67 500）Δ n ＋（－3 n ＋600－Δ n ）（Δ n ）2，
所以 ＝－3 n2＋1 200 n ＋67 500＋（－3 n ＋600－Δ n ）Δ n .
當Δ n 無限趨近于0時， 無限趨近于－3 n2＋1 200 n ＋67 500.
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所以P'（ n ）＝－3 n2＋1 200 n ＋67 500.
由P'（ n ）＝0，即－3 n2＋1 200 n ＋67 500＝0.
解得 n ＝450或 n ＝－50（舍）.
即當利潤函數P'（ n ）＝0時， n 的值為450.
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（2）解釋（1）中 n 的實際意義.
解： 當P'（ n ）＝0時， n 的值為450表示的實際意義是
當工廠每月生產450根銅管時，利潤增加量為零.
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15. （2024·蘇州質檢）英國數學家牛頓在17世紀給出了一種求方程近
似根的方法——牛頓迭代法，方法如下：如圖，設 r 是 f （ x ）＝0
的根，選取 x0作為 r 的初始近似值，在點（ x0， f （ x0））處作曲
線 y ＝ f （ x ）的切線 l ： y － f （ x0）＝f'（ x0）
（ x － x0），則 l 與 x 軸的交點的橫坐標 x1＝ x0－
（f'（ x0）≠0），稱 x1是 r 的一次近似值；
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在點（ x1， f （ x1））處作曲線 y ＝ f （ x ）的切線，
則該切線與 x 軸的交點的橫坐標為 x2，稱 x2是 r 的二次近似值；重
復以上過程，得 r 的近似值序列，其中 xn＋1＝ xn － （f'
（ xn ）≠0），稱 xn＋1是 r 的 n ＋1次近似值.若使用該方法求方程
x2＝2的近似解.
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（1）取初始近似值為2，求該方程解的二次近似值；
解：令 f （ x ）＝ x2－2，則f'（ x ）
＝ ＝2 x ，
取初始近似值 x0＝2，則 x1＝ x0－
＝2－ ＝ ， x2＝ x1－
＝ － ＝ .
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（2）證明： x4＝ x0－ － － － .
解：證明：根據題意，可知 x1＝ x0
－ ， x2＝ x1－ ， x3＝ x2
－ ， x4＝ x3－ ，上述四
式相加，得 x4＝ x0－ －
－ － .
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謝 謝 觀 看！

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