資源簡(jiǎn)介

5.2.1　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
1.函數(shù)y＝2x在x＝2處的導(dǎo)數(shù)為（　　）
A.2　　 B.4
C.2ln 2　　 D.4ln 2
2.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（　　）
A.（cos）'＝sin
B.（）'＝－
C.（lg x）'＝
D.（）'＝
3.一物體沿一光滑斜面下滑，測(cè)得物體下滑速度滿足v（t）＝log2t，則該物體在第2 s時(shí)下滑的加速度a＝（　　）
A.ln 2　　 B.2ln 2
C.　　 D.
4.（2024·泰州月考）已知直線y＝x＋b是曲線y＝ln x（x＞0）的一條切線，則實(shí)數(shù)b＝（　　）
A.－1　　 B.0
C.ln 2－1　　 D.ln 2＋1
5.（多選）已知曲線y＝x3在點(diǎn)P處的切線斜率為3，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（　　）
A.（－1，1）　　 B.（－1，－1）
C.（1，1）　　 D.（1，－1）
6.（多選）直線y＝x＋b能作為下列函數(shù)圖象的切線的有（　　）
A.f（x）＝　　 B.f（x）＝x4
C.f（x）＝sin x　　 D.f（x）＝ex
7.（2024·南通期中）曲線y＝ln x在點(diǎn)M（e，1）處的切線的斜率是　　　　，切線方程為　　　　　　.
8.設(shè)函數(shù)y＝f（x）是一次函數(shù)，若f（1）＝－1，且f'（2）＝－4，則f（x）＝　　　　.
9.若曲線y＝在點(diǎn)P（a，）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則實(shí)數(shù)a的值是　　　　.
10.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
（1）y＝；（2）y＝；
（3）y＝－2sin（1－2cos2）.
11.已知f（x）＝2cos2－1，g（x）＝x，則關(guān)于x的不等式f'（x）＋g'（x）≤0的解集為（　　）
A.{x｜x＝＋2kπ，k∈Z}
B.{x｜x＝2kπ，k∈Z}
C.{x｜x＝＋2kπ，k∈Z}
D.{x｜x＝2kπ＋π，k∈Z}
12.（多選）若函數(shù)y＝f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y＝f（x）具有T性質(zhì)，下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（　　）
A.f（x）＝cos x　　B.f（x）＝ln x
C.f（x）＝ex　　D.f（x）＝x2
13.（2024·鎮(zhèn)江質(zhì)檢）函數(shù)y＝x2（x＞0）的圖象在點(diǎn)（ak，）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，則a1＋a3＋a5＝　　　　.
14.已知點(diǎn)P（，a）在曲線f（x）＝cos x上，直線l是以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線.
（1）求a的值；
（2）求過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線方程.
15.（2024·南京月考）已知點(diǎn)A，B（2，1），函數(shù)f（x）＝log2x.
（1）過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線y＝f（x）的切線，求切線方程；
（2）在曲線y＝f（x）上是否存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P的切線與直線AB平行？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
5.2.1　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
1.D　y'＝（2x）'＝2xln 2，故所求導(dǎo)數(shù)為4ln 2.
2.C　（cos）'＝0，故A不正確；（）'＝（x－3）'＝－3x－4，故B不正確；（lg x）'＝，故C正確；（）'＝（）'＝，故D不正確.故選C.
3.D　v'（t）＝（log2t）'＝，又t＝2，∴a＝.
4.C　設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則y0＝ln x0.y'＝（ln x）'＝，∴k＝.由題意知＝，∴x0＝2，y0＝ln 2.由ln 2＝×2＋b，得b＝ln 2－1.
5.BC　y'＝3x2，因?yàn)閗＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，－1）或（1，1）.
6.BCD　f（x）＝，f'（x）＝－＝不成立，所以A不正確；f（x）＝x4，f'（x）＝4x3＝可以成立，所以B正確；f（x）＝sin x，f'（x）＝cos x＝可以成立，所以C正確；f（x）＝ex，f'（x）＝ex＝可以成立，所以D正確；故直線y＝x＋b能作為B、C、D中函數(shù)圖象的切線.故選B、C、D.
7.　x－ey＝0　解析：∵y'＝（ln x）'＝，∴y'｜x＝e＝.∴切線方程為y－1＝（x－e），即x－ey＝0.
8.－4x＋3　解析：由題意設(shè)f（x）＝ax＋b（a≠0），則f（1）＝a＋b＝－1，又f'（2）＝a＝－4.∴a＝－4，b＝3，∴f（x）＝－4x＋3.
9.4　解析：因?yàn)閥'＝，所以切線方程為y－＝（x－a），令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由題意知··a＝2，所以a＝4.
10.解：（1）y'＝（）'＝（）'＝＝＝.
（2）y'＝（）'＝（x－5）'＝－5x－5－1＝－5x－6＝－.
（3）∵y＝－2sin（1－2cos2）＝2sin（2cos2－1）＝2sincos＝sin x，∴y'＝（sin x）'＝cos x.
11.A　∵f（x）＝2cos2－1＝cos x，∴f'（x）＝－sin x，g'（x）＝1，由f'（x）＋g'（x）≤0得－sin x＋1≤0，即sin x≥1，∴sin x＝1，解得x＝＋2kπ，k∈Z.不等式的解集為{x｜x＝＋2kπ，k∈Z}.故選A.
12.AD　由題意y＝f（x）具有T性質(zhì)，則存在x1，x2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1.對(duì)于選項(xiàng)A，f'（x）＝－sin x，存在x1＝，x2＝－，使得f'（x1）f'（x2）＝－1；對(duì)于選項(xiàng)B，f'（x）＝，x＞0，不存在x1，x2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1；對(duì)于選項(xiàng)C，f'（x）＝ex＞0，不存在x1，x2，使得f'（x1）f'（x2）＝－1；對(duì)于選項(xiàng)D，f'（x）＝2x，存在x1＝1，x2＝－，使得f'（x1）f'（x2）＝4x1x2＝－1.
13.21　解析：∵y'＝2x，∴y＝x2（x＞0）在點(diǎn)（ak，）處的切線斜率k＝2ak，則在點(diǎn)（ak，）處的切線方程為：y－＝2ak（x－ak），即y＝2akx－，∴ak＋1＝ak，∴a1＋a3＋a5＝a1（1＋＋）＝16×＝21.
14.解：（1）因?yàn)镻（，a）在曲線f（x）＝cos x上，
所以a＝cos＝.
（2）因?yàn)閒'（x）＝－sin x，
所以kl＝f'（）＝－sin＝－.
又因?yàn)樗笾本€與直線l垂直，
所以所求直線的斜率為－＝，
所以所求直線方程為y－＝（x－），
即y＝x－＋.
15.解：（1）設(shè)切點(diǎn)為（m，log2m）（m＞0），
因?yàn)閒（x）＝log2x，所以f'（x）＝.
由題意可得＝，解得m＝e，所以切線方程為y－log2e＝（x－e），即y＝x.
（2）過點(diǎn)A，B（2，1）的直線的斜率為kAB＝.
假設(shè)存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P的切線與直線AB平行，設(shè)P（n，log2n），≤n≤2，
則有＝，得n＝.
又＝ln ＜ln 2＜ln e＝1，所以＜＜，所以在曲線y＝f（x）上存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P的切線與直線AB平行，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.
2 / 25.2.1　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的導(dǎo)數(shù) 數(shù)學(xué)運(yùn)算
2.會(huì)使用導(dǎo)數(shù)公式表 數(shù)學(xué)運(yùn)算
高鐵是目前一種非常受歡迎的交通工具，既低碳又快捷.設(shè)一高鐵走過的路程s（單位：m）關(guān)于時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)為s＝f（t），求它的瞬時(shí)速度，就是求f（t）的導(dǎo)數(shù).根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，就是求當(dāng)Δt→0時(shí)，所趨近的那個(gè)定值.運(yùn)算比較復(fù)雜，而且有的函數(shù)，如y＝sin x，y＝ln x很難運(yùn)用定義求導(dǎo)數(shù).
【問題】　（1）是否有更簡(jiǎn)便的求導(dǎo)數(shù)的方法呢？
（2）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可否直接應(yīng)用？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)一　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)
f（x）＝C（C為常數(shù)） f'（x）＝　
f（x）＝x f'（x）＝1
f（x）＝kx＋b（k，b為常數(shù)） f'（x）＝　
f（x）＝x2 f'（x）＝　　
f（x）＝x3 f'（x）＝3x2
f（x）＝ f'（x）＝　　
f（x）＝ f'（x）＝
【想一想】
常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0說明什么？
知識(shí)點(diǎn)二　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)
f（x）＝xα（α為常數(shù)） f'（x）＝　　
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝axln a
f（x）＝ex f'（x）＝　　
f（x）＝logax（a＞0， 且a≠1） f'（x）＝logae＝　 　
f（x）＝ln x f'（x）＝　　
f（x）＝sin x f'（x）＝cos x
f（x）＝cos x f'（x）＝　　
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）
（1）因?yàn)椋╨n x）'＝，所以（）'＝ln x.（　　）
（2）若f'（x）＝sin x，則f（x）＝cos x.（　　）
（3）若f（x）＝5x，則f'（x）＝5xlog5e.（　　）
2.設(shè)f（x）＝ax－b，若f'（－1）＝4，則a＝（　　）
A.－2　　 B.－1
C.0　　 D.4
3.已知f（x）＝cos x，則f'（）＝　　　　.
題型一 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
【例1】　（鏈接教科書第203頁練習(xí)2題）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
（1）f（x）＝x12；（2）f（x）＝；
（3）f（x）＝3x；（4）f（x）＝log5x.
通性通法
求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法
（1）若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求導(dǎo)；
（2）若給出的函數(shù)解析式不符合基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，則通過恒等變換對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)或變形后求導(dǎo).
【跟蹤訓(xùn)練】
求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
（1）f（x）＝；（2）f（x）＝x；
（3）f（x）＝lox.
題型二 求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)
【例2】　（鏈接教科書第204頁練習(xí)6題）求函數(shù)f（x）＝在x＝1處的導(dǎo)數(shù).
通性通法
　　求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)需要先對(duì)原函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，最后將變量的值代入導(dǎo)函數(shù)求解.
【跟蹤訓(xùn)練】
　（2024·鎮(zhèn)江月考）已知函數(shù)f（x）＝在x＝a處的導(dǎo)數(shù)為－2，則實(shí)數(shù)a＝　　　　.
題型三 求切線方程
【例3】　（鏈接教科書第204頁練習(xí)3題）（1）曲線y＝在點(diǎn)（，）處的切線方程為（　　）
A.4x－4y＋2－1＝0　B.4x－4y＋1＝0
C.4x－4y＋2－＝0　　D.4x＋4y－3＝0
（2）過點(diǎn)（1，0）且與曲線y＝x2相切的直線方程為　　　　.
通性通法
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況
（1）若已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；
（2）如果已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)，再借助兩點(diǎn)連線的斜率公式進(jìn)行求解.
【跟蹤訓(xùn)練】
1.（多選）若曲線f（x）＝上某點(diǎn)處的切線的傾斜角為π，則該點(diǎn)的坐標(biāo)為（　　）
A.（1，1）　　 B.（－1，－1）
C.（－1，1）　　 D.（1，－1）
2.（2024·蘇州月考）已知y＝kx是曲線y＝ln x的一條切線，則k＝　　　　.
1.若f（x）＝sin x，則f'＝（　　）
A.－　　B.－　　C.　　D.
2.（多選）下列求導(dǎo)正確的是（　　）
A.若f（x）＝3，則f'（x）＝0
B.若f（x）＝，則f'（x）＝－
C.若f（x）＝ln x，則f'（e）＝
D.若f（x）＝x，則f'（x）＝1
3.若f（x）＝10x，則f'（1）＝　　　　.
4.若質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方程是s（t）＝（s的單位：m，t的單位：s），則質(zhì)點(diǎn)P在t＝8 s時(shí)的瞬時(shí)速度為　　　　m/s.
5.2.1　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
【基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)一
0　k　2x　－
想一想
　提示：說明常數(shù)函數(shù)f（x）＝C圖象上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為0，即每一點(diǎn)處的切線都平行（或重合）于x軸.
知識(shí)點(diǎn)二
αxα－1　ex　　　－sin x
自我診斷
1.（1）×　（2）×　（3）×
2.D　f'（x）＝a，f'（－1）＝a＝4，∴a＝4，故選D.
3.－　解析：因?yàn)閒（x）＝cos x，所以f'（x）＝－sin x，則f'（）＝－sin＝－.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）f'（x）＝（x12）'＝12x11.
（2）f'（x）＝'＝（x－4）'＝－4x－5＝－.
（3）f'（x）＝（3x）'＝3xln 3.
（4）f'（x）＝（log5x）'＝.
跟蹤訓(xùn)練
　解：（1）f'（x）＝＝ln ＝－ln 2.
（2）f'（x）＝（x）'＝（）'＝＝.
（3）f'（x）＝'＝＝－.
【例2】　解：∵f（x）＝＝，
∴f'（x）＝（）'＝－，
∴f'（1）＝－.
跟蹤訓(xùn)練
　±　解析：f'（x）＝－，當(dāng)x＝a時(shí)，f'（a）＝－＝－2，即a＝±.
【例3】　（1）B　（2）y＝0或y＝4x－4　
解析：（1）由于y＝，所以y'＝，于是y'＝1，所以曲線在點(diǎn)（，）處的切線的斜率等于1，切線方程為4x－4y＋1＝0.
（2）∵y'＝2x，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，），則切線方程為y－＝2x0（x－x0）.又∵該切線方程過點(diǎn)（1，0），∴－＝2x0（1－x0），解得x0＝0或x0＝2.即切線方程為y＝0或y＝4x－4.
跟蹤訓(xùn)練
1.AB　切線的斜率k＝tan π＝－1，f'（x）＝－，設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），則f'（x0）＝－1，所以－＝－1，所以x0＝1或x0＝－1，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）或（－1，－1）.
2.　解析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），由題意得y'＝＝k，又y0＝kx0＝1，則y0＝ln x0＝1，從而可得x0＝e，則k＝.
隨堂檢測(cè)
1.D　f'（x）＝cos x，f'＝cos＝.
2.ACD　只有B是錯(cuò)誤的.因?yàn)閒'（x）＝＝'＝－＝－.
3.10ln10　解析：∵f'（x）＝10xln10，∴f'（1）＝10ln10.
4.　解析：因?yàn)閟'（t）＝（）'＝（）'＝，所以s'（8）＝×＝×2－1＝，所以質(zhì)點(diǎn)P在t＝8 s時(shí)的瞬時(shí)速度為 m/s.
3 / 3(共53張PPT)
5.2.1　
基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
數(shù)學(xué)運(yùn)算
2.會(huì)使用導(dǎo)數(shù)公式表 數(shù)學(xué)運(yùn)算
目錄
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識(shí)梳理
高鐵是目前一種非常受歡迎的交通工具，既低碳又快捷.設(shè)一高鐵走
過的路程 s （單位：m）關(guān)于時(shí)間 t （單位：s）的函數(shù)為 s ＝ f （ t ），
求它的瞬時(shí)速度，就是求 f （ t ）的導(dǎo)數(shù).根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，就是求當(dāng)Δ
t →0時(shí)， 所趨近的那個(gè)定值.運(yùn)算比較復(fù)雜，而且有的函數(shù)，如 y ＝
sin x ， y ＝ln x 很難運(yùn)用定義求導(dǎo)數(shù).
【問題】　（1）是否有更簡(jiǎn)便的求導(dǎo)數(shù)的方法呢？
（2）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可否直接應(yīng)用？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)一　幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)
f （ x ）＝ C （ C 為常數(shù)） f'（ x ）＝
f （ x ）＝ x f'（ x ）＝1
f （ x ）＝ kx ＋ b （ k ， b
為常數(shù)） f'（ x ）＝
0　
k 　
原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)
f （ x ）＝ x2 f'（ x ）＝
f （ x ）＝ x3 f'（ x ）＝3 x2
f'（ x ）＝
2 x 　
－ 　
【想一想】
常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0說明什么？
提示：說明常數(shù)函數(shù) f （ x ）＝ C 圖象上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為
0，即每一點(diǎn)處的切線都平行（或重合）于 x 軸.
知識(shí)點(diǎn)二　基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)
f （ x ）＝ xα（α為常數(shù)） f'（ x ）＝
f （ x ）＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1） f'（ x ）＝ ax ln a
f （ x ）＝e x f'（ x ）＝
f （ x ）＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1）
f （ x ）＝ln x f'（ x ）＝
f （ x ）＝ sin x f'（ x ）＝ cos x
f （ x ）＝ cos x f'（ x ）＝
α xα－1　
e x 　
　
　
－ sin x 　
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）
（1）因?yàn)椋╨n x ）'＝ ，所以（ ）'＝ln x . （　×　）
（2）若f'（ x ）＝ sin x ，則 f （ x ）＝ cos x . （　×　）
（3）若 f （ x ）＝5 x ，則f'（ x ）＝5 x log5e. （　×　）
×
×
×
2. 設(shè) f （ x ）＝ ax － b ，若f'（－1）＝4，則 a ＝（　　）
A. －2 B. －1
C. 0 D. 4
解析：　f'（ x ）＝ a ，f'（－1）＝ a ＝4，∴ a ＝4，故選D.
3. 已知 f （ x ）＝ cos x ，則f'（ ）＝ 　－ 　.
解析：因?yàn)?f （ x ）＝ cos x ，所以f'（ x ）＝－ sin x ，則f'（ ）＝－
sin ＝－ .
－
典型例題·精研析
02
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
【例1】　（鏈接教科書第203頁練習(xí)2題）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
（1） f （ x ）＝ x12；（2） f （ x ）＝ ；
（3） f （ x ）＝3 x ；（4） f （ x ）＝log5 x .
（3）f'（ x ）＝（3 x ）'＝3 x ln 3.
（4）f'（ x ）＝（log5 x ）'＝ .
解：（1）f'（ x ）＝（ x12）'＝12 x11.
（2）f'（ x ）＝ '＝（ x－4）'＝－4 x－5＝－ .
通性通法
求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法
（1）若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求導(dǎo)；
（2）若給出的函數(shù)解析式不符合基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，則通過
恒等變換對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)或變形后求導(dǎo).
【跟蹤訓(xùn)練】
求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
（1） f （ x ）＝ ；（2） f （ x ）＝ x ；（3） f （ x ）＝lo x .
解：（1）f'（ x ）＝ ＝ ln ＝－ ln 2.
（2）f'（ x ）＝（ x ）'＝（ ）'＝ ＝ .
（3）f'（ x ）＝ '＝ ＝－ .
題型二 求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)
【例2】　（鏈接教科書第204頁練習(xí)6題）求函數(shù) f （ x ）＝ 在 x ＝
1處的導(dǎo)數(shù).
解：∵ f （ x ）＝ ＝ ，
∴f'（ x ）＝（ ）'＝－ ，
∴f'（1）＝－ .
通性通法
　　求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)需要先對(duì)原函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，最
后將變量的值代入導(dǎo)函數(shù)求解.
【跟蹤訓(xùn)練】
　（2024·鎮(zhèn)江月考）已知函數(shù) f （ x ）＝ 在 x ＝ a 處的導(dǎo)數(shù)為－2，則
實(shí)數(shù) a ＝ .
解析：f'（ x ）＝－ ，當(dāng) x ＝ a 時(shí)，f'（ a ）＝－ ＝－2，即 a ＝±
.
±
題型三 求切線方程
【例3】　（鏈接教科書第204頁練習(xí)3題）（1）曲線 y ＝ 在點(diǎn)
（ ， ）處的切線方程為（　B　）
B. 4 x －4 y ＋1＝0
D. 4 x ＋4 y －3＝0
解析：由于 y ＝ ，所以y'＝ ，于是y' ＝1，所以曲線在點(diǎn)（ ， ）處的切線的斜率等于1，切線方程為4 x －4 y ＋1＝0.
（2）過點(diǎn)（1，0）且與曲線 y ＝ x2相切的直線方程為
.
解析：∵y'＝2 x ，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（ x0， ），則切線方程
為 y － ＝2 x0（ x － x0）.又∵該切線方程過點(diǎn)（1，0），∴－
＝2 x0（1－ x0），解得 x0＝0或 x0＝2.即切線方程為 y ＝0或 y
＝4 x －4.
y ＝0或 y ＝4 x
－4　
通性通法
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況
（1）若已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線斜率就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；
（2）如果已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)，再借助兩點(diǎn)連線的斜
率公式進(jìn)行求解.
【跟蹤訓(xùn)練】
1. （多選）若曲線 f （ x ）＝ 上某點(diǎn)處的切線的傾斜角為 π，則該點(diǎn)
的坐標(biāo)為（　　）
A. （1，1） B. （－1，－1）
C. （－1，1） D. （1，－1）
解析：　切線的斜率 k ＝tan π＝－1，f'（ x ）＝－ ，設(shè)切點(diǎn)
為（ x0， y0），則f'（ x0）＝－1，所以－ ＝－1，所以 x0＝1或 x0
＝－1，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）或（－1，－1）.
2. （2024·蘇州月考）已知 y ＝ kx 是曲線 y ＝ln x 的一條切線，則 k
＝ .
解析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（ x0， y0），由題意得y'＝ ＝ k ，又 y0＝ kx0
＝1，則 y0＝ln x0＝1，從而可得 x0＝e，則 k ＝ .
　
1. 若 f （ x ）＝ sin x ，則f' ＝（　　）
解析：　f'（ x ）＝ cos x ，f' ＝ cos ＝ .
2. （多選）下列求導(dǎo)正確的是（　　）
A. 若 f （ x ）＝3，則f'（ x ）＝0
D. 若 f （ x ）＝ x ，則f'（ x ）＝1
解析：　只有B是錯(cuò)誤的.因?yàn)閒'（ x ）＝ ＝ '＝－
＝－ .
3. 若 f （ x ）＝10 x ，則f'（1）＝ .
解析：∵f'（ x ）＝10 x ln10，∴f'（1）＝10ln10.
10ln10　
4. 若質(zhì)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)方程是 s （ t ）＝ （ s 的單位：m， t 的單位：
s），則質(zhì)點(diǎn) P 在 t ＝8 s時(shí)的瞬時(shí)速度為 m/s.
解析：因?yàn)閟'（ t ）＝（ ）'＝（ ）'＝ ，所以s'（8）＝
× ＝ ×2－1＝ ，所以質(zhì)點(diǎn) P 在 t ＝8 s時(shí)的瞬時(shí)速度為 m/s.
　
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 函數(shù) y ＝2 x 在 x ＝2處的導(dǎo)數(shù)為（　　）
A. 2 B. 4
C. 2ln 2 D. 4ln 2
解析：　y'＝（2 x ）'＝2 x ln 2，故所求導(dǎo)數(shù)為4ln 2.
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2. 下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（　　）
解析：　（ cos ）'＝0，故A不正確；（ ）'＝（ x－3）'＝－3 x
－4，故B不正確；（lg x ）'＝ ，故C正確；（ ）'＝（ ）'
＝ ，故D不正確.故選C.
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3. 一物體沿一光滑斜面下滑，測(cè)得物體下滑速度滿足 v （ t ）＝log2
t ，則該物體在第2 s時(shí)下滑的加速度 a ＝（　　）
A. ln 2 B. 2ln 2
解析：　v'（ t ）＝（log2 t ）'＝ ，又 t ＝2，∴ a ＝ .
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4. （2024·泰州月考）已知直線 y ＝ x ＋ b 是曲線 y ＝ln x （ x ＞0）的
一條切線，則實(shí)數(shù) b ＝（　　）
A. －1 B. 0
C. ln 2－1 D. ln 2＋1
解析： 　設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（ x0， y0），則 y0＝ln x0.y'＝（ln x ）'＝
，∴ k ＝ .由題意知 ＝ ，∴ x0＝2， y0＝ln 2.由ln 2＝ ×2＋
b ，得 b ＝ln 2－1.
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5. （多選）已知曲線 y ＝ x3在點(diǎn) P 處的切線斜率為3，則 P 點(diǎn)的坐標(biāo)為
（　　）
A. （－1，1） B. （－1，－1）
C. （1，1） D. （1，－1）
解析：　y'＝3 x2，因?yàn)?k ＝3，所以3 x2＝3，所以 x ＝±1，則 P
點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，－1）或（1，1）.
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6. （多選）直線 y ＝ x ＋ b 能作為下列函數(shù)圖象的切線的有（　　）
B. f （ x ）＝ x4
C. f （ x ）＝ sin x D. f （ x ）＝e x
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解析： 　 f （ x ）＝ ，f'（ x ）＝－ ＝ 不成立，所以A不正
確； f （ x ）＝ x4，f'（ x ）＝4 x3＝ 可以成立，所以B正確； f
（ x ）＝ sin x ，f'（ x ）＝ cos x ＝ 可以成立，所以C正確； f （ x ）
＝e x ，f'（ x ）＝e x ＝ 可以成立，所以D正確；故直線 y ＝ x ＋ b 能
作為B、C、D中函數(shù)圖象的切線.故選B、C、D.
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7. （2024·南通期中）曲線 y ＝ln x 在點(diǎn) M （e，1）處的切線的斜率
是 ，切線方程為 .
解析：∵y'＝（ln x ）'＝ ，∴y'｜ x＝e＝ .∴切線方程為 y －1＝
（ x －e），即 x －e y ＝0.
　
x －e y ＝0
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8. 設(shè)函數(shù) y ＝ f （ x ）是一次函數(shù)，若 f （1）＝－1，且f'（2）＝－4，
則 f （ x ）＝ .
解析：由題意設(shè) f （ x ）＝ ax ＋ b （ a ≠0），則 f （1）＝ a ＋ b ＝－
1，又f'（2）＝ a ＝－4.∴ a ＝－4， b ＝3，∴ f （ x ）＝－4 x ＋3.
－4 x ＋3　
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9. 若曲線 y ＝ 在點(diǎn) P （ a ， ）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角
形的面積為2，則實(shí)數(shù) a 的值是 .
解析：因?yàn)閥'＝ ，所以切線方程為 y － ＝ （ x － a ），令 x
＝0，得 y ＝ ，令 y ＝0，得 x ＝－ a ，由題意知 · · a ＝2，所以
a ＝4.
4　
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10. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
（1） y ＝ ；（2） y ＝ ；
（3） y ＝－2 sin （1－2 cos 2 ）.
解：（1）y'＝（ ）'＝（ ）'＝ ＝ ＝ .
（2）y'＝（ ）'＝（ x－5）'＝－5 x－5－1＝－5 x－6＝－ .
（3）∵ y ＝－2 sin （1－2 cos 2 ）＝2 sin （2 cos 2 －
1）＝2 sin cos ＝ sin x ，∴y'＝（ sin x ）'＝ cos x .
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11. 已知 f （ x ）＝2 cos 2 －1， g （ x ）＝ x ，則關(guān)于 x 的不等式f'
（ x ）＋g'（ x ）≤0的解集為（　　）
B. { x ｜ x ＝2 k π， k ∈Z}
D. { x ｜ x ＝2 k π＋π， k ∈Z}
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解析： 　∵ f （ x ）＝2 cos 2 －1＝ cos x ，∴f'（ x ）＝－ sin x ，
g'（ x ）＝1，由f'（ x ）＋g'（ x ）≤0得－ sin x ＋1≤0，即 sin x
≥1，∴ sin x ＝1，解得 x ＝ ＋2 k π， k ∈Z. 不等式的解集為{ x ｜
x ＝ ＋2 k π， k ∈Z}.故選A.
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12. （多選）若函數(shù) y ＝ f （ x ）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象
在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱 y ＝ f （ x ）具有 T 性質(zhì)，下列
函數(shù)中具有 T 性質(zhì)的是（　　）
A. f （ x ）＝ cos x B. f （ x ）＝ln x
C. f （ x ）＝e x D. f （ x ）＝ x2
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解析： 　由題意 y ＝ f （ x ）具有 T 性質(zhì)，則存在 x1， x2，使得f'
（ x1）f'（ x2）＝－1.對(duì)于選項(xiàng)A，f'（ x ）＝－ sin x ，存在 x1＝
， x2＝－ ，使得f'（ x1）f'（ x2）＝－1；對(duì)于選項(xiàng)B，f'（ x ）＝
， x ＞0，不存在 x1， x2，使得f'（ x1）f'（ x2）＝－1；對(duì)于選項(xiàng)
C，f'（ x ）＝e x ＞0，不存在 x1， x2，使得f'（ x1）f'（ x2）＝－1；
對(duì)于選項(xiàng)D，f'（ x ）＝2 x ，存在 x1＝1， x2＝－ ，使得f'（ x1）f'
（ x2）＝4 x1 x2＝－1.
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13. （2024·鎮(zhèn)江質(zhì)檢）函數(shù) y ＝ x2（ x ＞0）的圖象在點(diǎn)（ ak ， ）處
的切線與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ak＋1，其中 k ∈N*，若 a1＝16，則
a1＋ a3＋ a5＝ .
解析：∵y'＝2 x ，∴ y ＝ x2（ x ＞0）在點(diǎn)（ ak ， ）處的切線斜
率 k ＝2 ak ，則在點(diǎn)（ ak ， ）處的切線方程為： y － ＝2 ak
（ x － ak ），即 y ＝2 akx － ，∴ ak＋1＝ ak ，∴ a1＋ a3＋ a5＝ a1
（1＋ ＋ ）＝16× ＝21.
21
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14. 已知點(diǎn) P （ ， a ）在曲線 f （ x ）＝ cos x 上，直線 l 是以點(diǎn) P 為切
點(diǎn)的切線.
（1）求 a 的值；
解：因?yàn)?P （ ， a ）在曲線 f （ x ）＝ cos x 上，
所以 a ＝ cos ＝ .
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（2）求過點(diǎn) P 且與直線 l 垂直的直線方程.
解：因?yàn)閒'（ x ）＝－ sin x ，
所以 kl ＝f'（ ）＝－ sin ＝－ .
又因?yàn)樗笾本€與直線 l 垂直，
所以所求直線的斜率為－ ＝ ，
所以所求直線方程為 y － ＝ （ x － ），
即 y ＝ x － ＋ .
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15. （2024·南京月考）已知點(diǎn) A ， B （2，1），函數(shù) f （ x ）＝
log2 x .
（1）過坐標(biāo)原點(diǎn) O 作曲線 y ＝ f （ x ）的切線，求切線方程；
解：設(shè)切點(diǎn)為（ m ，log2 m ）（ m ＞0），
因?yàn)?f （ x ）＝log2 x ，所以f'（ x ）＝ .
由題意可得 ＝ ，解得 m ＝e，所以切線方程為 y －
log2e＝ （ x －e），即 y ＝ x .
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（2）在曲線 y ＝ f （ x ） 上是否存在點(diǎn) P ，使得過點(diǎn) P
的切線與直線 AB 平行？若存在，求出點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)；若不
存在，請(qǐng)說明理由.
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解：過點(diǎn) A ， B （2，1）的直線的斜率為 kAB ＝ .
假設(shè)存在點(diǎn) P ，使得過點(diǎn) P 的切線與直線 AB 平行，設(shè) P
（ n ，log2 n ）， ≤ n ≤2，
則有 ＝ ，得 n ＝ .
又 ＝ln ＜ln 2＜ln e＝1，所以 ＜ ＜ ，所以在曲線 y ＝ f （ x ） 上存在點(diǎn) P ，使得過點(diǎn) P 的切線與直線 AB 平行，且點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 .
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