資源簡介

5.2.2　函數的和、差、積、商的導數
1.（2024·無錫月考）設f（x）＝xln x，若f'（x0）＝2，則x0＝（　?。?br/>A.e2　　 B.e
C.　　 D.ln 2
2.函數f（x）＝的導數是（　?。?br/>A.　　 B.
C.　　 D.
3.曲線y＝在點（1，－1）處的切線方程為（　?。?br/>A.y＝－2x＋1　　 B.y＝－3x＋2
C.y＝2x－3　　 D.y＝x－2
4.（2024·揚州月考）一個港口的某一觀測點的水位在退潮的過程中，水面高度y（單位：cm）關于時間t（單位：s）的函數為y＝h（t）＝，當t＝3時，水面下降的速度為（　　）
A.－ cm/s　　 B. cm/s
C.－ cm/s　　 D. cm/s
5.（多選）若函數f（x）的導函數f'（x）的圖象關于y軸對稱，則f（x）的解析式可能為（　?。?br/>A.f（x）＝3cos x　　 B.f（x）＝x＋sin x
C.f（x）＝x＋　　 D.f（x）＝ex＋x
6.（多選）（2024·常州月考）已知函數f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）·cos x＋2，其導函數為f'（x），則（　?。?br/>A.f（0）＝－1　　 B.f'（0）＝1
C.f（0）＝1　　 D.f'（0）＝－1
7.設函數f（x）＝.若f'（1）＝，則a＝　　　.
8.已知函數f（x）＝f'（）·cos x＋sin x，則f'（）＝　　　　，f（）＝　　　　.
9.曲線f（x）＝（x－1）ex在點（1，0）處的切線與坐標軸圍成的面積為　　　　.
10.求下列函數的導數：
（1）y＝ln x＋；
（2）y＝；
（3）y＝（x2＋9）（x－）；
（4）y＝.
11.（2024·蘇州質檢）已知f（x）＝x2＋sin（＋x），f'（x）為f（x）的導函數，則f'（x）的大致圖象是（　?。?br/>12.曲線y＝在點（1，1）處的切線為l，則l上的點到圓x2＋y2＋4x＋3＝0上的點的最短距離是　　　　.
13.等比數列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數f（x）＝x（x－a1）（x－a2）·…·（x－a8），則f'（0）＝　　　　.
14.已知函數f（x）＝x3－2x2＋3x（x∈R）的圖象為曲線C.
（1）求曲線C上任意一點處切線斜率的取值范圍；
（2）若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍.
15.（2024·南通質檢）設函數f（x）＝ax－，曲線y＝f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x－4y－12＝0.
（1）求f（x）的解析式；
（2）證明：曲線y＝f（x）上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值.
5.2.2　函數的和、差、積、商的導數
1.B　∵f（x）＝xln x，∴f'（x）＝ln x＋1（x＞0），由f'（x0）＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1，解得x0＝e.
2.A　f'（x）＝'＝
＝＝.
3.A　y＝的導數為y'＝－，在點（1，－1）處的切線斜率k＝y(tǒng)'｜x＝1＝－2，∴曲線y＝在點（1，－1）處的切線方程為y＋1＝－2（x－1），即y＝－2x＋1.
4.B　由題意得，h'（t）＝＝，所以h'（3）＝＝－，故當t＝3時，水面下降的速度為 cm/s，故選B.
5.BC　由題意可知，f'（x）必為偶函數.對于A選項，f'（x）＝－3sin x為奇函數；對于B選項，f'（x）＝1＋cos x為偶函數；對于C選項，f'（x）＝1－為偶函數；對于D選項，f'（x）＝ex＋1為非奇非偶函數.故選B、C.
6.BC　因為f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）·cos x＋2，所以f（0）＝2－f'（0）.因為f'（x）＝2x＋f（0）＋f'（0）·sin x，所以f'（0）＝f（0）.故f'（0）＝f（0）＝1.故選B、C.
7.1　解析：由于f'（x）＝，故f'（1）＝＝，解得a＝1.
8.－1　1　解析：∵f'（x）＝－f'（）·sin x＋cos x，∴f'（）＝－f'（）×＋，得f'（）＝－1.∴f（x）＝（－1）cos x＋sin x.∴f（）＝1.
9.1　解析：由題意可知，f'（x）＝x·ex，f'（1）＝2，∴切線方程為y＝2（x－1），即2x－y－2＝0.令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.∴曲線f（x）＝（x－1）ex在點（1，0）處的切線與坐標軸圍成的面積S＝×2×1＝1.
10.解：（1）y'＝（ln x＋）'＝（ln x）'＋（）'＝－.
（2）y'＝（）'
＝
＝－.
（3）y＝x3＋6x－，y'＝3x2＋＋6.
（4）y'＝
＝
＝.
11.A　∵f（x）＝x2＋sin（＋x）＝x2＋cos x，∴f'（x）＝x－sin x.易知f'（x）＝x－sin x是奇函數，其圖象關于原點對稱，故排除B、D.由f'（）＝－＜0，排除C，故選A.
12.2－1　解析：y'＝－，則k＝－1，∴切線方程為y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0，圓心（－2，0）到直線的距離d＝2，圓的半徑r＝1，∴所求最短距離為2－1.
13.4 096　解析：因為f'（x）＝（x）'·[（x－a1）（x－a2）·…·（x－a8）]＋[（x－a1）（x－a2）·…·（x－a8）]'·x＝（x－a1）（x－a2）·…·（x－a8）＋[（x－a1）·（x－a2）·…·（x－a8）]'·x，所以f'（0）＝（0－a1）（0－a2）·…·（0－a8）＋0＝a1a2·…·a8.因為數列{an}為等比數列，所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，所以f'（0）＝84＝4 096.
14.解：（1）由題意得f'（x）＝x2－4x＋3，
則f'（x）＝（x－2）2－1≥－1，
即曲線C上任意一點處切線的斜率的取值范圍是[－1，＋∞）.
（2）設曲線C的其中一條切線的斜率為k，
則由條件和（1）中結論可知，
解得－1≤k＜0或k≥1，
故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈（－∞，2－]∪（1，3）∪[2＋，＋∞）.
15.解：（1）由7x－4y－12＝0得y＝x－3.
當x＝2時，y＝，所以f（2）＝， ①
又f'（x）＝a＋，
所以f'（2）＝， ②
由①②得解得
故f（x）＝x－.
（2）證明：設P（x0，y0）為曲線上任一點，由y'＝1＋知曲線在點P（x0，y0）處的切線方程為
y－y0＝（x－x0），
即y－＝（x－x0）.
令x＝0得y＝－，從而得切線與直線x＝0的交點坐標為.
令y＝x得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點坐標為（2x0，2x0）.
所以點P（x0，y0）處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為｜2x0｜＝6.
故曲線y＝f（x）上任一點處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6.
2 / 25.2.2　函數的和、差、積、商的導數
新課程標準解讀 核心素養(yǎng)
能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則，求簡單函數的導數 數學運算
　　利用基本初等函數的求導公式可以直接求基本初等函數的導數，但實際生活中所涉及到一些函數模型多數為基本初等函數通過加、減、乘、除運算得到的初等函數，如某質點運動，運動距離s與時間t的函數為s（t）＝t2＋；某商品網購量x（件）與支付款y（元）之間的關系為y＝10x－ln x（x≥1）等.
【問題】?。?）由基本初等函數通過加、減、乘、除運算所得到的函數該如何求導呢？
（2）除用定義法之外，是否有更簡便的求導方法呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　函數的和、差、積、商的求導法則
1.條件：f（x），g（x）是可導的.
2.結論：（1）（f（x）±g（x））'＝　　　??；
（2）（Cf（x））'＝Cf'（x）（C為常數）；
（3）（f（x）g（x））'＝　　　　　　　??；
（4）'＝　　　　　　　　　　.
提醒　（1）導數的加法與減法法則，可由兩個可導函數推廣到任意有限個可導函數的情形（一般化），即（u（x）±v（x）±…±w（x））'＝u'（x）±v'（x）±…±w'（x）；（2）函數的積的導數可以推廣到有限個函數的乘積的導數，即（u（x）v（x）·…·w（x））'＝u'（x）v（x）·…·w（x）＋u（x）v'（x）·…·w（x）＋…＋u（x）v（x）·…·w'（x）；（3）注意（）'≠.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）（ex＋cos ）'＝ex.（　?。?br/>（2）函數f（x）＝xex的導數是f'（x）＝ex（x＋1）.（　?。?br/>（3）當g（x）≠0時，＝.（　　）
（4）函數f（x）＝xln x的導數是f'（x）＝x.（　　）
2.設f（x）＝x3＋ax2－2x＋b，若f'（1）＝4，則a的值是（　?。?br/>A.　　　B.　　C.－1　　　D.－
3.（2024·淮安月考）曲線f（x）＝x2＋2x在點（2，f（2））處的切線斜率為　　　　.
題型一 f（x）±g（x）的導數
【例1】　（鏈接教科書第205頁例2）求下列函數的導數：
（1）y＝x5－x3＋cos x；
（2）y＝lg x－ex.
通性通法
　　兩個函數的和（或差）的導數，等于這兩個函數的導數的和（或差），對每一項分別利用函數的求導法則即可.
【跟蹤訓練】
求下列函數的導數：
（1）y＝x4－x2－x＋3；
（2）y＝x3＋sin x.
題型二 f（x）g（x）和的導數
【例2】?。ㄦ溄咏炭茣?05頁例3）求下列函數的導數：
（1）y＝x2＋xln x；
（2）y＝；
（3）y＝（2x2－1）（3x＋1）.
通性通法
1.先區(qū)分函數的運算方式，即函數的和、差、積、商，再根據導數的運算法則求導數.
2.如果待求導式子比較復雜，則需要對式子先變形再求導，常用的變形有乘積式展開變?yōu)楹褪角髮?，商式變乘積式求導，三角函數恒等變換后求導等.
【跟蹤訓練】
求下列函數的導數：
（1）y＝x3ex；
（2）y＝x2＋tan x；
（3）y＝.
題型三 導數四則運算法則的應用
【例3】?。?）記函數f（x）的導函數為f'（x），且f（x）＝3xf'（2）－2ln x，則f（1）＝（　?。?br/>A.1　　 B.2
C.　　 D.
（2）（2024·連云港月考）曲線y＝xln x上的點到直線x－y－2＝0的最短距離是（　?。?br/>A.　　 B.
C.1　　 D.2
通性通法
1.解決有關切線問題的關注點
（1）此類問題往往涉及切點、切點處的導數、切線方程三個主要元素，其他的條件可以轉化為這三個要素間的關系；
（2）分清已知點是否在曲線上，若不在曲線上，則要設出切點，這是解題時的易錯點.
2.含f'（c）函數的求導問題的解決策略
含f'（c）函數在求導時一定要抓住f'（c）為常數這一特點，也就是說，不管應用加、減、乘、除哪一法則，求導時，把f'（c）一律充當常系數處理.
【跟蹤訓練】
1.函數f（x）＝excos x的圖象在點（0，f（0））處的切線的傾斜角為（　　）
A.0　　 B.
C.1　　 D.
2.原油是工業(yè)的血液，它通過處理可變?yōu)楦鞣N工業(yè)原料和燃料.要從原油中提取各種原料需要將原油進行冷卻和加熱，如果x h時，原油溫度（單位：℃）為f（x）＝x2－7x＋15（0≤x≤8）.則第6 h時，原油溫度的瞬時變化率為　　　　℃/h，其意義為　　　　　.
1.設函數y＝－2exsin x，則y'＝（　?。?br/>A.－2excos x
B.－2exsin x
C.2exsin x
D.－2ex（sin x＋cos x）
2.已知函數f（x）＝ax2＋c，且f'（1）＝2，則a＝（　　）
A.1　　 B.　　
C.－1　　 D.0
3.（2024·泰州月考）曲線f（x）＝xln x在點（1，f（1））處的切線的方程為　　　　.
4.求下列函數的導數：
（1）f（x）＝（x－2）（x2＋2x＋4）；
（2）f（x）＝－2x.
5.2.2　函數的和、差、積、商的導數
【基礎知識·重落實】
知識點
2.（1）f'（x）±g'（x）?。?）f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）?。?）（g（x）≠0）
自我診斷
1.（1）√?。?）√?。?）√?。?）×
2.B　f'（x）＝3x2＋2ax－2，故f'（1）＝3＋2a－2＝4，解得a＝.
3.4　解析：因為f（x）＝x2＋2x，所以f'（x）＝x＋2，則f'（2）＝2＋2＝4.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）y'＝（x5）'－（x3）'＋（cos x）'＝5x4－3x2－sin x.
（2）y'＝（lg x－ex）'＝（lg x）'－（ex）'＝－ex.
跟蹤訓練
　解：（1）∵y＝x4－x2－x＋3，
∴y'＝4x3－2x－1.
（2）∵y＝x3＋sin x，
∴y'＝3x2＋cos x.
【例2】　解：（1）y'＝（x2＋xln x）'＝（x2）'＋（xln x）'
＝2x＋（x）'ln x＋x（ln x）'＝2x＋ln x＋x·＝2x＋ln x＋1.
（2）y'＝（）'＝＝.
（3）法一　y'＝[（2x2－1）（3x＋1）]'
＝（2x2－1）'（3x＋1）＋（2x2－1）（3x＋1）'
＝4x（3x＋1）＋（2x2－1）×3
＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
法二　因為y＝（2x2－1）（3x＋1）＝6x3＋2x2－3x－1，
所以y'＝（6x3＋2x2－3x－1）'
＝（6x3）'＋（2x2）'－（3x）'－（1）'＝18x2＋4x－3.
跟蹤訓練
　解：（1）y'＝（x3）'ex＋x3（ex）'＝（3x2＋x3）ex.
（2）因為y＝x2＋，
所以y'＝（x2）'＋（）'
＝2x＋
＝2x＋.
（3）y'＝
＝＝.
【例3】?。?）D?。?）B　解析：（1）∵f'（x）＝3f'（2）－，∴f'（2）＝3f'（2）－1，解得f'（2）＝，∴f（x）＝x－2ln x，∴f（1）＝.
（2）設曲線y＝xln x在點M0（x0，y0）處的切線與直線x－y－2＝0平行.∵y'＝ln x＋1，∴y＝xln x在點M0處的切線斜率為k＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1，∴y0＝0，即切點坐標為（1，0）.∴切點（1，0）到直線x－y－2＝0的距離為d＝＝，即曲線y＝xln x上的點到直線x－y－2＝0的最短距離是.
跟蹤訓練
1.B　對函數求導得f'（x）＝ex（cos x－sin x），∴f'（0）＝1，∴函數f（x）＝excos x的圖象在點（0，f（0））處的切線的傾斜角為.
2.5　在第6 h附近時，原油溫度大約以5 ℃/h的速度上升　解析：f'（x）＝2x－7，則f'（6）＝2×6－7＝5.在第6 h附近時，原油溫度大約以5 ℃/h的速度上升.
隨堂檢測
1.D　y'＝－2（exsin x＋excos x）＝－2ex（sin x＋cos x）.
2.A　∵f（x）＝ax2＋c，∴f'（x）＝2ax，又∵f'（1）＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
3.x－y－1＝0　解析：f'（x）＝1＋ln x，則曲線在點（1，f（1））處切線的斜率k＝f'（1）＝1，又f（1）＝0，故所求的切線方程為y－0＝1×（x－1），即x－y－1＝0.
4.解：（1）法一　f'（x）＝（x－2）'（x2＋2x＋4）＋（x－2）（x2＋2x＋4）'＝x2＋2x＋4＋（x－2）（2x＋2）＝3x2.
法二　∵f（x）＝（x－2）（x2＋2x＋4）＝x3－8.
∴f'（x）＝3x2.
（2）f'（x）＝－2x·ln 2＝－2x·ln 2＝＋ln x－2xln 2.
3 / 3(共58張PPT)
5.2.2　函數的和、差、積、商的導數
新課程標準解讀 核心素養(yǎng)
能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運
算法則，求簡單函數的導數 數學運算
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　利用基本初等函數的求導公式可以直接求基本初等函數的導數，
但實際生活中所涉及到一些函數模型多數為基本初等函數通過加、
減、乘、除運算得到的初等函數，如某質點運動，運動距離 s 與時間 t
的函數為 s （ t ）＝ t2＋ ；某商品網購量 x （件）與支付款 y （元）
之間的關系為 y ＝10 x －ln x （ x ≥1）等.
【問題】?。?）由基本初等函數通過加、減、乘、除運算所得到的
函數該如何求導呢？
（2）除用定義法之外，是否有更簡便的求導方法呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　函數的和、差、積、商的求導法則
1. 條件： f （ x ）， g （ x ）是可導的.
2. 結論：（1）（ f （ x ）± g （ x ））'＝ ；
（2）（ Cf （ x ））'＝Cf'（ x ）（ C 為常數）；
（3）（ f （ x ） g （ x ））'＝
；
f'（ x ）±g'（ x ）　
f'（ x ） g （ x ）＋ f （ x ）g'
（ x ）　
（4） '＝ 　 （ g （ x ）≠0）　.
提醒?。?）導數的加法與減法法則，可由兩個可導函數推廣
到任意有限個可導函數的情形（一般化），即（ u （ x ）± v
（ x ）±…± w （ x ））'＝u'（ x ）±v'（ x ）±…±w'
（ x ）；（2）函數的積的導數可以推廣到有限個函數的乘積
的導數，即（ u （ x ） v （ x ）·…· w （ x ））'
（ g （ x ）≠0）　
＝u'（ x ） v （ x ）·…· w （ x ）＋ u （ x ）v'（ x ）·…· w （ x ）
＋…＋ u （ x ） v （ x ）·…·w'（ x ）；（3）注意（ ）
'≠ .
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）（e x ＋ cos ）'＝e x . （　√?。?br/>（2）函數 f （ x ）＝ x e x 的導數是f'（ x ）＝e x （ x ＋1）.
（　√?。?br/>（3）當 g （ x ）≠0時， ＝ . （　√　）
（4）函數 f （ x ）＝ x ln x 的導數是f'（ x ）＝ x . （　×?。?br/>√
√
√
×
2. 設 f （ x ）＝ x3＋ ax2－2 x ＋ b ，若f'（1）＝4，則 a 的值是（　?。?br/>C. －1
解析： 　f'（ x ）＝3 x2＋2 ax －2，故f'（1）＝3＋2 a －2＝4，解
得 a ＝ .
3. （2024·淮安月考）曲線 f （ x ）＝ x2＋2 x 在點（2， f （2））處的
切線斜率為 .
解析：因為 f （ x ）＝ x2＋2 x ，所以f'（ x ）＝ x ＋2，則f'（2）＝2
＋2＝4.
4
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 f （ x ）± g （ x ）的導數
【例1】　（鏈接教科書第205頁例2）求下列函數的導數：
（1） y ＝ x5－ x3＋ cos x ；
解： y'＝（ x5）'－（ x3）'＋（ cos x ）'＝5 x4－3 x2－ sin x .
（2） y ＝lg x －e x .
解： y'＝（lg x －e x ）'＝（lg x ）'－（e x ）'＝ －e x .
通性通法
　　兩個函數的和（或差）的導數，等于這兩個函數的導數的和（或
差），對每一項分別利用函數的求導法則即可.
【跟蹤訓練】
求下列函數的導數：
（1） y ＝ x4－ x2－ x ＋3；
解： ∵ y ＝ x4－ x2－ x ＋3，∴y'＝4 x3－2 x －1.
（2） y ＝ x3＋ sin x .
解： ∵ y ＝ x3＋ sin x ，∴y'＝3 x2＋ cos x .
題型二
【例2】?。ㄦ溄咏炭茣?05頁例3）求下列函數的導數：
（1） y ＝ x2＋ x ln x ；
解： y'＝（ x2＋ x ln x ）'＝（ x2）'＋（ x ln x ）'
＝2 x ＋（ x ）'ln x ＋ x （ln x ）'＝2 x ＋ln x ＋ x · ＝2 x ＋ln x ＋1.
（2） y ＝ ；
解： y'＝（ ）'＝ ＝ .
法二　因為 y ＝（2 x2－1）（3 x ＋1）＝6 x3＋2 x2－3 x －1，
所以y'＝（6 x3＋2 x2－3 x －1）'
＝（6 x3）'＋（2 x2）'－（3 x ）'－（1）'＝18 x2＋4 x －3.
（3） y ＝（2 x2－1）（3 x ＋1）.
解： 法一　y'＝[（2 x2－1）（3 x ＋1）]'
＝（2 x2－1）'（3 x ＋1）＋（2 x2－1）（3 x ＋1）'
＝4 x （3 x ＋1）＋（2 x2－1）×3
＝12 x2＋4 x ＋6 x2－3
＝18 x2＋4 x －3.
通性通法
1. 先區(qū)分函數的運算方式，即函數的和、差、積、商，再根據導數的
運算法則求導數.
2. 如果待求導式子比較復雜，則需要對式子先變形再求導，常用的變
形有乘積式展開變?yōu)楹褪角髮?，商式變乘積式求導，三角函數恒等
變換后求導等.
【跟蹤訓練】
求下列函數的導數：
（1） y ＝ x3e x ；
解：y'＝（ x3）'e x ＋ x3（e x ）'＝（3 x2＋ x3）e x .
（2） y ＝ x2＋tan x ；
解： 因為 y ＝ x2＋ ，
所以y'＝（ x2）'＋（ ）'
＝2 x ＋
＝2 x ＋ .
（3） y ＝ .
解：y'＝
＝ ＝ .
題型三 導數四則運算法則的應用
【例3】　（1）記函數 f （ x ）的導函數為f'（ x ），且 f （ x ）＝3xf'
（2）－2ln x ，則 f （1）＝（　?。?br/>A. 1 B. 2
解析： ∵f'（ x ）＝3f'（2）－ ，∴f'（2）＝3f'（2）－1，
解得f'（2）＝ ，∴ f （ x ）＝ x －2ln x ，∴ f （1）＝ .
（2）（2024·連云港月考）曲線 y ＝ x ln x 上的點到直線 x － y －2＝0的
最短距離是（　　）
C. 1 D. 2
解析：設曲線 y ＝ x ln x 在點 M0（ x0， y0）處的切線與直線 x － y －
2＝0平行.∵y'＝ln x ＋1，∴ y ＝ x ln x 在點 M0處的切線斜率為 k
＝ln x0＋1＝1，解得 x0＝1，∴ y0＝0，即切點坐標為（1，
0）.∴切點（1，0）到直線 x － y －2＝0的距離為 d ＝
＝ ，即曲線 y ＝ x ln x 上的點到直線 x － y －2＝0的最短距離是
.
通性通法
1. 解決有關切線問題的關注點
（1）此類問題往往涉及切點、切點處的導數、切線方程三個主要
元素，其他的條件可以轉化為這三個要素間的關系；
（2）分清已知點是否在曲線上，若不在曲線上，則要設出切點，
這是解題時的易錯點.
2. 含f'（ c ）函數的求導問題的解決策略
含f'（ c ）函數在求導時一定要抓住f'（ c ）為常數這一特點，也就
是說，不管應用加、減、乘、除哪一法則，求導時，把f'（ c ）一
律充當常系數處理.
【跟蹤訓練】
1. 函數 f （ x ）＝e x cos x 的圖象在點（0， f （0））處的切線的傾斜角
為（　?。?br/>A. 0
C. 1
解析： 　對函數求導得f'（ x ）＝e x （ cos x － sin x ），∴f'（0）＝
1，∴函數 f （ x ）＝e x cos x 的圖象在點（0， f （0））處的切線的
傾斜角為 .
2. 原油是工業(yè)的血液，它通過處理可變?yōu)楦鞣N工業(yè)原料和燃料.要從
原油中提取各種原料需要將原油進行冷卻和加熱，如果 x h時，原
油溫度（單位：℃）為 f （ x ）＝ x2－7 x ＋15（0≤ x ≤8）.則第6 h
時，原油溫度的瞬時變化率為 ℃/h，其意義為
.
解析：f'（ x ）＝2 x －7，則f'（6）＝2×6－7＝5.在第6 h附近時，
原油溫度大約以5 ℃/h的速度上升.
5
在第6 h附近
時，原油溫度大約以5 ℃/h的速度上升　
1. 設函數 y ＝－2e x sin x ，則y'＝（　　）
A. －2e x cos x B. －2e x sin x
C. 2e x sin x D. －2e x （ sin x ＋ cos x ）
解析： 　y'＝－2（e x sin x ＋e x cos x ）＝－2e x （ sin x ＋ cos x ）.
2. 已知函數 f （ x ）＝ ax2＋ c ，且f'（1）＝2，則 a ＝（　　）
A. 1
C. －1 D. 0
解析：　∵ f （ x ）＝ ax2＋ c ，∴f'（ x ）＝2 ax ，又∵f'（1）＝2
a ，∴2 a ＝2，∴ a ＝1.
3. （2024·泰州月考）曲線 f （ x ）＝ x ln x 在點（1， f （1））處的切
線的方程為 　 　.
x － y －1＝0
解析：f'（ x ）＝1＋ln x ，則曲線在點（1， f （1））處切線的斜率
k ＝f'（1）＝1，又 f （1）＝0，故所求的切線方程為 y －0＝1×（ x
－1），即 x － y －1＝0.
4. 求下列函數的導數：
（1） f （ x ）＝（ x －2）（ x2＋2 x ＋4）；
解：法一　f'（ x ）＝（ x －2）'（ x2＋2 x ＋4）＋（ x －2）（ x2＋2 x ＋4）'＝ x2＋2 x ＋4＋（ x －2）（2 x ＋2）＝3 x2.
法二　∵ f （ x ）＝（ x －2）（ x2＋2 x ＋4）＝ x3－8.
∴f'（ x ）＝3 x2.
解： f'（ x ）＝ －2 x ·ln 2＝
－2 x ·ln 2
＝ ＋ ln x －2 x ln 2.
（2） f （ x ）＝ －2 x .
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. （2024·無錫月考）設 f （ x ）＝ x ln x ，若f'（ x0）＝2，則 x0＝
（　?。?br/>A. e2 B. e
D. ln 2
解析： 　∵ f （ x ）＝ x ln x ，∴f'（ x ）＝ln x ＋1（ x ＞0），由f'
（ x0）＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1，解得 x0＝e.
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2. 函數 f （ x ）＝ 的導數是（　?。?br/>解析： 　f'（ x ）＝ '＝
＝ ＝ .
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3. 曲線 y ＝ 在點（1，－1）處的切線方程為（　?。?br/>A. y ＝－2 x ＋1 B. y ＝－3 x ＋2
C. y ＝2 x －3 D. y ＝ x －2
解析： 　 y ＝ 的導數為y'＝－ ，在點（1，－1）處的
切線斜率 k ＝y(tǒng)'｜ x＝1＝－2，∴曲線 y ＝ 在點（1，－1）處的切
線方程為 y ＋1＝－2（ x －1），即 y ＝－2 x ＋1.
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4. （2024·揚州月考）一個港口的某一觀測點的水位在退潮的過程
中，水面高度 y （單位：cm）關于時間 t （單位：s）的函數為 y ＝
h （ t ）＝ ，當 t ＝3時，水面下降的速度為（　?。?br/>1
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解析 ：　由題意得，h'（ t ）＝ ＝ ，所以h'
（3）＝ ＝－ ，故當 t ＝3時，水面下降的速度為
cm/s，故選B.
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5. （多選）若函數 f （ x ）的導函數f'（ x ）的圖象關于 y 軸對稱，則 f
（ x ）的解析式可能為（　?。?br/>A. f （ x ）＝3 cos x B. f （ x ）＝ x ＋ sin x
D. f （ x ）＝e x ＋ x
解析： 　由題意可知，f'（ x ）必為偶函數.對于A選項，f'（ x ）
＝－3 sin x 為奇函數；對于B選項，f'（ x ）＝1＋ cos x 為偶函數；
對于C選項，f'（ x ）＝1－ 為偶函數；對于D選項，f'（ x ）＝e x
＋1為非奇非偶函數.故選B、C.
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6. （多選）（2024·常州月考）已知函數 f （ x ）＝ x2＋ f （0）· x －f'
（0）· cos x ＋2，其導函數為f'（ x ），則（　　）
A. f （0）＝－1 B. f'（0）＝1
C. f （0）＝1 D. f'（0）＝－1
解析： 　因為 f （ x ）＝ x2＋ f （0）· x －f'（0）· cos x ＋2，所以 f
（0）＝2－f'（0）.因為f'（ x ）＝2 x ＋ f （0）＋f'（0）· sin x ，所
以f'（0）＝ f （0）.故f'（0）＝ f （0）＝1.故選B、C.
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7. 設函數 f （ x ）＝ .若f'（1）＝ ，則 a ＝ .
解析：由于f'（ x ）＝ ，故f'（1）＝ ＝ ，解
得 a ＝1.
1　
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8. 已知函數 f （ x ）＝f'（ ）· cos x ＋ sin x ，則f'（ ）＝ 　 －1　， f
（ ）＝ .
解析：∵f'（ x ）＝－f'（ ） sin x ＋ cos x ，∴f'（ ）＝－f'（ ）
× ＋ ，得f'（ ）＝ －1.∴ f （ x ）＝（ －1） cos x ＋ sin
x .∴ f （ ）＝1.
－1　
1　
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9. 曲線 f （ x ）＝ （ x －1）e x 在點（1，0）處的切線與坐標軸圍成的
面積為 .
解析：由題意可知，f'（ x ）＝ x ·e x ，f'（1）＝2，∴切線方程為 y
＝2（ x －1），即2 x － y －2＝0.令 x ＝0得 y ＝－2；令 y ＝0得 x ＝
1.∴曲線 f （ x ）＝ （ x －1）e x 在點（1，0）處的切線與坐標軸圍
成的面積 S ＝ ×2×1＝1.
1　
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10. 求下列函數的導數：
（1） y ＝ln x ＋ ；（2） y ＝ ；
（3） y ＝（ x2＋9）（ x － ）；（4） y ＝ .
解：（1）y'＝（ln x ＋ ）'＝（ln x ）'＋（ ）'＝ － .
（2）y'＝（ ）'＝ ＝－ .
（3） y ＝ x3＋6 x － ，y'＝3 x2＋ ＋6.
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（4）y'＝
＝ ＝ .
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11. （2024·蘇州質檢）已知 f （ x ）＝ x2＋ sin （ ＋ x ），f'（ x ）為
f （ x ）的導函數，則f'（ x ）的大致圖象是（　　）
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解析： 　∵ f （ x ）＝ x2＋ sin （ ＋ x ）＝ x2＋ cos x ，
∴f'（ x ）＝ x － sin x .易知f'（ x ）＝ x － sin x 是奇函數，
其圖象關于原點對稱，故排除B、D. 由f'（ ）＝ － ＜0，
排除C，故選A.
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12. 曲線 y ＝ 在點（1，1）處的切線為 l ，則 l 上的點到圓 x2＋ y2＋
4 x ＋3＝0上的點的最短距離是 .
解析：y'＝－ ，則 k ＝－1，∴切線方程為 y －1＝－（ x
－1），即 x ＋ y －2＝0，圓心（－2，0）到直線的距離 d ＝2 ，
圓的半徑 r ＝1，∴所求最短距離為2 －1.
2 －1　
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13. 等比數列{ an }中， a1＝2， a8＝4，函數 f （ x ）＝ x （ x － a1）（ x
－ a2）·…·（ x － a8），則f'（0）＝ .
解析：因為f'（ x ）＝（ x ）'·[（ x － a1）（ x － a2）·…·（ x －
a8）]＋[（ x － a1）（ x － a2）·…·（ x － a8）]'· x ＝（ x － a1）（ x
－ a2）·…·（ x － a8）＋[（ x － a1）·（ x － a2）·…·（ x －
a8）]'· x ，所以f'（0）＝（0－ a1）（0－ a2）·…·（0－ a8）＋0＝
a1 a2·…· a8.因為數列{ an }為等比數列，所以 a1 a8＝ a2 a7＝ a3 a6＝ a4
a5＝8，所以f'（0）＝84＝4 096.
4 096　
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14. 已知函數 f （ x ）＝ x3－2 x2＋3 x （ x ∈R）的圖象為曲線 C .
（1）求曲線 C 上任意一點處切線斜率的取值范圍；
解： 由題意得f'（ x ）＝ x2－4 x ＋3，
則f'（ x ）＝（ x －2）2－1≥－1，
即曲線 C 上任意一點處切線的斜率的取值范圍是[－1，＋∞）.
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（2）若在曲線 C 上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與
曲線 C 的切點的橫坐標的取值范圍.
解：設曲線 C 的其中一條切線的斜率為 k ，
則由條件和（1）中結論可知，
解得－1≤ k ＜0或 k ≥1，
故由－1≤ x2－4 x ＋3＜0或 x2－4 x ＋3≥1，得 x ∈（－∞，2
－ ]∪（1，3）∪[2＋ ，＋∞）.
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15. （2024·南通質檢）設函數 f （ x ）＝ ax － ，曲線 y ＝ f （ x ）在點
（2， f （2））處的切線方程為7 x －4 y －12＝0.
（1）求 f （ x ）的解析式；
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解： 由7 x －4 y －12＝0得 y ＝ x －3.
當 x ＝2時， y ＝ ，所以 f （2）＝ ，　①
又f'（ x ）＝ a ＋ ，
所以f'（2）＝ ，?、?br/>由①②得解得
故 f （ x ）＝ x － .
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（2）證明：曲線 y ＝ f （ x ）上任一點處的切線與直線 x ＝0和直線
y ＝ x 所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值.
解： 證明：設 P （ x0， y0）為曲線上任一點，由y'＝1
＋ 知曲線在點 P （ x0， y0）處的切線方程為
y － y0＝ （ x － x0），
即 y － ＝ （ x － x0）.
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令 x ＝0得 y ＝－ ，從而得切線與直線 x ＝0的交點坐標為
.
令 y ＝ x 得 y ＝ x ＝2 x0，從而得切線與直線 y ＝ x 的交點坐標
為（2 x0，2 x0）.
所以點 P （ x0， y0）處的切線與直線 x ＝0， y ＝ x 所圍成的
三角形面積為 ｜2 x0｜＝6.
故曲線 y ＝ f （ x ）上任一點處的切線與直線 x ＝0， y ＝ x 所
圍成的三角形的面積為定值，此定值為6.
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