資源簡介

第1課時　導數與函數的單調性
1.對于函數y＝f（x），x∈（a，b），“f'（x）＞0”是“函數y＝f（x）為增函數”的（　　）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.函數f（x）＝（x－3）ex的單調遞增區間是（　　）
A.（－∞，2）　　 B.（0，3）
C.（1，4）　　 D.（2，＋∞）
3.（2024·南京月考）已知f（x）在R上是可導函數，y＝f（x）的圖象如圖所示，則不等式f'（x）＞0的解集為（　　）
A.（－2，0）∪（2，＋∞）　　
B.（－∞，－2）∪（2，＋∞）
C.（－∞，－1）∪（1，＋∞）　　
D.（－2，－1）∪（1，2）
4.（2024·鎮江質檢）設函數f（x）＝4ln x－x2＋3x在區間[a，a＋1]上單調遞增，則實數a的取值范圍是（　　）
A.（0，3]　　 B.（0，2]
C.[3，＋∞）　　 D.[2，＋∞）
5.（多選）下列函數在（－∞，＋∞）上是單調函數的是（　　）
A.y＝x3＋x－1　　 B.y＝sin x－x
C.y＝xex＋1　　 D.y＝ex－x
6.（多選）設f'（x）是函數f（x）的導函數，將y＝f（x）和y＝f'（x）的圖象畫在同一個直角坐標系中，可能正確的是（　　）
7.函數f（x）＝的單調遞增區間為　　　　.
8.已知函數f（x）的導函數y＝f'（x）的圖象如圖所示，則函數f（x）的單調遞增區間是　　　　.
9.若函數f（x）的導函數為f'（x）＝x2－4x＋3，則函數f（1＋x）的單調遞減區間是　　　　.
10.判斷函數f（x）＝2x（ex－1）－x2的單調性.
11.（2024·德州一中月考）函數f（x）＝xcos x的導函數f'（x）在區間[－π，π]上的圖象大致是（　　）
12.定義在R上的可導函數f（x），已知y＝ef'（x）的圖象如圖所示，則y＝f（x）的單調遞增區間是（　　）
A.（－∞，1）　　 B.（－∞，2）
C.（0，1）　　 D.（1，2）
13.（多選）（2024·徐州質檢）若函數exf（x）（e＝2.718 28……是自然對數的底數）在f（x）的定義域上單調遞增，則稱函數f（x）具有M性質，下列函數中具有M性質的是（　　）
A.f（x）＝2－x　　 B.f（x）＝x2＋2
C.f（x）＝3－x　　 D.f（x）＝cos x
14.已知函數f（x）＝ln x－x＋1，x∈（0，＋∞）.
（1）討論f（x）的單調性；
（2）利用（1）的結論證明當x∈（1，＋∞）時ln x＜x－1.
15.（2024·常州質檢）已知函數f（x）＝（k為常數，e為自然對數的底數），曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行.
（1）求實數k的值；
（2）求函數f（x）的單調區間.
第1課時　導數與函數的單調性
1.A　由f'（x）＞0 函數f（x）為增函數，但函數f（x）為增函數 /f'（x）＞0，知“f'（x）＞0”是“函數y＝f（x）為增函數”的充分不必要條件.
2.D　因為f'（x）＝ex＋（x－3）ex＝（x－2）ex，由f'（x）＞0得（x－2）ex＞0，所以x＞2.所以f（x）的單調遞增區間為（2，＋∞）.
3.C　因為f（x）在區間（－∞，－1），（1，＋∞）上單調遞增，所以在區間（－∞，－1）和（1，＋∞）上f'（x）＞0.
4.A　由函數f（x）＝4ln x－x2＋3x，可得f'（x）＝－x＋3＝，x＞0，令f'（x）≥0，即≥0，即－x2＋3x＋4≥0，解得0＜x≤4，所以函數f（x）在（0，4]上單調遞增，又由函數f（x）在[a，a＋1]上單調遞增，所以解得0＜a≤3，故選A.
5.AB　由y＝x3＋x－1，得y'＝3x2＋1≥1，所以函數是增函數，A滿足題意；由y＝sin x－x，得y'＝cos x－1≤0，所以函數是減函數，B滿足題意；由y＝xex＋1，得y'＝ex（x＋1），當x≥－1時，y'＝ex（x＋1）≥0，函數單調遞增，當x＜－1時，y'＝ex（x＋1）＜0，函數單調遞減，故函數在（－∞，＋∞）上不是單調函數，C不滿足題意；由y＝ex－x，得y'＝ex－1，當x≥0時，y'＝ex－1≥0，函數單調遞增，當x＜0時，y'＝ex－1＜0，函數單調遞減，故函數在（－∞，＋∞）上不是單調函數，D不滿足題意.
6.ABC　A、B、C均有可能；對于D，若C1為導函數，則y＝f（x）應為增函數，不符合；若C2為導函數，則y＝f（x）應為減函數，也不符合.
7.（0，e）　解析：f'（x）＝，令f'（x）＝0，得x＝e.因為當0＜x＜e時，f'（x）＞0，所以函數f（x）的單調遞增區間為（0，e）.
8.（－1，2），（4，＋∞）　解析：由題圖可知，在區間（－1，2），（4，＋∞）上f'（x）＞0；在區間（－∞，－1），（2，4）上f'（x）＜0.由導函數的正負與函數單調性的關系可得，函數f（x）的單調遞增區間是（－1，2），（4，＋∞）.
9.（0，2）　解析：令f'（x）＝x2－4x＋3＜0，得1＜x＜3，由1＜1＋x＜3，解得0＜x＜2，故函數f（1＋x）的單調遞減區間為（0，2）.
10.解：函數f（x）的定義域為R，f'（x）＝2（ex－1＋xex－x）＝2（ex－1）（x＋1）.
當x∈（－∞，－1）時，f'（x）＞0；
當x∈（－1，0）時，f'（x）＜0；
當x∈（0，＋∞）時，f'（x）＞0.
故f（x）在（－∞，－1）和（0，＋∞）上單調遞增，在（－1，0）上單調遞減.
11.A　因為f（x）＝xcos x，所以f'（x）＝cos x－xsin x.因為f'（－x）＝f'（x），所以f'（x）為偶函數，所以函數圖象關于y軸對稱.由f'（0）＝1可排除C、D.而f'（1）＝cos 1－sin 1＜0，排除B.
12.B　由題圖知f'（x）≥0的區間是（－∞，2），故函數y＝f（x）的單調遞增區間為（－∞，2），故選B.
13.AB　設g（x）＝ex·f（x），對于A，g（x）＝ex·2－x＝（）x在定義域R上是增函數，故A正確；對于B，g（x）＝（x2＋2）ex，g'（x）＝（x2＋2x＋2）ex＝[（x＋1）2＋1]ex＞0，所以g（x）在定義域R上是增函數，故B正確；對于C，g（x）＝ex·3－x＝（）x在定義域R上是減函數，C不正確；對于D，g（x）＝ex·cos x，則g'（x）＝excos（x＋），g'（x）＞0在定義域R上不恒成立，D不正確.故選A、B.
14.解：（1）∵f'（x）＝－1＝，
∴當x＞1時，f'（x）＜0；當0＜x＜1時，f'（x）＞0.
∴f（x）的單調遞增區間為（0，1），單調遞減區間為（1，＋∞）.
（2）證明：由（1）知f（x）＝ln x－x＋1在（1，＋∞）上單調遞減，
∴f（x）＜f（1）＝0，即ln x＜x－1.
15.解：（1）由f（x）＝，
可得f'（x）＝.
∵曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，
∴f'（1）＝0，即＝0，解得k＝1.
（2）由（1）知，f'（x）＝（x＞0），
設h（x）＝－ln x－1（x＞0），
則h'（x）＝－－＜0.
可知h（x）在（0，＋∞）上單調遞減，由h（1）＝0知，
當0＜x＜1時，h（x）＞h（1）＝0，故f'（x）＞0；
當x＞1時，h（x）＜h（1）＝0，故f'（x）＜0.
綜上，f（x）的單調遞增區間是（0，1），單調遞減區間是（1，＋∞）.
2 / 25.3.1　單調性
新課程標準解讀 核心素養
1.結合實例，借助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關系 數學抽象、直觀想象
2.能利用導數研究函數的單調性 邏輯推理、數學運算
3.對于多項式函數，能求不超過三次的多項式函數的單調區間 數學運算
第1課時　導數與函數的單調性
　　研究股票時，我們最關心的是股票的發展趨勢（走高或走低）以及股票價格的變化范圍（封頂或保底）.從股票走勢曲線圖來看，股票有升有降.在數學上，函數曲線也有升有降，就是我們常說的單調性.
【問題】　函數的單調性與導數有什么關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　函數的單調性與導數的關系
　對于函數y＝f（x）：
（1）如果在某區間上f'（x）＞0，那么f（x）在該區間上　　　　　；
（2）如果在某區間上f'（x）＜0，那么f（x）在該區間上　　　　　.
提醒　若在某區間內有有限個點使f'（x）＝0，在其余的點恒有f'（x）＞0（＜0），則f（x）在該區間上單調遞增（遞減）.
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）函數f（x）在定義域上都有f'（x）＜0，則函數f（x）在定義域上是減函數.（　　）
（2）函數f（x）在某區間內單調遞增，則一定有f'（x）＞0.（　　）
（3）函數在某個區間上變化越快，函數在這個區間上的導數的絕對值越大.（　　）
2.函數f（x）＝2x＋cos x在（－∞，＋∞）上（　　）
A.先增后減　　 B.先減后增
C.是增函數　　 D.是減函數
3.函數f（x）＝ln x－x的單調增區間是　　　　　　　.
題型一 利用導數判斷函數的單調性
【例1】　（鏈接教科書第213頁例2）利用導數判斷下列函數的單調性：
（1）f（x）＝x3－x2＋2x－5；
（2）f（x）＝x－ex（x＞0）.
通性通法
利用導數判斷函數的單調性的策略
利用導數判斷或證明一個可導函數在給定區間內的單調性，實質上就是判斷f'（x）的正負或證明不等式f'（x）≥0（或f'（x）≤0）在給定區間內恒成立.一般步驟為：①求導數f'（x）；②判斷f'（x）的符號；③得出結論.
【跟蹤訓練】
證明：函數f（x）＝在區間（0，2）上單調遞增.
題型二 利用導數求函數的單調區間
【例2】　（鏈接教科書第214頁例3）求下列函數的單調區間：
（1）f（x）＝x3－4x2＋4x－1；
（2）f（x）＝（x＞0且x≠1）.
通性通法
利用導數求函數單調區間的方法
（1）列表法：①求定義域：確定函數f（x）的定義域；②求導：求f'（x）；③確定零點：判斷導函數f'（x）有無零點，若有零點，通過解方程f'（x）＝0求出零點；④列表：用f'（x）的零點和函數的無定義點將f（x）的定義域劃分為若干個區間，列表給出f'（x）在各區間上的正負；⑤得結論：由此得出函數f（x）在定義域內的單調性.
（2）解不等式法：①求定義域：確定函數f（x）的定義域；②求導：求f'（x）；③解不等式：在定義域內，令f'（x）＞0，解得函數f（x）的單調遞增區間；令f'（x）＜0，解得函數f（x）的單調遞減區間.
【跟蹤訓練】
求下列函數的單調區間：
（1）f（x）＝2x3＋3x2－36x；
（2）f（x）＝2x2－ln x.
題型三 函數圖象與導函數圖象的關系
【例3】　（鏈接教科書第222頁習題10題）已知導函數f'（x）的下列信息：當x＜0或x＞7時，f'（x）＞0；當0＜x＜7時，f'（x）＜0；當x＝0或x＝7時，f'（x）＝0，試畫出函數f（x）的大致圖象.
通性通法
研究函數圖象與導函數圖象之間關系的方法
導函數f'（x）圖象在x軸上方時對應的自變量的取值區間為原函數f（x）圖象上升部分對應的區間（單調遞增區間），導函數f'（x）圖象在x軸下方時對應的自變量的取值區間為原函數f（x）圖象下降部分對應的區間（單調遞減區間）.
【跟蹤訓練】
1.（2024·淮安月考）函數y＝f（x）的圖象如圖所示，則導函數y＝f'（x）的圖象可能是（　　）
2.（2024·鹽城月考）已知f'（x）是f（x）的導函數，若f'（x）的圖象如圖所示，則f（x）的圖象可能是（　　）
1.函數f（x）＝sin x－2x在（－∞，＋∞）上（　　）
A.是增函數　　 B.是減函數
C.先增后減　　 D.先減后增
2.已知二次函數y＝f（x）的圖象如圖所示，則其導函數y＝f'（x）的圖象大致形狀是（　　）
3.（2024·揚州月考）函數f（x）＝x3－3x的單調遞減區間為　　　　.
4.判斷函數f（x）＝ex＋e－x在[0，＋∞）上的單調性.
第1課時　導數與函數的單調性
【基礎知識·重落實】
知識點
（1）單調遞增　（2）單調遞減
自我診斷
1.（1）×　（2）×　（3）√
2.C　∵f'（x）＝2－sin x＞0，∴f（x）在（－∞，＋∞）上是增函數.
3.（0，1）　解析：f'（x）＝－1，令f'（x）＞0，又x＞0，∴0＜x＜1，則f（x）的單調增區間是（0，1）.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）因為f（x）＝x3－x2＋2x－5，x∈R，
所以f'（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1＞0，
所以函數f（x）＝x3－x2＋2x－5在R上是增函數.
（2）因為f（x）＝x－ex，x∈（0，＋∞），所以f'（x）＝1－ex＜0，所以f（x）＝x－ex在（0，＋∞）上是減函數.
跟蹤訓練
　證明：由題意，得f'（x）＝＝.
∵0＜x＜2，∴ln x＜ln 2＜1，∴1－ln x＞0，
∴f'（x）＝＞0.
根據導數與函數單調性的關系，可知函數f（x）＝在區間（0，2）上單調遞增.
【例2】　解：（1）函數f（x）的定義域為R，f'（x）＝3x2－8x＋4＝（x－2）（3x－2）.
令f'（x）＝0，解得x＝或x＝2.
列表如下：
x （－∞， ） （，2） 2 （2， ＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 單調 遞增 f（） 單調遞減 f（2） 單調 遞增
所以函數f（x）的單調遞增區間為（－∞，）和（2，＋∞），單調遞減區間為（，2）.
（2）法一（列表法）　函數的定義域為（0，1）∪（1，＋∞），f'（x）＝－，
令f'（x）＝0，得x＝.
列表如下：
x （0，） （，1） （1，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － －
f（x） 單調遞增 f（） 單調遞減 單調遞減
所以f（x）的單調遞增區間是（0，），單調遞減區間是（，1），（1，＋∞）.
法二（解不等式法）　函數的定義域為（0，1）∪（1，＋∞），f'（x）＝－，
由f'（x）＞0，得ln x＋1＜0，所以0＜x＜.
由f'（x）＜0，得ln x＋1＞0，所以x＞.
又因為x≠1，所以＜x＜1或x＞1.
所以f（x）的單調遞增區間是（0，），單調遞減區間是（，1）和（1，＋∞）.
跟蹤訓練
　解：（1）f'（x）＝6x2＋6x－36＝6（x＋3）（x－2）.
令f'（x）＝0，解得x＝－3或x＝2，
x＝－3和x＝2把函數的定義域劃分為三個區間，
f'（x）在各區間上的正負，以及f（x）的單調性如表所示，
x （－∞， －3） －3 （－3，2） 2 （2， ＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 單調 遞增 f（－3） ＝81 單調遞減 f（2）＝ －44 單調 遞增
故f（x）的單調遞增區間是（－∞，－3），（2，＋∞）；
單調遞減區間是（－3，2）.
（2）函數f（x）＝2x2－ln x的定義域為（0，＋∞）.
f'（x）＝4x－＝.
因為x＞0，所以2x＋1＞0，由f'（x）＞0，解得x＞，所以函數f（x）的單調遞增區間為（，＋∞）；
由f'（x）＜0，解得x＜，
又x∈（0，＋∞），所以函數f（x）的單調遞減區間為（0，）.
【例3】　解：當x＜0或x＞7時，f'（x）＞0，可知函數f（x）在區間（－∞，0）和（7，＋∞）上都單調遞增；當0＜x＜7時，f'（x）＜0，可知函數f（x）在區間（0，7）上單調遞減；當x＝0或x＝7時，f'（x）＝0，這兩個點比較特殊，我們稱它們為“穩定點”.綜上，函數f（x）的大致形狀如圖所示.
跟蹤訓練
1.D　因為函數f（x）在（0，＋∞），（－∞，0）上都單調遞減，所以當x＞0時，f'（x）＜0，當x＜0，f'（x）＜0.故選D.
2.C　由導函數的圖象可知，當x＜0時，f'（x）＞0，即函數f（x）單調遞增；當0＜x＜x1時，f'（x）＜0，即函數f（x）單調遞減；當x＞x1時，f'（x）＞0，即函數f（x）單調遞增.結合選項易知C正確.
隨堂檢測
1.B　∵f'（x）＝cos x－2＜0，∴f（x）在（－∞，＋∞）上是減函數.
2.C　觀察y＝f（x）的圖象可知，函數在（－∞，0）上單調遞減，在（0，＋∞）上單調遞增，所以導函數y＝f'（x）在（－∞，0）上小于0，在（0，＋∞）上大于0.結合各選項可知，只有選項C符合題意.
3.（－1，1）　解析：對f（x）求導得f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），令f'（x）＜0，解得－1＜x＜1.故f（x）的單調遞減區間為（－1，1）.
4.解：f'（x）＝（ex）'＋（e－x）'＝ex＋e－x（－x）'＝ex－e－x＝，
因為當x∈[0，＋∞）時，ex≥1，所以f'（x）≥0，當且僅當x＝0時等號成立，
所以f（x）＝ex＋e－x在[0，＋∞）上單調遞增.
2 / 3(共58張PPT)
5.3.1　單調性
新課程標準解讀 核心素養
1.結合實例，借助幾何直觀了解函數的單調性與
導數的關系 數學抽象、直觀
想象
2.能利用導數研究函數的單調性 邏輯推理、數學
運算
3.對于多項式函數，能求不超過三次的多項式函
數的單調區間 數學運算
第1課時　
導數與函數的單調性
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　研究股票時，我們最關心的是股票的發展趨勢（走高或走
低）以及股票價格的變化范圍（封頂或保底）.從股票走勢曲線圖
來看，股票有升有降.在數學上，函數曲線也有升有降，就是我們
常說的單調性.
【問題】　函數的單調性與導數有什么關系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　函數的單調性與導數的關系
　對于函數 y ＝ f （ x ）：
（1）如果在某區間上f'（ x ）＞0，那么 f （ x ）在該區間上
；
（2）如果在某區間上f'（ x ）＜0，那么 f （ x ）在該區間上
.
提醒　若在某區間內有有限個點使f'（ x ）＝0，在其余的點恒有
f'（ x ）＞0（＜0），則 f （ x ）在該區間上單調遞增（遞減）.
單調遞
增　
單調遞
減　
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）函數 f （ x ）在定義域上都有f'（ x ）＜0，則函數 f （ x ）在定
義域上是減函數. （　×　）
（2）函數 f （ x ）在某區間內單調遞增，則一定有f'（ x ）＞0.
（　×　）
（3）函數在某個區間上變化越快，函數在這個區間上的導數的絕
對值越大. （　√　）
×
×
√
2. 函數 f （ x ）＝2 x ＋ cos x 在（－∞，＋∞）上（　　）
A. 先增后減 B. 先減后增
C. 是增函數 D. 是減函數
解析：　∵f'（ x ）＝2－ sin x ＞0，∴ f （ x ）在（－∞，＋∞）
上是增函數.
3. 函數 f （ x ）＝ln x － x 的單調增區間是 .
解析：f'（ x ）＝ －1，令f'（ x ）＞0，又 x ＞0，∴0＜ x ＜1，則 f
（ x ）的單調增區間是（0，1）.
（0，1）　
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 利用導數判斷函數的單調性
【例1】　（鏈接教科書第213頁例2）利用導數判斷下列函數的單
調性：
（1） f （ x ）＝ x3－ x2＋2 x －5；
解：因為 f （ x ）＝ x3－ x2＋2 x －5， x ∈R，
所以f'（ x ）＝ x2－2 x ＋2＝（ x －1）2＋1＞0，
所以函數 f （ x ）＝ x3－ x2＋2 x －5在R上是增函數.
（2） f （ x ）＝ x －e x （ x ＞0）.
解： 因為 f （ x ）＝ x －e x ， x ∈（0，＋∞），所以f'（ x ）
＝1－e x ＜0，所以 f （ x ）＝ x －e x 在（0，＋∞）上是減函數.
通性通法
利用導數判斷函數的單調性的策略
利用導數判斷或證明一個可導函數在給定區間內的單調性，實質
上就是判斷f'（ x ）的正負或證明不等式f'（ x ）≥0（或f'（ x ）≤0）
在給定區間內恒成立.一般步驟為：①求導數f'（ x ）；②判斷f'（ x ）
的符號；③得出結論.
【跟蹤訓練】
證明：函數 f （ x ）＝ 在區間（0，2）上單調遞增.
證明：由題意，得f'（ x ）＝ ＝ .
∵0＜ x ＜2，∴ln x ＜ln 2＜1，∴1－ln x ＞0，
∴f'（ x ）＝ ＞0.
根據導數與函數單調性的關系，可知函數 f （ x ）＝ 在區間（0，
2）上單調遞增.
題型二 利用導數求函數的單調區間
【例2】　（鏈接教科書第214頁例3）求下列函數的單調區間：
（1） f （ x ）＝ x3－4 x2＋4 x －1；
解： 函數 f （ x ）的定義域為R，f'（ x ）＝3 x2－8 x ＋4＝
（ x －2）（3 x －2）.
令f'（ x ）＝0，解得 x ＝ 或 x ＝2.
列表如下：
x 2 （2，＋∞）
f'（ x ） ＋ 0 － 0 ＋
f （ x ） 單調遞增 單調遞減 f （2） 單調遞增
所以函數 f （ x ）的單調遞增區間為（－∞， ）和（2，＋
∞），單調遞減區間為（ ，2）.
（2） f （ x ）＝ （ x ＞0且 x ≠1）.
解： 法一（列表法）　函數的定義域為（0，1）∪（1，
＋∞），f'（ x ）＝－ ，
令f'（ x ）＝0，得 x ＝ .
列表如下：
x （1，＋∞）
f'（ x ） ＋ 0 － －
f （ x ） 單調遞增 單調遞減 單調遞減
所以 f （ x ）的單調遞增區間是（0， ），單調遞減區間是
（ ，1），（1，＋∞）.
法二（解不等式法）　函數的定義域為（0，1）∪（1，＋
∞），f'（ x ）＝－ ，
由f'（ x ）＞0，得ln x ＋1＜0，所以0＜ x ＜ .
由f'（ x ）＜0，得ln x ＋1＞0，所以 x ＞ .
又因為 x ≠1，所以 ＜ x ＜1或 x ＞1.
所以 f （ x ）的單調遞增區間是（0， ），單調遞減區間是（ ，1）和（1，＋∞）.
通性通法
利用導數求函數單調區間的方法
（1）列表法：①求定義域：確定函數 f （ x ）的定義域；②求導：求f'
（ x ）；③確定零點：判斷導函數f'（ x ）有無零點，若有零點，
通過解方程f'（ x ）＝0求出零點；④列表：用f'（ x ）的零點和函
數的無定義點將 f （ x ）的定義域劃分為若干個區間，列表給出f'
（ x ）在各區間上的正負；⑤得結論：由此得出函數 f （ x ）在
定義域內的單調性.
（2）解不等式法：①求定義域：確定函數 f （ x ）的定義域；②求
導：求f'（ x ）；③解不等式：在定義域內，令f'（ x ）＞0，解得
函數 f （ x ）的單調遞增區間；令f'（ x ）＜0，解得函數 f （ x ）
的單調遞減區間.
【跟蹤訓練】
求下列函數的單調區間：
（1） f （ x ）＝2 x3＋3 x2－36 x ；
解： f'（ x ）＝6 x2＋6 x －36＝6（ x ＋3）（ x －2）.
令f'（ x ）＝0，解得 x ＝－3或 x ＝2，
x ＝－3和 x ＝2把函數的定義域劃分為三個區間，
f'（ x ）在各區間上的正負，以及 f （ x ）的單調性如表所示，
x （－∞，
－3） －3 （－3，
2） 2 （2，＋
∞）
f'（ x ） ＋ 0 － 0 ＋
f （ x ） 單調遞增 f （－3） ＝81 單調遞減 f （2）＝ －44 單調遞增
故 f （ x ）的單調遞增區間是（－∞，－3），（2，＋∞）；
單調遞減區間是（－3，2）.
（2） f （ x ）＝2 x2－ln x .
解：函數 f （ x ）＝2 x2－ln x 的定義域為（0，＋∞）.
f'（ x ）＝4 x － ＝ .
因為 x ＞0，所以2 x ＋1＞0，由f'（ x ）＞0，解得 x ＞ ，所以函
數 f （ x ）的單調遞增區間為（ ，＋∞）；
由f'（ x ）＜0，解得 x ＜ ，
又 x ∈（0，＋∞），所以函數 f （ x ）的單調遞減區間為（0， ）.
題型三 函數圖象與導函數圖象的關系
【例3】　（鏈接教科書第222頁習題10題）已知導函數f'（ x ）的下列
信息：當 x ＜0或 x ＞7時，f'（ x ）＞0；當0＜ x ＜7時，f'（ x ）＜0；
當 x ＝0或 x ＝7時，f'（ x ）＝0，試畫出函數 f （ x ）的大致圖象.
解：當 x ＜0或 x ＞7時，f'（ x ）＞0，可知函數 f
（ x ）在區間（－∞，0）和（7，＋∞）上都單調
遞增；當0＜ x ＜7時，f'（ x ）＜0，可知函數 f
（ x ）在區間（0，7）上單調遞減；當 x ＝0或 x ＝7
時，f'（ x ）＝0，這兩個點比較特殊，我們稱它們
為“穩定點”.綜上，函數 f （ x ）的大致形狀如圖
所示.
通性通法
研究函數圖象與導函數圖象之間關系的方法
導函數f'（ x ）圖象在 x 軸上方時對應的自變量的取值區間為原函
數 f （ x ）圖象上升部分對應的區間（單調遞增區間），導函數f'
（ x ）圖象在 x 軸下方時對應的自變量的取值區間為原函數 f （ x ）圖
象下降部分對應的區間（單調遞減區間）.
【跟蹤訓練】
1. （2024·淮安月考）函數 y ＝ f （ x ）的圖象如圖所示，則導函數 y ＝
f'（ x ）的圖象可能是（　　）
解析：　因為函數 f （ x ）在（0，＋∞），（－∞，0）上都單調
遞減，所以當 x ＞0時，f'（ x ）＜0，當 x ＜0，f'（ x ）＜0.故選D.
2. （2024·鹽城月考）已知f'（ x ）是 f （ x ）的導函數，若f'（ x ）的圖
象如圖所示，則 f （ x ）的圖象可能是（　　）
解析：　由導函數的圖象可知，當 x ＜0時，f'（ x ）＞0，即函數 f
（ x ）單調遞增；當0＜ x ＜ x1時，f'（ x ）＜0，即函數 f （ x ）單調
遞減；當 x ＞ x1時，f'（ x ）＞0，即函數 f （ x ）單調遞增.結合選項
易知C正確.
1. 函數 f （ x ）＝ sin x －2 x 在（－∞，＋∞）上（　　）
A. 是增函數 B. 是減函數
C. 先增后減 D. 先減后增
解析：　∵f'（ x ）＝ cos x －2＜0，∴ f （ x ）在（－∞，＋∞）
上是減函數.
2. 已知二次函數 y ＝ f （ x ）的圖象如圖所示，則其導函數 y ＝f'（ x ）
的圖象大致形狀是（　　）
解析：　觀察 y ＝ f （ x ）的圖象可知，函數在（－∞，0）上單調
遞減，在（0，＋∞）上單調遞增，所以導函數 y ＝f'（ x ）在（－
∞，0）上小于0，在（0，＋∞）上大于0.結合各選項可知，只有
選項C符合題意.
3. （2024·揚州月考）函數 f （ x ）＝ x3－3 x 的單調遞減區間為
.
解析：對 f （ x ）求導得f'（ x ）＝3 x2－3＝3（ x ＋1）（ x －1），
令f'（ x ）＜0，解得－1＜ x ＜1.故 f （ x ）的單調遞減區間為（－
1，1）.
（－
1，1）　
4. 判斷函數 f （ x ）＝e x ＋e－ x 在[0，＋∞）上的單調性.
解：f'（ x ）＝（e x ）'＋（e－ x ）'＝e x ＋e－ x （－ x ）'＝e x －e－ x ＝
，
因為當 x ∈[0，＋∞）時，e x ≥1，所以f'（ x ）≥0，當且僅當 x ＝0
時等號成立，
所以 f （ x ）＝e x ＋e－ x 在[0，＋∞）上單調遞增.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
　　
1. 對于函數 y ＝ f （ x ）， x ∈（ a ， b ），“f'（ x ）＞0”是“函數 y
＝ f （ x ）為增函數”的（　　）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
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解析：　由f'（ x ）＞0 函數 f （ x ）為增函數，但函數 f （ x ）為
增函數 /f'（ x ）＞0，知“f'（ x ）＞0”是“函數 y ＝ f （ x ）為增
函數”的充分不必要條件.
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2. 函數 f （ x ）＝（ x －3）e x 的單調遞增區間是（　　）
A. （－∞，2） B. （0，3）
C. （1，4） D. （2，＋∞）
解析：　因為f'（ x ）＝e x ＋（ x －3）e x ＝（ x －2）e x ，由f'
（ x ）＞0得（ x －2）e x ＞0，所以 x ＞2.所以 f （ x ）的單調遞增區
間為（2，＋∞）.
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3. （2024·南京月考）已知 f （ x ）在R上是可導函數， y ＝ f （ x ）的
圖象如圖所示，則不等式f'（ x ）＞0的解集為（　　）
A. （－2，0）∪（2，＋∞）
B. （－∞，－2）∪（2，＋∞）
C. （－∞，－1）∪（1，＋∞）
D. （－2，－1）∪（1，2）
解析：　因為 f （ x ）在區間（－∞，－1），（1，＋∞）上單調
遞增，所以在區間（－∞，－1）和（1，＋∞）上f'（ x ）＞0.
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4. （2024·鎮江質檢）設函數 f （ x ）＝4ln x － x2＋3 x 在區間[ a ， a
＋1]上單調遞增，則實數 a 的取值范圍是（　　）
A. （0，3] B. （0，2]
C. [3，＋∞） D. [2，＋∞）
解析：　由函數 f （ x ）＝4ln x － x2＋3 x ，可得f'（ x ）＝ － x
＋3＝ ， x ＞0，令f'（ x ）≥0，即 ≥0，即－ x2＋
3 x ＋4≥0，解得0＜ x ≤4，所以函數 f （ x ）在（0，4]上單調遞
增，又由函數 f （ x ）在[ a ， a ＋1]上單調遞增，所以
解得0＜ a ≤3，故選A.
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5. （多選）下列函數在（－∞，＋∞）上是單調函數的是（　　）
A. y ＝ x3＋ x －1 B. y ＝ sin x － x
C. y ＝ x e x ＋1 D. y ＝e x － x
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解析： 　由 y ＝ x3＋ x －1，得y'＝3 x2＋1≥1，所以函數是增函
數，A滿足題意；由 y ＝ sin x － x ，得y'＝ cos x －1≤0，所以函數
是減函數，B滿足題意；由 y ＝ x e x ＋1，得y'＝e x （ x ＋1），當 x ≥
－1時，y'＝e x （ x ＋1）≥0，函數單調遞增，當 x ＜－1時，y'＝e x
（ x ＋1）＜0，函數單調遞減，故函數在（－∞，＋∞）上不是單
調函數，C不滿足題意；由 y ＝e x － x ，得y'＝e x －1，當 x ≥0時，y'
＝e x －1≥0，函數單調遞增，當 x ＜0時，y'＝e x －1＜0，函數單調
遞減，故函數在（－∞，＋∞）上不是單調函數，D不滿足題意.
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6. （多選）設f'（ x ）是函數 f （ x ）的導函數，將 y ＝ f （ x ）和 y ＝f'
（ x ）的圖象畫在同一個直角坐標系中，可能正確的是（　　）
解析：　A、B、C均有可能；對于D，若 C1為導函數，則 y ＝ f
（ x ）應為增函數，不符合；若 C2為導函數，則 y ＝ f （ x ）應為減
函數，也不符合.
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7. 函數 f （ x ）＝ 的單調遞增區間為 .
解析：f'（ x ）＝ ，令f'（ x ）＝0，得 x ＝e.因為當0＜ x ＜e
時，f'（ x ）＞0，所以函數 f （ x ）的單調遞增區間為（0，e）.
（0，e）　
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8. 已知函數 f （ x ）的導函數 y ＝f'（ x ）的圖象如圖所示，則函數 f
（ x ）的單調遞增區間是 .
解析：由題圖可知，在區間（－1，2），（4，＋∞）上f'（ x ）＞
0；在區間（－∞，－1），（2，4）上f'（ x ）＜0.由導函數的正
負與函數單調性的關系可得，函數 f （ x ）的單調遞增區間是（－
1，2），（4，＋∞）.
（－1，2），（4，＋∞）　
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9. 若函數 f （ x ）的導函數為f'（ x ）＝ x2－4 x ＋3，則函數 f （1＋ x ）
的單調遞減區間是 .
解析：令f'（ x ）＝ x2－4 x ＋3＜0，得1＜ x ＜3，由1＜1＋ x ＜3，
解得0＜ x ＜2，故函數 f （1＋ x ）的單調遞減區間為（0，2）.
（0，2）　
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10. 判斷函數 f （ x ）＝2 x （e x －1）－ x2的單調性.
解：函數 f （ x ）的定義域為R，f'（ x ）＝2（e x －1＋ x e x － x ）＝
2（e x －1）（ x ＋1）.
當 x ∈（－∞，－1）時，f'（ x ）＞0；
當 x ∈（－1，0）時，f'（ x ）＜0；
當 x ∈（0，＋∞）時，f'（ x ）＞0.
故 f （ x ）在（－∞，－1）和（0，＋∞）上單調遞增，在（－
1，0）上單調遞減.
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11. （2024·德州一中月考）函數 f （ x ）＝ x cos x 的導函數f'（ x ）在區
間[－π，π]上的圖象大致是（　　）
解析：　因為 f （ x ）＝ x cos x ，所以f'（ x ）＝ cos x － x sin x .因
為f'（－ x ）＝f'（ x ），所以f'（ x ）為偶函數，所以函數圖象關于
y 軸對稱.由f'（0）＝1可排除C、D. 而f'（1）＝ cos 1－ sin 1＜
0，排除B.
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12. 定義在R上的可導函數 f （ x ），已知 y ＝ef'（ x）的圖象如圖所示，
則 y ＝ f （ x ）的單調遞增區間是（　　）
A. （－∞，1）
B. （－∞，2）
C. （0，1）
D. （1，2）
解析：　由題圖知f'（ x ）≥0的區間是（－∞，2），故函數 y ＝
f （ x ）的單調遞增區間為（－∞，2），故選B.
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13. （多選）（2024·徐州質檢）若函數e xf （ x ）（e＝2.718 28……是
自然對數的底數）在 f （ x ）的定義域上單調遞增，則稱函數 f
（ x ）具有 M 性質，下列函數中具有 M 性質的是（　　）
A. f （ x ）＝2－ x B. f （ x ）＝ x2＋2
C. f （ x ）＝3－ x D. f （ x ）＝ cos x
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解析： 　設 g （ x ）＝e x · f （ x ），對于A， g （ x ）＝e x ·2－ x ＝
（ ） x 在定義域R上是增函數，故A正確；對于B， g （ x ）＝（ x2
＋2）e x ，g'（ x ）＝（ x2＋2 x ＋2）e x ＝[（ x ＋1）2＋1]e x ＞0，
所以 g （ x ）在定義域R上是增函數，故B正確；對于C， g （ x ）
＝e x ·3－ x ＝（ ） x 在定義域R上是減函數，C不正確；對于D， g
（ x ）＝e x · cos x ，則g'（ x ）＝ e x cos （ x ＋ ），g'（ x ）＞0
在定義域R上不恒成立，D不正確.故選A、B.
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14. 已知函數 f （ x ）＝ln x － x ＋1， x ∈（0，＋∞）.
（1）討論 f （ x ）的單調性；
解： ∵f'（ x ）＝ －1＝ ，
∴當 x ＞1時，f'（ x ）＜0；當0＜ x ＜1時，f'（ x ）＞0.
∴ f （ x ）的單調遞增區間為（0，1），單調遞減區間為
（1，＋∞）.
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（2）利用（1）的結論證明當 x ∈（1，＋∞）時ln x ＜ x －1.
解： 證明：由（1）知 f （ x ）＝ln x － x ＋1在（1，＋
∞）上單調遞減，
∴ f （ x ）＜ f （1）＝0，即ln x ＜ x －1.
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15. （2024·常州質檢）已知函數 f （ x ）＝ （ k 為常數，e為自然
對數的底數），曲線 y ＝ f （ x ）在點（1， f （1））處的切線與 x
軸平行.
（1）求實數 k 的值；
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解： 由 f （ x ）＝ ，
可得f'（ x ）＝ .
∵曲線 y ＝ f （ x ）在點（1， f （1））處的切線與 x 軸平行，
∴f'（1）＝0，即 ＝0，解得 k ＝1.
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（2）求函數 f （ x ）的單調區間.
解：由（1）知，f'（ x ）＝ （ x ＞0），
設 h （ x ）＝ －ln x －1（ x ＞0），
則h'（ x ）＝－ － ＜0.
可知 h （ x ）在（0，＋∞）上單調遞減，由 h （1）＝0知，
當0＜ x ＜1時， h （ x ）＞ h （1）＝0，
故f'（ x ）＞0；
當 x ＞1時， h （ x ）＜ h （1）＝0，故f'（ x ）＜0.
綜上， f （ x ）的單調遞增區間是（0，1），單調遞減區間是（1，＋∞）.
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