資源簡介

第1課時　函數的最大（小）值
1.設M，m分別是函數f（x）在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，則f'（x）（　　）
A.等于0　　 B.小于0
C.等于1　　 D.不確定
2.函數f（x）＝x3－3x（｜x｜＜1）（　　）
A.有最大值，但無最小值
B.有最大值，也有最小值
C.無最大值，但有最小值
D.既無最大值，也無最小值
3.（2024·宿遷月考）函數f（x）＝x＋2cos x在區間上的最小值是（　　）
A.－　　 B.2
C.＋　　 D.＋1
4.函數f（x）＝x3－3ax－a在（0，1）內有最小值，則a的取值范圍是（　　）
A.[0，1）　　 B.（0，1）
C.（－1，1）　　 D.
5.（多選）已知函數y＝f（x）的導函數y＝f'（x）的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（　　）
A.f（a）＜f（b）＜f（c）
B.f（e）＜f（d）＜f（c）
C.x＝c時，f（x）取得最大值
D.x＝d時，f（x）取得最小值
6.（多選）已知函數f（x）＝xln x，則（　　）
A.f（x）的單調遞增區間為（e，＋∞）
B.f（x）在（0，）上單調遞減
C.當x∈（0，1]時，f（x）有最小值－
D.f（x）在定義域內無極值
7.函數y＝在[0，2]上的最大值是　　　　.
8.（2024·南京質檢）若函數f（x）＝x3－3x－a在區間[0，3]上的最大值、最小值分別為m，n，則m－n＝　　　　.
9.設函數f（x）＝x2ex，若當x∈[－2，2]時，不等式f（x）＞m恒成立，則f（x）的最小值是　　　　，實數m的取值范圍是　　　　.
10.求下列函數的最值：
（1）f（x）＝sin x＋cos x，x∈［－，］；
（2）f（x）＝ex（3－x2），x∈[2，5].
11.（2024·鎮江月考）已知函數f（x）＝x3－3x－1，若對任意x1，x2∈[－3，2]，都有｜f（x1）－f（x2）｜≤t，則實數t的最小值是（　　）
A.20　　 B.18
C.3　　 D.0
12.函數f（x）＝ax3－6ax2＋b在區間[－1，2]上的最大值為3，最小值為－29（a＞0），則a，b的值為（　　）
A.a＝2，b＝－29　　 B.a＝3，b＝2
C.a＝2，b＝3　　 D.以上都不對
13.已知函數f（x）＝，若函數在區間（a，a＋）（其中a＞0）內存在最大值，則實數a的取值范圍為　　　　.
14.已知函數f（x）＝＋kln x，k＜，求函數f（x）在上的最大值和最小值.
15.（2024·連云港質檢）已知函數f（x）＝（ax－2）ex在x＝1處取得極值.
（1）求a的值；
（2）求函數f（x）在區間[m，m＋1]上的最小值.
第1課時　函數的最大（小）值
1.A　因為M＝m，所以f（x）為常函數，故f'（x）＝0，故選A.
2.D　f'（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），當x∈（－1，1）時，f'（x）＜0，所以f（x）在（－1，1）上單調遞減，無最大值和最小值，故選D.
3.A　f'（x）＝1－2sin x，因為x∈，所以sin x∈[－1，0]，所以－2sin x∈[0，2].所以f'（x）＝1－2sin x＞0在上恒成立.所以f（x）在上單調遞增.所以f（x）min＝f（－）＝－＋2cos＝－.
4.B　∵f'（x）＝3x2－3a，令f'（x）＝0，可得a＝x2，又∵x∈（0，1），∴0＜a＜1，故選B.
5.AB　由f'（x）的圖象可知：當x∈（－∞，c）∪（e，＋∞）時，f'（x）＞0；當x∈（c，e）時，f'（x）＜0.所以f（x）在（－∞，c），（e，＋∞）上單調遞增，在（c，e）上單調遞減.對于A，因為a＜b＜c，所以f（a）＜f（b）＜f（c），A正確；對于B，因為c＜d＜e，所以f（e）＜f（d）＜f（c），B正確；對于C，由單調性知f（c）為極大值，當x＞e時，可能存在f（x0）＞f（c），C錯誤；對于D，由單調性知f（e）＜f（d），D錯誤.
6.BC　因為f'（x）＝ln x＋1（x＞0）.令f'（x）＝0，解得x＝.當x∈（0，）時，f'（x）＜0；當x∈（，＋∞）時，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，）上單調遞減，在（，＋∞）上單調遞增，x＝是極小值點，所以A錯誤，B正確.當x∈（0，1]時，根據單調性可知，f（x）min＝f（）＝－，故C正確.顯然f（x）有極小值f（），故D錯誤.
7.　解析：因為y＝，則y'＝.當0≤x＜1時，y'＞0，此時函數y＝單調遞增，當1＜x≤2時，y'＜0，此時函數y＝單調遞減.所以，當x＝1時，函數y＝取得最大值，即ymax＝.
8.20　解析：∵f'（x）＝3x2－3，∴當x＞1或x＜－1時，f'（x）＞0；當－1＜x＜1時，f'（x）＜0.∴f（x）在[0，1]上單調遞減，在[1，3]上單調遞增.∴f（x）min＝f（1）＝1－3－a＝－2－a＝n.又∵f（0）＝－a，f（3）＝18－a，∴f（0）＜f（3）.∴f（x）max＝f（3）＝18－a＝m，∴m－n＝18－a－（－2－a）＝20.
9.0　（－∞，0）　解析：f'（x）＝xex＋x2ex＝·x（x＋2），令f'（x）＝0得x＝0或x＝－2.當x∈[－2，2]時，f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：
x －2 （－2， 0） 0 （0，2） 2
f'（x） 0 － 0 ＋
f（x） 單調 遞減 極小 值0 單調 遞增
∴當x＝0時，f（x）min＝f（0）＝0，要使f（x）＞m對x∈[－2，2]恒成立，只需m＜f（x）min，∴m＜0.
10.解：（1）f'（x）＝cos x－sin x.
令f'（x）＝0，即tan x＝1，
且x∈［－，］，所以x＝.
又因為f（）＝，f（－）＝－1，f（）＝1，
所以當x∈［－，］時，函數f（x）的最大值為，最小值為－1.
（2）因為f（x）＝3ex－exx2，
所以f'（x）＝3ex－（exx2＋2exx）＝－ex（x2＋2x－3）＝－ex（x＋3）（x－1）.
因為在區間[2，5]上，f'（x）＝－ex（x＋3）（x－1）＜0，
即函數f（x）在區間[2，5]上單調遞減，
所以在區間[2，5]上，當x＝2時，函數f（x）取得最大值－e2；當x＝5時，函數f（x）取得最小值－22e5.
11.A　由f'（x）＝3x2－3＝3（x－1）（x＋1）＝0得x＝1或x＝－1.又f（－3）＝－19，f（－1）＝1，f（1）＝－3，f（2）＝1，所以在區間[－3，2]上，f（x）max＝1，f（x）min＝－19，又由題設知在區間[－3，2]上，｜f（x1）－f（x2）｜≤f（x）max－f（x）min＝20，所以t≥20，故實數t的最小值是20.
12.C　函數f（x）的導數f'（x）＝3ax2－12ax＝3ax（x－4）.因為a＞0，所以由f'（x）＜0得0＜x＜4，此時函數單調遞減，由f'（x）＞0，得x＞4或x＜0，此時函數單調遞增，即函數在[－1，0]上單調遞增，在[0，2]上單調遞減，即函數在x＝0處取得極大值同時也是最大值，則f（0）＝b＝3，則f（x）＝ax3－6ax2＋3，f（－1）＝－7a＋3，f（2）＝－16a＋3，則f（－1）＞f（2），即函數的最小值為f（2）＝－16a＋3＝－29，計算得出a＝2，b＝3.
13.（，1）　解析：由題意知函數f（x）＝的定義域為（0，＋∞），且f'（x）＝－，當0＜x＜1時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；當x＞1時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，即f（x）在區間（0，1）上單調遞增，在（1，＋∞）上單調遞減，所以當x＝1時，函數f（x）取得極大值，即為最大值，因為函數f（x）在區間（a，a＋）（其中a＞0）內存在最大值，所以解得＜a＜1.
14.解：函數的定義域為（0，＋∞），
f'（x）＝＋＝.
①若k≤0，則在上恒有f'（x）＜0，
所以f（x）在上單調遞減.
②若0＜k＜，則f'（x）＝＝，
由k＜，得＞e，則x－＜0在上恒成立，
所以＜0在上恒成立，
所以f（x）在上單調遞減.
綜上，當k＜時，f（x）在上單調遞減，
所以f（x）min＝f（e）＝＋k－1，f（x）max＝f（）＝e－k－1.
15.解：（1）f'（x）＝aex＋（ax－2）ex＝（ax＋a－2）ex.
由已知得f'（1）＝0，即（2a－2）e＝0，解得a＝1.
（2）由（1）得f（x）＝（x－2）ex，
則f'（x）＝ex＋（x－2）ex＝（x－1）ex.
令f'（x）＝0，得x＝1，
當x∈（－∞，1）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；
當x∈（1，＋∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增.
①當m≥1時，f（x）在區間[m，m＋1]上單調遞增，f（x）min＝f（m）＝（m－2）em；
②當0＜m＜1時，m＜1＜m＋1，f（x）在區間[m，1]上單調遞減，在[1，m＋1]上單調遞增，f（x）min＝f（1）＝－e；
③當m≤0時，m＋1≤1，f（x）在區間[m，m＋1]上單調遞減，f（x）min＝f（m＋1）＝（m－1）em＋1.
綜上，f（x）在區間[m，m＋1]上的最小值f（x）min＝
2 / 25.3.3　最大值與最小值
新課程標準解讀 核心素養
1.能利用導數求某些函數在給定閉區間上不超過三次的多項式函數的最大值、最小值 數學運算
2.體會導數與單調性、極值、最大（小）值的關系 直觀想象
第1課時　函數的最大（小）值
　　觀察如圖所示的函數y＝f（x），x∈[－3，2]的圖象，回憶函數極值的定義，回答下列問題：
【問題】　（1）圖中所示函數的極值點與極值分別是什么？
（2）圖中所示函數的最值點與最值分別是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　函數的最大（小）值
1.定義：如果在函數定義域I內存在x0，使得對任意的x∈I，總有f（x）≤f（x0）（f（x）≥f（x0）），那么f（x0）為函數在定義域上的最大值（最小值）.最大（小）值是相對函數定義域整體而言的，如果存在最大（小）值，那么最大（小）值唯一.
2.求函數f（x）在區間[a，b]上的最大值與最小值的步驟
（1）求函數f（x）在區間（a， b）上的　　　；
（2）將（1）中求得的　　　與　　　，　　　比較，得到f（x）在區間[a，b]上的最大值與最小值.
提醒　連續可導函數，在閉區間上一定有最值.【想一想】
　函數y＝f（x）有最大（小）值時，最大（小）值只有一個，其最大（小）值點唯一嗎？
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）函數的最大值不一定是函數的極大值.（　　）
（2）函數f（x）在區間[a，b]上的最大值與最小值一定在區間端點處取得.（　　）
（3）有極值的函數一定有最值，有最值的函數不一定有極值.（　　）
（4）函數f（x）在區間（a，b）上連續，則f（x）在區間（a，b）上一定有最值，但不一定有極值.（　　）
2.若函數f（x）＝－x4＋2x2＋3，則f（x）（　　）
A.最大值為4，最小值為－4
B.最大值為4，無最小值
C.最小值為－4，無最大值
D.既無最大值，也無最小值
3.（2024·徐州月考）若函數f（x）＝x3＋x2＋m在[－2，1]上的最大值為，則m＝（　　）
A.0　　 B.1
C.2　　 D.
題型一 極值與最值的關系
【例1】　如圖是函數y＝f（x）在區間[a，b]上的圖象，寫出函數的極大值、極小值、最大值和最小值.
通性通法
極值與最值的關系
（1）最值在極值點或區間端點處取得；
（2）開區間的連續函數若有最值，最值在極值點處取得.
提醒　函數的極值可以有多個，但最值只能有一個.
【跟蹤訓練】
設f（x）是區間[a，b]上的連續函數，且在（a，b）內可導，則下列結論中正確的是（　　）
A.f（x）的極值點一定是最值點
B.f（x）的最值點一定是極值點
C.f（x）在區間[a，b]上可能沒有極值點
D.f（x）在區間[a，b]上可能沒有最值點
題型二 求函數的最值
角度1　求不含參函數的最值
【例2】　（鏈接教科書第217頁例6、218頁例7）求下列函數的最大值與最小值：
（1）f（x）＝2x3－12x，x∈[－2，3]；
（2）f（x）＝.
通性通法
求不含參數的函數的最值的步驟
（1）確定函數的定義域，對函數進行求導，并檢驗f'（x）＝0的根是否在給定區間內；
（2）判斷函數的單調性，研究函數的極值；
（3）比較函數的極值與端點函數值的大小，確定函數的最大值或最小值.
角度2　求含參函數的最值
【例3】　若a＞0，求函數f（x）＝－x3＋3ax（0≤x≤1）的最大值.
通性通法
求含參函數的最值的步驟
（1）求函數的導函數f'（x）；
（2）求方程f'（x）＝0的全部實根，同時，根據參數的范圍，判斷f'（x）＝0的根是否在區間[a，b]內；
（3）根據參數的取值范圍，確定函數的極大值、極小值；
（4）將函數的極值與端點處的函數值進行比較，得到函數的最大值、最小值.
【跟蹤訓練】
1.（2024·蘇州月考）函數y＝x＋2cos x在上取最大值時，x的值為（　　）
A.0　　　B.　　　C.　　　D.
2.已知函數f（x）＝x3－ax2－a2x，求函數f（x）在[0，＋∞）上的最小值.
題型三 由函數的最值求參數值（范圍）
【例4】　 （1）（2024·南京月考）函數f（x）＝x3－x2－x＋a在區間[0，2]上的最大值是3，則a＝（　　）
A.3　　B.1　　C.2　　D.－1
（2）已知函數h（x）＝x3＋3x2－9x＋1在區間[k，2]上的最大值是28，求k的取值范圍.
通性通法
　　已知函數在某區間上的最值求參數的值（范圍）是求函數最值的逆向思維，一般先求導數，利用導數研究函數的單調性及極值點，探索最值，根據已知最值列方程（不等式）解決問題.
【跟蹤訓練】
已知函數f（x）＝ln x－ax存在最大值0，求a的值.
1.下列結論正確的是（　　）
A.若f（x）在[a，b]上有極大值，則極大值一定是[a，b]上的最大值
B.若f（x）在[a，b]上有極小值，則極小值一定是[a，b]上的最小值
C.若f（x）在[a，b]上有極大值，則極大值一定是在x＝a和x＝b處取得
D.若f（x）在[a，b]上連續，則f（x）在[a，b]上存在最大值和最小值
2.函數y＝x－sin x，x∈［，π］的最大值是（　　）
A.π－1　　 B.－1
C.π　　 D.π＋1
3.已知f（x）＝－x2＋mx＋1在區間（－2，－1）上的最大值就是函數f（x）的極大值，則m的取值范圍是　　　　.
第1課時　函數的最大（小）值
【基礎知識·重落實】
知識點
2.（1）極值　（2）極值　f（a）　f（b）
想一想
　提示：不一定.例如f（x）＝sin x的最大值點有無窮多個.
自我診斷
1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）×
2.B　令t＝x2，則t≥0，則有g（t）＝－t2＋2t＋3＝4－（t－1）2，t≥0，由二次函數的性質可知g（t）max＝g（1）＝4，無最小值.即f（x）的最大值為4，無最小值.故選B.
3.C　f'（x）＝3x2＋3x＝3x（x＋1），令f'（x）＝0，得x＝0或x＝－1，∵f（－2）＝m－2，f（－1）＝m＋，f（0）＝m，f（1）＝m＋，比較知f（1）最大，∴m＋＝，m＝2，故選C.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：由題圖可知，y＝f（x）在x1，x3處取得極小值，在x2處取得極大值，所以極小值為f（x1），f（x3），極大值為f（x2）；
比較極值和端點值可知函數的最小值是f（x3），最大值在b處取得，最大值為f（b）.
跟蹤訓練
　C　根據函數的極值與最值的概念知，f（x）的極值點不一定是最值點，f（x）的最值點不一定是極值點.連續可導函數在閉區間上一定有最值，所以選項A、B、D都不正確，若函數f（x）在區間[a，b]上單調，則函數f（x）在區間[a，b]上沒有極值點，所以C正確.
【例2】　解：（1）因為f（x）＝2x3－12x，x∈[－2，3]，
所以f'（x）＝6x2－12＝6（x＋）（x－），
令f'（x）＝0，解得x＝－或x＝.
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表所示：
x －2 （－2， －） － （－， ） （， 3） 3
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 8 ↗ 8 ↘ －8 ↗ 18
因為f（－2）＝8，f（3）＝18，f（）＝－8，f（－）＝8，
所以當x＝時，f（x）取得最小值－8；
當x＝3時，f（x）取得最大值18.
（2）函數f（x）＝的定義域為R，
f'（x）＝＝，
當f'（x）＝0時，x＝2，
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表所示：
x （－∞，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） ↗ ↘
∴f（x）在（－∞，2）上單調遞增，在（2，＋∞）上單調遞減，
∴f（x）無最小值，且當x＝2時，f（x）max＝f（2）＝.
【例3】　解：f'（x）＝－3x2＋3a＝－3（x2－a）.
因為a＞0，則令f'（x）＝0，解得x＝±.
因為x∈[0，1]，所以只考慮x＝的情況.
（1）若0＜＜1，即0＜a＜1，則當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：
x 0 （0， ） （， 1） 1
f'（x） ＋ 0 －
f（x） 0 單調 遞增 2a 單調 遞減 3a－1
由表可知，當x＝時，f（x）有最大值f（）＝2a.
（2）若≥1，即a≥1時，則當0≤x≤1時，f'（x）≥0，此時函數f（x）在[0，1]上單調遞增，所以當x＝1時，f（x）有最大值f（1）＝3a－1.
綜上可知，在區間[0，1]上，
若0＜a＜1，則x＝時，f（x）有最大值2a.
若a≥1，則x＝1時，f（x）有最大值3a－1.
跟蹤訓練
1.B　y'＝1－2sin x，令y'＝0，得sin x＝，∵x∈，∴x＝. 由y'＞0得sin x＜，∴0≤x＜；由y'＜0得sin x＞，∴＜x≤，∴原函數在上單調遞增，在上單調遞減.當x＝0時，y＝2，當x＝時，y＝，當x＝時，y＝＋，∵＋＞2＞，∴當x＝時取最大值，故選B.
2.解：f'（x）＝3x2－2ax－a2＝（3x＋a）（x－a），
令f'（x）＝0，得x1＝－，x2＝a.
①當a＞0時，f（x）在[0，a）上單調遞減，在[a，＋∞）上單調遞增.
所以f（x）min＝f（a）＝－a3.
②當a＝0時，f'（x）＝3x2≥0，
f（x）在[0，＋∞）上單調遞增，
所以f（x）min＝f（0）＝0.
③當a＜0時，f（x）在［0，－）上單調遞減，在［－，＋∞）上單調遞增.
所以f（x）min＝f（－）＝a3.
綜上所述，當a＞0時，f（x）的最小值為－a3；
當a＝0時，f（x）的最小值為0；
當a＜0時，f（x）的最小值為a3.
【例4】　（1）B　f'（x）＝3x2－2x－1，令f'（x）＝0，解得x＝－（舍去）或x＝1，又f（0）＝a，f（1）＝a－1，f（2）＝a＋2，則f（2）最大，即a＋2＝3，所以a＝1.
（2）解：∵h（x）＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h'（x）＝3x2＋6x－9.
令h'（x）＝0，得x1＝－3，x2＝1，
當x變化時，h'（x），h（x）的變化情況如下表：
x （－∞， －3） －3 （－3， 1） 1 （1， ＋∞）
h'（x） ＋ 0 － 0 ＋
h（x） ↗ 28 ↘ －4 ↗
當x＝－3時，h（x）取極大值28；
當x＝1時，h（x）取極小值－4.
而h（2）＝3＜h（－3）＝28，如果h（x）在區間[k，2]上的最大值為28，則k≤－3.
故實數k的取值范圍為（－∞，－3].
跟蹤訓練
　解：∵f'（x）＝－a，x＞0，
∴當a≤0時，f'（x）＞0恒成立，故函數f（x）是增函數，不存在最大值；
當a＞0時，令f'（x）＝0，得x＝，
∴當x∈（0，）時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
當x∈（，＋∞）時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減，
∴f（x）max＝f（）＝ln－1＝0，解得a＝.
隨堂檢測
1.D　函數f（x）在[a，b]上的極值不一定是最值，最值也不一定是極值，極值一定不會在端點處取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值.
2.C　y'＝1－cos x，當x∈［，π］時，y'＞0，則函數在區間［，π］上單調遞增，所以ymax＝π－sin π＝π，故選C.
3.（－4，－2）　解析：f'（x）＝m－2x，令f'（x）＝0，得x＝.由題意得∈（－2，－1），故m∈（－4，－2）.
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5.3.3　最大值與最小值
新課程標準解讀 核心素養
1.能利用導數求某些函數在給定閉區間上不超過三次的
多項式函數的最大值、最小值 數學運算
2.體會導數與單調性、極值、最大（小）值的關系 直觀想象
第1課時　
函數的最大（小）值
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　觀察如圖所示的函數 y ＝ f （ x ）， x ∈[－3，2]的圖象，回憶函
數極值的定義，回答下列問題：
【問題】　（1）圖中所示函數的極值點與極值分別是什么？
（2）圖中所示函數的最值點與最值分別是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　函數的最大（小）值
1. 定義：如果在函數定義域 I 內存在 x0，使得對任意的 x ∈ I ，總有 f
（ x ）≤ f （ x0）（ f （ x ）≥ f （ x0）），那么 f （ x0）為函數在定
義域上的最大值（最小值）.最大（小）值是相對函數定義域整體
而言的，如果存在最大（小）值，那么最大（小）值唯一.
（1）求函數 f （ x ）在區間（ a ， b ）上的 ；
（2）將（1）中求得的 與 ， 比
較，得到 f （ x ）在區間[ a ， b ]上的最大值與最小值.
極值　
極值　
f （ a ）　
f （ b ）　
2. 求函數 f （ x ）在區間[ a ， b ]上的最大值與最小值的步驟
提醒　連續可導函數，在閉區間上一定有最值.
【想一想】
　函數 y ＝ f （ x ）有最大（小）值時，最大（小）值只有一
個，其最大（小）值點唯一嗎？
提示：不一定.例如 f （ x ）＝ sin x 的最大值點有無窮多個.
1. 判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）
（1）函數的最大值不一定是函數的極大值. （　√　）
（2）函數 f （ x ）在區間[ a ， b ]上的最大值與最小值一定在區間
端點處取得. （　×　）
（3）有極值的函數一定有最值，有最值的函數不一定有極值.
（　×　）
（4）函數 f （ x ）在區間（ a ， b ）上連續，則 f （ x ）在區間
（ a ， b ）上一定有最值，但不一定有極值. （　×　）
√
×
×
×
2. 若函數 f （ x ）＝－ x4＋2 x2＋3，則 f （ x ）（　　）
A. 最大值為4，最小值為－4
B. 最大值為4，無最小值
C. 最小值為－4，無最大值
D. 既無最大值，也無最小值
解析：　令 t ＝ x2，則 t ≥0，則有 g （ t ）＝－ t2＋2 t ＋3＝4－（ t
－1）2， t ≥0，由二次函數的性質可知 g （ t ）max＝ g （1）＝4，無
最小值.即 f （ x ）的最大值為4，無最小值.故選B.
3. （2024·徐州月考）若函數 f （ x ）＝ x3＋ x2＋ m 在[－2，1]上的最
大值為 ，則 m ＝（　　）
A. 0 B. 1
C. 2
解析：　f'（ x ）＝3 x2＋3 x ＝3 x （ x ＋1），令f'（ x ）＝0，得 x
＝0或 x ＝－1，∵ f （－2）＝ m －2， f （－1）＝ m ＋ ， f （0）＝
m ， f （1）＝ m ＋ ，比較知 f （1）最大，∴ m ＋ ＝ ， m ＝2，
故選C.
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 極值與最值的關系
【例1】　如圖是函數 y ＝ f （ x ）在區間[ a ， b ]上的圖象，寫出函數
的極大值、極小值、最大值和最小值.
解：由題圖可知， y ＝ f （ x ）在 x1， x3處取得極小值，在 x2處取得極
大值，所以極小值為 f （ x1）， f （ x3），極大值為 f （ x2）；
比較極值和端點值可知函數的最小值是 f （ x3），最大值在 b 處取得，
最大值為 f （ b ）.
通性通法
極值與最值的關系
（1）最值在極值點或區間端點處取得；
（2）開區間的連續函數若有最值，最值在極值點處取得.
提醒　函數的極值可以有多個，但最值只能有一個.
【跟蹤訓練】
設 f （ x ）是區間[ a ， b ]上的連續函數，且在（ a ， b ）內可導，則下
列結論中正確的是（　　）
A. f （ x ）的極值點一定是最值點
B. f （ x ）的最值點一定是極值點
C. f （ x ）在區間[ a ， b ]上可能沒有極值點
D. f （ x ）在區間[ a ， b ]上可能沒有最值點
解析： 　根據函數的極值與最值的概念知， f （ x ）的極值點不一定
是最值點， f （ x ）的最值點不一定是極值點.連續可導函數在閉區間
上一定有最值，所以選項A、B、D都不正確，若函數 f （ x ）在區間
[ a ， b ]上單調，則函數 f （ x ）在區間[ a ， b ]上沒有極值點，所以C
正確.
題型二 求函數的最值
角度1　求不含參函數的最值
【例2】　（鏈接教科書第217頁例6、218頁例7）求下列函數的最大
值與最小值：
（1） f （ x ）＝2 x3－12 x ， x ∈[－2，3]；
解：因為 f （ x ）＝2 x3－12 x ， x ∈[－2，3]，
所以f'（ x ）＝6 x2－12＝6（ x ＋ ）（ x － ），
令f'（ x ）＝0，解得 x ＝－ 或 x ＝ .
當 x 變化時，f'（ x ）， f （ x ）的變化情況如下表所示：
x －2 3
f'（ x ） ＋ 0 － 0 ＋
f （ x ） 8 ↗ ↘ ↗ 18
因為 f （－2）＝8， f （3）＝18， f （ ）＝－8 ， f （－
）＝8 ，
所以當 x ＝ 時， f （ x ）取得最小值－8 ；
當 x ＝3時， f （ x ）取得最大值18.
（2） f （ x ）＝ .
解： 函數 f （ x ）＝ 的定義域為R，
f'（ x ）＝ ＝ ，
當f'（ x ）＝0時， x ＝2，
當 x 變化時，f'（ x ）， f （ x ）的變化情況如下表所示：
x （－∞，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） ↗ ↘
∴ f （ x ）在（－∞，2）上單調遞增，在（2，＋∞）上單調
遞減，
∴ f （ x ）無最小值，且當 x ＝2時， f （ x ）max＝ f （2）＝ .
通性通法
求不含參數的函數的最值的步驟
（1）確定函數的定義域，對函數進行求導，并檢驗f'（ x ）＝0的根是
否在給定區間內；
（2）判斷函數的單調性，研究函數的極值；
（3）比較函數的極值與端點函數值的大小，確定函數的最大值或最
小值.
角度2　求含參函數的最值
【例3】　若 a ＞0，求函數 f （ x ）＝－ x3＋3 ax （0≤ x ≤1）的
最大值.
解：f'（ x ）＝－3 x2＋3 a ＝－3（ x2－ a ）.
因為 a ＞0，則令f'（ x ）＝0，解得 x ＝± .
因為 x ∈[0，1]，所以只考慮 x ＝ 的情況.
（1）若0＜ ＜1，即0＜ a ＜1，則當 x 變化時，f'（ x ）， f （ x ）的
變化情況如下表：
x 0 1
f'（ x ） ＋ 0 －
f （ x ） 0 單調遞增 單調遞減 3 a －1
由表可知，當 x ＝ 時， f （ x ）有最大值 f （ ）＝2 a .
（2）若 ≥1，即 a ≥1時，則當0≤ x ≤1時，f'（ x ）≥0，此時函數
f （ x ）在[0，1]上單調遞增，所以當 x ＝1時， f （ x ）有最大值 f
（1）＝3 a －1.
綜上可知，在區間[0，1]上，
若0＜ a ＜1，則 x ＝ 時， f （ x ）有最大值2 a .
若 a ≥1，則 x ＝1時， f （ x ）有最大值3 a －1.
通性通法
求含參函數的最值的步驟
（1）求函數的導函數f'（ x ）；
（2）求方程f'（ x ）＝0的全部實根，同時，根據參數的范圍，判斷f'
（ x ）＝0的根是否在區間[ a ， b ]內；
（3）根據參數的取值范圍，確定函數的極大值、極小值；
（4）將函數的極值與端點處的函數值進行比較，得到函數的最大
值、最小值.
【跟蹤訓練】
1. （2024·蘇州月考）函數 y ＝ x ＋2 cos x 在 上取最大值時， x
的值為（　　）
A. 0
解析： 　y'＝1－2 sin x ，令y'＝0，得 sin x ＝ ，∵ x ∈ ，
∴ x ＝ . 由y'＞0得 sin x ＜ ，∴0≤ x ＜ ；由y'＜0得 sin x ＞ ，
∴ ＜ x ≤ ，∴原函數在 上單調遞增，在 上單調遞
減.當 x ＝0時， y ＝2，當 x ＝ 時， y ＝ ，當 x ＝ 時， y ＝ ＋
，∵ ＋ ＞2＞ ，∴當 x ＝ 時取最大值，故選B.
2. 已知函數 f （ x ）＝ x3－ ax2－ a2 x ，求函數 f （ x ）在[0，＋∞）上
的最小值.
解：f'（ x ）＝3 x2－2 ax － a2＝（3 x ＋ a ）（ x － a ），
令f'（ x ）＝0，得 x1＝－ ， x2＝ a .
①當 a ＞0時， f （ x ）在[0， a ）上單調遞減，在[ a ，＋∞）上單
調遞增.
所以 f （ x ）min＝ f （ a ）＝－ a3.
②當 a ＝0時，f'（ x ）＝3 x2≥0，
f （ x ）在[0，＋∞）上單調遞增，
所以 f （ x ）min＝ f （0）＝0.
③當 a ＜0時， f （ x ）在［0，－ ）上單調遞減，在［－ ，＋
∞）上單調遞增.
所以 f （ x ）min＝ f （－ ）＝ a3.
綜上所述，當 a ＞0時， f （ x ）的最小值為－ a3；
當 a ＝0時， f （ x ）的最小值為0；
當 a ＜0時， f （ x ）的最小值為 a3.
題型三 由函數的最值求參數值（范圍）
【例4】　 （1）（2024·南京月考）函數 f （ x ）＝ x3－ x2－ x ＋ a 在區
間[0，2]上的最大值是3，則 a ＝（　　）
A. 3 B. 1
C. 2 D. －1
解析：　f'（ x ）＝3 x2－2 x －1，令f'（ x ）＝0，解得 x ＝－ （舍
去）或 x ＝1，又 f （0）＝ a ， f （1）＝ a －1， f （2）＝ a ＋2，則 f
（2）最大，即 a ＋2＝3，所以 a ＝1.
（2）已知函數 h （ x ）＝ x3＋3 x2－9 x ＋1在區間[ k ，2]上的最大值是
28，求 k 的取值范圍.
解：∵ h （ x ）＝ x3＋3 x2－9 x ＋1，
∴h'（ x ）＝3 x2＋6 x －9.
令h'（ x ）＝0，得 x1＝－3， x2＝1，
當 x 變化時，h'（ x ）， h （ x ）的變化情況如下表：
x （－∞，－3） －3 （－3，1） 1 （1，＋∞）
h'（ x ） ＋ 0 － 0 ＋
h （ x ） ↗ 28 ↘ －4 ↗
當 x ＝－3時， h （ x ）取極大值28；
當 x ＝1時， h （ x ）取極小值－4.
而 h （2）＝3＜ h （－3）＝28，如果 h （ x ）在區間[ k ，2]上的
最大值為28，則 k ≤－3.
故實數 k 的取值范圍為（－∞，－3].
通性通法
　　已知函數在某區間上的最值求參數的值（范圍）是求函數最值的
逆向思維，一般先求導數，利用導數研究函數的單調性及極值點，探
索最值，根據已知最值列方程（不等式）解決問題.
【跟蹤訓練】
已知函數 f （ x ）＝ln x － ax 存在最大值0，求 a 的值.
解：∵f'（ x ）＝ － a ， x ＞0，
∴當 a ≤0時，f'（ x ）＞0恒成立，故函數 f （ x ）是增函數，不存在最
大值；
當 a ＞0時，令f'（ x ）＝0，得 x ＝ ，
∴當 x ∈（0， ）時，f'（ x ）＞0，函數 f （ x ）單調遞增；
當 x ∈（ ，＋∞）時，f'（ x ）＜0，函數 f （ x ）單調遞減，
∴ f （ x ）max＝ f （ ）＝ln －1＝0，解得 a ＝ .
1. 下列結論正確的是（　　）
A. 若 f （ x ）在[ a ， b ]上有極大值，則極大值一定是[ a ， b ]上的最
大值
B. 若 f （ x ）在[ a ， b ]上有極小值，則極小值一定是[ a ， b ]上的最
小值
C. 若 f （ x ）在[ a ， b ]上有極大值，則極大值一定是在 x ＝ a 和 x ＝ b
處取得
D. 若 f （ x ）在[ a ， b ]上連續，則 f （ x ）在[ a ， b ]上存在最大值和
最小值
解析： 　函數 f （ x ）在[ a ， b ]上的極值不一定是最值，最值也
不一定是極值，極值一定不會在端點處取得，而在[ a ， b ]上一定
存在最大值和最小值.
2. 函數 y ＝ x － sin x ， x ∈［ ，π］的最大值是（　　）
A. π－1
C. π D. π＋1
解析：　y'＝1－ cos x ，當 x ∈［ ，π］時，y'＞0，則函數在區
間［ ，π］上單調遞增，所以 ymax＝π－ sin π＝π，故選C.
3. 已知 f （ x ）＝－ x2＋ mx ＋1在區間（－2，－1）上的最大值就是函
數 f （ x ）的極大值，則 m 的取值范圍是 .
解析：f'（ x ）＝ m －2 x ，令f'（ x ）＝0，得 x ＝ .由題意得 ∈
（－2，－1），故 m ∈（－4，－2）.
（－4，－2）　
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 設 M ， m 分別是函數 f （ x ）在[ a ， b ]上的最大值和最小值，若 M
＝ m ，則f'（ x ）（　　）
A. 等于0 B. 小于0
C. 等于1 D. 不確定
解析： 　因為 M ＝ m ，所以 f （ x ）為常函數，故f'（ x ）＝0，故
選A.
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2. 函數 f （ x ）＝ x3－3 x （｜ x ｜＜1）（　　）
A. 有最大值，但無最小值
B. 有最大值，也有最小值
C. 無最大值，但有最小值
D. 既無最大值，也無最小值
解析： 　f'（ x ）＝3 x2－3＝3（ x ＋1）（ x －1），當 x ∈（－1，
1）時，f'（ x ）＜0，所以 f （ x ）在（－1，1）上單調遞減，無最
大值和最小值，故選D.
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3. （2024·宿遷月考）函數 f （ x ）＝ x ＋2 cos x 在區間 上的最
小值是（　　）
B. 2
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解析： 　f'（ x ）＝1－2 sin x ，因為 x ∈ ，所以 sin x
∈[－1，0]，所以－2 sin x ∈[0，2].所以f'（ x ）＝1－2 sin x ＞0在
上恒成立.所以 f （ x ）在 上單調遞增.所以 f
（ x ）min＝ f （－ ）＝－ ＋2 cos ＝－ .
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4. 函數 f （ x ）＝ x3－3 ax － a 在（0，1）內有最小值，則 a 的取值范
圍是（　　）
A. [0，1） B. （0，1）
C. （－1，1）
解析： 　∵f'（ x ）＝3 x2－3 a ，令f'（ x ）＝0，可得 a ＝ x2，
又∵ x ∈（0，1），∴0＜ a ＜1，故選B.
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5. （多選）已知函數 y ＝ f （ x ）的導函數 y ＝f'（ x ）的圖象如圖所
示，則下列結論正確的是（　　）
A. f （ a ）＜ f （ b ）＜ f （ c ）
B. f （ e ）＜ f （ d ）＜ f （ c ）
C. x ＝ c 時， f （ x ）取得最大值
D. x ＝ d 時， f （ x ）取得最小值
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解析： 　由f'（ x ）的圖象可知：當 x ∈（－∞， c ）∪（ e ，＋
∞）時，f'（ x ）＞0；當 x ∈（ c ， e ）時，f'（ x ）＜0.所以 f
（ x ）在（－∞， c ），（ e ，＋∞）上單調遞增，在（ c ， e ）上
單調遞減.對于A，因為 a ＜ b ＜ c ，所以 f （ a ）＜ f （ b ）＜ f
（ c ），A正確；對于B，因為 c ＜ d ＜ e ，所以 f （ e ）＜ f （ d ）＜ f
（ c ），B正確；對于C，由單調性知 f （ c ）為極大值，當 x ＞ e
時，可能存在 f （ x0）＞ f （ c ），C錯誤；對于D，由單調性知 f
（ e ）＜ f （ d ），D錯誤.
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6. （多選）已知函數 f （ x ）＝ x ln x ，則（　　）
A. f （ x ）的單調遞增區間為（e，＋∞）
D. f （ x ）在定義域內無極值
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解析： 　因為f'（ x ）＝ln x ＋1（ x ＞0）.令f'（ x ）＝0，解得 x
＝ .當 x ∈（0， ）時，f'（ x ）＜0；當 x ∈（ ，＋∞）時，f'
（ x ）＞0，所以 f （ x ）在（0， ）上單調遞減，在（ ，＋∞）
上單調遞增， x ＝ 是極小值點，所以A錯誤，B正確.當 x ∈（0，
1]時，根據單調性可知， f （ x ）min＝ f （ ）＝－ ，故C正確.顯
然 f （ x ）有極小值 f （ ），故D錯誤.
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7. 函數 y ＝ 在[0，2]上的最大值是 　 　.
解析：因為 y ＝ ，則y'＝ .當0≤ x ＜1時，y'＞0，此時函數 y
＝ 單調遞增，當1＜ x ≤2時，y'＜0，此時函數 y ＝ 單調遞減.
所以，當 x ＝1時，函數 y ＝ 取得最大值，即 ymax＝ .
　
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8. （2024·南京質檢）若函數 f （ x ）＝ x3－3 x － a 在區間[0，3]上的
最大值、最小值分別為 m ， n ，則 m － n ＝ .
解析：∵f'（ x ）＝3 x2－3，∴當 x ＞1或 x ＜－1時，f'（ x ）＞0；
當－1＜ x ＜1時，f'（ x ）＜0.∴ f （ x ）在[0，1]上單調遞減，在
[1，3]上單調遞增.∴ f （ x ）min＝ f （1）＝1－3－ a ＝－2－ a ＝ n .
又∵ f （0）＝－ a ， f （3）＝18－ a ，∴ f （0）＜ f （3）.∴ f
（ x ）max＝ f （3）＝18－ a ＝ m ，∴ m － n ＝18－ a －（－2－ a ）
＝20.
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9. 設函數 f （ x ）＝ x2e x ，若當 x ∈[－2，2]時，不等式 f （ x ）＞ m
恒成立，則 f （ x ）的最小值是 ，實數 m 的取值范圍是
.
解析：f'（ x ）＝ x e x ＋ x2e x ＝ · x （ x ＋2），令f'（ x ）＝0得 x ＝
0或 x ＝－2.當 x ∈[－2，2]時，f'（ x ）， f （ x ）隨 x 的變化情況如
下表：
0
（－
∞，0）
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x －2 （－2，0） 0 （0，2） 2
f'（ x ） 0 － 0 ＋
f （ x ） 單調遞減 極小值0 單調遞增
∴當 x ＝0時， f （ x ）min＝ f （0）＝0，要使 f （ x ）＞ m 對 x ∈[－
2，2]恒成立，只需 m ＜ f （ x ）min，∴ m ＜0.
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10. 求下列函數的最值：
（1） f （ x ）＝ sin x ＋ cos x ， x ∈［－ ， ］；
解： f'（ x ）＝ cos x － sin x .
令f'（ x ）＝0，即tan x ＝1，
且 x ∈［－ ， ］，所以 x ＝ .
又因為 f （ ）＝ ， f （－ ）＝－1， f （ ）＝1，
所以當 x ∈［－ ， ］時，函數 f （ x ）的最大值為 ，最
小值為－1.
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（2） f （ x ）＝e x （3－ x2）， x ∈[2，5].
解： 因為 f （ x ）＝3e x －e xx2，
所以f'（ x ）＝3e x －（e xx2＋2e xx ）＝－e x （ x2＋2 x －
3）＝－e x （ x ＋3）（ x －1）.
因為在區間[2，5]上，f'（ x ）＝－e x （ x ＋3）（ x －
1）＜0，
即函數 f （ x ）在區間[2，5]上單調遞減，
所以在區間[2，5]上，當 x ＝2時，函數 f （ x ）取得最大
值－e2；當 x ＝5時，函數 f （ x ）取得最小值－22e5.
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11. （2024·鎮江月考）已知函數 f （ x ）＝ x3－3 x －1，若對任意 x1，
x2∈[－3，2]，都有｜ f （ x1）－ f （ x2）｜≤ t ，則實數 t 的最小
值是（　　）
A. 20 B. 18
C. 3 D. 0
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解析： 　由f'（ x ）＝3 x2－3＝3（ x －1）（ x ＋1）＝0得 x ＝1或
x ＝－1.又 f （－3）＝－19， f （－1）＝1， f （1）＝－3， f
（2）＝1，所以在區間[－3，2]上， f （ x ）max＝1， f （ x ）min＝
－19，又由題設知在區間[－3，2]上，｜ f （ x1）－ f （ x2）｜≤ f
（ x ）max－ f （ x ）min＝20，所以 t ≥20，故實數 t 的最小值是20.
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12. 函數 f （ x ）＝ ax3－6 ax2＋ b 在區間[－1，2]上的最大值為3，最
小值為－29（ a ＞0），則 a ， b 的值為（　　）
A. a ＝2， b ＝－29 B. a ＝3， b ＝2
C. a ＝2， b ＝3 D. 以上都不對
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解析： 　函數 f （ x ）的導數f'（ x ）＝3 ax2－12 ax ＝3 ax （ x －
4）.因為 a ＞0，所以由f'（ x ）＜0得0＜ x ＜4，此時函數單調遞
減，由f'（ x ）＞0，得 x ＞4或 x ＜0，此時函數單調遞增，即函數
在[－1，0]上單調遞增，在[0，2]上單調遞減，即函數在 x ＝0處
取得極大值同時也是最大值，則 f （0）＝ b ＝3，則 f （ x ）＝ ax3
－6 ax2＋3， f （－1）＝－7 a ＋3， f （2）＝－16 a ＋3，則 f （－
1）＞ f （2），即函數的最小值為 f （2）＝－16 a ＋3＝－29，計
算得出 a ＝2， b ＝3.
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13. 已知函數 f （ x ）＝ ，若函數在區間（ a ， a ＋ ）（其中 a ＞
0）內存在最大值，則實數 a 的取值范圍為 .
（ ，1）　
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解析：由題意知函數 f （ x ）＝ 的定義域為（0，＋∞），且f'
（ x ）＝－ ，當0＜ x ＜1時，f'（ x ）＞0， f （ x ）單調遞增；
當 x ＞1時，f'（ x ）＜0， f （ x ）單調遞減，即 f （ x ）在區間
（0，1）上單調遞增，在（1，＋∞）上單調遞減，所以當 x ＝1
時，函數 f （ x ）取得極大值，即為最大值，因為函數 f （ x ）在區
間（ a ， a ＋ ）（其中 a ＞0）內存在最大值，所以
解得 ＜ a ＜1.
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14. 已知函數 f （ x ）＝ ＋ k ln x ， k ＜ ，求函數 f （ x ）在
上的最大值和最小值.
解：函數的定義域為（0，＋∞），
f'（ x ）＝ ＋ ＝ .
①若 k ≤0，則在 上恒有f'（ x ）＜0，
所以 f （ x ）在 上單調遞減.
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②若0＜ k ＜ ，則f'（ x ）＝ ＝ ，
由 k ＜ ，得 ＞e，則 x － ＜0在 上恒成立，
所以 ＜0在 上恒成立，
所以 f （ x ）在 上單調遞減.
綜上，當 k ＜ 時， f （ x ）在 上單調遞減，
所以 f （ x ）min＝ f （e）＝ ＋ k －1， f （ x ）max＝ f （ ）＝e－ k －1.
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15. （2024·連云港質檢）已知函數 f （ x ）＝（ ax －2）e x 在 x ＝1處取
得極值.
（1）求 a 的值；
解： f'（ x ）＝ a e x ＋（ ax －2）e x ＝（ ax ＋ a －2）e x .
由已知得f'（1）＝0，即（2 a －2）e＝0，解得 a ＝1.
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（2）求函數 f （ x ）在區間[ m ， m ＋1]上的最小值.
解： 由（1）得 f （ x ）＝（ x －2）e x ，
則f'（ x ）＝e x ＋（ x －2）e x ＝（ x －1）e x .
令f'（ x ）＝0，得 x ＝1，
當 x ∈（－∞，1）時，f'（ x ）＜0， f （ x ）單調遞減；
當 x ∈（1，＋∞）時，f'（ x ）＞0， f （ x ）單調遞增.
①當 m ≥1時， f （ x ）在區間[ m ， m ＋1]上單調遞增， f
（ x ）min＝ f （ m ）＝（ m －2）e m ；
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②當0＜ m ＜1時， m ＜1＜ m ＋1， f （ x ）在區間[ m ，1]上
單調遞減，在[1， m ＋1]上單調遞增， f （ x ）min＝ f （1）
＝－e；
③當 m ≤0時， m ＋1≤1， f （ x ）在區間[ m ， m ＋1]上單調
遞減， f （ x ）min＝ f （ m ＋1）＝（ m －1）e m＋1.
綜上， f （ x ）在區間[ m ， m ＋1]上的最小值 f （ x ）min＝
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