資源簡介

章末檢測（五）　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1.函數(shù)f（x）＝x2在區(qū)間[0，2]上的平均變化率等于x＝m時的瞬時變化率，則m＝（　　）
A.　　B.1　　C.2　　D.
2.已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且滿足f（x）＝2xf'（e）＋ln x，則f'（e）＝（　　）
A.e－1　　B.－1　　C.－e－1　　D.－e
3.曲線y＝ex－ln x在點(diǎn)（1，e）處的切線方程為（　　）
A.（1－e）x－y＋1＝0　　B.（1－e）x－y－1＝0
C.（e－1）x－y＋1＝0　　D.（e－1）x－y－1＝0
4.函數(shù)f（x）＝x2－ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是（　　）
A.　　B.
C.，　　D.，
5.函數(shù)f（x）＝3x－4x3（x∈[0，1]）的最大值是（　　）
A.1　　B.　　C.0　　D.－1
6.函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋3x－9，已知f（x）在x＝－3處取得極值，則a＝（　　）
A.2　　B.3　　C.4　　D.5
7.已知y＝f（x）是定義在R上的函數(shù)，且f（1）＝1，f'（x）＞1，則f（x）＞x的解集是（　　）
A.（0，1）　　B.（－1，0）∪（0，1）
C.（1，＋∞）　　D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
8.設(shè)a＝e，b＝，c＝，則a，b，c大小關(guān)系是（　　）
A.a＜c＜b　　B.b＜c＜a　　C.c＜b＜a　　D.c＜a＜b
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9.已知函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f'（x），若存在x0，使得f（x0）＝f'（x0），則稱x0是f（x）的一個“巧值點(diǎn)”，則下列函數(shù)中有“巧值點(diǎn)”的是（　　）
A.f（x）＝x2　　B.f（x）＝e－x　　C.f（x）＝ln x　　D.f（x）＝
10.設(shè)三次函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），函數(shù)y＝xf'（x）的圖象的一部分如圖所示，則（　　）
A.函數(shù)f（x）有極大值f（3）　　 B.函數(shù)f（x）有極小值f（－）
C.函數(shù)f（x）有極大值f（）　　 D.函數(shù)f（x）有極小值f（－3）
11.已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且f'（x）＜f（x），對任意的x∈R恒成立，則（　　）
A.f（ln 2）＜2f（0）　　 B.f（2）＜e2f（0）
C.f（ln 2）＞2f（0）　　 D.f（2）＞e2f（0）
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中橫線上）
12.若質(zhì)子的運(yùn)動方程為s＝tsin t，其中s的單位為m，t的單位為s，則質(zhì)子在t＝2 s時的瞬時速度為　　　　m/s.
13.如圖，從10 cm×16 cm的矩形紙板的四角截去4個相同的小正方形，做成一個無蓋的盒子，那么盒子容積的最大值為　　　　.
14.如果存在函數(shù)g（x）＝ax＋b（a，b為常數(shù)），使得對函數(shù)f（x）定義域內(nèi)任意的x都有f（x）≤g（x）成立，那么g（x）為函數(shù)f（x）的一個“線性覆蓋函數(shù)”.已知f（x）＝－2xln x－x2，g（x）＝－ax＋3，若g（x）為函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，＋∞）上的一個“線性覆蓋函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　　　.
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）已知函數(shù)f（x）＝x＋aln x.
（1）若a＝－1，求函數(shù)f（x）的極值，并指出是極大值還是極小值；
（2）若a＝1，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值和最小值.
16.（本小題滿分15分）設(shè)函數(shù)f（x）＝a2ln x－x2＋ax（a＞0）.
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求實(shí)數(shù)a的值，使e－1≤f（x）≤e2對x∈[1，e]恒成立.
17.（本小題滿分15分）已知函數(shù)f（x）＝ln x＋－1.
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）證明：＋＋…＋＜ln 2（n∈N*）.
18.（本小題滿分17分）已知函數(shù)f（x）＝ax3＋bx在x＝處取得極小值－.
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若過點(diǎn)M（1，m）的直線與曲線y＝f（x）相切且這樣的切線有三條，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
19.（本小題滿分17分）在幾何學(xué)中常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.如圖所示的光滑曲線C：y＝f（x）上的曲線段，其弧長為Δs，當(dāng)動點(diǎn)從A沿曲線段運(yùn)動到B點(diǎn)時，A點(diǎn)的切線lA也隨著轉(zhuǎn)動到B點(diǎn)的切線lB，記這兩條切線之間的夾角為Δθ（它等于lB的傾斜角與lA的傾斜角之差）.顯然，當(dāng)弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義＝｜｜為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A，即Δs越小，K就越能精確刻畫曲線C在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義K＝｜｜＝（若極限存在）為曲線C在點(diǎn)A處的曲率（其中y'，y″分別表示y＝f（x）在點(diǎn)A處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）.
（1）求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；
（2）求橢圓＋y2＝1在（，）處的曲率；
（3）定義φ（y）＝為曲線y＝f（x）的“柯西曲率”.求曲線f（x）＝xln x－2x在點(diǎn)P（e，－e）處的柯西曲率.
章末檢測（五）　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
1.B　函數(shù)f（x）＝x2在區(qū)間[0，2]上的平均變化率等于＝＝2，由f（x）＝x2，得f'（x）＝2x，所以f'（m）＝2m，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝x2在區(qū)間[0，2]上的平均變化率等于x＝m時的瞬時變化率，所以2＝2m，解得m＝1.故選B.
2.C　求導(dǎo)得f'（x）＝2f'（e）＋，把x＝e代入得f'（e）＝e－1＋2f'（e），解得f'（e）＝－e－1，故選C.
3.C　由于y'＝e－，所以y'｜x＝1＝e－1，故曲線y＝ex－ln x在點(diǎn)（1，e）處的切線方程為y－e＝（e－1）·（x－1），即（e－1）x－y＋1＝0.
4.A　∵f'（x）＝2x－＝，當(dāng)0＜x≤時，f'（x）≤0，故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為.
5.A　f'（x）＝3－12x2，令f'（x）＝0，則x＝－（舍去）或x＝，f（0）＝0，f（1）＝－1，f＝－＝1，∴f（x）在[0，1]上的最大值為1.
6.D　f'（x）＝3x2＋2ax＋3，∵f'（－3）＝0.∴3×（－3）2＋2a×（－3）＋3＝0，∴a＝5.
7.C　設(shè)g（x）＝f（x）－x，因?yàn)閒（1）＝1，f'（x）＞1，所以g（1）＝f（1）－1＝0，g'（x）＝f'（x）－1＞0，所以g（x）在R上是增函數(shù)，且g（1）＝0.所以f（x）＞x的解集即是g（x）＞0的解集（1，＋∞）.故選C.
8.A　構(gòu)造函數(shù)f（x）＝，則f'（x）＝，當(dāng)x＞e時，f'（x）＞0，則f（x）在（e，＋∞）上單調(diào)遞增.又e＜3＜π，∴f（e）＜f（3）＜f（π），即＜＜，故a＜c＜b.故選A.
9.ACD　A.f'（x）＝2x，由x2＝2x得x＝0或x＝2，有“巧值點(diǎn)”；B.f'（x）＝－e－x，－e－x＝e－x無解，無“巧值點(diǎn)”；C.f'（x）＝，方程ln x＝有解，有“巧值點(diǎn)”；D.f'（x）＝－，由＝－，得x＝－1，有“巧值點(diǎn)”.
10.AD　當(dāng)x＜－3時，y＝xf'（x）＞0，即f'（x）＜0；當(dāng)－3＜x＜3時，f'（x）≥0；當(dāng)x＞3時，f'（x）＜0.∴f（x）的極大值是f（3），f（x）的極小值是f（－3）.
11.AB　令g（x）＝，則g'（x）＝＜0，故g（x）在R上是減函數(shù)，而ln 2＞0，2＞0，故g（ln 2）＜g（0），g（2）＜g（0），即＜，＜，所以f（ln 2）＜2f（0），f（2）＜e2f（0）.
12.sin 2＋2cos 2　解析：∵s＝tsin t，∴s'＝（tsin t）'＝sin t＋tcos t，因此，質(zhì)子在t＝2 s時的瞬時速度為（sin 2＋2cos 2）m/s.
13.144 cm3　解析：設(shè)小正方形的邊長為x，如圖所示，則盒子的容積為V＝（10－2x）（16－2x）x＝4（x3－13x2＋40x），定義域?yàn)椋?，5）.由于V'＝4（3x2－26x＋40），令V'＝0，即3x2－26x＋40＝0，解得x＝或x＝2.由于0＜x＜5，所以x＝2，在區(qū)間（0，5）上列表如下：
x （0，2） 2 （2，5）
V' ＋ 0 －
V 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減
由上表可知，當(dāng)x＝2時，盒子容積最大，且最大值為144 cm3.
14.（－∞，4]　解析：由題意可知f（x）≤g（x）對任意的x∈（0，＋∞）恒成立，即－2xln x－x2≤－ax＋3對任意的x∈（0，＋∞）恒成立，從而得a≤2ln x＋x＋對任意的x∈（0，＋∞）恒成立，設(shè)h（x）＝2ln x＋x＋，x∈（0，＋∞），則h'（x）＝＋1－＝＝，x∈（0，＋∞），易知h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）min＝h（1）＝4，所以a≤4.
15.解：（1）若a＝－1，則f（x）＝x－ln x，
f'（x）＝1－＝（x＞0），
當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＜0，當(dāng)x＞1時，f'（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）的極小值為f（1）＝1，無極大值.
（2）若a＝1，則f（x）＝x＋ln x，
f'（x）＝1＋＝＞0（x∈[1，e]），
所以函數(shù)f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以f（x）max＝f（e）＝e＋1，f（x）min＝f（1）＝1.
16.解：（1）∵f（x）＝a2ln x－x2＋ax，其中x＞0，
∴f'（x）＝－2x＋a＝－，
由于a＞0，∴f（x）的增區(qū)間為（0，a），減區(qū)間為（a，＋∞）.
（2）由（1）知f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
要使e－1≤f（x）≤e2對x∈[1，e]恒成立，
只要
解得a＝e.
17.解：（1）函數(shù)f（x）＝ln x＋－1的定義域?yàn)椋?，＋∞），求導(dǎo)得f'（x）＝－＝，
當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＜0，當(dāng)x＞1時，f'（x）＞0，則函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）在x＝1處取得極小值f（1）＝0，無極大值.
（2）證明：由（1）知，f（x）≥0，即ln x＋－1≥0，ln x≥1－＝，
因此ln（x＋1）≥，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取等號，
令x＝（n∈N*），ln（＋1）＞，則ln＞，ln（n＋1）－ln n＞，
ln（2n）－ln n＝ln（n＋1）－ln n＋ln（n＋2）－ln（n＋1）＋ln（n＋3）－ln（n＋2）＋…＋ln（2n）－ln（2n－1）＞＋＋＋…＋，而ln（2n）－ln n＝ln 2，
所以＋＋＋…＋＜ln 2.
18.解：（1）由題意得，f'（x）＝3ax2＋b.∵函數(shù)f（x）＝ax3＋bx在x＝處取得極小值－，
∴即解得
經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件，則函數(shù)f（x）的解析式為f（x）＝2x3－3x.
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，2－3x0），則曲線y＝f（x）的切線的斜率k＝f'（x0）＝6－3，
切線方程為y－（2－3x0）＝（6－3）（x－x0），
代入點(diǎn)M（1，m），得m＝－4＋6－3，
依題意，方程m＝－4＋6－3有三個不同的實(shí)根.
令g（x）＝－4x3＋6x2－3，
則g'（x）＝－12x2＋12x＝－12x（x－1），
∴當(dāng)x∈（－∞，0）時，g'（x）＜0；
當(dāng)x∈（0，1）時，g'（x）＞0；
當(dāng)x∈（1，＋∞）時，g'（x）＜0.
故g（x）＝－4x3＋6x2－3在（－∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減.
∴g（x）極小值＝g（0）＝－3，g（x）極大值＝g（1）＝－1.
∴當(dāng)－3＜m＜－1時，g（x）＝－4x3＋6x2－3的圖象與直線y＝m有三個不同的交點(diǎn)，
∴－3＜m＜－1時，存在這樣的三條切線.
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（－3，－1）.
19.解：（1）＝｜｜＝＝1.
（2）y＝，y'＝－（1－，y″＝－（1－－（1－，
故y'＝－，y″＝－2，故K＝＝.
（3）f'（x）＝ln x－1，f″（x）＝，故φ（y）＝＝，
所以f（x）＝xln x－2x在點(diǎn)P（e，－e）處的柯西曲率為φ（－e）＝＝.
3 / 3(共40張PPT)
章末檢測（五）導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
（時間：120分鐘　滿分：150分）
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給
出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 函數(shù) f （ x ）＝ x2在區(qū)間[0，2]上的平均變化率等于 x ＝ m 時的瞬時
變化率，則 m ＝（　　）
B. 1
C. 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析：　函數(shù) f （ x ）＝ x2在區(qū)間[0，2]上的平均變化率等于
＝ ＝2，由 f （ x ）＝ x2，得f'（ x ）＝2 x ，所以f'
（ m ）＝2 m ，因?yàn)楹瘮?shù) f （ x ）＝ x2在區(qū)間[0，2]上的平均變化率
等于 x ＝ m 時的瞬時變化率，所以2＝2 m ，解得 m ＝1.故選B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2. 已知函數(shù) f （ x ）的導(dǎo)函數(shù)為f'（ x ），且滿足 f （ x ）＝2xf'（e）＋
ln x ，則f'（e）＝（　　）
A. e－1 B. －1
C. －e－1 D. －e
解析： 　求導(dǎo)得f'（ x ）＝2f'（e）＋ ，把 x ＝e代入得f'（e）＝e
－1＋2f'（e），解得f'（e）＝－e－1，故選C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
3. 曲線 y ＝e x －ln x 在點(diǎn)（1，e）處的切線方程為（　　）
A. （1－e） x － y ＋1＝0 B. （1－e） x － y －1＝0
C. （e－1） x － y ＋1＝0 D. （e－1） x － y －1＝0
解析： 　由于y'＝e－ ，所以y'｜ x＝1＝e－1，故曲線 y ＝e x －ln x
在點(diǎn)（1，e）處的切線方程為 y －e＝（e－1）·（ x －1），即（e－
1） x － y ＋1＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
4. 函數(shù) f （ x ）＝ x2－ln x 的單調(diào)遞減區(qū)間是（　　）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　∵f'（ x ）＝2 x － ＝ ，當(dāng)0＜ x ≤ 時，f'（ x ）
≤0，故 f （ x ）的單調(diào)遞減區(qū)間為 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
5. 函數(shù) f （ x ）＝3 x －4 x3（ x ∈[0，1]）的最大值是（　　）
A. 1
C. 0 D. －1
解析： 　f'（ x ）＝3－12 x2，令f'（ x ）＝0，則 x ＝－ （舍去）
或 x ＝ ， f （0）＝0， f （1）＝－1， f ＝ － ＝1，∴ f （ x ）
在[0，1]上的最大值為1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
6. 函數(shù) f （ x ）＝ x3＋ ax2＋3 x －9，已知 f （ x ）在 x ＝－3處取得極
值，則 a ＝（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析： 　f'（ x ）＝3 x2＋2 ax ＋3，∵f'（－3）＝0.∴3×（－3）2
＋2 a ×（－3）＋3＝0，∴ a ＝5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
7. 已知 y ＝ f （ x ）是定義在R上的函數(shù)，且 f （1）＝1，f'（ x ）＞1，
則 f （ x ）＞ x 的解集是（　　）
A. （0，1） B. （－1，0）∪（0，1）
C. （1，＋∞） D. （－∞，－1）∪（1，＋∞）
解析： 　設(shè) g （ x ）＝ f （ x ）－ x ，因?yàn)?f （1）＝1，f'（ x ）＞
1，所以 g （1）＝ f （1）－1＝0，g'（ x ）＝f'（ x ）－1＞0，所以 g
（ x ）在R上是增函數(shù)，且 g （1）＝0.所以 f （ x ）＞ x 的解集即是
g （ x ）＞0的解集（1，＋∞）.故選C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
8. 設(shè) a ＝e， b ＝ ， c ＝ ，則 a ， b ， c 大小關(guān)系是（　　）
A. a ＜ c ＜ b B. b ＜ c ＜ a
C. c ＜ b ＜ a D. c ＜ a ＜ b
解析： 　構(gòu)造函數(shù) f （ x ）＝ ，則f'（ x ）＝ ，當(dāng) x ＞e
時，f'（ x ）＞0，則 f （ x ）在（e，＋∞）上單調(diào)遞增.又e＜3＜
π，∴ f （e）＜ f （3）＜ f （π），即 ＜ ＜ ，故 a ＜ c ＜ b .
故選A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給
出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對
的得部分分，有選錯的得0分）
9. 已知函數(shù) f （ x ）及其導(dǎo)函數(shù)f'（ x ），若存在 x0，使得 f （ x0）＝f'
（ x0），則稱 x0是 f （ x ）的一個“巧值點(diǎn)”，則下列函數(shù)中有“巧
值點(diǎn)”的是（　　）
A. f （ x ）＝ x2 B. f （ x ）＝e－ x
C. f （ x ）＝ln x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　A. f'（ x ）＝2 x ，由 x2＝2 x 得 x ＝0或 x ＝2，有“巧
值點(diǎn)”；B. f'（ x ）＝－e－ x ，－e－ x ＝e－ x 無解，無“巧值點(diǎn)”；
C. f'（ x ）＝ ，方程ln x ＝ 有解，有“巧值點(diǎn)”；D. f'（ x ）＝－
，由 ＝－ ，得 x ＝－1，有“巧值點(diǎn)”.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
10. 設(shè)三次函數(shù) f （ x ）的導(dǎo)函數(shù)為f'（ x ），函數(shù) y ＝xf'（ x ）的圖象
的一部分如圖所示，則（　　）
A. 函數(shù) f （ x ）有極大值 f （3）
D. 函數(shù) f （ x ）有極小值 f （－3）
解析： 　當(dāng) x ＜－3時， y ＝xf'（ x ）＞0，即f'（ x ）＜0；當(dāng)－
3＜ x ＜3時，f'（ x ）＞0；當(dāng) x ＞3時，f'（ x ）＜0.∴ f （ x ）的極
大值是 f （3）， f （ x ）的極小值是 f （－3）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
11. 已知函數(shù) f （ x ）的導(dǎo)函數(shù)為f'（ x ），且f'（ x ）＜ f （ x ），對任
意的 x ∈R恒成立，則（　　）
A. f （ln 2）＜2 f （0） B. f （2）＜e2 f （0）
C. f （ln 2）＞2 f （0） D. f （2）＞e2 f （0）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　令 g （ x ）＝ ，則g'（ x ）＝ ＜0，
故 g （ x ）在R上是減函數(shù)，而ln 2＞0，2＞0，故 g （ln 2）＜ g
（0）， g （2）＜ g （0），即 ＜ ， ＜
，所以 f （ln 2）＜2 f （0）， f （2）＜e2 f （0）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中
橫線上）
12. 若質(zhì)子的運(yùn)動方程為 s ＝ t sin t ，其中 s 的單位為m， t 的單位為s，
則質(zhì)子在 t ＝2 s時的瞬時速度為 m/s.
解析：∵ s ＝ t sin t ，∴s'＝（ t sin t ）'＝ sin t ＋ t cos t ，因此，質(zhì)子
在 t ＝2 s時的瞬時速度為（ sin 2＋2 cos 2）m/s.
sin 2＋2 cos 2　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
13. 如圖，從10 cm×16 cm的矩形紙板的四角截去4個相同的小正方
形，做成一個無蓋的盒子，那么盒子容積的最大值為 .
144 cm3　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析：設(shè)小正方形的邊長為 x ，如圖所示，則盒
子的容積為 V ＝（10－2 x ）（16－2 x ） x ＝4（ x3
－13 x2＋40 x ），定義域?yàn)椋?，5）.由于V'＝4
（3 x2－26 x ＋40），令V'＝0，即3 x2－26 x ＋40＝
0，解得 x ＝ 或 x ＝2.由于0＜ x ＜5，所以 x ＝
2，在區(qū)間（0，5）上列表如下：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
由上表可知，當(dāng) x ＝2時，盒子容積最大，且最大值為144 cm3.
x （0，2） 2 （2，5）
V' ＋ 0 －
V 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
14. 如果存在函數(shù) g （ x ）＝ ax ＋ b （ a ， b 為常數(shù)），使得對函數(shù) f
（ x ）定義域內(nèi)任意的 x 都有 f （ x ）≤ g （ x ）成立，那么 g （ x ）
為函數(shù) f （ x ）的一個“線性覆蓋函數(shù)”.已知 f （ x ）＝－2 x ln x －
x2， g （ x ）＝－ ax ＋3，若 g （ x ）為函數(shù) f （ x ）在區(qū)間（0，＋
∞）上的一個“線性覆蓋函數(shù)”，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為
.
（－
∞，4]　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析：由題意可知 f （ x ）≤ g （ x ）對任意的 x ∈（0，＋∞）恒
成立，即－2 x ln x － x2≤－ ax ＋3對任意的 x ∈（0，＋∞）恒成
立，從而得 a ≤2ln x ＋ x ＋ 對任意的 x ∈（0，＋∞）恒成立，設(shè)
h （ x ）＝2ln x ＋ x ＋ ， x ∈（0，＋∞），則h'（ x ）＝ ＋1－
＝ ＝ ， x ∈（0，＋∞），易知 h （ x ）在
（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，所以 h （ x ）
min＝ h （1）＝4，所以 a ≤4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說
明、證明過程或演算步驟）
15. （本小題滿分13分）已知函數(shù) f （ x ）＝ x ＋ a ln x .
（1）若 a ＝－1，求函數(shù) f （ x ）的極值，并指出是極大值還是極
小值；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解： 若 a ＝－1，則 f （ x ）＝ x －ln x ，
f'（ x ）＝1－ ＝ （ x ＞0），
當(dāng)0＜ x ＜1時，f'（ x ）＜0，當(dāng) x ＞1時，f'（ x ）＞0，
所以函數(shù) f （ x ）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上
單調(diào)遞增，
所以函數(shù) f （ x ）的極小值為 f （1）＝1，無極大值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）若 a ＝1，求函數(shù) f （ x ）在[1，e]上的最大值和最小值.
解： 若 a ＝1，則 f （ x ）＝ x ＋ln x ，
f'（ x ）＝1＋ ＝ ＞0（ x ∈[1，e]），
所以函數(shù) f （ x ）在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以 f （ x ）max＝ f （e）＝e＋1， f （ x ）min＝ f （1）＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
16. （本小題滿分15分）設(shè)函數(shù) f （ x ）＝ a2ln x － x2＋ ax （ a ＞0）.
（1）求 f （ x ）的單調(diào)區(qū)間；
解： ∵ f （ x ）＝ a2ln x － x2＋ ax ，其中 x ＞0，
∴f'（ x ）＝ －2 x ＋ a ＝－ ，
由于 a ＞0，∴ f （ x ）的增區(qū)間為（0， a ），減區(qū)間為
（ a ，＋∞）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）求實(shí)數(shù) a 的值，使e－1≤ f （ x ）≤e2對 x ∈[1，e]恒成立.
解： 由（1）知 f （ x ）在[1，e]上單調(diào)遞增，
要使e－1≤ f （ x ）≤e2對 x ∈[1，e]恒成立，
只要解得 a ＝e.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
17. （本小題滿分15分）已知函數(shù) f （ x ）＝ln x ＋ －1.
（1）求函數(shù) f （ x ）的極值；
解： 函數(shù) f （ x ）＝ln x ＋ －1的定義域?yàn)椋?，＋
∞），求導(dǎo)得f'（ x ）＝ － ＝ ，
當(dāng)0＜ x ＜1時，f'（ x ）＜0，當(dāng) x ＞1時，f'（ x ）＞0，
則函數(shù) f （ x ）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）
上單調(diào)遞增，
所以函數(shù) f （ x ）在 x ＝1處取得極小值 f （1）＝0，無極
大值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）證明： ＋ ＋…＋ ＜ln 2（ n ∈N*）.
解： 證明：由（1）知， f （ x ）≥0，即ln x ＋ －
1≥0，ln x ≥1－ ＝ ，
因此ln（ x ＋1）≥ ，當(dāng)且僅當(dāng) x ＝0時取等號，
令 x ＝ （ n ∈N*），ln（ ＋1）＞ ，則ln ＞ ，ln
（ n ＋1）－ln n ＞ ，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
ln（2 n ）－ln n ＝ln（ n ＋1）－ln n ＋ln（ n ＋2）－ln（ n ＋
1）＋ln（ n ＋3）－ln（ n ＋2）＋…＋ln（2 n ）－ln（2 n －
1）＞ ＋ ＋ ＋…＋ ，而ln（2 n ）－ln n ＝ln 2，
所以 ＋ ＋ ＋…＋ ＜ln 2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
18. （本小題滿分17分）已知函數(shù) f （ x ）＝ ax3＋ bx 在 x ＝ 處取得
極小值－ .
（1）求函數(shù) f （ x ）的解析式；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解： 由題意得，f'（ x ）＝3 ax2＋ b .∵函數(shù) f （ x ）＝
ax3＋ bx 在 x ＝ 處取得極小值－ ，
∴即解得
經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件，則函數(shù) f （ x ）的解析式為 f （ x ）＝2 x3－3 x .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）若過點(diǎn) M （1， m ）的直線與曲線 y ＝ f （ x ）相切且這樣的
切線有三條，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.
解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（ x0，2 －3 x0），則曲線 y ＝
f （ x ）的切線的斜率 k ＝f'（ x0）＝6 －3，
切線方程為 y －（2 －3 x0）＝（6 －3）（ x －
x0），
代入點(diǎn) M （1， m ），得 m ＝－4 ＋6 －3，
依題意，方程 m ＝－4 ＋6 －3有三個不同的實(shí)根.
令 g （ x ）＝－4 x3＋6 x2－3，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
則g'（ x ）＝－12 x2＋12 x ＝－12 x （ x －1），
∴當(dāng) x ∈（－∞，0）時，g'（ x ）＜0；
當(dāng) x ∈（0，1）時，g'（ x ）＞0；
當(dāng) x ∈（1，＋∞）時，g'（ x ）＜0.
故 g （ x ）＝－4 x3＋6 x2－3在（－∞，0）上單調(diào)遞減，
在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減.
∴ g （ x ）極小值＝ g （0）＝－3， g （ x ）極大值＝ g （1）
＝－1.
∴當(dāng)－3＜ m ＜－1時， g （ x ）＝－4 x3＋6 x2－3的圖象
與直線 y ＝ m 有三個不同的交點(diǎn)，
∴－3＜ m ＜－1時，存在這樣的三條切線.
故實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（－3，－1）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
19. （本小題滿分17分）在幾何學(xué)中常常需要考慮曲線的彎曲程度，
為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度.下圖所示的光滑曲線 C ： y ＝ f
（ x ）上的曲線段 ，其弧長為Δ s ，當(dāng)動點(diǎn)從 A 沿曲線段 運(yùn)
動到 B 點(diǎn)時， A 點(diǎn)的切線 lA 也隨著轉(zhuǎn)動到 B 點(diǎn)的切線 lB ，記這兩條
切線之間的夾角為Δθ（它等于 lB 的傾斜角與 lA 的傾斜角之差）.
顯然，當(dāng)弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾
角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義 ＝｜ ｜
為曲線段 的平均曲率；顯然當(dāng) B 越接近 A ，即Δ s 越小， K 就越
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（1）求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；
解：（1） ＝｜ ｜＝ ＝1.
能精確刻畫曲線 C 在點(diǎn) A 處的彎曲程度，因此定義 K ＝ ｜
｜＝ （若極限存在）為曲線 C 在點(diǎn) A 處的曲率（其中
y'， y ″分別表示 y ＝ f （ x ）在點(diǎn) A 處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）求橢圓 ＋ y2＝1在（ ， ）處的曲率；
解：y ＝ ，y'＝－ （1－ ， y ″＝－ （1－ － （1－ ，
故y' ＝－ ， y ″ ＝－
2，故 K ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（3）定義φ（ y ）＝ 為曲線 y ＝ f （ x ）的“柯西曲
率”.求曲線 f （ x ）＝ x ln x －2 x 在點(diǎn) P （e，－e）處的柯西
曲率.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解：f'（ x ）＝ln x －1， f ″（ x ）＝
，故φ（ y ）＝ ＝ ，
所以 f （ x ）＝ x ln x －2 x 在點(diǎn) P （e，－
e）處的柯西曲率為φ（－e）＝
＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
謝 謝 觀 看！

展開更多......

收起↑